初二数学(四边形的性质与判定)

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【初二数学】八年级春季班-10-平行四边形判定及综合-学生版

八年级下学期春季班（学生版）最新讲义本节主要根据平行四边形的判定定理进行证明四边形是平行四边形，以及利用平行四边形的性质得出边和角之间的关系，以证明题为主，让同学们更好的运用判定定理．平行四边形判定定理①如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形．简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．②如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形．简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．③如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．④如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形．简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形的判定及综合内容分析知识结构模块一：平行四边形判定知识精讲【例1】判断题：（1）夹在两平行线间的平行线段长度相等（）（2）对角线互相平分的四边形的对边一定相等（）（3）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形（）（4）一组对角相等，另一组对角互补的四边形是平行四边形（）【难度】★ 【答案】【解析】【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，EF 是对角线BD 的三等分点．求证：四边形AECF 是平行四边形（请用两种方法证明）．【难度】★ 【答案】【解析】【例3】如图，Y ABCD 中，AF =CE ，MF ∥NE .求证：EF 和MN 互相平分．【难度】★ 【答案】【解析】【例4】已知四边形ABCD ，现有条件：①AB ∥DC ；②AB ＝DC ；③AD ∥BC ；④AD ＝BC ；⑤∠A ＝∠C ；⑥∠B ＝∠D ．从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形?请具体写出这些组合．【难度】★★ 【答案】【解析】例题解析ABCDEMFNA BCDEF【例5】已知：AC 是Y ABCD 的一条对角线，BM ⊥AC ，DN ⊥AC ，垂足分别是M 、N ．求证：四边形BMDN 是平行四边形．【难度】★★ 【答案】【解析】【例6】已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =12BC ，点E 是BC 的中点，求证：AB ∥DE ，∠C =∠AEB ．【难度】★★ 【答案】【解析】【例7】如图，在Y ABCD 中，∠DAB =60°，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE =AD ，CF =CB ．（1）求证：四边形AFCE 是平行四边形；（2）若去掉已知条件的∠DAB =60°，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【难度】★★ 【答案】【解析】【例8】已知在Y ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，BE =DF ，点G 、H 分别在BA 和DC 的延长线上，且AG =CH ，联结GE ，EH ，HF ，FG ，求证：四边形GEHF 是平行四边形．若G 、H 分别在线段BA ，DC 上，其余条件不变，则（1）结论否成立? （说明理由）．【难度】★★ 【答案】【解析】A BCDE A BCDEF G H【例9】如图所示，平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 、CF ⊥AD ，DN =BM ．求证：EF 与MN 互相平分．【难度】★★ 【答案】【解析】【例10】如图，过Y ABCD 的顶点A 的直线l （形外），分别过B 、C 、D 作直线l 的垂线，E 、F 、G 为垂足．求证：CF =BE +DG ．【难度】★★ 【答案】【解析】【例11】如图，ABCD Y 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 分别在BC 、AD 上，且BE =13BC ，DF =13AD ，AE 、CF 分别交BD 于点M 、N ，求证：四边形AMCN 是平行四边形．【难度】★★ 【答案】【解析】【例12】如图所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE ⊥BD 于E ，BF ⊥AC 于F ，CG ⊥BD 于G ，DH ⊥AC 于H ．求证：四边形EFGH 是平行四边形．【难度】★★ 【答案】【解析】ABCDE FGLA BCDEF M N OPN M BCAEFABCD【例13】如图，以△ABC 的三边分别作等边△DAC 、△ABE ，△BCF ，求证：四边形ADFE是平行四边形．【难度】★★ 【答案】【解析】【例14】已知：Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，AE 平分∠CAB 交CD 于F ，过F 作FH ∥AB ，交BC 于H ．求证：CE =BH ．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例15】如图，△ABC 中，∠C ＝90°，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 与BN 相交于点P ．求证：∠BPM ＝45°．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例16】如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别是BC 、AB 上的点，且CD ＝BF ，以AD为边作等边△ADE ．（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）当D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF ＝30°，证明你的结论．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABCDEF【例17】如图所示，平行四边形ABCD 中，∠BAD 的角平分线AF 交BC 于E ，交DC 的延长线于点F ，若∠ABC =120°，FG ∥CE ，FG =CE ，分别连接DB 、DG ，求∠BDG 的度数．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例18】在Y ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过O 点任意作两条直线交Y ABCD的AB 、CD 边于E 、F ，交BC 、DA 边于G 、H ，那么四边形EGFH 是什么图形?证明你的结论．【难度】★★ 【答案】【解析】【例19】如图，Y ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BC =2AB ，M 是BC 的中点．试求∠EMC 与∠BEM 的数量关系．【难度】★★ 【答案】【解析】模块二：综合题例题解析ABCDEFG A BC DE M【例20】平面直角坐标系中有三点A （2，1），B （3，1），C （4，3），求平面内第四点D ，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形．【难度】★★ 【答案】【解析】【例21】已知平面内有两点A （1-，0）B （3，0）P 点在y 轴上，M 点在直线1y x =-上，若以A 、B 、P 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求M 点的坐标．【难度】★★ 【答案】【解析】【例22】在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =63，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，顶点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD ∥BC ，交AB 于点D ，联结PQ ，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止移动，设运动的时间是t 秒（t ≥0）．（1）直接用含t 的代数式分别表示：BQ =___________，PD =__________；（2）是否存在t 的值，使四边形PDBQ 是平行四边形?若存在，求出t 的值，若不存在，试说明理由．【难度】★★ 【答案】【解析】AB CDPQ【例23】如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是平行四边形，点A 的坐标为(34)-，，点C 在x 轴的正半轴上，且OA =OC ，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ．（1）求直线AC 的解析式；（2）联结BM ，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为(0)S S ≠，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）．【难度】★★ 【答案】【解析】【例24】直线3-6y x =+与坐标轴分别交于A 、B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A 、B 两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，△APQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当63S =时，求出点Q 的坐标．【难度】★★★ 【答案】【解析】xA OQPB y【例25】已知：反比例函数2ky x=和一次函数21y x =-，其中一次函数的图形经过点 ()()1a b a b k ++，和，．（1）求反比例函数的解析式；（2）已知反比例函数和一次函数的图像交于第一象限的点A 、P （2，0），平面内存在一点Q ，使得四边形AOPQ 是平行四边形，求Q 点的坐标．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例26】已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AB =BC ，6AB =，60B MAN ∠=∠=︒．绕顶点A 逆时针旋转MAN ∠，边AM 与射线BC 相交于点E （点E 与点B 不重合），边AN 与射线CD 相交于点F ．（1）当点E 在线段BC 上时，求证：BE CF =；（2）设BE x =，ADF △的面积为y ．当点E 在线段BC 上时，求y 与x 之间的函数关系式，写出函数的定义域；（3）联结BD ，如果以A 、B 、F 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求线段BE 的长．【难度】★★★ 【答案】【解析】A M ND CBEFACB （备用图）【例27】如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以P A、PC为邻边作平行四边形P ADC，连接PM并延长到点E，使ME=PM，联结DE．（1）请你利用图2，选择Rt△ABC内的任意一点P按上述方法操作；（2）经历（1）之后，观察两图形，猜想线段DE和线段AC之间有怎样的位置关系?请选择其中的一个图形证明你的猜想；（3）观察两图，你还可得出和DE相关的什么结论?请直接写出．【难度】★★★【答案】【解析】随堂检测【习题1】若AD是△ABC的中线，延长AD到E使DE=AD，联结BE、CE，那么四边形ABEC 是_____四边形．【难度】★【答案】【解析】11/ 1812 / 18【习题2】如图，直线l 与双曲线交于A 、C 两点，将直线l 绕点O 顺时针旋转α°（0°＜α≤45°），与双曲线交于D 、B 两点，则四边形ABCD 的形状一定是_______________________，理由是________________________．【难度】★ 【答案】【解析】【习题3】四边形的四条边长分别是a ，b ，c ，d ，其中a ，c 为对边，且满足222222a b c d ab cd +++=+，则这个四边形一定是（）A ．两组角分别相等的四边形B ．平行四边形C ．对角线互相垂直的四边形D ．对角线相等的四边形【难度】★★ 【答案】【解析】【习题4】已知四边形ABCD 的对角线相交于O ，给出下列5个条件①AB ∥CD ，②AD ∥BC ，③AB =CD ，④∠BAD =∠DCB ，从这四个条件中任选2个一组，能推出四边形ABCD 为平行四边形的有（） A ．6组 B ．5组C ．4组D ．3组【难度】★★ 【答案】【解析】【习题5】如图，在Y ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上点，AE =CF ，M 、N 分别是DE 、BF 的中点，求证：四边形ENFM 是平行四边形．【难度】★★ 【答案】【解析】A BCDxyl OAB CDEFM N13 / 18【习题6】已知：如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，ED ∥BC ，EF ∥AC ，求证：EB =FC ．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题7】如图，四边形EFGH 是平行四边形ABCD 的内接平行四边形，即顶点E 、F 、G 、H 分别在平行四边形ABCD 的四边上．求证：这两个平行四边形的对角线交于同一点．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题8】如图，在Y ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上的两点，AE ⊥BC ，CF ⊥AD ．求证：四边形AECF 是平行四边形．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题9】已知平行四边形ABCD 和平行四边形DCFE ，求证：ADE BCF ∠=∠．【难度】★★ 【答案】【解析】A BCDEFABCDEFGHABC DE FABCD EF14 / 18【习题10】如图，在平行四边形ABCD 中，BC AB >，A B ∠∠、的平分线交于点E ，D C ∠∠、的平分线交于点F ，联结EF ．求证：EF BC AB =-．【难度】★★【答案】【解析】【习题11】如图，在四边形ABCD 中，//AD BC 且AD BC >，6BC cm =，点P Q 、分别从A C 、同时出发，点P 以1/cm s 的速度由A 向D 运动，点Q 以2/cm s 的速度由C 向B 运动，几秒时，四边形ABQP 是平行四边形?【难度】★★★ 【答案】【解析】【习题12】如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为A (3, 0)，点B 的坐标为A (0, 4)．（1）求直线AB 的解析式；（2）点C 是线段AB 上一点，点O 为坐标原点，点D 在第二象限，且四边形BCOD 为平行四边形，且BC =BD ，求点D 坐标；（3）在（2）的条件下，点E 在x 轴上，点P 在直线AB 上，且以B 、D 、E 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P 的坐标．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABCDEF ADCB PQ ABOxy【习题13】如图所示，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，DE⊥AB，M是BC边的中点，∠BEM=50°，则∠B的大小是多少?【难度】★★★【答案】【解析】课后作业【作业1】下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形是平行四边形的是（）A．1:2:3:4B．2:2:3:3C．2:3:2:3D．2:3:3:2.【难度】★【答案】【解析】【作业2】下列给出的条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边平行，一组对角互补C．一组对角相等，一组邻角互补D．一组对角相等，另一组对角互补【难度】★【答案】【解析】15/ 1816 / 18【作业3】下面有四个命题：①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；其中，正确的命题的个数是（） A ．1个 B ． 2个C ．3个D ．4个【难度】★ 【答案】【解析】【作业4】如图，在Y ABCD 中，∠B 、∠D 的平分线分别交对边于点E 、F ，交四边形的对角线AC 于点G 、H ，求证：AH =CG ．【难度】★★ 【答案】【解析】【作业5】如图，Y ABCD 的两边AB 、DC 的中点分别是E 、F ，延长BA 、DC 到G 、H ，使AG =CH ．求证：EH ∥GF ．【难度】★★ 【答案】【解析】【作业6】如图，Y ABCD 中，E 、G 分别为AD 、BC 的三等分点，DH =BF ，求证：∠FEH =∠HGF ．ABC D EF GH ABCDE FGH17 / 18【答案】【解析】【作业7】 E 为ABC ∆中AC 边上一点，//ED AB 交BC 于点D ，F 为AB 边上一点，AF DE =，延长FD 到点G ，使DG FD =，联结AG ，求证：DE 、AG 互相平分．【难度】★★ 【答案】【解析】【作业8】如图，E 、F 分别是Y ABCD 的边AD 、BC 的中点，且AG =CH ．求证：EF 与HG 互相平分．【难度】★★ 【答案】【解析】【作业9】已知，平行四边形ABCD 中，8AB =，60C ︒∠=，A ∠的角平分线与B ∠的角平分线相交于点E ，EF AB ⊥．求EF 的长．【难度】★★ 【答案】【解析】【作业10】已知，ABC ∆中，AD 是ABC ∆的角平分线，点E 、F 分别在AC 、AB 两边上，且AE BF =，//EG AB 交AD 于点G ，求证：BG EF =．A BCD EFGHABCDEF ABCDEF G A BCDEF G18 / 18【答案】【解析】【作业11】如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B两点．过点A 的直线交y 轴正半轴于点C ，且点C 为线段OB 的中点．（1）求直线AC 的表达式；（2）如果四边形ACPB 是平行四边形，求点P 的坐标．【拓展】如果以A 、C 、P 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．【难度】★★★ 【答案】【解析】【作业12】如图，平行四边形ABCD 中，4AB cm =，8BC cm =，AB ⊥BC ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O .如图，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周.即点P 自A F B A →→→停止，点Q 自C D E C →→→停止.在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值；②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b （单位：cm ，0ab ≠），已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，求a 与b 满足的数量关系式．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABC Oxy AB CDEFPQ。

