福建省2015届高三数学毕业班5月联合考试质量检测卷 理
2025届南京协同体七校高三上学期期中联考数学试题
南京市协同体七校2024-2025学年第一学期期中联合考试高三数学试题考试时间：120分钟 满分：150分注意事项：1.本试卷所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.2.答题务必将自己妵名，准考证信息用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷答题卡上，第I 卷（选择题共58分）一､选择题：本题共8小輀，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2log 2,2A x x B x x =<=>∣∣，则A B ∪=（ ）A.()0,2B.()0,∞+C.()2,∞+D.(),2∞−2.若21i z −=，则z =（ ） B.1 C.22D.12 3.已知向量()()()0,4,3,6,1,6a b c ===− ，若c a b λµ=+ ，则λµ+=（ ） A.73 B.53C.13−D.23− 4.已知0,0m n >>，且1m n +=，则14m n +的最小值为（ ） A.12 B.9 C.6 D.35.已知直径为12的球内有一内接圆柱（圆柱上下底面圆在球面上），则圆柱体积的最大值为（ ）A. B.96π C. D.192π6.已知函数()224,,1,x x a f x x x a+ = +> 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A.(]1,3− B.(],3∞− C.[)3,∞+ D.][(),13,∞∞−−∪+7.将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A 为“第一次出现偶数点”，事件B 为“两次出现的点数和为9”，则下列结论中正确的是（ ） A.()19P AB =B.()()()P A B P A P B ∪=+C.()13P A B =∣D.A 与B 相互独立8.已知()f x 是定义在R 上的周期函数，周期1T =，且当[)0,1x ∈时()2f x x =，若()g x kx b =+，则下列结论中一定正确的是（ ）A.1k =时，()()f x g x =可以有三个解B.12k =时，()()f x g x =可以有三个解 C.1k =−时，()()f x g x =可以有一个解 D.12k =−时，()()f x g x =可以有四个解 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知抛物线2:4C y x =，直线:l y kx k =−与抛物线C 交于,P Q 两点，分别过,P Q 两点作抛物线准线的垂线,PM QN ，垂足分别是,M N ，下列说法正确的是（ ）A.直线l 过抛物线C 的焦点B.当1k =时，,P Q 两点横坐标的和为5C.当1k =时，直线l 截抛物线所得的弦长为8D.以MN 为直径的圆与直线l 相切10.已知正方体1111ABCD A B C D −，点P 满足][1,0,1,0,1BP BC BB λµλµ =+∈∈ ，则下列说法正确的是（ ）A.存在唯一一点P ，使得过1,,D B P 的平面与正方体的截面是菱形B.存在唯一一点P ，使得AP ⊥平面11B D CC.存在无穷多个点P ，使得AP ∥平面1A CDD.存在唯一一点P ，使得11D P BC ⊥11.如果X 服从二项分布(),B n p ，当10np >且()110n p −>时，可以近似的认为X 服从正态分布()2,N µσ，据统计高中学生的近视率0.6P =，某校有600名高中学生.设X 为该校高中学生近视人数，且X 服从正态分布()2,N µσ，下列说法正确的是（ ）（参考数据：()0.682,(22)0.9545P X P X µσµσµσµσ−<<+≈−<<+≈）A.变量X 服从正态分布()360,144NB.()3720.159P X ≈C.()(384)348P X P X <=>D.(384)0.9773P X <≈第II 卷（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在等差数列{}n a 中，()*21n a n n =−∈N ，则20S =__________.13.已知函数()π2sin 06yx ωω =−> 在区间π0,2上有且仅有2个零点，则实数ω的取值范围是__________.__________. 14.已知e 为自然对数的底数，若函数ln y x ax =+的最大值与函数e x y x =−的最小值相等，则实数a 的值是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，已知5,3,cos 2c b c b a C ===−. （1）求A ∠；（2）若D 是BC 中点，求AD 的长度.16.（本题满分15分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为51413,35,,,n S S a a a =成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若m n <，且1111,,m na a a 成等差数列，求出所有的正整数,m n . 17.（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是梯形，AB ∥,DC AC BD ⊥，3,24PA AC DC AB ====.（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）求二面角D PC B −−的正弦值.18.（本题满分17分）已知函数()()211ln ,2f x x a x a x a =−++∈R . （1）若1a =−，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若函数()()1y f x a x =++的最小值为0，求a 的值.19.（本题满分17分） 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为22,,3A B 分别是椭圆C 的上下顶点，过A 作两条互相垂直的直线,AP AQ ，分别交椭圆C 于,P Q 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：直线PQ 恒过定点；（3）求APQ 面积的最大值.南京市协同体七校2024—2025学年第一学期期中联合考试高三数学参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.C3.B4.B5.A6.C7.D8.B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.ACD 10.BD 11.ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.400 13.713,33 14.21e − 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分）解：（1）方法一： 因为cosC 2c b a =−， 由正弦定理得：1sin sin cos sin 2B A C C =−， 又sin sin cos cos sin B A C A C =+， 所以1cos 2A =−，又因为在ABC 中，所以2π3A =. 方法二：因为cosC ,5,32c b a b c =−==， 由余弦定理得：225935252a a a +−=−×， 解得249a =，所以259491cos 2532A +−==−××， 又因为在ABC 中，所以2π3A =. （2）方法一：在ABC 中，D 是BC 中点，所以1122AD AB AC =+ ，222111111119||9352542442244AD AB AB AC AC =++=×+×××−+×= ，AD = ，即AD. 方法二：由（1）方法二，知7a =，又D 是BC 中点，72BD CD ==， 在ABD 中由余弦定理有：22792cos 722AD ADB AD ∠ +−=×， 在ABD 中由余弦定理有：227252cos 722AD ADC AD ∠ +− =×， 因为πADB ADC ∠∠+=，所以cos cos ADB ADC ∠∠=−， 即22227792522772222AD AD AD AD +−+−=−××， 解得AD =，即AD . 16.（本题满分15分）解：（1）51545352S a d ×=+=，所以127a d +=… 又因为1413,,a a a 成等比数列，所以24113a a a =×，()()221111312,96a d a a d d a d +=×+=又因为0d ≠，所以132d a =所以13,2a d == 所以21na n =+ （2）由题意：1211m na a a =+ 所以21121321m n =+++ 方法一：2242163n m n +=++ 所以63921622n m n n ++==−++， 因为m n <且*,m n ∈N ，所以2,7m n == 方法二：2111213213m n =+>++， 所以，52m <， 又*m ∈N ，所以1m =或2m =，当1m =时，1n =，与m n <矛盾，当2m =时，7n =，符合条件，所以2,7m n == 17.（本题满分15分）（1）证明：因为PA ⊥面,ABCD BD ABCD ⊂，所以PA BD ⊥又因为,,,AC BD PA AC A PA PAC AC PAC ⊥∩=⊂⊂，所以BD PAC ⊥又因为BD PBD ⊂，所以平面PAC ⊥平面PBD（2）法一：作AE DC ⊥交DC 于E ，以点A 为坐标原点AE 为x 轴，AB 为y 轴如图建立 空间直角坐标系，设AC BD M ∩=，因为AB ∥DC ，所以ABM CDM ∽，又2,4,3AB DC AC ===， 所以1,2AM MC ==， 又因为AC BD ⊥， 所以3,23BM DM == 所以ππ,36BAC EAC ∠∠==， 故()3330,0,3,,,022P C，()35,,0,0,2,022D B −.所以()333331,,3,0,4,0,,,02222PC DC BC =−==−设面PDC 一个法向量为()1111,,n x y z =所以1111330240x y z y +−= = ，所以(1n =设面PBC 一个法向量为()2222,,n x y z =所以222223302102x y z x y +−=−=， 所以(2n =所以sin θ=法二：设AC BD O ∩=，又因为AC BD ⊥，以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OC 为 y 轴如图建立空间直角坐标系，因为AB ∥DC ，所以ABO CDO ∼ ，又因为2,4,3AB DC AC ===， 所以1,2AO OC ==， 又因为AC BD ⊥， 所以3,23BO DO ==故()()0,1,3,0,2,0P C −，()()3,0,0,3,0,0D B −所以()0,3,3PC =− ，()23,2,0CD =− ，)2,0BC =设面PDC 一个法向量为()1111,,n x y z =所以111133020y z y −= −+= ，所以(1n = 设面PBC 一个法向量为()2222,,n x y z =所以222233020y z y −= +=，所以(22,n =所以sin θ=18.（本题满分17分）解：（1）当1a =−时，()()()2111ln ,1,22f x x x f f x x x =−′==−，所以()10f ′=， 所以切线方程为12y = （2）()()()()()()2111,0x a x a x x a a f x x a x x x x−+′+−−=−++==> 若0a ，则()0,1x ∈时()()0,f x f x ′<单调递减，()1,x ∞∈+时()()0,f x f x ′>单调递增； 若01a <<，则()0,x a ∈时()()0,f x f x ′>单调递增，(),1x a ∈时()()0,f x f x ′<单调递减，()1,x ∞∈+时()()0,f x f x ′>单调递增若1a =，则()0,x ∞∈+时()()0,f x f x ′>单调递增若1a >，则()0,1x ∈时()()0,f x f x ′>单调递增，()1,x a ∈时()()0,f x f x ′<单调递减，(),x a ∞∈+时()()0,f x f x ′>单调递增（3）令()()()211ln 2h x f x a x x a x =++=+， ()()2,0,a x a h x x x x x′+=+=> 当0a 时，()0h x ′ ，故无最小值所以0a <，由()0h x ′=得x =所以(x ∈时()()0,h x h x ′<单调递减，)x ∞∈+时()()0,h x h x ′>单调递增单增，所以min 1()02h x h a a ==−+=，所以()ln 1,e a a −==−. 19.（本题满分17分）（1）解：因为22,cb a ==，又222a bc =+解得：3,,a b c === 故椭圆的标准方程为：2219x y += （2）证明：方法一：当PQ x ⊥轴时，,AP AQ 不可能垂直，故可设直线PQ 方程为：y kx n =+ 由2219y kx n x y =+ += ，得()2221918990k x knx n +++−=， 设()()1122,,,P x y Q x y 则：21212221899,1919kn n x x x x k k−−+==++， 所以，()()1122,1,,1PA x y PQ x y =−=− ，又因为PA PB ⊥，所以0PA PQ ⋅=即()()1212110x x y y +−−=即：()()1212110x x kx n kx n ++−+−=， 所以，()()221212121(1)0x x k x x k n x x n ++−++−= 代入可得：222222222222229999818(1)9(1)019191919n n k k n k k n n k n k k k k−−−+−+−+++=++++， 整理：210280n n −−=，所以：1n =（舍）或45n =−， 所以直线PQ 的方程为：45y kx =−，令0x =，得45y =−， 所以直线PQ 过定点40,5 −， 方法二： 显然,AP AQ 均不可能与坐标轴垂直，故可设():10AP y kx k =+≠ 由22119y kx x y =+ += ，得()2219180k x kx ++= 设()()1122,,,P x y Q x y所以：211221819,1919k k x y k k −−==++， 因为,AP AQ 互相垂直，同理得22222189,99k k x y k k−==++ 所以直线PQ 的斜率为：2110PQ k k k−=， 直线PQ 的方程为：222219118191019k k k y x k k k −− −=+ ++， 令0x =得()()222291194195519k k y k k −−=+=−++，即直线PQ 过定点40,5 − . （3）方法一：由（2）知：()227281190525k x kx +−−= ()()1212227281,5192519k x x x x k k +==−++， 所以APQ 面积121925S x x =×− ()()22121228125142519k x x x x k +=+−=+ 1t = ，所以22125t k −=代入可得： 281818127169162489t S t t t===++此时4,3t k ==，所以APQ 面积的最大值是278 方法二：由（2）知()2219180k x kx ++=，所以AP =因为,AP AQ互相垂直，同理得AQ = 所以APQ 面积12S AP AQ ==()242221162116299829982k k k k k k k k + + =++++ 令21116227,162162649644889t k t S k t t t+==×=×=++ ， 此时83t =，解得3k =±或13k =±， 所以APQ 面积的最大值是278.。
福建省泉州五校2015届高三联考数学(理)试卷
2014年秋季南侨中学、永春三中、永春侨中、荷山中学、南安三中高中毕业班摸底统一考试第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合2{cos0,sin 270},{|0}A B x x x ==+=则A B 为（ ）A ． {0,1}-B ．{1,1}-C ．{1}-D ．{0}2．如果复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为（ ） A ．－2B ．1C ．2D ．1或 －23. 在ABC ∆中，若322,60==︒=AC AB B ，,则ABC ∆的面积( ) A 、3 B 、32 C 、332 D 、334 4．下列命题中，真命题是（ ）A ．0,00≤∈∃x e R xB ．22,x R x x>∈∀C ．12x x+≥ D ．222(),,2a b a b a b R ++≥∈ 5. 函数)1(),1|(|log >+=a x y a 的大致图像是（ ）A B C Ｄ6．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了右边一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 （ ）A.22y x =-B. 21(1)2y x =- C.2log y x = D. 1()2xy =7．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 1218.01A ．//,,l n αβαβ⊂⊂⇒//l nB ．,l αβα⊥⊂⇒l β⊥C ．,l n m n ⊥⊥⇒//l mD ．,//l l αβ⊥⇒βα⊥8. 如图过拋物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交拋物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则拋物线的方程为( ) A ．=2y x 23B =2y x 3 C ．=2y x 29D ．=2y x 99. 设f 为实系数三次多项式函数﹒已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕方程式相异实根的个数()200f x -= 1 ()100f x -= 3 ()0f x = 3 ()100f x += 1 ()200f x +=1关于f 的极小值α﹐试问下列哪一个选项是正确的（ ）A.2010α-<<-B.100α-<<C.010α<<D.1020α<<﹒10. 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点O 为中心﹐其中x ﹐y 分别为原点O 到两个顶点的向量﹒若将原点O 到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为a x b y +的形式﹐则a b +的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。
福建省福州一中2015届高三5月质量检测试卷数学(理)试题及答案
相交于点 O ，若 DAB
DBF 60 0 ，且 FA FC .
