第二节 两条直线的位置关系
第八章 第二节 两直线的位置关系1
设为Ax+By+m=0,与直线Ax+By+C=0垂直的直线
方程可设为Bx-Ay+n=0,在用待定系数法求直线方 程时,这种设法可以避免对斜率是否存在的讨论. (2)在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时 直线方程必须先化为Ax+By+C=0形式后才能指出A,
B,C的值,否则会出错.
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平 行
A1 B 1 C 1 (当 A2B2C2≠0 时,记为A =B ≠C ) 2 2 2
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斜截式
一般式
重 合
k1=k2 且 b1=b2
A1=A2,B1=B2,C1=C2(≠0)(当 A2B2≠0时,记为 A1=B1=C1 ) A2 B2 C2
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二、两条直线的交点 设两条直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y + C2 = 0 , 两 条 直 线 的 交点坐标 就 是 方 程 组
答案:A
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3.直线 ax+y+5=0 与 x-2y+7=0 垂直,则 a 为 A.2 C.-2 1 B.2 1 D.-2
(ห้องสมุดไป่ตู้
)
解析:由a×1+1×(-2)=0,
∴a=2.
答案: A
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4.(教材习题改编)若两直线x+ay+3=0与3x-2y+a=0 平行,则a=________.
1 a 3 2 解析:由3= ≠a,∴a=-3. -2
+b2,则:直线l1⊥l2的充要条件是k1·2=-1. k
②设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.则: l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 返回
[精析考题] [例2] (2011· 北京高考)已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函 数y=x2的图像上,则使得△ABC的面积为2的点C的个
高中数学必修二:两条直线的位置关系
高中数学必修二 第二节:两条直线的位置关系1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行:①对于两条不重合的直线l 1,l 2,若其斜率分别为k 1,k 2,则有l 1∥l 2⇔k 1=k 2. ②当直线l 1,l 2不重合且斜率都不存在时,l 1∥l 2. (2)两条直线垂直:①如果两条直线l 1,l 2的斜率存在,设为k 1,k 2,则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1. ②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l 1⊥l 2. 2.两条直线的交点的求法直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解. 3.三种距离公式1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时,一定有k 1=k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.( ) (4)点P (x 0,y 0)到直线y =kx +b 的距离为|kx 0+b |1+k 2.( ) (5)两平行直线2x -y +1=0,4x -2y +1=0间的距离是0.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×2.若直线ax +2y -1=0与直线2x -3y -1=0垂直,则a 的值为( ) A .-3 B .-43C .2D .3解析:选D 直线ax +2y -1=0的斜率k 1=-a 2,直线2x -3y -1=0的斜率k 2=23,因为两直线垂直,所以-a 2×23=-1,即a =3.3.(教材习题改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l :x -y +3=0的距离为1,则a 的值为( ) A.2 B .2- 2 C.2-1D.2+1解析:选C 由题意知|a -2+3|2=1,∴|a +1|=2,又a >0,∴a =2-1.4.若直线2x -y =-10,y =x +1,y =ax -2交于一点,则a 的值为________.解析:由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x -y =-10,y =x +1得⎩⎪⎨⎪⎧x =-9,y =-8.即直线2x -y =-10与y =x +1相交于点(-9,-8). 又因为直线2x -y =-10,y =x +1,y =ax -2交于一点, 所以-8=-9a -2,解得a =23.答案:235.已知直线3x +4y -3=0与直线6x +my +14=0平行,则它们之间的距离是________. 解析:∵63=m 4≠14-3,∴m =8,直线6x +my +14=0可化为3x +4y +7=0,两平行线之间的距离d =|-3-7|32+42=2.答案:2考点一 两条直线的位置关系 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]1.已知过点A (-2,m )和点B (m,4)的直线为l 1,直线2x +y -1=0为l 2,直线x +ny +1=0为l 3.若l 1∥l 2,l 2⊥l 3,则实数m +n 的值为( )A .-10B .-2C .0D .8解析:选A ∵l 1∥l 2,∴4-mm +2=-2(m ≠-2),解得m =-8(经检验,l 1与l 2不重合),∵l 2⊥l 3,∴2×1+1×n =0,解得n =-2,∴m +n =-10.2.已知经过点A (-2,0)和点B (1,3a )的直线l 1与经过点P (0,-1)和点Q (a ,-2a )的直线l 2互相垂直,则实数a 的值为________.解析:l 1的斜率k 1=3a -01-(-2)=a .当a ≠0时,l 2的斜率k 2=-2a -(-1)a -0=1-2aa .因为l 1⊥l 2,所以k 1k 2=-1,即a ·1-2aa =-1,解得a =1.当a =0时,P (0,-1),Q (0,0),这时直线l 2为y 轴,A (-2,0),B (1,0),直线l 1为x 轴,显然l 1⊥l 2.综上可知,实数a 的值为1或0. 答案:1或03.已知两直线l 1:mx +8y +n =0和l 2:2x +my -1=0,试确定m ,n 的值,使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ,-1); (2)l 1∥l 2;(3)l 1⊥l 2,且l 1在y 轴上的截距为-1.解:(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2-8+n =0,2m -m -1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =1,n =7.即m =1,n =7时,l 1与l 2相交于点P (m ,-1).(2)∵l 1∥l 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2-16=0,-m -2n ≠0,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =4,n ≠-2或⎩⎪⎨⎪⎧m =-4,n ≠2.即m =4,n ≠-2或m =-4,n ≠2时,l 1∥l 2. (3)当且仅当2m +8m =0, 即m =0时,l 1⊥l 2.又-n8=-1,∴n =8.即m =0,n =8时,l 1⊥l 2,且l 1在y 轴上的截距为-1.[怎样快解·准解]1.解题要“前思后想”解决两直线平行与垂直的参数问题一定要“前思后想”2.方法要“因题而定”(1)已知两直线的斜率存在,判断两直线平行垂直的方法 ①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等; ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于-1. (2)由一般式确定两直线位置关系的方法[注意] 在判断两直线位置关系时,比例式A 1A 2与B 1B 2,C 1C 2的关系容易记住,在解答选择、填空题时,建议多用比例式来解答.考点二 距离问题 (重点保分型考点——师生共研)1.若P ,Q 分别为直线3x +4y -12=0与6x +8y +5=0上任意一点,则|PQ |的最小值为( )A.95 B.185C.2910D.295解析:选C 因为36=48≠-125,所以两直线平行,将直线3x +4y -12=0化为6x +8y -24=0,由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离, 即|-24-5|62+82=2910,所以|PQ |的最小值为2910.2.已知A (4,-3),B (2,-1)和直线l :4x +3y -2=0,若在坐标平面内存在一点P ,使|PA |=|PB |,且点P 到直线l 的距离为2,则P 点坐标为________.解析:设点P 的坐标为(a ,b ). ∵A (4,-3),B (2,-1),∴线段AB 的中点M 的坐标为(3,-2). 而AB 的斜率k AB =-3+14-2=-1,∴线段AB 的垂直平分线方程为y +2=x -3, 即x -y -5=0.∵点P (a ,b )在直线x -y -5=0上, ∴a -b -5=0.①又点P (a ,b )到直线l :4x +3y -2=0的距离为2, ∴|4a +3b -2|42+32=2,即4a +3b -2=±10,②由①②联立解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-4或⎩⎨⎧a =277,b =-87.∴所求点P 的坐标为(1,-4)或⎝⎛⎭⎫277,-87. 答案:(1,-4)或⎝⎛⎭⎫277,-87[解题师说]距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离.关键是确定两点的坐标,然后代入公式即可,一般用来判断三角形的形状等.(2)解决与点到直线的距离有关的问题.应熟记点到直线的距离公式,若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在.(3)求两条平行线间的距离.要先将直线方程中x ,y 的对应项系数转化成相等的形式,再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.[冲关演练]1.若点P 是曲线y =x 2-ln x 上任意一点,则点P 到直线y =x -2的最小距离为( ) A.22B .1 C. 2D .2解析:选C 因为点P 是曲线y =x 2-ln x 上任意一点,所以当点P 处的切线和直线y =x -2平行时,点P 到直线y =x -2的距离最小.因为直线y =x -2的斜率等于1,曲线y =x 2-ln x 的导数y ′=2x -1x ,令y ′=1,可得x =1或x =-12(舍去),所以在曲线y =x 2-ln x 上与直线y =x -2平行的切线经过的切点坐标为(1,1),所以点P 到直线y =x -2的最小距离为2,故选C.2.若动点A ,B 分别在直线l 1:x +y -7=0和l 2:x +y -5=0上移动,则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A .3 2B .2 2C .3 3D .4 2解析:选A 依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1:x +y -7=0和l 2:x +y -5=0距离都相等的直线,则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M 所在直线的方程为l :x +y +m =0,根据平行线间的距离公式得|m +7|2=|m +5|2⇒|m +7|=|m +5|⇒m =-6,即l :x +y -6=0.根据点到直线的距离公式,得M 到原点的距离的最小值为|-6|2=3 2.考点三 对称问题 (题点多变型考点——追根溯源)[题点全练]角度(一) 点关于点的对称1.过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1:2x +y -8=0和l 2:x -3y +10=0截得的线段被点P 平分,则直线l 的方程为________________.解析:设l 1与l 的交点为A (a,8-2a ),则由题意知,点A 关于点P 的对称点B (-a,2a -6)在l 2上,把B 点坐标代入l 2的方程得-a -3(2a -6)+10=0,解得a =4,即点A (4,0)在直线l 上, 所以由两点式得直线l 的方程为x +4y -4=0. 答案:x +4y -4=0[题型技法] 若点M (x 1,y 1)及N (x ,y )关于P (a ,b )对称,则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x =2a -x 1,y =2b -y 1,进而求解.角度(二) 点关于线的对称2.在等腰直角三角形ABC 中,|AB |=|AC |=4,点P 是边AB 上异于A ,B 的一点.光线从点P 出发,经BC ,CA 反射后又回到点P (如图).若光线QR 经过△ABC 的重心,则AP 的长度为( )A .2B .1 C.83D.43解析:选D 以AB 所在直线为x 轴,AC 所在直线为y 轴建立如图所示的坐标系,由题意可知B (4,0),C (0,4),A (0,0),则直线BC 的方程为x +y -4=0,设P (t,0)(0<t <4),由对称知识可得点P 关于BC 所在直线的对称点P 1的坐标为(4,4-t ),点P 关于y 轴的对称点P 2的坐标为(-t,0),根据反射定律可知P 1P 2所在直线就是光线RQ 所在直线.由P 1,P 2两点坐标可得P 1P 2所在直线的方程为y =4-t4+t·(x +t ),设△ABC 的重心为G ,易知G ⎝⎛⎭⎫43,43.因为重心G ⎝⎛⎭⎫43,43在光线RQ 上,所以有43=4-t 4+t ⎝⎛⎭⎫43+t ,即3t 2-4t =0.所以t =0或t =43,因为0<t <4,所以t =43,即|AP |=43,故选D.[题型技法] 若两点P 1(x 1,y 1)与P 2(x 2,y 2)关于直线l :Ax +By +C =0对称,由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1+x 22+B ⎝⎛⎭⎫y 1+y 22+C =0,y 2-y 1x 2-x 1·⎝⎛⎭⎫-A B =-1,可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2,y 2)(其中B ≠0,x 1≠x 2).角度(三) 线关于点的对称3.已知直线l :2x -3y +1=0,点A (-1,-2),则直线l 关于点A 对称的直线m 的方程为________________.解析:在直线l 上取两点B (1,1),C (10,7),B ,C 两点关于点A 的对称点为B ′(-3,-5),C ′(-12,-11),所以直线m 的方程为y +11-5+11=x +12-3+12,即2x -3y -9=0.答案:2x -3y -9=0[题型技法] 线关于点的对称的求解方法(1)在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程;(2)求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.角度(四) 线关于线的对称4.直线2x -y +3=0关于直线x -y +2=0对称的直线方程是________.解析:法一:联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x -y +3=0,x -y +2=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =1.在直线2x -y +3=0上取一点(0,3),设其关于直线x -y +2=0的对称点为(a ,b ), 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2-b +32+2=0,b -3a -0=-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =2.故所求直线方程经过点(-1,1),(1,2),所以该直线方程为y -12-1=x +11+1,即x -2y +3=0.