例谈数列中的数学思想 (3)

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例谈数列问题中的数学思想

点评：等价转化法的关键是要明确转化的方向或者说转化
的目标．本题转化的关键就是将研究慨２３取值范围问题转ｌ的
２解填空题不要求求解过程，而结论是判断是否正确的．从唯一标准，因此解填空题时要注意如下几个方面：（）认真审题，确要求，维严谨、密，算有据、１要明思周计准
）＋
—一的最大值为，最
４等价转化法．
分析：直接
１！！里
２＋ＣＳＯ
，
）的最大值、小值显然不可取．最化袱）＝
￣ＪＴｇ）奇偶性Ｊ（的Ｊ
＋ＣＯＳ戈
．
将所给的命题进行等价转化，使之成为一种容易理解的语言或容易求解的模式．过转化，问题化繁为简、陌生为熟通使化
确；２要尽量利用已知的定理、质及已有的结论；３要重视（）性（）对所求结果的检验．
化成了直线ｙｍ与曲线ｙｆｘ）三个交点的问题，数的问题转＝＝（有将
化成了形的问题，而利用图形的性质解决．从
点评：函数有关的填空题，据题目条件，活地应用函与依灵数图像解答问题，往可使抽象复杂的代数问题变得形象直观，往

高中数学数列知识点总结(精华版)

高中数学数列知识点总结一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式. 4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 1、已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）； 2、数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）；3、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（）（答：A ）二、等差数列1、等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

例谈初中数学中常见数学思想

ｒ６＝ｂ
１数形结合思想
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而数学研究总是围绕着数与形进行的。形结合就是抓住数与形之数间的内在联系， “ 以形直观地表达数，以
知识，以通过整体思想求出ａｂ，－，－可－ｂｃＣａ的值进行整体的代入即可。解：由已知， — ＝，－＝２ｃａｌ得ａｂ１ｂｃ－，－＝，
１
－ｒ — ＿．＝ｉ —广｝＋＿
图１
ｂ，的值直接代入计算，非常麻烦，察和工作中长期发挥作用。ｃ则观
在教学研究中，一种对象在一定条件方法研究问题，非函数问题转化为函数使将
中国科教创新导刊
ＣｔａＥｕａｉｎｉｏａｉｎＨｒｌｈｄｃｔｎｖｔｅａｄｎｏｎｏ
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这征，而对问题整体处理的整体思想。整知识的过程。个过程的实质就是发现数从用
表示出不等式组的解集，根据不等式组再
的整数解的个数确定ａ范围。了直观得的为到ａ范围，借助数轴来表示不等式组的的可解集。解：不等式组，ａ解得 ≤Ｘ＜４将ｘ４．＜在数轴上表示出来，图１示：如所
例４已知弹簧的长度ｙ厘米）一定的：（在