特殊四边形的性质和判定定理

特殊四边形的性质和判定定理名称性质判定平行四边形1、对边平行且相等。

2、对角相等。

3、对角线互相平分。

4、是中心对称图形。

5、S=a b （a 、b 分别表示底和这一底上的高）推论：三角形的中位线平行于三角形的第三边.并且等于第三边的一半。

1、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

（定义）2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4、一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形。

矩形矩形除了具有平行四边形的所有性质外.还有以下性质：1、四个角都是直角。

2、对角线相等。

3、既是中心对称图形.又是轴对称图形。

4、S= a b （a 、b 分别表示长和宽）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

1、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、对角线相等的平行四边形是矩形。

3、有三个角是直角的四边形是矩形。

菱形菱形除了具有平行四边形的所有质外.还有以下性质：1、四条边都相等。

2、两条对角线互相垂直。

并且每一条对角线平分一组对角。

3、既是中心对称图形.又是轴对称图形。

4、S= a b （a 、b 分别表示两条对角线长。

）1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（定义）2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3、边相等到的四边形是菱形。

正方形除了具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质外.还有以下性质： 1、对角线和边的夹角是45º。

2、S= a ²（a 表示两边长。

） 1、一组邻边相等的矩形是正方形。

2、有一个是直角的菱形是正方形。

3、对角线相垂直的矩形是正方形。

4、对角线相等的菱形是正方形。

等腰梯形1、两腰相等。

2、同一底上的两个角相等。

3、对角线相等。

4、轴对称图形1、对角线相等的梯形是等腰梯形。

2、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

梯形中常见辅助线AB CDABCDABC DABCD A BCD例1 如图.E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点.AM ⊥EF.垂足为M.若AM=AB.求证：EF=BE+CF例2 已知：如图.正方形ABCD 中.延长AD 到E.使DE=AD.再延长DE 到F.使DF=BD.连接BF 交CD 于Q.交CE 于P 。

初二数学知识点全总结

初二数学知识点全总结初二数学知识点Ⅰ、平行四边形(1)平行四边形性质1)平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2)平行四边形的性质(包括边、角、对角线三方面) ：边：①平行四边形的两组对边分别平行;②平行四边形的两组对边分别相等;角：③平行四边形的两组对角分别相等;对角线：④平行四边形的对角线互相平分。

补充平行四边形的邻角互补;平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

(2)平行四边形判定1)平行四边形的判定(包括边、角、对角线三方面)：边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形;②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形;对角线：⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。

2)三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

3)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

4)平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的.距离，叫做这两条平行线间的距离。

两条平行线间的距离处处相等。

Ⅱ、矩形(1)矩形的性质1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2)矩形的性质：①矩形具有平行四边形的所有性质;②矩形的四个角都是直角;③矩形的对角线相等;④矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴，对称中心是对角线的交点。

(2)矩形的判定1)矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形;②对角线相等的平行四边形是矩形;③有三个角是直角的四边形是矩形。

2)证明一个四边形是矩形的步骤：方法一：先证明该四边形是平行四边形，再证一角为直角或对角线相等;方法二：若一个四边形中的直角较多，则可证三个角为直角。

3)直角三角形斜边中线定理：(如右图)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

Ⅲ、菱形(1)菱形的性质1)菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

人教版数学八年级下册第十八章平行四边形性质与判定专题复习辅导讲义

辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科老师：授课类型T 平行四边形的概念、性质T 平行四边形的断定C中位线定理授课日期时段教学内容一、同步学问梳理学问点1：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD，记作ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．留意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．学问点2：平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的对边平行且相等．（2）角：平行四边形的对角相等．邻角互补（3）对角线：平行四边形的对角线相互平分对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；二、同步题型分析题型1：平行四边形的边、角例1：已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD的周长为46 cm，且AB－BC＝3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．分析：由平行四边形的对角相等，邻角互补可求得各内角的度数；由平行四边形的对边相等，得AB＋BC＝23 cm，解方程组即可求出各边的长．解：由平行四边形的对角相等，∠A＋∠C＝80°，得∠A＝∠C＝40°又DC∥AB，∠D及∠A为同旁内角互补，∴∠D＝180°－∠A＝180°－40°＝140°．∴∠B＝140°．由平行四边形对边相等，得AB＝CD，AD＝BC．因周长为46 am，因此AB＋BC＝23 cm，而AB－BC＝3 cm，得AB＝13 cm，BC＝10 cm，∴CD＝13 am．AD＝10 cm．题后反思：留意充分利用性质解题．例2：如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE＝BF，你认为AE＝CF吗？试说明理由．分析：本题主要考察平行四边形的性质．要证明AE＝CF，可以把两线段分别放在两个三角形里，然后证明两三角形全等．解：AE＝CF．理由：在平行四边形ABCD中，∵AB＝CD且AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．∵DE＝BF，∴ DE＋BD＝BF＋BD，即BE＝DF：∴△ABE≌△CDF ∴ AE＝CF题后反思：利用平行四边形的性质解题时，一般要用到三角形全等学问，此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等．题型2：平行四边形的周长例1：如图3，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，作OE⊥BD于O，交CD于E，连接BE，若△BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（ B ）图3A. 6B. 12C. 18D. 不确定分析：本题主要考察平行四边形的性质:对角线相互平分。

初中数学《平行四边形的的性质和判定》单元教学设计以及思维导图

平行四边形的的性质和判定适用年八年级级所需时六课时间主题单元学习概述《初中数学八年级下》第五章平行四边形是人们日常生活和生产实践中应用广泛的一种图形，本单元是在学生已经学习了三角形相关知识、平行四边形的定义的基础上进行学习的，在教学内容中起着承上启下的作用，“承上”：定理的证明是三角形全等知识、平行线知识的再应用；“启下”：平行四边形的性质和判定定理以及探究的模式为进一步学习特殊四边形奠定了基础。

本单元包括两个专题：专题一：平行四边形的性质；专题二：平行四边形的判定。

平行四边形的性质定理和判定定理是两个互逆的定理，定理的证明方法都用到了三角形全等的知识。

通过合作探究，测量、计算、对折剪开、旋转、平移、推理等探索定理证明的不同思路和方法，运用定理解决较简单的问题；归纳、总结解决四边形问题的常用数学方法；进行适当的比较和讨论，渗透化归思想和数学建模思想，从而形成知识体系。

主题单元规划思维导图主题单元学习目标知识与技能：知识与技能：1.通过合作探究，认识平行四边形的性质定理和判定定理。

2.理解平行四边形的性质定理和判定定理，并学会简单运用。

过程与方法：过程与方法：1.通过类比、观察、实验、猜想、验证、推理、交流等学习活动，进一步增强动手能力、合情推理能力。

2.在运用平行四边形的性质和判定方法解决问题的过程中，培养和发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力。

情感态度与价值观：情感态度与价值观：通过对平行四边形性质和判定方法的探究和运用，感受数学思考过程中的合理性、数学证明的严谨性，认识事物的相互联系、相互转化，学会用辨证的观点分析事物。

对应课标《初中数学新课程标准》1.有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。

2. 教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

四边形的性质及判定定理

1. 有一组临边相等的矩形。 2. 对角线互相垂直的矩形。 3. 有一个角是直角的菱形。 4. 对角线相等的菱形。
1.两腰相等的梯形。 2. 同一底上的两个角相等的梯形。
1. 三角形的中位线平行于三角形的第三边三角形中的几个重且等于第三边的一半。要定理： 2. 直角三角形的斜边中线等于斜边的一半。 3. 直角三角形中 300 的角所对的直角边等于斜边的一半。 4. 等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线三线合一。 5. 有一个角为 600 的等腰三角形是等边三角形。
矩形
菱形
1. 两组对边平行且相等. 2. 四个角都是直角。 3. 对角线互相平分且相等。 4. 既是轴对称图形，又是中心对称图形。 5. S=ab （ a 是长 b 是宽） 1. 两组对边平行且 1. 有一组临边相等四条边都相等。的平行四边形。 2. 两组对角相等。 2. 对角线互相垂直 3. 对角线互相垂直的平行四边形。平分且每一条对 3. 四条边相等的四角线平分一组对边形。角。 4. 既是轴对称图形，又是中心对称图形。 5. S= ab（a、b 是对角线长） .
万
等腰梯形
1.两组对边平行且四条边相等。 2.四个角都是直角。 1. 对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（既对角线和边的夹角是 450） 4. 既是轴对称图形，又是中心对称图形。 5.S= a2（a 是边长） 1. 两腰相等。 2. 同一底上的两个角相等。 3. 对角线相等。 4. 是轴对称图形。
对角线相等且互相垂直平分每一条对角线平分一组对角既对角线和边的夹角是4504
万成教育

平行四边形的性质说课稿

平行四边形的性质说课稿平行四边形的性质说课稿精选篇1尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是：人教版八年级下册第十九章第一节《平行四边形的判定》的第一课时，下面我将从教材分析、教法学法分析、教学过程分析和评价分析四个方面对本节课的教学加以说明，希望各位老师批评指正！一、教材分析1、教材的地位和作用“平行四边形的判定”是初中数学一节十分重要的内容。

它既是对前面所学的全等三角形和平行四边形的性质的一个回顾和延伸，又是以后学习特殊平行四边形的基础，同时它还进一步培养学生逻辑推理能力和图形迁移能力；并且通过平行四边形和三角形之间的相互转化，渗透了化归思想。

不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

综上所述，本节课的学习，对培养学生的探索精神、动手能力、应用意识和抽象建模能力都有很好的作用。

2、学情分析初二下半学期，学生已经学习了包括全等三角形的相关知识、平行四边形的性质在内的绝大多数几何概念及定理。

学生的抽象思维能力、逻辑推理能力有了很大的提高，而平行四边形的判定条件中，又有许多颇有思考价值的问题。

因此，由教师组织教学，让学生自主探索平行四边形的判定定理不仅成为可能，又可以作为初中几何知识综合能力的一次检验、一次再提升！二、学习目标分析根据以上对教材的地位和作用，以及学情分析，结合新课标对本节课的要求，确定本节课的教学目标为：1、知识目标：经过探究使学生掌握平行四边形的判定方法并能灵活运用。

2、能力目标：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。

体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。

3、情感目标：通过操作活动，去观察、猜想、分析，培养学生自主探索，勇于思考的好习惯。

在与他人的合作过程中，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，培养学生的合作意识和团队精神。

4、教学重点、难点这节课通过“观察—猜想—验证—说理—建模”的过程让学生自主建构新知，根据课程标准，在吃透教材的基础上将本节课的重点定位为探索平行四边形的两种判别方法。

