最新精品高考数学试题+模拟新题分类汇编(数学理)C 三角函数

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三角函数(教师版)--2020-2023高考真题数学专题分类汇编

专题五三角函数--2020-2023高考真题数学专题分类汇编真题卷题号考点考向2023新课标1卷8三角恒等变换给值求值15三角函数的性质及应用余弦型函数的零点问题2023新课标2卷7三角恒等变换给值求值16三角函数的图象与性质由部分图象求解析式、求函数值2022新高考1卷6三角函数的性质及应用求三角函数的解析式、求函数值2022新高考2卷6三角恒等变换三角求值9三角函数的图象与性质求三角函数的单调区间、对称轴、极值点、求切线方程2021新高考1卷4三角函数的性质及应用求三角函数的单调区间2021新高考2卷6三角恒等变换给值求值2020新高考1卷10三角函数的图象与性质由图象求三角函数的解析式15三角函数的应用三角函数解决实际问题2020新高考2卷11三角函数的图象与性质由图象求三角函数的解析式16三角函数的应用三角函数解决实际问题【2023年真题】1.（2023·新课标I卷第8题）已知1sin()3αβ-=，1cos sin6αβ=，则cos(22)αβ+=()A.79 B.19 C.19- D.79-【解析】本题考查两角和与差的正弦公式以及二倍角公式，属于中档题.利用两角和与差的正弦公式先求出sin cos αβ的值，从而可以得到sin()αβ+的值，再结合二倍角的余弦公式即可得出结果.解：因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，则1sin cos .2αβ=故112sin()sin cos cos sin .263αβαβαβ+=+=+=即2221cos(22)12sin ()12(.39αβαβ+=-+=-⨯=故选B.2.（2023·新课标II 卷第7题）已知α为锐角，15cos 4α+=，则sin 2α=()A.358- B.158-+ C.354- D.154-【答案】D 【解析】【分析】本题考查倍角公式，属于基础题．观察题干，发现未知角为已知角的一半，考虑倍角公式，即可得证.【解答】解：221511cos 36114sin ()sin 222816424ααα+----=====⇒=故选：.D 3.（2023·新课标I 卷第15题）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是__________.【答案】[2,3).【解析】【分析】本题考查了余弦型函数的零点问题，属中档题.解：令()cos 10f x x ω=-=，得cos 1x ω=，又[0,2]x π∈，则[0,2]x ωωπ∈，所以426πωππ<，得2 3.ω<故答案为：[2,3).4.（2023·新课标II 卷第16题）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若||6AB π=，则()f π=.【答案】32-【解析】【分析】主要考查了函数sin()y A x ωϕ=+的性质与图象，诱导公式等，属于一般题.根据AB 的长度求出.ω函数图象过点2(,0)3π，求.ϕ诱导公式得到答案.【解答】解：设相邻的两个交点A ，B 的横坐标为1 t ，2 t ，则21 - 6t t π=又1sin()2x ωϕ+=，522,.0,66x k k k Z k ππωϕππ+=++∈=或当时16t πωϕ+=，256t πωϕ+=，212( - )3t t πω=，故 4.ω=函数图象过点2(,0)3π，8sin ()03πϕ+=，故8 ,.3k k Z πϕπ=-∈2k =时满足图片条件，故2.3πϕ=-23()sin(4.32f πππ=-=-【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷第6题）记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为.T 若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，则(2f π=()A.1 B.32C.52D.3【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查三角函数的周期性和对称性，属于中档题.根据周期范围，确定ω范围，再根据对称中心确定21(34k ω=-，k Z ∈，二者结合可得结果.【解答】解：由题可知：22(,)3T πππω=∈，所以(2,3).ω∈又因为()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，所以2b =，且33()sin() 2.224f b πππω=⨯++=所以21(34k ω=-，k Z ∈，所以5.2ω=所以5()sin( 2.24f x x π=++所以() 1.2f π=6.（2022·新高考II 卷第6题）若sin()cos())sin 4παβαβαβ+++=+，则()A.tan()1αβ+=-B.tan()1αβ+=C.tan()1αβ-=-D.tan()1αβ-=【答案】C 【解析】【分析】本题考查三角恒等变换的应用法一：利用特殊值法，排除错误选项即可法二，利用三角恒等变换，求出正确选项【解答】解：解法一：设0β=则sin cos 0αα+=，取34απ=，排除B ，D 再取0α=则sin cos 2sin βββ+=，取4πβ=，排除;A 选.C解法二：由sin()cos())]44ππαβαβαβαβ+++=++=++)cos44ππαβαβ=+++，cos )sin 44ππαβαβ+=+故sin()cos cos()sin 044ππαβαβ+-+=，即sin()04παβ+-=，故22sin(sin()cos()0422παβαβαβ-+=-+-=，故sin()cos()αβαβ-=--，故tan() 1.αβ-=-7.（2022·新高考II 卷第9题）（多选）已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象关于点2(,0)3π对称，则()A.()f x 在5(0,12π单调递减B.()f x 在11(,)1212ππ-有两个极值点C.直线76x π=是曲线()y f x =的一条对称轴D.直线2y x =-是曲线()y f x =的一条切线【答案】AD 【解析】【分析】本题考查三角函数的图象与性质，三角函数的单调性、三角函数的对称轴与对称中心，函数的极值，切线方程的求解，属于中档题.【解答】解：由题意得：24()sin()033f ππϕ=+=，所以43k πϕπ+=，即43k πϕπ=-+，k Z ∈，又0ϕπ<<，所以2k =时，23πϕ=，故2()sin(2).3f x x π=+选项5:(0,)12A x π∈时，2232(,)332x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在5(0,)12π单调递减;选项11:(,1212B x ππ∈-时，252(,)322x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在11(,1212ππ-有1个极值点;选项:C 由于，故直线76x π=不是()f x 的对称轴;选项:D 令，得21cos(2)32x π+=-，解得222233x k πππ+=+或242233x k πππ+=+，k Z ∈，从而得x k π=或3x k ππ=+，k Z ∈，令0k =，则是斜率为1-的直线与曲线的切点，从而切线方程为3(0)2y x -=--，即3.2y x =-【2021年真题】8.（2021·新高考I 卷第4题）下列区间中，函数()7sin ()6f x x π=-单调递增的区间是()A.0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】本题考查正弦型函数的单调递增区间，属于基础题.由正弦函数图象和性质可知，得()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，分析选项可得答案.【解答】解：由22262k x k πππππ-+-+，得222,33k xk k Z ππππ-++∈，所以()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，一个单调递增区间为2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知20,,233πππ⎛⎫⎡⎤⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：.A 9.（2021·新高考I 卷第6题）若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+()A.65-B.25-C.25 D.65【答案】C 【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，涉及同角三角函数的关系、二倍角公式，属于中档题.利用同角三角函数关系、二倍角公式将其化简为2sin sin cos θθθ+后，添加分母1，转化为齐次式，再分子分母同除2cos θ即可.【解答】解：原式22sin (sin cos 2sin cos )sin cos θθθθθθθ++=+22sin (sin cos )sin sin cos sin cos θθθθθθθθ+==++22222sin sin cos tan tan 422sin cos tan 1415θθθθθθθθ++-====+++，故选：.C 【2020年真题】10.（2020·新高考I 卷第10题、II 卷第11题）（多选）如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则()sin x ωϕ+()A.sin ()3x π+ B.sin (2)3x π- C.cos (2)6x π+D.5cos (2)6x π-【答案】BC 【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图象，考查逻辑推理能力，属于中档题.借助图象分别求出,ωϕ，结合诱导公式即可判断.【解答】解：由图象可知222()||36T ππππω==-=，故A 错误;解得2ω=±，点5(,1)12π-在函数图象上，当2ω=时，522,k Z 122k ππϕπ⨯+=-+∈，解得42,k Z 3k πϕπ=-+∈，故44sin 2sin 2sin 2333y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2ω=-时，522,k Z 122k ππϕπ-⨯+=-+∈解得2,k Z 3k πϕπ=+∈，故函数解析式为sin 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，又cos 2sin 2sin 26263x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选.BC11.（2020·新高考I 卷第15题、II 卷第16题）)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3tan 5ODC ∠=，//BH DG ，12EF cm =，2DE cm =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为__________2.cm 【答案】542π+【解析】【分析】本题考查平面图形中的边角关系，扇形的面积公式，是困难题.设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，由题中长度关系易得45AGD ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，即可得到OL 和DL 的长度，根据3tan 5ODC ∠=可得到22x =12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形求解即可.【解答】解：设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，记扇形OAB 的面积为S 扇形，由题中的长度关系易知45AGD ︒∠=，所以45AHO ︒∠=，又90OAH ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，可得22OJ AJ x ==，252OL JK x ==-，72DL DK LK DK OJ x=-=-=-，3tan 5OL ODC DL ∠==，2532522x -=，解得x =，12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形222131154()24222cm πππ=⨯⨯+⨯-=+，故答案为54.2π+。

高考数学模拟试卷复习试题三角函数和解三角形002

高考数学模拟试卷复习试题三角函数和解三角形三角函数的图象及三角函数模型的简单应用一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1. 设振幅、相位、初相为方程sin()(0)y A x b A ωϕ=++>的基本量，则方程3sin(21)+4y x =-的基本量之和为（）A ．4B ．23x +C ．8D ．21x +2. 【南昌二中—度上学期第三次考试，理8】设函数()()()ϕωϕω+++=x x x f cos sin (0,)2πωφ><的最小正周期为π，且()()x f x f =-，则（）．A ．()(0,)2f x π在单调递减 B ．()x f 在3(,)44ππ单调递减 C ．()(0,)2f x π在单调递增 D ．()x f 在3(,)44ππ单调递增3.【开封市高三上学期定位考试模拟试题.理8】已知函数()()()cos sin 20f x x x ϕϕπ=-+，有一个零点为13π，则ϕ的值是（）A.6π B.3π C.4π D.2π 4.【河南许昌平顶山新乡三市10月高三第一次调研考试，理9】已知函数()()()πϕωϕω<>>+=,0,0sin A x A x f ，其导函数()x f '的部分图象如图所示，则函数()x f 的解析式为A 、()⎪⎭⎫⎝⎛+=421sin 2πx x fB 、()⎪⎭⎫⎝⎛+=421sin 4πx x fC 、()⎪⎭⎫⎝⎛+=4sin 2πx x f D 、()⎪⎭⎫⎝⎛+=4321sin 4πx x f5. 【吉林市普通高中 — 度高三毕业年级摸底考试，理6】将函数() 2sin +36x f x π⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到函数 g( x) 的图象，则 g( x) 的解析式为( ) A. () 2sin +134x g x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．() 2sin 134x g x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ C ．() 2sin 1312x g x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭D ．() 2sin 1312x g x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭6.【改编题】函数=2sin()(0<<)4y x πϕϕπ-的部分图象如右图所示，则()OA OB AB +⋅=（）A ．6B ．4C ．—4D ．—67.【冀州中学高三上学期第一次月考，理9】若函数()2sin f x x ω=(0)ω>的图像在(0,2)π上恰有一个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是（） A ．3(,1]4 B ．5(1,]4 C ．34(,]45 D ．35(,]448.【孝感高中高三十月阶段性考试，理7】已知函数x x x f cos sin )(λ+=的图象的一个对称中心是点)0,3(π，则函数()g x ＝x x x 2sin cos sin +λ的图象的一条对称轴是直线（） A ．65π=x B ．34π=x C ．3π=x D ．3π-=x9. 【原创题】将函数x y 2cos =的图象向右平移6π个单位长后与直线)0(1≠-=m m y 相交，记图象在y轴右侧的第)N (*∈n n 个交点的横坐标为n a ，若数列}{n a 为等差数列，则所有m 的可能值为（）A. 1±B.2±C.1 或2D.1- 或2 10.【改编题】把曲线1C ：()()sin 0y x ωω=>向右平移6π个单位后得到曲线2C ，若曲线2C 的所有对称中心与曲线1C 的所有对称中心重合，则ω的最小值为（）xyOBA21A ．1B ．3C ．4D ．611．【河南八校上学期第一次联考，理5】函数3cos sin ()y x x x R =+∈ 的图像向左平移m （m>0）个长度单位后，所得到的图像关于原点对称，则m 的最小值是( ) A ．12π B. 6πC.3πD. 23π 12．【重点中学高三上学期第三次月考，理8】已知点(),a b 在圆221x y +=上，则函数()2cos sin cos 12af x a x b x x =+--的最小正周期和最小值分别为（） A ． 32,2π- B ． 3,2π- C ． 5,2π- D ． 52,2π-二、填空题13. 函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f(π3)的值为．14. 【高考江苏卷第5题】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是. 15. 【河南许昌平顶山新乡三市10月高三第一次调研考试，理16】设函数()()m x x g x x f +=+=2cos 2,2sin 1，若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,00πx ，()()00x g x f ≥，则实数m 的取值范围是______.16. 【原创题】给出以下三个命题： ①若1sin()34πα-=,则7cos(2)38πα+=； ②设函数()3)cos(2)f x x x ϕϕ=+++(||)2πϕ<，且其图像关于直线0x =对称，则()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数；x y O 11π12π6 ·2－2③在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为12．其中真命题的序号是（请写出所有真命题的序号）三、解答题17. 【南昌二中—度上学期第三次考试，理16】（本小题满分12分）已知)(1cos 2cos sin 32)(2R x x x x x f ∈-+=（I ）求函数)(x f 的最小正周期及在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值和最小值；（II ）若56)(0=x f ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,40ππx ，求)62cos(0π+x 的值. 18. 【改编题】已知函数()()sin f x A x ωϕ=+()()0,0,0,A ωϕπ>>∈的图像如图所示．（1）()f x 的函数解析式；（2）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，若222a b c ab +-=，且π2()212A f +=．求sin B ．19. 【安溪一中、德化一中高三9月摸底考试，理16】（本小题满分13分）已知函数()()f x x ()sin =+>≤≤ωϕωϕπ00，为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π. （Ⅰ）求函数f x ()的表达式.（Ⅱ）若sin ()αα+=f 23，求22411sin tan απα-⎛⎝ ⎫⎭⎪++的值.20. 【沈阳市东北育才学校高三上学期第一次模拟考试，理18】（本小题满分12分）已知向量1(cos ,),,cos 2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求)(x f 的单调递增区间；(Ⅱ) 求)(x f 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，，（2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s= （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2（12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