例谈数列复习中数学思想的渗透

例谈数列复习中数学思想的渗透作者：卞维清来源：《中学教学参考·理科版》2012年第12期数列是高中数学的重要内容，在高考中的地位十分突出，是高考必考的内容之一，往往以压轴题的形式出现，数列部分的内容蕴含着丰富的数学思想方法，如果在数列这一章节的复习中，教师能注重数学思想方法的渗透，可使许多较复杂问题化难为易，化繁为简，从而达到优化解题过程，培养学生数学思维能力的目的.一、函数与方程思想的渗透数列的本质是函数，数列是函数的继续和延伸.如等差数列（公差不为零），它的通项公式是关于自然数n的一次函数，它的前n项和是关于自然数n的不含常数项的二次函数.在解决数列问题的过程中，如果能适时地运用函数思想，往往会事半功倍.【例1】已知数列，通项公式为，若为递增数列，求实数λ的取值范围.解析：由题意知对一切正整数n恒成立，化简可得2n+1+λ>0恒成立，因为2n+1的最小值为3，所以λ>-3.另解：由数列的通项公式，联想到二次函数，对称轴为x=-λ2，问题转化为二次函数在正整数集上为增函数，只要-λ2-3.【例2】设等差数列的前n项的和为，求所有的无穷等差数列，使得对于一切正整数k都有（）解析：本题可从数列的基本量和d入手，但运算繁琐.若从函数角度出发，把数列问题转化为函数问题来解决，则要简单得多.设（a，b为常数），则由题意可知（）对一切正整数k恒成立.化简得（-a）（-b）=0 对一切正整数k恒成立.则有-a=0，，-b=0，解得a=1，，或a=0，，或a=0，则有或或，则有-1，或，或注：本题还可通过特殊化思想来解决，可取k=1，k=2时等式成立，求出，然后检验证明.二、特殊到一般的思想的渗透由于数列是关于自然数的函数，特殊到一般（归纳，猜想）的思想是数列中常用的数学思想.在解决数列问题时，我们往往可以取这个数列的前几项进行研究，再归纳总结，导出一般结论，进一步明确解题思路.【例3】（1）已知数列，其中，且数列-为等比数列，求常数p；（2）设数列、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列}不是等比数列.解析：（1）由于数列-为等比数列，则它的前三项必成等比数列，记-，则有又-5p，-13p，-35p，所以（35-13p）（13-5p）（97-35p），解得p=2或p=3.检验：当p=2时，；当p=3时，-（均满足题意）.（2）要证明不是等比数列，只须证明它的前三项不成等比数列即可，即证设、的公比分别为p、q且p≠q.事实上，（），（）·（）（）.由于p≠q，，又、不为零，因此，故不是等比数列.注：本题如果采用等比数列的定义来解决，运算量较大.注意到一个数列“前三项成等比数列”是“这个数列为等比数列”的必要条件，从而联想到通过它的前三项是否成等比关系来解决.三、转化思想的渗透转化（化归）思想是数列中的一种重要思想.数列中常用的转化关系有：（n=1），--1（n≥2）（将“和”与“项”进行转化）；将其他数列转化为等差（等比）数列来解决等.【例4】数列满足：，求数列的通项公式.解析：∵，∴（）=2（）.∴数列为首项为2，公比为2的等比数列.∴，∴-1.注：原数列既非等差数列又非等比数列，求通项公式较困难，这时通过构造，可转化为一个等比数列轻松解决.高中阶段主要学习了等差、等比两种特殊数列，很多数列问题可最终转化为这两类数列来解决.形如：（q≠0）型的递推关系，均可采用上述方法进行化归.再比如用“错位相减”法求“等差数列乘等比数列”这一类数列和时，本质上就是转化为等比数列求和.【例5】已知数列前n项和为，对于任意自然数n满足：，且（1）求p的值；（2）证明：为等差数列.解析：（1）用特殊到一般思想，即，所以p=1或当p=1时，又，即（与条件矛盾，舍去）；当时，又，因为，所以p=12.（2）由（1）知，①所以-1=12（n-1）-1（n≥2）. ②①-②得--1=12-12（n-1）-1，即-12（n-1）-1，即（n-2）（n-1）-1（n≥2），③（将“和”与“项”的关系转化为“项”的关系）对于③式的处理有多种思想方法.方法1：由③得（n-3）-1=（n-2）-2 （n≥3），④③-④得（n-2）-（n-3）-1=（n-1）-1-（n-2）-2，即（n-2）（n-2）-2=（2n-4）-1（n≥3），即--1（n≥3），所以为等差数列.注：将③式中相邻两项关系转化为相邻三项的关系，利用等差中项法进行证明.方法2：由③式得，当n≥3时，-1=n-1n-2，所以；；…；--2=n-2n-3；-1=n-1n-2.将各式相乘可得-1，所以（n-1）（n≥3）. ⑤又，均符合⑤式，所以（n-1），用定义可证得为等差数列.注：通过“累积”法求出数列通项公式，然后利用定义加以证明.方法3：由③式得，当n≥3时，--1n-2，可得数列-1}从第二项起为常数列，所以n≥2时，-，即=（n-1）（下同方法2）注：此方法要求学生有一定的观察能力，能把递推关系转化为一个常数列来解决.四、递推思想的渗透递推公式是给出数列的一种常用方法，在很多数列问题中，往往给出数列的一种递推关系，然后求通项公式.递推公式的本质是由一项（或更多的项）推出它的下一项.【例6】已知数列中，，（n-1）-1（n≥2），求数列的通项公式.解析：由于条件中的递推关系较繁，可以先将这个递推关系进行化简.因为（n-1）-1（n≥2），所以-（n-2）-2（n≥3），两式相减得--1=（n-1）-1，即-1（n≥3）.所以当n≥3时，-1=n·（n-1）-2=n·（n-1）·（n-2）-3=n·（n-1）·（n-2）因为，所以（n-1）·（n-2）…3=n！2（n≥3），因为不符合上式，符合上式，所以（n=1），！2（n≥2）.注：化简后的递推式-1（n≥3）揭示了前后两项之间的关系，即知道了任一项都可求出它的后一项.因此我们采用递推的方法求出它的通项公式.文中的例5也可用递推思想求解，简解如下：n≥2时，-1+1=2·（-2+1）-2+2+1（-3+1）-=…=2n--2+2n-3+…+2+1=2n-1+2n--1.数列中蕴含的数学思想还有很多，这里就不一一举例了.总之，在复习数列这一内容时，教师不应该仅仅教给学生几个公式，应注意思想方法的渗透和总结，从而提高学生的数学素养和应试能力.。

(完整版)数列中的数学思想和方法

(完整版)数列中的数学思想和方法数列中的数学思想和方法数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力桥梁.能否有意识地正确运用数学思想方法解答数学问题,是衡量数学素质和数学能力的重要标志．数列中蕴涵了许多重要的数学思想，下面我们一起来看一看吧！一、方程思想方程思想就是通过设元建立方程，研究方程解决问题的方法。

在解数列问题时,利用等差、等比数列的通项公式、求和公式及性质构造方程(组），是解数列问题基本方法。

例1 已知等差数列{}n a 的公差d 是正数，且3712,a a =-464a a +=-，求其前n 项和n S .解：由等差数列{}n a 知：3746a a a a +=+，从而373712,4a a a a =-+=-，故37,a a 是方程24120x x +-=的两根，又0d >，解之，得：376,2a a =-=。

再解方程组：112662a d a d +=-⎧⎨+=⎩1102a d =-⎧⇒⎨=⎩，所以10(1)n S n n n =-+-。

〈法一〉法二、基本量法，建立首项和公差的二元方程知三求二点评：本题利用了3746a a a a +=+这一性质构造了二次方程巧妙的解出了376,2a a =-=，再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决,由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与n m p q a a a a +=+(或n m p q a a a a ⋅=⋅）找出解题的捷径。

关注未知数的个数，关注独立方程的个数。

点评基本量法：性质法技巧备用：设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2,a 3＋4构成等差数列．（1）求数列｛a n }的通项;(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n ｝的前n 项和T n .解（1）由已知得错误!解得a 2＝2。

设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝错误!,a 3＝2q ，又S 3＝7，可知错误!＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0。

高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用

高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。

以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。

函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。

高中数学必须掌握的十种数列通项公式的解题方法和典型例题

高中数学必须掌握的十种数列通项公式的解题方法和典型例题
在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。