法二:设所求直线上任意一点P (x ,y ), 则P 关于x -y +2=0的对称点为P ′(x 0,y 0),由⎩⎪⎨⎪⎧x +x 02-y +y 02+2=0,x -x 0=-(y -y 0),得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=y -2,y 0=x +2,由点P ′(x 0,y 0)在直线2x -y +3=0上, ∴2(y -2)-(x +2)+3=0, 即x -2y +3=0. 答案:x -2y +3=0[题型技法] 线关于线的对称的求解方法(1)若直线与对称轴平行,则在直线上取一点,求出该点关于轴的对称点,然后用点斜式求解.(2)若直线与对称轴相交,则先求出交点,然后再取直线上一点,求该点关于轴的对称点,最后由两点式求解.[题“根”探求]1.“线关于点的对称”其实质就是“点关于点的对称”,只要在直线上取两个点,求出其对称点的坐标即可,可统称为“中心对称”.2.“线关于线的对称”其实质就是“点关于线的对称”,只要在直线上取两个点,求出其对称点的坐标即可,可统称为“轴对称”.3.解决对称问题的2个关键点(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直;(2)以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上.[冲关演练]1.(2018·湖北孝感五校联考)已知直线y =2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线,若点A ,B 的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C 的坐标为( )A .(-2,4)B .(-2,-4)C .(2,4)D .(2,-4)解析:选C 设A (-4,2)关于直线y =2x 的对称点为(x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧y -2x +4×2=-1,y +22=2×-4+x2,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =4,y =-2,∴BC 所在直线方程为y -1=-2-14-3(x -3),即3x +y -10=0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x +y -10=0,y =2x ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =4,则C (2,4). 2.已知入射光线经过点M (-3,4),被直线l :x -y +3=0反射,反射光线经过点N (2,6),则反射光线所在直线的方程为________.解析:设点M (-3,4)关于直线l :x -y +3=0的对称点为M ′(a ,b ),则反射光线所在直线过点M ′,所以⎩⎪⎨⎪⎧b -4a -(-3)·1=-1,-3+a 2-b +42+3=0,解得a =1,b =0.即M ′(1,0).又反射光线经过点N (2,6),所以所求直线的方程为y -06-0=x -12-1,即6x -y -6=0. 答案:6x -y -6=03.设A ,B 是x 轴上的两点,点P 的横坐标为3,且|PA |=|PB |,若直线PA 的方程为x -y +1=0,则直线PB 的方程是________.解析:由|PA |=|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上.由点P 的横坐标为3,且PA 的方程为x -y +1=0,得P (3,4).直线PA ,PB 关于直线x =3对称,直线PA 上的点(0,1)关于直线x =3的对称点(6,1)在直线PB 上,所以直线PB 的方程为y -41-4=x -36-3,即x +y -7=0.答案:x +y -7=0(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1.过点(1,0)且与直线x -2y -2=0垂直的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0D .x +2y -1=0解析:选C 因为直线x -2y -2=0的斜率为12,所以所求直线的斜率k =-2.所以所求直线的方程为y -0=-2(x -1), 即2x +y -2=0.2.(2018·北京顺义区检测)若直线y =-2x +3k +14与直线x -4y =-3k -2的交点位于第四象限,则实数k 的取值范围是( )A .(-6,-2)B .(-5,-3)C .(-∞,-6)D .(-2,+∞)解析:选A 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y =-2x +3k +14,x -4y =-3k -2,得⎩⎪⎨⎪⎧x =k +6,y =k +2,因为直线y =-2x +3k +14与直线x -4y =-3k -2的交点位于第四象限,所以k +6>0且k +2<0,所以-6<k <-2.3.已知直线l 的倾斜角为3π4,直线l 1经过点A (3,2)和B (a ,-1),且直线l 与l 1平行,则实数a 的值为( )A .0B .1C .6D .0或6解析:选C 由直线l 的倾斜角为3π4得l 的斜率为-1,因为直线l 与l 1平行,所以l 1的斜率为-1. 又直线l 1经过点A (3,2)和B (a ,-1),所以l 1的斜率为33-a ,故33-a=-1,解得a =6.4.若点P 在直线3x +y -5=0上,且P 到直线x -y -1=0的距离为2,则点P 的坐标为( )A .(1,2)B .(2,1)C .(1,2)或(2,-1)D .(2,1)或(-1,2)解析:选C 设P (x,5-3x ),则d =|x -5+3x -1|12+(-1)2=2,化简得|4x -6|=2,即4x -6=±2,解得x =1或x =2,故P (1,2)或(2,-1).5.(2018·西安一中检测)若直线l 1:y =k (x -4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2过定点( )A .(0,4)B .(0,2)C .(-2,4)D .(4,-2)解析:选B 由题知直线l 1过定点(4,0),则由条件可知,直线l 2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0),故可知直线l 2所过定点为(0,2),故选B.6.已知点P (-2,0)和直线l :(1+3λ)x +(1+2λ)y -(2+5λ)=0(λ∈R),则点P 到直线l 的距离d 的最大值为( )A .2 3 B.10 C.14D .215解析:选B 由(1+3λ)x +(1+2λ)y -(2+5λ)=0,得(x +y -2)+λ(3x+2y -5)=0,此方程是过直线x +y -2=0和3x +2y -5=0交点的直线系方程.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y -2=0,3x +2y -5=0,可知两直线的交点为Q (1,1),故直线l 恒过定点Q (1,1),如图所示,可知d =|PH |≤|PQ |=10,即d 的最大值为10.7.直线x -2y +1=0关于直线x =1对称的直线方程是____________.解析:由题意得直线x -2y +1=0与直线x =1的交点坐标为(1,1).又直线x -2y +1=0上的点(-1,0)关于直线x =1的对称点为(3,0),所以由直线方程的两点式,得y -01-0=x -31-3,即x +2y -3=0.答案:x +2y -3=08.与直线l 1:3x +2y -6=0和直线l 2:6x +4y -3=0等距离的直线方程是________. 解析:l 2:6x +4y -3=0化为3x +2y -32=0,所以l 1与l 2平行,设与l 1,l 2等距离的直线l 的方程为3x +2y +c =0,则|c +6|=⎪⎪⎪⎪c +32,解得c =-154,所以l 的方程为12x +8y -15=0.答案:12x +8y -15=09.已知点A (-3,-4),B (6,3)到直线l :ax +y +1=0的距离相等,则实数a 的值为________.解析:由题意及点到直线的距离公式得|-3a -4+1|a 2+1=|6a +3+1|a 2+1,解得a =-13或-79.答案:-13或-7910.(2018·湘中名校联考)已知l 1,l 2是分别经过A (1,1),B (0,-1)两点的两条平行直线,当l 1,l 2间的距离最大时,则直线l 1的方程是________________.解析:当直线AB 与l 1,l 2垂直时,l 1,l 2间的距离最大.因为A (1,1),B (0,-1),所以k AB =-1-10-1=2,所以两平行直线的斜率为k =-12,所以直线l 1的方程是y -1=-12(x-1),即x +2y -3=0.答案:x +2y -3=0B 级——中档题目练通抓牢1.已知A (1,2),B (3,1)两点到直线l 的距离分别是2,5-2,则满足条件的直线l 共有( )A .1条B .2条C .3条D .4条解析:选C 当A ,B 两点位于直线l 的同一侧时,一定存在这样的直线l ,且有两条.又|AB |=(3-1)2+(1-2)2=5,而点A 到直线l 与点B 到直线l 的距离之和为2+5-2=5,所以当A ,B 两点位于直线l 的两侧时,存在一条满足条件的直线.综上可知满足条件的直线共有3条.故选C.2.若动点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)分别在直线l 1:x -y -5=0,l 2:x -y -15=0上移动,则P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( )A.522B .5 2 C.1522D .15 2解析:选B 由题意得P 1P 2的中点P 的轨迹方程是x -y -10=0,则原点到直线x -y -10=0的距离为d =|-10|2=52,即P 到原点距离的最小值为5 2. 3.已知A ,B 两点分别在两条互相垂直的直线2x -y =0和x +ay =0上,且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎫0,10a ,则线段AB 的长为( ) A .11 B .10 C .9D .8解析:选B 依题意,a =2,P (0,5),设A (x,2x ),B (-2y ,y ),故⎩⎨⎧x -2y2=0,2x +y2=5,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =4,y =2,所以A (4,8),B (-4,2),故|AB |=(4+4)2+(8-2)2=10. 4.(2018·湖南东部十校联考)经过两条直线2x +3y +1=0和x -3y +4=0的交点,并且垂直于直线3x +4y -7=0的直线方程为________________.解析:法一:由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x +3y +1=0,x -3y +4=0,解得⎩⎨⎧x =-53,y =79,即交点为⎝⎛⎭⎫-53,79, ∵所求直线与直线3x +4y -7=0垂直, ∴所求直线的斜率为k =43.由点斜式得所求直线方程为y -79=43⎝⎛⎭⎫x +53,即4x -3y +9=0.法二:由垂直关系可设所求直线方程为4x -3y +m =0,由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x +3y +1=0,x -3y +4=0,可解得交点为⎝⎛⎭⎫-53,79, 代入4x -3y +m =0,得m =9, 故所求直线方程为4x -3y +9=0. 法三:由题意可设所求直线的方程为 (2x +3y +1)+λ(x -3y +4)=0, 即(2+λ)x +(3-3λ)y +1+4λ=0, ① 又因为所求直线与直线3x +4y -7=0垂直, 所以3(2+λ)+4(3-3λ)=0,所以λ=2,代入①式得所求直线方程为4x -3y +9=0. 答案:4x -3y +9=05.(2018·豫北重点中学联考)已知直线l 在两坐标轴上的截距相等,且点A (1,3)到直线l 的距离为2,则直线l 的方程为________________.解析:当直线过原点时,设直线方程为y =kx ,由点A (1,3)到直线l 的距离为2,得|k -3|1+k 2=2,解得k =-7或k =1,此时直线l 的方程为y =-7x 或y =x ;当直线不过原点时,设直线方程为x +y =a ,由点A (1,3)到直线l 的距离为2,得|4-a |2=2,解得a =2或a =6,此时直线l 的方程为x +y -2=0或x +y -6=0.综上所述,直线l 的方程为y =-7x 或y =x 或x +y -2=0或x +y -6=0. 答案:y =-7x 或y =x 或x +y -2=0或x +y -6=06.已知两条直线l 1:ax -by +4=0和l 2:(a -1)x +y +b =0,求满足下列条件的a ,b 的值.(1)l 1⊥l 2,且l 1过点(-3,-1);(2)l 1∥l 2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解:(1)由已知可得l 2的斜率存在, ∴k 2=1-a .若k 2=0,则1-a =0,a =1. ∵l 1⊥l 2,直线l 1的斜率k 1必不存在,∴b =0.又∵l 1过点(-3,-1),∴-3a +4=0,即a =43(矛盾),∴此种情况不存在,∴k 2≠0,即k 1,k 2都存在.∵k 2=1-a ,k 1=ab ,l 1⊥l 2,∴k 1k 2=-1,即ab (1-a )=-1.① 又∵l 1过点(-3,-1), ∴-3a +b +4=0.②由①②联立,解得a =2,b =2. (2)∵l 2的斜率存在,l 1∥l 2,∴直线l 1的斜率存在,k 1=k 2,即ab =1-a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且l 1∥l 2, ∴l 1,l 2在y 轴上的截距互为相反数,即4b =b .④联立③④,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =-2或⎩⎪⎨⎪⎧a =23,b =2.∴a =2,b =-2或a =23,b =2.7.已知△ABC 的顶点A (5,1),AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x -y -5=0,AC 边上的高BH 所在直线方程为x -2y -5=0,求直线BC 的方程.解:依题意知:k AC =-2,A (5,1), ∴l AC 的方程为2x +y -11=0,联立⎩⎪⎨⎪⎧2x +y -11=0,2x -y -5=0,得C (4,3).设B (x 0,y 0),则AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫x 0+52,y 0+12, 代入2x -y -5=0,得2x 0-y 0-1=0,联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0-y 0-1=0,x 0-2y 0-5=0,得B (-1,-3),∴k BC =65,∴直线BC 的方程为y -3=65(x -4),即6x -5y -9=0.C 级——重难题目自主选做1.已知P (x 0,y 0)是直线l :Ax +By +C =0外一点,则方程Ax +By +C +(Ax 0+By 0+C )=0表示( )A .过点P 且与l 垂直的直线B .过点P 且与l 平行的直线C .不过点P 且与l 垂直的直线D .不过点P 且与l 平行的直线解析:选D 因为P (x 0,y 0)是直线l :Ax +By +C =0外一点, 设Ax 0+By 0+C =k ,k ≠0.若方程Ax +By +C +(Ax 0+By 0+C )=0, 则Ax +By +C +k =0.因为直线Ax +By +C +k =0和直线l 斜率相等, 但在y 轴上的截距不相等,故直线Ax +By +C +k =0和直线l 平行. 因为Ax 0+By 0+C =k ,而k ≠0, 所以Ax 0+By 0+C +k ≠0,所以直线Ax +By +C +k =0不过点P .2.设两条直线的方程分别为x +y +a =0,x +y +b =0,已知a ,b 是方程x 2+x +c =0的两个实根,且0≤c ≤18,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A.22,12B.2,22C.2,12D.24,14解析:选A 由题意a ,b 是方程x 2+x +c =0的两个实根,所以ab =c ,a +b =-1.又直线x +y +a =0与x +y +b =0的距离d =|a -b |2,所以d 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫|a -b |22=(a +b )2-4ab 2=(-1)2-4c 2=12-2c ,而0≤c ≤18,所以12-2×18≤12-2c ≤12-2×0,得14≤12-2c ≤12,所以12≤d ≤22,故选A. (二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1.