【精编版】数学中考专题训练——平行四边形的判定和性质

中考专题训练——平行四边形的判定和性质1．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF．（2）求证：四边形AECF是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，F是BC延长线上一点，且CF＝BC，连接CE、DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DF的长．3．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF ＝BC，连接CD和EF．（1）求证：四边形DCFE是平行四边形；（2）求EF的长．4．如图，E、F是▱ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．（2）如果把条件AE＝CF改为BE⊥AC，DF⊥AC，试问四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？（3）如果把条件AE＝CF改为BE＝DF，试问四边形BFDE还是平行四边形吗？为什么？5．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上，AE ∥BD，EF⊥BC，CF＝．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）求AB的长．6.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）如图2，连接DF交AC于点G，连接EG，当∠BAC＝90°，在不添加任何辅助线和字母的情况下，直接写出图中所有长度为2EG的线段．7．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；（2）若CB＝CE，∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠CBE的度数．8．如图，过△ABC的顶点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交线段AB于点F，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若AB＝4，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长．9．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在AB的延长线上，连接ED，∠AED＝30°，过A作AF⊥AB与ED的延长线交于点F，连接BF，CF，CE．（1）求证：四边形BECF为平行四边形；（2）若AB＝6，请直接写出四边形BECF的周长．10．如图，四边形ABCD中，点E在AD上，且EA＝EB，∠ADB＝∠CBD＝90°，∠AEB+∠C＝180°．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形．（2）若AB＝，DB＝4．求四边形ABCD的面积．11．如图所示，在△ABC中，点D为边AB的中点，点E为AC边上一点，延长ED交AE 的平行线于点F，连接AF、BE．（1）猜想四边形AEBF的形状，并证明你的结论．（2）若BE⊥CE，CE＝2AE＝4，BC＝9，求DE的长．12．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为BC，AB的中点，连接DE，CE，点F在DE的延长线上，连接AF，且AF＝AE．（1）如图1，求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）如图2，当∠B＝30°时，连接CF交AB于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四条线段，使每条线段的长度都等于线段DE的长度的倍．13．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长到点F，使BF ＝BE，连接EC并延长到点H，使CH＝CE，连接FH，点G在FH上，∠ADG＝∠AFG，连接DG．（1）求证：四边形AFGD为平行四边形；（2）在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中长度为FH的一半的所有线段．14．已知，如图1，D是△ABC的边上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．（1）求证：四边形ADCN是平行四边形．（2）如图2，若∠AMD＝2∠MCD，∠ACB＝90°，AC＝BC．请写出图中所有与线段AN相等的线段（线段AN除外）．15．如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件“∠DAB＝∠60°”，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．16．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接PO并延长交BC于点Q．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），当t＝4时，求y的值．17．如图1，在△ABC中，D是BC边上一点，且CD＝BD，E是AD的中点，过点A作BC 的平行线交CE的延长线于F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）如图2，若AB＝AC＝13，BD＝5，求四边形AFBD的面积．18．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝8，AB＝CD，BD＝12，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，两个点同时出发，当有一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．点G为BD上的一点，假设移动时间为t秒，BG的长度为y．（1）证明：AD∥BC；（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和BG的长度y．19．在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC为所在平面内一点，过点P分别作PF∥AC交AB于点F，PE∥AB交BC于点D，交AC于点E．（1）当点P在BC边上（如图1）时，请探索线段PE，PF，AB之间的数量关系式为．（2）当点P在△ABC内（如图2）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，请说明理由．（3）当点P在△ABC外（如图3）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，直接写出结论．20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上的一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED＝EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）在（1）的条件下，若BC的延长线交DF于点Q，连接QA与QE．试说明QA＝QE．参考答案与试题解析1．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF．（2）求证：四边形AECF是平行四边形．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB＝CD，∠B＝∠D，根据SAS证出△ABE≌△CDF；（2）根据全等三角形的对应边相等即可证得．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）∵BE＝DF，∴AF＝CE，∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，F是BC延长线上一点，且CF＝BC，连接CE、DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DF的长．【分析】（1）只要证明DE＝CF，DE∥CF即可解决问题；（2）过D作DH⊥BE于H，想办法求出DH、HF即可解决问题；【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵E是AD的中点，∴DE＝AD，∵CF＝BC∴DE＝CF，又∵AD∥BC，∴四边形CEDF是平行四边形．（2）过D作DH⊥BE于H，在▱ABCD中，∵∠B＝60°，AB∥CD，∴∠DCF＝60°，∵AB＝4，∴CD＝4，∴CH＝2，DH＝2，∴FH＝1，在Rt△DHF中，DF＝＝．3．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF ＝BC，连接CD和EF．（1）求证：四边形DCFE是平行四边形；（2）求EF的长．（1）直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE＝BC，进而得出DE＝FC；【分析】（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC＝EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长．【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC∵延长BC至点F，使CF＝BC，∴DE＝FC，∵DE∥FC，∴四边形DCFE是平行四边形．（2）解：∵DE∥FC，DE＝FC∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，∴DC＝EF＝＝．4．如图，E、F是▱ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．（2）如果把条件AE＝CF改为BE⊥AC，DF⊥AC，试问四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？（3）如果把条件AE＝CF改为BE＝DF，试问四边形BFDE还是平行四边形吗？为什么？【分析】（1）方法一：证明△BAE≌△DCF，推出BE＝DF，BE∥DF即可．方法二：连接BD，交AC于点O．只要证明OE＝OF，OB＝OD即可；（2）是平行四边形．只要证明△BAE≌△DCF即可解决问题；（3）四边形BFDE不是平行四边形．因为把条件AE＝CF改为BE＝DF后，不能证明△BAE与△DCF全等；【解答】（1）证法一：∵ABCD是平行四边形∴AB＝CD且AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等）∴∠BAE＝∠DCF又∵AE＝CF∴△BAE≌△DCF（SAS）∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD∴∠BEF＝180°﹣∠AEB∠DFE＝180°﹣∠CFD即：∠BEF＝∠DFE∴BE∥DF，而BE＝DF∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）证法二：连接BD，交AC于点O．∵ABCD是平行四边形∴OA＝OC OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）又∵AE＝CF∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF∴四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（2）四边形BFDE是平行四边形∵ABCD是平行四边形∴AB＝CD且AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等）∴∠BAE＝∠DCF∵BE⊥AC，DF⊥AC∴∠BEA＝∠DFC＝90°，BE∥DF∴△BAE≌△DCF（AAS）∴BE＝DF∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（3）四边形BFDE不是平行四边形因为把条件AE＝CF改为BE＝DF后，不能证明△BAE与△DCF全等．5．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上，AE ∥BD，EF⊥BC，CF＝．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）求AB的长．【分析】（1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）由（1）知，AB＝DE＝CD，即D是CE的中点，在直角△CEF中利用三角函数即可求得到CE的长，则求得CD，进而根据AB＝CD求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，即AB∥DE，∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；（2）解：∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°．∵AB∥EC，∴∠ECF＝∠ABC＝60°，∴∠CEF＝30°∵CF＝，∴CE＝2CF＝2，∵四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形，∴AB＝CD＝DE，∴CE＝2AB，∴AB＝．6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）如图2，连接DF交AC于点G，连接EG，当∠BAC＝90°，在不添加任何辅助线和字母的情况下，直接写出图中所有长度为2EG的线段．【答案】（1）证明见解析；（2）CD，AF，BD，AD，CF．【分析】（1）由E是AD的中点，过点A作AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，然后证得AF＝BD＝CD，即可证得四边形ADCF是平行四边形；（2）根据平行四边形的性质和直角三角形的性质解答即可．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝ED，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠F AE＝∠BDE，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS），∴AF＝BD，∵AD是BC边中线，∴CD＝BD，∴AF＝CD，∴四边形CDAF是平行四边形；（2）解：∵四边形CDAF是平行四边形，∴AG＝GC，AD＝CF，∵E为AD的中点，∴EG是△ADC的中位线，∴2EG＝DC，∵∠BAC＝90°，AD为BC边上的中线，∴BD＝DC＝AD，由（1）可知，CD＝AF＝BD＝2EG，即所有长度为2EG的线段是CD，AF，BD，AD，CF．7．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；（2）若CB＝CE，∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠CBE的度数．（1）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC；证明BC是△EFG的中位线，【分析】得出BC∥FG，BC＝FG，证出AD∥FH，AD＝FH，由平行四边形的判定方法即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出∠BCE＝50°，再由等腰三角形的性质得出∠CBE＝∠CEB，根据三角形内角和定理即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位线，∴BC∥FG，BC＝FG，∵H为FG的中点，∴FH＝FG，∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD＝FH，∴四边形AFHD是平行四边形；（2）解：∵∠BAE＝70°，∴∠BCD＝70°，∵∠DCE＝20°，∴∠BCE＝70°﹣20°＝50°，∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣50°）＝65°．8．如图，过△ABC的顶点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交线段AB于点F，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若AB＝4，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长．【分析】（1）先证△AEF≌△CED（AAS），得AF＝CD，再由CD∥AB，即AF∥CD，即可得出结论；（2）过C作CM⊥AB于M，先证△BCM是等腰直角三角形，得BM＝CM，再由含30°角的直角三角形的性质得AC＝2AM，BM＝CM＝AM，由AM+BM＝AB求出AM＝2﹣2，即可求解．【解答】（1）证明：∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∵CD∥AB，∴∠AFE＝∠CDE，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF＝CD，又∵CD∥AB，即AF∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形；（2）解：过C作CM⊥AB于M，如图所示：则∠CMB＝∠CMA＝90°，∵CD∥AB，∴∠B+∠DCB＝180°，∴∠B＝180°﹣135°＝45°，∴△BCM是等腰直角三角形，∴BM＝CM，∵∠BAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AC＝2AM，BM＝CM＝AM，∵AM+BM＝AB，∴AM+AM＝4，解得：AM＝2﹣2，∴AC＝2AM＝4﹣4．9．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在AB的延长线上，连接ED，∠AED＝30°，过A作AF⊥AB与ED的延长线交于点F，连接BF，CF，CE．（1）求证：四边形BECF为平行四边形；（2）若AB＝6，请直接写出四边形BECF的周长．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得BD＝DC，∠BAD＝∠CAD＝30°，然后证明△ADF为等边三角形，可得ED＝DF，进而可以证明四边形BECF为平行四边形；（2）根据AB＝6和勾股定理可得BF的长，然后证明BE＝BD，进而可得四边形BECF 的周长．