高数四导数与微分2
高中物理课件-高数第二章-导数与微分--课件
例2．已知 f x0 存在，求
lim f x0 ah f x0 bh
h0
h
3、导数的意义
函数 y f x在点x0 处的导数f x0
是因变量 y在点x0处的变化率,它反
映了 在点x0 处因变量随自变量的变
化而变化的快慢程度。
（二）导函数
1、定义：如果函数 y f x 在开区间
四、基本求导法则与导数公式
(一)常数和基本初等函数的导数公式
1. C 0
2. x x1
3. sin x cos x
4. cos x sin x
5. ta n x sec2 x 6. cot x csc2 x
7. sec x sec x tan x 8. csc x csc x cot x
则
k0
lim xx0
f
x f x0 就是曲线C
x x0
在 M0 x0, y0 点处切线的斜率。
二、导数的定义 (一)函数在一点处的导数
1、定义：设函数 y f x在点x0的某个
邻域内有定义,当自变量 x在x0 处取得
增量 x（点 x0
时 , 相应地函数
x 仍在该邻域内）
y 取得增量
chx shx
thx
1 ch2
x
arshx 1 archx 1
1 x2
x2 1
arthx
1
1 x2
例18．求
y cos x2 sin 1 arctan thx x
的导数。
例19．
y sin nxsinn xn为常数，求y
§2-3 高阶导数
（一）二阶导数
1、定义：把 y f x 的导数叫做函数
x xx0 x0
高数第四~第五章
第四章 导数与微分一、教学要求1.记住导数的定义式，理解导数的几何意义，会求曲线)(x f y =上某点的切线方程和法线方程。
导数的定义 xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim)(00000如果记x x x =∆+0，则上式可写为00)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→ 或记x h ∆=，则h x f h x f x f h )()(lim )(0000-+='→ 导数的几何意义)(x f y =在0x 点的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在点),(00y x M 处切线的斜率。
所以)(x f y =在),(00y x 处的切线方程为 ))((000x x x f y y -'=- 法线方程为)()(1000x x x f y y -'-=- 2.了解函数在某点可导、可微、连续的关系。
函数)(x f y =在点0x 可微、可导、连续的关系可导 可微连续如判断题：函数)(x f y =在点0x x =处不连续，则函数)(x f y =在点0x x =处不可导.（对） 又如：函数)(x f y =在点0x x =可导，则函数)(x f y =在点0x x =必连续3.熟记基本导数公式和基本微分公式，掌握函数的求导方法（导数的四则运算法则、复合函数求导法、隐函数求导法、对数求导法、并能求出二阶导数，隐函数要求能求一阶导），掌握微分的四则运算法则，复合函数微分法则（微分形式的不变性），会求函数的微分。
二、例题例1设函数)(x f y =在点0x x =处可导，且2)(0='x f ，则=∆-∆+→∆xx f x x f x )()2(lim000?解 =∆-∆+→∆x x f x x f x )()2(lim000xx f x x f x ∆-∆+→2)()2(lim 20004)(20='=x f例2求曲线1+=x e y 在点),0(e 处的切线方程。
《高数数学(上)》-导数与微分
解 （1）根据导数定义并运用极限的运算法则
u(x)v(x) lim u(x x)v(x x) u(x)v(x)
x0
x
u(x x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x)
定理2.1
函数f (x)在x0 处可导的充要条件是左、右导数都存在
且相等.
7
一、 导数的定义
例 1 若函数f (x)在x=0 处连续，且 lim f (x) 存在， x0 x
证明f (x)在x=0 处可导.