命题p :“a =-2”是命题q :“直线ax +3y -1=0与直线6x +4y -3=0垂直”成立的( )A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 直线ax +3y -1=0与直线6x +4y -3=0垂直的充要条件是6a +12=0,即a =-2,故选A.2.若直线l 1:x +ay +6=0与l 2:(a -2)x +3y +2a =0平行,则l 1与l 2之间的距离为( ) A.423B .4 2 C.823D .2 2解析:选C ∵l 1∥l 2,∴1a -2=a 3≠62a,解得a =-1, ∴l 1与l 2的方程分别为l 1:x -y +6=0,l 2:x -y +23=0,∴l 1与l 2的距离d =⎪⎪⎪⎪6-232=823.3.如果平面直角坐标系内的两点A (a -1,a +1),B (a ,a )关于直线l 对称,那么直线l 的方程为( )A .x -y +1=0B .x +y +1=0C .x -y -1=0D .x +y -1=0解析:选A 因为直线AB 的斜率为a +1-aa -1-a=-1,所以直线l 的斜率为1,设直线l的方程为y =x +b ,由题意知直线l 过点⎝⎛⎭⎫2a -12,2a +12,所以2a +12=2a -12+b ,解得b =1,所以直线l 的方程为y =x +1,即x -y +1=0.4.已知定点A (1,0),点B 在直线x -y =0上运动,当线段AB 最短时,点B 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫12,12 B.⎝⎛⎭⎫22,22C.⎝⎛⎭⎫32,32D.⎝⎛⎭⎫52,52 解析:选A 因为定点A (1,0),点B 在直线x -y =0上运动,所以当线段AB 最短时,直线AB 和直线x -y =0垂直,设直线AB 的方程为x +y +m =0,将A 点代入,解得m =-1,所以直线AB 的方程为x +y -1=0,它与x -y =0联立解得x =12,y =12,所以点B 的坐标是⎝⎛⎭⎫12,12.5.已知点P (-2,0)和直线l :(1+3λ)x +(1+2λ)y -(2+5λ)=0(λ∈R),则点P 到直线l 的距离d 的最大值为( )A .2 3 B.10 C.14D .215解析:选B 由(1+3λ)x +(1+2λ)y -(2+5λ)=0,得(x +y -2)+λ(3x+2y -5)=0,此方程是过直线x +y -2=0和3x +2y -5=0交点的直线系方程.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y -2=0,3x +2y -5=0,可知两直线的交点为Q (1,1),故直线l 恒过定点Q (1,1),如图所示,可知d =|PH |≤|PQ |=10,即d 的最大值为10.6.若m >0,n >0,点(-m ,n )关于直线x +y -1=0的对称点在直线x -y +2=0上,那么1m +4n的最小值等于________.解析:设点(-m ,n )关于直线x +y -1=0的对称点为(a ,b ),则⎩⎪⎨⎪⎧b -n a +m =1,a -m 2+b +n 2-1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1-n ,b =1+m .则(-m ,n )关于直线x +y -1=0的对称点为(1-n ,1+m ),则1-n -(1+m )+2=0,即m +n =2.于是1m +4n =12(m +n )⎝⎛⎭⎫1m +4n =12×⎝⎛⎭⎫5+n m +4m n ≥12×(5+2×2)=92,当且仅当m =23,n =43时等号成立. 答案:927.以点A (4,1),B (1,5),C (-3,2),D (0,-2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________. 解析:因为k AB =5-11-4=-43,k DC =2-(-2)-3-0=-43.k AD =-2-10-4=34,k BC =2-5-3-1=34.则k AB =k DC ,k AD =k BC ,所以四边形ABCD 为平行四边形. 又k AD ·k AB =-1,即AD ⊥AB , 故四边形ABCD 为矩形. 故S =|AB |·|AD |=(1-4)2+(5-1)2×(0-4)2+(-2-1)2=25. 答案:258.如图,已知A (-2,0),B (2,0),C (0,2),E (-1,0),F (1,0),一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点,经BC 反射后,再经AC 反射,落到线段AE 上(不含端点),则直线FD 的斜率的取值范围为________.解析:从特殊位置考虑.如图所示,∵点A (-2,0)关于直线BC :x +y =2的对称点为A 1(2,4),∴kA 1F =4.又点E (-1,0)关于直线AC :y =x +2的对称点为E 1(-2,1),点E 1(-2,1)关于直线BC :x +y =2的对称点为E 2(1,4),此时直线E 2F 的斜率不存在,∴k FD >kA 1F ,即k FD ∈(4,+∞).答案:(4,+∞)9.正方形的中心为点C (-1,0),一条边所在的直线方程是x +3y -5=0,求其他三边所在直线的方程.解:点C 到直线x +3y -5=0的距离 d =|-1-5|1+9=3105.设与x +3y -5=0平行的一边所在直线的方程是 x +3y +m =0(m ≠-5),则点C 到直线x +3y +m =0的距离 d =|-1+m |1+9=3105,解得m =-5(舍去)或m =7,所以与x +3y -5=0平行的边所在直线的方程是 x +3y +7=0.设与x +3y -5=0垂直的边所在直线的方程是 3x -y +n =0,则点C 到直线3x -y +n =0的距离 d =|-3+n |9+1=3105,解得n =-3或n =9,所以与x +3y -5=0垂直的两边所在直线的方程分别是3x -y -3=0和3x -y +9=0. 10.已知点P (2,-1).(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程;(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程,最大距离是多少?(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.解:(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2,而点P 的坐标为(2,-1),显然,过P (2,-1)且垂直于x 轴的直线满足条件,此时l 的斜率不存在,其方程为x =2.若斜率存在,设l 的方程为y +1=k (x -2), 即kx -y -2k -1=0.由已知得|-2k -1|k 2+1=2,解得k =34.此时l 的方程为3x -4y -10=0.综上可得直线l 的方程为x =2或3x -4y -10=0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO垂直的直线,如图.由l ⊥OP ,得k l ·k OP =-1, 因为k OP =-12,所以k l =-1k OP =2.由直线方程的点斜式得y +1=2(x -2), 即2x -y -5=0.所以直线2x -y -5=0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线,最大距离为|-5|5= 5.(3)由(2)可知,过点P 不存在到原点的距离超过5的直线,因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线.B 级——拔高题目稳做准做1.已知P (x 0,y 0)是直线l :Ax +By +C =0外一点,则方程Ax +By +C +(Ax 0+By 0+C )=0表示( )A .过点P 且与l 垂直的直线B .过点P 且与l 平行的直线C .不过点P 且与l 垂直的直线D .不过点P 且与l 平行的直线解析:选D 因为P (x 0,y 0)是直线l :Ax +By +C =0外一点, 设Ax 0+By 0+C =k ,k ≠0.若方程Ax +By +C +(Ax 0+By 0+C )=0, 则Ax +By +C +k =0.因为直线Ax +By +C +k =0和直线l 斜率相等, 但在y 轴上的截距不相等,故直线Ax +By +C +k =0和直线l 平行. 因为Ax 0+By 0+C =k ,而k ≠0, 所以Ax 0+By 0+C +k ≠0,所以直线Ax +By +C +k =0不过点P .2.设a ,b ,c 分别是△ABC 中角A ,B ,C 所对的边,则直线sin A ·x +ay -c =0与bx-sin B ·y +sin C =0的位置关系是( )A .平行B .重合C .垂直D .相交但不垂直解析:选C 由题意可得直线sin A ·x +ay -c =0的斜率k 1=-sin A a ,bx -sin B ·y +sinC =0的斜率k 2=b sin B,故k 1k 2=-sin A a ·b sin B =-1,则直线sin A ·x +ay -c =0与直线bx -sin B ·y +sin C =0垂直,故选C.3.设两条直线的方程分别为x +y +a =0,x +y +b =0,已知a ,b 是方程x 2+x +c =0的两个实根,且0≤c ≤18,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( ) A.22,12 B.2,22 C.2,12 D.24,14解析:选A 由题意a ,b 是方程x 2+x +c =0的两个实根,所以ab =c ,a +b =-1.又直线x +y +a =0与x +y +b =0的距离d =|a -b |2,所以d 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫|a -b |22=(a +b )2-4ab 2=(-1)2-4c 2=12-2c ,而0≤c ≤18,所以12-2×18≤12-2c ≤12-2×0,得14≤12-2c ≤12,所以12≤d ≤22,故选A. 4.(2018·豫北重点中学联考)已知直线l 在两坐标轴上的截距相等,且点A (1,3)到直线l 的距离为2,则直线l 的方程为________________. 解析:当直线过原点时,设直线方程为y =kx ,由点A (1,3)到直线l 的距离为2,得|k -3|1+k 2=2,解得k =-7或k =1,此时直线l 的方程为y =-7x 或y =x ;当直线不过原点时,设直线方程为x +y =a ,由点A (1,3)到直线l 的距离为2,得|4-a |2=2,解得a =2或a =6,此时直线l 的方程为x +y -2=0或x +y -6=0.综上所述,直线l 的方程为y =-7x 或y =x 或x +y -2=0或x +y -6=0.答案:y =-7x 或y =x 或x +y -2=0或x +y -6=05.已知两条直线l 1:ax -by +4=0和l 2:(a -1)x +y +b =0,求满足下列条件的a ,b 的值.(1)l 1⊥l 2,且l 1过点(-3,-1);(2)l 1∥l 2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.解:(1)由已知可得l 2的斜率存在,∴k 2=1-a .若k 2=0,则1-a =0,a =1.∵l 1⊥l 2,直线l 1的斜率k 1必不存在,∴b =0.又∵l 1过点(-3,-1),∴-3a +4=0,即a =43(矛盾), ∴此种情况不存在,∴k 2≠0,即k 1,k 2都存在.∵k 2=1-a ,k 1=a b,l 1⊥l 2,∴k 1k 2=-1, 即a b(1-a )=-1.① 又∵l 1过点(-3,-1),∴-3a +b +4=0.②由①②联立,解得a =2,b =2.(2)∵l 2的斜率存在,l 1∥l 2,∴直线l 1的斜率存在,k 1=k 2,即a b =1-a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且l 1∥l 2,∴l 1,l 2在y 轴上的截距互为相反数,即4b =b .④联立③④,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =2,b =-2或⎩⎪⎨⎪⎧ a =23,b =2.∴a =2,b =-2或a =23,b =2. 6.一条光线经过点P (2,3)射在直线l :x +y +1=0上,反射后经过点Q (1,1),求:(1)入射光线所在直线的方程;(2)这条光线从P 到Q 所经路线的长度.解:(1)设点Q ′(x ′,y ′)为Q 关于直线l 的对称点,QQ ′交l 于M 点,∵k l =-1,∴k QQ ′=1,∴QQ ′所在直线的方程为y -1=1×(x -1),即x -y =0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x +y +1=0,x -y =0,解得⎩⎨⎧ x =-12,y =-12,∴交点M ⎝⎛⎭⎫-12,-12,∴⎩⎨⎧ 1+x ′2=-12,1+y ′2=-12,解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′=-2,y ′=-2,∴Q ′(-2,-2). 设入射光线与l 交于点N ,则P ,N ,Q ′三点共线,又P (2,3),Q ′(-2,-2),故入射光线所在直线的方程为y -(-2)3-(-2)=x -(-2)2-(-2),即5x -4y +2=0.(2)|PN |+|NQ |=|PN |+|NQ ′|=|PQ ′| =[2-(-2)]2+[3-(-2)]2=41,即这条光线从P 到Q 所经路线的长度为41.。
两条直线的位置关系
两条直线的位置关系 Ting Bao was revised on January 6, 20021两条直线的位置关系1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行:(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2,若其斜率分别为k 1、k 2,则有l 1∥l 2k 1=k 2. (ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时,l 1∥l 2. ②两条直线垂直:(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在,设为k 1、k 2,则有l 1⊥l 2k 1·k 2=-1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解.2.几种距离(1)两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)之间的距离|P 1P 2|=x 2-x 12+y 2-y 12. (2)点P 0(x 0,y 0)到直线l :Ax +By +C =0的距离:d =|Ax 0+By 0+C |A 2+B 2.(3)两条平行线Ax +By +C 1=0与Ax +By +C 2=0(其中C 1≠C 2)间的距离d =|C 1-C 2|A 2+B2.选择题:设a ∈R ,则“a =1”是“直线l 1:ax +2y -1=0与直线l 2:x +(a +1)y +4=0平行”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 解析 充分性:当a =1时,直线l 1:x +2y -1=0与直线l 2:x +2y +4=0平行; 必要性:当直线l 1:ax +2y -1=0与直线l 2:x +(a +1)y +4=0平行时有a =-2或1; 所以“a =1”是“直线l 1:ax +2y -1=0与直线l 2:x +(a +1)y +4=0平行”的充分不必要条件已知点(a,2)(a >0)到直线l :x -y +3=0的距离为1,则a 等于( ) B .2- 2 -1 +1解析 依题意得|a -2+3|1+1=1,解得a =-1+2或a =-1-2,∵a >0,∴a =-1+ 2.已知直线l 1:(3+m )x +4y =5-3m ,l 2:2x +(5+m )y =8平行,则实数m 的值为( ) A .-7 B .-1 C .-1或-7解析 l 1的斜率为-3+m 4,在y 轴上的截距为5-3m 4,l 2的斜率为-25+m ,在y 轴上的截距为85+m .又∵l 1∥l 2,由-3+m 4=-25+m得,m 2+8m +7=0,得m =-1或-7.m =-1时,5-3m 4=85+m =2,l 1与l 2重合,故不符合题意;m =-7时,5-3m 4=132≠85+m =-4,符合题意已知两条直线l 1:(a -1)·x +2y +1=0,l 2:x +ay +3=0平行,则a 等于( ) A .-1 B .2 C .0或-2 D .-1或2解析 若a =0,两直线方程为-x +2y +1=0和x =-3,此时两直线相交,不平行,所以a ≠0.当a ≠0时,若两直线平行,则有a -11=2a ≠13,解得a =-1或a =2,选D.已知点O (0,0),A (0,b ),B (a ,a 3).若△OAB 为直角三角形,则必有( ) A .b =a 3 B .b =a 3+1aC .(b -a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b -a 3-1a =0D .