（Ⅰ）求证： FC ∥∥平面 EAD ； （Ⅱ）求二面角 A FC B 的余弦值 .
E F
C D
O
A
B
（第 17 题图）
18．（本小题满分 13 分）
设 m R ，函数 f ( x) cosx(msin x cosx) cos2( x) ，且 f ( )
2
3
（Ⅰ）求 f ( x) 的单调递减区间；
（Ⅱ）设锐角△ ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，
f (0) ．
a2 c2 b2
且
a2 b2 c2
c ，求 f ( A) 的取值范围．
2a c
19．（本小题满分 13 分）
已知 A( 2, 0) ， B(2, 0) 为椭圆 C 的左、右顶点， F 为其右焦点， P 是椭圆 C 上异
B. i
，两条渐近线为 y
D . 2i 1 x ，则该双曲线的离心率等于 2
A． 5
B． 5
5
C．
2
5
D．
4
4. 已知公差不为 0 的等差数列 { an} 满足 a1,a3, a4 成等比数列， Sn 为数列 { an} 的前 n 项和，
则 S3 S2 的值为 S5 S3
B ． BE∥ 平面 PAD ，且直线 BE 到平面 PAD 的距离为 2 6
3
C. BE 与平面 PAD 不平行，且直线 BE 与平面 PAD 所成的角大于 30
第 8 题图
D. BE 与平面 PAD 不平行，且直线 BE 与平面 PAD 所成的角小于 30
内蒙古巴彦淖尔第一中学2025届高三下学期联合考试数学试题含解析
内蒙古巴彦淖尔第一中学2025届高三下学期联合考试数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知||23z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（ ）. A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若点(3,4)P -是角α的终边上一点，则sin 2α=（ ） A ．2425-B ．725-C ．1625D ．853．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线x y e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N4．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（）A ．B ．C ．D ．5．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．集合{}2|30A x x x =-≤，(){}|lg 2B x y x ==-，则A B ⋂=( ) A ．{}|02x x ≤< B ．{}|13x x ≤<C ．{}|23x x <≤D ．{}|02x x <≤7．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D ．28．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ） A ．45B ．60C ．75D ．1009．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ） A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种10．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．12B 5C 5D ．511．方程()()f x f x '=的实数根0x 叫作函数()f x 的“新驻点”，如果函数()ln g x x =的“新驻点”为a ，那么a 满足（ ） A ．1a = B ．01a <<C ．23a <<D ．12a <<12．在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120B ．120C ．-15D ．15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省福州市2015年高三5月适应性考试数学(文理)试题及答案
A．12
B．16
C．18
D．24
6． 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长 为 1 的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中 最长棱的长度为 A． 2 C． 5 B． 3 D． 7
俯视图 正视图 侧视图
第 6 题图
7． 如图所示， 已知 A, B, C, D 四点均在格点上， 则向量 AD 在 AB 方向上的投影为
b 1； 2 b 1； 2
第 16 题备用图
④ 两边平行于坐标轴的格点矩形的面积等于 a 其中正确结论的序号是 正确结论的序号都填上)．
x2 y 2 1 的左、右焦点，点 P 为椭圆上任意一点， O 为坐标 25 9
原点．若 OP OF2 PF2 0 ，则 PF1 F2 的面积为 A．9 B．18 C知单调函数 f ( x) 满足：对 x R ，都有 f f ( x) e e 2 （其中 e 是自然对数
1
C． y x 2
D． y x3
2． 命题“ x 1,1 ，都有 cos x 0 ”的否定是 A． x0 1,1 ，使得 cos x0 0 C． x 1,1 ，都有 cos x B． x0 1,1 ，使得 cos x0 0 D． x 1,1 ，都有 cos x 0
x=1 i=0 DO x=x+2 i=i+1 LOOP UNTIL i>=5 PRINT x END
第 4 题程序
5． 某校一年级、二年级、三年级学生共有 2000 名，其中一年级的学生 760 名．已知在 全校学生中随机抽取 1 名，抽到二年级学生的概率为 0.37．现按年级采用分层抽样的 方法在全校学生中抽取 64 人，则应在三年级抽取的学生人数为
【质检试卷】2015年福建省普通高中毕业班质量检查(数学理)
2015年福建省普通高中毕业班质量检查数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V =Sh24S R =π，343V R =π 其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把答案填涂在答题卷的相应位置.1． 已知集合2{0log 2}A x x =<<，{32,}xB y y x R ==+∈，则AB 等于A ．{24}x x <<B ．{14}x x <<C ．{12}x x <<D ．{4}x x >2． 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A ．15B ．16C ．25D ．363． 21()nx x -展开式的二项式系数和为64，则其常数项为A ．20-B ．15-C ．15D ．204． 某校为了解本校高三学生学习心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加测试. 为此将他们随机编号为1，2，…，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18. 抽到的40人中，编号落入区间[1，200]的人做试卷A ，编号落入区间[201，560]的人做试卷B ，其余的人做试卷C . 则做试卷C 的人数为 A ．10B ．12C ．18D ．285． 已知双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角等于60︒，则双曲线C 的离心率等于ABCD ．26． 函数cos(sin )y x =的图象大致是7． 已知集合10(,)30,1x y A x y x y x ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪=--≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≥⎩⎩⎭，{}222(,)(2)(2),0B x y x y R R =-+-≤>，且A B ≠∅，则R 的最小值为 A．2BC ．3D ．58． 在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5. 若I 为△ABC 的内心，则CI CB 的值为A ．6B ．10C ．12D ．159． (N)n A n ∈系列的纸张规格如图，其特点是：①012,,,...,n A A A A 所有规格的纸张的长宽比都相同；②0A 对裁后可以得到两张1A ，1A 对裁后可以得到两张2A ，…，1n A -对裁后可以得到两张n A.若有每平方厘米重量为b 克的012,,,...,n A A A A 纸各一张，其中4A 纸的较短边的长为a 厘米，记这(1)n +张纸的重量之和为1n S +，则下列论断错误的是A ．存在N n ∈，使得21n S b +=B ．存在N n ∈，使得21n S b +=C ．对于任意N n ∈，都有21n S b +≤D ．对于任意N n ∈，都有21n S b +≥10．定义在(0,)+∞上的可导函数()f x 满足()()xf x f x x '-=，且(1)1f =. 现给出关于函数()f x 的下列结论：①函数()f x 在1(,)e+∞上单调递增； ②函数()f x 的最小值为21e-； ③函数()f x 有且只有一个零点； ④对于任意0x >，都有2()f x x ≤其中正确结论的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 请把答案填在答题卷的相应位置. 11．已知z C ∈且(1i)i z =+，则z 等于__________.12．设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且2412a a +=，则5S 等于__________.13．在ABC ∆中，6ABC π∠=，AB =3BC =. 若在线段BC 上任取一点D ，则BAD ∠为锐角的概率是__________.14．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，则三棱锥1B ABC -与三棱锥111B A B C -公共部分的体积是__________.15．定义在R 上的函数()f x 满足：()()f x f x -=，(2)(2)f x f x +=-. 若曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为30x y -+= ，则该曲线在5x =处的切线方程为__________.三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分13分）已知函数1()sin cos cos 22f x x x x =+. （Ⅰ）若tan 2θ=，求()f θ的值；（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由函数()y f x =的图象上所有的点向右平移π个单位长度而得到，且()g x 在区间(0,)m 内是单调函数，求实数m 的最大值.17．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，90BAD ∠=︒，PD ABCD ⊥平面，3AD AB PD ===，1BC =. 过AD 作一平面分别交PB ，PC 于点E F ，. （Ⅰ）求证：//AD EF ； （Ⅱ）设13BE BP =，求AE 与平面PBC 所成的角的大小. 18．（本小题满分13分）“抢红包”的网络游戏给2015年的春节增添了一份趣味. “抢红包”有多种玩法，小明参加了一种接龙红包游戏：小明在红包里装了9元现金，然后发给朋友A ，并给出金额所在区间[1，9]，让A 猜（所猜金额为整数元；下同），如果A 猜中，A 将获得红包里的金额；如果A 未猜中，A 要将当前的红包转发给朋友B ，同时给出金额所在区间[6，9]，让B 猜，如果B 猜中，A 和B 可以平分红包里的金额；如果B 未猜中，B 要将当前的红包转发给朋友C ，同时给出金额所在区间[8，9]，让C 猜，如果C 猜中，A 、B 和C 可以平分红包里的金额；如果C 未猜中，红包里的资金将退回至小明的帐户. （Ⅰ）求A 恰好得到3元的概率；（Ⅱ）设A 所获得的金额为X 元，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）从统计学的角度而言，A 所获得的金额是否超过B 和C 两人所获得的金额之和？并说明理由. 19．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且椭圆的短轴端点为顶点的三角形是等边三角形，椭圆的右顶点到右焦点的距离为1.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点M ，且交y 轴于点P ，过点M 作垂直于l 的直线交y 轴于点Q . 求证：12,,,,F Q F M P 五点共圆.20．（本小题满分14分）已知函数2*2()()1n nx axf x a N x -=∈+的图象在点(0,(0))n f 处的切线方程为y x =-. （Ⅰ）求a 的值及1()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k ,使得射线(3)y kx x =≥-与曲线1()y f x =有三个公共点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.（Ⅲ）设12,n x x x ,,为正实数，且12...1n x x x +++=，证明：12()()...()0n n n n f x f x f x +++≥.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分. 如果多做，则按所做的前两题记分. 作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知曲线22:3C x xy y -+=，矩阵22M ⎛= ⎝，且曲线C 在矩阵M 对应的变换的作用下得到曲线C '.（Ⅰ）求曲线C '的方程；（Ⅱ）求曲线C 的离心率及焦点坐标.（2）（本小题满分7分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(1,2)-. 在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为cos sin 10ρθρθ+-=. （Ⅰ）判断点M 与直线l 的位置关系；（Ⅱ）设直线l 与抛物线2y x =相交于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x =+.（Ⅰ）若2()(6)f x f x m m +-≥+对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围；。
2025届漳州市重点中学高三下学期联合考试数学试题含解析