高考数学模拟题汇编《三角函数》专项练习题-带答案

高考数学模拟题汇编《三角函数》专项练习题-带答案1.（2024·天津和平区·高三上期末）已知函数()sin (0)f x x ωω=> 函数()f x 图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为π2 将()f x 图象上所有的点向左平移π4个单位长度再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到的图象所表示的函数为（） A. ()πsin 24h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()1πsin 24h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. ()πsin 24h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. ()cos2h x x = 2.（2024·天津和平耀华中学·高三上期末）已知函数()()()cos 210,0πf x A x A ϕϕ=+-><< 若函数()y f x =的部分图象如图所示函数()()sin g x A Ax ϕ=- 则下列结论正确的个数有（）①将函数()1y f x =+的图象向左平移π12个单位长度可得到函数()g x 的图象 ②函数()y g x =的图象关于点π,06⎛⎫-⎪⎝⎭对称 ③函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦④若函数()()0g x θθ+≥为偶函数则θ的最小值为7π12． A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个3.（2024·天津河北区·高三上期末）函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π 将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位后得到()y g x =的图象则下列命题中不正确．．．的是( ) A. 函数()y g x =图象的两条相邻对称轴之间距离为2π B. 函数()y g x =图象关于1112π=x 对称C. 函数()y g x =图像关于7(,0)24π对称 D. 函数()y g x =在5(0,)12π内单调减函数.4.（2024·天津河东区·高三上期末）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示.有下列四个结论：①3πϕ=﹔①()f x 在7,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 ①()f x 的最小正周期T π= ①()f x 的图象的一条对称轴为3x π=.其中正确的结论有( )A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①5.（2024·天津河西区·高三上期末）将函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图像向左平移π3个单位得到函数()y g x =的图像若函数(y g x =）的一个极值点是π6 且在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增则ω的值为（）A.23B.43C.83D.1636.（2024·天津红桥区·高三上期末）已知函数()cos sin (0)f x a x b x ωωω=+>在π6x =处取得最大值2 ()f x 的最小正周期为π 则ω=______ ()f x 在π[0,]2上的单调递减区间是______.7.（2024·天津南开区·高三上期末）设函数()()3sin (0,π)f x x ωϕωϕ-><.若π5π0,388f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()f x 的最小正周期大于2π 则（）A.17π,312ωϕ==-. B. 111π,324ωϕ== C. 2π,312ωϕ==- D. 211π,312ωϕ== 8.（2024·天津宁河区·高三上期末）已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于π12x =-对称它的最小正周期为π 关于该函数有下面四个说法： ①()f x 的图象过点π,012⎛⎫⎪⎝⎭ ②()f x 在区间5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 ()f x 的取值范围为33⎡⎢⎣⎦④把函数sin 2y x =的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度可得到()f x 的图象．以上四个说法中正确的个数为（） A. 1B. 2C. 3D. 49.（2024·天津五所重点校·高三上期末）已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭ 其图象相邻两个对称中心之间的距离为π4且直线π12x =-是其一条对称轴则下列结论正确的是（）A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 在区间ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C. 点5π,024⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D. 将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变再把得到的图象向左平移π6个单位长度可得到一个奇函数的图象10.（2024·天津西青区·高三上期末）将函数sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象沿x 轴向左平移8π个单位后得到一个偶函数的图象则ϕ的取值不可能是（） A. 34π-B. 4π-C.4π D.54π 11.（2024·天津八校联考·高三上期末）已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的对称中心到对称轴的最小距离为π4将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后所得图象关于y 轴对称且()()12max 1f x f x -=关于函数()f x 有下列四种说法： ①π6x =是()f x 的一个对称轴 ②π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 ③()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 ④若()()120f x f x == 则12π2k x x -= ()k ∈Z ．以上四个说法中正确的个数为（） A. 1B. 2C. 3D. 412.（2024·天津塘沽一中·高三上期末）已知函数())3cos cos f x x x x =+.下列结论错误．．的是（） A. ()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭ B. π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最大值 C. ()f x 在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. 把函数cos 2y x =的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度后再向上平移12个单位长度可得到()f x 的图象.13.（2024·天津部分区·高三上期末）将函数()sin 2f x x =的图象向左平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象则()g x 所具有的性质是（） A. 图象关于直线π6x =对称 B. 图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C. ()g x 的一个单调递增区间为ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 曲线()y g x =与直线32y =的所有交点中相邻交点距离的最小值为π6答案：1.（2024·天津和平区·高三上期末）已知函数()sin (0)f x x ωω=> 函数()f x 图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为π2 将()f x 图象上所有的点向左平移π4个单位长度再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到的图象所表示的函数为（） A. ()πsin 24h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B. ()1πsin 24h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C. ()πsin 24h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D. ()cos2h x x =【答案】A 【详解】由题意得π42T = 22T ππω== 则1ω= 所以()sin f x x = 则将()f x 图象上所有的点向左平移π4个单位长度变为()πsin 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到的图象所表示的函数为()πsin 24h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A.2.（2024·天津和平耀华中学·高三上期末）已知函数()()()cos 210,0πf x A x A ϕϕ=+-><< 若函数()y f x =的部分图象如图所示函数()()sin g x A Ax ϕ=- 则下列结论正确的个数有（）①将函数()1y f x =+的图象向左平移π12个单位长度可得到函数()g x 的图象 ②函数()y g x =的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 ③函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦④若函数()()0g x θθ+≥为偶函数则θ的最小值为7π12． A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【详解】因为1311A A --=-⎧⎨-=⎩ 所以2A = 所以()()2cos 21f x x ϕ=+-．又因为()02cos 12f ϕ=-= 得3cos 2ϕ=（舍）或1cos 2ϕ=- 因为0πϕ<< 可得23ϕπ=所以()2π2cos 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ()2π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭函数()1y f x =+的图象向左平移π12个单位长度得到 ()π2π2π3π2π2cos 22cos 22sin 263323y x x x g x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故A 正确对于B 令2π2π,3x k k -=∈Z 解得ππ,32k x k =+∈Z 所以()g x 关于点()ππ,023k k ⎛⎫⎪⎝⎭+∈Z 对称当1k =-时对称点为π,06⎛⎫-⎪⎝⎭故B 正确对于C π32g ⎛⎫=⎪⎝⎭ π03g ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππ23g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故C 错误对于D 函数()()0g x θθ+≥为偶函数即()2π2sin 223g x x θθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭为偶函数所以2ππ2π32k θ-=+ Z k ∈ 解得7ππ122k θ=+ Z k ∈ 又0θ≥ 所以当1k =-时π12θ=为最小值故D 错误．故选：B ．3.（2024·天津河北区·高三上期末）函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π 将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位后得到()y g x =的图象则下列命题中不正确．．．的是 A. 函数()y g x =图象的两条相邻对称轴之间距离为2π B. 函数()y g x =图象关于1112π=x 对称C. 函数()y g x =图像关于7(,0)24π对称 D. 函数()y g x =在5(0,)12π内单调减函数.【答案】C 【详解】将函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位后得到()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭函数()g x 的对称中心横坐标为262x k πππ+=+ 即()62k x k Z ππ=+∈ C 选项错误故选C ．4.（2024·天津河东区·高三上期末）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示.有下列四个结论：①3πϕ=﹔①()f x 在7,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 ①()f x 的最小正周期T π= ①()f x 的图象的一条对称轴为3x π=.其中正确的结论有( )A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①【答案】A 【详解】因为()30f = 所以3sin ϕ= 由于0ϕπ<< 所以3πϕ=或23π 由于图象最高点在y轴左侧所以23ϕπ= ①不正确因为06f π⎛⎫=⎪⎝⎭所以2sin()063ππω+= 解得2,63k k ωππ+=π∈Z 64k ω=- 令1k =得2ω= 周期为π ①正确由2222,232k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z 可得,1212k x k k 7πππ-≤≤π-∈Z 令0k =可得增区间为7,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦①正确因为3x π=时 24233x ππ+=所以3x π=不是对称轴 ①不正确故选：A. 5.（2024·天津河西区·高三上期末）将函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图像向左平移π3个单位得到函数()y g x =的图像若函数(y g x =）的一个极值点是π6 且在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增则ω的值为（）A.23B.43C.83D.163【答案】A 【详解】由题意得：()ππππ2sin 2sin 3636g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦又函数(y g x =）的一个极值点是π6即π6x =是函数()g x 一条对称轴所以πππππ6362k ωω++=+ 则223k ω=+（k ∈Z ）函数 ()g x 在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增则函数()g x 的周期2πππ263T ω⎡⎤⎛⎫=>-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解得02ω<< 则0k = 23ω=故选：A. 6.（2024·天津红桥区·高三上期末）已知函数()cos sin (0)f x a x b x ωωω=+>在π6x =处取得最大值2 ()f x 的最小正周期为π 则ω=______ ()f x 在π[0,]2上的单调递减区间是______. 【答案】 ①. 2 ①. ππ[,]62【详解】依题意函数22())f x a b x ωϕ=++ 222a b + 2ππω= 解得2ω=又π()26f = 则ππ22π,Z 62k k ϕ⨯+=+∈ 即πZ π2,6k k ϕ=+∈ 因此π()2sin(2)6f x x =+ 当π[0,]2x ∈时 ππ7π(2)[,]666x +∈由ππ7π2266x ≤+≤ 解得ππ62x ≤≤ 于是()f x 在ππ[,]62上单调递减所以2ω= ()f x 在π[0,]2上的单调递减区间是ππ[,]62.故答案为：2 ππ[,]627.（2024·天津南开区·高三上期末）设函数()()3sin (0,π)f x x ωϕωϕ-><.若π5π0,388f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()f x 的最小正周期大于2π 则（）A.17π,312ωϕ==-. B. 111π,324ωϕ== C. 2π,312ωϕ==- D. 211π,312ωϕ== 【答案】C 【详解】由()f x 的最小正周期大于2π 可得π42T > 因为π5π0,388f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得5ππ3π4884=+=T 则3πT = 且0ω> 所以2π23T ω==即2()3sin 3ϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭f x x 由5π25π3sin 3838ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f 即5πsin 112ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得5ππ2π122ϕ-=+k k ∈Z 则π2π12k ϕ=-- k ∈Z 且π<ϕ 可得0k = π12ϕ=- 所以23ω=π12ϕ=-.故选：C ．8.（2024·天津宁河区·高三上期末）已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于π12x =-对称它的最小正周期为π 关于该函数有下面四个说法：①()f x 的图象过点π,012⎛⎫⎪⎝⎭ ②()f x 在区间5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 ()f x 的取值范围为33⎡⎢⎣⎦④把函数sin 2y x =的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度可得到()f x 的图象．以上四个说法中正确的个数为（） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【详解】()f x 的最小正周期为π 所以2ππω= 得2ω=由()f x 关于π12x =-对称则ππsin 1126f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以πππ,Z 62k k ϕ-+=+∈ 解得2ππ,Z 3k k ϕ=+∈ 又π2ϕ< 所以π3ϕ=- 所以()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于①：πππsin 01263f ⎛⎫⎛⎫=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①错误对于②：由5π11π1212x ≤≤得ππ3π2232x ≤-≤ 函数sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减所以()f x 在区间5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ②正确对于③：由π02x ≤≤得ππ2π2333x -≤-≤ 函数sin y x =在π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 所以()f x 的取值范围为32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦③错误对于④ 把函数sin 2y x =的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度得ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ④正确故选：B.9.（2024·天津五所重点校·高三上期末）已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭ 其图象相邻两个对称中心之间的距离为π4且直线π12x =-是其一条对称轴则下列结论正确的是（）A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 在区间ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C. 点5π,024⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D. 将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变再把得到的图象向左平移π6个单位长度可得到一个奇函数的图象【答案】C 【详解】对于A 由题意可知函数()f x 的最小正周期为ππ242T =⨯= A 错误 2π4Tω== ()()sin 4f x x ϕ=+因为直线π12x =-是函数()f x 的一条对称轴则()ππ4πZ 122k k ϕ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭得()5ππZ 6k k ϕ=+∈ 因为π2≤ϕ 则π6ϕ=- 所以 ()πsin 46f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.对B 当ππ,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时 5πππ4666x -≤-≤ 故函数()f x 在区间ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调 B 错对C()5πsin π024f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭ 故点5π,024⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 C 对对D 由题意可知 ()πππsin 2sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦不为奇函数 D 错. 故选：C. 10.（2024·天津西青区·高三上期末）将函数sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象沿x 轴向左平移8π个单位后得到一个偶函数的图象则ϕ的取值不可能是（） A. 34π-B. 4π-C.4π D.54π 【答案】B 【详解】将()1sin cos sin 2222y x x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移8π个单位后得到的图象对应的函数为1sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由题意得()42k k Z ππϕπ+=+∈ ①()4k k Z πϕπ=+∈当1,0,1k =-时 ϕ的值分别为34π-4π 54π所以ϕ的取值不可能是4π-.故选：B. 11.（2024·天津八校联考·高三上期末）已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的对称中心到对称轴的最小距离为π4将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后所得图象关于y 轴对称且()()12max 1f x f x -=关于函数()f x 有下列四种说法： ①π6x =是()f x 的一个对称轴 ②π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 ③()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 ④若()()120f x f x == 则12π2k x x -= ()k ∈Z ．以上四个说法中正确的个数为（） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【详解】根据题意由对称中心到对称轴的最小距离为π4可得1π44T = 即2ππT ω== 得2ω= 将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后可得()2πsin 23f x A x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭其图象关于y 轴对称所以()f x 偶函数则2πππ32k ϕ-+=+ Z k ∈ 解得7ππ6k ϕ=+ Z k ∈ 由π2ϕ<可知当1k =-时 π6ϕ=符合题意由()()12max 21f x f x A -==可得12A = 因此()1πsin 226f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于① 当π6x =时 π1ππ1sin 262662f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 取得最大值所以π6x =是()f x 的一个对称轴即①正确对于② 当π3x =-时 π12ππ1sin 032362f ⎛⎫⎛⎫-=-+=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以π,03⎛⎫-⎪⎝⎭不是()f x 的一个对称中心即②错误对于③ 当π20,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时可得ππ7π2,666x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 又sin y x =在π7π,66⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调所以()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调递增的所以③错误对于④ 若()()120f x f x == 由正弦函数图象性质可知两个相邻零点的距离为半个周期所以任意两个零点之间的距离为半周期的整数倍由()1πsin 226f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭周期为π可得12π2k x x -=()k ∈Z 即④正确所以正确的个数只有①和④共2个.故选：B12.（2024·天津塘沽一中·高三上期末）已知函数())3cos cos f x x x x =+.下列结论错误．．的是（） A. ()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭ B. π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最大值 C. ()f x 在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 把函数cos 2y x =的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度后再向上平移12个单位长度可得到()f x 的图象.【答案】A 【详解】由题意可得：()()3sin cos cos f x x x x =+3cos21π1sin 2262+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭x x x 对于选项A ：因为5π5ππ111sin sin π1266222⎛⎫⎛⎫=++=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f 所以()f x 的一个对称中心为5π1,122⎛⎫ ⎪⎝⎭ 故A 错误对于选项B ：πππ1π13sin sin 6362222⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f 所以π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最大值故B 正确对于选项C ：因为ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 则πππ2,622x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦ 且sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内单调递增所以()f x 在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增故C 正确对于选项D ：把函数cos 2y x =的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度后得到πππππcos 2cos 2cos 2sin 263626⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦y x x x x 的图象再向上平移12个单位长度得到()π1sin 262⎛⎫=++= ⎪⎝⎭y x f x 的图象故D 正确故选：A. 13.（2024·天津部分区·高三上期末）将函数()sin 2f x x =的图象向左平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象则()g x 所具有的性质是（）A. 图象关于直线π6x =对称B. 图象关于点5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称 C. ()g x 的一个单调递增区间为ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 曲线()y g x =与直线3y =的所有交点中相邻交点距离的最小值为π6 【答案】D 【详解】由题意()ππsin 2sin 326g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于A 133πππ33sin g ⎛⎫⎛⎫=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以图象不关于直线π6x =对称故A 错误对于B 5π5ππ1sin 022163g ⎛⎫⎛⎫=+=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以图象不关于点5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称故B 错误对于C 当ππ,123x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 2π2,ππ3t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦ 由复合函数单调性可知此时()g x 单调递减故C 错误对于D 若()23π3sin 2g x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ 则ππ22π33x k +=+或()π2π22π,Z 33x k k +=+∈ 所以曲线()y g x =与直线3y =的所有交点中相邻交点距离的最小值为2πππ3326=-.故选：D.。

高考数学分类汇编(高考真题+模拟新题)三角函数文

C 单元三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数2．[2014·全国卷] 已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－452．D [解析] 根据题意，cos α＝－4（－4）2＋32＝－45.C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1 ＝2sin π4＋1＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0 2．C [解析] 因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C. 17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cosA ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中，由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.C3 三角函数的图象与性质16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值．16．解：由三角形面积公式，得 12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2. ②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝12，所以a ＝2 3.7．[2014·福建卷] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称 7．D [解析] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位后，得到函数y ＝f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2的图像，即f (x )＝cos x ．由余弦函数的图像与性质知，f (x )是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称，关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，0(k ∈Z )对称，故选D.图125．、[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．5.π6 [解析] 将x ＝π3分别代入两个函数，得到sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或23π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又φ∈[0，π)，故φ＝π6.7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质8．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3C ．πD ．2π 8．C [解析] ∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝12，∴ωx 1＋π6＝π6＋2k 1π(k 1∈Z )或 ωx 2＋π6＝5π6＋2k 2π(k 2∈Z )，则ω(x 2－x 1)＝2π3＋2(k 2－k 1)π.又∵相邻交点距离的最小值为π3，∴ω＝2，∴T ＝π.7．[2014·安徽卷] 若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8 D.3π47．C [解析] 方法一：将f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ的图像，由所得图像关于y 轴对称，可知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，又φ>0，所以φmin＝3π8. 13．[2014·重庆卷] 将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________． 13.22[解析] 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，得到y ＝sin(2ωx ＋φ)的图像，再向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin2ωx －π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －ωπ3＋φ的图像．由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －ωπ3＋φ＝sin x ，所以2ω＝1，－ωπ3＋φ＝2k π(k ∈Z )，又－π2≤φ≤π2，所以ω＝12，φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.16．[2014·北京卷] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图像如图14所示．图14(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．16．解：(1)f (x )的最小正周期为π.x 0＝7π6，y 0＝3. (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0. 于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一：(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1 ＝2sin π4＋1＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定9．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.11．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 11．B [解析] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －23π的图像，函数单调递增，则－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，可知函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增． 14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．14．1 [解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．12．，[2014·山东卷] 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 12．π [解析] 因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .2．[2014·陕西卷] 函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π 2．B [解析] T ＝2π2＝π.4．[2014·浙江卷] 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位4．A [解析] y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，故将函数y ＝2cos 3x 的图像向右平移π12个单位可以得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，故选A.3．[2014·四川卷] 为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度3．A [解析] 由函数y ＝sin x 的图像变换得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，应该将函数y ＝sin x 图像上所有的点向左平行移动1个单位长度，故选A.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z .(2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定9．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 19．、、[2014·湖南卷] 如图14所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin2π3EC＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217. (2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277. 而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α ＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故 BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1. (2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x .因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310.18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cosA ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ，故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°.14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．14．1 [解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cosA ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中，由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.8．、[2014·四川卷] 如图13所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )图13A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m8．C [解析] 由题意可知，AC ＝60sin 30°＝120.∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，所以sin ∠ABC ＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24.在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC∠BAC，于是BC ＝120×222＋64＝240 22＋6＝120(3－1)(m)．故选C.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z .(2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 18．、[2014·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B2＋sin B cos 2A2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．18．解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×2×52＝－15. (2)由sin A cos 2B2＋sin B cos 2A2＝2sin C 可得sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A2＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又a ＋b ＋c ＝8，所以a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，所以b ＝3.C6 二倍角公式 18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1 ＝2sin π4＋1＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .14．、[2014·全国卷] 函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．14.32 [解析] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin x 2＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32，所以当sin x ＝12时函数y ＝cos 2x ＋2sin x 取得最大值，最大值为32.16．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．16.43[解析] 如图所示，根据题意知，OA ⊥PA ，OA ＝2，OP ＝10，所以PA ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OPA ＝OA PA ＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OPA 1－tan 2∠OPA ＝43，即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( ) A ．sin α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin 2α＞0 D ．cos 2α＞0 2．C [解析]因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C. 17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z .(2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.C7 三角函数的求值、化简与证明16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 5．、[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．5.π6 [解析] 将x ＝π3分别代入两个函数，得到sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或23π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又φ∈[0，π)，故φ＝π6.15．[2014·江苏卷] 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值． 15．解： (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－2 55.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2 55＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55× ⎝⎛⎭⎪⎫－2 55＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3 310.16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1. (2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x .因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310. 17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ，又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223. 由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4292＝79.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327. 21．、[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )＝π(x －cos x )－2sin x －2，g (x )＝(x －π)1－sin x 1＋sin x ＋2x π－1.证明：(1)存在唯一x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1＞π. 21．证明：(1)当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＝π＋πsin x －2cos x ＞0，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数．又f (0)＝－π－2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π22－4＞0，所以存在唯一x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使f (x 0)＝0.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，化简得g (x )＝(π－x )·cos x 1＋sin x ＋2x π－1. 令t ＝π－x 则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.记u (t )＝g (π－t )＝－t cos t 1＋sin t －2πt ＋1，则u ′(t )＝f （t ）π（1＋sin t ）. 由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )＜0；当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2时，u ′(t )＞0.所以在⎝⎛⎭⎪⎫x 0，π2上u (t )为增函数，由u ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0知，当t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫x 0，π2时，u (t )＜0，所以u (t )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫x 0，π2上无零点．在(0，x 0)上u (t )为减函数，由u (0)＝1及u (x 0)＜0知存在唯一t 0∈(0，x 0)，使u (t 0)＝0.于是存在唯一t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使u (t 0)＝0.设x 1＝π－t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则g (x 1)＝g (π－t 0)＝u (t 0)＝0.因此存在唯一的x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使g (x 1)＝0. 由于x 1＝π－t 0，t 0＜x 0，所以x 0＋x 1＞π.12．，[2014·山东卷] 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________．12．π [解析] 因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝ sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z .(2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 16．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6的值． 16．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.C8 解三角形18．[2014·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝2＋ 2. (1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值． 18．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2，化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2，故cos(A ＋B )＝－22，所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4.(2)因为S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. 16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值．16．解：由三角形面积公式，得 12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2. ②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝12，所以a ＝2 3.12．[2014·北京卷] 在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________．12．2158 [解析] 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×2×1×14＝4，即c ＝2；cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4＋4－12×2×2＝78，∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158.14．[2014·福建卷] 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．14．1 [解析] 由BC sin A ＝AC sin B ，得sin B ＝2sin 60°3＝1，即B ＝90°，所以△ABC 为以AB ，BC 为直角边的直角三角形，则AB ＝AC 2－BC 2＝22－（3）2＝1，即AB 等于1.7．、[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件7．A [解析] 设R 是三角形外切圆的半径，R ＞0，由正弦定理，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ．故选A.∵sin ≤A sin B ，∴2R sin A ≤2R sin B ，∴a ≤b .同理也可以由a ≤b 推出sin A ≤sin B .13．[2014·湖北卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a＝1，b ＝3，则B ＝________．13.π3或2π3 [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即1sinπ6＝3sin B ，解得sin B ＝32.又因为b >a ，所以B ＝π3或2π3.19．、、[2014·湖南卷] 如图14所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin2π3EC＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217. (2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277. 而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α ＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故 BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.14．、[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是______．14.6－24[解析] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则由正弦定理得a ＋2b ＝2c .故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ＝34a 2＋12b 22ab －24≥234a 2·12b 22ab －24＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2，即ab＝23时等号成立．18．、、、[2014·江苏卷] 如图16所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43. (1)求新桥BC 的长．(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？图1618．解：方法一：(1)如图所示，以O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60), C (170，0)，直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点 B 的坐标为(a ，b )，则k BC ＝b －0a －170＝－43， k AB ＝b －60a －0＝34，解得a ＝80, b ＝120，所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)．由条件知，直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切，故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d － 680|42＋32＝680－3d 5. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎪⎨680 － 3d 5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d 5最大，即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．方法二：(1)如图所示，延长 OA, CB 交于点F .因为 tan ∠FCO ＝43，所以sin ∠FCO ＝45， cos ∠FCO ＝35.因为OA ＝60，OC ＝170，所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803， CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503，从而AF ＝OF －OA ＝5003.因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝45.又因为 AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝4003，从而BC ＝CF －BF ＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r6803－d＝35，所以r ＝680－3d 5. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎪⎨680－3d 5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d 5最大，即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．5．[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A的值为( ) A ．－19 B.13 C ．1 D.725．D [解析] 由正弦定理得，原式＝2b 2－a 2a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72. 17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ，又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4292＝79.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327. 18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cosA ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ，故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°.17．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．17．解：(1)由题设及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积 S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3. 16．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图13，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.图1316．150 [解析] 在Rt △ABC 中，BC ＝100，∠CAB ＝45°，所以AC ＝100 2.在△MAC 中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，所以∠AMC ＝45°，由正弦定理有AM sin ∠MCA ＝ACsin ∠AMC ，即AM ＝sin 60°sin 45°×100 2＝1003，于是在Rt △AMN 中，有MN ＝sin 60°×1003＝150 .17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2.。

2021高考数学(文)真题(含部分模拟新题)分类汇编—C单元三角函数(含解析)