|b -a 3|+⎪⎪⎪⎪⎪⎪b -a 3-1a =0解析 若以O 为直角顶点,则B 在x 轴上,则a 必为0,此时O ,B 重合,不符合题意;若∠A =π2,则b =a 3≠0,若∠B =π2,根据垂直关系可知a 2·a 3-b a =-1,所以a (a 3-b )=-1,即b -a 3-1a =0,以上两种情况皆有可能,故只有C 满足条件.已知过点A (m +1,0),B (-5,m )的直线与过点C (-4,3),D (0,5)的直线平行,则m 的值为( ) A .-1 B .-2 C .2 D .1 解析 由题意得:k AB =m -0-5-m +1=m -6-m ,k CD =5-30--4=12.由于AB ∥CD ,即k AB =k CD ,所以m-6-m =12,所以m =-2当0<k <12时,直线l 1:kx -y =k -1与直线l 2:ky -x =2k 的交点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析 解方程组⎩⎨⎧kx -y =k -1,ky -x =2k 得两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k k -1,2k -1k -1,因为0<k <12,所以k k -1<0,2k -1k -1>0,故交点在第二象限.若直线l 1:y =k (x -4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2经过定点( )A .(0,4)B .(0,2)C .(-2,4)D .(4,-2)解析 直线l 1:y =k (x -4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直线l 1:y =k (x -4)与直线l 2关于点(2,1)对称,故直线l 2经过定点(0,2).从点(2,3)射出的光线沿与向量a =(8,4)平行的直线射到y 轴上,则反射光线所在的直线方程为( )A .x +2y -4=0B .2x +y -1=0C .x +6y -16=0D .6x +y -8=0 解析 由直线与向量a =(8,4)平行知:过点(2,3)的直线的斜率k =12,所以直线的方程为y -3=12(x -2),其与y 轴的交点坐标为(0,2),又点(2,3)关于y 轴的对称点为(-2,3),所以反射光线过点(-2,3)与(0,2),由两点式知A 正确.填空题:已知a ,b 为正数,且直线ax +by -6=0与直线2x +(b -3)y +5=0互相平行,则2a +3b 的最小值为_____解析 由于直线ax +by -6=0与直线2x +(b -3)y +5=0互相平行,所以a (b -3)=2b ,即2a +3b=1(a ,b 均为正数),所以2a +3b =(2a +3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +3b =13+6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a +a b ≥13+6×2b a ·a b =25(当且仅当ba=ab ,即a =b =5时取等号)若直线(3a +2)x +(1-4a )y +8=0与(5a -2)x +(a +4)y -7=0垂直,则a =________ 解析 由两直线垂直的充要条件,得(3a +2)(5a -2)+(1-4a )(a +4)=0,解得a =0或a =1.已知两直线方程分别为l 1:x +y =1,l 2:ax +2y =0,若l 1⊥l 2,则a =________. 解析 ∵l 1⊥l 2,∴k 1k 2=-1,即a2=-1,解得a =-2.已知直线y =kx +2k +1与直线y =-12x +2的交点位于第一象限,则实数k 的取值范围是________解析由方程组⎩⎨⎧y =kx +2k +1,y =-12x +2,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =2-4k2k +1,y =6k +12k +1.(若2k +1=0,即k =-12,则两直线平行),∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2-4k 2k +1,6k +12k +1, 又∵交点位于第一象限,∴⎩⎪⎨⎪⎧2-4k 2k +1>0,6k +12k +1>0,解得-16<k <12.直线l 过点P (-1,2)且到点A (2,3)和点B (-4,5)的距离相等,则直线l 的方程为______ 解析 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y -2=k (x +1),即kx -y +k +2=0. 由题意知|2k -3+k +2|k 2+1=|-4k -5+k +2|k 2+1,即|3k -1|=|-3k -3|,∴k =-13.∴直线l 的方程为y -2=-13(x +1),即x +3y -5=0.当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x =-1,也符合题意.过点P (0,1)作直线l ,使它被直线l 1:2x +y -8=0和l 2:x -3y +10=0截得的线段被点P 平分,则直线l 的方程为________________解析 设l 1与l 的交点为A (a,8-2a ),则由题意知,点A 关于点P 的对称点B (-a,2a -6)在l 2上,代入l 2的方程得-a -3(2a -6)+10=0,解得a =4,即点A (4,0)在直线l 上,所以直线l 的方程为x +4y -4=0与直线l 1:3x +2y -6=0和直线l 2:6x +4y -3=0等距离的直线方程是________解析 l 2:6x +4y -3=0化为3x +2y -32=0,所以l 1与l 2平行,设与l 1,l 2等距离的直线l 的方程为3x +2y +c =0,则:|c +6|=|c +32|,解得c =-154,所以l 的方程为12x +8y -15=0.已知两直线l 1:ax -by +4=0和l 2:(a -1)x +y +b =0,若l 1∥l 2,且坐标原点到这两条直线的距离相等,则a +b =________解析由题意得⎩⎨⎧a +ba -1=0,4a 2+-b 2=|b |a -12+1.解得⎩⎨⎧a =2,b =-2或⎩⎨⎧a =23,b =2经检验,两种情况均符合题意,∴a +b 的值为0或83已知直线l 1:ax +y -1=0,直线l 2:x -y -3=0,若直线l 1的倾斜角为π4,则a =______;若l 1⊥l 2,则a =________;若l 1∥l 2,则两平行直线间的距离为_______ 解析 若直线l 1的倾斜角为π4,则-a =k =tan45°=1,故a =-1;若l 1⊥l 2,则a ×1+1×(-1)=0,故a =1;若l 1∥l 2,则a =-1,l 1:x -y +1=0,两平行直线间的距离d =|1--3|1+1=2 2.已知直线l :2x -3y +1=0,点A (-1,-2),则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________解析 设A ′(x ,y ),由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y +2x +1×23=-1,2×x -12-3×y -22+1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-3313,y =413,故A ′⎝⎛⎭⎪⎫-3313,413.解答题:已知两直线l 1:x +y sin α-1=0和l 2:2x ·sin α+y +1=0,求α的值,使得: (1)l 1∥l 2; (2)l 1⊥l 2.解 (1)当sin α=0时,直线l 1的斜率不存在,l 2的斜率为0,显然l 1不平行于l 2. 当sin α≠0时,k 1=-1sin α,k 2=-2sin α,要使l 1∥l 2,需-1sin α=-2sin α,即sin α=±22. 所以α=k π±π4,k ∈Z ,此时两直线的斜率相等.故当α=k π±π4,k ∈Z 时,l 1∥l 2.(2)因为A 1A 2+B 1B 2=0是l 1⊥l 2的充要条件,所以2sin α+sin α=0,即sin α=0,所以α=k π,k ∈Z .故当α=k π,k ∈Z 时,l 1⊥l 2.如图,设一直线过点(-1,1),它被两平行直线l 1:x +2y -1=0,l 2:x +2y -3=0所截的线段的中点在直线l 3:x -y -1=0上,求其方程.解 与l 1、l 2平行且距离相等的直线方程为x +2y -2=0.设所求直线方程为(x +2y -2)+λ(x -y -1)=0,即(1+λ)x +(2-λ)y -2-λ=0.又直线过(-1,1),∴(1+λ)(-1)+(2-λ)·1-2-λ=0,解得λ=-13.∴所求直线方程为2x +7y -5=0.正方形的中心为点C (-1,0),一条边所在的直线方程是x +3y -5=0,求其他三边所在直线的方程 解 点C 到直线x +3y -5=0的距离d =|-1-5|1+9=3105.设与x +3y -5=0平行的一边所在直线的方程是x +3y +m =0(m ≠-5),则点C 到直线x +3y +m =0的距离d =|-1+m |1+9=3105,解得m =-5(舍去)或m =7,所以与x +3y -5=0平行的边所在直线的方程是x +3y +7=0. 设与x +3y -5=0垂直的边所在直线的方程是3x -y +n =0,则点C 到直线3x -y +n =0的距离d =|-3+n |1+9=3105,解得n =-3或n =9,所以与x +3y -5=0垂直的两边所在直线的方程分别是3x -y -3=0和3x -y +9=0.已知直线l :2x -3y +1=0,求直线m :3x -2y -6=0关于直线l 的对称直线m ′的方程 解 在直线m 上任取一点,如M (2,0),则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上.设对称点M ′(a ,b ),则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a +22-3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b +02+1=0,b -0a -2×23=-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =613,b =3013,∴M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613,3013.设直线m 与直线l 的交点为N ,则由⎩⎨⎧2x -3y +1=0,3x -2y -6=0,得N (4,3).又∵m ′经过点N (4,3).∴由两点式得直线m ′的方程为9x -46y +102=0.求与直线3x +4y +1=0平行且过点(1,2)的直线l 的方程. 解 依题意,设所求直线方程为3x +4y +c =0 (c ≠1), 又因为直线过点(1,2),所以3×1+4×2+c =0,解得c =-11. 因此,所求直线方程为3x +4y -11=0.求经过两直线l 1:x -2y +4=0和l 2:x +y -2=0的交点P ,且与直线l 3:3x -4y +5=0垂直的直线l 的方程.解 解方程组⎩⎨⎧x -2y +4=0,x +y -2=0,得P (0,2).因为l 3的斜率为34,且l ⊥l 3,所以直线l 的斜率为-43,由斜截式可知l 的方程为y =-43x +2,即4x +3y -6=0.已知△ABC 的顶点A (5,1),AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x -y -5=0,AC 边上的高BH 所在直线方程为x -2y -5=0,求直线BC 的方程.解 依题意知:k AC =-2,A (5,1),∴l AC 为2x +y -11=0, 联立l AC 、l CM 得⎩⎨⎧2x +y -11=0,2x -y -5=0,∴C (4,3).设B (x 0,y 0),AB 的中点M 为(x 0+52,y 0+12),代入2x -y -5=0,得2x 0-y 0-1=0,∴⎩⎨⎧2x 0-y 0-1=0,x 0-2y 0-5=0,∴B (-1,-3),∴k BC =65,∴直线BC 的方程为y -3=65(x -4),即6x -5y -9=0.已知直线l 经过直线l 1:2x +y -5=0与l 2:x -2y =0的交点. (1)若点A (5,0)到l 的距离为3,求l 的方程; (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值.解 (1)易知l 不可能为l 2,可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x +y -5)+λ(x -2y )=0,即(2+λ)x +(1-2λ)y -5=0,∵点A (5,0)到l 的距离为3,∴|10+5λ-5|2+λ2+1-2λ2=3,即2λ2-5λ+2=0,∴λ=2,或λ=12,∴l 的方程为x =2或4x -3y -5=0.(2)由⎩⎨⎧2x +y -5=0,x -2y =0,解得交点P (2,1),如图,过P 作任一直线l ,设d 为点A 到l 的距离,则d ≤PA (当l ⊥PA 时等号成立).∴d max =PA =5-22+0-12=10.专项能力提升若点(m ,n )在直线4x +3y -10=0上,则m 2+n 2的最小值是 ( ) A .2 B .2 2 C .4 D .23 解析 因为点(m ,n )在直线4x +3y -10=0上,所以4m +3n -10=0.欲求m 2+n 2的最小值可先求m -02+n -02的最小值,而m -02+n -02表示4m +3n -10=0上的点(m ,n )到原点的距离,如图.当过原点的直线与直线4m +3n -10=0垂直时,原点到点(m ,n )的距离最小为2.所以m 2+n 2的最小值为4.已知直线l :y =12x -1,(1)求点P (3,4)关于l 对称的点Q ; (2)求l 关于点(2,3)对称的直线方程.解 (1)设Q (x 0,y 0),由于PQ ⊥l ,且PQ 中点在l上,有⎩⎪⎨⎪⎧y 0-4x 0-3=-2,y 0+42=12·x 0+32-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=295,y 0=-85,∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫295,-85.(2)在l 上任取一点,如M (0,-1),则M 关于点(2,3)对称的点为N (4,7).∵当对称点不在直线上时,关于点对称的两直线必平行,∴所求直线过点N 且与l 平行, ∴所求方程为y -7=12(x -4),即为x -2y +10=0.。
2015届高考数学总复习第七章 第二节两条直线的位置关系精讲课件 文
a 因为 k2=1-a,k1=b,l1⊥l2, a 所以 k1· k2=-1,即b(1-a)=-1.①
(3)(2012· 杭州第十四中学月考)若存在直线l平行于直线3x-ky+ 6=0,且与直线kx+y+1=0垂直,则实数k=________.
3+ m 5-3m 4 解析:(1)依题意,有 2 = ≠ 8 , m+5
解得m=-7(舍去m=-1).故选A.
(2)提示:结合正弦定理考虑.
(3)依题意,直线3x-ky+6=0与直线kx+y+1=0互相垂
8-0 解析:(1)kAB= =4, 4-2 1 ∴对应的高线所在的直线斜率为 k=-4, 1 由点斜式可得高线所在的直线方程为 y-6=-4(x-0), 即 x+4y-24=0.
8 -6 1 (2)kBC= = ,线段 AC 的中点为(1,3), 4 -0 2 1 ∴所求中位线所在的直线方程为 y-3=2(x-1), 即 x-2y+5=0.
A.-7
C.-1或-7
B.-1
D.
(2)△ABC的三边a,b,c分别对应角 A,B,C,若lg sin A,lg
sin B,lg sin C成等差数列,则直线l1:xsin2A+ysin A=a与直线
l2:xsin2B+ysin C=c的位置关系是( A.不垂直的相交 C.垂直相交 ) B.平行 D.重合
又因为l1过点(-3,-1),所以-3a+b+4=0.②
由①、②联立,解得a=2,b=2.
(2)因为l2的斜率存在,l1∥l2, 所以k1=k2,即 =1-a.③ 又坐标原点到这两条直线的距离相等,
第二节 两条直线的位置关系
27 8 的坐标为(1,-4)或 7 ,-7.
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第二节
两条直线的位置关系
结束
[类题通法]
1.点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式 去求.注意直线方程为一般式.
2.动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间距离 公式处理,而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线 上,从而计算简便,如本例中|PA|=|PB|这一条件的转化处理.
C1 C2 且 ≠ ⇒l1∥l2,l1∥l2⇒A1B2=A2B1⇒2· (-1)=(-m)· (m A1 A2 -1 1 -1)且 ≠ ⇒m=2 或 m=-1(舍去),故“m=2”是 2 m- 1 “l1∥l2”的充要条件.