2025届漳州市重点中学高三下学期联合考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动， 且AB 总是平行于x 轴， 则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]2．函数cos ()22x x x x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（ ） A ． B ． C ．D ．3．在正方体1111ABCD A BC D -中，点P 、Q 分别为AB 、AD 的中点，过点D 作平面α使1//B P 平面α，1//AQ 平面α若直线11B D ⋂平面M α=，则11MD MB 的值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．234．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A ．B ．C ．D ．5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是( )A ．28cmB ．212cmC ．()2452cm +D ．()2454cm +6．函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．24π+B ．24π-C ．242π-D ．243π-8．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．39．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ） A ．23B ．25C ．28D ．2912．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( ) A ．20x = B ．20x y ±= C 20x y ±=D ．20x y ±=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省南平市2015届高三5月质检数学(理)试卷
2015年南平市普通高中毕业班质量检查理 科 数 学参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh 其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知∈y x ，R ，i 为虚数单位，且i y 1yi x i -=-+ i ，则(1)x yi +-)x y i +-的值为 A ．2B ．-2iC ．-4D ．2i2．已知直线1=+y x 与圆122=+y x 相交B A ，两点，则=||ABA ．22B ． 2C ．23D ．33．等比数列{}n a 的各项均为正数，且87465=+a a a a ，则12log a +22log a +…+102log a =A ．10B ． 8C ． 6D ． 4 4．当α为锐角时，“⎰=α21cos xdx ”是“6π=α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+. 若//AB OC ，则实数m 的值为 A ．35B ．35-C ．3D ．3-6．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值输出相应的y 值，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是 A ．4 B ．2第6题图C ．1D ．37．右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．16π+B ．4πC ．24π+D ．248．已知O 为坐标原点，点A 的坐标是()2,3，点(,)P x y 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+++62623y x y x y x ，，所确定的平面区域内（包括边界）运动，则OA OP ⋅的取值范围是 A ．[]4,10 B ．[]6,9 C ．[]6,10D ．[]9,109．已知P 是抛物线24y x =上的一个动点，则P 到直线1l ：0634=+-y x 和2l ：20x +=的距离之和的最小值是 A ．1 B ．2C ．3D ．4 10．已知R ∈b a ，，函数bx x a x x f ++-=23231)(有两个极值点)(2121x x x x <，， 12)(x x f =，则方程0)()(2=--b x af x f 的实根个数A ．4B ．3C ．2D ．0第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． 11．为估计图中阴影部分的面积，现采用随机模拟的方法，从边长为1的正方形ABCD 中产生200个点，经统计，其中落入阴影部分的点共有134个，则估计阴影部分的面积是________．12．已知βααβαβα，53sin )cos(cos )sin(=---是第三象限角，则)4πtan(+β=________．13．102)1)(1(x x x -++展开式中4x 的系数是________．正视图侧视图俯视图第7题图≥≤≤第11题图14．已知()yx y x ⎪⎭⎫⎝⎛=∞+∈-31302，，，，则12x y +的最小值为________．15．若实数c b a ，，成等差数列，点)01(，-P 在动直线0=++c by ax 上的射影为点M ，已知点)33(，N ，则线段MN 长度的最大值与最小值的和为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本题满分13分）已知函数()cos cos 2,R f x x x x x =-∈，2,R f x x x x x -∈． (Ⅰ) 求函数()f x 的单调递增区间；(Ⅱ) 在ABC ∆中，角A B C 、、所对边的长分别是a b c 、、，若()2,C 4f A c π===，4π=C ，,24f A c π===，求ABC ∆的面积．17．（本题满分13分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和3个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球． (Ⅰ) 求取出的4个球均为黑球的概率； (Ⅱ) 求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(Ⅲ) 设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望． 18．（本题满分13分）如图，在四面体P -ABC 中，P A ⊥面ACB ，BC ⊥ACM 是P A 的中点，E 是BM 的中点，AC =2，P A =4， F 是线段PC 上的点，且EF ∥面ACB ． (Ⅰ) 求证：BC AF ⊥；(Ⅱ) 求CF CP；(Ⅲ) 若异面直线EF 与CA 所成角为45°，求EF 与面P AB 所成角θ的正弦值.19．（本题满分13分）已知椭圆Γ的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率33=e ，点)126(，P 在 椭圆Γ上.(Ⅰ) 求椭圆Γ的方程；(Ⅱ) 过Γ的右焦点F 作两条垂直的弦CD AB ，，设CD AB ，的中点分别为N M ，，证明：直线MN 必过定点，并求此定点.20．（本题满分14分）已知函数xb a x f --=e )(（e 是自然对数的底数，e =2.71828…）的图像在0=x 处的切线方程为x y =. (Ⅰ) 求b a ，的值； (Ⅱ) 若)0(1)1(21e ln )(2>++-+-=-m x m x x m x g x ， 求函数)()()(x f x g x h -=的单调区间； (Ⅲ) 若正项数列}{n a 满足)(e 2111n a n a f a a n ==+-，，证明：数列}{n a 是递减数列. 21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵11m M n ⎛⎫=⎪⎝⎭，若向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12在矩阵M 的变换下得到向量13⎛⎫⎪⎝⎭. (Ⅰ) 求矩阵M ； (Ⅱ) 设矩阵1021N ⎛⎫=⎪⎝⎭，求直线10x y -+=在矩阵NM 的对应变换作用下得到的曲线C 的方程.（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 曲线1C：sin()4πρθ+=2C ：12sin 12cos x y αα=--⎧⎨=-+⎩，（α为参数）. (Ⅰ) 求曲线1C 的直角坐标方程与曲线2C 的普通方程； (Ⅱ) 求曲线2C 上的点到曲线1C 上的点的最小距离.（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲已知函数()1222f x x x =--+. (Ⅰ) 解不等式)(x f ≥1；(Ⅱ) 若22()a a f x +>恒成立，求实数a 的取值范围.2015年南平市普通高中毕业班质量检查理科数学试题参考答案及评分标准说明：1、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．1．B ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．D ； 6．D ； 7．A ； 8．C ； 9．C ； 10．B ． 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．11．67.0； 12．7； 13．135； 14．223+； 15．10. 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．本题满分13分．解：(Ⅰ)∵x x x x f 2cos cos sin 32)(-=，R (∈x ) 3=x x 2cos 2sin - ………………… 1分∴)62sin(2)(π-=x x f . ………………… 3分由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈. …………………… 5分∴函数()f x 的单调递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈.……………………6分 (Ⅱ)∵在ABC ∆中，()2,,24f A C c π===，∴2sin(2)2,6A π-=解得,3A k k Z ππ=+∈.……………………8分又0A π<<，∴3A π=. …………………… 9分依据正弦定理，有,sinsin34a c a ππ==解得.……………………10分∴512B AC ππ=--=. ……………………11分∴11sin 222ABC S ac B ∆==⋅=. ……………………13分17．本题满分13分．解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B .由于事件A 、B 相互独立，21)(2423==C C A P , 103)(2523==C C B P . …………………… 2分 ∴取出的4个球均为黑球的概率为203)()()(=⋅=⋅B P A P B A P ……………………3分（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D .由于事件C 、D 互斥，且103)(2513122423=⋅=C C C C C C P ,203)(25232413=⋅=C C C C D P ……………………5分 所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为209)()()(=+=+D P C P D C P . …………………… 6分 （Ⅲ）设ξ可能的取值为0,1,2,3. 由（Ⅰ）、（Ⅱ）得203)0(==ξP , 209)1(==ξP ,. 207)2(252224232513122413=⋅+⋅==C C C C C C C C C P ξ,201)3(25222413=⋅==C C C C P ξ……………10分ξ的分布列为…………………11分∴ξ的数学期望10132013207220912030=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………… 13分18．本题满分13分．解：（Ⅰ）ACB PA 面⊥ ，ACB BC 面⊂，BC PA ⊥∴……………………1分 又AC BC ⊥，A AC PA =PAC BC 面⊥∴……………………2分而PAC AF 面⊂AF BC ⊥∴……………………3分（Ⅱ）解法一：如图以C 为原点，CA 、CB 所在直线为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，则)002(，，A 、)000(，，C 、)402(，，P 、)202(，，M ……………4分设λ=CP CF ，)0,,0(m B ,可得)1,2,1(m E ，)4,0,2(λλF , 则)14,2,12(---=λλmEF ……………………5分因为)4,0,0(=AP 是ACB 平面的一个法向量，ACB EF 面∥0)14(4)14,2,12()400(=-=---⋅=⋅∴λλλmEF AP ，，……………………6分 41=λ 即41=CP CF ……………………7分 (Ⅲ) 解法一：由（Ⅱ）知)0,2,21(mEF --=，)0,0,2(=CA221145cos 2=+∴m………………8分 解得1=m ……………………9分 由此)0,21,21(--=EF ，)0,1,0(B ,又)002(，，A 、)402(，，P )0,1,2(-=BA ,)4,1,2(-=BP设面P AB 的一个法向量为),,(z y x n =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BA n BP n 可得⎩⎨⎧=-⋅=-⋅0)0,1,2(),,(0)4,1,2(),,(z y x z y x ……………………11分即⎩⎨⎧=-=+-02042y x z y x ，可取)0,2,1(=n ……………………12分 EF 与面P AB 所成角θ的正弦值：1010321523sin =θ…………13分（Ⅱ）解法二：如图以A 为原点，过A 且与CB 平行的直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，则)000(，，A 、)020(，，C 、)400(，，P)200(，，M ……………………4分设λ=CP CF ,)0,2,(m B ,可得：)1,1,2(mE )4,22,0(λλ-F ,则 )14,21,2(---=λλmEF ………………5分因为)4,0,0(=AP 是ACB 平面的一个法向量，ACB EF 面∥)14(4)14,21,2()400(=-=---⋅=⋅∴λλλmEF AP ，， ……………………6分41=λ 即41=CP CF ……………………7分 (Ⅲ) 解法二：由（Ⅱ）知)0,21,2(--=m EF ，)0,2,0(-=CA221145cos 2=+∴m……………………8分 解得1=m ……………………9分 由此)0,21,21(-=EF ，)0,2,1(B 又)000(，，A 、)400(，，P 、)0,2,1(--=BA ,)4,2,1(--=BP 设面P AB 的一个法向量为),,(z y x n =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BA n BP n 可得⎩⎨⎧=--⋅=--⋅0)0,2,1(),,(0)4,2,1(),,(z y x z y x ，……………………11分即⎩⎨⎧=--=+--02042y x z y x ， 可取)0,1,2(-=n ……………………12分EF 与面P AB 所成角θ的正弦值1010321523sin =θ……………13分（Ⅱ）解法三：取MA 中点G ，连结EG ，FG ， ∵E 是MB 中点，∴EG 是△MAB 的中位线．