【解答】（1）证明：∵AD是等边△ABC的BC边上的高，∴BD＝DC，∠BAD＝∠CAD＝30°，∵∠AED＝30°，∴ED＝AD，∠ADF＝∠AED+∠EAD＝60°，∵AF⊥AB，∴∠DAF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣30°＝60°，∴△ADF为等边三角形，∴AD＝DF，∵ED＝AD，∴ED＝DF，∵BD＝DC，∴四边形BECF为平行四边形；（2）∵AB＝6，∴BD＝3，AD＝3，∵△ADF为等边三角形，∴AF＝AD＝3，∴BF＝＝＝3，∵∠ABC＝60°，∠AED＝30°，∴∠BDE＝30°，∴BE＝BD＝3，∴四边形BECF的周长为：2（BF+BE）＝2（3+3）＝6+6．10．如图，四边形ABCD中，点E在AD上，且EA＝EB，∠ADB＝∠CBD＝90°，∠AEB+∠C＝180°．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形．（2）若AB＝，DB＝4．求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据∠ADB＝∠CBD＝90°，可得DE∥CB，由∠AEB+∠C＝180°．证明BE∥CD，进而可得四边形BEDC是平行四边形；（2）根据勾股定理先求出AD的长，再设DE＝x，则EA＝AD﹣DE＝8﹣x，EB＝EA＝8﹣x．根据勾股定理列式计算得x的值，进而可以求出四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵∠ADB＝∠CBD＝90°，∴DE∥CB，∵∠AEB+∠C＝180°，∵∠AEB+∠BED＝180°，∴∠C＝∠BED，∴∠CDB＝∠EBD，∴BE∥CD，∴四边形BEDC是平行四边形；（2）∵四边形BEDC是平行四边形．∴BC＝DE，在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD＝＝＝8．设DE＝x，则EA＝AD﹣DE＝8﹣x，∴EB＝EA＝8﹣x．在Rt△BDE中，由勾股定理得，DE2+DB2＝EB2，∴x2+42＝（8﹣x）2．解得x＝3．∴BC＝DE＝3，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝AD•DB+DB•BC＝16+6＝22．11．如图所示，在△ABC中，点D为边AB的中点，点E为AC边上一点，延长ED交AE 的平行线于点F，连接AF、BE．（1）猜想四边形AEBF的形状，并证明你的结论．（2）若BE⊥CE，CE＝2AE＝4，BC＝9，求DE的长．【分析】（1）根据已知条件证明△AED≌△BFD，可得ED＝FD，可得四边形AEBF是平行四边形；（2）根据BE⊥CE，可得四边形AEBF是矩形，根据CE＝2AE＝4，BC＝9，再利用勾股定理即可求DE的长．【解答】解：（1）四边形AEBF是平行四边形，证明：∵点D为边AB的中点，∴AD＝BD，∵AE∥BF，∴∠AED＝∠BFD，在△AED和△BFD中，，∴△AED≌△BFD（AAS），∴ED＝FD，∵AD＝BD，∴四边形AEBF是平行四边形；（2）∵BE⊥CE，∴∠AEB＝90°，∴平行四边形AEBF是矩形，∴EF＝AB，DE＝AB，在Rt△BEC中，CE＝4，BC＝9，根据勾股定理，得BE2＝BC2﹣CE2＝92﹣42＝65，在Rt△ABE中，AE＝2，BE2＝65，根据勾股定理，得AB＝＝＝，∴DE＝AB＝．12．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为BC，AB的中点，连接DE，CE，点F在DE的延长线上，连接AF，且AF＝AE．（1）如图1，求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）如图2，当∠B＝30°时，连接CF交AB于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四条线段，使每条线段的长度都等于线段DE的长度的倍．【分析】（1）由三角形的中位线定理可证得DE∥AC，由直角三角形斜边中线定理得到CE＝AB，根据平行线的性质定理和等腰三角形的性质证得∠F＝∠CED，进而得到AF∥CE，根据平行四边形的判定即可证得四边形ACEF是平行四边形；（2）根据直角三角形的性质得到AC＝AB，由（1）知CE＝AB，求得AC＝CE，推出四边形ACEF为菱形，得到AE⊥CF，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BD＝CD，BE＝AE，∴DE∥AC，∴∠AEF＝∠EAC，∠CED＝∠ECA，∵∠ACB＝90°，BE＝AE，∴CE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵AF＝AE，∴∠F＝∠AEF，∴∠F＝∠CED，∴AF∥CE，∴四边形ACEF是平行四边形；（2）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB，由（1）知CE＝AB，∴AC＝CE＝BE，又∵四边形ACEF为平行四边形∴四边形ACEF为菱形，∴AE⊥CF，∵CE＝BE，∴∠B＝∠DCE＝30°，∴∠BED＝∠BAC＝60°，∵DF∥AC，∠BDE＝∠ACB＝∠CDE＝90°，∴BD＝CD＝DE，∵∠DEB＝∠FEG＝∠CEG＝60°，∴∠CED＝60°，∴∠FEG＝∠CED，∵EF＝CE，∠EGF＝∠CDE＝90°，∴△EFG≌△CED（AAS），∴EG＝DE，FG＝CD，∴FG＝DE，∵CG＝FG，∴CG＝DE，∴等于线段DE的长度的倍的线段是FG，CG，CD，DB．13．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长到点F，使BF ＝BE，连接EC并延长到点H，使CH＝CE，连接FH，点G在FH上，∠ADG＝∠AFG，连接DG．（1）求证：四边形AFGD为平行四边形；（2）在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中长度为FH的一半的所有线段．【分析】（1）只要证明AD∥FG，AF∥DG即可；（2）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，∵EB＝BF，EC＝CH，∴BC∥FH，BC＝FH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴AD∥FH，∴∠DAF+∠AFG＝180°，∵∠ADG＝∠AFG，∴∠DAF+∠ADG＝180°，∴AF∥CD，∴四边形AFHD是平行四边形；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，∵BF＝BE，CH＝CE，∴BC＝FH，∴AD＝FH，∵四边形AFHD是平行四边形，∴FG＝AD＝FH，∴HG＝FH，∴长度为FH的一半的所有线段为：AD，BC，FG，HG．14．已知，如图1，D是△ABC的边上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．（1）求证：四边形ADCN是平行四边形．（2）如图2，若∠AMD＝2∠MCD，∠ACB＝90°，AC＝BC．请写出图中所有与线段AN相等的线段（线段AN除外）．【分析】（1）由CN∥AB，MA＝MC，易证得△AMD≌△CMN，则可得MD＝MN，即可证得：四边形ADCN是平行四边形．（2）由∠AMD＝2∠MCD，可证得四边形ADCN是矩形，又由∠ACB＝90°，AC＝BC，可得四边形ADCN是正方形，继而求得答案．【解答】（1）证明：∵CN∥AB，∴∠DAM＝∠NCM，在△ADM和△CNM中，，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴MD＝MN，∴四边形ADCN是平行四边形．（2）解：∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD+∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MC＝MD，∴AC＝DN，∴▱ADCN是矩形，∵AC＝BC，∴AD＝BD，∵∠ACB＝90°，∴CD＝AD＝BD＝AB，∴▱ADCN是正方形，∴AN＝AD＝BD＝CD＝CN．15．如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件“∠DAB＝∠60°”，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【分析】（1）由已知条件可得△AED，△CFB是正三角形，可得∠AEC＝∠BFC＝60°，∠EAF＝∠FCE＝120°，所以四边形AFCE是平行四边形．（2）上述结论还成立，可以证明△ADE≌△CBF，可得∠AEC＝∠BFC，∠EAF＝∠FCE，所以四边形AFCE是平行四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°．∴∠ADE＝∠CBF＝60°．∵AE＝AD，CF＝CB，∴△AED，△CFB是正三角形．∴∠AEC＝∠BFC＝60°，∠EAF＝∠FCE＝120°．∴四边形AFCE是平行四边形．（2）解：上述结论还成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠CDA＝∠CBA，∠DCB＝∠DAB，AD＝BC，DC＝AB．∴∠ADE＝∠CBF．∵AE＝AD，CF＝CB，∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF．∴∠AED＝∠CFB．又∵AD＝BC，在△ADE和△CBF中．，∴△ADE≌△CBF（AAS）．∴∠AED＝∠BFC，∠EAD＝∠FCB．又∵∠DAB＝∠BCD，∴∠EAF＝∠FCE．∴四边形EAFC是平行四边形．16．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接PO并延长交BC于点Q．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），当t＝4时，求y的值．【分析】（1）求出AP＝BQ和AP∥BQ，根据平行四边形的判定得出即可；（2）求出高AM和ON的长度，求出△DOC和△OQC的面积，再求出答案即可．【解答】解：（1）当t＝2.5s时，四边形ABQP是平行四边形，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝5cm，AO＝CO，BO＝OD，∴∠P AO＝∠QCO，在△APO和△CQO中∴△APO≌△CQO（ASA），∴AP＝CQ＝2.5cm，∵BC＝5cm，∴BQ＝5cm﹣2.5cm＝2.5cm＝AP，即AP＝BQ，AP∥BQ，∴四边形ABQP是平行四边形，即当t＝2.5s时，四边形ABQP是平行四边形；（2）过A作AM⊥BC于M，过O作ON⊥BC于N，∵AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝4cm，∵由三角形的面积公式得：S△BAC＝＝，∴3×4＝5×AM，∴AM＝2.4（cm），∵ON⊥BC，AM⊥BC，∴AM∥ON，∵AO＝OC，∴MN＝CN，∴ON＝AM＝1.2cm，∵在△BAC和△DCA中∴△BAC≌△DCA（SSS），∴S△DCA＝S△BAC＝＝6cm2，∵AO＝OC，∴△DOC的面积＝S△DCA＝3cm2，当t＝4s时，AP＝CQ＝4cm，∴△OQC的面积为 1.2cm×4cm＝2.4cm2，∴y＝3cm2+2.4cm2＝5.4cm2．17．如图1，在△ABC中，D是BC边上一点，且CD＝BD，E是AD的中点，过点A作BC 的平行线交CE的延长线于F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）如图2，若AB＝AC＝13，BD＝5，求四边形AFBD的面积．【分析】（1）根据全等三角形的性质和判定求出AF＝CD，求出AF＝BD，根据平行四边形的判定推出即可；（2）求出四边形AFBD的矩形，根据勾股定理求出AD，根据矩形的面积公式求出即可．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AFE和△DCE中∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF＝CD，∵BD＝CD，∴BD＝AF，∵AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形；（2）解：∵AB＝AC，CD＝BD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵四边形AFBD是平行四边形，∴四边形AFBD是矩形，∵AB＝AC＝13，BD＝5，∴由勾股定理得：AD＝＝12，∴四边形AFBD的面积是12×5＝60．18．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝8，AB＝CD，BD＝12，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，两个点同时出发，当有一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．点G为BD上的一点，假设移动时间为t秒，BG的长度为y．（1）证明：AD∥BC；（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和BG的长度y．【分析】（1）利用平行四边形得判定和性质证明；（2）利用全等三角形的判定求解．【解答】解：（1）∵AD＝BC，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC；（2）BG＝y，DE＝t，当0≤t≤时，CF＝3t，则BF＝8﹣3t，∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，若△DEG与△BFG全等，则BF＝DE且BG＝DG，或者BF＝DG且BG＝DE，即：或，解得：或（不合题意，舍去），当＜t≤时，则BF＝3t﹣8，若△DEG与△BFG全等，则BF＝DE且BG＝DG，或者BF＝DG且BG＝DE，即：或，解得：或，所以△DEG与△BFG全等的情况出现了三次，第一次是2秒时，y＝6，第二次是4秒时，y＝6，第三次是5秒时，y＝5．19．在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC为所在平面内一点，过点P分别作PF∥AC交AB于点F，PE∥AB交BC于点D，交AC于点E．（1）当点P在BC边上（如图1）时，请探索线段PE，PF，AB之间的数量关系式为PE+PF＝AB．（2）当点P在△ABC内（如图2）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，请说明理由．（3）当点P在△ABC外（如图3）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，直接写出结论．【分析】（1）先求出四边形PF AE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PF＝AE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠BPE＝∠C，然后求出∠B＝∠BPE，利用等角对等边求出PE＝BE，然后求解即可；（2）根据等边对等角可得∠B＝∠C，再根据两直线平行，同位角相等可得∠B＝∠CDE，然后求出∠C＝∠CDE，再根据等角对等边可得CE＝PD+PE，然后求出四边形PF AE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PE＝AF，然后求出PD+PE+PF＝AC，等量代换即可得证；（3）证明思路同（2）．【解答】解：（1）答：PE+PF＝AB．证明如下：∵点P在BC上，∴PD＝0，∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形PF AE是平行四边形，∴PF＝AE，∵PE∥AC，∴∠BPE＝∠C，∴∠B＝∠BPE，∴PE＝BE，∴PE+PF＝BE+AE＝AB，∵PD＝0，∴PE+PF＝AB；故答案为：PE+PF＝AB（2）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵PE∥AB，∴∠B＝∠CDE，∴∠C＝∠CDE，∴CE＝PD+PE，∵PF∥AC，PE∥AB，∴四边形PF AE是平行四边形，∴PE＝AF，∴PD+PE+PF＝AC，∴PD+PE+PF＝AB；（3）证明：同（2）可证DE＝CE，PE＝AF，∵AE+CE＝AC，∴PF+PE﹣PD＝AC，∴PE+PF﹣PD＝AB．20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上的一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED＝EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）在（1）的条件下，若BC的延长线交DF于点Q，连接QA与QE．试说明QA＝QE．【分析】（1）根据平行四边形的想知道的AD＝AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到CF＝AD，等量代换得到AC＝CF，于是得到CP＝AB ＝AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；（3）由（1）知AC＝CF，根据三角形的中位线的性质得到DQ＝FQ，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∵AD＝AC，AD⊥AC，∴AC＝BC，AC⊥BC，连接CE，∵E是AB的中点，∴AE＝EC，CE⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE＝45°，∴∠ECF＝∠EAD＝135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF＝∠AED＝90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，，∴△CEF≌△AED，∴ED＝EF；（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF＝AD，∵AD＝AC，∴AC＝CF，∵DP∥AB，∴FP＝PB，∴CP＝AB＝AE，∴四边形ACPE为平行四边形；（3）由（1）知AC＝CF，∵CQ∥AD，∴DQ＝FQ，∵在Rt△DAF与Rt△DEF中，∴AQ＝EQ＝DF．。