数学
答案:C
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第二节
两条直线的位置关系
结束
[类题通法]
A1A2+B1B2 =0 _____________
A1 A2 当B1B2≠0时,记为 · =-1 B1 B2 A1B2-A2B1=0, __________ B2C1-B1C2≠0 __________ 1B2-A2B1 =0, __________ A 或A C -A C 1 2 2 1 ≠0 __________
数学
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第二节
两条直线的位置关系
结束
2.(2014· 杭州二模)设直线 l1:2x-my-1=0,l2:(m-1)x-y +1=0.则“m=2”是“l1//l2”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 ( )
D.既不充分也不必要条件 A1 2 A2 A1 A2 解析:m=2⇒ = =-1, =1-m=-1⇒ = , B1 -m B2 B1 B2
两条直线的位置关系
两条直线的位置关系1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行:(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2,若其斜率分别为k 1、k 2,则有l 1∥l 2⇔k 1=k 2. (ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时,l 1∥l 2. ②两条直线垂直:(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在,设为k 1、k 2,则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解. 2.几种距离(1)两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)之间的距离|P 1P 2|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2. (2)点P 0(x 0,y 0)到直线l :Ax +By +C =0的距离:d =|Ax 0+By 0+C |A 2+B2. (3)两条平行线Ax +By +C 1=0与Ax +By +C 2=0(其中C 1≠C 2)间的距离d =|C 1-C 2|A 2+B 2.选择题:设a ∈R ,则“a =1”是“直线l 1:ax +2y -1=0与直线l 2:x +(a +1)y +4=0平行”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 解析 充分性:当a =1时,直线l 1:x +2y -1=0与直线l 2:x +2y +4=0平行; 必要性:当直线l 1:ax +2y -1=0与直线l 2:x +(a +1)y +4=0平行时有a =-2或1; 所以“a =1”是“直线l 1:ax +2y -1=0与直线l 2:x +(a +1)y +4=0平行”的充分不必要条件已知点(a,2)(a >0)到直线l :x -y +3=0的距离为1,则a 等于( ) A. 2 B .2- 2 C.2-1 D.2+1解析 依题意得|a -2+3|1+1=1,解得a =-1+2或a =-1-2,∵a >0,∴a =-1+ 2.已知直线l 1:(3+m )x +4y =5-3m ,l 2:2x +(5+m )y =8平行,则实数m 的值为( )A .-7B .-1C .-1或-7 D.133解析 l 1的斜率为-3+m 4,在y 轴上的截距为5-3m 4,l 2的斜率为-25+m ,在y 轴上的截距为85+m .又∵l 1∥l 2,由-3+m 4=-25+m得,m 2+8m +7=0,得m =-1或-7.m =-1时,5-3m 4=85+m =2,l 1与l 2重合,故不符合题意;m =-7时,5-3m 4=132≠85+m =-4,符合题意已知两条直线l 1:(a -1)·x +2y +1=0,l 2:x +ay +3=0平行,则a 等于( ) A .-1 B .2 C .0或-2 D .-1或2解析 若a =0,两直线方程为-x +2y +1=0和x =-3,此时两直线相交,不平行,所以a ≠0.当a ≠0时,若两直线平行,则有a -11=2a ≠13,解得a =-1或a =2,选D.已知点O (0,0),A (0,b ),B (a ,a 3).若△OAB 为直角三角形,则必有( ) A .b =a 3 B .b =a 3+1aC .(b -a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b -a 3-1a =0D .|b -a 3|+⎪⎪⎪⎪⎪⎪b -a 3-1a =0解析 若以O 为直角顶点,则B 在x 轴上,则a 必为0,此时O ,B 重合,不符合题意;若∠A =π2,则b =a 3≠0,若∠B =π2,根据垂直关系可知a 2·a 3-b a =-1,所以a (a 3-b )=-1,即b -a 3-1a =0,以上两种情况皆有可能,故只有C 满足条件.已知过点A (m +1,0),B (-5,m )的直线与过点C (-4,3),D (0,5)的直线平行,则m 的值为( ) A .-1 B .-2 C .2 D .1 解析 由题意得:k AB =m -0-5-(m +1)=m-6-m ,k CD =5-30-(-4)=12.由于AB ∥CD ,即k AB =k CD ,所以m-6-m=12,所以m =-2当0<k <12时,直线l 1:kx -y =k -1与直线l 2:ky -x =2k 的交点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx -y =k -1,ky -x =2k 得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k k -1,2k -1k -1,因为0<k <12,所以k k -1<0,2k -1k -1>0,故交点在第二象限.若直线l 1:y =k (x -4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2经过定点( )A .(0,4)B .(0,2)C .(-2,4)D .(4,-2)解析 直线l 1:y =k (x -4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直线l 1:y =k (x -4)与直线l 2关于点(2,1)对称,故直线l 2经过定点(0,2).从点(2,3)射出的光线沿与向量a =(8,4)平行的直线射到y 轴上,则反射光线所在的直线方程为( ) A .x +2y -4=0 B .2x +y -1=0 C .x +6y -16=0 D .6x +y -8=0 解析 由直线与向量a =(8,4)平行知:过点(2,3)的直线的斜率k =12,所以直线的方程为y -3=12(x -2),其与y 轴的交点坐标为(0,2),又点(2,3)关于y 轴的对称点为(-2,3),所以反射光线过点(-2,3)与(0,2),由两点式知A 正确.填空题:已知a ,b 为正数,且直线ax +by -6=0与直线2x +(b -3)y +5=0互相平行,则2a +3b 的最小值为_____解析 由于直线ax +by -6=0与直线2x +(b -3)y +5=0互相平行,所以a (b -3)=2b ,即2a +3b =1(a ,b 均为正数),所以2a +3b =(2a +3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +3b =13+6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a +a b ≥13+6×2b a ·a b =25(当且仅当b a =ab ,即a=b =5时取等号)若直线(3a +2)x +(1-4a )y +8=0与(5a -2)x +(a +4)y -7=0垂直,则a =________ 解析 由两直线垂直的充要条件,得(3a +2)(5a -2)+(1-4a )(a +4)=0,解得a =0或a =1.已知两直线方程分别为l 1:x +y =1,l 2:ax +2y =0,若l 1⊥l 2,则a =________. 解析 ∵l 1⊥l 2,∴k 1k 2=-1,即a2=-1,解得a =-2.已知直线y =kx +2k +1与直线y =-12x +2的交点位于第一象限,则实数k 的取值范围是________解析 由方程组⎩⎨⎧y =kx +2k +1,y =-12x +2,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =2-4k 2k +1,y =6k +12k +1.(若2k +1=0,即k =-12,则两直线平行),∴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2-4k 2k +1,6k +12k +1, 又∵交点位于第一象限,∴⎩⎪⎨⎪⎧2-4k2k +1>0,6k +12k +1>0,解得-16<k <12.直线l 过点P (-1,2)且到点A (2,3)和点B (-4,5)的距离相等,则直线l 的方程为______ 解析 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y -2=k (x +1),即kx -y +k +2=0. 由题意知|2k -3+k +2|k 2+1=|-4k -5+k +2|k 2+1,即|3k -1|=|-3k -3|,∴k =-13.∴直线l 的方程为y -2=-13(x +1),即x +3y -5=0.当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x =-1,也符合题意.过点P (0,1)作直线l ,使它被直线l 1:2x +y -8=0和l 2:x -3y +10=0截得的线段被点P 平分,则直线l 的方程为________________解析 设l 1与l 的交点为A (a,8-2a ),则由题意知,点A 关于点P 的对称点B (-a,2a -6)在l 2上,代入l 2的方程得-a -3(2a -6)+10=0,解得a =4,即点A (4,0)在直线l 上,所以直线l 的方程为x +4y -4=0与直线l 1:3x +2y -6=0和直线l 2:6x +4y -3=0等距离的直线方程是________解析 l 2:6x +4y -3=0化为3x +2y -32=0,所以l 1与l 2平行,设与l 1,l 2等距离的直线l 的方程为3x +2y +c =0,则:|c +6|=|c +32|,解得c =-154,所以l 的方程为12x +8y -15=0.已知两直线l 1:ax -by +4=0和l 2:(a -1)x +y +b =0,若l 1∥l 2,且坐标原点到这两条直线的距离相等,则a +b =________解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a +b (a -1)=0,4a 2+(-b )2=|b |(a -1)2+1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =-2或⎩⎨⎧a =23,b =2经检验,两种情况均符合题意,∴a +b 的值为0或83已知直线l 1:ax +y -1=0,直线l 2:x -y -3=0,若直线l 1的倾斜角为π4,则a =______;若l 1⊥l 2,则a =________;若l 1∥l 2,则两平行直线间的距离为_______解析 若直线l 1的倾斜角为π4,则-a =k =tan45°=1,故a =-1;若l 1⊥l 2,则a ×1+1×(-1)=0,故a =1;若l 1∥l 2,则a =-1,l 1:x -y +1=0,两平行直线间的距离d =|1-(-3)|1+1=2 2.已知直线l :2x -3y +1=0,点A (-1,-2),则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________解析 设A ′(x ,y ),由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y +2x +1×23=-1,2×x -12-3×y -22+1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-3313,y =413,故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫-3313,413.解答题:已知两直线l 1:x +y sin α-1=0和l 2:2x ·sin α+y +1=0,求α的值,使得: (1)l 1∥l 2; (2)l 1⊥l 2.解 (1)当sin α=0时,直线l 1的斜率不存在,l 2的斜率为0,显然l 1不平行于l 2.当sinα≠0时,k1=-1sinα,k2=-2sinα,要使l1∥l2,需-1sinα=-2sinα,即sinα=±22.所以α=kπ±π4,k∈Z,此时两直线的斜率相等.故当α=kπ±π4,k∈Z时,l1∥l2.(2)因为A1A2+B1B2=0是l1⊥l2的充要条件,所以2sinα+sinα=0,即sinα=0,所以α=kπ,k∈Z. 故当α=kπ,k∈Z时,l1⊥l2.如图,设一直线过点(-1,1),它被两平行直线l1:x+2y-1=0,l2:x+2y-3=0所截的线段的中点在直线l3:x-y-1=0上,求其方程.解与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x+2y-2=0.设所求直线方程为(x+2y-2)+λ(x-y-1)=0,即(1+λ)x+(2-λ)y-2-λ=0.又直线过(-1,1),∴(1+λ)(-1)+(2-λ)·1-2-λ=0,解得λ=-13.∴所求直线方程为2x+7y-5=0.正方形的中心为点C(-1,0),一条边所在的直线方程是x+3y-5=0,求其他三边所在直线的方程解点C到直线x+3y-5=0的距离d=|-1-5|1+9=3105.设与x+3y-5=0平行的一边所在直线的方程是x+3y+m=0(m≠-5),则点C到直线x+3y+m=0的距离d=|-1+m|1+9=3105,解得m=-5(舍去)或m=7,所以与x+3y-5=0平行的边所在直线的方程是x+3y+7=0. 设与x+3y-5=0垂直的边所在直线的方程是3x-y+n=0,则点C到直线3x-y+n=0的距离d=|-3+n|1+9=3105,解得n=-3或n=9,所以与x+3y-5=0垂直的两边所在直线的方程分别是3x-y-3=0和3x-y+9=0.已知直线l:2x-3y+1=0,求直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程解 在直线m 上任取一点,如M (2,0),则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上.设对称点M ′(a ,b ),则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a +22-3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b +02+1=0,b -0a -2×23=-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =613,b =3013,∴M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613,3013.设直线m 与直线l 的交点为N ,则由⎩⎪⎨⎪⎧2x -3y +1=0,3x -2y -6=0,得N (4,3).又∵m ′经过点N (4,3).∴由两点式得直线m ′的方程为9x -46y +102=0.求与直线3x +4y +1=0平行且过点(1,2)的直线l 的方程. 解 依题意,设所求直线方程为3x +4y +c =0 (c ≠1), 又因为直线过点(1,2),所以3×1+4×2+c =0,解得c =-11. 因此,所求直线方程为3x +4y -11=0.求经过两直线l 1:x -2y +4=0和l 2:x +y -2=0的交点P ,且与直线l 3:3x -4y +5=0垂直的直线l 的方程.解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x -2y +4=0,x +y -2=0,得P (0,2).因为l 3的斜率为34,且l ⊥l 3,所以直线l 的斜率为-43, 由斜截式可知l 的方程为y =-43x +2,即4x +3y -6=0.已知△ABC 的顶点A (5,1),AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x -y -5=0,AC 边上的高BH 所在直线方程为x -2y -5=0,求直线BC 的方程.解 依题意知:k AC =-2,A (5,1),∴l AC 为2x +y -11=0, 联立l AC 、l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x +y -11=0,2x -y -5=0,∴C (4,3).设B (x 0,y 0),AB 的中点M 为(x 0+52,y 0+12),代入2x -y -5=0,得2x 0-y 0-1=0,∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0-y 0-1=0,x 0-2y 0-5=0,∴B (-1,-3),∴k BC =65,∴直线BC 的方程为y -3=65(x -4),即6x -5y -9=0.已知直线l 经过直线l 1:2x +y -5=0与l 2:x -2y =0的交点. (1)若点A (5,0)到l 的距离为3,求l 的方程; (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值.解 (1)易知l 不可能为l 2,可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x +y -5)+λ(x -2y )=0,即(2+λ)x +(1-2λ)y -5=0, ∵点A (5,0)到l 的距离为3,∴|10+5λ-5|(2+λ)2+(1-2λ)2=3,即2λ2-5λ+2=0,∴λ=2,或λ=12,∴l 的方程为x =2或4x -3y -5=0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x +y -5=0,x -2y =0,解得交点P (2,1),如图,过P 作任一直线l ,设d 为点A 到l 的距离,则d ≤P A (当l ⊥P A 时等号成立).∴d max =P A =(5-2)2+(0-1)2=10.专项能力提升若点(m ,n )在直线4x +3y -10=0上,则m 2+n 2的最小值是 ( ) A .2 B .2 2 C .4 D .2 3 解析 因为点(m ,n )在直线4x +3y -10=0上,所以4m +3n -10=0.欲求m 2+n 2的最小值可先求(m -0)2+(n -0)2的最小值,而(m -0)2+(n -0)2表示4m +3n -10=0上的点(m ,n )到原点的距离,如图.当过原点的直线与直线4m +3n -10=0垂直时,原点到点(m ,n )的距离最小为2.所以m 2+n 2的最小值为4.已知直线l :y =12x -1,(1)求点P (3,4)关于l 对称的点Q ; (2)求l 关于点(2,3)对称的直线方程.解 (1)设Q (x 0,y 0),由于PQ ⊥l ,且PQ 中点在l 上,有⎩⎪⎨⎪⎧y 0-4x 0-3=-2,y 0+42=12·x 0+32-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=295,y 0=-85,∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫295,-85.(2)在l 上任取一点,如M (0,-1),则M 关于点(2,3)对称的点为N (4,7).∵当对称点不在直线上时,关于点对称的两直线必平行,∴所求直线过点N 且与l 平行, ∴所求方程为y -7=12(x -4),即为x -2y +10=0.。
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 第二节 两条直线的位置关系
因为点(-2-x,4-y)在直线2x+3y-6=0上,所以2(-2-x)+3(4-y)-6=0,即2x+3y-2=0.