PBPB∴∥EG AB ……………………4分 而ABC EG ABC AB 面面⊄⊂, ∴EG ∥面ABC ……………………5分 又EF ∥面ABC ,E EG EF = ∴面EFG ∥面ABC , 而EFG FG 面⊂ ∴FG ∥面ABC ……………………6分 ∵AC ABC PAC PAC FG =⊂面面面 , ∴FG ∥AC,41==∴AP AG CP CF ……………………7分19．本题满分13分．解：(Ⅰ)由题意可设所求椭圆方程为)0,0(12222>>=+b a by a x .则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+31114622222a b a b a ……………………3分 解得2,322==b a即椭圆Γ的方程为12322=+y x .……………………5分(Ⅱ)由题意得)0,1(F .（1）当弦CD AB ,的斜率均存在时，设AB 的斜率为k ，则CD 的斜率为k1-.……………………6分令),(),,(2211y x B y x A ，线段AB 中点),(00y x M .将直线AB 方程代入椭圆方程12322=+y x ,并化简得.0)63(6)23(2222=-+-+k x k x k ……………………7分则233222210+=+=k k x x x ,232)1(200+-=-=k kx k y ,于是,)232,233(222+-+k k k k M .因为AB CD ⊥，所以，将点M 坐标中的k 换为k1-，即得点).322,323(22++k kk N …………………9分① 当1±≠k 时，直线MN 的方程为).323(335322222+---=+-k x k k k k y 令0=y 得53=x ，则直线MN 过定点).0,53(……………………10分② 当1±=k 时，易得直线MN 的方程53=x ,也过点).0,53(……………………11分（2）当弦CD AB 或的斜率不存在时，易知，直线MN 为x 轴，也过点).0,53(综上，直线MN 必过定点).0,53(……………………13分20．本题满分14分．解：（Ⅰ）由题意得1)0(,0)0(='=f f ，则1,0==-b b a ，……………………2分解得1,1==b a .……………………3分 （Ⅱ）由题意得x m mx x m x h )1(21ln )(2+-+=,),0(+∞∈x . xx m x x m x m x m x x m x h )1)(()1()1()(2--=++-=+-+='……………………5分 （1）当10<<m 时, 令0)(>'x h ，并注意到函数的定义域),0(+∞得m x <<0或1>x ，则)(x h 的增区间是),1(),,0(+∞m ；同理可求)(x h 的减区间是)1,(m ………………6分（2）当1=m 时, 0)(≥'x h ,则)(x h 是定义域),0(+∞内的增函数……………………7分（3）当1>m 时, 令0)(>'x h ,并注意到函数的定义域),0(+∞得10<<x 或m x >， 则)(x h 的增区间是),(),1,0(+∞m ; 同理可求)(x h 的减区间是),1(m …………………8分（Ⅲ）证明: 因为正项数列}{n a 满足),(,2111n a n a f e a a n ==+- 所以)1ln()ln(1n n a a n e e a ---=+,即na n a e a n -+--=1ln 1……………………10分 要证数列}{n a 是递减数列n n a a <⇐+1⇐n n a a a e n <---1ln ⇐n na na e a e -->-1 ⇐1+>n a a e n ……………………12分设1)(--=x e x u x ,),0(+∞∈x . 01)(>-='xe x u ， ∴)(x u 是),0(+∞上的增函数，则0)0()(=>u x u ，即1+>x e x ，故1+>n a a e n ， 则数列}{n a 是递减数列……………………14分21．本题满分14分．(1) 解：（Ⅰ）由121113m n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………………1分 得21213m n -+=⎧⎨-+=⎩ 解得13n m =-⎧⎨=⎩……………………2分 1311M ⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭……………………3分 （Ⅱ）101313211117NM ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………………4分 设点(,)x y 是直线10x y -+=上1一点，在矩阵NM 的对应变换作用下得到的点''(,)x y ，则''1317x x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 可得''37x y x x y y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩……………………5分 ''''4734y x y x yx ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，代入10x y -+=得''210x y -+=……………………6分 ∴曲线C 的方程210x y -+=……………………7分(2) 解：（Ⅰ）由曲线1C 的极坐标方程，得sin cos cos sin 44ππρθρθ+=……………………1分 即：sin cos 2ρθρθ+= ………………………2分∴曲线1C 的直角坐标方程为2y x +=,即20x y +-=……………………3分 由曲线2C 的参数方程得2C 的普通方程为：22(1)(1)4x y -+-=……………………4分（Ⅱ） 2C 表示圆心为(1,1)--，半径2r =的圆，因为圆心(1,1)--到直线20x y +-=的距离2d > (6)分所以圆上的点到直线20x y +-=的距离的最小值为2-……………………7分(3) 解：（Ⅰ）()1f x ≥可化为：21221x x --+≥……………………1分 即212211x x x -+++≥⎧⎨<-⎩或21221112x x x -+--≥⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩或2122112x x x ---≥⎧⎪⎨>⎪⎩……………3分 解得12x ≤-，所以不等式()1f x ≥的解集为1(,2⎤-∞-⎥⎦……………………4分 （Ⅱ）22()a a f x +>恒成立⇔2max 2()a a f x +> 122212223x x x x --+≤-++=Q （当1x ≤-时取等号）……………………5分 max ()3f x ∴= 由223a a +>，解得3a <-或1a >……………………6分 即a 的取值范围是(,3)(1,)-∞-⋃+∞……………………7分。
福建省南平市2015届高三5月质检文科数学试卷及答案
K2
n( ad bc) 2
(a b)(c d)(a c)(b d)
P(K 2 ≥k0 )
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879 10.828
18．（本题满分 12 分）
已知正项等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 12，且 a1 ， a2 ， a3 2 成等比数列 . (Ⅰ ) 求 an 的通项公式； (Ⅱ ) 若 bn 3n an ，数列 bn 的前 n 项和为 Tn ，求 Tn .
s=
1 n ( x1
x)2
(x2
x)2
…
(xn
x)2
其中 x 为样本平均数
柱体体积公式
V=Sh
其中 S 为底面面积， h 为高
锥体体积公式
V= 1 Sh 3
其中 S 为底面面积， h 为高 球的表面积、体积公式
S 4 R2 ， V 4 R3 3
其中 R 为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
O
A
B
(III) 求三棱锥 B PAC 的体积 .
C 第 20题图
21．（本题满分 12 分）
已知椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1( a
b
0) 的离心率为 3 ，短半轴长为 2
2.
(Ⅰ ) 求椭圆 C 的方程；
(Ⅱ ) 已知斜率为 1 的直线 l 交椭圆 C 于两个不同点 A， B，点 M 的坐标为 (2，1) ， 2
福建省南平市2015届高三5月质检数学(文)试题(解析版)
2015年福建省南平市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合S={x|x＞﹣3}，T={x|﹣6≤x≤1}，则S∪T=（）A．[﹣6，+∞）B．（﹣3，+∞）C．[﹣6，1] D．（﹣3，1]【考点】：并集及其运算．【专题】：集合．【分析】：根据并集的定义计算即可．【解析】：解：∵集合S={x|x＞﹣3}，T={x|﹣6≤x≤1}，∴S∪T=[﹣6，+∞），故选：A【点评】：本题考查了并集的运算，属于基础题．2．（5分）在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数代数形式的乘除运算法则和复数的几何意义求解．【解析】：解：===1﹣i，∴在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选：D．【点评】：本题考查复数所对应的点在第几象限的求法，解题时要认真审题，是基础题．3．（5分）化简cos15°cos45°﹣cos75°sin45°的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】：两角和与差的余弦函数．【专题】：计算题．【分析】：先利用诱导公式把cos75°转化为sin15°，进而利用两角和的余弦函数求得答案．【解析】：解：cos15°cos45°﹣cos75°sin45°=cos15°cos45°﹣sin15°sin45°=cos（15°+45°）=cos60°=故选A．【点评】：本题主要考查了两角和与差的正弦函数和诱导公式的运用，利用诱导公式把cos75°转化为sin15°关键．属于基础题．4．（5分）过点（5，3）且与直线2x﹣3y﹣7=0平行的直线方程是（）A．3x+2y﹣21=0 B．2x﹣3y﹣1=0 C．3x﹣2y﹣9=0 D．2x﹣3y+9=0【考点】：直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】：直线与圆．【分析】：求出直线的斜率，利用点斜式求解直线方程即可．【解析】：解：过点（5，3）且与直线2x﹣3y﹣7=0平行的直线的斜率为：，所求直线方程为：y﹣3=（x﹣5）．即2x﹣3y﹣1=0．故选：B．【点评】：本题考查直线方程的求法，平行线的应用，考查计算能力．5．（5分）在△ABC中，角A＜B是sinA＜sinB的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：先看由角A＜B能否得到sinA＜sinB：讨论A，B和A两种情况，并结合y=sinx在（0，]单调性及0＜A+B＜π即可得到sinA＜sinB；然后看由sinA＜sinB能否得到A＜B：根据上一步的讨论方法以及y=sinx的单调性即可得到sinA＜sinB，所以得到角A＜B是sinA＜sinB的充要条件．【解析】：解：（1）△ABC中，角A＜B：若0＜A＜B≤，根据y=sinx在（0，]上单调递增得到sinA＜sinB；若0＜A，，∵0＜A+B＜π，∴，所以sinA＜sin（π﹣B）=sinB；∴角A＜B能得到sinA＜sinB；即A＜B能得到sinA＜sinB；∴角A＜B是sinA＜sinB的充分条件；（2）若sinA＜sinB：A，B∈（0，]时，y=sinx在上单调递增，所以由sinA＜sinB，得到A＜B；A，B时，显然满足A＜B；即sinA＜sinB能得到A＜B；∴A＜B是sinA＜sinB的必要条件；综合（1）（2）得角A＜B，是sinA＜sinB的充要条件．故选C．【点评】：考查充分条件、必要条件、充要条件的概念，以及正弦函数y=sinx在上的单调性，通过y=sinx在（0，π）的图象看函数的取值情况，及条件0＜A+B＜π．6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B． 3 C． 2 D． 1【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解析】：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×1+1=3．即目标函数z=2x+y的最大值为3．故选：B．【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．7．（5分）若把函数y=3cos（2x+）的图象上的所有点向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：利用图象的平移求出平移后的解析式，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出m的最小值．【解析】：解：由题意知，y=3cos（2x+），图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到y=3cos（2x+﹣2m）所得到的图象关于y轴对称，∴﹣2m=kπ，k∈Z，∴m=﹣，k∈Z，∵m＞0，∴m的最小值为：．故选：C．【点评】：本题考查三角函数的图象变换，考查余弦函数图象的特点，属于基础题．8．（5分）已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则||=（）A．2 B．C．2D．2【考点】：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．【专题】：平面向量及应用．【分析】：由已知条件及向量数量积的运算即可求出，从而便求出．【解析】：解：根据已知条件，=4+4+4=12；∴．故选：D．【点评】：考查数量积的运算及数量积的计算公式，求向量的长度先求的方法．9．（5分）设数列{a n}是以3为首项，1为公差的等差数列，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则b a1+b a2+b a3+b a4=（）A．15 B．60 C．63 D．72【考点】：等差数列与等比数列的综合．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：分别运用等差数列和等比数列的通项公式，求出a n，b n，再由通项公式即可得到所求．【解析】：解：数列{a n}是以3为首项，1为公差的等差数列，则a n=3+（n﹣1）×1=n+2，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则b n=2n﹣1，则b a1+b a2+b a3+b a4=a3+b4+b5+b6=22+23+24+25=60．故选B．【点评】：本题考查等比数列和等差数列的通项公式，注意选择正确公式，考查运算能力，属于中档题和易错题．10．