北师大版数学八年级下册期末复习(六) 平行四边形

期末复习(六) 平行四边形01 各个击破)命题点1 平行四边形的性质与判定【例1】 (桂林中考)如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点． (1)求证：四边形EBFD 为平行四边形；(2)对角线AC 分别与DE ，BF 交于点M ，N ，求证：△ABN≌△CDM.【思路点拨】 (1)先根据平行四边形的性质得AB∥CD，AB ＝CD ，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；(2)因为AB ＝CD ，∠CAB ＝∠ACD 已知，则只需要再证明一组对应角相等即可．【解答】证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ABCD.∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点， ∴BE ＝12AB ，DF ＝12DC. ∴BEDF.∴四边形EBFD 为平行四边形． (2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ABCD.∴∠CAB ＝∠ACD.∵四边形EBFD 为平行四边形， ∴∠ABN ＝∠CDM. 又∵AB＝CD ，∴△ABN ≌△CDM(ASA)．【方法归纳】 1.判定平行四边形的基本思路：(1)若已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；(2)若已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等；(3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等；(4)若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分． 2．利用平行四边形的性质进行计算的方法：(1)利用平行四边形的性质，通过角度或线段之间的等量转化进行相应的计算；(2)找出所求线段或角所在的三角形，若三角形为直角三角形，通过直角三角形的性质或勾股定理求解；若三角形为任意三角形，可通过三角形全等的性质进行求解．1．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝CD ，AD ＝BC ，AC ，BD 相交于点O ，若AC ＝6，则AO 的长度等于3．2．如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CE ∥AB ，DE 交AC 于点O ，且OA ＝OC ，猜想线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系，并说明理由．解：线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系是相等且平行．理由：∵CE∥AB， ∴∠DAO ＝∠ECO.∵OA ＝OC ，∠AOD ＝∠COE， ∴△ADO ≌△CEO.∴AD ＝CE. 又∵AD∥CE，∴四边形ADCE 是平行四边形． ∴CD ∥AE ，CD ＝AE.3．如图，E 是▱ABCD 的边CD 的中点，延长AE 交BC 的延长线于点F. (1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若∠BAF＝90°，BC ＝5，EF ＝3，求CD 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD.∴∠DAE ＝∠F，∠D ＝∠ECF. ∵E 是▱ABCD 的边CD 的中点， ∴DE ＝CE.在△ADE 和△FCE 中，⎩⎨⎧∠DAF＝∠F，∠D ＝∠ECF，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△FCE(AAS)． (2)∵△ADE≌△FCE， ∴AE ＝EF ＝3. ∵AB ∥CD ，∴∠AED ＝∠BAF＝90°. 在▱ABCD 中，AD ＝BC ＝5， ∴DE ＝AD 2－AE 2＝52－32＝4. ∴CD ＝2DE ＝8.命题点2 三角形的中位线【例2】 (邵阳中考)如图，等边三角形ABC 的边长是2，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，延长BC 至点F ，使CF ＝12BC ，连接CD 和EF. (1)求证：DE ＝CF ； (2)求EF 的长．【思路点拨】 (1)欲证DE ＝CF ，由三角形中位线定理可知DE ＝12BC ，而条件中有CF ＝12BC 故易证得；(2)欲求EF 的长，可证四边形DEFC 是平行四边形，因此只需求出CD 的长．在等边三角形ABC 中，点D 是AB 的中点，因此运用勾股定理可求出，问题获解．【解答】 (1)证明：∵D，E 分别为AB ，AC 的中点，∴DE ＝12BC ，且DE∥BC. ∵点F 在BC 的延长线上，且CF ＝12BC ，∴DE ∥CF ，且DE ＝CF.(2)由(1)知DE∥CF，且DE ＝CF ， ∴四边形DEFC 为平行四边形．∵△ABC 是等边三角形，边长是2，点D 是AB 的中点，AB ＝BC ＝2， ∴CD ⊥AB ，∠BDC ＝90°，BD ＝12AB ＝1. ∴CD ＝BC 2－BD 2＝22－12＝ 3. ∵四边形DEFC 为平行四边形， ∴EF ＝CD ＝ 3.【方法归纳】若题中有中点通常考虑到三角形的中线和中位线，而在等边三角形(等腰三角形)中，中线同时也是高和角平分线．4．如图，CD 是△ABC 的中线，点E ，F 分别是AC ，DC 的中点，EF ＝2，则BD ＝4．5．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M ，N ，P 分别是AD ，BC ，BD 的中点，∠ABD ＝20°，∠BDC ＝70°，求∠PMN 的度数．解：∵M，N ，P 分别是AD ，BC ，BD 的中点，∴MP ，PN 分别是△ABD，△BCD 的中位线， ∴MP12AB, PN12CD.∴∠MPD ＝∠ABD＝20°，∠BPN ＝∠BDC＝70°. ∴∠DPN ＝110°.∴∠MPN ＝∠MPD＋∠DPN＝20°＋110°＝130°. 又∵AB＝CD ，∴MP ＝PN. ∴∠PMN ＝∠PNM. ∴∠PMN ＝25°.命题点3 多边形的内角和与外角和【例3】(泰安中考)如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于(B)A．90°B．180°C．210°D．270°【思路点拨】由AB∥CD，推导∠B＋∠C＝180°，故∠B，∠C两角的外角和是180°，根据多边形外角和等于360°可计算∠1＋∠2＋∠3度数．【方法归纳】对于求多边形的外角和或部分外角的和的问题，都要根据任意多边形的外角和是360°以及邻角和其补角的互补关系这两个知识点，来解决问题．6．正多边形的一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，则这个多边形的边数为8．7．如图，在六边形ABCDEF中，AB⊥AF，BC⊥DC，∠E＋∠F＝260°，求两外角和α＋β的度数．解：∵AB⊥AF，BC⊥DC，∴∠A＝∠C＝90°.又∵∠E＋∠F＝260°，∴∠EDC＋∠ABC＝(6－2)×180°－90°×2－260°＝280°.∴β＋α＝(180°－∠EDC)＋(180°－∠ABC)＝360°－(∠EDC＋∠ABC)＝80°.故两外角和α＋β的度数为80°.02整合集训一、选择题(每小题3分，共24分)1．已知平行四边形ABCD的周长为32 cm，AB＝4 cm，则BC的长为(B)A．4 cm B．12 cmD．16 cm D．24 cm2．(西宁中考)如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为(A)A．2 B．4 C．6 D．83．(临沂中考)将一个n边形变成n＋1边形，内角和将(C)A．减少180°B．增加90°C．增加180°D．增加360°4．(乐山中考)如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF＝3，DE＝2，则▱ABCD 的周长为(D)A．5B．7C．10D．145．某平行四边形的对角线长为x，y，一边长为6，则x与y的值可能是(C)A．4和7 B．5和7C．5和8 D．4和176．(葫芦岛中考)如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P 的度数是(A)A．60°B．65°C．55°D．50°7．如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的长为(B)A．2 3 B．43C．4 D．88．已知在正方形的网格中，每个小方格的边长都相等，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，则以A，B 为顶点的网格平行四边形的个数为(D)A．6个B．8个C．10个D．12个二、填空题(每小题4分，共24分)9．(陕西中考)一个正多边形的外角为45°，则这个正多边形的边数是8．10．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，若添加一个条件AE＝FC或∠ABE＝∠CDF，则四边形EBFD为平行四边形．11．(娄底中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO 的周长是9．12．(泉州中考)如图，顺次连接四边形ABCD四边的中点E，F，G，H，则四边形EFGH的形状一定是平行四边形．13．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别在CD，BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，CF＝3，则AB 的长为3．14．在某张三角形纸片上，取其一边的中点，沿着过这点的两条中位线分别剪去两个三角形，剩下的部分就是如图所示的四边形；经测量这个四边形的相邻两边长为10 cm ，6 cm ，一条对角线的长为8 cm ；则原三角形纸片的周长是48_cm 或(32＋813)cm ．三、解答题(共52分)15．(6分)一个多边形的内角和与外角和的差为1 260度，求它的边数．解：设多边形的边数是n ，则(n －2)·180－360＝1 260.解得n ＝11. 答：它的边数为11.16．(8分)(陕西中考)如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF ＝DE ，连接AF ，CE ，求证：AF∥CE.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC. ∴∠ADB ＝∠CBD. ∵BF ＝DE ，∴BF ＋BD ＝DE ＋BD ，即DF ＝BE.在△ADF 和△CBE 中，⎩⎨⎧AD ＝CB ，∠ADF ＝∠CBE，DF ＝BE ，∴△ADF ≌△CBE(SAS)． ∴∠AFD ＝∠CEB. ∴AF ∥CE.17．(8分)(永州中考)如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3. (1)求证：BN ＝DN ； (2)求△ABC 的周长．解：(1)证明：∵AN 平分∠BAC， ∴∠BAN ＝∠DAN. ∵BN ⊥AN ，∴∠ANB ＝∠AND＝90°. 又∵AN＝AN ，∴△ABN ≌△ADN(ASA)．∴BN＝DN. (2)∵△ABN≌△ADN， ∴AD ＝AB ＝10，DN ＝NB. 又∵点M 是BC 中点，∴MN 是△BDC 的中位线． ∴CD ＝2MN ＝6.∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝AB ＋AD ＋CD ＋BC ＝10＋10＋6＋15＝41.18．(10分)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使EF ＝ED ，连接CF.(1)四边形DBCF 是平行四边形吗？说明理由；(2)DE 与BC 有什么样的位置关系和数量关系？说明理由．解：(1)四边形DBCF 是平行四边形．理由：∵E 是AC 的中点， ∴AE ＝CE.又∵EF＝ED ，∠CEF ＝∠AED， ∴△AED ≌△CEF(SAS)． ∴AD ＝CF ，∠A ＝∠ECF. ∴AD ∥CF ，即CF∥BD.又∵D 为AB 的中点，∴BD ＝AD.∴BD＝CF. ∴四边形DBCF 是平行四边形． (2)DE∥BC，DE ＝12BC. 理由：∵EF＝ED ，∴DE ＝12DF. 又∵四边形DBCF 是平行四边形， ∴DF ＝BC ，DF ∥BC. ∴DE ∥BC ，DE ＝12BC.19．(10分)(怀化中考)已知：如图，在△ABC 中，DE ，DF 是△ABC 的中位线，连接EF ，AD ，其交点为点O.求证： (1)△CDE≌△DBF； (2)OA ＝OD.证明：(1)∵DE，DF 是△ABC 的中位线， ∴DF ＝CE ，DF ∥CE ，DB ＝DC. ∵DF ∥CE ， ∴∠C ＝∠BDF.在△CDE 和△DBF 中，⎩⎨⎧DC ＝BD ，∠C ＝∠BDF，CE ＝DF ，∴△CDE ≌△DBF(SAS)．(2)∵DE，DF 是△ABC 的中位线， ∴DF ＝AE ，DF ∥AE.∴四边形DEAF 是平行四边形． ∵EF 与AD 交于点O ， ∴OA ＝OD.20．(10分)(扬州中考改编)如图，AC 为长方形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处． (1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)若AB ＝6，AC ＝10，求四边形AECF 的面积．解：(1)证明：由折叠的性质可知：AM ＝AB ，CN ＝CD ，∠FNC ＝∠D＝90°，∠AME ＝∠B＝90°， ∴∠ANF ＝90°，∠CME ＝90°. ∵四边形ABCD 为长方形， ∴AB ＝CD ，AD ∥BC.∴AM ＝CN ，∠FAN ＝∠ECM. ∴AM －MN ＝CN －MN ，即AN ＝CM.在△ANF 和△CME 中，∠FAN ＝∠ECM，AN ＝CM ，∠ANF ＝∠CME， ∴△ANF ≌△CME(ASA)． ∴AF ＝CE. 又∵AF∥CE，∴四边形AECF 是平行四边形． (2)∵AB＝6，AC ＝10，∴BC ＝8.设CE ＝x ，则EM ＝8－x ，CM ＝10－6＝4. 在Rt △CEM 中，(8－x)2＋42＝x 2，解得x ＝5.∴S 四边形AECF ＝EC·AB＝5×6＝30.。

特殊四边形的性质和判定表

⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是它的对称中心（一般平行四边形不是轴对称图形）。
矩
形
矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直。
矩形的四个角都相等，都等于900。
矩形的对角线互相平分且相等。
邻边垂直的平行四边形是矩形
①有一个角是直角的平行四边形是矩形。②有三个角是直角的四边形是矩形。
③有一个角是直角的菱形是正方形。
④对角线互相垂直的矩形是正方形。⑤两条对角线相等的菱形是正方形。
正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有四条对称轴，一个对称中心。
⑥四条边、四个角都相等的四边形是正方形。
梯
形
①梯形两腰中点的连线平行于两底，并且等于两底之和的一半。②梯形两条对角线中点的连线平行于两底，并且等于两底之差的一半。
特殊四边形的性质和判定表
定理
种类
性质定理
判定定理
边
角
对角线
边
角
对角线
平
行
四
边
形
平行四边形的对边平行且相等。
平行四边形的对角相等，邻角互补。
平行四边形的对角线互相平分。
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
③对角线相等的平行四边形是矩形。
矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，一个对称中心。
菱
形
①菱形的四条边都相等。②菱形的对边平行。
菱形的对角相等，邻角互补。
菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形。②四条边都相等的四边形是菱形。

人教版初中数学中考总复习：特殊的四边形--知识讲解(基础)