C 单元三角函数C1 角的概念及任意的三角函数14．C1，C2，C6[2021·四川卷] 设sin 2α＝－sin α，α∈π2，π，那么tan 2α的值是________．14.3 [解析] 方法一：由sin 2α＝－sin α，即2sin αc os α＝－sin α，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12，进而sin α＝32，于是tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×〔－3〕1－3＝ 3.方法二：同上得cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可得α＝2π3，所以tan 2α＝tan 4π3＝ 3.C2 同角三角函数的根本关系式与诱导公式2．C2[2021·全国卷] α是第二象限角，sin α＝513，那么cos α＝( )A ．－1213B ．－513 C.513 D.12132．A [解析] cos α＝－1－sin 2 α＝－1213.16．C2，C5[2021·广东卷] 函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)假设cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫θ－π6.16．解：14．C1，C2，C6[2021·四川卷] 设sin 2α＝－sin α，α∈π2，π，那么tan 2α的值是________．14.3 [解析] 方法一：由sin 2α＝－sin α，即2sin αcos α＝－sin α，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12，进而sin α＝32，于是tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×〔－3〕1－3＝ 3.方法二：同上得cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可得α＝2π3，所以tan 2α＝tan 4π3＝ 3.C3 三角函数的图像与性质1．C3[2021·江苏卷] 函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期为________．1．π [解析] 周期为T ＝2π2＝π.17．C3[2021·辽宁卷] 设向量a ＝(3sin x ，sin x)，b ＝(cos x ，sin x)，x ∈0，π2.(1)假设|a|＝|b|，求x 的值；(2)设函数f(x)＝a·b ，求f(x)的最大值．17．解：(1)由|a |2＝(3sin x)2＋(sin x)2＝4sin 2 x ， |b |2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1. 及|a|＝|b |，得4sin 2 x ＝1.又x ∈0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f(x)＝a·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin2x －π6＋12，当x ＝π3∈0，π2时，sin2x －π6取最大值1.所以f(x)的最大值为32.9．C3[2021·山东卷] 函数y ＝xcos x ＋sin x 的图像大致为( )图1－39．D [解析] ∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x ＋sin x)＝－f(x)，∴y ＝xcos x ＋sin x 为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B ，当x ＝π2，y ＝1>0，x ＝π，y ＝－π<0，应选D.16．C3、C5、C9[2021·新课标全国卷Ⅰ] 设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，那么cos θ＝________．16．－2 55 [解析] f(x)＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫15sin x －25cos x ，令cos α＝15，sin α＝25，那么f(x)＝5sin(x －α)．当θ－α＝2k π＋π2，即θ＝2k π＋π2＋α(上述k 为整数)时，f(x)取得最大值，此时 cos θ＝－sin α＝－2 55.C4 函数的图象与性质16．C4[2021·安徽卷] 设函数f(x)＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.(2)不画图，说明函数y ＝f(x)的图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变化得到． 16．解：(1)因为f(x)＝sin x ＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sinx ＋π6，所以当x ＋π6＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝2k π－2π3(k ∈Z )时，f(x)取得最小值－ 3.此时x 的取值集合为(2)先将y ＝sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得y ＝3sin x 的图像；再将y ＝3sin x 的图像上所有的点向左平移π6个单位，得y ＝f(x)的图像．15．C4，C5，C6，C7[2021·北京卷] 函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)假设α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f(α)＝22，求α的值．15．解：(1)因为f(x)＝(2cos 2 x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x ·sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x) ＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4，所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f(α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4.所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.9．C4[2021·全国卷] 假设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的局部图像如图1－1所示，那么ω＝( )图1－1A ．5B ．4C ．3D ．29．B [解析] 根据对称性可得π4为函数的半个周期，所以2πω＝2×π4，解得ω＝4.9．C4[2021·福建卷] 将函数f(x)＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图像．假设f(x)，g(x)的图像都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，那么φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6 C.π2 D.π69．B [解析] g(x)＝f(x －φ)＝sin[2(x －φ)＋θ]，由sin θ＝32，－π2<θ<π2，得θ＝π3，又sin(θ－2φ)＝32，结合选项，知φ的一个值为5π6，应选B. 6．C4[2021·湖北卷] 将函数y ＝3cos x ＋sin x(x ∈R )的图像向左平移m(m ＞0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，那么m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π66．B [解析] 结合选项，将函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像向左平移π6个单位得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝2cos x ，它的图像关于y 轴对称，选B.13．C4[2021·江西卷] 设f(x)＝3sin 3x ＋cos 3x ，假设对任意实数x 都有|f(x)|≤a ，那么实数a的取值范围是________．13．a ≥2 [解析] |f(x)|max ＝2，那么a ≥2.16．C4[2021·新课标全国卷Ⅱ] 函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像重合，那么φ＝________.16.5π6 [解析] 由，y ＝cos(2x ＋φ)的图像向右平移π2得到y ＝cos(2x －π＋φ)＝－cos(2x ＋φ)．y＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋56π，两个函数图像重合，故φ＝56π. 18．C4，C7[2021·山东卷] 设函数f(x)＝32－3sin 2 ωx －sin ωx cos ωx(ω>0)，且y ＝f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值．18．解：(1)f(x)＝32－3sin 2ωx －sin ωxcos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.因此－1≤f(x)≤32. 故f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.6．C4[2021·天津卷] 函数f(x)＝sin2x －π4在区间0，π2上的最小值为( )A ．－1B ．－22C.22D ．0图1－36．C4[2021·四川卷] 函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2<φ<π2的局部图像如图1－3所示，那么ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π36．A [解析] 由半周期T 2＝11π12－5π12＝π2，可知周期T ＝π，从而ω＝2，于是f(x)＝2sin(2x＋φ)．当x ＝5π12时，f ⎝⎛⎭⎫5π12＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1，于是5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，因为－π2<φ<π2，取k ＝0，得φ＝－π3. 16．F3，C4[2021·陕西卷] 向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x)，x ∈R ，设函数f(x)＝a·b . (1)求f (x)的最小正周期；(2)求f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．16．解： f(x)＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x)＝3cos xsin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cosπ6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f(x)的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f(x)取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f(0)＝－12，当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12，∴f(x)的最小值为－12.因此，f(x)在0，π2上最大值是1，最小值是－12.6．C4[2021·浙江卷] 函数f(x)＝sin xcos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2C ．2π，1D ．2π，26．A [解析] f(x)＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin2x ＋π3，那么最小正周期为π；振幅为1，所以选择A.15．C4，C5，C6，C7[2021·北京卷] 函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)假设α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f(α)＝22，求α的值．15．解：(1)因为f(x)＝(2cos 2 x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x) ＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4，所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f(α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4.所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.16．C2，C5[2021·广东卷] 函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)假设cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫θ－π6.16．解：3．C5[2021·江西卷] 假设sin α2＝33，那么cos α＝( )A ．－23B ．－13C.13D.233．C [解析] cos α＝1－2sin 2 α2＝13，应选C.17．C5，C8，F1[2021·四川卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35.(1)求sin A 的值；(2)假设a ＝4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 17．解：(1)由cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35，得cos(A －B)cos B －s in(A －B)sin B ＝－35.那么cos(A －B ＋B)＝－35，即cos A ＝－35.又0<A<π，那么sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，所以，sin B ＝bsin A a ＝22.由题知a>b ，那么A>B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(4 2)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.16．C3、C5、C9[2021·新课标全国卷Ⅰ] 设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，那么cos θ＝________．16．－2 55 [解析] f(x)＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫15sin x －25cos x ，令cos α＝15，sin α＝25，即θ＝2k π＋π2＋α(上述k 为整数)时，f(x)取得最大值，此时 cos θ＝－sin α＝－2 55.18．C5和C8[2021·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc. (1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos Bcos C 的最大值，并指出此时B 的值． 18．解：(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因为0<A<π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bcsin A ＝12·asin B sin A·asin C ＝3sin Bsin C ，因此，S ＋3cos Bcos C ＝3(sin Bsin C ＋cos Bcos C)＝3cos(B －C)．所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos Bcos C 取最大值3.C6 二倍角公式15．C4，C5，C6，C7[2021·北京卷] 函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)假设α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f(α)＝22，求α的值．＝cos 2x ·sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x) ＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4，所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f(α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4.所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.6．C6[2021·新课标全国卷Ⅱ] sin 2α＝23，那么cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( )A.16B.13 C.12 D.2314．C1，C2，C6[2021·四川卷] 设sin 2α＝－sin α，α∈π2，π，那么tan 2α的值是________．14.3 [解析] 方法一：由sin 2α＝－sin α，即2sin αcos α＝－sin α，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12，进而sin α＝32，于是tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×〔－3〕1－3＝ 3.方法二：同上得cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可得α＝2π3，所以tan 2α＝tan 4π3＝ 3.15．C6、E1和E3[2021·重庆卷] 设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，那么α的取值范围为________．15.⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π [解析] 根据二次函数的图像可得Δ＝(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin 2 α－cos 2α≤0，转化为2sin 2 α－(1－2sin 2 α)≤0，即4sin 2α≤1，即－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，故α∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π.C7 三角函数的求值、化简与证明15．C4，C5，C6，C7[2021·北京卷] 函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)假设α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f(α)＝22，求α的值．15．解：(1)因为f(x)＝(2cos 2 x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x ·sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x) ＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4，所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f(α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4.所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.18．C7、C8[2021·全国卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c)(a －b＋c)＝ac.(1)求B ；(2)假设sin Asin C ＝3－14，求C. 18．解：(1)因为(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos (A －C)＝cos Acos C ＋sin Asin C＝cos Acos C －sin Asin C ＋2sin Asin C ＝cos(A ＋C)＋2sinAsin C ＝12＋2×3－14 ＝32，故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°.18．C4，C7[2021·山东卷] 设函数f(x )＝32－3sin 2 ωx －sin ωx cos ωx(ω>0)，且y ＝f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值．18．解：(1)f (x)＝32－3sin 2ωx －sin ωxcos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 因此－1≤f(x)≤32. 故f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.16．C7，C8[2021·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.bsin A ＝3csin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值； (2)求sin2B －π3的值．16．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B ，可得bsin A ＝asin B ，又由bsin A ＝3csin B ，可得a＝3c ，又a ＝3，故c ＝1.由b 2＝a 2＋c 2－2a ccos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，进而得cos 2B ＝2cos 2 B －1＝－19，sin 2B ＝2sin Bcos B ＝4 59.所以sin2B －π3＝sin 2Bcos π3－cos 2Bsin π3＝4 5＋318.C8 解三角形9．C8[2021·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，假设b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，那么角C ＝( )A.π3B.2π3C.3π4D.5π69．B [解析] 根据正弦定理，3sin A ＝5sin B 可化为3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，解得b ＝3a 5，c ＝7a 5.令a ＝5t(t>0)，那么b ＝3t ，c ＝7t ，在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25t 2＋9t 2－49t 22×5t ×3t ＝－12，所以C ＝2π3. 5．C8[2021·北京卷] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，那么sin B ＝( )A.15B.59C.53D ．1 5．B [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即313＝5sin B ，解得sin B ＝59.18．C7、C8[2021·全国卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac.(1)求B ；(2)假设sin Asin C ＝3－14，求C. 18．解：(1)因为(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos (A －C)＝cos Acos C ＋sin Asin C＝cos Acos C －sin Asin C ＋2sin Asin C ＝cos(A ＋C)＋2sinAsin C ＝12＋2×3－14 ＝32，故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°.21．C8，C9[2021·福建卷] 如图1－6，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝2 2，点M 在线段PQ 上．(1)假设OM ＝5，求PM 的长； (2)假设点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．图1－621．解：(1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝2 2，由余弦定理得，OM 2＝OP 2＋MP 2－2OP·MP·cos 45°，得MP 2－4MP ＋3＝0，解得MP ＝1或MP ＝3.(2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OPsin ∠OMP ，所以OM ＝OPsin 45°sin 〔45°＋α〕，同理ON ＝OPsin 45°sin 〔75°＋α〕.故S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON＝14×OP 2sin 2 45°sin 〔45°＋α〕sin 〔75°＋α〕＝1sin 〔45°＋α〕sin 〔45°＋α＋30°〕＝1sin 〔45°＋α〕⎣⎡⎦⎤32sin 〔45°＋α〕＋12cos 〔45°＋α〕＝132sin 2〔45°＋α〕＋12sin 〔45°＋α〕cos 〔45°＋α〕＝134[1－cos 〔90°＋2α〕]＋14sin 〔90°＋2α〕＝134＋34sin 2α＋14cos 2α ＝1 34＋12sin 〔2α＋30°〕. 因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN 的面积取到最小值．即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.18．C8[2021·湖北卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c.cos 2A －3cos(B ＋C)＝1.(2)假设△ABC 的面积S ＝5 3，b ＝5，求sinB sin C 的值．18．解：(1)由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝5 3，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21. 又由正弦定理得sin Bsin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57.5．C8[2021·湖南卷] 在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b.假设2asin B ＝3b ，那么角A 等于( )A.π3B.π4C.π6D.π125．A [解析] 由正弦定理可得2sin Asin B ＝3sin B ．又sin B ≠0，所以sin A ＝32.因为A 为锐角，故A ＝π3，选A.17．C8[2021·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin Asin B ＋sin Bsin C ＋cos 2B ＝1.(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)假设C ＝2π3，求ab的值．17．解：(1)证明：由题意得sin Asin B ＋sin Bsin C ＝2sin 2 B ，因为sin B ≠0，所以sin A ＋sin C ＝2sin B ，由正弦定理，有a ＋c ＝2b ，即a ，b ，c 成等差数列． (2)由C ＝2π3，c ＝2b －a 及余弦定理得(2b －a)2＝a 2＋b 2＋ab ，即有5ab －3b 2＝0，所以a b ＝35.6．C8[2021·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.假设asin Bco s C ＋csin Bcos A ＝12b ，且a>b ，那么∠B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．A [解析] 由正弦定理可以得到sin Asin Bcos C ＋sin Csin Bcos A ＝12sin B ，所以可以得到sinAcos C ＋sin Ccos A ＝12，即sin(A ＋C)＝sin B ＝12，那么∠B ＝π6，应选A.4．C8[2021·新课标全国卷Ⅱ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，那么△ABC 的面积为( )A ．2 3＋2 B.3＋1 C ．2 3－2 D.3－1 4．B [解析] b sin B ＝c sin Cc ＝2 2.又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝712π，∴△ABC 的面积为12×2×2 2×sin 7π12＝22×6＋24＝3＋1.7．C8[2021·山东卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.假设B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，那么c ＝( )A ．2 3B ．2 C. 2 D ．17．B [解析] 由正弦定理a sinA ＝b sinB ，即1sinA ＝3sinB ＝32sinAcosA ，解之得cosA ＝32，∴A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，∴c ＝a 2＋b 2＝()32＋12＝2.9．C8[2021·陕西卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设bcos C ＋ccos B ＝asin A ，那么△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定9．A [解析] 结合bco s C ＋ccos B ＝asin A ，所以由正弦定理可知sin B cos C ＋sin Ccos B ＝sin Asin A ，即sin (B ＋C)＝sin 2A sin A ＝sin 2A sin A ＝1，故A ＝90°，故三角形为直角三角形．16．C7，C8[2021·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.bsin A ＝3csinB ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值； (2)求sin2B －π3的值．16．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B ，可得bsin A ＝asin B ，又由bsin A ＝3csin B ，可得a＝3c ，又a ＝3，故c ＝1.由b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，进而得cos 2B ＝2cos 2 B －1＝－19，sin 2B ＝2sin Bcos B ＝4 59.所以sin2B －π3＝sin 2Bcos π3－cos 2Bsin π3＝4 5＋318.17．C5，C8，F1[2021·四川卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35.(1)求sin A 的值；(2)假设a ＝4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 17．解：(1)由cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35，得cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin B ＝－35.那么cos(A －B ＋B)＝－35，即cos A ＝－35.又0<A<π，那么sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，所以，sin B ＝bsin A a ＝22.由题知a>b ，那么A>B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(4 2)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.15．H1，C8，E8[2021·四川卷] 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．15．(2，4) [解析] 在以A ，B ，C ，D 为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线AC ，BD 交点上时，到四个顶点的距离之和最小．AC 所在直线方程为y ＝2x ，BD 所在直线方程为y ＝－x ＋6，交点坐标为(2，4)，即为所求．10．C8[2021·新课标全国卷Ⅰ] 锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2 A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，那么b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5 10．D [解析] 由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得25cos 2A ＝1.因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝15.在△ABC 中，根据余弦定理，得49＝b 2＋36－12b ×15，即b 2－125b －13＝0，解得b ＝5或－135(舍去)．18．C8[2021·浙江卷] 在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asin B ＝ 3b.(1)求角A 的大小；(2)假设a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．18．解：(1)由2asin B ＝ 3b 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝ 32.因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得b 2＋c 2－bc ＝36.又b ＋c ＝8，所以bc ＝283. 由三角形面积公式S ＝12bcsin A ，得△ABC 的面积为7 33.18．C5和C8[2021·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc.(1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos Bcos C 的最大值，并指出此时B 的值．又因为0<A<π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bcsin A ＝12·asin B sin A·asin C ＝3sin Bsin C ，因此，S ＋3cos Bcos C ＝3(sin Bsin C ＋cos Bcos C)＝3cos(B －C)．所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos Bcos C 取最大值3.C9 单元综合21．C8，C9[2021·福建卷] 如图1－6，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝2 2，点M 在线段PQ 上．(1)假设OM ＝5，求PM 的长； (2)假设点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．图1－621．解：(1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝2 2，由余弦定理得，OM 2＝OP 2＋MP 2－2OP·MP·cos 45°，得MP 2－4MP ＋3＝0，解得MP ＝1或MP ＝3.(2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OPsin ∠OMP ，所以OM ＝OPsin 45°sin 〔45°＋α〕，同理ON ＝OPsin 45°sin 〔75°＋α〕.故S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON＝14×OP 2sin 2 45°sin 〔45°＋α〕sin 〔75°＋α〕＝1sin 〔45°＋α〕sin 〔45°＋α＋30°〕＝1sin 〔45°＋α〕⎣⎡⎦⎤32sin 〔45°＋α〕＋12cos 〔45°＋α〕＝1 32sin 2〔45°＋α〕＋12sin 〔45°＋α〕cos 〔45°＋α〕＝134[1－cos 〔90°＋2α〕]＋14sin 〔90°＋2α〕＝134＋34sin 2α＋14cos 2α ＝1 34＋12sin 〔2α＋30°〕. 因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN 的面积取到最小值．即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.18．C9[2021·江苏卷] 如图1－4，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？图1－4 18．解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45，从而sin B ＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C)＝sin Acos C ＋cos Asin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m. (2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t)m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t ×(100＋50t)×1213＝200(37t 2－70t ＋50)．因为0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C. 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内． 15．C9[2021·江苏卷] a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)假设|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0，1)，假设a ＋b ＝c ，求α，β的值． 15．解：(1)由题意得|a －b|2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b ＝2，即a·b ＝0，故a ⊥b. (2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得，sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.16．C3、C5、C9[2021·新课标全国卷Ⅰ] 设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，那么cos θ＝________．16．－2 55 [解析] f(x)＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫15sin x －25cos x ，令cos α＝15，sin α＝25，即θ＝2k π＋π2＋α(上述k 为整数)时，f(x)取得最大值，此时 cos θ＝－sin α＝－2 55.9．C9[2021·新课标全国卷Ⅰ] 函数f(x)＝(1－cos x)·sin x 在[－π，π]的图像大致为( )图1－29．C [解析] 函数f(x)是奇函数，排除选项B.当x ∈[0，π]时f(x)≥0，排除选项A.对函数f(x)求导，得f ′(x)＝sin xsin x ＋(1－cos x)cos x ＝－2cos 2 x ＋cos x ＋1＝－(cos x －1)(2cos x ＋1)，当0<x<π时，假设0<x<2π3，那么f′(x)>0，假设2π3<x<π，那么f′(x)<0，即函数在(0，π)上的极大值点是x ＝2π3，故只能是选项C 中的图像．1．[2021·成都一诊] sin x ＋cos xsin x －cos x＝3，那么tan x 的值是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－21．C [解析] 由sin x ＋cos x sin x －cos x ＝3，可变形为sin xcos x ＋1sin x cos x －1＝3，即tan x ＋1tan x －1＝3，解得tan x ＝22．[2021·广安一诊] 曲线y ＝sin xx在点M(π，0)处的切线为l ，假设θ为l 的倾斜角，那么点P(sin θ，tan θ)在( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限2．A [解析] 由题意得y′＝⎝⎛⎭⎫sin x x ′＝〔sin x 〕′·x －x′·sin x x 2＝xcos x －sin xx 2，所以tan θ＝k l＝y′|x ＝π＝－ππ2＝－1π<0.又θ为l 的倾斜角，那么0<θ<π，所以sin θ>0，所以P(sin θ，tan θ)在第四象限．3．[2021·烟台期中] 函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，那么b －a 的最大值与最小值之和等于( )A ．4π B.8π3C ．2π D.4π33．C [解析] 由正弦函数的图像知(b －a)min ＝π6－⎝⎛⎭⎫－π2＝2π3，(b －a)max ＝π6－(－7π6)＝4π3，所以和为2π.应选C.4．[2021·许昌模拟] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的单调递减区间为____________________．4.⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) [解析] 由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π(k ∈Z )，即函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )．5．[2021·吉林实验中学二模] 把函数y ＝sin x(x ∈R )的图像上所有点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈RC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈RD ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R5．C [解析] 将函数y ＝sin x(x ∈R )的图像上所有点向左平移π3个单位长度可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像，将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像上所有点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，应选C.6．[2021·南昌调研] K13－3图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R )的局部图像，为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x(x ∈R )的图像上所有点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变6．A [解析] 由图像可知原函数的周期为T ＝56π＋π6＝π，ω＝2πT ＝2，代入x ＝－π6，由五点法得－π6×2＋φ＝0，解得φ＝π3，原函数的解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.将y ＝sin x 的图像向左平移π3个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，即可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，应选A.。

三角函数--2024年数学高考真题和模拟好题分类汇编(解析版)