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为10，5，4，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．141π B．45π C．3π D．24π【考点】：球的体积和表面积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，转化为对角线长，即可求解外接球的表面积．【解析】：解：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三度为a，b，c由题意得：ab=20，ac=10，bc=8，解得：a=5，b=4，c=2，所以球的直径为：=3，它的半径为，球的表面积为=45π，故选：B．【点评】：本题是基础题，考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在．11．（5分）利用计算机产生0～3之间的均匀随机数a、x，则事件“log a x＞0（a＞0且a≠≠1）”发生的概率为（）A．B．C．D．【考点】：几何概型．【专题】：概率与统计．【分析】：由题意，首先求出满足log a x＞0（a＞0且a≠≠1）”的a，x的范围，然后根据几何概型求概率．【解析】：解：满足“log a x＞0（a＞0且a≠1）”的等价条件或者，所以（x，a）满足的区域如图由几何概型得事件“log a x＞0（a＞0且a≠1）”发生的概率为；故选D【点评】：本题考查了几何概型的概率求法；解得本题的关键是求出a，x满足的不等式组，利用区域的面积比求值．12．（5分）在平面内，曲线C上存在点P，使点P到点A（3，0），B（﹣3，0）的距离之和为10，则称曲线C为“有用曲线”．以下曲线不是“有用曲线”的是（）A．x+y=5 B．x2+y2=9 C．+=1 D．x2=16y【考点】：两点间的距离公式．【专题】：直线与圆．【分析】：由点P到点A（3，0），B（﹣3，0）的距离之和为10，可得．分别与A，B，C，D中的方程联立，判断是否有解即可得出．【解析】：解：由点P到点A（3，0），B（﹣3，0）的距离之和为10，可得．A．联立，化为41x2﹣250x+225=0，△=2502﹣41000＞0，因此曲线x+y=5上存在点P满足条件，∴是“有用曲线”，正确；同理可判断C，D给出的切线是“有用曲线”，而B给出的曲线不是“有用曲线”．故选：B．【点评】：本题考查了椭圆的定义、两点之间的距离公式、曲线的交点，考查了推理能力与技能数列，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为4．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角梯形，高为2的四棱锥，从而求出它的体积．【解析】：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角梯形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；如图所示，所以，该四棱锥的体积为V=ו（4+2）•2×2=4．故答案为：4．【点评】：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图中的数据得出几何体的结构特征，是基础题目．14．（4分）如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是3．【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值，并输出．【解析】：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值依题意得，或，或，解得x=0，或x=1，x=4．则这样的x值的个数是3．故答案为：3．【点评】：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．15．（4分）已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，则P到直线l1：4x﹣3y+11=0和l2：x+1=0的距离之和的最小值是3．【考点】：直线与圆锥曲线的关系．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：如图所示，过点P分别作PM⊥l1，PN⊥l2，垂足分别为M，N．设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，求|PM|+|PN|转化为求|PM|+|PF|，当三点M，P，F共线时，|PM|+|PF|取得最小值．利用点到直线的距离公式求解即可．【解析】：解：如图所示，过点P分别作PM⊥l1，PN⊥l2，垂足分别为M，N．l2：x+1=0是抛物线y2=4x的准线方程．抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，过P作直线l1：4x﹣3y+11=0的垂线，垂足为M，∴|PM|+|PN|=|PM|+|PF|，当三点M，P，F共线时，|PM|+|PF|取得最小值．其最小值为点F到直线l1的距离，∴|FM|==3．故答案为：3．【点评】：本题考查了抛物线的定义及其性质、三点共线、点到直线的公式，考查转化思想的应用，属于中档题．16．（4分）关于函数f（x）=（）x﹣sinx﹣1，给出下列四个命题：①该函数没有大于0的零点；②该函数有无数个零点；③该函数在（0，+∞）内有且只有一个零点；④若x0是函数的零点，则x0＜2．其中所有正确命题的序号是②③④．【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：函数的性质及应用；导数的综合应用；简易逻辑．【分析】：如图所示，利用导数研究函数的单调性、函数零点存在判定定理、图象的性质即可判断出．【解析】：解：①函数f（x）=（）x﹣sinx﹣1，如图所示，∵f（2）=＞0，f（1）=﹣sin1＜0，∴＜0，因此函数f（x）在（1，2）内存在零点，故①不正确；②由图象可知：x＜0时，函数有无数个零点，正确；③当x＞2时，f′（x）=﹣cosx＞0，函数f（x）单调递增，因此x＞2，时，不存在零点．故该函数在（0，+∞）内有且只有一个零点；④若x0是函数的零点，由③可知：x0＜2，正确．其中所有正确命题的序号是：②③④．故答案为：②③④．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数零点存在判定定理、图象的性质、简易逻辑的判定，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）学校开展阳光体育活动，对学生的锻练时间进行随机抽样调查，从中随机抽取男、女生各25名进行了问卷调查，得到了如下列联表：（Ⅰ）根据上表数据求x，y，并据此资料【分析】：有多大的把握可以认为“锻练时间与性别有关”？（Ⅱ）从这50名学生中用分层抽样的方法抽取5人为样本，求从该样本中任取2人，至少有1人锻练时间少于1小时的概率．K2=【考点】：独立性检验．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）利用对立检验的表格法则，填写表格，可得x，y，利用公式求出得K2，推出有99.5%以上的把握认为“锻练时间与性别有关”．（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，得到抽取了锻练时间少于1小时2人，不少于1小时3人，分别记作A1、A2；B1、B2、B3．写出基本事件的情况，其至少有1人的锻练时间少于1小时的基本事件的情况，然后求解概率．【解析】：本题满分（12分）．解：（Ⅰ）x=15，y=20 …（2分）由已知数据得K2=≈8.333＞7.879…（4分）所以有99.5%以上的把握认为“锻练时间与性别有关”…（6分）（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，所以抽取了锻练时间少于1小时2人，不少于1小时3人，分别记作A1、A2；B1、B2、B3．从中任取2人的所有基本事件共10个：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A1，A2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）．…（8分）其中至少有1人的锻练时间少于1小时的基本事件有7个：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A1，A2）．…（10分）∴从中任取2人，至少有1人的锻练时间少于1小时的概率为．…（12分）【点评】：本题考查对立检验，古典概型的概率的求法，考查计算能力．18．（12分）已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=12，且a1，a2，a3+2成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=3n a n，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．【考点】：数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）设正项等差数列{a n}的公差为d，故d＞0．由a1，a2，a3+2成等比数列，可得=a1（a1+2d+2）．又S3=12=，联立解出即可．（Ⅱ）b n=2n•3n，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．【解析】：解：（Ⅰ）设正项等差数列{a n}的公差为d，故d＞0．∵a1，a2，a3+2成等比数列，则=a1（a3+2），即=a1（a1+2d+2）．又S3=12=，解得或（舍去），∴a n=2+（n﹣1）×2=2n．（Ⅱ）b n=2n•3n，∴T n=2×3+2×2×32+…+2n•3n，∴3T n=2×32+4×33+…+（2n﹣2）•3n+2n•3n+1，∴﹣2T n=2×3+2（32+33+…+3n）﹣2n×3n+1=﹣2n×3n+1=（1﹣2n）×3n+1﹣3，∴+．【点评】：本题主要考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”等基础知识；考查推理论证与运算求解能力，属于中档题．19．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别是a，b，c，若f（A）=2．C=，c=2，C=，f（A）=2，C=，c=2，求△ABC的面积．【考点】：正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：（Ⅰ）利用倍角公式可得：函数f（x）=，再利用正弦函数的单调性即可得出；（II）在△ABC中，由f（A）=2，可得A，利用正弦定理可得a，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解析】：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x==，由，解得，k∈Z．∴函数f（x）的单调递增区间是，k∈Z．（Ⅱ）∵在△ABC中，f（A）=2．C=，c=2，∴=2，化为=1，又0＜A＜π，∴A=．由据正弦定理可得：=，解得a=，∴B=π﹣A﹣C=．===．∴S△ABC==×=．【点评】：本题考查了倍角公式、三角函数的图象与性质、正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB=2，C是⊙O上一点，且AC=BC，∠PCA=45°，E是PC的中点，F是PB的中点，G为线段PA上（除点P外）的一个动点．（Ⅰ）求证：BC∥平面GEF；（Ⅱ）求证：BC⊥GE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PAC的体积．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（I）利用三角形中位线定理可得：EF∥CB，利用线面平行的判定定理即可证明：BC∥平面GEF．（Ⅱ）由PA⊥⊙O所在的平面，可得BC⊥PA，利用圆的直径的性质可得BC⊥AB，再利用线面垂直的判定定理与性质定理即可证明．（III）由（Ⅱ）知BC⊥平面PAC，再利用圆的性质、直角三角形的边角关系、三棱锥的体积计算公式即可得出．【解析】：（I）证明：∵E是PC的中点，F是PB的中点，∴EF∥CB，EF⊂平面GEF，点G不于点P重合，CB⊄平面GEF，∴BC∥平面GEF．（Ⅱ）证明：∵PA⊥⊙O所在的平面，BC⊂⊙O所在的平面，∴BC⊥PA，又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AB，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，∴GE⊂平面PAC，∴BC⊥GE．（III）解：在Rt△ABC中，AB=2，AB=CB，∴AB=BC=，∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PA⊥AC．∵∠PCA=45°，∴PA=，∴S△PAC==1，由（Ⅱ）知BC⊥平面PAC，∴V B﹣PAC==．【点评】：本题主要考查空间线线、线面的位置关系、体积的计算、圆的性质、直角三角形的边角关系等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短半轴长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知斜率为的直线l交椭圆C于两个不同点A，B，点M的坐标为（2，1），设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2．①若直线l过椭圆C的左顶点，求此时k1，k2的值；②试探究k1+k2是否为定值？并说明理由．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）通过椭圆的离心率以及，a2=b2+c2，求出a，b，即可求出椭圆C的方程．（Ⅱ）①若直线过椭圆的左顶点，写出直线的方程与椭圆联立方程，求出直线的斜率，推出结果．②k1+k2为定值，且k1+k2=0，证明如下：设直线在y轴上的截距为m，推出直线的方程，然后两条直线与椭圆联立，设A（x1，y1）．B（x2，y2），利用韦达定理以及判别式求出k1+k2，然后化简求解即可．【解析】：本题满分（12分）．解：（Ⅰ）由椭圆的离心率为，∴，又，a2=b2+c2，解得a2=8，b2=2，所以椭圆C的方程为．…（3分）（Ⅱ）①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是l：y=，联立方程组，解得或，故，．…（6分）②k1+k2为定值，且k1+k2=0．…（7分）证明如下：设直线在y轴上的截距为m，所以直线的方程为．由，得x2+2mx+2m2﹣4=0．当△=4m2﹣8m2+16＞0，即﹣2＜m＜2时，直线与椭圆交于两点…（8分）设A（x1，y1）．B（x2，y2），则x1+x2=﹣2m．…（9分）又，故=．…（10分）又，，所以（y1﹣1）（x2﹣2）+（y2﹣1）（x1﹣2）==x1•x2+（m﹣2）（x1+x2）﹣4（m﹣1）=2m2﹣4+（m﹣2）（﹣2m）﹣4（m﹣1）=0，故k1+k2=0．…（12分）【点评】：本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，分类讨论思想的应用．22．（14分）己知函数f（x）=xlnx﹣（a∈R），（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+b=0，求实数a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）≤0，求实数a取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）有两个不同的极值点分别为x1，x2求证：x1x2＞1．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求出原函数的导函数，利用函数在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+b=0列式求得a，b的值；（Ⅱ）把f（x）≤0恒成立转化为恒成立，构造函数，利用导数求其最大值得答案；（Ⅲ）利用函数f（x）在极值点处的导数等于0，得到ln（x1x2）=a（x1+x2）﹣2=．再把证x1x2＞1转化为证．令换元后再由导数证明．【解析】：（Ⅰ）解：由f（x）=xlnx﹣，得f′（x）=lnx﹣ax+1，∵切线方程为x+y+b=0，∴f′（1）=1﹣a=﹣1，即a=2．又，可得切点为（1，﹣1），代入切线方程得b=0；（Ⅱ）解：f（x）≤0恒成立等价于恒成立，即，设，则，当x∈（0，e）时，g′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0．∴当x=e时，，即；（Ⅲ）证明：若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，即f′（x1）=lnx1﹣ax1+1=0，f′（x2）=lnx2﹣ax2+1=0，即lnx1+lnx2﹣a（x1+x2）+2=0且lnx1﹣lnx2﹣a（x1﹣x2）=0．也就是ln（x1x2）=a（x1+x2）﹣2=．要证x1x2＞1，只要证＞0．即证，不妨设x1＞x2，只要证成立，即证．令，即证，令h（t）=lnt﹣，则．∴h（t）在（1，+∞）上是增函数，∴h（t）＞h（1）=0，原式得证．【点评】：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数的最值，重点考查了数学转化等数学思想方法，是压轴题．。