第十九讲特殊的四边形【考纲要求】1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定四边形性质判定边角对角线矩形对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形中心、轴对称图形菱形四条边相等对角相等，邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四条边都相等的四边形是菱形；3、对角线互相垂直的平行四边形是菱中心、轴对称图形.形正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称图形等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.考点二、梯形1．解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1 图2 图3 图4 图5【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．2.特殊的梯形1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线．2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．考点三、中点四边形相关问题1.中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．2.若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用1. 在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【答案与解析】（1）四边形EGFH是平行四边形；证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∴点O是平行四边形ABCD的对称中心；∴EO=FO，GO=HO；∴四边形EGFH是平行四边形；（2）菱形；（提示：菱形的对角线垂直平分）（3）菱形；（提示：当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2））（4）四边形EGFH是正方形；证明：∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF=90°；∴∠BOG=∠COF；∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG=OF，∴GH=EF；由（3）知四边形EGFH是菱形，又EF=GH，∴四边形EGFH是正方形．【总结升华】主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键．2．动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF（见方案二）．（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？【思路点拨】（1）、要证所折图形是菱形，只需证四边相等即可．（2）、按照图形用面积公式计算S=30和S=35.21，可知方案二小明同学所折的菱形面积较大．【答案与解析】（1）小颖的理由：依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形，小明的理由：∵ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，则∠DAC=∠ACB ，又∵∠CAE=∠CAD ，∠ACF=∠ACB ， ∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB ， ∴AE=EC=CF=FA ， ∴四边形AECF 是菱形．（2）方案一：S 菱形=S 矩形-4S △AEH =12×5-4×12×6×52=30（cm ）2，方案二：设BE=x ，则CE=12-x ， ∴AE=22BE AB +=225x +由AECF 是菱形，则AE 2=CE 2∴x 2+25=（12-x ）2， ∴x=11924， S 菱形=S 矩形-2S △ABE =12×5-2×12×5×11924≈35.21（cm ）2，比较可知，方案二小明同学所折的菱形面积较大．【总结升华】本题考查了矩形的性质和菱形的判定，以及图形面积的计算与比较．举一反三：【变式】如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为（）.A.B．C．4 D．5【答案】A.类型二、梯形的应用3.（•黄州区校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA至D，使AD=AB，点E、F分别是边BC、AC的中点．（1）判断四边形DBEF的形状并证明；（2）过点A作AG∥BC交DF于G，求证：AG=DG．【思路点拨】（1）利用梯形的判定首先得出四边形DBEF为梯形，进而得出四边形HFEB是平行四边形，得出BE=FD进而得出答案；（2）利用四边形DBEF为等腰梯形，得出∠B=∠D，利用AG∥BG，∠B=∠DAG，得出答案．【答案与解析】（1）解：四边形DBEF为等腰梯形，理由如下：如图，过点F作FH∥BC，交AB于点H，∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，∴AH=BH=AB，EF∥AB，显然EF＜AB＜AD，∴EF≠AD，∴四边形DBEF为梯形，∵AD=AB，∴AD=AH，∴CA是DH的中垂线，∴DF=FH，∵FH∥BC，EF∥AB，∴四边形HFEB是平行四边形，∴FH=BE，∴BE=FD，故四边形DBEF为等腰梯形；（2）证明：∵四边形DBEF为等腰梯形，∴∠B=∠D，∵AG∥BG，∠B=∠DAG，∴∠D=∠DAG，∴AG=D G．【总结升华】此题主要考查了等腰梯形的判定以及其性质和平行四边形的判定与性质等知识，得出BE=FD 是解题关键．举一反三：【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为（）.C. 2.5D.2.3A.22B. 231类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用4. （•北京）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC===5，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．5．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．【思路点拨】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF 全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．【答案与解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=12BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵CE CFACB ACDCM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵2GBFG CFDBF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．【总结升华】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6 . 如图，己知ABC的顶点B、C为定点，A为动点(不在直线BC上)．是点B关于直线AC的对称点，是点C关于直线AB的对称点．连结、、、．(1)猜想线段与'的数量关系，并证明你的结论；(2)当点A运动到怎样的位置时，四边形为菱形?这样的位置有几个?请用语言对这样的位置进行描述；(不用证明)(3)当点A在线段BC的垂直平分线l(BC的中点及到BC的距离为的点除外)上运动时，判断以点B、C、、为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．(不用证明)【思路点拨】本题考查轴对称的基本性质，综合考查菱形、正方形、等腰梯形的判定．在运动变化过程中，认识图形之间的内在联系．【答案与解析】（1）猜想：BC′=CB′∵B′是点B关于直线AC的对称点∴AC垂直平分B B′∴BC= CB′同理BC= BC′∴B C′=C B′（2）要使BCB′C′是菱形,根据菱形的性质，对角线互相垂直平分∵B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点∴AC垂直平分B B′,AB垂直平分C C′,∴B B′、C C′应该同时过A点∴∠BAC=90°∴只要AB⊥AC即可满足要求，这样的位置有无数个.（3）如图，当A是BC的中点时，没有形成四边形；当A到BC时,∵l是BC的垂直平分线,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴∠BAC=120°,∴∠BOC=60°,∴BC=C B′= B′C′=B C′.∴BC B′C′为菱形,当BC的中点及到BC BC的点除外时,∵∠BOC= B′O C′,OB=OC O B′=O C′,∴∠OBC=∠OCB=∠O B′C′=∠O C′B′,∴BC∥B′C′.∵B C′不平行C B′，B C′=C B′,四边形BC B′ C′为等腰梯形．【总结升华】本题可以很好的培养观察推理能力，按照要求画出图形可以更清楚的解题．举一反三：【变式】（2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=3，∴S菱形AECD=EC•AG=2×3=23.第十九讲特殊的四边形一、选择题1.（•天水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC′F的周长之和为（）A．3 B．4 C．6 D．82.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF面积为( )．A．4 B．6 C．8 D．103．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一点，PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BD，垂足为F，则PE+PF的值为( )．A．B．C．2 D．第3题第4题4.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使EFGH为矩形，四边形应该具备的条件是（）.A．一组对边平行而另一组对边不平行B．对角线相等C．对角线相互垂直 D．对角线互相平分5.如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于（）.A.7B.5C.4D.3第5题第6题6.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）.A．15° B．18° C．36° D．54°二、填空题7.（春•西城区期末）直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF=3，则AE= ．8. 如图，菱形ABCD中，于E，于F，，则等于___________．9. 正方形ABCD中，E为BC上一点，BE=，CE=，P在BD上，则PE+PC的最小值可能为__________．10.如图，M为正方形ABCD中BC边的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形的面积为64，则△AEM的面积为____________．11.如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC 于F，则线段EF长度的最小值是_______________.第10题第11题第12题12.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=23，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为________．三、解答题13．如图1，图2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．(1)如图1，当点E在AB边的中点位置时：①猜想DE与EF满足的数量关系是__________；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是__________；③请证明你的上述两个猜想．(2)如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时 DE 与EF有怎样的数量关系．14. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=3cm，∠A=120°，BD⊥CD，(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15. （•青岛模拟）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．（1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明．（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值．16.如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．【答案与解析】一．选择题1．【答案】C．【解析】将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选：C．2．【答案】C.3．【答案】A.4．【答案】C.5．【答案】B.【解析】可证△OEB≌△OFC，则EB=FC=3，AE=BF=4，32346．【答案】B.【解析】由题意∠ADE=54°，∠CDE＝36°，∠DCE=54°，∠BDE=54°-36°=18°.二．填空题7．【答案】3．【解析】如图，∵在直角△ABC中，∠BAC=90°，D、F分别为AB、AC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC．又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点，∴AE=BC，∵DF=3，∴DF=AE．故填：3．8．【答案】60°.9．【答案】.10．【答案】10.【解析】提示：设AE=x=EM ,BE=8-x,MB=4,在Rt△BEM中由勾股定理解得x=5,从而算出面积.11.【答案】125.【解析】连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；又∵∠ACB=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∴12AC•BC=12AB•PC，∴PC=125．∴线段EF长的最小值为125；故答案是：125．12．【答案】3+3.【解析】首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°点E是BC边的中点，推出四边形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等边三角形，得出DF，由直角三角形AGD可求出AG、DG，进而求得FG，再证△AGD≌△BGF，得到BF=AD，从而求出△BFG的周长．三.综合题13．【解析】（1）①DE=EF；②NE=BF；③∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，∵N，E分别为AD，AB中点，∴AN=DN=12AD，AE=EB=12AB，∴DN=BE，AN=AE，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE，又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，又∵∠A=90°，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），连接NE，则点N可使得NE=BF．此时DE=EF．证明方法同（1），证△DNE≌△EBF．14．【解析】（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°, ∴∠DBC=30°,∴BC=2CD=6cm.由已知得：梯形ABCD是等腰梯形,∴∠ABC=∠C=60°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°.∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°,∴∠ABD=∠ADB,∴AD=AB=3cm.（2）当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时，BP=2t，CQ=t, ∴PC=6-2t,过Q作QE⊥BC于E，则QE=CQsin60°=32t,∴S梯形ABCD-S△PCQ=2734-34（6-2t）t=34（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.（3）存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5.∵S梯形ABCD=2734，S△ABD=12×3×32×3,∴S△ABD=13×S梯形ABCD,∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的16.∴S△PCQ：S五边形ABPQD=1：5，即S五边形ABPQD=56S梯形ABCD∴34（2t2-6t+27）=56×2734,整理得：4t2-12t+9=0,∴t=32，即当t=32秒时，PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5．15．【解析】解：（1）是定值，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．16.【解析】已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中，它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x及5x-2y+z．因矩形对边相等，所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z．化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y，消去z得18x=49y．因为18与49互质，所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，此时z=38．以x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，得长、宽分别为593和422．此时得最小面积值是593×422=250246．。

平行四边形性质与判定(题型较全)

初二数学平行四边形1．下列条件中，能判别四边形ABCD 是平行四边形的是（）A ．AB=BC=CDB ．∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°C ．AB=BC ，CD=DAD ．∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°2．若A 、B 、C 是不在同一直线上的三点，则以这三点为顶点画平行四边形，可画（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．下列说法正确的是（）A ．平行四边形的对角线相等B ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C ．平行四边形的对角线交点到一组对边的距离相等D ．沿平行四边形的一条对角线对折，这条对角线两旁的图形能够重合4．下列条件不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（）A ．AB=CD ，AD=BCB ．AB=AD ，BC=CDC ．AB ∥CD ，AB=CD D ．∠A=∠C ，∠B=∠D5．四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要判别它是平行四边形还需满足（）A ．∠A+∠C=180°B ．∠B+∠D=180°C ．∠A+∠B=180°D ．∠A+∠D=180°6．如图，四边形ABED 和四边形AFCD 都是平行四边形，AF 和DE 相交成直角，AG=3cm ，DG=4cm ，□ABED 的面积是，则四边形ABCD 的周长为（）A ．49cmB ．43cmC ．41cmD ．46cm第6题图第7题图7．如图，点E 、F 分别是□ABCD 的边AB 、CD 的中点，DE 、BF 交于AC 于M 、N ，则（）A ．AM=MEB ．AM=BEC ．AM=CND ．AM ⊥MD8、在平行四边形ABCD 中，=∠︒=∠-∠C ，B A 则609．□ABCD ，AC 、BD 相交于点O ，AC=4cm ，BD=6cm ，AB=3cm ，则△ABO 的周长是________。