求通项公式也是学习数列时的一个难点。

由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。

通项公式普通的求法：
（1）构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式；
（2）构造等差数列：递推式不能构造等比数列时，构造等差数列；
（3）递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。

已知递推公式求通项常见方法：
①已知a1=a,a n+1=qa n+b,求a n时，利用待定系数法求解，其关键是确定待定系数λ，使a n+1+λ=q(a n+λ)进而得到λ。

②已知a1=a,a n=a n-1+f(n)(n≥2),求a n时，利用累加法求解，即
a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-a n-1)的方法。

③已知a1=a,a n=f(n)a n-1(n≥2)，求a n时，利用累乘法求解。

非常实用的十大解题方法及典型例题
方法一数学归纳法
方法二 Sn 法
方法三累加法
方法四累乘法
方法五构造法一
方法六构造法二
方法七构造法三
方法八构造法四
方法九构造五
方法十构造六。

例谈函数思想在数列问题中的应用

２运用函数思想解数列的求和问题
数列求和是数歹知识的一个重要万囱，在求Ｕ向
与一般的关系，是这种关系，函数思想方法成为正使
研究和解决数列问题的重要方法．们可以用函数我的思想、方法解决数列的问题．列中的通项、／数前７，
，、＃一２
图是条线那三点ｍ）２）的研究，出函数的最大值．象一直，么个（，ｍ，，（，求
、厶，
３ｌｆ的最大一２÷ｌ值问题，通过对函数单调性
和问题上，我们时常会运用到函数的单调性、周期性
等性质及函数的解析式．
项和、递推关系、最值问题及大小比较问题通常都可
以转化为函数问题来求解．
ｕ｝项（２ｓ）｛的ｃ＿，通０ｉｓ
其前项和为，则为
斜率相等，求出ｓ。的值．解：等差数列｛｝的前ｎ项和＝１＋
＋∞ ）上是减函数，最大值是２其）＝一．９
所以有ａ一．ａ＝ａ４ ≥ ９又２１－３＞ａ．１
综上，所求的ａ的最小值是一．９
识，它们的解析式应是相同的，而得到ｇ口的值．从，。
有两种形式有时我们必须运用等差、比数列的等知识去解决其它数列问题，将非等差、比的问题转化等为等差、等比问题加以解决，从而使问题简单化
或其子集上的函数．列与函数之间的关系是特殊数

例谈数列与函数的关系

例谈数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前n 项和公式都可以看成是关于n 的函数，特别是等差数列的通项公式可以看成是关于n 的一次函数（公差d ≠０时），而其求和公式可以看成是关于n 的二次函数.数列的单调性的判断可以借助于函数单调性的判断方法，数列中各项大小的比较，可以借助函数图象的直观性来比较.因此，许多数列问题可以用函数的知识进行分析，加以解决.1．等差数列的通项公式可以看成自变量为n 的一次函数（公差d ≠０时）例1已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，是否存在常数k ，使得2211n n n ka S S +-=-成立.分析：将n a 看成是n 的一次函数，设出函数解析式并代入进行求解.解：设存在常数k ，使得2211n n n ka S S +-=-成立，令n a pn q =+（p 、q 为常数），则221()1n n k pn q S S ++-=-.①又∵(12)(1)2n p S p n nq n n nq =++++=++,，代入①式变为22223121()22kp n kpqn kq pn p q n p q ⎛⎫++-=+-+-+ ⎪⎝⎭， 22321221()kp p kpq p q kq p q ⎧=⎪⎪⎪∴=-+⎨⎪⎪-=-+⎪⎩， ②， ③， ④ 由②，得 0p =或32kp =. 将p =0代入③、④不成立. 将k p=代入③，得 4p q =-，代入④，得 21164kp p p -=-+，即331324p p -=-， ∴3227p =，从而得出8164k =． ∴存在常数k ，使得2211n n n ka S S +-=-成立.评注：存在型探索性问题，是指判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、函数等）不确定的问题.这类问题常常出现“是否存在”、“是否有”等形式的疑问句，以示结论有待于确定.解答此类问题的思路是：通常假设题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论的证明.2．构造一次函数模型，利用一次函数图象性质解题例２等差数列{}n a 的前n 项和为30，前2n 项和为100，则它的前3n 项和为（）.（Ａ）30 （B ）170 （C ）210 （D ）260分析：运用等差数列求和公式，先对1(1)2n n n S na d -=+进行变形，122n S d d n a n =+-，则122n S d d n a n =+-可以看成是关于n 的一次函数，再利用点共线的性质求解. 解：由1(1)2n n n S na d -=+，可得122n S d d n a n =+-，由此可知数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列， ∴23323n n n S S S n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，2，，，三点共线. ∴310030302323n S n n n n n n n n--=--， ∴3210n S =.评注：①n S n可以看成是关于n 的一次函数，其图象是直线上的离散点，本题是利用点共线的条件建立方程求解3n S 的.运用该法还可以推得在等差数列中若()p q S q S p p q ==≠，，则()p q S p q +=-+．②等差数列的通项公式n a 也可以看成是关于n 的一次函数，利用该性质可推知等差数列中若()p q a q a p p q ==≠，，则0p q a +=.3．等差数列的前n 项和可看成是关于n 的二次函数例3 已知等差数列{}n a ，首项1a ，且310S S =，问此数列前几项的和最大？最大值是多少？分析：等差数列前n 项和n S 为特殊的二次函数，所以可采用配方法求其最值.解：设等差数列公差为d ，前n 项和为n S ，∵310S S =，即116d a =-， ∴211111*********(1)(1)22612248n S na n n d na n n a a n a ⎛⎫⎛⎫=+-=+--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当n =6或n =7时，67172S S a ==为最大. 评注：关于等差数列前n 项和最大（小）问题，可转化为二次函数问题，再结合二次函数的最值问题加以分析，但应特别注意，当对称轴不是正自然数时，应将与对称轴最接近的两个自然数代入函数关系式，再求值比较，以便确定n 取何值时，n S 最大（最小）.4．利用函数单调性知识解（证）数列中的单调性问题例4 已知函数()22x x f x -=-，数列{}n a 满足2(log )2n f a n =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证数列{}n a 是递减数列.分析：①本题已知函数关系式，并给出了n a 的关系式，将其看作关于n a 的方程解出即可.②数列是特殊的函数，借助函数的增减性的方法来证明数列的增减性.（1）解：∵2()22(log )2x x n f x f a n -=-=-，，，∴22log log 222n n a a n --=-，即12n n a n a -=-．. ∴2210n n a na +-=，（※）解得n a n =- 又∵0n a >，∴n a n =；（2）证明：由11n n a a +==<．又∵10n n n a a a +>∴<，．. ∴数列{}n a 是递减数列.评注：本题主要应用函数与方程的思想解题，（※）式可看成是关于n a 的方程；而求出的通项公式又反映了n a 是关于n 的函数.解题过程中0n a >这个细节要注意．。