浙江省五校2025届高三下学期联合考试数学试题含解析
浙江省五校2025届高三下学期联合考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，()cos ,1b α=，且//a b ，则cos 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ） A ．13B ．223-C ．23-D ．13-2．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A ．54B ．55C ．102D ．1053．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．224．已知1111143579π≈-+-+-，如图是求π的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入A ．121i n =-- B ．12i i =-+ C ．(1)21ni n -=+D ．(1)2ni i -=+5．设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α； ③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β； ④若αβ⊥，l αβ=，//m α，m l ⊥，则m β⊥.其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④6．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．在等差数列{}n a 中，25a =-，5679a a a ++=，若3n nb a =（n *∈N ），则数列{}n b 的最大值是（ ） A ．3- B ．13- C ．1D ．38．如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．3-9．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b c a b+++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ） A．1⎛ ⎝⎭B．(C．1⎛ ⎝⎦ D．10．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''==O C ''=ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A ．83πB ．163πC ．(833)π+D ．(16312)π+11．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1ln6,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦12．数列{}n a 满足()*212n n n a a a n +++=∈N ，且1239a a a ++=，48a =，则5a =（ ）A ．212B ．9C ．172D ．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省泉州五中2015届高三5月模拟考试数学理试题
2015年泉州五中高三数学模拟考试理科数学本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据x1，x2， …，x n的标准差锥体体积公式s= V=Sh其中为样本平均数其中S为底面面积，h为高柱体体积公式球的表面积、体积公式V=Sh ，其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的共轭复数是A． B． C． D．2．“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．已知数列为递增等比数列，其前项和为．若，，则A． B． C． D．4．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径为2的圆，则这个几何体的表面积是A． B． C． D．5．已知满足，．若的最大值是最小值的4倍，则的值为A． B． C． D．6．执行如图所示的程序框图．若输出的结果为3，则可输入的实数的个数为A．1 B．2 C．3 D．4气温（）181310-1用电量（度）24343864７．若非零向量满足，，则与的夹角是A． B． C． D．8．已知的图像与直线的两个交点的最短距离是，要得到的图像，只需要把的图像A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位9．已知向量，与的夹角为．若向量满足，则的最大值是A． B． C．4 D．10．已知数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列．已知数列是正项等比数列，类比上述结论可得A．若满足，则也是等比数列B．若满足，则也是等比数列C．若满足，则也是等比数列D．若满足，则也是等比数列第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．二项式的展开式中常数项等于___________．12．某单位为了了解用电量度与气温之间的关系，随机统计了某四天的用电量与当天气温，列表如下：由表中数据得到回归直线方程．据此预测当气温为时，用电量为______（单位：度）．13．已知函数，是区间内任意两个实数，则事件发生的概率为___________．14．在中，为边上一点，若是等边三角形，且，则的面积的最大值为___________．15．若数列满足“对任意正整数，恒成立”，则称数列为“差非增数列”．给出下列数列：①，②，③，④，⑤．其中是“差非增数列”的有________（写出所有满足条件的数列的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. （本小题满分13分）已知向量，与共线．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．17. （本小题满分13分）某学习兴趣小组开展“学生语文成绩与英语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和英语成绩进行统计，按优秀和不优秀进行分类．记集合A={语文成绩优秀的学生}，B={英语成绩优秀的学生}．如果用表示有限集合M中元素的个数．已知,,,其中U表示800名学生组成的全集．（Ⅰ）是否有99．9%的把握认为“该校学生的语文成绩与英语成绩优秀与否有关系” ；（Ⅱ）将上述调查所得的频率视为概率，从该校高二年级的学生成绩中，有放回地随机抽取3次，记所抽取的成绩中，语文英语两科成绩中至少有一科优秀的人数为，求的分布列和数学期望．附：参考数据：18．（本小题满分13分）如图，是圆的直径，是圆上异于的一个动点，垂直于圆所在的平面，DC∥EB，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当三棱锥C-ADE体积最大时，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．19. （本小题满分13分）设椭圆C：的离心率，点M在椭圆C上，点M到椭圆C的两个焦点的距离之和是4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆的方程为，椭圆的方程为，则称椭圆是椭圆的倍相似椭圆．已知椭圆是椭圆C的3倍相似椭圆．若椭圆C的任意一条切线交椭圆于M,N两点，O为坐标原点，试研究当切线变化时面积的变化情况，并给予证明．20.（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）若在定义域内恒成立，求的取值范围；（Ⅱ）当取（Ⅰ）中的最大值时，求函数的最小值；（Ⅲ）证明不等式．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵，其中．若点在矩阵的变换下得到点．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若，求（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C的极坐标方程为．直线的参数方程为，曲线C与直线一个交点的横坐标为．（Ⅰ）求的值及曲线的参数方程；（Ⅱ）求曲线与直线相交所成的弦的弦长．（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知关于的不等式的解集为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时的值．2015年泉州五中高三数学模拟考试参考答案1~10 BACAC BBABD11. 70 12. 68 13. 14. 15. ③④16. 解：（Ⅰ），又∵ …5分（Ⅱ）…9分∵，当时，，当时， …13分17.解：（Ⅰ）由题意得列联表：语文优秀语文不优秀总计英语优秀60100160英语不优秀140500640总计200600800因为K2＝≈16.667＞10.828，所以有99.9％的把握认为“该校学生的语文成绩与英语成绩优秀与否有关系”． …6分（Ⅱ）由已知数据，语文、英语两科成绩至少一科为优秀的频率是．则X～B(3，)，P(X＝k)＝C()k()8－k，k＝0，1，2，3．X的分布列为X0123pE(X)＝3×＝． …13分18. 解：（Ⅰ）∵DC⊥面ABC，∴DC⊥BC，又∵AB是的直径，∴AC⊥BCAC∩DC=C，面ACD，∴BC⊥平面ACD又∵DC//EB，DC=E B，∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE//BC∴DE⊥平面ACD …5分（Ⅱ）当且仅当时取等号，∴当三棱锥C-ADE体积最大时，如图，以C为原点建立空间直角坐标系，则，设平面ADE的一个法向量，则，令得设平面ABE的一个法向量，，令得，∴当三棱锥C-ADE体积最大时，平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值为 …13分19. 解：（Ⅰ）依题意，∴椭圆C方程为： …3分（Ⅱ）依题意，椭圆C2方程为：当切线l的斜率存在时，设l的方程为：由得，由得设，则又点O到直线l的距离，∴当切线l的斜率不存在时，l的方程为，综上，当切线l变化时，面积为定值 …13分20. 解：（Ⅰ）的定义域是，当时，，递减，当时，，递增∴依题意得，，故的取值范围 …4分（Ⅱ）当时，，的定义域是，令由（Ⅰ）知，的最小值是递增，又时，，递减，当时，，递增，∴ …9分（Ⅲ）由（Ⅱ）得，时，，令，则…14分21.（1）(Ⅰ)由，得所以……3分(Ⅱ) ．令，得，．属于的一个特征向量，属于的一个特征向量，所以．．……7分（2）(Ⅰ)曲线的一般方程为，曲线的参数方程为（为参数）．……3分(Ⅱ)圆的圆心，圆心到直线距离，则所求弦长为．7分（3）(Ⅰ)依题意，方程的两个为1和2，所以所以……3分(Ⅱ)．由于柯西不等式得，，所以．当且仅当，即时，取得等号．所以当时，取得最大值．……7分。
江西省2015届高三数学5月大联考试题理(扫描版)
