高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式优化练习新人

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式[课时作业] [A 组 基础巩固]1．计算sin 15°sin 30°·sin 75°的值等于( ) A.34B.38C.18D.14解析：原式＝12sin 15°·cos 15°＝14sin 30°＝18.答案：C 2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋2α的值为( )A ．－13B ．－79C.13D.79解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝－79.答案：B3．ta n 67°30′－1tan 67°30′的值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．4解析：tan 67°30′－1tan 67°30′＝tan 267°30′－1tan 67°30′＝＝－2tan 135°＝2. 答案：C4．函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin 2x ，所以T ＝2π2＝π，又f (－x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ＝－f (x )，函数为奇函数． 答案：A5．设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )A ．－79B ．－19C.19D.79解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝22(sin θ＋cos θ)＝13，将上式两边平方，得12(1＋sin 2θ)＝19，∴sin 2θ＝－79.答案：A6．若2±3是方程x 2－5x sin θ＋1＝0的两根，则cos 2θ＝________.解析：由题意，2＋3＋(2－3)＝5sin θ，即sin θ＝45，所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－725.答案：－7257．已知tan x ＝2，则tan 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝________.解析：∵tan x ＝2， ∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－43. tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x ＝34. 答案：348．已知sin θ2＋cos θ2＝12，则cos 2θ＝________.解析：由sin θ2＋cos θ2＝12，两边平方整理，得1＋sin θ＝14，即sin θ＝－34，cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－18.答案：－189．已知sin α＋cos α＝13，0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．解析：∵sin α＋cos α＝13，∴sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝19，∴sin 2α＝－89且sin αcos α＝－49<0.∵0<α<π，sin α>0，∴cos α<0.∴sin α－cos α>0. ∴sin α－cos α＝sin α－cos α2＝1－sin 2α＝173. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α)＝13×(－173)＝－179. tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717.10．已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )·cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)． (1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． 解析：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，则θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2 cos 2x )，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，得a ＝－1. (2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25，即sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.[B 组 能力提升]1．若|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( )A ．－105 B.105 C ．－155D.155解析：因为5π2<θ<3π，|cos θ|＝15，所以cos θ<0，cos θ＝－15，因为5π4<θ2<3π2，所以sin θ2<0.因为sin2θ2＝1－cos θ2＝35， 所以sin θ2＝－155.答案：C2．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－43解析：先利用条件求出tan α，再利用倍角公式求tan 2α.把条件中的式子两边平方，得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2 α＝52，即3cos 2α＋4sin αcos α＝32，所以3cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝32，所以3＋4tan α1＋tan 2α＝32，即3tan 2α－8tan α－3＝0， 解得tan α＝3或tan α＝－13，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 答案：C3．已知方程x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＋1tan αx ＋1＝0的一个根是2＋3，则sin 2α＝________.解析：由题意可知 (2＋3)2－⎝⎛⎭⎪⎫sin αcos α＋cos αsin α(2＋3)＋1＝0， 即8＋43－sin 2α＋cos 2αsin αcos α(2＋3)＝0，所以(2＋3)112sin 2α＝4(2＋3)，所以sin 2α＝12.答案：124．设cos 2θ＝23，则cos 4θ＋sin 4θ的值是________． 解析：cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝12＋12cos 22θ＝12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝1118. 答案：11185．已知向量p ＝(cos α－5，－sin α)，q ＝(sin α－5，cos α)，p ∥q ，且α∈(0，π)． (1)求tan 2α的值； (2)求2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6.解析：(1)由p ∥q ，可得(cos α－5)cos α－(sin α－5)(－sin α)＝0， 整理得sin α＋cos α＝15.因为α∈(0，π)，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin α－cos α ＝2－α＋cos α2＝75， 解得sin α＝45，cos α＝－35，故tan α＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247. (2)2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－12cos α＋32sin α－32sin α－12cos α＝1－cos α＝85.6．已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a·b ＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期．(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围．解析：(1)f (x )＝a·b ＋λ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＋λ＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＋λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ，且直线x ＝π是f (x )的图象的一条对称轴，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z)，所以ω＝k 2＋13.又因为ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所以ω＝56， 所以f (x )的最小正周期为6π5.(2)y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫π4，0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×56×π4－π6＝－2sin π4＝－2， 则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5，则53x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围为 [－1－2，2－2].。