数形结合思想在数列中的应用

㊀㊀㊀解题技巧与方法１４７㊀㊀数形结合思想在数列中的应用数形结合思想在数列中的应用Һ王法金㊀（安徽省宿州市灵璧第一中学，安徽㊀宿州㊀２３４２００）㊀㊀ʌ摘要ɔ数与形是数学中两个基本的研究对象，它们有着内在的联系，而且可以互相转化，这一转化可被称为数形结合．数形结合的应用大致可分为两种情形：以形助数和以数解形．文章从以形助数和以数解形两个角度谈数形结合思想在数列中的应用，旨在让一线教师认识到数形结合思想的重要性并熟悉其应用．ʌ关键词ɔ数形结合；数学思想；数列；图像；应用引㊀言数形结合是通过数与形的相互转化解决数学问题的一种重要思想．数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，即将代数问题几何化㊁几何问题代数化．数形结合可解决的问题比较多，下面以数列为例，谈谈数形结合思想在数列中的应用．一㊁以形助数例１㊀已知数列｛ａｎ｝满足ａｎ＋１＝ｌｏｇ２ａｎ＋１()，若｛ａｎ｝是递增数列，则ａ１的取值范围是（㊀㊀）Ａ．（０，１）Ｂ．（０，２）Ｃ．（－１，０）Ｄ．（１，＋ɕ）分析㊀作出函数ｙ＝ｘ和ｙ＝ｌｏｇ２（ｘ＋１）的图像，结合图像分析求解．㊀图１解析㊀因为｛ａｎ｝是递增数列，所以ａｎ＜ａｎ＋１，即ａｎ＜ｌｏｇ２ａｎ＋１()．如图１，作出函数ｙ＝ｘ和ｙ＝ｌｏｇ２（ｘ＋１）的图像．由图１可知，当ｘɪ（０，１）时，ｘ＜ｌｏｇ２（ｘ＋１），且ｌｏｇ２（ｘ＋１）ɪ（０，１）．故当ａ１ɪ（０，１）时，ａ１＜ｌｏｇ２（ａ１＋１）＝ａ２，且ａ２ɪ（０，１），类推可得ａ１＜ａ２＜ａ３＜，满足｛ａｎ｝是递增数列，即ａ１的取值范围是（０，１）．故选Ａ．点评㊀通过图１可以直观得到：当ｘɪ（０，１）时，ｘ＜ｌｏｇ２（ｘ＋１）ɪ（０，１）．由此可知，当ａ１ɪ（０，１）时，有ａ１＜ｌｏｇ２ａ１＋１()＝ａ２，且ａ２ɪ（０，１）．类推可得ａ１＜ａ２＜ａ３＜，满足｛ａｎ｝是递增数列，即ａ１的取值范围是（０，１）．这样就轻松得到了答案，避免进入对ａ１进行讨论的繁杂境地，这体现了数形结合中以形助数的思想．例２㊀已知数列｛ａｎ｝满足：８＜ａ１＜９，且ｌｎａｎ＝ａｎ＋１－１ａｎ＋１，则（㊀㊀）Ａ．ａ３＜ａ４，ａ２０１９＜１Ｂ．ａ３＜ａ４，ａ２０１９＞１Ｃ．ａ３＞ａ４，ａ２０１９＜１Ｄ．ａ３＞ａ４，ａ２０１９＞１分析㊀根据题意设ｆ（ｘ）＝ｘ－１ｘ－ｌｎｘ（ｘ＞０），利用导数讨论函数的单调性，进而得出ｘ－１ｘȡｌｎｘ在［１，＋ɕ）上恒成立，作出图像，结合图像即可得出结果．解析㊀由题意，设ｆ（ｘ）＝ｘ－１ｘ－ｌｎｘ（ｘ＞０），则ｆᶄ（ｘ）＝１２ｘ＋１２ｘ㊃ｘ－１ｘ＝ｘ－２ｘ＋１２ｘ㊃ｘ＝（ｘ－１）２２ｘ㊃ｘȡ０，所以函数ｆ（ｘ）在（０，＋ɕ）上单调递增．又ｆ（１）＝０，所以ｆ（ｘ）＝ｘ－１ｘ－ｌｎｘȡ０在［１，＋ɕ）上恒成立，即ｘ－１ｘȡｌｎｘ在［１，＋ɕ）上恒成立．画出函数ｙ＝ｘ－１ｘ和ｙ＝ｌｎｘ的图像，如图２所示．由图２可得，ａ１＞ａ２＞ａ３＞＞ａ２０１９＞＞１，故选Ｄ．图２㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１４８㊀点评㊀题目以数列的递推公式为背景，判断数列的单调性．数列是一种特殊的函数，故可借助函数图像及函数的单调性来判断数列的单调性．