江西省2015届高三数学5月大联考试题理（扫描版）2015年5月份江西省大联考 理科数学试题参考答案评分说明：1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.2． 对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4． 只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题（每题5分）1. B2. B3. D4. C5. A6. C7. C8. A9. B 10. D 11. D 12. A 二、填空题（每题5分）13．2－2i 14．24x ＋y 2＝1 15. -2 16. 43三、解答题 17． 解：(Ⅰ)由ACA CB cos cos sin sin sin 2=-，可得AC A C A B sin cos cos sin cos sin 2=-，即B C A A C A C A B sin )sin(sin cos cos sin cos sin 2=+=+=.又0sin ≠B ，所以21cos =A ．由0πA <<可得π3A =. ⋯⋯6分（Ⅱ）由215-=⋅，可得2π115cos 322bc bc =-=-，15=∴bc ．又A bc c b a cos 2222-+=，且a =6，所以5122=+c b ． 则81)(2=+c b ，即9=+c b ． ⋯⋯12分18．（Ⅰ）证明：取PD 的中点E ，连接AE ，EF ，则EF ∥CD ，EF =12CD ．又AB ∥CD ，AB =12CD ，所以EF ∥AB ，EF =AB ，所以四边形ABFE 为平行四边形，所以BF ∥AE . 由侧面PAD 为正三角形，可得AE ⊥PD .由AB ∥CD ，CD AD ⊥，PA AB ⊥，可得CD ⊥平面PAD . ⋯⋯4分 所以CD ⊥AE ，所以AE ⊥平面PCD .所以BF ⊥平面PCD . ⋯⋯6分(Ⅱ)解：取AD 的中点O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，取BC 的中点G ，连接OG ．以点O 为坐标原点，OD ，OG ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 则A （-1,0,0），B （-1，2，0），C （1，4，0），P (0，0，3)．设平面APB 的法向量为111(,,)x y z =n ，则0,0,AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以1110,0.x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩取1x =1)=-n ；设平面PBC 的法向量为222(,,)x y z =m ，则0,0,PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m所以2222220,0.x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩取21x =，则(1,1,=-m ；则cos ,⋅<>==m n m n m n ， 所以二面角A PB C --的正弦值为105. ⋯⋯12分 19．解：(Ⅰ)由题意可知，若选甲题，则得0分、10分的概率均为0.5，0.5；若选乙题，则得5分、7分、8分、9分、10分的概率分别为0.2，0.1，0.4，0.1，0.2.⋯⋯2分又选择甲或乙题的概率均为12，故得分X 的分布列如下：0.05 ⋯⋯6分(Ⅱ)设A 同学选择方案一、二后的得分分别为,Y Z ，则,Y Z 的分布列分别为⋯⋯10分 故50.5100.57.5EY =⨯+⨯=；50.270.180.490.1100.27.8EZ =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 因此选择方案二更有利于A 同学取得更高的分数. ⋯⋯12分20. 解：（Ⅰ）设l ：x =my +1， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将x = my +1代入抛物线方程y 2=4x ，得y 2-4my -4=0. ⋯⋯2分 ∵Δ>0，∴y 1+ y 2= 4m ，y 1y 2=－4.则x 1+x 2=4m 2+2，x 1x 2=1.由MA MB ⋅=0可得x 1x 2+（x1+x 2）+ y 1y 2+1=0，∴m =0. 则l ：x =1，所以AB =4.⋯⋯6分（Ⅱ）由于∆ NFB 与∆ NFA 有公共底NF ，可得|FB |=2|FA |，由相似可得y 2=－2y 1由（Ⅰ）知y 1y 2= -2y 12=－4，∴12=y y ⎧⎪⎨-⎪⎩ 或12=y y ⎧-⎪⎨⎪⎩ ⋯⋯9分由y 1+y 2= -2= 4m ，得m = －24；或由y 1+y 2=2= 4m ，得m = 24.故直线l 的方程为4x ±2y -4＝0． ⋯⋯12分21．（Ⅰ）解：函数()ln 1(0)g x a x x x =-+>，则'()g x =1a a xx x--=． 当0a ≤时，'()0g x <,函数()g x 在定义域上单调递减； 当0a >时，由g '(x )<0得x a >，此时()g x 单调递减； 由g '(x )>0得0x a <<，此时()g x 单调递增； 综上，当0a ≤时，()g x 单调递增区间为（0，)∞+；当0a >时，函数()g x 的单调递增区间为(0,a )，单调递减区间为(a ,+∞).⋯⋯4分（Ⅱ）证明：()(1ln )f x x x =+，'()ln 2f x x =+． 因为对任意的)0(,2121x x x x <<总存在00>x ，使得12012()()'()f x f x f x x x -=-成立，所以12012()()ln 2f x f x x x x -+=-，即1122012ln ln ln 21x x x x x x x -+=+-.∴112202212ln ln ln ln 1ln x x x x x x x x x --=---11122112ln ln x x x x x x x x -+-=-11ln 121212--+=x x x x x x ． ⋯⋯9分 由(Ⅰ)得，当1a =时，()ln 10g x x x =-+≤，当且仅当1x =时，等号成立.2221111,ln 10x x xx x x >∴-+<． 又0112>-x x ，所以02ln ln 0x x -<，即02x x <． ⋯⋯12分选做题 22．（Ⅰ）直线PC 与圆O 相切． ⋯⋯1分证明：连接OC ，OD ，则∠OCE =∠ODE ．∵CD 是∠ACB 的平分线，∴AD ︵=BD ︵，∴∠B OD =90°，即∠OED +∠ODE =90°． ∵PC =PE ，∴∠PCE =∠PEC =∠OED ． ∴∠OCE +∠PCE =90°，即∠OCP =90°， ∴直线PC 与圆O 相切． ⋯⋯5分 （Ⅱ）解：因为AB =10，BC =6，∴AC =8．由CE 为∠ACB 的平分线，可得34==BC AC EB AE ， EB AE 34=∴，1037===+∴AB EB EB AE ，解得BE =307．⋯⋯10分23.解：(Ⅰ)曲线C 的普通方程为22x +y 2=1，其右焦点为（1，0），而直线l 过该点，所以直线l 与曲线C 相交. ⋯⋯5分(Ⅱ)将1,x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入椭圆方程22x +y 2=1得3t 2+22t -2=0，设A ，B 对应的参数为t 1，t 2,则t 1t 2=－23，∴|PA |⋅|PB |=23.由对称性可知，|PE |⋅|PF |＝23 .∴|PA |⋅|PB |＋|PE |⋅|PF |＝43． ⋯⋯10分24．解：（Ⅰ）∵|x +3|+|x +2|≥|(x +3)－(x +2)|=1， 当(x +3)(x +2)≤0，即-3≤x ≤－2时取等号，∴a +b +c ≤1，即a +b +c 的取值范围是（-∞，1]． ⋯⋯5分（Ⅱ）∵a+b+c最大值是1，∴取a+b+c=1时．∵a²+ b²+c²=(a+b+c)²-(2ab+2bc+2ca)≥1-2( a²+ b²+c²)，∴a²+ b²+c²≥13．⋯⋯10分。
福建省龙岩市2015届高三数学毕业班5月教学质量检查试题 理
龙岩市2015年高中毕业班教学质量检查数学〔理科〕试题本试卷分第1卷〔选择题〕和第2卷〔非选择题〕全卷总分为150分，考试时间120分钟须知事项：1．考生将自己的姓名、某某号与所有的答案均填写在答题卡上．2．答题要求见答题卡上的“填涂样例〞和“须知事项〞．第1卷〔选择题共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．集合{}1,2M=，{}2,3N=，{}|,,b NP x x a b a M==+∈∈，P中元素个数为A．2 B．3 C．4 D．52．复数z满足(43)25i z+=(i是虚数单位)，如此z的虚部为A．3-B．3C．35-D．353．假设双曲线22221(,0)x ya ba b-=>的渐近线方程为2y x=±A B．C．2D．4．向量(1,1),(2,),a b x==假设a b+与a b-平行，如此实数x的值是A．－2 B．0 C．2 D．15．如图给出的是计算1111124620142016+++++的值的程序框图，其中判断框内应填入的是A．2014?i≤B．2016?i≤C．2018?i≤D．2020?i≤6．某班有34位同学，座位号记为01,02,…34，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志〔第5题图〕愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，如此选出来的第4个志愿者的座号是49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06A ．23B ．09C ．02D ．167．等比数列{}n a 的各项均为正数，且299a a ⋅=，如此3132310log log log a a a +++＝A ．12B ．10C ．8D ．2＋3log 58．,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，如下命题为真命题的序号是 ①假设,,//,//l m l m ααββ⊂⊂，如此//αβ； ②假设,//,l l m αβαβ⊂=，如此//l m ；③假设//,//l ααβ,如此//l β；④假设,//,//l l m ααβ⊥，如此m β⊥． A ．①④ B ．①③ C ．②④ D ．②③9．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2220a b c ab +--=．假设ABC ∆的面，如此ab 的最小值为A ．24B ．12C ．6D ．410．假设对任意的正实数t ，函数33()()(ln )3f x x t x t ax =-+--在R 上都是增函数，如此实数a 的取值范围是A ．1(,]2-∞ B ． (,]2-∞ C ．(-∞ D ． (,2]-∞第2卷〔非选择题 共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每一小题4分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上.11．二项式8(2x +展开式中的常数项为 ．12．圆22:680C x y y +-+=，假设直线y kx =与圆C 相切，且切点在第二象限，如此实数k = ．13．假设不等式组2,0,360.y x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为M ，不等式y x ≥表示的平面区域为N ．现随机向区域M 内撒下一粒豆子，如此豆子落在区域N 内的概率为 ．14．函数())4f x x π=+，有如下四个结论： ①函数()f x 在区间3[,]88ππ-上是增函数：②点3(,0)8π是函数()f x 图象的一个对称中心；③函数()f x的图象可以由函数2y x =的图象向左平移4π得到；④假设[0,]2x π∈，如此函数()f x的值域为. 如此所有正确结论的序号是 ． 15．计算1211222(12)n n n n n n C C n C n --+⋅++⋅=+，可以采用以下方法：构造恒等式01222222(12)n n nnn n n n C C x C x C x x ++++=+，两边对x 求导，得1221122222(12)n n n n n n n C C x n C x n x --+⋅++⋅=+， 在上式中令1x =，得12111222(12)3n n n n n n n C C n C n n ---+⋅++⋅=+=⋅，类比上述计算方法，计算12222332222322n nn n n n C C C n C ++++=．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．〔本小题总分为13分〕甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲应聘成功的概率为49，乙、丙应聘成功的概率均为(03)3tt <<，且三人是否应聘成功是相互独立的． 〔Ⅰ〕假设甲、乙、丙都应聘成功的概率是1681，求t 的值；〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下，设ξ表示甲、乙两人中被聘用的人数，求ξ的数学期望．17．〔本小题总分为13分〕函数222(sin cos )1()cos sin x x f x x x +-=-，方程()f x =(0,)+∞上的解按从小到大的顺序排成数列{}n a (*)n N ∈．〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕设23(41)(32)nn a b n n =--，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 的表达式．18．〔本小题总分为13分〕如图1，直角梯形ABCD 中，//,90AB CD ABC ∠=︒,42==AB CD ，2=BC ．//AE BC 交CD 于点E ，点G ,H 分别在线段DA ,DE 上，且//GH AE . 将图1中的AED ∆沿AE 翻折，使平面ADE ⊥平面ABCE 〔如图2所示〕，连结BD 、CD ，AC 、BE . 〔Ⅰ〕求证：平面⊥DAC 平面DEB ；〔Ⅱ〕当三棱锥GHE B -的体积最大时，求直线BG 与平面BCD 所成角的正弦值．19．〔本小题总分为13分〕动圆Q 过定点(2,0)A 且与y 轴截得的弦MN 的长为4．H E G D C BA图1 图2〔第18题图〕ABCG E HD〔Ⅰ〕求动圆圆心Q 的轨迹C 的方程；〔Ⅱ〕点(2,1)P -，动直线l 和坐标轴不垂直，且与轨迹C 相交于B A ,两点，试问：在x 轴上是否存在一定点G ，使直线l 过点G ，且使得直线PA ,PG ，PB 的斜率依次成等差数列？假设存在，请求出定点G 的坐标；否如此，请说明理由．20．〔本小题总分为14分〕函数()(sin cos )x f x e x x a =++，2()(10)xg x a a e =-+〔a R ∈且a 为常数〕．〔Ⅰ〕假设曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线过点(1,2)，求实数a 的值；〔Ⅱ〕假设存在实数1x ，2[0,]x π∈，使得221()()13g x f x e π<+-成立，求实数a 的取值范围；〔Ⅲ〕判断函数222(1)()1()1(1)(10)b e g x x lnx b a a e x x ϕ+=-++>-+在(0,)+∞上的零点个数，并说明理由．21．〔本小题总分为14分〕此题设有〔1〕、〔2〕、〔3〕三个选答题，每一小题7分，请考生任选2个小题作答，总分为14分．如果多做，如此按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． 〔1〕线性变换1T 是按逆时针方向旋转90︒的旋转变换，其对应的矩阵为M ，线性变换2T ：'2'3x xy y =⎧⎨=⎩对应的矩阵为N ．〔Ⅰ〕写出矩阵M 、N ；〔Ⅱ〕假设直线l 在矩阵NM 对应的变换作用下得到方程为y x =的直线，求直线l 的方程．〔2〕曲线C 的方程为22145x y +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ-=．〔Ⅰ〕求直线l的直角坐标方程；〔Ⅱ〕M是曲线C上任意一点，求点M到直线l距离的最小值．〔3〕函数()|2|3 f x x=--．〔Ⅰ〕假设()0f x<，求x的取值范围；〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下，求()g x=的最大值．龙岩市2015年高中毕业班教学质量检查数学〔理科〕参考答案与评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细如此．二、对计算题，当考生的解答在某一局部解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继局部的给分，但不得超过该局部正确解答应给分数的一半；如果后继局部的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：此题考查根底知识和根本运算，每一小题5分，总分为50分．