(2)设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)
在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所
)
A.3x-2y-10=0 B.3x-2y-23=0
C.2x+3y-4=0 D.2x+3y-2=0
(2)过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段
恰好被点P平分,则直线l的方程为
.
答案 (1)D
(2)x+4y-4=0
解析 (1)设对称的直线方程上的一点的坐标为(x,y),则其关于点(-1,2)对称
l1:A1x+B1y+C1=0
(A21 + B12 ≠0)
l2:A2x+B2y+C2=0
(A22 + B22 ≠0)
A1
⇔A
2
∥l2⇔ A1B2-A2B1=0
,且 B1C2-B2C1≠0(或
A1C2-A2C1≠0)
l1 与 l2 相交⇔A1B2-A2B1≠0
l1⊥l2⇔ A1A2+B1B2=0
第九章
第二节 两条直线的位置关系
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
课标解读
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
2011年高考一轮复习数学精品课件系列《两条直线的位置关系》
课堂互动讲练
(解题示范)(本题满分14分) 已知直线l过点P(3,1)且被两 平行线l1:x+y+1=0,l2:x +y+6=0截得的线段长为5, 求直线 l的方程. 【思路点拨】 可设点斜式方程,
例3
求与两直线的交点.利用两点间距离公 式求解.
课堂互动讲练
【解】 法一:若直线l的斜率 不存在,则直线l的方程为x=3,此 时与l1,l2的交点分别是A(3,-4), B(3,-9),截得的线段长AB=|-4 +9|=5,符合题意.3分 当直线l的斜率存在时, 则设直线l的方程为y=k(x-3) +1, 分别与直线l1,l2的方程联立.
课堂互动讲练
跟踪训练
1.(2009年高考上海卷改 编)已知直线l1:(k-3)x+(4 -k)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ+1=0与l2:2(k-3)x- 2y+3=0平行,则k的值是 ________.
课堂互动讲练
跟踪训练 解析:k=3时,l1:y+1=0, l2:-2y+3=0,显然平行; k=4时,l1:x+1=0,l2:2x k- 3 -2y+3=0,显然不平行; 有
课堂互动讲练
例1
已知两条直线l1:ax-by+ 4=0和l2:(a-1)x+y+b=0, 求满足下列条件的a、b的值. (1)l1⊥l2,且l1过点(-3,- 1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这 两条直线的距离相等.
课堂互动讲练
【思路点拨】 由条件可知,直线l2的斜率 为1-a,可通过对1-a的取值情况的讨论来解决 该题.
课堂互动讲练
自我挑战
3.(本题满分14分)在直线l:3x-y -1=0上求一点P,使点P到点A(1,7)和B (0,4)的距离之和最小.
解:设点B关于直线l的对称点 B′(m,n). n-4 则kBB′· kl=-1,即m · 3=-1, ∴m+3n-12=0. m 又由于线段 BB′的中点坐标为 n+4 ( 2 , 2 ),且在直线l上,
高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第2节两直线的位置关系距离公式教师用书
第二节 两直线的位置关系、距离公式考试要求:1.能根据两条直线的方程判定这两条直线平行或垂直(逻辑推理).2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离(数学运算).一、教材概念·结论·性质重现1.两条直线的位置关系(1)利用斜率关系判断对于不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2.l1∥l2k1=k2l1⊥l2k1·k2=-1特别地,当两直线的斜率都不存在时,l1∥l2;当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2.(2)利用方程判断l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2,C2均不为0),l1∥l2=≠l1⊥l2A1A2+B1B2=0l1与l2重合==特别地,若A2,B2,C2中存在为0的情况,则利用斜率关系判断.(3)两直线相交交点:直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解;平行⇔方程组无解;重合⇔方程组有无数个解.(1)与直线Ax+2.三种距离(1)P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离|P1P2|=.(2)点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.(3)两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(其中A2+B2≠0,C1≠C2)间的距离d=.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意:二、基本技能·思想·活动经验1.判断下列说法的正误,对的打“√”,错的打“×”.(1)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.( × )(2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( × )(3)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为.( × )(4)两平行直线2x-y+1=0,4x-2y+1=0间的距离为0.( × ) 2.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则实数m的值为( )A.0 B.-8 C.2 D.10B 解析:由题意知=-2,解得m=-8.故选B.3.如果平面直角坐标系内的两点A(a-1,a+1),B(a,a)关于直线l对称,那么直线l的方程为( )A.x-y+1=0 B.x+y+1=0C.x-y-1=0 D.x+y-1=0A 解析:因为直线AB的斜率为=-1,所以直线l的斜率为1.设直线l的方程为y =x+b,由题意知直线l过线段AB的中点,所以=+b,解得b=1,所以直线l的方程为y=x+1,即x-y+1=0.故选A.4.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0相交于同一点,则m的值为____ ____.C 解析:若直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则有=≠,故m=2或-3.5.已知两条直线l1:4x+2y-3=0,l2:2x+y+1=0,则l1与l2之间的距离为___ _____. 解析:两条直线l1:4x+2y-3=0,l2:2x+y+1=0,即两条直线l1:4x+2y -3=0,l2:4x+2y+2=0,它们之间的距离d==.考点1 两直线平行与垂直判定及应用——基础性1.“m=1”是“直线l1:mx+y-1=0和直线l2:x+my+6=0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A 解析:直线l1:mx+y-1=0和直线l2:x+my+6=0平行⇔m2=1⇔m=±1,“m=1”是“m=±1”的充分不必要条件.故选A.2.若直线2x+(2a-5)y+2=0与直线bx+2y-1=0互相垂直,则a2+b2的最小值为( )A. B.3C.5 D.C 解析:因为直线2x+(2a-5)y+2=0与直线bx+2y-1=0互相垂直,所以2b+2(2a-5)=0,化简得b=5-2a,所以a2+b2=a2+(5-2a)2=5a2-20a+25=5(a-2)2+5≥5,当且仅当a=2时取“=”,所以a2+b2的最小值为5.3.已知直线l1:mx+y-1=0,l2:(2m+3)x+my-1=0,m∈R,若l1⊥l2,则m=________.0或-2 解析:若l1⊥l2,则m(2m+3)+m=0,解得m=0或m=-2,即l1⊥l2⇔m=0或m=-2.1.当方程的系数含有字母时,应考虑斜率不存在的特殊情况,否则容易漏解.2.利用平行、垂直等条件求出参数值后,应将求出的参数值回代,验证是否符合题意.如当两直线平行时,利用斜率相等求出的参数值可能会使两直线重合,应该代入验证是否舍去其中一个值.考点2 两直线的交点、距离问题——综合性(1)已知直线3x+2y-3=0与直线6x+my+7=0互相平行,则它们之间的距离是( )A.4 B.C. D.B 解析:由直线3x+2y-3=0与直线6x+my+7=0互相平行,得m=4,所以直线分别为3x+2y-3=0与3x+2y+=0.它们之间的距离是=.故选B.(2)直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为( )A.-24 B.24 C.6 D.±6 A 解析:直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,可设交点坐标为(a,0),则即故选A.本例1(1)中,条件“直线3x+2y-3=0与直线6x+my+7=0互相平行”改为“直线3x+2y-3=0与直线6x+my+7=0互相垂直”,求两直线的交点坐标.解:因为两直线垂直,则18+2m=0,则m=-9.由解得所以交点坐标为.1.求过两直线交点的直线方程的方法1.若点P在直线3x+y-5=0上,且P到直线x-y-1=0的距离为,则点P的坐标为( )A.(1,2) B.(2,1)C.(1,2)或(2,-1) D.(2,1)或(-1,2)C 解析:设P(x,5-3x),则d==,化简得|4x-6|=2,即4x-6=±2,即x=1或x=2,故点P的坐标为(1,2)或(2,-1).故选C.2.已知直线l过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点Q,且点P(0,4)到直线l的距离为2,则这样的直线l的条数为( )A.0 B.1C.2 D.3C 解析:由得即直线l过点Q(1,2).因为|PQ|==>2,所以满足条件的直线l有2条.故选C.考点3 对称问题——应用性考向1 点关于点对称过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为________________.x+4y-4=0 解析:设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,把点B的坐标代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以由两点式得直线l的方程为x+4y-4=0.考向2 点关于直线的对称点已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________. 解析:设A′(x,y),由已知得解得故A′.则有(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决.考向3 直线关于直线的对称已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对称,则l2的方程是( )A.x-2y+1=0 B.x-2y-1=0C.x+y-1=0 D.x+2y-1=0B 解析:由得交点(1,0),取l1上的点(0,-2),其关于直线l的对称点为(-1,-1),故直线l2的方程为=,即x-2y-1=0.1.已知点(1,-1)关于直线l1:y=x的对称点为A,设直线l2经过点A,则当点B(2,-1)到直线l2的距离最大时,直线l2的方程为( )A.2x+3y+5=0 B.3x-2y+5=0C.3x+2y+5=0 D.2x-3y+5=0B 解析:易知A(-1,1).设点B(2,-1)到直线l2的距离为d,当d=|AB|时取得最大值,此时直线l2垂直于直线AB,又-=,所以直线l2的方程为y-1=(x+1),即3x -2y+5=0.故选B.2.若函数y=ax+8与y=-x+b的图象关于直线y=x对称,则a+b=( )A. B.-C.2 D.-2C 解析:直线y=ax+8关于y=x对称的直线方程为x=ay+8,所以x=ay+8与y=-x+b为同一直线,则所以a+b=2.故选C.。
第二节 两条直线的位置关系【高考文数专题--解析几何】
[一“点”就过]
1.两直线位置关系的判断方法
①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不 已知两直线的
相等; 斜率存在
②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为-1
已知两直线的 当两直线在x轴上的截距不相等时,两直线平行;否则
斜率不存在 两直线重合
已知两直线的 一般方程
设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0;l1⊥l2⇔A1A2 +B1B2=0.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论
2.由两条直线平行或垂直求参数的值的解题策略 在解这类问题时,一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率 不存在的可能性,是否需要分情况讨论; “后想”就是在解题后检验答案的正确性,看是否出现增解或漏解. [备课札记]
命题点二 两条直线的交点与距离问题(讲练悟通)
[贯通知能]
[典例] (1)若直线l1:3x+y-3=0与l2:6x+my+1=0平行,则它们之间
得C(5,0),D(5,3),A(0,3).
直线AC的方程为
x 5
+ 3y
=1,即3x+5y-15=0,设与直线AC垂直的直线的方程
为5x-3y+t=0,把D(5,3)代入得t=-25+9=-16,即过点D(5,3)且与直线
AC垂直的直线的方程为5x-3y-16=0.
令y=0,得x=156=3.2,即BM=3.2 m时,两条小路AC与DM互相垂直.
|C1-C2| d= A2+B2
谨记结论·谨防易错 1.常用的2个结论 (1)2个充要条件 ①两直线平行的条件 直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0平行的充要条件是: A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0). ②两直线垂直的条件 直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是: A1A2+B1B2=0.
江苏理数 第九章 解析几何 第二节 两条直线的位置关系
1 4 4 则 ×a×b=2,得 ab=4,④ 2 由③④,得 a=2,b=2.
[谨记通法] 1.已知两直线的斜率存在,判断两直线平行垂直的方法 (1) 两直线平行 ⇔ 两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距 不等; (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于-1. [提醒] 当直线斜率不确定时,要注意斜率不存在的情况.
2.已知直线 3x+4y-3=0 与直线 6x+my+14=0 平行,则 它们之间的距离是________.
6 m 14 解析:因为 = ≠ ,所以 m=8,直线 6x+my+14=0 3 4 -3 |-3-7| 可化为 3x+4y+7=0,两平行线之间的距离 d= 2 2 =2. 3 +4 答案:2
2.已知过点 A(-2,m)和点 B(m,4)的直线为 l1,直线 2x+y-1 =0 为 l2,直线 x+ny+1=0 为 l3.若 l1∥l2,l2⊥l3,则实数 m +n=________.
4-m 解析:因为 l1∥l2,所以 =-2(m≠-2),解得 m= m+ 2 -8(经检验, l1 与 l2 不重合), 因为 l2⊥l3, 所以 2×1+1×n =0,解得 n=-2,所以 m+n=-10. 答案:-10
|C1-C2| 2 2 A + B d=_________
Ax+By+C2=0间距离
[小题体验]
1. (教材习题改编)已知点(a,2)(a>0)到直线 l: x-y+3=0 的距离 为 1,则 a=________. |a-2+3| 解析:由题意知 =1,所以|a+1|= 2, 2
又 a>0,所以 a= 2-1.答案: 2-1
[小题纠偏]
1.已知直线 l1:(t+2)x+(1-t)y=1 与 l2:(t-1)x+(2t+3)y +2=0 互相垂直,则 t 的值为________. 1 解析:①若 l1 的斜率不存在,此时 t=1,l1 的方程为 x= ,l2 的方 3
第2课时 两条直线的位置关系
要点·疑点·考点
2.两条直线l1,l2相交构成四个角,它们是两对对顶角,把l1 依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的角, l1到l2的角的范围是(0,π).l1与l2所成的角是指不大
k 2 - k1 于直角的角,简称夹角.到角的公式是 tanθ ,夹 1 - k1 k 2 k 2 - k1 角公式是tanθ ,以上公式适用于两直线斜率都 1 - k1k 2
2.若直线l1:mx+2y+6=0和直线l2:x+(m-1)y+m2-1=0平行但不 重合,则m的值是______. -1
3.若直线l1:y=kx+k+2与l2:y=-2x+4的交点在第一象限, 则k的取值范围是______________. -2/3<k<2
基础题例题
4.(2004年高考· 湖北)已知点M1(6,2)和M2(1,7),直线 y=mx-7与线段M1M2的交点M分有向线段M1M2的比为 3:2,则m的值为 ( D)
以上结论是针对l2的系数不为零时适用.