结合图像，由８＜ａ１＜９，且ａ１＝ａ２－１ａ２，知ａ１＞ａ２．类推可知ａ１＞ａ２＞ａ３＞ａ４＞＞ａ２０１９＞＞１．这样借助函数图像解决数列问题体现了数形结合中以形助数的思想．例３㊀（多选题）已知单位圆Ｏ的内接正ｎ边形Ａ１Ａ２Ａ３Ａｎ的边长㊁周长和面积分别为ａｎ，Ｌｎ，Ｓｎ，则下列结论正确的是（㊀㊀）Ａ．ａｎ＝２ｃｏｓπｎＢ．ＬｎＬ２ｎ＝ｃｏｓπ２ｎＣ．ＳｎＳ２ｎ＝１２Ｄ．ａ２ｎ＋（２－ａ２２ｎ）２＝４㊀图３解析㊀如图３，对于Ａ，单位圆Ｏ的内接正ｎ边形Ａ１Ａ２Ａ３Ａｎ的中心角为２πｎ，则ａｎ＝２ｓｉｎπｎ，故Ａ错误．对于Ｂ，由Ａ的结论ａｎ＝２ｓｉｎπｎ可得Ｌｎ＝ｎａｎ＝２ｎｓｉｎπｎ，则ＬｎＬ２ｎ＝２ｎｓｉｎπｎ４ｎｓｉｎπ２ｎ＝ｓｉｎπｎ２ｓｉｎπ２ｎ＝ｃｏｓπ２ｎ，故Ｂ正确．对于Ｃ，Ｓｎ＝ｎ１２ˑ１ˑ１ˑｓｉｎ２πｎæèçöø÷＝ｎ２ｓｉｎ２πｎ，则Ｓ２ｎ＝２ｎ２ｓｉｎ２π２ｎ＝ｎｓｉｎπｎ，故ＳｎＳ２ｎ＝ｎ２ｓｉｎ２πｎｎｓｉｎπｎ＝ｃｏｓπｎ，故Ｃ错误．对于Ｄ，由（１）知ａｎ＝２ｓｉｎπｎ，则ａ２ｎ＝２ｓｉｎπ２ｎ，故ａ２ｎ＋（２－ａ２２ｎ）２＝４ｓｉｎ２πｎ＋２－４ｓｉｎ２π２ｎæèçöø÷２＝４ｓｉｎ２πｎ＋æèçç２－４ˑ１－ｃｏｓπｎ２öø÷÷２＝４ｓｉｎ２πｎ＋４ｃｏｓ２πｎ＝４，故Ｄ正确．综上，正确答案为ＢＤ．点评㊀本题的解题关键点是明确әＯＡ１Ａ２，әＯＡ２Ａ３，，әＯＡｎ－１Ａｎ是腰长为１，顶角为π２ｎ的等腰三角形，这些通过图３可以得到．这样，通过图形可以帮助学生获得解题思路且突破解题关键，这就是以形助数思想的魅力所在．本题考查了学生的数形结合思想和数学思维能力㊁数学运算能力．二㊁以数解形例４㊀（多选题）如图４，在平面直角坐标系中的一系列格点Ａｉ（ｘｉ，ｙｉ），其中ｉ＝１，２，３，，ｎ，且ｘｉ，ｙｉɪＺ．记ａｎ＝ｘｎ＋ｙｎ，如Ａ１（０，０），即ａ１＝０，Ａ２（１，０），即ａ２＝１，Ａ３（１，－１），即ａ３＝０，，以此类推．设数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，则（㊀㊀）图４Ａ．ａ２０２３＝４３Ｂ．Ｓ２０２３＝－８７Ｃ．ａ８ｎ＝２ｎＤ．Ｓ４ｎ＋５ｎ＋１＝３ｎ（ｎ＋１）２解析㊀由题知，点Ａ１（０，０），Ｓ１＝ａ１＝０，设Ａｉ＋１（ｘｉ＋１，ｙｉ＋１）＝Ｂｉ（ｘｉ，ｙｉ），ａｎ＋１＝ｂｎ，数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和为Ｔｎ，则Ｓｎ＋１＝Ｔｎ．第１圈从点（１，０）到点（１，１）共８个点，由对称性可知Ｓ９＝Ｔ８＝ｂ１＋ｂ２＋＋ｂ８＝０．第２圈从点（２，１）到点（２，２）共１６个点，由对称性可知Ｓ２５－Ｓ９＝Ｔ２４－Ｔ８＝ｂ９＋ｂ１０＋＋ｂ２４＝０，即Ｓ２５＝Ｔ２４＝０．以此类推，可得第ｎ圈的８ｎ个点对应的这８ｎ项的和为０，即Ｔ８ˑ＝Ｔ４ｎ＋４ｎ＝０．设ｂ２０２２在第ｋ圈，则８＋１６＋＋８ｋ＝（８＋８ｋ）ｋ２＝４ｋ（ｋ＋１），由此可知前２２圈共有２０２４个数，故Ｔ２０２４＝０，则Ｔ２０２２＝Ｔ２０２４－（ｂ２０２４＋ｂ２０２３），ｂ２０２４所在点的坐标为（２２，２２），则ｂ２０２４＝２２＋２２＝４４，ｂ２０２３所在点的坐标为（２１，２２），则ｂ２０２３＝２１＋２２＝４３，ｂ２０２２所在点的坐标为（２０，２２），则ａ２０２３＝ｂ２０２２＝２０＋２２＝４２，故Ａ错误．