1-5 BAACB 6-10 DBCDA二、填空题：此题考查根底知识和根本运算，每一小题4分，总分为20分．11．7 12．-13．3414．①②15．22(21)3nn n-+三、解答题：本大题共6小题，总分为80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.〔本小题总分为13分〕解：〔Ⅰ〕依题意41693381t t ⨯⨯=, …………………………………………3分所以2t =. ……………………………………………………6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得乙应聘成功的概率均为23, …………………………7分ξ的可能取值为0,1,2 ………………………………………8分428(2)9327P ξ==⋅=， 415214(1)939327P ξ==⋅+⋅=，515(0)9327P ξ==⋅=， ……………………………………………………12分所以81453010210272727279E ξ=⨯+⨯+⨯==. ……………………………13分17.〔本小题总分为13分〕解：〔Ⅰ〕222(sin cos )12sin cos sin 2()tan 2cos sin cos 2cos 2x x x x x f x x x x x x +-====-, …………2分由()f x =0x >得2,3x k ππ=+∴()26k x k Z ππ=+∈………4分方程()f x (0,)+∞的解从小到大依次排列构成首项为6π，公差为2π的等差数列∴(32)(1)626n n a n πππ-=+-=. ………………6分〔Ⅱ〕23(32)(41)(32)62(21)(21)n n b n n n n ππ-=⋅=---+…………………8分111()42121n n π=--+， ……………………………………………10分111111(1)()()(1)4335212142142n n S n n n n πππ⎡⎤=-+-++-=-=⎢⎥-+++⎣⎦.………………………13分 18.〔本小题总分为13分〕解：〔Ⅰ〕∵CD AB //，，42==AB CD 又BC AE //交CD 于点E .∴四边形ABCE 是边长为2的正方形 ………………………1分 ∴BE AC ⊥，AE DE ⊥. 又∵平面ADE ABCE ⊥平面 平面ADEABCE AE =平面∴DE ABCE ⊥平面………………………3分∵AC ABCE ⊂平面，∴DE AC ⊥……………………4分 又E BE DE =∴AC DBE ⊥平面………………………5分 ∵∴平面DAC DEB ⊥平面………………………6分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知DE ABCE ⊥平面，EC AE ⊥以E 为原点，ED EC EA ,,的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系. ………………………7分 如此)0,0,2(A ，)0,2,2(B ，(0,2,0)C ，)2,0,0(D 设x EH =，如此x DH GH -==2〔20<<x 〕 ∵CE AB //，∴DAE AB 面⊥…………………8分∴2)]2(21[3131⨯-=⋅=∆-x x AB S V GHE GHE B]1)1([31)2(3122+--=+-=x x x ………………………9分∵20<<x ，∴1=x 时，三棱锥GHE B -体积最大，此时，H 为ED 中点. ∵AE GH //，∴G 也是AD 的中点，∴)1,0,1(G ，)1,2,1(--=BG .…10分 设),,(z y x n =是面BCD 的法向量.如此⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅=⋅=-=-⋅=⋅022)2,2,0(),,(02)0,0,2(),,(z y z y x DC n x z y x BC n令1=y ，得)1,1,0(=n ………………………11分 设BG 与面BCD 所成角为θ如此|||0sin ||||BG n BG n θ⋅-===∴BG 与平面BCD 所成角的正弦值为.………………………13分19.〔本小题总分为13分〕解：〔Ⅰ〕设(,)Q x y = …………2分 整理得24y x =，所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是24y x =. ………4分 〔Ⅱ〕设存在符合题意的定点G .设直线的方程为(0x ny m n =+≠且)n R ∈，如此(,0)G m . …………5分将x m ny =+代入24y x =，整理得2440y ny m --=.由题意得216160n m ∆=+>，即20n m +>.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，如此124y y n+=，124y y m⋅=-，11112211114(1)2824PA y y y k y x y ---===+++，2224(1)8PB y k y -=+，1122PG k m m ==---+， 由题意得2PA PB PGk k k +=，即20PA PB PG k k k +-=,所以1222122(1)2(1)10882y y y y m --++=+++， ……………………7分即221212*********(2)()16(2)()2[()2](2)()320m y y y y m y y y y y y m y y m +++++++--+-=……………9分 把124y y n+=，124y y m⋅=-代入上式，整理得(2)(2)(2)m n m m -=+-， ………11分又因为n R ∈，所以(2)(2)020m m m +-=⎧⎨-=⎩，解得2m =所以存在符合题意的定点G ，且点G 的坐标为(2,0). …………………13分 20.〔本小题总分为14分〕解：〔Ⅰ〕()(sin cos )(cos sin )x x f x e x x e x x '=++-=2cos x e x ，又曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线过点(1,2),得(0)f '=(0)201f --， …3分即21a =-，解得1a =-…………………………………………4分〔Ⅱ〕存在实数1x ，2[0,]x π∈，使得221()()13g x f x e π<+-成立，即2min ()()13g x f x e π<+-max ………………………………5分由〔Ⅰ〕知()2cos 0x f x e x '==在x [0,]π∈上的解为2x π=，函数()f x 在0,)2π（ 上递增，在(,2ππ）上递减2max ()()2f x f e aππ==+…………………………………7分又2100a a -+>恒成立，2()(10)x g x a a e =-+在[0,]π上递增，2()(0)10g x g a a ==-+min ， ……………………………8分 故2221013a a e a e ππ-+<++-，得2230a a --<，所以实数a 的取值范围是(1,3)-………………………………9分 〔Ⅲ〕由222(1)()1()1ln 0(10)b e g x x x a a xe x ϕ+=-++=-+(0)x >得 22(1)e 11ln 0x b e x xe x +-++=，化为22(1)e 1ln xb e x x x e +=--， ……10分令()1ln h x x x x =--，如此()2ln h x x '=--由()2ln 0h x x '=--=，得2x e -=，故()h x 在21(0,)e 上递增，在21(,)e +∞上递减，2211()()1h x h e e ==+max . …………………………………………12分 再令222(1)e 1()(1)x x b e t x b e e e +==+，因为1b >，所以函数21()(1)x t x b e e =+在(0,)+∞上递增，0222111()t(0)(1)(1)1t x b e b e e e >=+=+>+. …………………………13分 知max ()()t x h x >，由此判断函数()x ϕ在(0,)+∞上没有零点，故()x ϕ零点个数为0. ………………14分21.〔本小题总分为14分〕解：〔1〕〔Ⅰ〕0110M -⎛⎫= ⎪⎝⎭， ……………………………2分 2003N ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ……………………………3分〔Ⅱ〕0230NM -⎛⎫= ⎪⎝⎭, ……………………………………4分 由02'30'x x y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得2'3'y x x y -=⎧⎨=⎩, ……………………………5分 由题意得''y x =得32x y =-，所以直线l 的方程为320x y +=. ……7分〔2〕〔Ⅰ〕由cos()4πρθ-=得40x y +-=， ………………2分 ∴直线l 的直角坐标方程为40x y +-=. ………………………3分〔Ⅱ〕设(2cos )M θθ，M 到l 的距离为d ,如此d ===其中2cos ,sin 3ϕϕ==, ………………………5分 当cos()1θϕ-=时，d有最小值,∴M 到直线l的距离的最小值为2. ……………7分〔3〕〔Ⅰ〕由()02332315f x x x x <⇔-<⇔-<-<⇔-<<， ………2分 所以x 的取值范围是(1,5)-. ……………………………3分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知()g x =,由柯西不等式22222(34]++≥………………5分所以()g x ≤=当且仅当=即25x =-时，()g x取最大值 ……7分。
福建省三明市五县2023-2024学年高二上学期期中联合质检考试数学试卷
2023-2024学年第一学期五县联合质检考试高二数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项符合题目要求）．若((1,2,,1,3,2a b =--=-()()a b a b +⋅-=（ ）4.已知四棱锥ABCD P -中，,2=PA ⊥PA 平面ABCD ,且四边形ABCD 是边长为2的正方，使MBN 为等边三角形分，每题有多项符合题目要求）10.下列说法正确的是( )A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B. 直线l 的方向向量()1,1,0-=a ，平面α的法向量()1,1,1--=n ，则α⊥lC. 已知直线l 经过点()()0,1,0,1,3,2B A ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛2,3,23P 到l 的距离为25D. 若0a b ⋅<，则,a b 为钝角11. 已知直线12:+=x y l 被椭圆()2012:22<<=+m my x C 截得的弦长为958，则下 列直线中被椭圆C 截得的弦长一定有958的有（ ） A ．22-=x y B.12--=x y C.12+-=x y D.12-=x y三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分已用(1,2,1a =-，(2,2,4b =--则b 在a 方向上的投影向量为14. 直线l 交椭圆1222=+y x 于B A ,两点，且B A ,的中点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1M ，则l 的方程为 . 15．已知两定点()()1,2,2,0B A ，且点P 是直线01=-+y x 上任意一点，则PB PA +的最小值是 .16.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，焦点()1,0F c -，()()2,00F c c >，若过1F 的直线和圆22212x c y c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与椭圆的第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 ．三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆的顶点()1,5A ，边AB 上的中线CM 所在的直线方程为052=--y x ，边AC 上的高BH 所在的直线方程为052=--y x .求：（1）直线AC 的一般式方程；（2）求ABC ∆的边AB 的长.19．如图，在空间四边形OABC 中，2BD DC =，点E 为AD 的中点，设OA a =，OB b =，OC c =．(1)试用向量,,a b c 表示向量OE ；(2)若 602=∠=∠=∠===AOB BOC AOC OC OB OA ，，求直线21.如图，正三角形ABE 与菱形ABCD 所在的平面互相垂直，2AB =，60ABC ∠=︒，M 是AB 的中点．（1）求平面ABE 与平面BEC 所成的角的余弦值；（2）在线段EC 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面ABE 所成的角为45︒，若存在，求出EP EC的值；若不存在，说明理由．()OC t OA OB =+，求四边形。
2025届高三上学期8月入学摸底联合测评考试数学试卷解析版
2025届高三上学期8月入学摸底联合测评考试数学试卷解析版注意事项：1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．能正确表示图中阴影部分的是（）A．1 B．2 C．-1 D．-2A．42 B．120 C．168 D．210A ．14种B ．18种C ．12种D ．7种【答案】A【详解】从3名男剅师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，共有2252C A =20（种），没有女厨师被选中的选法共有2232C A 6=（种），故至少有1名女厨师被选中的不同选法有20614−=（种）. 故选：A.A ．αβγ≤≤B ．αγβ≤≤C ．γαβ≤≤D ．γβα≤≤【答案】D【详解】解：如图，取ABCD 中心,O AB 中点,F 连接OF ，使得,OF EG OG EF ∥∥， 由题可知SEG α=∠，SFO β=∠，SEO γ=∠，且α，β，γ均为锐角， 由于SO ⊥平面ABCD ，EG ⊂平面ABCD ，所以SO EG ⊥,又EG GO ⊥,,,SO GO O SO GO ∩=⊂平面SOG ， 所以EG ⊥平面SOG ，SG ⊂平面SOG ，故EG SG ⊥,A ．()00f =B ．()f x 为偶函数C ．()1f x +为奇函数D ．()202410i f i ==∑【答案】BCD【详解】A 中：令2xy ==，得()()()()2220f f f f +=−，又()220f =≠，所以()02f =−，故A 不选； B 中：令y x =−得，()()()()()02f x f x f x f f x +−=−=，所以()()f x f x −=，而()f x 的定义域是全体实数，所以()f x 为偶函数，故B 选；C 中：令2,0x y ==，得()()()22010f f f +=−=，所以()10f =，且FF (1,0),2:3OA y x =，①当MP 经过抛物线E 的焦点在24y x =中，令1x =，得y 又因为BM BN <，则(1,M。