人教版八年级数学下册第01课平行四边形的性质与判定

初中数学试卷第01课平行四边形的性质与判定【例1】如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．（1）求证：四边形EBFD为平行四边形；（2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM．【例2】如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．（1）求证：AE=CF；（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．【例3】如图，已知□ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，M、N 分别是DE、BF的中点. 求证:四边形ENFM是平行四边形｡【例4】如图,已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC=BD,M、N分别是AB、CD的中点，MN 分别交BD、AC于点E、F.你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗?【例5】如图,已知△ABC中,AB=AC,D为△ABC所在平面内的一点,过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC、直线AB于点E、F．（1）如图1，当点D在线段BC上时，通过观察分析线段DE、DF、AB之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当点D在直线BC上，其它条件不变时，试猜想线段DE、DF、AB之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）；（3）如图3，当点D是△ABC内一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC、直线AB和直线BC于E、F和G．试猜想线段DE、DF、DG与AB之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）．课堂同步练习题一、选择题：1、平行四边形的对角线一定具有的性质是( )A.相等B.互相平分C.互相垂直D.互相垂直且相等2、在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（）A.1：2：3：4B.1：2：2：1C.2：2：1：1D.2：1：2：13、平行四边形是一个不稳定的几何图形，现有一个平行四边形的对角线长是8cm和12cm，那么下列数据中符合一个平行四边形要求的边长（）A.2cmB.9cmC.10cmD.20cm4、在平面直角坐标系中,□ABCD的顶点A（0,0）,B（5,0）,D（2, 3）,则顶点C的坐标是（）A.（3，7）B.（5，3）C.（7，3）D.（8，2）5、如图,在□ABCD中,点E、F在AC上,且AE=CF,则图中全等三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对第5题图第6题图第7题图6、如图,在平行四边形ABCD中,过点C的直线CE⊥AB,垂足为E，若∠EAD=53°,则∠BCE度数为( )A.53°B.37°C.47°D.123°7、如图,□ABCD中,E,F是对角线BD上两点,若添加一个条件,使△ABE≌△CDF,则添加条件不能为（）A.BE=DFB.BF=DEC.AE=CFD.∠1=∠28、如图,点P为□ABCD的边CD上一点,若⊿PAB、⊿PCD、⊿PBC的面积分别为S1、S2和S3，则它们之间的大小关系是（）A.S3＝S1＋S2B.2S3＝S1＋S2C.S3＞S1＋S2D.S3＜S1＋S2第8题图第9题图9、如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若BD、AC的和为18cm,CD：DA=2：3,△AOB的周长为13cm,那么BC的长是（）A.6cmB.9cmC.3cmD.12cm10、平行四边形ABCD周长为2a,两条对角线相交于O,△AOB周长比△BOC周长大b,则AB长为（）A. B. C. D.11、如图,在□ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F.AE=4,AF=6,且□ABCD周长为30,则ABCD面积为（）A.24B.36C.40D.48第11题图第12题图12、如图,在□ABCD中,AB=9,AD=6,∠ADC的平分线交AB于点E,交CB的延长线于点F,AG⊥DE,垂足为G.若4,则△BEF的面积是( )AG=2A. B. C. D.二、填空题：13、平行四边形ABCD中,∠A+∠C=100°,则∠B= 度．14、如图,在□ABCO中,C在x轴上,点A为（2,2）,□ABCO的面积为8,则B的坐标为．第14题图第15题图第16题图15、如图,平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点)，点B′恰好落在BC边上，则∠C=16、如图,直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O,分别交AB、CD于E、F,若平行四边形的面积是12,则△AOE与△DOF的面积之和为．17、如图，若□ABCD的周长为36cm,过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4cm，DF＝5cm，□ABCD的面积为cm2．第17题图第18题图第19题图18、如图,在□ABCD中,AC=21cm,BE⊥AC于E,且BE=5cm,AD=7cm,则两条平行线AD与BC间的距离为．19、如图,在平行四边形ABCD中,AB=,AD=4，将平行四边形ABCD沿AE翻折后,点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为________．20、一个四边形四条边顺次是a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形是_________.三、简答题:21、如图,已知平行四边形ABCD,DE是∠ADC的角平分线,交BC于点E．（1）求证：CD=CE；（2）若BE=CE,∠B=80°,求∠DAE的度数．22、如图,已知□ABCD中,DM⊥AC于M,BN⊥AC于N.求证：四边形DMBN为平行四边形．23、如图.四边形ABCD中,AD∥BC,AE⊥AD交BD于点E,CF⊥BC交BD于点F,且AE=CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．24、如图,在△ABC中,AD是BC边的中线,E是AD的中点,过A点作AF∥BC交BE的延长线于点F,连结CF．求证：四边形ADCF是平行四边形．25、如图,△ABC的中线BE,CF相交于点G,P,Q分别是BG,CG的中点．（1）求证：四边形EFPQ是平行四边形；（2）请直接写出BG与GE的数量关系：．平行四边形性质与判定同步测试题一、选择题：1、若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2,则其中较小的内角是( )A.30°B.45°C.60°D.75°2、四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①∠ABC =∠ADC，AD//BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO,BO=DO；④AB//CD，AD=BC，其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（）A.4组B.3组C.2组D.1组3、如图,在□ABCD中,BM是∠ABC的平分线,交CD于点M,且DM=2,□ABCD的周长是14,则BC长等于( )A.2B. 2. 5C.3D. 3. 5第3题图第4题图第5题图4、如图,在□ABCD中,BM是∠ABC的平分线交CD于点M,且MC=2，□ABCD周长是14，则DM等于（）A.1B.2C.3D.45、四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )A .AB∥DC,AD∥BC B. AB=DC,AD=BC C .AO=CO,BO=DO D.AB∥DC,AD=BC6、如图,在□ABCD中,∠ODA=90°,AC=10cm,BD=6cm,则AD的长为（）A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm第6题图第7题图第8题图7、如图,□ABCD的对角线AC,BD相交于O,EF过点O与AD,BC分别相交于E,F,若AB=4,BC=5,OE=1.5,那么四边形EFCD的周长为（）A.16B.14C.12D.108、如图,平行四边形ABCD的周长为20,AE平分∠BAD,若CE=2,则AB的长度是（）A.10B.8C.6D.49、如图,E为□ABCD外一点,且EB⊥BC,ED⊥CD,若∠E=65°,则∠A的度数为（）A.65°B.100°C.115°D.135°第9题图第10题图10、如图,已知矩形ABCD中,R、P分别是DC、BC上的点,E、F分别是AP、RP的中点,当P在BC上从B向C 移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减小C.线段EF的长不改变D.线段EF的长不能确定二、填空题:11、如图，将□ABCD的一边BC延长至E，若∠A=110°，则∠1= ．第11题图第12题图第13题图12、如图，□ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°，则∠DAE等于．13、如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．如果AC＝8，BD＝14，AB＝x，那么x的取值范围是______________．14、如图，在□ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，平行四边形ABCD的周长是14，则DM等于．第14题图第15题图第16题图15、如图,在△ABC中,点D在BC上,BD=AB，BM⊥AD于点M,N是AC的中点,连接MN.若AB=5,BC=8,则MN= ．16、如图,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB＝90°,若AB=5,BC=8,则EF的长为．17、如图，BD是□ABCD的一条对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，试猜想AE和CF的数量关系，并对称的猜想进行证明．18、如图,在□ABCD中,AE⊥BC于E,在AD边上取一点G,使GD=AB,过点G作GF⊥CD于点F.求证：AE=GF．19、如图,已知△ABC是等边三角形,点D、F分别在线段BC、AB上,∠EFB=60°,DC=EF．(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；(2)若BF=EF，求证：AE=AD．参考答案例题答案详解【例1】试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE=DF，∵BE∥DF，∴四边形EBFD为平行四边形；（2）∵四边形EBFD为平行四边形，∴DE∥BF，∴∠CDM=∠CFN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∴∠BAC=∠DCA，∠ABN=∠CFN，∴∠ABN=∠CDM，在△ABN与△CDM中，∵∠BAN=∠DCM，AB=CD，∠ABN=∠CDM，∴△ABN≌△CDM （ASA）．【例2】略【例3】略；【例4】OE=OF；【例5】【解答】解：（1）DE+DF=AB．理由如下：如图1．∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，∴DE=AF．∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C，∵AB=AC，∴∠C=∠B，∴∠FDB=∠B，∴DF=FB，∴DE+DF=AF+FB=AB；（2）当点D在直线BC上时，分三种情况：①当点D在CB延长线上时，如图2①，AB=DE﹣DF；②当点D在线段BC上时，如图1，AB=DE+DF；③当点D在BC的延长线上时，如图2②，AB=DF﹣DE；（3）如图3，AB=DE+DG+DF．课堂同步参考答案1、B2、D3、B4、C5、C6、B7、C．8、A9、A 10、B 11、B 12、B13、130 度．14、（6，2）15、105_度．16、 3 ．17、40 18、15cm．19、3．20、平行四边形；21、【解答】（1）证明：如图，在平行四边形ABCD中，∵AD∥BC∴∠1=∠3又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴CD=CE；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，又∵CD=CE，BE=CE，∴AB=BE，∴∠BAE=∠BEA．∵∠B=80°，∴∠BAE=50°，∴∠DAE=180°﹣50°﹣80°=50°．22、【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠DAM=∠BCN，∵DM⊥AC，BN⊥AC，∴DM∥BN，∠AMD=∠CNB=90°，在△ADM和△CBN中，，∴△ADM≌△CBN（AAS），∴DM=BN，∴四边形DMBN为平行四边形．23、【解答】证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD=∠FCB=90°，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，在Rt△AED和Rt△CFB中，∵，∴Rt△AED≌Rt△CFB（AAS），∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．24、【解答】证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠EBD．在△AEF和△DEB中∵，∴△AEF≌△DEB（AAS）．∴AF=BD．∴AF=DC．又∵AF∥BC，∴四边形ADCF为平行四边形．25、（1）证明：∵BE，CF是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC且EF=BC．∵P，Q分别是BG，CG的中点，∴PQ是△BCG的中位线，∴PQ∥BC且PQ=BC，∴EF∥PQ且EF=PQ．∴四边形EFPQ是平行四边形．（2）BG=2GE．同步测试题参考答案1、C2、C3、B4、C；5、D6、A7、C8、D9、C 10、C11、故答案为：70°．12、答案为：40°．13、x大于3且小于11 14、答案为：3．15、1.5；16、1.5；17、【解答】解：CF=AE，理由：∵四边形ABCD平行四边形，∴AD=BC，AB∥DC，∴∠ABE=∠DCF，∵CF⊥BD，AE⊥BD，∴∠DEA=∠AFC=90°，在△AED和△CFB中∵，∴△AED≌△CFB（AAS），∴CF=AE．18、证明：在ABCD中，∠B=∠D，GD=AB，AE⊥BC，GF⊥CD，∴△ABE≌△GDF．∴AE=GF．19、(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°.—————————— 唐玲制作仅供学习交流 ——————————唐玲 ∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB.∴EF ∥DC(内错角相等，两直线平行).∵DC=EF ，∴四边形EFCD 是平行四边形.(2)连接BE.∵BF=EF ，∠EFB=60°，∴△EFB 是等边三角形.∴EB=EF ，∠EBF=60°. ∵DC=EF ，∴EB=DC.∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC.∴∠EBF=∠ACB.∴△AEB ≌△ADC(SAS).∴AE=AD.。

初二数学平行四边形的性质与判定

初二数学平行四边形的性质与判定平行四边形是初中数学中的重要概念之一，它具有一系列特点和性质。

本文将介绍平行四边形的性质以及判定方法。

一、平行四边形的性质1. 对边平行性：平行四边形的对边是两两平行的。

即AB ∥ DC, AD ∥ BC。

2. 对角线重合性：平行四边形的对角线互相重合于中点。

即AC = BD，并且AC的中点和BD的中点重合。

3. 对角线相等性：平行四边形的对角线相等。

即AC = BD。

4. 对边相等性：平行四边形的对边相等。

即AB = DC, AD = BC。

5. 内角和性质：平行四边形的内角和为180度。

即∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 180°。

6. 对边角性：平行四边形的对边对角是两个对立角，互相补角。

即∠A + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180°。

二、平行四边形的判定方法根据平行四边形的性质，我们可以通过以下方法判定一个四边形是否为平行四边形。

1. 判定对边平行性：如果一个四边形的两对边分别平行，则该四边形为平行四边形。

2. 判定对边相等性：如果一个四边形的两对边分别相等，则该四边形为平行四边形。

3. 判定对角线重合性：如果一个四边形的对角线的中点重合，则该四边形为平行四边形。

4. 判定对角线相等性：如果一个四边形的对角线相等，则该四边形为平行四边形。

需要注意的是，以上判定方法是可以相互结合使用的，可以根据具体情况选择适当的判定条件。

三、平行四边形的应用平行四边形在几何学和实际生活中有着广泛的应用。

以下是几个常见的应用场景：1. 建筑设计：在建筑设计中，平行四边形的性质经常被应用于设计平行放置的房间、墙壁等。

2. 绘图与平行线：学习平行四边形有助于我们更好地理解平行线的性质和画法。

3. 地理测量：在地理测量中，利用平行四边形的性质可以计算地图上的距离和方位角。

4. 四边形面积计算：平行四边形的面积可以通过底边长度和高的乘积来计算，这在实际应用中非常常见。

中考数学总复习《平行四边形的判定与性质》练习题及答案

中考数学总复习《平行四边形的判定与性质》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图在四边形ABCD中AB=CD，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE，若DE=BF，则下列结论不一定正确的是（）A．CF=AE B．OE=OFC．△CDE为直角三角形D．四边形ABCD是平行四边形2．如图四边形ABCD中AB∥CD，∥B＝∥D点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于点H，∥DCE的平分线交AE于点G．若AB＝2AD＝10，点H为CD的中点，HE＝6，则AC的值为（）A．9B．√97C．10D．3 √103．如图在Rt∥ABC中∥ACB=90°，分别以AB、AC为腰向外作等腰直角三角形∥ABD和∥ACE，连结DE，CA的延长线交DE于点F,则与线段AF相等的是()A．AC B．AB C．BC D．AB4．如图在菱形ΑΒCD中∠Α=60∘，AD=8，F是ΑΒ的中点．过点F作FΕ⊥ΑD，垂足为Ε．将ΔΑΕF沿点Α到点Β的方向平移，得到ΔΑ′Ε′F ′．设Ρ、Ρ′分别是ΕF、Ε′F ′的中点，当点Α′与点Β重合时，四边形ΡΡ′CD的面积为（）A．28√3B．24√3C．32√3D．32√3−85．下列说法中错误的是()A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相平分的四边形是平行四边形6．如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD7．如图点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，若∥ABC+∥ADC=120°，则∥A的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．125°8．如图在∥ABC中AB＝AC＝10，BC＝12，点D是BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，则∥BED与∥DFC的周长的和为（）A．34B．32C．22D．209．如图在平面直角坐标系中点A(1,5),B(4,1),C(m,−m),D(m−3,−m+4)，当四边形ABCD 的周长最小时，则m 的值为（）.A．√2B．32C．2D．310．如图分别在四边形ABCD的各边上取中点E，F，G，H，连接EG，在EG上取一点M，连接HM，过F作FN∥HM，交EG于N，将四边形ABCD中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形AHM′G′和AF′N′E，延长M′G′，N′F′相交于点K，得到四边形MM′KN′．下列说法中错误的是（）A．S四边形MM′KN′=S四边形ABCD B．HM=NFC．四边形MM′KN′是平行四边形D．∠K=∠AHM′11．如图,已知∥ABC与∥CDA关于点O成中心对称,过点O任作直线EF分别交AD,BC于点E,F,则下则结论:①点E和点F,点B和点D是关于中心O的对称点;②直线BD必经过点O;③四边形ABCD 是中心对称图形;④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等;⑤∥AOE与∥COF成中心对称.其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．512．如图P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB、AD的平行线交平行四边形于E、F、G、H四点，若S四边形AHPE＝3，S四边形PFCG＝5，则S∥PBD为（）A．0.5B．1C．1.5D．2二、填空题13．如图在平行四边形ABCD中点E，F分别在BC，AD上，请添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．14．如图在Rt△ABC中AC=2√3，BC=2，点P是斜边AB上任意一点，D是AC的中点，连接PD并延长，使DE=PD.以PE，PC为边构造平行四边形PCQE，则对角线PQ的最小值为.15．如图▱ABCD中∥BAD=120°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF∥BC，EF=5√3，则AB的长是16．如图在∥ABC中∥ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD= 13BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=．17．若AC＝10，BD＝8，那么当AO＝DO＝时，四边形ABCD是平行四边形。