Ｓ２０２３＝Ｔ２０２２＝Ｔ２０２４－（ｂ２０２４＋ｂ２０２３）＝０－（４４＋４３）＝－８７，故Ｂ正确．ａ８所在点的坐标为（０，１），当ｎ＝１时，则ａ８ｎ＝㊀㊀㊀解题技巧与方法１４９㊀㊀ａ８＝０＋１＝１ʂ２，故Ｃ错误．Ｓ４ｎ＋５ｎ＋１＝Ｔ４ｎ＋５ｎ＝Ｔ４ｎ＋５ｎ－Ｔ４ｎ＋４ｎ＝ｂ４ｎ＋４ｎ＋１＋ｂ４ｎ＋４ｎ＋２＋＋ｂ４ｎ＋５ｎ，对应点的坐标为（ｎ＋１，ｎ），（ｎ＋１，ｎ－１），，（ｎ＋１，１），所以Ｓ４ｎ＋５ｎ＋１＝Ｔ４ｎ＋５ｎ＝（ｎ＋１＋ｎ）＋（ｎ＋１＋ｎ－１）＋＋（ｎ＋１＋１）＝（２ｎ＋１）＋２ｎ＋＋（ｎ＋２）＝（２ｎ＋１＋ｎ＋２）ｎ２＝３ｎ（ｎ＋１）２，故Ｄ正确．综上，正确答案为ＢＤ．点评㊀本题以图形及数列的求和为背景，观察图形，利用对称性进行代数运算，可求解选项Ａ，Ｂ，Ｃ．对于选项Ｄ，考虑已知的前ｎ项和与所求的关系，结合图形，可适当先列举找到规律，再求解．结合根据题干所给的图形的特点利用代数运算求解问题，这一过程体现了数形结合中以数解形的思想．例５㊀已知数列｛ａｎ｝，满足ａｎ＋１＝ｋ（ａｎ－ａ２ｎ）．若ａ１＝１２，ｋ＝１，则ａｎ＋１ａｎ{}的最小值是，若ａ１＝２，且存在常数Ｍ＞０，使得任意ａｎɤＭ，则ｋ的取值范围是．分析㊀当ａ１＝１２，ｋ＝１时，利用ｙ＝ｘ－ｘ２的图像和直线斜率的定义可求得ａｎ＋１ａｎ的最小值；当ａ１＝２时，利用ｙ＝ｋ（ｘ－ｘ２）的图像再结合题设条件可列出关于实数ｋ的不等式组，解之即可求得实数ｋ的取值范围．解析㊀令ｘ＝ａｎ，ｙ＝ａｎ＋１，ａｎ＋１ａｎ表示点（ａｎ，ａｎ＋１）与原点连线的斜率．当ｋ＝１时，ｙ＝ｘ－ｘ２，又ａ１＝１２，则ａ２＝１４，ａｎɪ０，１２æèçùûúú且递减，㊀图５如图５，由二次函数图像的性质可知ｙ＝ｘ－ｘ２在０，１２æèçùûúú上单调递增，所以（ａ１，ａ２）为ｙ＝ｘ－ｘ２，ｘɪ０，１２æèçùûúú的最高点，则ａ２ａ１最小，所以ａｎ＋１ａｎ{}的最小值为ａ１－ａ２１ａ１＝１２．当ｋ＝０时，ａｎ＋１＝０，又ａ１＝２，任意ａｎɤ２恒成立，符合题意；当ｋʂ０时，由ａ１＝２，且任意ａｎɤＭ得Ｍȡ２．结合ｙ＝ｋ（ｘ－ｘ２）的图像（如图６）可得，ｋ４ɤＭ，ｋ（Ｍ－Ｍ２）ɤＭ，ìîíïïï即ｋɤ４Ｍ，ｋɤ１Ｍ－１，{图６又４Ｍ＞１Ｍ－１（Ｍȡ２），则ｋɤ１Ｍ－１ɤ１，即－１ɤｋɤ１，ｋʂ０．故ｋ的取值范围是－１ɤｋɤ１．故答案为：１２；［－１，１］．点评㊀解本题的过程中，解题者根据题意作出相关函数的图像，再结合图像的特点进行代数运算，使问题得解，这一过程体现了数形结合中以数解形的思想．结㊀语作为教师，不仅要教会学生解题方法，还要教会学生解题的思想．数形结合是一种重要的数学思想，其将数与形紧密联系在一起，应用数形结合思想解题时，既可以以形助数，又可以以数解形．教师应该在解题教学中渗透数学结合思想，帮助学生梳理题目的框架与解题的思路，从而提升学生的解题能力．ʌ参考文献ɔ［１］陈元斌．数形结合思想在高中数学教学中的应用与分析［Ｊ］．数理天地（高中版），２０２３（２３）：６６－６８．［２］张东林．数形结合思想在中学数学的应用［Ｊ］．中学数学，２０１２（８）：８４－８５．［３］曹莹，李鸿昌．一道数列最值问题的解法探究［Ｊ］．高中数学教与学，２０１９（１９）：１５－１６．。