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2，则cos(α-β)=()A.-3mB.-m3C.m3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cosαcosβ,sinαsinβ的关系，结合tanαtanβ的值可求前者，故可求cosα-β的值.【详解】因为cosα+β=m，所以cosαcosβ-sinαsinβ=m，而tanαtanβ=2，所以=12×2b×kb×sin A2+12×kb×b×sin A2，故cosαcosβ-2cosαcosβ=m即cosαcosβ=-m，从而sinαsinβ=-2m，故cosα-β=-3m，故选：A.2(新课标全国Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y=sin x与y=2sin3x-π6的交点个数为() A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y=sin x的的最小正周期为T=2π，函数y=2sin3x-π6的最小正周期为T=2π3，所以在x∈0,2π上函数y=2sin3x-π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax，当x∈(-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=()A.-1B.12C.1D.2【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3 ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A：当x∈-π8 ,π3时，2x-π3∈-7π12,π3，由函数y=sin x在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8 ,π3上不为单调递增，故A错误；对B：当x=5π6时，2x-π3=4π3，由x=4π3不是函数y=sin x的对称轴，故x=5π6不是f x 图象的对称轴，故B错误；对C：当x∈-π6 ,π4时，2x-π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,1 2，故C错误；对D：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y=sin2x+2×5π12-π3=sin2x+π2=cos2x，该函数关于y轴对称，故D正确.故选：D.8(2024·广东广州·二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由fπ4=1，得sinπ4ω+φ=22，又点π4,1及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2kπ,k∈Z，由f5π8=0，点5π8,0及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2kπ,k∈Z，联立解得ω=2，φ=-π4+2kπ,k∈Z，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f(x)=2sin2x-π4，若将函数f(x)的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y=sin2x-2θ-π4，则-2θ-π4=π2-kπ,k∈Z，而θ>0，因此θ=-3π8+kπ2,k∈N，所以当k=1时，θ取得最小值为π8 .故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。

2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：三角函数(附答案解析)

2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：三角函数一．选择题（共10小题）1．已知tan()1αβ+=-，1tan()2αβ-=，则sin 2sin 2αβ的值为( )A ．13B ．13-C ．3D ．3-2．已知tan 2θ=，则sin()cos()2(cos sin()πθπθθπθ+--=-- ) A ．2B ．2-C ．0D ．233．若tan 24tan()04πθθ++=，则sin 2θ的值为( )A ．35B ．45 C ．35-D ．45-4．计算：sin11002sin100(cos160︒-︒=︒)A ．1BC ．2 D．5．cos30cos105sin30sin75(︒︒-︒︒= )A．B． CD6．已知1sin()sin()25ππαα++-=，且(0,)απ∈，则tan()(4πα+= )A ．17-B ．17C ．7D ．7-7．已知1tan()62πα+=，则2sin(2)(3πα-= )A ．45B ．45-C ．34 D ．34-8．已知4tan 3α=-，则sin 2(α= )A ．45-B ．45C ．2425D ．2425-9．已知tan 121tan αα-=+，则sin(2)6πα+的值为( )A． B． CD．10．已知函数()sin(2)6f x x π=+，若将()f x 的图象向右平移6π个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则( )A ．()sin(4)6g x x π=-B ．()sin 4g x x =C ．()sin g x x =D ．()sin()6g x x π=-二．多选题（共1小题）11．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，||)ϕπ<的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．函数()f x 的图象关于点(,0)12π-对称B ．函数()f x 的图象关于2x π=直线对称C ．函数()f x 在区间[,]36ππ-上单调递增D ．1y =与图象23()()1212y f x xππ=-的所有交点的横坐标之和为83π 三．填空题（共7小题）12．若5sin()6πα-=，则2cos(2)3πα+= ．13．已知2παπ<<，若tan 2sin2αα=，则tan α= ．14．若4sin()65πα-=-，则cos()3πα+= ．15．若tan 1α=，则sin cos αα= ．16．已知sin cos 3cos 3sin αβαβ-=-，且sin()1αβ+≠，则sin()αβ-= ． 17．已知α为第四象限角，且5cos α=222)4cos sin πααα-=- ． 18．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，若()f x 的图像在[0，2]3π上与x 轴恰有两个交点，则ω的取值范围是．四．解答题（共4小题）19．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，并且223sin sin 312A BC +=+．（1）求角C 的大小；（2）若a =2c =，求b ．20．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a B =．（1）若ABC ∆，2c =，求a 的值；（2）若21()()2b a b ac -+=，求tan C 的值．21．某同学用“五点法”作函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）根据上表数据，直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求()f x 在区间2[3π-，0]上的最大值和最小值． 22．已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．（Ⅰ）确定()f x 的解析式；（Ⅱ）若()()2cos(2)6g x f x x π=++，求函数()g x 的单调减区间．条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5(,0)12π；条件③：()f x 的图像经过点5(,1)6π-．2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：三角函数参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知tan()1αβ+=-，1tan()2αβ-=，则sin 2sin 2αβ的值为( )A ．13B ．13-C ．3D ．3-【考点】两角和与差的三角函数【分析】sin 2sin[()()]sin()cos()sin()cos()tan()tan()sin 2sin[()()]sin()cos()sin()cos()tan()tan()ααβαβαβαβαβαβαβαββαβαβαβαβαβαβαβαβ++-+-+-+++-===+--+---++--，代入即可求解．【解答】解：因为tan()1αβ+=-，1tan()2αβ-=，则11sin 2sin[()()]sin()cos()sin()cos()tan()tan()121sin 2sin[()()]sin()cos()sin()cos()tan()tan()312ααβαβαβαβαβαβαβαββαβαβαβαβαβαβαβαβ-+++-+-+-+++-=====+--+---++----．故选：A ．【点评】本题主要考查了同角基本关系，和差角公式在求解三角函数值中的应用，属于基础题．2．已知tan 2θ=，则sin()cos()2(cos sin()πθπθθπθ+--=-- ) A ．2B ．2-C ．0D ．23【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的恒等变换及化简求值【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．【解答】解：因为tan 2θ=，所以sin()cos()cos cos 2222cos sin()cos sin 1tan 12πθπθθθθπθθθθ+--+====------．故选：B ．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．3．若tan 24tan()04πθθ++=，则sin 2θ的值为( )A ．35B ．45 C ．35-D ．45-【考点】二倍角的三角函数【分析】由题意利用二倍角公式、两角和的正切公式，先求出tan θ的值，再利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，计算求得sin 2θ的值．【解答】解：tan 24tan()04πθθ++=，∴22tan 1tan 41tan 1tan θθθθ+=-⨯--， ∴tan 2(1tan )1tan θθθ=-⨯++，22tan 5tan 20θθ∴++=，求得tan 2θ=- 或1tan 2θ=-，当tan 2θ=-时，2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15θθθθθθθ===-++；当1tan 2θ=-时，22tan 4sin 2tan 15θθθ==-+，故选：D ．【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系式，属于中档题． 4．计算：sin11002sin100(cos160︒-︒=︒)A ．1B C ．2 D ．【考点】二倍角的三角函数；运用诱导公式化简求值【分析】由已知结合诱导公式，两角差的余弦公式进行化简，由此即可求解．【解答】解：sin11002sin100sin(108020)2sin(9010)2cos10sin 202cos(3020)sin 20cos160cos(18020)cos 20cos 20︒-︒︒+︒-︒+︒︒-︒︒-︒-︒===︒︒-︒︒︒．故选：B ．【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5．cos30cos105sin30sin75(︒︒-︒︒= )A ．B ．2C ．2D【考点】两角和与差的三角函数【分析】利用公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，结合诱导公式，可得答案．【解答】解：cos30cos105sin30sin75︒︒-︒︒ cos30sin15sin30cos15=-︒︒-︒︒sin(1530)sin 45=-︒+︒=-︒2=，故选：B ．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式，诱导公式，属于基础题．6．已知1sin()sin()25ππαα++-=，且(0,)απ∈，则tan()(4πα+= )A ．17-B ．17C ．7D ．7-【考点】两角和与差的三角函数【分析】先利用诱导公式化简条件，再结合同角三角函数基本关系，推出3tan 4α=，然后由两角和的正切公式，得解．【解答】解：因为1sin()sin()25ππαα++-=，所以1sin cos 5αα-+=，又22sin cos 1αα+=，且(0,)απ∈，所以3sin 5α=，4cos 5α=，所以sin 3tan cos 4ααα==，所以31tan 14tan()7341tan 14πααα+++===--．故选：C ．【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角和的正切公式，同角三角函数基本关系，诱导公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．7．已知1tan()62πα+=，则2sin(2)(3πα-= )A ．45B ．45-C ．34 D ．34-【考点】二倍角的三角函数；两角和与差的三角函数【分析】直接利用诱导公式的应用求出三角函数的值．【解答】解：由于1tan()62πα+=，所以22tan()2146sin(2)cos(2)sin(2)sin(2)13626351tan ()164παπππππααααπα+-=-=+-=+===+++．故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8．已知4tan 3α=-，则sin 2(α= )A ．45-B ．45C ．2425D ．2425-【考点】二倍角的三角函数【分析】结合二倍角公式与“同除余弦可化切”的思想，即可得解．【解答】解：222242()2sin cos 2tan 243sin 22sin cos 4125()13sin cos tan ααααααααα⨯-=====-++-+．故选：D ．【点评】本题考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，理解同除余弦可化切的思想是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 9．已知tan 121tan αα-=+，则sin(2)6πα+的值为( )A． B． CD．【考点】二倍角的三角函数；两角和与差的三角函数【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和三角函数的值的应用求出结果．【解答】解：由于tan 121tan αα-=+，整理得tan 3α=-，所以22tan 63sin 21tan 105ααα==-=-+；221tan 84cos21tan 105ααα-==-=-+；所以341sin(2)()()6552πα+=-+-⨯=．故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10．已知函数()sin(2)6f x x π=+，若将()f x 的图象向右平移6π个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则( ) A ．()sin(4)6g x x π=-B ．()sin 4g x x =C ．()sin g x x =D ．()sin()6g x x π=-【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律解决即可．【解答】解：()sin(2)6f x x π=+，∴将()f x 的图象向右平移6π个单位后，得()sin[2()]sin(2)6666f x x x ππππ-=-+=-，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则()sin()6g x x π=-，故选：D ．【点评】本题考查了函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换，熟练掌握其图象变化规律是解决问题的关键，考查逻辑思维能力与运算求解能力，属于中档题．二．多选题（共1小题）11．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，||)ϕπ<的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．函数()f x 的图象关于点(,0)12π-对称B ．函数()f x 的图象关于2x π=直线对称C ．函数()f x 在区间[,]36ππ-上单调递增D ．1y =与图象23()()1212y f x xππ=-的所有交点的横坐标之和为83π【考点】由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式【分析】由顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点作图求出ϕ，正弦函数的图象和性质，可得函数的解析式．再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：根据函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，||)ϕπ<的部分图象，可得2A =，12254312πππω⨯=-，2ω∴=．结合五点法作图，可得5212πϕπ⨯+=，6πϕ∴=，故()2sin(2)6f x x π=+．令12x π=-，求得()0f x =，可得函数()f x 的图象关于点(,0)12π-对称，故A 正确；令2x π=，求得()1f x =-，不是最值，故函数()f x 的图象关不于2x π=直线对称，故B 错误；在区间[,]36ππ-上，2[62x ππ+∈-，]2π，函数()f x 单调递增，故C 正确；当[12x π∈-，23]12π，2[06x π+∈，4]π，直线1y =与图象23()()1212y f x xππ=-的4个交点关于直线3262x ππ+=对称．设这4个交点的横坐标分别为a 、b 、c 、d ，a b c d <<<，则3(2)(2)2662a d πππ+++=⨯，3(2)(2)2662b c πππ+++=⨯，故所有交点的横坐标之和为83a b c d π+++=，故D 正确，故选：ACD ．【点评】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求函数的解析式，由顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点作图求出ϕ，正弦函数的图象和性质，属于中档题．三．填空题（共7小题）12．若sin()6πα-=，则2cos(2)3πα+= 35- ．【考点】二倍角的三角函数；两角和与差的三角函数【分析】直接利用三角函数的诱导公式的应用求出三角函数的值．【解答】解：由于sin()cos()cos()6263ππππααα-=-+=+=所以2213cos(2)2cos ()1213355ππαα+=+-=⨯-=-．故答案为：35-．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值，三角函数的诱导公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．13．已知2παπ<<，若tan 2sin 2αα=，则tan α【考点】二倍角的三角函数【分析】根据同角三角函数基本关系式以及二倍角公式，即可得到结论．【解答】解：2παπ<<，∴22παπ<<，又tan 2sin 2αα=⇒sin 2sin sin 2sin cos cos 22αααααα=⇒=⋅，即2sin cos2sincos 222αααα⋅=⋅， 2coscos 2cos 122ααα∴==-，解得：1cos 22α=-，(cos 12α=舍）sin2α∴=，∴tan 2sin2αα=．【点评】本题主要考查函数值的计算，熟练掌握同角三角函数基本关系式以及二倍角公式是解决本题的关键．14．若4sin()65πα-=-，则cos()3πα+= 45．【考点】两角和与差的三角函数【分析】把所求式子中的角度变为()362πππαα+=-+，利用两角和的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将已知的等式值代入即可求出值．【解答】解：4sin()65πα-=-，∴4cos()cos[()]sin()36265ππππααα+=-+=--=．故答案为：45．【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，灵活变换所求式子的角度，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题．15．若tan 1α=，则sin cos αα=12．【考点】同角三角函数间的基本关系【分析】根据已知条件，结合弦化切公式，即可求解．【解答】解：tan 1α=， 222sin cos tan 11sin cos 1112sin cos tan αααααααα∴====+++．故答案为：12．【点评】本题主要考查弦化切公式，属于基础题．16．已知sin cos 3cos 3sin αβαβ-=-，且sin()1αβ+≠，则sin()αβ-= 45- ．【考点】两角和与差的三角函数【分析】令cosθ=，sin θ=，根据两角和差的正余弦公式化简已知等式可得sin()cos()αθβθ-=+，再利用诱导公式化成同名函数，推出22k παθβθπ-=+++或()()22k παθβθππ-+++=+，k Z ∈，然后分类讨论，即可得解．【解答】解：因为sin cos 3cos 3sin αβαβ-=-，所以sin 3cos 3sin cos ααββ-=-+，即))ααββ，ααββ=，cosθ=sin θ=，则sin cos cos sin cos cos sin sin αθαθβθβθ-=-，即sin()cos()sin()2παθβθβθ-=+=++，所以22k παθβθπ-=+++或()()22k παθβθππ-+++=+，k Z ∈，所以222k παβθπ-=++或22k παβπ+=+，k Z ∈，若222k παβθπ-=++，k Z ∈，则224sin()sin(22)cos22cos 12125k παβθπθθ-=++==-=⨯-=-，若22k παβπ+=+，k Z ∈，则sin()sin(2)12k παβπ+=+=，与sin()1αβ+≠相矛盾，不满足条件，综上，4sin()5αβ-=-．故答案为：45-．【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角和差的正余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．17．已知α为第四象限角，且cos α=22)4cos sin πααα--【考点】二倍角的三角函数【分析】利用同角三角函数关系式及三角恒等变换公式直接计算即可．【解答】解：因为α为第四象限角，且cos α= 所以sin α==，又22cos sin (cos sin )(cos sin )αααααα-=-+， )sin cos 4πααα-=-，所以22)14cos sin sin cos πααααα-=-=-+．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，若()f x 的图像在[0，2]3π上与x 轴恰有两个交点，则ω的取值范围是 5[2，4) ．【考点】正弦函数的图象【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．【解答】解：若函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的图像在[0，2]3π上与x 轴恰有两个交点，[33x ππω+∈，2]3πωπ+， 2233πωπππ+∴<，求得542ω<，可得ω的取值范围为5[2，4)，故答案为：5[2，4)．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．四．解答题（共4小题）19．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，并且2sin 12A BC +=+．（1）求角C 的大小；（2）若a =2c =，求b ．【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）由已知式子和三角函数公式化简可得1cos()62C π+=，结合C 的范围可得答案；（2）由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，代入数据即可解得．【解答】解：（1）223sin (sin 1)02A B C +-=，2(sin 1)02CC ∴-=．即1cos (sin 1)02C C +-=sin 1C C -=，1cos()62C π+=． C 为ABC ∆的内角，0C π∴<<，∴7666C πππ<+<．从而63C ππ+=，6C π∴=．（2）23a =2c =，∴由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，代入数据化简可得2680b b -+=，解得2b =或4b =．【点评】本题考查解三角形，设计正余弦定理得应用即三角函数公式，属中档题．20．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a B =．（1）若ABC ∆，2c =，求a 的值；（2）若21()()2b a b ac -+=，求tan C 的值．【考点】正弦定理；余弦定理【分析】由2sin a B =可得60A =︒或120︒，（1）由面积可求b ，再由余弦定理可求得a ；（2）由21()()2b a b a c -+=，可得32b c =，进而可求tan C 的值．【解答】解：2sin a B ，∴2sin sin sin A B B A ⇒，60A =︒或120︒，（1）12sin 2ABC S b A ∆=⨯，3b ⇒=，22223223cos60a =+-⨯⨯︒，a ⇒=，（2）21()()2b a b a c -+=，22222132cos 2cos 22a b c b c bc A b A c ⇒=-=+-⇒=，3cos 04c A b ⇒=>，60A ∴=︒，∴32b c =，3sin sin(120)sin 2B C C =︒-=，sin C C ⇒=，tan C =【点评】本题考查解三角形，以及正余弦定理的应用和三角恒等变换，属中档题． 21．某同学用“五点法”作函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）根据上表数据，直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求()f x 在区间2[3π-，0]上的最大值和最小值．【考点】由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式；五点法作函数sin()y A x ωϕ=+的图象【分析】（Ⅰ）直接利用五点法的应用求出函数的关系式；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）根据五点法的表格，所以()2sin(2)3f x x π=+．（Ⅱ）由于203x π-，所以233x πππ-+，当512x π=-时，函数()f x 的最小值为2-；当0x =【点评】本题考查的知识要点：五点法，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．22．已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．（Ⅰ）确定()f x 的解析式；（Ⅱ）若()()2cos(2)6g x f x x π=++，求函数()g x 的单调减区间．条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5(,0)12π；条件③：()f x 的图像经过点5(,1)6π-．【考点】由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式【分析】（Ⅰ）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ，根据函数()f x 的图象过点5(6π，1)-，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5(6π，1)-，可求A 的值，即可得解函数解析式．（Ⅱ）先求()g x 的最简式，再根据正弦型函数的减区间的求法求解．【解答】解：（Ⅰ）由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为2π，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ=⨯=，所以22Tπω==，此时()sin(2)f x A x ϕ=+；选条件①②，因为()f x 的最小值为A -，所以2A =，因为函数()f x 的一个对称中心为5(,0)12π，所以52()12k k Z πϕπ⨯+=∈，解得5?,()6k k Z πϕπ=∈，因为||2πϕ<，所以6πϕ=，6选条件①③，因为()f x 的最小值为A -，所以2A =，因为函数()f x 的图像过5(,?1)6π，则5()?16f π=，即52sin()?13πϕ+=，51sin()?32πϕ+=，因为||2πϕ<，所以7513636πππϕ<+<，所以511,366πππϕϕ+==，所以()2sin(2)6f x x π=+；选择条件②③，因为函数()f x 的一个对称中心为5(,0)12π，所以52()12k k Z πϕπ⨯+=∈，解得5?,()6k k Z πϕπ=∈，因为||2πϕ<，所以6πϕ=，此时()sin(2)6f x A x π=+，因为函数()f x 的图像过5(,?1)6π，则5()?16f π=，即5sin()?13A πϕ+=，所以11sin16A π=-，所以2A =，6综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()2sin(2)6f x x π=+，所以5()()2cos(2)2sin(2)2cos(2))66612g x f x x x x x ππππ=++=+++=+，由532222122k x k πππππ+++，k Z ∈，得132424k xk ππππ++，k Z ∈，所以()g x 的单调递减区间为[24k ππ+，13]24k ππ+，k Z ∈．【点评】本题考查了三角函数的图像与性质，属于基础题．。