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特殊四边形的性质与判定练习题题型一矩形的性质例题：1．下列说法正确的是()A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形C．矩形的对角线互相垂直平分D．六边形的内角和是540°2．如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合（点C在正半轴上），AB=5，BC=12，点A表示的数是-1，则对角线AC、BD的交点表示的数（）A．5.5 B．5 C．6 D．6.53．如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE=1，BC=3，则CD的长为（）A．6 B．5 C．4 D．34．如图：在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AB＝4cm，AD＝4√3cm．（1）判定△AOB的形状；（2）计算△BOC的面积．5．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，在折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG ，若AB=2，BC=1，求AG ．变式训练：1．将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是 ( )A ．8√33cm 2B ．8 cm 2C ．16√33cm 2D ．16cm 22．矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm ，较短边的长为（）A ．12cmB ．10cmC ．7.5cmD ．5cm3．矩形一个角的平分线把它的一边分为4 cm 和5 cm 两部分，则这个矩形的周长是( )A ．26 cmB ．27 cmC ．26 cm 或27 cmD ．26 cm 或28 cm4．如图，在平面内，把矩形ABCD 沿EF 对折，若∠1=50°，则∠AEF 等于（）A ．130°B ．115°C ．120°D ．125°5．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ．若 AO=3，∠OBC=30°，求矩形的周长和面积．题型二矩形的判定例题：1．如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AB⊥BD C．AC⊥BD D．AC=BD3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=6，求BC的长.4．如图，四边形ABCD为矩形，PB=PC，求证：PA=PD．变式训练：1．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AB//DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB=DC2．如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．下列条件中，可判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AC=BD B．△AOB是等边三角形C．AO=CO=BO=DO D．∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360°3．如图，在矩形ABCD，AD＝AE，DF⊥AE于点F．求证：AB＝DF．4．已知，如图，等边△ABC中，AD=DC，BF=FC，△BDE是等边三角形．求证：四边形AEBF是矩形．5．如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△DCA≌△EAC；(2)请给四边形ABCD只添加一个条件，使四边形ABCD为矩形。

中考数学复习专题之平行四形的性质与判定,考点过关与基础练习题

24.平行四边形➢考点分类考点1平行四边形的性质例1如图所示，在ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)求证：AB=CF(2)连接DE，若AD=2AB，求证：DE⟂AF.考点2平行四边形的判定例2如图所示，DE是ABC的中位线，延长DE至F，使EF=DE，连接BF.(1)求证：BF=DC(2)求证：四边形ABFD是平行四边形.考点3平行四边形综合探究例3如图1，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于F．（1）当∠ABC＝90°时，G是EF的中点，联结DB，DG（如图2），请直接写出∠BDG 的度数（2）当∠ABC＝120°时，FG∥CE，且FG＝CE，分别联结DB、DG（如图3），求∠BDG 的度数．➢真题演练1．如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（）A．20B．21C．22D．232．在平行四边形ABCD中，已知∠A+∠C＝200°，则∠A＝（）A．40°B．60°C．80°D．100°3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．点E为BC的中点，连接EO 并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论：①S▱ABCD＝AB•AC；②AD＝4OE；③EF⊥AC；④S△BOE=14S△ABC．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．14．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝4，AC ＝5，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是（）A ．3B ．6C ．8D ．105．如图，在▱ABCD 中，AD ＝BD ，∠ADC ＝105°，点E 在AD 上，∠EBA ＝60°，则ED AE的值是（）A ．23B ．√3C ．√32D ．√336．如图，⟂ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AE 平分⟂BAD ，交BC 于点E ，且⟂ADC ＝60°，AD ＝2AB ，连接OE ，下列结论：⟂⟂CAD ＝30°；⟂OD ＝AB ；⟂S 平行四边形ABCD ＝AC •CD ；⟂S 四边形OECD =32S ⟂AOD ：⟂OE =14AD ．其中成立的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，点O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，EF 过点O 分别交AD ，BC 于点E ，F ．下列结论：①OE ＝OF ；②AB ＝BF ；③∠DOC ＝∠OCD ；④∠CFE ＝∠DEF ，其中正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝3，AO＝2，BC＝5，则AE的长为．9．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，∠BAD的平分线AE交BC于E点，则EC的长为．10．如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝3BG，S▱BEPG ＝1.5，则S▱AEPH＝．11．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，EH⊥AC，垂足为H，与AF交于点G，若AC=24，GF=6√5，则EG的长为．12.在平行四边形ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，点P为边CD上的动点（点P不与点D重合），连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E．（1）如图①，当点P为线段CD的中点时，求证：P A＝PE；（2）如图②，当点P在线段CD上时，求证：DE﹣DA=√2DP．13．已知：如图，▱ABCD 中，F 是AB 中点，连接DF ，DF 延长线交CB 的延长线于点E ，连接AE ．求证：（1）△AFD ≌△BFE ；（2）若BF ＝BC ，∠EDC ＝60°，判断四边形AEBD 的形状，并证明你的结论．➢ 课后练习1．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD ，分别交BC ，BD 于点E 、P ．连接OE ，∠ADC ＝60°，AB =12BC ＝1，则下列结论： ①∠CAD ＝30°；②BD ＝2√3；③S 平行四边形ABCD ＝AB •AC ； ④AD ＝4OE ．其中结论正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，过点O 作OE ⊥AC 交AD 于点E ，若AE ＝4，DE ＝3，AB ＝5，则AC 的长为（）A ．3√2B ．4√2C ．5√2D ．5√223．如图，已知在▱ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F，则下列结论正确的有（）个．①F A：FB＝1：2；②BE：CF＝1：2；③AE：BC＝1：2；④S△ABE：S△FBC＝1：4．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（）A．2√2B．6√2C．5√5D．4√55．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（E 不与A、B重合），连接EF、CF，则下列结论中正确个数是（）①∠DCF=12∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＜2S△CEF；④∠DFE＝4∠AEFA．4B．3C．2D．16．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，且CE＝BC，AE＝DE，AE＝4，∠DAE ＝60°，则下列结论：①∠AEB＝90°；②平行四边形ABCD周长是24；③∠ABE＝∠EBC＝30°；④BE2＝48；⑤E为CD中点．正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于G，交AD延长线于F，若BC＝6，DF＝4，EF＝2AE，则△ABE的面积为．8．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC交DC的延长线于点F，且∠EAF＝60°，BE＝1，平行四边形ABCD面积为6√3．则AF＝．9．如图，在▱ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正确结论的个数共有（填序号）．10．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝12，AB＝6，以AD为底边向右作腰长为10的等腰△ADP，Q为边BC上一点，BQ＝4，连接PQ，则PQ的最小值为．11.在平面直角坐标系中，O为原点，点A(√3，0)，点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．（1）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；（2）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形．12．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交对角线BD于点E，CF平分∠DCB交对角线BD 于点F，连接AF，CE．（1）若∠BCF＝50°，求∠ADC的度数；（2）求证：四边形AECF为平行四边形．➢冲击A+如图，在△ABC中，AB＝BC，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相交于点D，过点D做DE⊥BC于点E，CB延长线交⊙O于点F．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若BE＝1，BF＝2，求AD的长．。

中考数学复习专题四边形的性质和判定

中考数学复习专题四边形的性质和判定第一局部知识梳理1.平行四边形①定义：两组对边区分平行的四边形是平行四边形．②性质：平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的邻角互补，对角相等；平行四边形的对角线相互平分；平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；③判定方法定义：两组对边区分平行的四边形是平行四边形；判定方法1：两组对边区分相等的四边形是平行四边形；判定方法2：两组对角区分相等的四边形是平行四边形；判定方法3：对角线相互平分的四边形是平行四边形；判定方法4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．2.菱形①定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．②性质：具有平行四边形的一切特征；菱形的四条边都相等；菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半；菱形是轴对称图形．③判定方法定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；判定方法1：四条边都相等的四边形是菱形；判定方法2：对角线相互垂直的平行四边形是菱形．3.矩形①定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形．②性质：具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。

③判定方法定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；判定方法1：有三个角是直角的四边形是矩形；判定方法2：对角线相等的平行四边形是矩形．第二局部精讲点拨考点1.平行四边形的性质【例1】如图，在平行四边形ABCD中，DB=DC.，CE BD于E ，那么．变式1 □ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，假设∠A=115°，那么∠BCE= .变式2 在平行四边形ABCD中，点A1.A2.A3.A4和C1.C2.C3.C4区分AB和CD的五等分点,点B1.B2和D1.D2区分是BC和DA的三等分点,四边形A4 B2 C4 D2的面积为1,那么平行四边形ABCD面积为〔〕A.2B.C.D.15变式3 如图，□ABCD中，AD＝8㎝， AB＝6㎝，DE平分∠ADC交BC边于点E，那么BE等于〔〕A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm变式4如图，平分，，，那么．变式5 如图，：平行四边形ABCD中，的平分线交边于，的平分线交于，交于．求证：．考点小结：2.平行四边形的判定【例2】如图，平行四边形ABCD 中，M .N 区分为AD .BC 的中点，连结AN .DN .BM ，且AN .BM 交于点P ，CM .DN 交于点Q .四边形MGNP 是平行四边形吗？为什么？变式 1 如图，在ABCD 的各边AB .BC .CD .DA 上，区分取点K .L .M .N ，使AK =CM .BL =DN ，那么四边形KLMN 为平行四边形吗？说明理由.变式2 如图，□ABCD 中，E .F 区分在BA .DC 的延伸线上，且AE =21AB ，CF =21CD ，试证明AECF 为平行四边形. 变式3 在平行四边形ABCD 中,∠ABC 的平分线交CD 于点E,∠ADC 的平分线交AB 于点F.试证：四边形DFBE 为平行四边形.变式4 如图，在□ABCD 中，点E .F 是对角线AC 上两点，且AE =CF ．求证：∠EBF =∠FDE ．考点3.平行四边形综分解绩【例3】如图，△ABC 是等边三角形，D.E 区分在边BC.AC 上，且CD=CE ，连结DE 并延伸至点F ，使EF=AE ，连结AF.BE 和CF 。

八年级平行四边形(二)

C .8cm和14cm D .8cm和12cm
【答案】B
4、如图，在平行四边形ABCD中，AB= AC，若平行四边形ABCD的周长为38 ，△ABC的周长比平行四边形ABCD的周长少l0 ，求平行四边形ABCD的一组邻边的长．
【提示】△ABC的周长： =28
平行四边形ABCD的周长：
【答案】
5、如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC且交边AD于点E，如果AB=6 ,BC=l0 ,试求：
题型二：证明线段互相平分
例1、已知：如图．平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，G、H分别在AD、BC上，AG =CH．求证：EF与GH互相平分．
【提示】根据本题要证得结论可以分析出本题只要证明四边形GFHE是平行四边形即可.连结GF、FH、HE、EG
例2、如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O，E、F分别为OB、OD的中点，过O任作一直线分别交AB、CD于G、H.求证：GF∥EH.
【注意】边：对边平行，对边相等；角：对角相等，邻角互补；对角线：对角线互相平分。
知识点3：平行四边形的判定
根据定义来判定：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形。
1．平行四边形判定定理l:如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形.
【提示】AD EF BC.
1、专题精讲
题型一：证明线段相等
例1、己知：如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，EF过点O，分别交CB，AD的延长线于点E、F，求证：AE=CF.
【提示】易证△DOF≌△BOE，DF=BE,AF CE，证得四边形AECF为平行四边形.（△DOF≌△BOE及已知条件，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得四边形AECF为平行四边形.）