高中数学数列知识点总结(优秀3篇)

高中数学数列知识点总结（优秀3篇）科学是一种以实证为基础，追求真理和解决问题的方法论，它致力于揭示客观规律和产生创新。

哲学是一种以思辨为基础，追求人类意义和价值的方法论，它致力于探究人类的本质和存在。

为您精心收集了3篇《高中数学数列知识点总结》，亲的肯定与分享是对我们最大的鼓励。

高中数学数列知识点总结篇一数列的相关概念1.数列概念①数列是一种特殊的函数。

其特殊性主要表现在其定义域和值域上。

数列可以看作一个定义域为正整数集N或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法；b。

图像法；c.解析法。

其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

等差数列1.等差数列通项公式an=a1+(n-1)dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b2.等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。

这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。

有关系：A=(a+b)÷23.前n项和倒序相加法推导前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n个)=n(a1+an)∴Sn=n(a1+an)÷2等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)亦可得a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷nan=2sn÷n-a1有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+14.等差数列性质一、任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。

第四章数列(单元解读)(人教A版2019选择性必修第二册)

约2课时约4课时约4课时约2课时约2课时
四、本章知识网络
五、本章重点
数列的概念是研究数列的基础，因此是本章教学的重点. 此外，等差数列、等比数列是两种 “最基本”的数列，对它们的概念、取值规律与应用的研究，将为学生今后进一步学习其他类型的数列打下基础，因此等差数列、等比数列的概念、性质与应用也是本章的重点内容.
十一、本章知识梳理
4.项的个数的“奇偶”性质： (1)若等差数列的项数为 2n，则 S 偶－S 奇＝nd，SS偶奇＝aan＋n 1. (2)若等差数列的项数为 2n－1，则 S 奇－S 偶＝an，SS奇偶＝n－n 1(S 奇＝nan，S 偶＝(n－1)an). 5.已知等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，则abnn＝TS22nn－－11，abmn＝ 2n－1 S2m－1 2m－1·T2n－1.
十一、本章知识梳理
等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中，
an≥0，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组__a_n_＋_1≤__0__ 确定；
an≤0，当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取得最值的n可由不等式组__a_n_＋_1≥__0__ 确定.
人教版高中数学选择性必修二
第四章《数列》单元解读
一、总体设计
数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他函数的基本工具，在日常生活中也有着广泛的应用。
本章通过对具体例子的分析，抽象出了数列的概念，通过数学运算、逻辑推理等研究了两类特殊的数列——等差数列和等比数列的取值规律，并运用它们解决了一些问题。因为数列是一类特殊的函数，所以本章注重函数思想和方法的应用。

例谈课本习题中的数学思想

中，Ｃ＝底面周长的一半＝Ｂ
ｌｃ ’．ＡＣ＝Ｏｍ．．＝
可
＝
一１．７０７
（ｍ）勾股定理）ｃ（．答：短路程约为１．７ｍ最０７ｃ．即原处还有尺的竹子．
ＨＧ
变式１做一个长，，宽
变式２（７１Ｐ５题１改
３方程思想
ｃｍ
图１
分析
蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如
果将这半个侧面展开（如下图）得到矩形ＡＣ根据，ＢＤ，
“ 两点之间，段最短 ” 所求的最短路程就是侧面展开线，
图矩形对角线ＡＣ之长．解如图２在ＲＡＡＣ，ｔＢ
图５
本题主要算出木箱（长方体）对角线ＡＧ的长
ＡＡＥ折叠，点Ｄ恰好落在边ＢＤ使Ｃ上一点Ｆ处，且
ＡＡＦ的面积是３ｅ求此时ＥＢ０ｒ．ａＦ的长．
度，在直角三角形ＡＧ中容易算出Ｃ
ＡＧ＝、＝＝ｅ５￣＇ｏｏ，～
我们称之为 “ 图” 利用这个弦，
“ 图” 你能验证：＋ｂ弦，口２＝ｃ２吗？把你的验证过程写下来，并与同伴进行交流．、分析
出其两条直角边口ｂ则ｓ删即可求出，，，但这样求口ｂ，
图６非常繁杂，至在现阶段不可能，甚如果注意到Ｓ＝
又Ｓ方ｃ，正形
根据勾股定理，ｂ＝口＋ｃ，

解数列的十种思想

解数列的十种思想数列是高中数学的重要内容之一，又是高考数学的重点，由于数列涉及到的运算多，技巧性强，如果没有一些数学思想与方法引领，，学生容易进入繁难的运算中，甚至半途而废，本文结合一些高考题，或一些模拟题浅谈几种解数列的思想方法，供大家参考。

一、递推思想用递推关系解题的思想方法叫递推思想。

主要有递推求和、递推求积及反向递推法。

用递推关系求数列的通项公式问题是数列的一种重要内容，它能使繁琐的问题简化并一般化。

类型一：1()n n a a f n +-= 方法：叠加法（或累加法）取1,2,3,4,n =，得n-1个式子，21321(1),(2),,a (1)n n a a f a a f a f n --=-=-=-且(1)(2)(1)f f f n +++-可求得时，两边累加得通项n a例1已知数列{}n a 满足1111,3(2)n n n a a a n --==+≥，求证：1(31)2nn a =- 证明：由已知得2,3,4,n =23121324313,3,3,,3n n n a a a a a a a a --=+=+=+=+将这n-1个式子相加得23113333(2)n n a a n -=+++++≥113(13)13n a --=+- 3311(31)222n n =-+=-而11a =，也满足上式。

故1(31)2n n a =-，（n N *∈）类型二：1()n na f n a += 方法：叠乘法（或累乘法）取1,2,3,4,n =，得n-1个式子，3212(1),(2),,a a f f a a ==1(1)nn a f n a -=-，(1)(2)(1)f f f n -将这n-1个式子相乘得n a例2已知数列{}n a 满足11a = ，12n n a na n +=+，求数列{}n a 的通项公式解：取1,2,3,4,n =得n-1个式子，32121121,,,341n n a a a n a a a n --===+将这n-1个式子相乘得3241231123213451n n a a a a n n a a a a n n ---=+，112(1)n a a n n =+，2(1)n a n n =+(2)n ≥而11a =，也满足上式。