高考数学分类汇编(高考真题+模拟新题)三角函数理

C 单元三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数 6．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图11，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图像大致为( )图11A BC D6．C [解析] 根据三角函数的定义，点M (cos x ，0)，△OPM 的面积为12|sin x cos x |，在直角三角形OPM 中，根据等积关系得点M 到直线OP 的距离，即f (x )＝|sin x cos x |＝12|sin2x |，且当x ＝π2时上述关系也成立，故函数f (x )的图像为选项C 中的图像．C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式16．、、[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．16．解：方法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .17．，，[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值． 17．解：(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x )的最小正周期T＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.(2)由(1)得ƒ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin (2×α2－π6)＝34，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝14. 由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2 ＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α－π6）＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12 ＝3＋158.C3 三角函数的图象与性质9．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 9．B [解析] 由题可知，将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －23π的图像，令－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z 时，函数单调递增，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，可知当k ＝0时，函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增． 3．[2014·全国卷] 设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b3．C [解析] 因为b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°，所以b ＞a .因为cos 35°<1，所以1cos 35°>1，所以sin 35°cos 35°>sin 35°.又c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°>sin 35°，所以c >b ，所以c >b >a . 6．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图11，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图像大致为( )图11A BC D6．C [解析] 根据三角函数的定义，点M (cos x ，0)，△OPM 的面积为12|sin x cos x |，在直角三角形OPM 中，根据等积关系得点M 到直线OP 的距离，即f (x )＝|sin x cos x |＝12|sin2x |，且当x ＝π2时上述关系也成立，故函数f (x )的图像为选项C 中的图像．14．、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．14．1 [解析] 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin x ，故其最大值为1.17．，，[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值． 17．解：(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x )的最小正周期T＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.(2)由(1)得ƒ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin (2×α2－π6)＝34，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝14. 由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2 ＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α－π6）＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12 ＝3＋158.C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质3．[2014·四川卷] 为了得到函数y ＝sin (2x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin 2x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度3．A [解析] 因为y ＝sin(2x ＋1)＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，所以为得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图像，只需要将y ＝sin 2x 的图像向左平行移动12个单位长度．11．[2014·安徽卷] 若将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 11.3π8 [解析] 方法一：将f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ的图像，由该函数的图像关于y 轴对称，可知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，所以当φ>0时，φmin＝3π8. 方法二：由f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位后所得的图像关于y 轴对称可知，π4－2φ＝π2＋k π，k ∈Z ，又φ>0，所以φmin＝3π8. 14．[2014·北京卷] 设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．14．π [解析] 结合图像得T 4＝π2＋2π32－π2＋π62，即T ＝π.16．、、[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．16．解：方法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .7．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定7．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AB 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，CC 1是直线l 3，CD 是直线l 4，则l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．17．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时，实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温． 16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. (1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值． 16．解：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，故f (x )在区间[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f （π）＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ（1－2a sin θ）＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，知cos θ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2a sin θ＝0，（2a sin θ－1）sin θ－a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.12．、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x )＝3sinπxm，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)12．C [解析] 函数f (x )的极值点满足πx m ＝π2＋k π，即x ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12，k ∈Z ，且极值为±3，问题等价于存在k 0使之满足不等式m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫k 0＋122＋3<m 2.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122的最小值为14，所以只要14m 2＋3<m 2成立即可，即m 2>4，解得m >2或m <－2，故m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．16．，[2014·山东卷] 已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．16．解：(1)由题意知，f (x )＝＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由题意知，g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0，2)．由题意知，x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．将其代入y ＝g (x )得，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 2．[2014·陕西卷] 函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 2．B [解析] 已知函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的周期为T ＝2πω，故函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.16．，，，[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 16．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎪⎫cos α cos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z ，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 15．、、[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．15．解：(1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.4．[2014·浙江卷] 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x的图像( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位4．C [解析] y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos 3x 的图像向右平移π12个单位可以得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，故选C.17．，，[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值． 17．解：(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x )的最小正周期T＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.(2)由(1)得ƒ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin (2×α2－π6)＝34，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝14. 由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2 ＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α－π6）＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12 ＝3＋158.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 14．、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．14．1 [解析] 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin x ，故其最大值为1.16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．16．解： (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝sin A 2sin B ，所以由正弦定理可得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac. 因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，即a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝2 23.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝2 23×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26.7．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定7．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AB 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，CC 1是直线l 3，CD 是直线l 4，则l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ.17．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时，实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温． 17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2得c ·a ·cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ，又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13. 解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23·2 23＝ 4 29.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4 292＝79.所以cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋2 23×4 29＝2327.17． [2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cosA ，tan A ＝13，求B .17．解：由题设和正弦定理得 3sin A cos C ＝2sin C cos A ，故3tan A cos C ＝2sin C .因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12.所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°.8．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π28．C [解析] tan α＝1＋sin βcos β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos β2＋sin β2cos 2β2－sin2β2＝cos β2＋sin β2cos β2－sin β2＝1＋tanβ21－tanβ2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π4＋β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，所以α＝π4＋β2，即2α－β＝π2. 13．，[2014·四川卷] 如图13所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)图1313．60 [解析] 过A 点向地面作垂线，记垂足为D ，则在Rt △ADB 中，∠ABD ＝67°，AD ＝46 m ，∴AB ＝ADsin 67°＝460.92＝50(m)，在△ABC 中，∠ACB ＝30°，∠BAC ＝67°－30°＝37°，AB ＝50 m ，由正弦定理得，BC ＝AB sin 37°sin 30°＝60 (m)，故河流的宽度BC 约为60 m.16．，，，[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 16．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z .(2)由已知，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎪⎫cos α cos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z ，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 15．、、[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 15．解：(1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.10．，[2014·重庆卷] 已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C－A －B )＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc (b ＋c )>8B ．ab (a ＋b )>16 2C ．6≤abc ≤12D ．12≤abc ≤2410．A [解析] 因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝π－B ，C ＝π－(A ＋B )，所以由已知等式可得sin 2A ＋sin(π－2B )＝sin[π－2(A ＋B )]＋12，即sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2(A ＋B )＋12，所以sin[(A ＋B )＋(A －B )]＋sin[(A ＋B )－(A －B )]＝sin 2(A ＋B )＋12，所以2 sin(A ＋B )cos(A －B )＝2sin(A ＋B )cos(A ＋B )＋12，所以2sin(A ＋B )[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12，所以sin A sin B sin C ＝18.由1≤S ≤2，得1≤12bc sin A ≤2.由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，所以1≤2R 2·sin A sin B sin C ≤2，所以1≤R 24≤2，即2≤R ≤2 2，所以bc (b ＋c )>abc＝8R 3sin A sin B sin C ＝R 3≥8.C6 二倍角公式15．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．15.43[解析] 如图所示，根据题意，OA ⊥PA ，OA ＝2，OP ＝10，所以PA ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OPA ＝OA PA ＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OPA 1－tan 2∠OPA ＝43，即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.16．、[2014·全国卷] 若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．16．(－∞，2] [解析] f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝－2sin 2x ＋a sin x ＋1，令sin x ＝t ，则f (x )＝－2t 2＋at ＋1.因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，所以t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所以f (x )＝－2t 2＋at ＋1，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.因为f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，所以f (x )＝－2t 2＋at ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是减函数，又对称轴为x ＝a 4，∴a 4≤12，所以a ∈(－∞，2]．16．、、[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．16．解：方法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .16．，，，[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．16．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎪⎫cos α cos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z ，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 15．、、[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 15．解：(1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.C7 三角函数的求值、化简与证明16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ.17．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时，实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温． 16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. (1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值． 16．解：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，故f (x )在区间[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f （π）＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ（1－2a sin θ）＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，知cos θ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2a sin θ＝0，（2a sin θ－1）sin θ－a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.16．，，，[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 16．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z .(2)由已知，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎪⎫cos α cos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z ，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.C8 解三角形12．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________． 12．－14[解析] ∵2sin B ＝3sin C ，∴2b ＝3c .又∵b －c ＝a 4，∴a ＝2c ，b ＝32c ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c ×c ＝－14.16．、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．16．[－1，1] [解析] 在△OMN 中，OM ＝1＋x 20≥1＝ON ，所以设∠ONM ＝α，则45°≤α<135°.根据正弦定理得1＋x 20sin α＝1sin 45°，所以1＋x 20＝2sin α∈[1，2]，所以0≤x 20≤1，即－1≤x 0≤1，故符合条件的x 0的取值范围为[－1，1]．12．[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则a b＝________．12．2 [解析] 本题考查了正弦定理以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．利用正弦定理，将b cos C ＋c cos B ＝2b 化简得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，即sin(B ＋C )＝2sin B ．∵sin(B ＋C )＝sin A ，∴sin A ＝2sin B ，利用正弦定理化简得a ＝2b ，故a b＝2.16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．16．解： (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝sin A 2sin B ，所以由正弦定理可得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac. 因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，即a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝2 23. 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝2 23×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26.15．[2014·北京卷] 如图12，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．图1215．解：(1) 在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝4 37.所以sin ∠BAD ＝sin (∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝4 37×12－17×32＝3 314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×33144 37＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，所以AC ＝7.12．[2014·福建卷] 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝2 3，则△ABC 的面积等于________．12．2 3 [解析] 由BC sin A ＝AC sin B ，得sin B ＝4sin 60°23＝1，∴B ＝90°，C ＝180°－(A ＋B )＝30°，则S △ABC ＝12·AC ·BC sin C ＝12×4×23sin 30°＝23，即△ABC 的面积等于2 3.18．、[2014·湖南卷] 如图15所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．18．解：(1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ，故由题设知，cos ∠CAD ＝7＋1－427＝277.(2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD .因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2772＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7142＝32114.于是sin α＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD sin ∠CAD＝32114×277－⎝ ⎛⎭⎪⎫－714×217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理，得BCsin α＝ACsin ∠CBA.故BC ＝AC ·sin αsin ∠CBA＝7×32216＝3.4．[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.9 32 C.3 32D ．3 34．C [解析] 由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab －62ab ＝12，所以ab ＝6，所以S △ABC＝12ab sin C ＝3 32. 17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2得c ·a ·cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ，又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13. 解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23·2 23＝ 4 29.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4 292＝79.所以cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋2 23×4 29＝2327.17． [2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cosA ，tan A ＝13，求B .17．解：由题设和正弦定理得 3sin A cos C ＝2sin C cos A ，故3tan A cos C ＝2sin C .因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12.所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°.16．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )·(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________． 16. 3 [解析] 根据正弦定理和a ＝2可得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，故得b 2＋c 2－a2＝bc ，根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3.根据b 2＋c 2－a 2＝bc 及基本不等式得bc ≥2bc －a 2，即bc ≤4，所以△ABC 面积的最大值为12×4×32＝ 3.4．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．14．B [解析] 根据三角形面积公式，得12BA ·BC ·sin B ＝12，即12×1×2×sin B ＝12，得sin B ＝22，其中C <A .若B 为锐角，则B ＝π4，所以AC ＝1＋2－2×1×2×22＝1＝AB ，易知A 为直角，此时△ABC 为直角三角形，所以B 为钝角，即B ＝3π4，所以AC ＝1＋2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝ 5. 12．，[2014·山东卷] 在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为______．12.16 [解析] 因为AB ·AC ＝|AB →|·|AC →|cos A ＝tan A ，且A ＝π6，所以|AB →|·|AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝12×23×sin π6＝16.16．，，[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 16．解：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立， ∴cos B 的最小值为12.。

[精品]新高三下学期高考数学模拟试题汇编三角函数03和答案

三角函数031．在△ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 的对边,A 为锐角,已知向量→p =(1,3cos 2A ),→q =(2sin 2A,1-cos2A),且→p ∥→q .(1)若a 2-c 2=b 2-mbc,求实数m 的值;(2)若a=3,求△ABC 面积的最大值,以及面积最大是边b,c 的大小. 2．设函数22()cos()2cos ,32x f x x x R π=++∈. (Ⅰ) 求()f x 的值域;(Ⅱ) 记△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,若()1f B =,1b =,c =求a 的值.3．已知向量⎪⎭⎫⎝⎛-=-=21,cos 3),1,(sin x b x a ,函数()x f +=)(·2-(1)求函数)(x f 的最小正周期T 及单调减区间(2)已知c b a ,,分别是△ABC 内角A,B,C 的对边,其中A 为锐角,4,32==c a 且1)(=A f ,求A,b 和△ABC 的面积S4．已知函数1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xx x x x f .（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]42ππ上的最值.5．在△ABC 中，A ，C 为锐角，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且32=,5cos A sinC (1)求(+)cos A C 的值；(2)若-a c ，求a ，b ，c 的值； (3)已知(++)=2tan A C α，求212+sin cos cos ααα的值。

答案1. (2.解===(II)由1)(=B f 得11)65sin(=++πB ,即0)65sin(=+πB , 又因π<<B 0,故6π=B .解法一:由余弦定理023,cos 2222=+--+=a B ac c a b 2a 得,解得1=a 或2.解法二:由正弦定理C c B b sin sin =得32ππ或3,23sin ==C C 当3π=C 时,2π=A ,从而222=+=c b a ;当π32=C 时,6B ππ==又,6A ,从而1==b a .故a 的值为1或2. 3.解:(1)()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-⋅+=62sin 2cos 212sin 232)(πx x x a b a x f 所以,最小正周期为ππ==22T 226222πππππ+≤-≤-k x k所以,单调减区间为)(],32,62[Z k k k ∈+-ππππ(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈-⎪⎭⎫⎝⎛∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=65,662,2,0,162sin )(πππππA A A A f ,3,262πππ==-∴A A ,由A bc c b a cos 2222-+=得0442=+-b b ,解得2=b 故32sin 21==A bc S4.解：（Ⅰ）由sin 0x ≠得πx k ≠(k ∈Z)，故()f x 的定义域为{x ∈R |π,x k ≠k ∈Z}． (2)分因为1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xxx x x f2cos )cos 1x x x =-⋅+2cos 2x x =-π2sin(2)6x =-， (6)分所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==．…………………7分（II ）由 5[,],2[,],2[,],422636x x x πππππππ挝-?…………..9分当52,,()1662x x f x πππ-==即时取得最小值，…………….11分当2,,()2623x x f x πππ-==即时取得最大值.……………….13分 5.。

高考数学理科(高考真题模拟新题)分类汇编：C单元三角函数

数学C 单元三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数 6．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-1，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图像大致为( )图1-1A BC D6．C [解析] 根据三角函数的定义，点M (cos x ，0)，△OPM 的面积为12|sin x cos x |，在直角三角形OPM 中，根据等积关系得点M 到直线OP 的距离，即f (x )＝|sin x cos x |＝12|sin 2x |，且当x ＝π2时上述关系也成立，故函数f (x )的图像为选项C 中的图像．C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式16．、、[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．16．解：方法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22×⎝⎛⎭⎫22＋22－12＝12.(2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .17．，，[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值．17．解：(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.(2)由(1)得ƒ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin(2×α2－π6)＝34，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154.因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤（α－π6）＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12 ＝3＋158.C3 三角函数的图象与性质9．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增9．B [解析] 由题可知，将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图像，令－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z 时，函数单调递增，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，可知当k ＝0时，函数在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增．3．[2014·全国卷] 设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b3．C [解析] 因为b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°，所以b ＞a .因为cos 35°<1，所以1cos 35°>1，所以sin 35°cos 35°>sin 35°.又c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°>sin 35°，所以c >b ，所以c >b >a .6．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-1，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图像大致为( )图1-1C D6．C [解析] 根据三角函数的定义，点M (cos x ，0)，△OPM 的面积为12|sin x cos x |，在直角三角形OPM 中，根据等积关系得点M 到直线OP 的距离，即f (x )＝|sin x cos x |＝12|sin 2x |，且当x ＝π2时上述关系也成立，故函数f (x )的图像为选项C 中的图像．14．、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．14．1 [解析] 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin x ，故其最大值为1.17．，，[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值．17．解：(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.(2)由(1)得ƒ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin(2×α2－π6)＝34，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154.因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤（α－π6）＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12 ＝3＋158.C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质3．[2014·四川卷] 为了得到函数y ＝sin (2x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin 2x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度3．A [解析] 因为y ＝sin(2x ＋1)＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋12，所以为得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图像，只需要将y ＝sin 2x 的图像向左平行移动12个单位长度．11．[2014·安徽卷] 若将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．11.3π8 [解析] 方法一：将f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像，由该函数的图像关于y 轴对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，所以当φ>0时，φmin＝3π8. 方法二：由f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位后所得的图像关于y 轴对称可知，π4－2φ＝π2＋k π，k ∈Z ，又φ>0，所以φmin ＝3π8. 14．[2014·北京卷] 设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．14．π [解析] 结合图像得T 4＝π2＋2π32－π2＋π62，即T ＝π.16．、、[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．16．解：方法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22×⎝⎛⎭⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .7．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定7．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．如图所示，在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AB 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，CC 1是直线l 3，CD 是直线l 4，则l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．17．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时，实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温． 16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．16．解：(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x . 因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π4，故f (x )在区间[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f （π）＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ（1－2a sin θ）＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1. 又θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，知cos θ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2a sin θ＝0，（2a sin θ－1）sin θ－a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.12．、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x )＝3sin πxm，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)12．C [解析] 函数f (x )的极值点满足πx m ＝π2＋k π，即x ＝m ⎝⎛⎭⎫k ＋12，k ∈Z ，且极值为±3，问题等价于存在k 0使之满足不等式m 2⎝⎛⎭⎫k 0＋122＋3<m 2.因为⎝⎛⎭⎫k ＋122的最小值为14，所以只要14m 2＋3<m 2成立即可，即m 2>4，解得m >2或m <－2，故m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．16．，[2014·山东卷] 已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．16．解：(1)由题意知，f (x )＝＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.由题意知，g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0，2)．由题意知，x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．将其代入y ＝g (x )得，sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π6＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x .由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z .2．[2014·陕西卷] 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π 2．B [解析] 已知函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的周期为T ＝2πω，故函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.16．，，，[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．16．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos α cos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z ，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 15．、、[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．15．解：(1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝14，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.4．[2014·浙江卷] 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位4．C [解析] y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos 3x 的图像向右平移π12个单位可以得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，故选C.17．，，[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值．17．解：(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.(2)由(1)得ƒ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin(2×α2－π6)＝34，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154.因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤（α－π6）＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12 ＝3＋158.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 14．、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．14．1 [解析] 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin x ，故其最大值为1.16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．16．解： (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝sin A 2sin B ，所以由正弦定理可得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac. 因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，即a ＝2 3. (2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝2 23. 故sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝2 23×22＋⎝⎛⎭⎫－13×22＝4－26.7．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定7．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．如图所示，在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AB 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，CC 1是直线l 3，CD 是直线l 4，则l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫3π4－θ.17．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时，实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC→＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2得c ·a ·cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ，又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13. 解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23·2 23＝ 4 29.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4 292＝79. 所以cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋2 23×4 29＝2327.17． [2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .17．解：由题设和正弦定理得 3sin A cos C ＝2sin C cos A ，故3tan A cos C ＝2sin C .因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12.所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°.8．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π28．C [解析] tan α＝1＋sin βcos β＝⎝⎛⎭⎫cos β2＋sin β2cos2β2－sin2β2＝cos β2＋sinβ2cos β2－sin β2＝1＋tan β21－tanβ2＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋β2，因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以π4＋β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2且tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋β2，所以α＝π4＋β2，即2α－β＝π2.13．，[2014·四川卷] 如图1-3所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)图1-313．60 [解析] 过A 点向地面作垂线，记垂足为D ，则在Rt △ADB 中，∠ABD ＝67°，AD ＝46 m ，∴AB ＝AD sin 67°＝460.92＝50(m)，在△ABC 中，∠ACB ＝30°，∠BAC ＝67°－30°＝37°，AB ＝50 m ，由正弦定理得，BC ＝AB sin 37°sin 30°＝60 (m)，故河流的宽度BC 约为60 m.16．，，，[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．16．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos α cos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z ，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 15．、、[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．15．解：(1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝14，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.10．，[2014·重庆卷] 已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A－B )＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc (b ＋c )>8B ．ab (a ＋b )>16 2C ．6≤abc ≤12D ．12≤abc ≤2410．A [解析] 因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝π－B ，C ＝π－(A ＋B )，所以由已知等式可得sin 2A ＋sin(π－2B )＝sin[π－2(A ＋B )]＋12，即sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2(A ＋B )＋12，所以sin[(A ＋B )＋(A －B )]＋sin[(A ＋B )－(A －B )]＝sin 2(A ＋B )＋12，所以2 sin(A ＋B )cos(A －B )＝2sin(A ＋B )cos(A ＋B )＋12，所以2sin(A ＋B )[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12，所以sin A sin B sin C ＝18.由1≤S ≤2，得1≤12bc sin A ≤2.由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，所以1≤2R 2·sin A sin B sin C ≤2，所以1≤R 24≤2，即2≤R ≤2 2，所以bc (b ＋c )>abc ＝8R 3sinA sinB sinC ＝R 3≥8.C6 二倍角公式15．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．15.43 [解析] 如图所示，根据题意，OA ⊥P A ，OA ＝2，OP ＝10，所以P A ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OP A ＝OA P A ＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OP A 1－tan 2∠OP A ＝43，即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.16．、[2014·全国卷] 若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．16．(－∞，2] [解析] f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝－2sin 2x ＋a sin x ＋1，令sin x ＝t ，则f (x )＝－2t 2＋at ＋1.因为x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以f (x )＝－2t 2＋at ＋1，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1.因为f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，所以f (x )＝－2t 2＋at ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是减函数，又对称轴为x ＝a 4，∴a 4≤12，所以a ∈(－∞，2]．16．、、[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．16．解：方法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22×⎝⎛⎭⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .16．，，，[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．16．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z .(2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos α cos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z ，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 15．、、[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．15．解：(1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝14，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.C7 三角函数的求值、化简与证明16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫3π4－θ.17．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时，实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温． 16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．16．解：(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x . 因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π4，故f (x )在区间[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f （π）＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ（1－2a sin θ）＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1.又θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，知cos θ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2a sin θ＝0，（2a sin θ－1）sin θ－a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.16．，，，[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．16．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos α cos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z ，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.C8 解三角形12．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．12．－14[解析] ∵2sin B ＝3sin C ，∴2b ＝3c .又∵b －c ＝a 4，∴a ＝2c ，b ＝32c ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝94c 2＋c 2－4c 22×32c ×c ＝－14.16．、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．16．[－1，1] [解析] 在△OMN 中，OM ＝1＋x 20≥1＝ON ，所以设∠ONM ＝α，则45°≤α<135°.根据正弦定理得1＋x 20sin α＝1sin 45°，所以1＋x 20＝2sin α∈[1，2]，所以0≤x 20≤1，即－1≤x 0≤1，故符合条件的x 0的取值范围为[－1，1]．12．[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________．12．2 [解析] 本题考查了正弦定理以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．利用正弦定理，将b cos C ＋c cos B ＝2b 化简得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，即sin(B ＋C )＝2sin B ．∵sin(B ＋C )＝sin A ，∴sin A ＝2sin B ，利用正弦定理化简得a ＝2b ，故ab＝2.16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．16．解： (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝sin A 2sin B ，所以由正弦定理可得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac. 因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，即a ＝2 3. (2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝2 23. 故sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝2 23×22＋⎝⎛⎭⎫－13×22＝4－26.15．[2014·北京卷] 如图1-2，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．图1-215．解：(1) 在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝4 37.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝4 37×12－17×32＝3 314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×33144 37＝3.在△ABC 中，由余弦定理得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，所以AC ＝7.12．[2014·福建卷] 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝2 3，则△ABC 的面积等于________．12．2 3 [解析] 由BC sin A ＝ACsin B ，得sin B ＝4sin 60°23＝1，∴B ＝90°，C ＝180°－(A ＋B )＝30°，则S △ABC ＝12·AC ·BC sin C ＝12×4×23sin 30°＝23，即△ABC 的面积等于2 3.18．、[2014·湖南卷] 如图1-5所示，ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．18．解：(1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD，故由题设知，cos ∠CAD ＝7＋1－427＝277.(2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD .因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝ 1－⎝⎛⎭⎫2772＝217， sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝⎛⎭⎫－7142＝32114.于是sin α＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD sin ∠CAD＝32114×277－⎝⎛⎭⎫－714×217＝32.在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin α＝ACsin ∠CBA .故BC ＝AC ·sin αsin ∠CBA ＝7×32216＝3.4．[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.9 32 C.3 32D ．3 34．C [解析] 由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab －62ab ＝12，所以ab ＝6，所以S △ABC＝12ab sin C ＝3 32. 17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC→＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2得c ·a ·cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ，又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13. 解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23·2 23＝ 4 29.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4 292＝79. 所以cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋2 23×4 29＝2327.17． [2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .17．解：由题设和正弦定理得 3sin A cos C ＝2sin C cos A ，故3tan A cos C ＝2sin C .因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12.所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 16．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )·(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．16.3 [解析] 根据正弦定理和a ＝2可得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，故得b 2＋c 2－a 2＝bc ，根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3.根据b 2＋c 2－a 2＝bc 及基本不等式得bc ≥2bc －a 2，即bc ≤4，所以△ABC 面积的最大值为12×4×32＝ 3.4．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．14．B [解析] 根据三角形面积公式，得12BA ·BC ·sin B ＝12，即12×1×2×sin B ＝12，得sin B ＝22，其中C <A .若B 为锐角，则B ＝π4，所以AC ＝1＋2－2×1×2×22＝1＝AB ，易知A 为直角，此时△ABC 为直角三角形，所以B 为钝角，即B ＝3π4，所以AC ＝1＋2－2×1×2×⎝⎛⎭⎫－22＝ 5. 12．，[2014·山东卷] 在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为______．12.16 [解析] 因为AB ·AC ＝|AB →|·|AC →|cos A ＝tan A ，且A ＝π6，所以|AB →|·|AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝12×23×sin π6＝16.16．，，[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 16．解：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立， ∴cos B 的最小值为12.13．，[2014·四川卷] 如图1-3所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)图1-313．60 [解析] 过A 点向地面作垂线，记垂足为D ，则在Rt △ADB 中，∠ABD ＝67°，AD ＝46 m ，∴AB ＝AD sin 67°＝460.92＝50(m)，在△ABC 中，∠ACB ＝30°，∠BAC ＝67°－30°＝37°，AB ＝50 m ，由正弦定理得，BC ＝AB sin 37°sin 30°＝60 (m)，故河流的宽度BC 约为60 m. 18． [浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．18．解：(1)由题意得1＋cos 2A 2－1＋cos 2B 2＝32sin 2A －32sin 2B ，即32sin 2A －12cos 2A＝32sin 2B －12cos 2B ，sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6. 由a ≠b ，得A ≠B ，又A ＋B ∈(0，π)，得2A －π6＋2B －π6＝π，。