要点·疑点·考点
4.点到直线的距离公式为:d
Ax0 By0 C A2 B 2
5.两条平行线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0的距离 为:d C1 C 2 A2 B 2
基础题例题
1.已知点P(1,2),直线l:2x+y-1=0,则过点P且与直线l平行 2x+y-4=0 ,过点 P 且与直线 l 垂直的直线方 的直线方程为 __________ x-2y+3=0 ;过点P且直线l夹角为45°的直线方程为 程为___________ 3 5 3 x-y1=0 或 x+ 3 y7=0 ____________________;点P到直线L的距离为____ 5 ,直线 5 l与直线4x+2y-3=0的距离为_________ 10
2.2.3 两条直线的位置关系
2.2.3两条直线的位置关系基础过关练题组一两条直线的相交、平行与重合1.下列说法中,正确的个数为( )①若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行;②若两条直线平行,则这两条直线的斜率相等;③若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线相交;④若两条直线的斜率都不存在,则这两条直线平行.A.1B.2C.3D.42.(2019湖南岳阳一中高二月考)若直线l1,l2在x轴上的截距都是m,在y轴上的截距都是n,则l1,l2的位置关系是( )A.平行B.重合C.平行或重合D.相交或重合3.直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点坐标为( )A.(-4,-3)B.(4,3)C.(-4,3)D.(3,4)4.(2020河北正定一中高二月考)已知两条直线y=ax-2和3x-(a+2)y+1=0互相平行,则a等于( )A.1或-3B.-1或3C.1或3D.-1或-35.(2019湖北天门高二期中)已知直线l1经过点A(m,1),B(-3,4),直线l2经过点C(1,m),D(-1,m+1),当直线l1与l2平行时,实数m的值为( )A.3B.-1C.-3D.16.(2020江苏宿迁高二月考)直线(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过的定点坐标是.7.若直线l与直线3x-2y=6平行,且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,则直线l的方程为.8.已知直线l1:ax+2y+6=0,l2:x+(a-1)y+a2-1=0,求满足下列条件的a的取值范围.(1)l1与l2相交;(2)l1∥l2;(3)l1与l2重合.题组二两条直线的垂直9.(2019山东济南高二月考)与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )x+4 B.y=2x+4A.y=12x+4C.y=-2x+4D.y=-1210.(2020河南平顶山高一期末)下列四组直线中,互相垂直的一组是( )A.2x+y-1=0与2x-y-1=0B.2x+y-1=0与x-2y+1=0C.x+2y-1=0与x-y-1=0D.x+y=0与x+y-3=011.已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是( )A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=512.(2020辽宁沈阳高二期末)已知直线4x+my-6=0与直线5x-(m-1)y+8=0垂直,则实数m的值为( )A.-4或5B.-4C.5D.4或-513.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A为直角顶点的直角三角形D.以B为直角顶点的直角三角形14.(2020湖南娄底高二联考)过点P(3,0)且与直线x-2y+3=0垂直的直线的方程为.题组三两条直线的位置关系的应用15.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为( )A.(3,4)B.(1,3)C.(3,1)D.(3,8)16.已知直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根,若l1⊥l2,则m= ;若l1∥l2,则m= .17.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2+2√2),B(0,2-2√2),C(4,2),则△ABC是.(填△ABC的形状)能力提升练题组两直线位置关系的应用1.(2019湖南长沙高二月考,)若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+ky=0相交于一点,则k=( )A.-2B.-12C.2 D.122.(2020山东东营一中高二期末,)已知两点A(2,0),B(3,4),直线l过点B,且交y轴于点C(0,y),O是坐标原点,若O,A,B,C四点共圆,则y的值是( )A.19B.194C.5D.43.(2019山西临汾一中高二期中,)设集合A={(x,y)|y-3x-1=2,x,y∈R},B={(x,y)|4x+ay-16=0,x,y∈R},若A∩B=⌀,则实数a的值为( ) A.4 B.-2C.4或-2D.-4或24.(多选)(2020河南郑州一中高二月考,)若直线l 1的倾斜角为α,且l1⊥l2,则直线l2的倾斜角可能为( )A.90°-αB.90°+αC.|90°-α|D.180°-α5.(多选)(2020河北沧州高二期中,)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3),若点A的坐标为(0,4),则点B的坐标可能是( )A.(2,0)B.(0,2)C.(4,6)D.(6,4)6.(2020河北保定高二期末,)已知过原点O的一条直线与函数y=log 8x的图像交于A,B两点,分别过点A,B作y轴的平行线与函数y=log2x的图像交于C,D两点.(1)证明:点O,C,D在同一条直线上;(2)当直线BC平行于x轴时,求点A的坐标.7.(2020湖南长沙雅礼中学高一月考,)已知四边形ABCD的顶点A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),求四边形ABCD为直角梯形时,m和n的值.8.(2020江西南昌高二期末,)已知直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l 上,将直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行或重合,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),试求m的值.答案全解全析基础过关练1.A 若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行或重合,所以①不正确;若两条直线都垂直于x 轴,则这两条直线的斜率都不存在,所以②不正确;若两条直线的斜率都不存在,则这两条直线平行或重合,所以④不正确;显然③正确.故选A.2.D 当mn≠0时,l 1,l 2重合;当m=n=0时,l 1,l 2可能相交,也可能重合.故选D.3.C 由方程组{3x +2y +6=0,2x +5y -7=0得{x =-4,y =3,故选C. 4.A 因为直线y=ax-2的斜率存在且为a,所以a+2≠0,直线3x-(a+2)y+1=0可化为y=3a+2x+1a+2.因为两条直线平行,所以3a+2=a 且1a+2≠-2,解得a=1或a=-3.5.A 显然m≠-3,k AB =4-1-3-m =3-3-m,k CD =m+1-m -1-1=-12,由于l 1∥l 2,所以3-3-m=-12,解得m=3,满足题意. 6.答案 (2,3)解析 直线方程可化为m(2x-y-1)-(x+3y-11)=0.因为对任意m∈R,方程恒成立,所以{2x -y -1=0,x +3y -11=0,解得{x =2,y =3,故直线恒过定点(2,3).7.答案 15x-10y-6=0解析 由题意知直线l 的斜率k=32,设直线l 的方程为y=32x+b(b≠-3).令y=0,得x=-2b 3,所以-2b 3-b=1,解得b=-35,故直线l 的方程为y=32x-35,即15x-10y-6=0.8.解析 (1)因为l 1与l 2相交,所以a(a-1)≠2,所以a≠-1且a≠2. 故当a≠-1且a≠2时,l 1与l 2相交. (2)因为l 1∥l 2, 所以{a (a -1)-2=0,2(a 2-1)-6(a -1)≠0,解得a=-1.故当a=-1时,l 1∥l 2.(3)因为l 1与l 2重合, 所以{a (a -1)-2=0,2(a 2-1)-6(a -1)=0,解得a=2.故当a=2时,l 1与l 2重合.9.D 因为直线y=2x+1的斜率为2,所以与其垂直的直线的斜率是-12,故所求直线的斜截式方程为y=-12x+4.10.B 由两条直线垂直的条件易知B 选项中的两条直线互相垂直.11.B 线段AB 的中点坐标为(2,32),因为直线AB 的斜率k=1-23-1=-12,所以线段AB 的垂直平分线的斜率为2.由直线的点斜式方程,可得所求垂直平分线的方程为y-32=2(x-2),即4x-2y=5.12.A 依题意可得4×5-m(m-1)=0,即m 2-m-20=0,所以m=-4或m=5. 13.C 由已知得k AB =-1-12-(-1)=-23,k AC =4-11-(-1)=32,所以k AB ·k AC =-1,即AB⊥AC,故三角形ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形. 14.答案 2x+y-6=0解析 设所求直线方程为2x+y+c=0,由直线过点P(3,0)得2×3+0+c=0,解得c=-6,故所求直线方程为2x+y-6=0.15.A 设顶点D 的坐标为(m,n),由题意得AB∥DC,AD∥BC,则有k AB =k DC ,k AD =k BC ,所以{0-11-0=3-n 4-m,n -1m -0=3-04-1,解得{m =3,n =4.所以顶点D 的坐标为(3,4). 16.答案 -2;2解析 由一元二次方程根与系数的关系得k 1·k 2=m2,若l 1⊥l 2,则m2=-1,∴m=-2.当m=-2时,关于k 的方程2k 2-4k+m=0有两个实数根,∴m=-2满足题意. 若l 1∥l 2,则k 1=k 2,即关于k 的方程2k 2-4k+m=0有两个相等的实数根,∴Δ=(-4)2-4×2×m=0, ∴m=2.17.答案 直角三角形解析 由已知得,AB 边所在直线的斜率k AB =2-2√2-(2+2√2)0-2=2√边所在直线的斜率k CB =2-2√2-20-4=√22,AC 边所在直线的斜率k AC =2-(2+2√2)4-2=-√2,所以k CB ·k AC =-1,所以CB⊥AC,所以△ABC 是直角三角形.能力提升练1.B 由方程组{2x +3y +8=0,x -y -1=0解得{x =-1,y =-2.将(-1,-2)代入x+ky=0,得k=-12.2.B 由题易知AB⊥BC,所以k AB ·k BC =-1,即4-03-2×y -40-3=-1,解得y=194.3.C 集合A 表示直线y-3=2(x-1),即y=2x+1上的点,但除去点(1,3),集合B 表示直线4x+ay-16=0上的点,当A∩B=⌀时,直线y=2x+1与4x+ay-16=0平行或直线4x+ay-16=0过点(1,3),所以-4a =2或4+3a-16=0,解得a=-2或a=4.4.ABC (1)当α=0°时,l 2的倾斜角为90°(如图1);(2)当0°<α<90°时,l 2的倾斜角为90°+α(如图2);(3)当α=90°时,l 2的倾斜角为0°(如图3);(4)当90°<α<180°时,l 2的倾斜角为α-90°(如图4).故直线l 2的倾斜角可能为90°-α,90°+α ,|90°-α|,但不可能为180°-α.5.AC 设B 点坐标为(x,y),根据题意可得{k AC ·k BC =-1,|BC |=|AC |,即{3-43-0·3-y 3-x=-1,√(x -3)2+(y -3)2=√(0-3)2+(4-3)2,整理可得{x =2,y =0或{x =4,y =6,故B(2,0)或B(4,6).6.解析 (1)证明:设点A,B 的横坐标分别为x 1,x 2.由题意,知x 1>1,x 2>1,A(x 1,log 8x 1),B(x 2,log 8x 2),C(x 1,log 2x 1),D(x 2,log 2x 2),且log 8x 1x 1=log 8x 2x 2,又k OC =log 2x 1x 1=3log 8x 1x 1,k OD =log 2x 2x 2=3log 8x 2x 2,所以k OC =k OD ,即点O,C,D 在同一条直线上. (2)由(1)知B(x 2,log 8x 2),C(x 1,log 2x 1). 由直线BC 平行于x 轴,得log 2x 1=log 8x 2,所以x 2=x 13,将其代入log 8x 1x 1=log 8x 2x 2,得x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1,由x 1>1,知log 8x 1≠0,故x 13=3x 1,所以x 1=√3,于是A(√3,log 8√3). 7.解析 若四边形ABCD 是直角梯形, 则有2种情形,如图所示:①AB∥CD,AB⊥AD,此时A(2,-1).∴m=2,n=-1. ②AD∥BC,AD⊥AB,∴{k AD =k BC ,k AD ·k AB =-1,即{2-n2-m =2-(-1)4-5,2-n 2-m·-1-n 5-m=-1,解得{m =165,n =-85.综上,{m =2,n =-1或{m =165,n =-85.8.解析 如图,直线l 1的倾斜角为30°+30°=60°,∴直线l 1的斜率k 1=tan 60°=√3.∵l 1与l 2平行或重合, ∴l 2的斜率为√3.∵l 2是线段AB 的垂直平分线, ∴k AB =2-m+1m -1=3-m m -1=-√33,解得m=4+√3.。
第二节两条直线的位置关系
第 1 页/共 9 页第二节 两条直线的位置关系————————————————————————————————[考纲传真] 1.能根据两条直的斜率判定两条直平行或垂直线这线.2.能用解方程的方法求两条相交直的交点坐组线标.3.掌握两点的距离公式、点到直的间线距离公式,会求两平行直的距离.线间1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1,l 2,若其斜率分别为k 1,k 2,则有l 1∥l 2⇔k 1=k 2.②当直线l 1,l 2不重合且斜率都不存在时,l 1∥l 2.(2)两条直线垂直①如果两条直线l 1,l 2的斜率存在,设为k 1,k 2,则有l 1⊥l 2⇔k 1· k 2=- 1.②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l 1⊥l 2.2.两条直线的交点的求法直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0(A 1,B 1,C 1,A 2,B 2,C 2为常数),则l 1与l 2的交点坐标就是方程组的解.3.距离1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时,一定有k 1=k 2⇒l 1∥l 2.( )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( )(3)点P (x 0,y 0)到直线y =kx +b 的距离为.( )(4)已知直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0(A 1,B 1,C 1,A 2,B 2,C 2为常数),若直线l 1⊥l 2,则A 1A 2+B 1B 2=0.( )(5)若点P ,Q 分别是两条平行线l 1,l 2上的任意一点,则P ,Q 两点的最小距离就是两条平行线的距离.( )1。
两条直线的位置关系
(4)经过两相交直线A1x+B1y+C1=0和 A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x +B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(这个直线 系方程中不包括直线A2x+B2y+C2=0).