高中数学数列说课稿

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例谈运用数学思想方法调控思维

ｘＸＸ
ｘ２＿ｘ．０
叫】
｛２ｓｘ～。２￣ｘ６ｃ・＝ｏｘ
Ｉ２ｃｘｎ— ｏｓ＋
—
解法２利用三角甬数和差化积。：
１３＋
２ｃｏｓ＋ｘ１— ＿３
．
—— 一
解法２：式：ｉ原ｌｍ！
。
例：０）极［１）１４２４限１（＊］（０求ｘ莩－。Ｊ
ｘ２ＣＯＳＸｌ＋ｎ—
（明年份的例题为该年的全国研究生入学考试数学试题）注
ｉ — ＋ｏｓｘｎ２ｃ
—
解法１：一 ∞时ｓ１１当ｘｉｎ（十三）１１３）３ｎ～ｎ（＋一 —
３ｘ
二ｌ：ｉｍ一
－＋０ｘ
２
ｌｎ
兰
ｌ＋
ｌ（＋）１三）１（＋
：
ｌ１二）ｎ（＋！！
ｌｒｉａ … —— —
。ｘ
原式：ｉ２ｓ～ — ｃｓｌｘｉｍｎ０～一一一
ｌｍ２ｓｎ一１ｉｘｉ一
整体思想的调控在教学中教师指导学生对某些问题把握全局．通盘考虑整体筹划，整体思想看问题，眼于问题的全过程，克服用着可
、
“ 见树木，见森林 ” 思维定势，使问题的解决。只不的促
例１计算９ …９９ …９１９：９ｘ９＋ …９９
、・－－—－－－－～、－－－ —一－－－－

例谈数列中函数思想的应用

参考文献 [1]李雪明，陈斌．空间点的射影定位的探讨[J]．数学教学，2005（9）： 2
例谈数列中函数思想的应用
朱水英浙江省诸暨市第二高级中学（311800）
数列一直以来都是高考的重点内容．数列这一块内容的教学对于教师来说是比较有体系的，一道例题适当改动就可以派生很多小题，什么题型对应什么方法都是很有规律可循的．虽然教师讲得起劲，但是学生掌握得并不怎么好，因为学生在接受新知识新内容时会存在一定的困难，题型方法越多越容易混淆．所以作为教师在教学过程中不仅要交给学生解题的通法，而且最好能在学生已有的认知领域内挖掘数列这一块内容与其它章节的关系，往往能有意想不到的效果．
n ∈ N+ ， n ≤ 10 ， 4 < 22 < 5 ，所以最小项在 a4 和 a5
中找，最大项在 a1 和 a10 中找．
方法 2
an+1 − an
=
n +1+ 22 − n − 22 n+1 n
=
n2 + n − 22 ， n(n +1)
而 n ∈ N+ ，则 n(n +1) > 0 ，易得 n ≤ 4 时， an+1 − an < 0 ， n ≥ 5 时， an+1 − an > 0 ，即 a1 > a2 > a3 > a4 ，
2 数列的最值
案例
2
已知 an
= n +
22 n
(n
∈
N
+，n
≤
10)
，求数列
{an} 的最大项和最小项．
分析求数列的最值常用的方法是研究数列{an}
的单调性．

题目：初中数学模型思想有哪些？通过具体实例分别说明通过...

题目：初中数学模型思想有哪些？通过具体实例分别说明通过数学模型思想解决数学问题？答：初中数学模型思想主要有以下几种;（1）方程模型思想（2）不等式模型思想（3）函数模型思想第一、方程模型思想的应用新的课程标准提出，义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面而持续、和谐地发展，不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题构成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力，情感、态度，价值观方面得到进步和发展。

教材为学生的学习活动提供基本线索，是实现课程目标、实施教学的重要资源。

因此，教师应该重新认识教材的功能，明确教材只是达到目的的材料，教学时应该根据教材提供的丰富教学资源进行再创造，而不是照本宣科成为教材的机械执行者。

利用方程解决实际问题，从一个侧面体现了数学与现实世界的联系，体现了数学的建模思想。

在新课标下的数学(七)上教材以模型思想为主线，从实际问题引出方程，以方程解决实际问题编写了方程这块内容，给人以耳目一新的感觉。

它不但让学生体验到了方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，深刻认识到方程与现实世界的密切关系，感受数学的价值；同时，也给任课教师带来了挑战。

下面就自己的课堂教学谈谈如何利用方程模型进行创造性教学。

一、利用熟悉的数学问题，使学生认识建立方程模型,从而运用方程模型思想：3个连续自然数的和是24，你能求出这3个自然数吗？此问题绝大部分同学会马上说出他们的答案(理由：中间的自然数是24÷3＝8，所以这3个连续自然数分别是7，8，9)，而少数学生还在埋头计算。

此时，教师给予肯定的同时，又给学生提出新的问题，使学生真正体会建立方程模型的必要性。

从学生较为满意的表情上可以看出，他们希望能够迎接新的挑战。

这时出示问题二：教科书第91页例3.有一列数，按一定规律排列成1，-3，9，-27，81，-243…其中，某3个相邻数的和是-1701，这3个数各是多少？学生尝试用解决问题一的方法，却一再碰壁，此时，教师引导学生如何通过方程模型来解决数列的问题。