高考数学 (真题模拟新题分类汇编) 三角函数理

三角函数C1 角的概念及任意的三角函数13．C1，C2，C6[2013·四川卷] 设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．13. 3 [解析] 解法一：由sin 2α＝－sin α，得2sin αcos α＝－sin α，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12，进而sin α＝32，于是tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×（－3）1－3＝ 3. 解法二：同上得cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，可得α＝2π3，∴tan 2α＝tan 4π3＝3.C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式13．C2[2013·全国卷] 已知α是第三象限角，sin α＝－13，则cot α＝________．13．2 2 [解析] cos α＝－1－sin 2α＝－2 23，所以cot α＝cos αsin α＝2 2.13．C1，C2，C6[2013·四川卷] 设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．13. 3 [解析] 解法一：由sin 2α＝－sin α，得2sin αcos α＝－sin α，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12，进而sin α＝32，于是tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×（－3）1－3＝ 3. 解法二：同上得cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，可得α＝2π3，∴tan 2α＝tan 4π3＝3.15．C2，C5[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________．15．－105 [解析] 由tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12得1＋tan θ1－tan θ＝12tan θ＝－13cos θ＝－3sin θ ，由sin 2θ＋cos 2θ＝110sin 2θ＝1，θ 在第二象限，sin θ＝1010，cos θ＝－31010， ∴sin θ＋cos θ＝－105. 20．C2、C5、C6，C8[2013·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2.(1)求C ；(2)设cos Acos B ＝3 25，cos （α＋A ）cos （α＋B ）cos 2α＝25，求tan α的值． 20．解：(1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，所以由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22.故C ＝3π4.(2)由题意得（sin αsin A －cos αcos A ）（sin αsin B －cos αcos B ）cos 2α＝25，因此(tan αsin A －cos A)(tan αsin B －cos B)＝25， tan 2αsin Asin B －tan α(sin Acos B ＋cos Asin B)＋cos Acos B ＝25， tan 2αsin Asin B －tan αsin (A ＋B)＋cos Acos B ＝25.① 因为C ＝3π4，所以A ＋B ＝π4，所以sin (A ＋B)＝22.因为cos (A ＋B)＝cos Acos B －sin Asin B ，即3 25－sin Asin B ＝22. 解得sin Asin B ＝3 25－22＝210.由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4.9．C2、C6，C7[2013·重庆卷] 4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．2 2－19．C [解析] 原式＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2cos （40°－30°）－sin 40°cos 40°＝2（cos 40°cos 30°＋sin 40°sin 30°）－sin 40°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝3，故选C.C3 三角函数的图像与性质3．A2、C3[2013·北京卷] “φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．A [解析] ∵曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点， ∴sin φ＝0，∴φ＝k π，k∈Z ，故选A.1．C3[2013·江苏卷] 函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________． 1．π [解析] 周期为T ＝2π2＝π.8．C3[2013·山东卷] 函数y ＝xcos x ＋sin x 的图像大致为( )1－28．D [解析] ∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x ＋sin x)＝－f(x)，∴y ＝xcos x ＋sin x 为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B.当x ＝π2时，y ＝1>0，排除选项C ；x ＝π，y ＝－π<0，排除选项A ；故选D.C4 函数的图象与性质15．C4[2013·新课标全国卷Ⅰ] 设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________．15．－2 55[解析] 因为f(x)＝sin x －2cos x ＝5sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝－2，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以当x ＋φ＝π2＋2k π(k∈Z )，即x ＝π2－φ＋2k π(k∈Z )时，y ＝f(x)取得最大值5，则cos θ＝cos x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＋2k π＝sin φ，由⎩⎪⎨⎪⎧tan φ＝sin φcos φ＝－2，sin 2 φ＋cos 2 φ＝1，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0可得 sin φ＝－2 55，所以cos θ＝－2 55.16．C4[2013·安徽卷] 已知函数f(x)＝4cos ωx·sin ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间0，π2上的单调性．16．解：(1)f(x)＝4cos ωx ·sin ωx ＋π4＝2 2sin ωx ·cos ωx ＋2 2cos 2ωx＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx)＋2＝2sin2ωx ＋π4＋ 2.因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin2x ＋π4＋ 2.若0≤x≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增；当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间0，π8上单调递增，在区间π8，π2上单调递减．20．C4，C9，B14[2013·福建卷] 已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的周期为π，图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫π4，0.将函数f(x)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图像向右平移π2个单位长度后得到函数g(x)的图像．(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；(2)是否存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4，使得f(x 0)，g(x 0)，f(x 0)g(x 0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x 0的个数；若不存在，说明理由；(3)求实数a 与正整数n ，使得F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，n π)内恰有2013个零点．20．解：(1)由函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)的周期为π，ω>0，得ω＝2πT ＝2.又曲线y ＝f(x)的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫π4，0，φ∈(0，π)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝0，得φ＝π2，所以f(x)＝cos 2x.将函数f(x)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y ＝cos x 的图像，再将y ＝cos x 的图像向右平移π2个单位长度后得到函数g(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2的图像，所以g(x)＝sin x.(2)当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4时，12<sin x<22，0<cos 2x<12，所以sin x>cos 2x>sin xcos 2x.问题转化为方程2cos 2x ＝sin x ＋sin xcos 2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4内是否有解．设G(x)＝sin x ＋sin xcos 2x －2cos 2x ，x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4，则G′(x)＝cos x ＋cos xcos 2x ＋2sin 2x(2－sin x)．因为x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4，所以G′(x)>0，G(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4内单调递增．又G ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－14<0，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22>0，且函数G(x)的图像连续不断，故可知函数G(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4内存在唯一零点x 0，即存在唯一的x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4满足题意． (3)方法一：依题意，F(x)＝asinx ＋cos 2x ，令F(x)＝asin x ＋cos 2x ＝0. 当sin x ＝0，即x ＝k π(k∈Z )时，cos2x ＝1，从而x ＝k π(k∈Z )不是方程F(x)＝0的解，所以方程F(x)＝0等价于关于x 的方程a ＝－cos 2x sin x，x≠k π(k∈Z )．现研究x∈(0，π)∪(π，2π)时方程a ＝－cos 2xsin x 的解的情况．令h(x)＝－cos 2xsin x，x∈(0，π)∪(π，2π)，则问题转化为研究直线y ＝a 与曲线y ＝h(x)，x∈(0，π)∪(π，2π)的交点情况． h ′(x)＝cos x （2 sin 2x ＋1）sin x ，令h′(x)＝0，得x ＝π2或x ＝3π2. 当x 变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：当x>0且x 趋近于0时，h(x)趋向于－∞，当x<π且x 趋近于π时，h(x)趋向于－∞，当x>π且x 趋近于π时，h(x)趋向于＋∞，当x<2π且x 趋近于2π时，h(x)趋向于＋∞，故当a>1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h(x)在(0，π)内无交点，在(π，2π)内有2个交点；当a<－1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内无交点；当－1<a<1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内有2个交点．由函数h(x)的周期性，可知当a≠±1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h(x)在(0，n π)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y ＝a 与曲线y ＝h(x)在(0，n π)内恰有2 013个交点；又当a ＝1或a ＝－1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h(x)在(0，π)∪(π，2π)内有3个交点，由周期性，2013＝3×671，所以依题意得n ＝671×2＝1342.综上，当a ＝1，n ＝1342或a ＝－1，n ＝1342时，函数F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，n π)内恰有2013个零点．方法二：依题意，F(x)＝asin x ＋cos2x ＝－2sin 2x ＋asin x ＋1. 现研究函数F(x)在(0，2π]上的零点的情况．设t ＝sin x ，p(t)＝－2t 2＋at ＋1(－1≤t≤1)，则函数p(t)的图象是开口向下的抛物线，又p(0)＝1>0，p(－1)＝－a －1，p(1)＝a －1.当a>1时，函数p(t)有一个零点t 1∈(－1，0)(另一个零点t 2>1，舍去)，F(x)在(0，2π]上有两个零点x 1，x 2，且x 1，x 2∈(π，2π)；当a<－1时，函数p(t)有一个零点t 1∈(0，1)(另一个零点t 2<－1，舍去)，F(x)在(0，2π]上有两个零点x 1，x 2，且x 1，x 2∈(0，π)；当－1<a<1时，函数p(t)的一个零点t 1∈(－1，0)，另一个零点t 2∈(0，1)，F(x)在(0，π)和(π，2π)上分别有两个零点．由正弦函数的周期性，可知当a≠±1时，函数F(x)在(0，n π)内总有偶数个零点，从而不存在正整数n 满足题意．当a ＝1时，函数p(t)的一个零点t 1∈(－1，0)，另一个零点t 2＝1；当a ＝－1时，函数p(t)的一个零点t 1＝－1，另一个零点t 2∈(0，1)，从而当a ＝1或a ＝－1时，函数F(x)在(0，2π]有3个零点，由正弦函数的周期性，2013＝3×671，所以依题意得n ＝671×2＝1342.综上，当a ＝1，n ＝1342或a ＝－1，n ＝1342时，函数F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，n π)内恰有2 013个零点．4．C4[2013·湖北卷] 将函数y ＝3cos x ＋sin x (x∈R )的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12 B.π6 C.π3 D.5π64．B [解析] 结合选项，将函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像向左平移π6个单位得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2cos x ，它的图像关于y 轴对称，选B.11．C4[2013·江西卷] 函数y ＝sin 2x ＋2 3sin 2x 的最小正周期T 为________．11．π [解析] y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3，所以最小正周期为π. 17．C4[2013·辽宁卷] 设向量a ＝(3sin x ，sin x)，b ＝(cos x ，sin x)，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f(x)＝a·b ，求f(x)的最大值．17．解： (1)由|a |2＝(3sin x)2＋(sin x)2＝4sin 2x.|b |2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f(x)＝a·b ＝3sin x·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f(x)的最大值为32.5．C4[2013·山东卷] 将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A.3π4 B.π4 C ．0 D ．－π45．B [解析] 方法一：将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后得到f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图像，若f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ为偶函数，必有π4＋φ＝k π＋π2，k∈Z ，当k ＝0时，φ＝π4.方法二：将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后得到f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图像，其对称轴所在直线满足2x ＋π4＋φ＝k π＋π2，k∈Z ，又∵f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ为偶函数，∴y 轴为其中一条对称轴，即π4＋φ＝k π＋π2，k∈Z ，当k ＝0时，φ＝π4.16．F3，C4[2013·陕西卷] 已知向量a ＝cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x)，x∈R ，设函数f(x)＝a·b .(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．16．解：f(x)＝cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x)＝3cos xsin x －12cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x＝sin2x －π6.(1)f(x)的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π. (2)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f(x)取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f(0)＝－12，当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f π2＝12，∴f(x)的最小值为－12.因此，f(x)在0，π2上最大值是1，最小值是－12.5．C4[2013·四川卷] 函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图像如图1－4所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π35．A [解析] 由图知3T 4＝5π12＋π3＝3π4，故周期T ＝π，于是ω＝2.∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．再由f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝2，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1，于是5π6＋φ＝2k π＋π2(k∈Z )，因为－π2<φ<π2，取k ＝0，得φ＝－π3.15．C4，C5[2013·天津卷] 已知函数f(x)＝－2sin2x ＋π4＋6sin xcos x －2cos 2 x ＋1，x∈R .(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．15．解：(1)f(x)＝－2sin 2x ·cos π4－2cos 2x ·sin π4＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x－2cos 2x ＝2 2sin2x －π4.所以，f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间0，3π8上是增函数，在区间3π8，π2上是减函数．又f(0)＝－2，f3π8＝2 2，f π2＝2，故函数f(x)在区间0，π2上的最大值为2 2，最小值为－2.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切17．C5、C8[2013·山东卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值；(2)求sin(A －B)的值．17．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，得b 2＝(a ＋c)2－2ac(1＋cosB)，又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝4 29. 由正弦定理得sin A ＝asin B b ＝2 23.因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B)＝sin Acos B －cos Asin B ＝10 227.17．C5，C8，F1[2013·四川卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B 2cos B －sin (A －B)sin B ＋cos(A ＋C)＝－35. (1)求cos A 的值；(2)若a ＝4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 17．解：(1)由2cos2A －B 2cos B －sin(A －B)sin B ＋cos(A ＋C)＝－35，得 [cos(A －B)＋1]cosB －sin(A －B)sinB －cosB ＝－35，即cos(A －B)cosB －sin(A －B)sinB ＝－35，则cos(A －B ＋B)＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0<A<π，得sinA ＝45.由正弦定理，有a sin A ＝b sinB ，所以sinB ＝bsinA a ＝22.由题意知a>b ，则A>B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(4 2)2＝52＋c 2－2×5c×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cosB ＝22.15．C4，C5[2013·天津卷] 已知函数f(x)＝－2sin2x ＋π4＋6sin xcos x －2cos 2x ＋1，x∈R .(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．15．解：(1)f(x)＝－2sin 2x ·cos π4－2cos 2x ·sin π4＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x－2cos 2x ＝2 2sin2x －π4.所以，f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间0，3π8上是增函数，在区间3π8，π2上是减函数．又f(0)＝－2，f3π8＝2 2，f π2＝2，故函数f(x)在区间0，π2上的最大值为2 2，最小值为－2.17．C5，C8[2013·新课标全国卷Ⅱ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝bcos C ＋csin B.(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 17．解：(1)由已知及正弦定理得 sin A ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ．① 又A ＝π－(B ＋C)，故sin A ＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ．② 由①②和C∈(0，π)得sin B ＝cos B.又B∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12acsin B ＝24ac.由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2accos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.17．C5，C8[2013·新课标全国卷Ⅱ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝bcos C ＋csin B.(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．17．解：(1)由已知及正弦定理得 sin A ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ．① 又A ＝π－(B ＋C)，故sin A ＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ．② 由①②和C∈(0，π)得sin B ＝cos B. 又B∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12acsin B ＝24ac.由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2accos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.15．C2，C5[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________．15．－105 [解析] 由tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12得1＋tan θ1－tan θ＝12tan θ＝－13cos θ＝－3sin θ ，由sin 2θ＋cos 2θ＝110sin 2θ＝1，θ 在第二象限，sin θ＝1010，cos θ＝－31010， ∴sin θ＋cos θ＝－105. 20．C2、C5、C6，C8[2013·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2.(1)求C ；(2)设cos Acos B ＝3 25，cos （α＋A ）cos （α＋B ）cos 2α＝25，求tan α的值． 20．解：(1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，所以由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22.故C ＝3π4.(2)由题意得（sin αsin A －cos αcos A ）（sin αsin B －cos αcos B ）cos 2α＝25，因此(tan αsin A －cos A)(tan αsin B －cos B)＝25， tan 2αsin Asin B －tan α(sin Acos B ＋cos Asin B)＋cos Acos B ＝25， tan 2αsin Asin B －tan αsin (A ＋B)＋cos Acos B ＝25.①因为C ＝3π4，所以A ＋B ＝π4，所以sin (A ＋B)＝22.因为cos (A ＋B)＝cos Acos B －sin Asin B ，即3 25－sin Asin B ＝22. 解得sin Asin B ＝3 25－22＝210.由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4.C6 二倍角公式13．C1，C2，C6[2013·四川卷] 设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．13. 3 [解析] 解法一：由sin 2α＝－sin α，得2sin αcos α＝－sin α，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12，进而sin α＝32，于是tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×（－3）1－3＝ 3. 解法二：同上得cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，可得α＝2π3，∴tan 2α＝tan 4π3＝3.20．C2、C5、C6，C8[2013·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2.(1)求C ；(2)设cos Acos B ＝3 25，cos （α＋A ）cos （α＋B ）cos 2α＝25，求tan α的值． 20．解：(1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，所以由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22.故C ＝3π4.(2)由题意得（sin αsin A －cos αcos A ）（sin αsin B －cos αcos B ）cos 2α＝25，因此(tan αsin A －cos A)(tan αsin B －cos B)＝25， tan 2αsin Asin B －tan α(sin Acos B ＋cos Asin B)＋cos Acos B ＝25， tan 2αsin Asin B －tan αsin (A ＋B)＋cos Acos B ＝25.① 因为C ＝3π4，所以A ＋B ＝π4，所以sin (A ＋B)＝22.因为cos (A ＋B)＝cos Acos B －sin Asin B ，即3 25－sin Asin B ＝22. 解得sin Asin B ＝3 25－22＝210.由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4.9．C2、C6，C7[2013·重庆卷] 4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．2 2－19．C [解析] 原式＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2cos （40°－30°）－sin 40°cos 40°＝2（cos 40°cos 30°＋sin 40°sin 30°）－sin 40°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝3，故选C.C7 三角函数的求值、化简与证明15．C7，C8[2013·北京卷] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2 6，∠B＝2∠A. (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．15．解：(1)因为a ＝3，b ＝2 6，∠B＝2∠A，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝2 6sin 2A .所以2sin Acos A sin A ＝2 63.故cos A ＝63. (2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B＝2∠A，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝2 23.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B) ＝sin AcosB ＋cos Asin B＝5 39. 所以c ＝a sin Csin A＝5.18．