规律方法总结
3.常见的对称问题 (1)中心对称 ①点 M(x1,y1)及 N(x,y)关于 P(a,b)对称,则由中点坐标公式得 xy==22ba--yx11 .
例1 已知直线l1:ax+2y+6=0和直 线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,
(1)试判断l1与l2是否平行; (2)l1⊥l2时,求a的值. 【思路点拨】 直线的斜率可能 不存在,故应按l2的斜率是否存在为 分类标准进行分类讨论.
课堂互动讲练
【解】 (1)法一:当a=1时, l1:x+2y+6=0, l2:x=0,l1不平行于l2; a=0时,l1:y=-3, l2:x-y-1=0,l1不平行于l2; 当a≠1且a≠0时,两直线可化为
(2)线关于线对称,不能转化为点关 于线的对称问题;线关于点的对称,不 能转化为点关于点的对称问题.
课堂互动讲练
高考检阅
(本题满分12分)在直线l:3x-y- 1=0上求一点P,使点到A(1,7)和B(0,4) 的距离之和最小.
解:设点 B 关于直线 l 的对称点 B′(m,n),
则 kBB′·kl=-1,即n-m 4·3=-1, ∴m+3n-12=0.
课堂互动讲练
-32(x-1),y-2=x-1,即 3x+2y - 7 = 0 , y - x - 1 = 0. 由
3x+2y-7=0
x+y=0
得 B(7,-7),由
y-x-1=0 2x-3y+1=0
第二节 两直线的位置关系
数学
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第二节 两直线的位置关系 结束
3.常见的三大直线系方程 (1)与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程是 Ax+By+m =0(m∈R 且 m≠C). (2)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是 Bx-Ay+m =0(m∈R). (3)过直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 的 交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈ R),但不包括 l2.
第二节 两直线的位置关系 结束
(二)小题查验 1.判断正误
(1)l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,当 k1≠k2 时,l1 与 l2 相交( √ )
(2)过 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直
线方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R) ( × ) 2.(人教 A 版教材习题改编)经过两直线 2x+y-8=0 与 x-2y
求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用 l1∥l2,由点斜式得 到所求的直线方程.
数学
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第二节 两直线的位置关系 结束
2.轴对称 (1)点关于直线的对称 若两点 P1(x1,y1)与 P2(x2,y2)关于直线 l:Ax+By+C=0 对 称,则线段 P1P2 的中点在对称轴 l 上,且连接 P1P2 的直线垂直 于对称轴 l, 由方程组Ax1+2 x2+By1+2 y2+C=0,
的距离最大的直线,最大距离为|-5|= 5
5.
(3)由(2)可知,过点 P 不存在到原点的距离超过 5的直线,因此不
存在过点 P 且到原点的距离为 6 的直线.
两条直线的位置关系
两条直线的位置关系
在同一平面内,两条直线的位置关系有两种:平行、相交。
在空间中两条直线的位置关系有三种:平行、相交、异面。
在同一平面内,两条直线的位置关系有两种:平行、相交。
在空间中两条直线的位置关系有三种:平行、相交、异面。
例题分析
在同一平面内,假如两条直线都与一条直线平行,那么这两条直线〔互相平行〕。
:直线AB∥EF,CD∥EF,求证:AB∥CD。
证明:假设AB与CD不平行,那么直线AB与CD相交。
设它们的交点为P,于是经过点P就有两条直线〔AB、CD〕都和直线EF平行。
这就与经过直线外一点有且只有一条直线和直线平行相矛盾。
所以假设不能成立,故AB∥CD。
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不论 k 取何实数值,直线 l 的方程为直线系 l1+λl2=0 的形式,因此
x+y=0, x=1, 必过定点,定点坐标可由方程组 解得 x-y-2=0, y=-1.
考点探究
∴直线 l 经过的定点是 M(1,-1). 证法二 由直线 l 的方程,得(k+1)x=(k-1)y+2k,
考点探究
3+m 5-3m 4 解析:(1)依题意,有 = ≠ ,解得 m=-7(舍去 2 8 m+5 m=-1).故选 A. (2)依题意,直线 3x-ky+6=0 与直线 kx+y+1=0 互相垂直, 可得 k=0.
考点探究
考点2 求与已知直线平行或垂直的直线方程
【例 2】 (1)经过两条直线 2x-3y+3=0,x-y+2=0 的交点, 且与直线 x-3y-1=0 平行的直线一般式方程为________. (2)(2014· 福建卷)已知直线 l 过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心,且与直 线 x+y+1=0 垂直,则 l 的方程是( A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 )
考点探究
变式探究 6.(1)将一张坐标纸折叠一次,使点 P(10,0)与 Q(-6,8)重合, 则与点 M(-4,2)重合的点是(A) A.(4,-2)
3 C.3,2
B.(4,-3) D.(3,-1)
(2)点 P(0,1)在直线 ax+y-b=0 上的射影是点 Q(1,0),则直 线 ax+y-b=0 关于直线 x+y-1=0 对称的直线方程为 x-y-1= 0.
【例 4】 已知直线 l 过点 P(3,4)且与点 A(-2,2),B(4,-
2)等距离,求直线 l 的方程. 解析:当直线 l 和 AB 所在的直线平行时,直线 l 方程为 y-4= 2 kAB(x-3),即 y-4=- (x-3),即 2x+3y-18=0.当直线 l 过 AB 3 4-0 的中点(1,0)时,∴直线 l 的方程为 y= (x-1),即 2x-y-2= 3-1 0.∴直线 l 的方程为 2x+3y-18=0 或 2x-y-2=0.
【例 5】 (1)已知点 A(3,-4),求点 A 关于点 P(-2,1)对称的点 B; (2)求直线 l1:2x-y+2=0 关于定点 M(1,2)对称的直线 m 的方程. 思路点拨:因为关于中心对称的两点连线段被对称中心平分,因此用 中点坐标公式来解决;设直线 m 上的动点 P(x,y)关于点 M(1,2)的对称 点为 Q(x0,y0),则点 Q 必在直线 l1 上,结合中点坐标公式即可求得.
考点探究
解析:(1)方法一 取 k=0,得 x+y+2=0,①
取 k=1,得 2x+y+1=0,② 解①②构成的方程组,得 x=1,y=-3,将该点坐标代入直线 l 方程, 则方程恒成立, 说明不论 k 取何值, 直线 l 都经过点(1, -3). 故 选 B. 方法二 将直线方程化为(x-1)k+x+y+2=0,因为 k 取任意
变形为(k+1)x-(k+1)=(k-1)y+(k-1), 即(k+1)(x-1)+(1-k)(y+1)=0. 直线 l 的方程为过定点(x0,y0)的直线系方程 A(x-x0)+B(y-y0)=0 形式.
x-1=0, x=1, 因此直线 l 必过定点,定点坐标可由方程组 解得 y+1=0, y=-1.
考点探究
∴不论 k 取任何实数值,直线 l 恒过定点 M(1,-1). 点评: 证明直线过定点问题常需要分离参数, 将方程化为过两直 线交点的直线系方程的形式或过定点的直线系方程的形式求解.
考点探究
变式探究 3.(1)不论 k 取何值,直线 l:(k+1)x+y+2-k=0 恒过定点, 这个定点是(B) A.(-1,3) B.(1,-3) C.(3,-1) D.(-3,1) (2)若 k,-1,b 成等差数列,则直线 y=kx+b 必过定点(A) A.(1,-2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(-1,-2)
考点探究
考点1 判定两直线的位置关系
【例 1】 已知两直线:l1:x+my-2m-2=0,l2:mx+y-1 -m=0. (1)若 l1∥l2,求 m 的值; (2)若 l1⊥l2,求 m 的值. 自主解答:
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解析:(1)当 m=0 时,显然不满足 l1∥l2, 1 当 m≠0 时,k1=- ,k2=-m, m 1 ∴- =-m,解得 m=1 或 m=-1, m ∵当 m=-1 时,直线 l1 和直线 l2 重合, ∴m 的值是 1. (2)∵l1⊥l2,∴m+m=0,解得 m=0.
高考总复习数学(理
考纲要求
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考纲要求
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标. 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条 平行直线间的距离.
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2
| 3x-y|
∴轨迹方程为 x- 3y=0 或 3x+y=0.故选 C. 6 m 14 (2)由题意得 = ≠ ⇒m=8,则直线 6x+my+14=0 可化为 3x+4y+7=0,两 3 4 -3 |-3-7| 平行线之间的距离是 d= 2 =2.故选 D. 3 +42
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考点5 中心对称问题
(1)把 x=4,y=5 代入式③及式④得 x′=-2,y′=7, ∴P(4,5)关于直线 l 的对称点 P′坐标为(-2,7). (2)用式③、式④分别代换 x-y-2=0 中的 x、y 得关于 l 的对称 -4x+3y-9 3x+4y+3 直线方程为 - -2=0,化简得 7x+y+22=0, 5 5 即为所求方程. 点评: 本题中的代换方法适合于求任意曲线关于某一定直线对称 的曲线方程.
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变式探究 5.已知直线 x+2y-3=0 与直线 ax+4y+b=0 关于点 A(1,0) 对称,则 b=2. 解析:由题意,点 A(1,0)不在直线 x+2y-3=0 上, 1 a 则- =- ,所以 a=2. 2 4 又点 A 到两直线的距离相等,所以|b+2|=4, 所以 b=-6 或 b=2. 又因为点 A 不在直线上,两直线不重合,所以 b=2.
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(2)已知直线 3x+4y-3=0 与直线 6x+my+14=0 平行,则它们之间的距离是(D) 17 17 A. B. C.8 D.2 10 5 解析:(1)方法一 或 3x+y=0.故选 C. 方法二 ∵直线 l 的倾斜角为 60°, ∴点 P 的轨迹是倾斜角为 30°或 120°的直线, 设点 P(x,y),依题意有|y|= ,化简得 x- 3y=0 ( 3) +1
考点探究
点评:(1)若直线 l1 和 l2 有斜截式方程 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x +b2,则直线 l1⊥l2 的充要条件是 k1·k2=-1;直线 l1∥l2 的充要条 件是 k1=k2,且 b1≠b2. (2)设 l1: A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0, 则 l1⊥l2⇔A1A2 +B1B2=0;l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,A1C2-A2C1≠0. (3)对系数含参这类问题,要从直线有斜率、没有斜率两个方面 进行分类讨论.在确定参数的值时,应注意先讨论 x,y 系数为 0 的 情况.
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点评: 过定点与已知两点距离相等的直线有两条: 一条为平行于 两点所在直线,另一条为过两点中点的直线.
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变式探究 4.(1)点 P 到 x 轴的距离与到直线 l:y= 3x 的距离相等,则点 P 的轨迹方程是(C) A.x- 3y=0 B.x+ 3y=0 或 3x+y=0 C.x- 3y=0 或 3x+y=0 D.x+ 3y=0 或 3x-y=0
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于是得 x0=2-x,y0=4-y,因为点 Q(x0,y0)在直线 l1:2x-y +2=0 上,所以 2(2-x)-(4-y)+2=0,即 2x-y-2=0.所以直线 m 的方程为 2x-y-2=0. 点评:因为已知直线上的点关于定点的对称点均在其对称直线 上,所以关于定点对称的两条直线是互相平行的.
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考点3 直线恒过定点问题
【例 3】 已知(k+1)x-(k-1)y-2k=0 为直线 l 的方程, 求证: 不论 k 取何实数,直线 l 必过定点,并求出这个定点的坐标. 思路点拨:(1)化为两直线交点的直线系方程的形式. (2)将方程化为过定点的直线方程的形式. 证明:证法一 整理直线 l 的方程,得(x+y)+k(x-y-2)=0.
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点评:当直线的斜率存在且不为零时,若直线 l2 与直线 l1:Ax +By+C1=0 平行,则可设 l2 的方程为 Ax+By+C2=0;若直线 l2 与直线 l1:Ax+By+C1=0 垂直,则可设 l2 的方程为 Bx-Ay+C2= 0;当直线的斜率为零或不存在时,结合图形易得直线方程.
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解析:(1)两条直线 2x-3y+3=0,x-y+2=0 的交点为(-3, 1 -1),所以与直线平行的直线为 y+1= (x+3),即 x-3y=0. 3 (2)圆 x2+(y-3)2=4 的圆心为点(0,3),又因为直线 l 与直线 x +y+1=0 垂直,所以直线 l 的斜率 k=1.由点斜式得直线 l:y-3= x-0,化简得 x-y+3=0.故选 D. 答案:(1)x-3y=0 (2)D
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y′-y ∵kPP′·kl=-1,即 ×3=-1.① x′-x
x+x′ y+y′ 在直线 l 上, 又∵PP′的中点 M , 2 2
x+x′ y+y′ ∴3× - +3=0.② 2 2 由①式及②式解得 -4x+3y-9 x′= ,③ 5 3x+4y+3 y′= ,④ 5
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3+x2 -4+y2 解析: (1)设 B(x2, y2), 则由中点坐标公式, 得 =-2, 2 2 =1,解得 x2=-7,y2=6.所以 B(-7,6). (2)设直线 m 上的动点 P(x,y)关于点 M(1,2)的对称点为 Q(x0, x0+x y0), 则 Q 必在直线 l1 上, 线段 PQ 的中点为 M.由中点坐标公式得 2 y0+y =1, =2. 2