C7、C8[2013·全国卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac.(1)求B ；(2)若sin Asin C ＝3－14，求C. 18．解：(1)因为(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac. 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C)＝cos Acos C ＋sin Asin C ＝cos Acos C －sin Asin C ＋2sin Asin C ＝cos(A ＋C)＋2sin Asin C ＝12＋2×3－14＝32，故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°. 6．C7[2013·浙江卷] 已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－436．C [解析] 由(sin α＋2cos α)2＝1022'得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝104＝52，4sin αcos α＋1＋3cos 2α＝52，2sin 2α＋1＋3×1＋cos 2α2＝52，故2sin 2α＝－3cos 2α2，所以tan 2α＝－34，选择C. 9．C2、C6，C7[2013·重庆卷] 4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．2 2－19．C [解析] 原式＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2cos （40°－30°）－sin 40°cos 40°＝2（cos 40°cos 30°＋sin 40°sin 30°）－sin 40°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝3，故选C.C8 解三角形17．C8[2013·新课标全国卷Ⅰ] 如图1－4所示，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB＝150°，求tan ∠PBA.图1－417．解：(1)由已知得， ∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74.故PA ＝72.(2)设∠PBA＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin （30°－α），化简得3cos α＝4sin α.所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34. 13．C8[2013·福建卷] 如图1－4所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD⊥AC，sin ∠BAC ＝2 23，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为__________．图1－413. 3 [解析] 设∠BAD＝θ，则∠BAC＝θ＋π2，sin θ＋π2＝23 2，所以cos θ＝232，△ABD 中，由余弦定理得BD ＝AB 2＋AD 2－2AB·AD·cos θ＝ 3.17．C8[2013·湖北卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c.已知cos 2A －3cos(B ＋C)＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝5 3，b ＝5，求sin Bsin C 的值．17．解： (1)由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0. 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，因为0<A<π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bcsin A ＝12bc ·32＝34bc ＝5 3，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ＝25＋16－20＝21，故a ＝21.又由正弦定理得sin Bsin C ＝b a sinA c a sin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57.3．C8[2013·湖南卷] 在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2asin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12 B.π6 C.π4 D.π33．D [解析] 由正弦定理可得2sin Asin B ＝3sin B ，又sin B ≠0，所以可得sin A ＝32，又A 为锐角，故A ＝π3，选D. 16．C8[2013·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A)cos B ＝0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解：(1)由已知得－cos(A ＋B)＋cos Acos B －3sin A cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin Acos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0，又cos B ≠0，所以tan B ＝3，又0<B<π，所以B ＝π3.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2accos B. 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，有b 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14.又0<a<1，于是有14≤b 2<1，即有12≤b<1.15．C7，C8[2013·北京卷] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2 6，∠B＝2∠A.(1)求cos A 的值； (2)求c 的值．15．解：(1)因为a ＝3，b ＝2 6，∠B＝2∠A，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝2 6sin 2A .所以2sin Acos A sin A ＝2 63.故cos A ＝63. (2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B＝2∠A，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝2 23.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B) ＝sin AcosB ＋cos Asin B ＝5 39. 所以c ＝a sin Csin A＝5.6．C8[2013·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若asin Bcos C ＋csin Bcos A ＝12b ，且a>b ，则∠B ＝( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π66．A [解析] 由正弦定理可得到sin Asin Bcos C ＋sin Csin Bcos A ＝12sin B ．因为B∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以sin Acos C ＋sin Ccos A ＝12，即sin(A ＋C)＝sin B ＝12，则∠B＝π6，故选A. 18．C7、C8[2013·全国卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac.(1)求B ；(2)若sin Asin C ＝3－14，求C. 18．解：(1)因为(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac. 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C)＝cos Acos C ＋sin Asin C ＝cos Acos C －sin Asin C ＋2sin Asin C ＝cos(A ＋C)＋2sin Asin C ＝12＋2×3－14＝32，故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°.17．C5、C8[2013·山东卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值；(2)求sin(A －B)的值．17．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，得b 2＝(a ＋c)2－2ac(1＋cosB)，又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝4 29. 由正弦定理得sin A ＝asin B b ＝2 23.因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B)＝sin Acos B －cos Asin B ＝10 227.7．C8[2013·陕西卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcos C ＋ccos B ＝asin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定7．B [解析] 结合已知bcos C ＋ccos B ＝asin A ，所以由正弦定理代入可得sin Bcos C＋sin Ccos B ＝sin Asin A sin(B ＋C)＝sin 2A sin A ＝sin 2A sin A ＝1，故A ＝90°，故三角形为直角三角形．17．C5，C8，F1[2013·四川卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B 2cos B －sin (A －B)sin B ＋cos(A ＋C)＝－35. (1)求cos A 的值；(2)若a ＝4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 17．解：(1)由2cos2A －B 2cos B －sin(A －B)sin B ＋cos(A ＋C)＝－35，得 [cos(A －B)＋1]cosB －sin(A －B)sinB －cosB ＝－35，即cos(A －B)cosB －sin(A －B)sinB ＝－35，则cos(A －B ＋B)＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0<A<π，得sinA ＝45.由正弦定理，有a sin A ＝b sinB ，所以sinB ＝bsinA a ＝22.由题意知a>b ，则A>B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(4 2)2＝52＋c 2－2×5c×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cosB ＝22.15．C8，E8，N1[2013·四川卷] 设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到P 1，P 2，…，P n 点的距离之和最小，则称点P 为P 1，P 2，…，P n 点的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点．则有下列命题：①若A ，B ，C 三个点共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)15．①④ [解析] 对于①，如果中位点不在直线AB 上，由三角形两边之和大于第三边可知与题意矛盾．而当中位点在直线AB 上时，如果不与C 重合，则|PA|＋|PB|＋|PC|＞|PA|＋|PB|也不符合题意，故C 为唯一的中位点，①正确；对于②，我们取斜边长为4的等腰直角三角形，此时，斜边中点到三个顶点的距离均为2，和为6；而我们取斜边上中线的中点，该点到直角顶点的距离为1，到两底角顶点的距离均为5，显然2 5＋1＜6，故该直角三角形的斜边中点不是中位点，②错误；对于③，当A ，B ，C ，D 四点共线时，不妨设他们的顺序就是A ，B ，C ，D ，则当点P 在B ，C 之间运动时，点P 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和相等且最小，即这个时候的中位点有无穷多个，③错误；对于④，同样根据三角形两边之和大于第三边的性质，如果中位点不在对角线的交点上，则距离之和肯定不是最小的，④正确．6．C8[2013·天津卷] 在△ABC 中，∠ABC＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A.1010B.105C.31010 D.556．C [解析] 由余弦定理得AC 2＝2＋9－2×3×2×22＝5，即AC ＝5，由正弦定理得3sin ∠BAC ＝522，解得sin ∠BAC ＝3 1010.17．C5，C8[2013·新课标全国卷Ⅱ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝bcos C ＋csin B.(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 17．解：(1)由已知及正弦定理得 sin A ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ．① 又A ＝π－(B ＋C)，故sin A ＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ．② 由①②和C∈(0，π)得sin B ＝cos B.又B∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12acsin B ＝24ac.由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2accos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.20．C2、C5、C6，C8[2013·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2.(1)求C ；(2)设cos Acos B ＝3 25，cos （α＋A ）cos （α＋B ）cos 2α＝25，求tan α的值． 20．解：(1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，所以由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22.故C ＝3π4.(2)由题意得（sin αsin A －cos αcos A ）（sin αsin B －cos αcos B ）cos α＝25，因此(tan αsin A －cos A)(tan αsin B －cos B)＝25， tan 2αsin Asin B －tan α(sin Acos B ＋cos Asin B)＋cos Acos B ＝25， tan 2αsin Asin B －tan αsin (A ＋B)＋cos Acos B ＝25.① 因为C ＝3π4，所以A ＋B ＝π4，所以sin (A ＋B)＝22.因为cos (A ＋B)＝cos Acos B －sin Asin B ，即3 25－sin Asin B ＝22. 解得sin Asin B ＝3 25－22＝210.由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4.C9 单元综合20．C4，C9，B14[2013·福建卷] 已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的周期为π，图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫π4，0.将函数f(x)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图像向右平移π2个单位长度后得到函数g(x)的图像．(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；(2)是否存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4，使得f(x 0)，g(x 0)，f(x 0)g(x 0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x 0的个数；若不存在，说明理由；(3)求实数a 与正整数n ，使得F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，n π)内恰有2013个零点．20．解：(1)由函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)的周期为π，ω>0，得ω＝2πT ＝2.又曲线y ＝f(x)的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫π4，0，φ∈(0，π)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝0，得φ＝π2，所以f(x)＝cos 2x.将函数f(x)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y ＝cos x 的图像，再将y ＝cos x 的图像向右平移π2个单位长度后得到函数g(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2的图像，所以g(x)＝sin x.(2)当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4时，12<sin x<22，0<cos 2x<12，所以sin x>cos 2x>sin xcos 2x.问题转化为方程2cos 2x ＝sin x ＋sin xcos 2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4内是否有解．设G(x)＝sin x ＋sin xcos 2x －2cos 2x ，x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4，则G′(x)＝cos x ＋cos xcos 2x ＋2sin 2x(2－sin x)．因为x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4，所以G′(x)>0，G(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4内单调递增．又G ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－14<0，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22>0，且函数G(x)的图像连续不断，故可知函数G(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4内存在唯一零点x 0，即存在唯一的x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4满足题意． (3)方法一：依题意，F(x)＝asinx ＋cos 2x ，令F(x)＝asin x ＋cos 2x ＝0. 当sin x ＝0，即x ＝k π(k∈Z )时，cos2x ＝1，从而x ＝k π(k∈Z )不是方程F(x)＝0的解，所以方程F(x)＝0等价于关于x 的方程a ＝－cos 2x sin x，x≠k π(k∈Z )．现研究x∈(0，π)∪(π，2π)时方程a ＝－cos 2xsin x 的解的情况．令h(x)＝－cos 2xsin x，x∈(0，π)∪(π，2π)，则问题转化为研究直线y ＝a 与曲线y ＝h(x)，x∈(0，π)∪(π，2π)的交点情况． h ′(x)＝cos x （2 sin 2x ＋1）sin 2x ，令h′(x)＝0，得x ＝π2或x ＝3π2.当x 变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：当x>0且x 趋近于0时，h(x)趋向于－∞，当x<π且x 趋近于π时，h(x)趋向于－∞，当x>π且x 趋近于π时，h(x)趋向于＋∞，当x<2π且x 趋近于2π时，h(x)趋向于＋∞，故当a>1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h(x)在(0，π)内无交点，在(π，2π)内有2个交点；当a<－1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内无交点；当－1<a<1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内有2个交点．由函数h(x)的周期性，可知当a≠±1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h(x)在(0，n π)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y ＝a 与曲线y ＝h(x)在(0，n π)内恰有2 013个交点；又当a ＝1或a ＝－1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h(x)在(0，π)∪(π，2π)内有3个交点，由周期性，2013＝3×671，所以依题意得n ＝671×2＝1342.综上，当a ＝1，n ＝1342或a ＝－1，n ＝1342时，函数F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，n π)内恰有2013个零点．方法二：依题意，F(x)＝asin x ＋cos2x ＝－2sin 2x ＋asin x ＋1. 现研究函数F(x)在(0，2π]上的零点的情况．设t ＝sin x ，p(t)＝－2t 2＋at ＋1(－1≤t≤1)，则函数p(t)的图象是开口向下的抛物线，又p(0)＝1>0，p(－1)＝－a －1，p(1)＝a －1.当a>1时，函数p(t)有一个零点t 1∈(－1，0)(另一个零点t 2>1，舍去)，F(x)在(0，2π]上有两个零点x 1，x 2，且x 1，x 2∈(π，2π)；当a<－1时，函数p(t)有一个零点t 1∈(0，1)(另一个零点t 2<－1，舍去)，F(x)在(0，2π]上有两个零点x 1，x 2，且x 1，x 2∈(0，π)；当－1<a<1时，函数p(t)的一个零点t 1∈(－1，0)，另一个零点t 2∈(0，1)，F(x)在(0，π)和(π，2π)上分别有两个零点．由正弦函数的周期性，可知当a≠±1时，函数F(x)在(0，n π)内总有偶数个零点，从而不存在正整数n 满足题意．当a ＝1时，函数p(t)的一个零点t 1∈(－1，0)，另一个零点t 2＝1；当a ＝－1时，函数p(t)的一个零点t 1＝－1，另一个零点t 2∈(0，1)，从而当a ＝1或a ＝－1时，函数F(x)在(0，2π]有3个零点，由正弦函数的周期性，2013＝3×671，所以依题意得n ＝671×2＝1342.综上，当a ＝1，n ＝1342或a ＝－1，n ＝1342时，函数F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，n π)内恰有2 013个零点．17．C9[2013·湖南卷] 已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，g(x)＝2sin 2x2.(1)若α是第一象限角，且f(α)＝3 35，求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x 的取值集合．17．解：f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x.g(x)＝2sin 2x2＝1－cos x.(1)由f(α)＝3 35得sin α＝35.又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g(α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f(x)≥g(x)等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k∈Z .故使f(x)≥g(x) 成立的x 的取值集合为x 错误!2k π≤x ≤2k π＋错误!，k∈Z .18．C9[2013·江苏卷] 如图1－4，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？图1－418．解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45，从而sin B ＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C)＝sin Acos C ＋cos Asin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t)m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×1213＝200(37t 2－70t ＋50)．因为0≤t≤1 040130，即0≤t≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C. 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．15．C9[2013·江苏卷] 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a －b |＝2，求证：a⊥b ；(2)设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．15．解：(1)由题意得|a －b|2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b ＝2，即a·b ＝0，故a⊥b. (2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得，sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.12．C9、B14[2013·全国卷] 已知函数f(x)＝cos xsin 2x ，下列结论中错误的是( ) A ．y ＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称 B ．y ＝f(x)的图像关于直线x ＝π2对称。

历年全国人教版数学高考真题与模拟题分类汇编 c单元三角函数(理科2021年) 含答案

历年全国人教版数学高考真题与模拟题分类汇编 c单元三角函数（理科2021年）含答案历年全国人教版数学高考真题与模拟题分类汇编c单元三角函数（理科2021年）含答案数学C元素的三角函数c1角的概念及任意角的三角函数6.C1和C3如图1-1所示，圆O的半径为1，a为圆上的固定点，P为圆上的移动点，角X的起始边为射线OA，终止边为射线op。

通过点P为直线OA的垂直线，垂直脚是m。

2（1）如果0π2，和sinα＝求f（α）的值；22(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．16.解决方案：方法1：（1）因为0π22，sinα＝，所以cosα＝.2222.22? 一所以f(α)＝×?＋?－2.22? 21＝.2一(2)因为f(x)＝sinxcosx＋cosx－二211＋cos2x1＝sin2x＋－22211＝sin2x＋cos2x22π?2?罪恶？2x＋4?2?所以t＝2π＝π.2πππ≤2x＋≤2kπ＋，k∈z，242从2Kπ开始-得kπ－3ππ≤x≤kπ＋，k∈z.883ππ??，kπ＋?，k∈z.所以f(x)的单调递增区间为?kπ－88??1方法二：F（x）=sinxcosx+cos2x-211+cos2x1=sin2x+-22211＝sin2x＋cos2x22＝π? 2.sin?2x＋?.(1)因为0π2π，sinα＝因此α＝2224从而f(α)＝π? 223π1?sin?2α＋?＝sin＝.4?2242?（2） t＝2π＝π.2πππ3ππ从2Kπ-≤ 2x+≤ 2Kπ+，K∈ Z、Kπ-≤ 十、≤ Kπ+，K∈ 得到了Z242883ππ??，kπ＋K∈ 那么F（x）的单调递增区间是？kπ-88？？ππ??17.C2，C3，C4已知函数f（x）=3sin（ωx＋φ）？ω> 0，－≤ φ22??图像关于直线x＝π对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.3（1）Begω和φ的值；2π?3π?3?π?α??（2）如果f？=？3?2??2?4?6?17.解：（1）因为F（x）像上两个相邻的最高点之间的距离是π，所以？（x）T=π的最小正周期，soω＝2ππ对称，3又因为f(x)的图像关于直线x＝所以2×因为－ππ＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2， (32)ππ≤ 22岁π6.所以φ＝－α π3? α?(2)由(1)得???＝3sin(2×－)＝，264? 2.π? 1.所以sin?α－?＝.6.4.。

2021-2022年高考数学3月模拟试题分类汇编三角函数理

2021-2022年高考数学3月模拟试题分类汇编三角函数理一、选择题1、（济宁市xx 高三3月模拟）已知函数()222cos f x x x =-，下面结论中错误．．的是 A.函数的最小正周期为 B.函数的图象关于直线对称C.函数的图象可由的图象向右平移个单位得到D.函数在区间上是增函数2、（临沂市xx 高三3月模拟）在中，1cos ,3sin 2sin 3A B C ==且的面积为，则边的A. B. 3 C.2 D.3、（日照市xx 高三3月模拟）将函数图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是 A.B.C.D.4、（泰安市xx 高三3月模拟）已知函数()()3sin 206f x x πωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是 A.3B.C.D.5、（烟台市xx 高三3月模拟）将的图象右移个单位后得到的图象.若对于满足()()12122,f x g x x x -=的，有的最小值为，则的值为A. B. C. D.6、（枣庄市xx 高三3月模拟）函数()()()2cos 2sin sin 2f x x x θθθ=+-+（为常数，且）图象的一个对称中心的坐标为（）A ．B ．（0,0）C ．D ．7、（淄博市xx 高三3月模拟）使函数()sin(2x )3cos(2x )f x θθ=+++是奇函数，且在上是减函数的的一个值是 A. B. C. D.8、（济南市xx 高三3月模拟）函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，则的值为（A ）2－（B ）2＋（C ）1－（D ）1＋参考答案：1、C2、B3、C4、A5、B6、B7、B8、A二、填空题 1、（滨州市xx 高三3月模拟）在中，角A,B,C 的对边分别是，且，则 . 2、（菏泽市xx 高三3月模拟）分别是角A,B,C 的对边，的面积为，且，则3、（济宁市xx 高三3月模拟）已知，满足()tan 9tan tan αββα+=，则的最大值为 ▲ .4、（临沂市xx 高三3月模拟）已知，则5、（青岛市xx 高三3月模拟）已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<是偶函数，它的部分图象如图所示.M 是函数图象上的点，K ，L 是函数的图象与x 轴的交点，且为等腰直角三角形，则___________；6、（泰安市xx 高三3月模拟）若，则的值为__________.7、（潍坊市xx 高三3月模拟）已知中，分别为内角的对边，且cos cos 3cos a B b A c C ⋅+⋅=⋅，则___________.8、（淄博市xx 高三3月模拟）锐角三角形中，分别是三内角A,B,C 的对边，设，则的取值范围是 .参考答案：1、－12、2或3、4、5、6、 7、 8、三、解答题1、（滨州市xx 高三3月模拟）已知函数()()23sin 2sin 02xf x x m ωωω=-+>的最小正周期为，且当时，函数的最大值为1. （Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）在中，若，且()22sin cos cos B B A C =+-，求的值.2、（德州市xx 高三3月模拟）已知函数2()23sincos2sin (0)222xxxf x ωωωω=->的最小正周期为3。

高考数学模拟试卷复习试题三角函数和解三角形三角恒等变换4

高考数学模拟试卷复习试题三角函数和解三角形三角恒等变换一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

） 1.已知x ∈),2(ππ，cos2x ＝a ，则cosx ＝()A.1－a2B ．－1－a2C. 1＋a2D ．－1＋a2【答案】D【解析】依题意得cos2x ＝1＋cos2x 2＝1＋a2；又x ∈),2(ππ，因此cosx ＝－1＋a2. 2. 【成都七中数学阶段性测试题，理8】已知10,2sin cos 2a R αα∈-=，则tan(2)4πα-=（） A ．43B ．7-C ．34-D ．17【答案】B3. 【皖南八校高三第一次联考，理6】函数()cos 22sin f x x x =+的最小值与最大值的和等于( ) A.2 B.0 C.32- D.12- 【答案】C4.已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-=( )A ．13B ．13- C ．23D ．23- 【答案】C【解析】22sin 1222cos 14cos 2απαπα+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-322311=+=，故选C. 5. 已知53cos()25+=πα，02-<<πα，则sin 2α的值是（）（A ）2425 （B ）1225 （C ）1225- （D ）2425-【答案】D【解析】由已知，sinα＝－35，又02-<<πα，故cosα＝45 ∴sin2α＝2sinαcosα＝2×（－35）×45＝－24256. 已知tan 222α=-，且满足42ππα<<，则⎪⎭⎫⎝⎛+--απαα4sin 21sin 2cos 22值（）A ．2B ．－2C ．223+-D ．223- 【答案】C22cos sin 1cos sin 222sin cos cos sin 444ααααπππααα---=⎛⎫⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎭cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos αααααααααα--==++1tan 22231tan 12αα-===++．故C 正确． 7. 若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则3cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（） A ．118B ．118- C ．1718 D ．1718-【答案】D ．8. 已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+=（）A ．B ．C ．D ．【答案】C9.设a R ∈，函数2()cos (sin cos )cos ()2f x x a x x x π=-+-满足()(0)3f f π-=．则()f x 的单调递减区间为（） A. )Z ](65,3[∈+-k k k ππππ B. )Z ](65,6[∈++k k k ππππ C. )Z ](3,65[∈--k k k ππππ D.)Z ](65,3[∈++k k k ππππ 【答案】D10. 已知ABC ∆中，83sin ,cos 175A B ==，则cos C 等于 A ．1385-或7785 B ．7785 C ．7785- D ．1385-【答案】D11.已知函数23()3sin cos 3cos 2f x x x x ωωω=+-，其中0ω>.若()f x 在区间[,]36ππ-上为增函数，则ω的最大值为（） A ．23 B ．1 C ．32D ．2 【答案】B【解析】因为sin y x =在每个区间[2,2]()22k k k Z ππππ-+∈上为增函数，故23()3sin cos 3cos 3sin(2)(0)6f x x x x x πωωωωω=+-=+>在每个闭区间[,]()36k k k Z ππππωωωω-+∈上为增函数，依题意知：[,][,]3636k k ππππππωωωω-⊆-+对某个k Z ∈成立，此时必有0k =，于是3366ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得1ω≤，故ω的最大值为1. 12. 【高考重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

高考数学分类练习 C单元三角函数(理科)含答案3

数学C 单元三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式12．B9、C2、C6 函数f (x )＝4cos 2x 2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________．12．2 f (x )＝4cos 2x2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|.令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图像，如图所示．观察图像可知，两个函数的图像有2个交点，故函数f (x )有2个零点. 19．C2、C5、C8 如图14所示，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos Asin A；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2的值．19．解：(1)证明：tan A 2＝sin A2cos A 2＝2sin2A22sin A 2cosA 2＝1－cos Asin A .(2)由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B . 由(1)知， tanA2＋tanB2＋tanC2＋tanD2＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－cos （180°－A ）sin （180°－A ）＋1－cos （180°－B ）sin （180°－B ）＝2sin A ＋2sin B.连接BD ，在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ，在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A ，则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 22（AB ·AD ＋BC ·CD ）＝62＋52－32－422×（6×5＋3×4）＝37.于是sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫372＝2107. 连接AC ，同理可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 22（AB ·BC ＋AD ·CD ）＝62＋32－52－422×（6×3＋5×4）＝119，于是sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1192＝6 1019. 所以tan A 2＋tan B 2＋tan C2＋tan D2＝2sin A ＋2sin B＝2×7210＋2×19610＝4103.9．C2、C5、C7 若tan α＝2tan π5，则cos α－3π10sin α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．49．C cos α－3π10sin α－π5＝sin α－3π10＋π2sin α－π5＝sin α＋π5sin α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsinπ5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cosπ5cos π5－sinπ5＝3sinπ5sin π5＝3. 18．C2、C3、C5、C6 已知函数f (x )＝sin π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在π6，2π3上的单调性．18．解：(1)f (x )＝sin π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在π6，5π12上单调递增；在5π12，2π3上单调递减．C3 三角函数的图象与性质17．C4、C3 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数f (x )的解析式； (2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．17．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的图像的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 所以令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.15．C5，C3 已知函数f (x )＝2sin x 2cos x2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间上的最小值． 15．解：(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4.当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.12．A3、C3 若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．12．1 ∵y ＝tan x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，∴y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的最大值为tan π4＝1.又∵“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，∴m ≥1.4．C3，C4 下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos2x ＋π2 B ．y ＝sin2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x4．A 选项A 中，y ＝－sin 2x ，最小正周期为π，且图像关于原点对称；选项B 中，y ＝cos 2x 是偶函数，图像不关于原点对称；选项C 中，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，图像不关于原点对称；选项D 中，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，最小正周期为2π.故选A.15．C3、C5、C6 已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间－π3，π4上的最大值和最小值．15．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos2x －π32＝1212cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝ 34sin 2x －14cos 2x ＝12sin2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间－π3，－π6上是减函数，在区间－π6，π4上是增函数，f －π3＝－14，f －π6＝－12，f π4＝34，所以f (x )在区间－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 18．C2、C3、C5、C6 已知函数f (x )＝sin π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在π6，2π3上的单调性．18．解：(1)f (x )＝sin π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在π6，5π12上单调递增；在5π12，2π3上单调递减．C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质10．C4 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)10．A 依题意得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，且直线x ＝π6是f (x )的图像的一条对称轴．又f (－2)＝f (π－2)，f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且π6<π3<π－2<2<2π3，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (π－2)＝f (－2)>f (2)，故选A.17．C4、C3 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数f (x )的解析式； (2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．17．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的图像的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 所以令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.8．C4 函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图12所示，则f (x )的单调递减区间为( )图12A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 8．D 由图知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2，即2π||ω＝2，所以ω＝±π.因为函数f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，所以当ω＝π时，ω4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝π4＋2k π，k ∈Z ；当ω＝－π时，ω4＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝－π4＋2k π，k ∈Z .所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4，由2k π<πx ＋π4<π＋2k π解得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，故选D.9．C4、C9 将函数f (x )＝sin 2x 的图像向右平移φ0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图像，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4 D.π69．D 由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，又|f (x 1)－g (x 2)|＝2，0<φ<π2，所以当|x 1－x 2|取最小值时，刚好是取两个函数相邻的最大值与最小值点．令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，则|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，得φ＝π6.3．C4 要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位3．B 设将y ＝sin 4x 的图像向右平移φ个单位，得到y ＝sin 4(x －φ)＝sin(4x －4φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3 ，则φ＝π12. 3．C4 如图12，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图12A ．5B ．6C ．8D ．103．C 据图可知，－3＋k ＝2，得k ＝5，所以y max ＝3＋5＝8.4．C3，C4 下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos2x ＋π2 B ．y ＝sin2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x4．A 选项A 中，y ＝－sin 2x ，最小正周期为π，且图像关于原点对称；选项B 中，y ＝cos 2x 是偶函数，图像不关于原点对称；选项C 中，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，图像不关于原点对称；选项D 中，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，最小正周期为2π.故选A.11．C4、C5、C6 函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是____________，单调递减区间是________．11．π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k∈Z ) f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，则最小正周期是π.单调递减区间： 2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )⇒k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．C5 两角和与差的正弦、余弦、正切16．F3、C5 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．8．C5 已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．8．3 因为β＝(α＋β)－α，所以tan β＝tan ＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝17＋21－27＝3.17．C5、C8 △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin ∠B sin ∠C；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 17．解：(1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得 sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.2．C5 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.122．D sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.15．C5，C3 已知函数f (x )＝2sin x 2cos x2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间上的最小值． 15．解：(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4.当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22. 12．C5 sin 15°＋sin 75°的值是________． 12.62sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin (15°＋45°)＝2sin 60°＝62. 19．C2、C5、C8 如图14所示，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos Asin A；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2的值．19．解：(1)证明：tan A 2＝sin A2cos A 2＝2sin2A22sin A 2cosA 2＝1－cos Asin A .(2)由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B . 由(1)知， tanA2＋tanB2＋tanC2＋tanD2＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－cos （180°－A ）sin （180°－A ）＋1－cos （180°－B ）sin （180°－B ）＝2sin A ＋2sin B.连接BD ，在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ，在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A ，则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 22（AB ·AD ＋BC ·CD ）＝62＋52－32－422×（6×5＋3×4）＝37.于是sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫372＝2107. 连接AC ，同理可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 22（AB ·BC ＋AD ·CD ）＝62＋32－52－422×（6×3＋5×4）＝119，于是sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1192＝6 1019.所以tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2＝2sin A ＋2sin B＝2×7210＋2×19610＝4103.15．C3、C5、C6 已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间－π3，π4上的最大值和最小值．15．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos2x －π32＝1212cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝ 34sin 2x －14cos 2x ＝12sin2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间－π3，－π6上是减函数，在区间－π6，π4上是增函数，f －π3＝－14，f －π6＝－12，f π4＝34，所以f (x )在区间－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 11．C4、C5、C6 函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是____________，单调递减区间是________．11．π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k∈Z ) f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，则最小正周期是π.单调递减区间： 2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )⇒k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．9．C2、C5、C7 若tan α＝2tan π5，则cos α－3π10sin α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．49．C cos α－3π10sin α－π5＝sin α－3π10＋π2sin α－π5＝sin α＋π5sin α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsinπ5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cosπ5cos π5－sinπ5＝3sinπ5sin π5＝3. 18．C2、C3、C5、C6 已知函数f (x )＝sin π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在π6，2π3上的单调性．18．解：(1)f (x )＝sin π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在π6，5π12上单调递增；在5π12，2π3上单调递减．C6 二倍角公式12．B9、C2、C6 函数f (x )＝4cos 2x 2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________．12．2 f (x )＝4cos 2x2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|.令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图像，如图所示．观察图像可知，两个函数的图像有2个交点，故函数f (x )有2个零点. 12．C6，C8 在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________．12．1 根据题意，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52＋62－422×5×6＝34.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝74.同理可求sin C ＝3 78，所以sin 2A sin C ＝2sin A cos Asin C＝1. 6．A2、C6 “sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．A sin α＝cos α时，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0，反之cos 2α＝0时，sin α＝±cos α，故“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．15．C3、C5、C6 已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间－π3，π4上的最大值和最小值．15．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos2x －π32＝1212cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝ 34sin 2x －14cos 2x ＝12sin2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间－π3，－π6上是减函数，在区间－π6，π4上是增函数，f －π3＝－14，f －π6＝－12，f π4＝34，所以f (x )在区间－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.11．C4、C5、C6 函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是____________，单调递减区间是________．11．π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k∈Z ) f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，则最小正周期是π.单调递减区间： 2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )⇒k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．18．C2、C3、C5、C6 已知函数f (x )＝sin π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在π6，2π3上的单调性．18．解：(1)f (x )＝sin π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在π6，5π12上单调递增；在5π12，2π3上单调递减．C7 三角函数的求值、化简与证明 14．C7、F3 设向量a k ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos k π6，sink π6＋cosk π6(k ＝0，1，2，…，12)，则k ＝011(a k ·a k ＋1)的值为________． 14．93 因为a k ·a k＋1＝cosk π6cos（k ＋1）π6＋⎝⎛⎭⎪⎫sin k π6＋cos k π6⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin （k ＋1）π6＋cos （k ＋1）π6＝2cosk π6cos（k ＋1）π6＋sin k π6sin （k ＋1）π6＋sin k π6cos （k ＋1）π6＋cos k π6sin （k ＋1）π6＝cosk π6cos（k ＋1）π6＋cos π6＋sin （2k ＋1）π6＝12cos （2k ＋1）π6＋sin （2k ＋1）π6＋334，所以k ＝011(a k ·a k ＋1)＝12×334＋12k ＝011cos （2k ＋1）π6＋k ＝011sin （2k ＋1）π6＝9 3.16．C7、C8 设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC面积的最大值．16．解：(1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12.由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立，因此12bc sin A ≤2＋34，所以△ABC 面积的最大值为2＋34.图129．C2、C5、C7 若tan α＝2tan π5，则cos α－3π10sin α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．49．C cos α－3π10sin α－π5＝sin α－3π10＋π2sin α－π5＝sin α＋π5sin α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsinπ5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cosπ5cos π5－sinπ5＝3sinπ5sin π5＝3.C8 解三角形16．C8 在△ABC 中，∠A ＝3π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长．16．解：设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a ＝310.又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010，且0<B <π4，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010. 在△ABD 中，由正弦定理得AD ＝AB ·sin B sin （π－2B ）＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B＝10.11．C8 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.11．1 ∵sin B ＝12，∴B ＝π6或5π6.当B ＝5π6时，有B ＋C ＝π，不符合，∴B ＝π6＝C ，∴b cos π6＝a 2＝32，∴b ＝1.13．C8 如图12，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.图1213．100 6 依题意，在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°.由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠ACB ，即BC sin 30°＝600sin 45°，所以BC ＝300 2.在△BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan ∠CBD ＝3002·tan 30°＝100 6.15．C8 在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．15．解：(1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BC sin A ，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB <BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 17．C5、C8 △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin ∠Bsin ∠C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 17．解：(1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得 sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.16．C8 在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．16．(6－2，6＋2) 如图所示．MB <AB <EB ，在△BMC 中，CB ＝CM ＝2，∠BCM ＝30°，由余弦定理知MB 2＝22＋22－2×2×2cos 30°＝8－43＝(6－2)2，所以MB ＝6－ 2.在△EBC 中，设EB ＝x ，由余弦定理知4＝x 2＋x 2－2×x ×x cos 30°，得x 2＝8＋43＝(6＋2)2，所以x ＝6＋2，即EB ＝6＋2，所以6－2<AB <6＋ 2.12．C6，C8 在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________．12．1 根据题意，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52＋62－422×5×6＝34.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝74.同理可求sin C ＝3 78，所以sin 2A sin C ＝2sin A cos Asin C＝1. 12．C8 若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________． 12．7 由S △ABC ＝12×5×8sin A ＝103，得sin A ＝32.又A 为锐角，∴A ＝π3，∴由余弦定理得BC ＝25＋64－2×5×8cos π3＝49＝7.17．C8 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角． (1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．17．解：(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B ，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin π2＋A .又B 为钝角，因此π2＋A ∈π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－2A ＋π2＝π2－2A >0，所以A ∈0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin π2－2A ＝sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2sin A －142＋98.因为0<A <π4，所以0<sin A <22，因此22<－2sin A －142＋98≤98. 由此可知，sin A ＋sin C 的取值范围是22，98. 16．C7、C8 设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC面积的最大值．16．解：(1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12.由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立，因此12bc sin A ≤2＋34，所以△ABC 面积的最大值为2＋34.17．C8 △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．17．解：(1)因为m∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0<A <π，所以A ＝π3.(2)方法一：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332.方法二：由正弦定理得7sinπ3＝2sin B ，从而sin B ＝217，又由a >b ，知A >B ，所以cos B ＝277.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.19．C2、C5、C8 如图14所示，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos Asin A；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2的值．19．解：(1)证明：tan A 2＝sin A2cos A 2＝2sin2A22sin A 2cosA 2＝1－cos Asin A .(2)由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B . 由(1)知， tanA2＋tanB2＋tanC2＋tanD2＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－cos （180°－A ）sin （180°－A ）＋1－cos （180°－B ）sin （180°－B ）＝2sin A ＋2sin B.连接BD ，在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ，在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A ，则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 22（AB ·AD ＋BC ·CD ）＝62＋52－32－422×（6×5＋3×4）＝37.于是sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫372＝2107. 连接AC ，同理可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 22（AB ·BC ＋AD ·CD ）＝62＋32－52－422×（6×3＋5×4）＝119，于是sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1192＝6 1019. 所以tan A 2＋tan B 2＋tan C2＋tan D2＝2sin A ＋2sin B＝2×7210＋2×19610＝4103.13．C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．13．8 在△ABC 中，cos A ＝－14，则sin A ＝154，又由△ABC 的面积为315 ，可得12bc sin A ＝315，求得bc ＝24，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b －c )2＋2bc －2bc －14＝64，解得a ＝8.16．C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 16．解：(1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos 2B ＝sin 2C . 又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝sin 2C ，解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得 sin C ＝2 55，cos C ＝55.又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以 sin B ＝31010.由正弦定理得c ＝2 23b .又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝6 2，故b ＝3.13．C8 在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________．13. 6 在△ABD 中，由正弦定理，得sin ∠ADB ＝AB ·sin BAD＝2×323＝22.由题意知0°<∠ADB <60°，所以∠ADB ＝45°，则∠BAD ＝15°，所以∠BAC ＝2∠BAD ＝30°，所以C ＝30°，所以BC ＝AB ＝ 2.由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝（2）2＋（2）2－22×2cos 120°＝ 6.C9 单元综合19．C9 已知函数f (x )的图像是由函数g (x )＝cos x 的图像经如下变换得到：先将g (x )图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像向右平移π2个单位长度．(1)求函数f (x )的解析式，并求其图像的对称轴方程． (2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在＝cos(α＋φ)cos(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ) ＝－cos 2(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 52＝2m25－1. 9．C4、C9 将函数f (x )＝sin 2x 的图像向右平移φ0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图像，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4 D.π69．D 由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，又|f (x 1)－g (x 2)|＝2，0<φ<π2，所以当|x 1－x 2|取最小值时，刚好是取两个函数相邻的最大值与最小值点．令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，则|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，得φ＝π6.7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos 2A ＋32＝2cos A.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．7．解：(1)根据倍角公式，得2cos 2A ＋12＝2cos A ，即4cos 2A －4cos A ＋1＝0，所以(2cosA －1)2＝0，所以cos A ＝12.因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得b ＝23sin B ，c ＝23sin C ，所以l ＝1＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )．因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，所以l ＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.因为0<B <2π3，所以l ∈(2，3]．8．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积S ＝32ac cos B .(1)若c ＝2a ，求角A ，B ，C 的大小； (2)若a ＝2，且π4≤A ≤π3，求c 的取值范围．8. 解：由题意可知，12ac sin B ＝32ac cos B ，化简，得sin B ＝3cos B ，即tan B ＝3，又0<B <π，所以B ＝π3.(1)由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－2a 2＝3a 2， ∴b ＝3a ，∴a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，易求得A ＝π6，C ＝π2.(2)由asin A＝csin C，得c ＝a sin C sin A ＝2sin C sin A .由C ＝2π3－A ，得c ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3cos A －cos 2π3sin A sin A ＝3tan A＋1.又由π4≤A ≤π3知1≤tan A ≤3，故c ∈．10．已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0)的图像与直线y ＝2的相邻两个交点之间的距离为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若f (A )＝2，a ＝3b ，求角B 的大小．10．解：(1)因为f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0，x ∈R )，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6，所以函数f (x )的最大值为2.因为函数f (x )的图像与直线y ＝2的相邻两个交点之间的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，所以2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.在△ABC 中，因为f (A )＝2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1.因为0<A <π，所以A ＝π3.因为a ＝3b ，所以sin A ＝3sin B ，所以sin π3＝3sin B ，所以sin B ＝12.因为a >b ，所以A >B ，所以0<B <π3，所以B ＝π6.7．函数f (x )＝sin(ωx ＋ φ)x ∈R ，ω>0, |φ | <π2的部分图像如图K162所示，如果x 1，x 2 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( ) A.12 B.22 C.32D ．1 7．C 由图像知，函数的最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝π，则ω＝2ππ＝2.由函数f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由x 1，x 2 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，易得点(x 1，f (x 1))与点(x 2，f (x 2))关于直线x ＝π12对称，即x 1 ＋ x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π3＝32.。

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