证法一
设 lim f (x) A(A为常数)，则 x0 x
lim f (x) lim x f (x) 0 A 0，
证 若函数y f (x)在x0 处可导，由导数的定义可得
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
f (x0 )，所以利用函数极限与无穷小之间的
关系可得
f (x) f (x0 ) x x0
f
( x0
)
，lim x x0
0，即
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) (x x0 )
x
所以k 1 时，f (x) 在 x 0 处可导. 2
12
本讲内容
01 导数的定义 02 导数的几何意义 03 可导与连续的关系
二、 导数的几何意义
几何意义
若函数 f (x)在x x0 处可导，f (x0 ) 是曲线 y f (x) 在点 (x0 , f (x0 )) 处切线的斜率.
x0
安徽专升本 高数讲义 第二章导数与微分第四讲
4
(2) y x e x x e x
e x xe x 1 x e x
y 1 x e x 1 x e x
e x (1 x )e x 2 x e x
(3) y arctan x
x
y e x sin( x y ) x
x x y e y e cos( x y ) x y 1
y e x y e x cos( x y) x y 1
y e x y e x cos( x y ) y cos( x y ) 1
1 1 x2 2 2 2 2 1 x (1 x ) (1 x 2 ) 2
2. 设
y a0 x n a1 x n 1 a2 x n 2 an , 求y ( n ) .
解 y' na0 x n 1 (n 1)a1 x n 2 (n 2)a2 x n 3 an 1 ,
y 0 2e0 cos0 2
作
业
一、计算下列各函数的二阶导数：
1. 2 x3 x 4 y x
2. y x arctan x
1 1 1 3. y x 3 3 3 1 3 x 3 3 x 3 9 x 二、计算下列各函数的n 阶导数：
可导，并且：
y f ( u( x )) f ( u) u( x )
隐含数求导法则:
（ 1） 方程两边关于 x 求导，求导过程中把 y 看作
中间变量，得到一个关于 y的方程。
(2) 从上述方程中解出 y
大学高数知识点
大学高数知识点高等数学是大学数理基础课程之一，具有极高的学习难度和重要性。
下面将介绍一些大学高数的重要知识点。
第一个知识点是函数。
函数是一种描述自变量和因变量之间关系的数学工具。
在高等数学中，我们将函数理解为一个集合，该集合中的每个元素都与另一个集合中的元素存在且仅存在一对一的关系。
函数具有诸多特征，如定义域、值域、奇偶性、周期性等。
熟练掌握函数的相关概念和性质是理解高等数学的基础。
第二个知识点是极限。
极限是函数的重要性质之一，可以描述函数在某个点附近的趋势。
极限可以有无穷个，如左极限、右极限、无穷大极限等。
熟练掌握极限的概念、计算方法和性质，对于后续学习微积分等数学分支非常关键。
第三个知识点是导数。
导数是函数的变化率，可以描述函数在某一点的斜率。
导数具有多种计算方法，如基础的求导法则、复合函数求导法则、隐函数求导法则等。
导数具有很多重要的性质，如极值点、拐点等。
掌握导数的计算方法和性质，对于理解函数的变化规律和应用具有重要意义。
第四个知识点是微分。
微分是导数的一个重要应用，可以用来对函数进行近似估计。
微分具有多种应用场景，如求函数的最值、判断函数的变化趋势等。
熟练掌握微分的计算方法和应用，对于解决实际问题起到了至关重要的作用。
第五个知识点是积分。
积分是导数的逆运算，可以求函数的原函数。
积分也是求曲线面积、求定积分等重要工具。
积分具有多种方法，如不定积分、定积分、换元积分等。
熟练掌握积分的计算方法和应用，对于解决实际问题具有重要意义。
以上介绍了一些大学高等数学的重要知识点，包括函数、极限、导数、微分和积分等。
这些知识点构成了数学分析的基础，对于进一步学习微积分、线性代数、概率论等数学分支非常重要。
在学习高等数学的过程中，不仅需要理论的掌握，还需要进行大量的习题训练，加深对知识点的理解和应用能力的培养。
通过系统学习和深入理解这些重要知识点，可以为今后的学习和研究打下坚实的数学基础。
大一高数上所有知识点总结
大一高数上所有知识点总结一、函数与极限1. 函数的概念与性质1.1 函数的定义1.2 函数的性质2. 极限的概念与性质2.1 极限的定义2.2 极限存在的充分条件2.3 极限的性质及四则运算法则3. 无穷小量与无穷大量3.1 无穷小量的概念与性质3.2 无穷大量的概念与性质4. 极限的计算4.1 用夹逼准则求极限4.2 用无穷小量比较求极限4.3 用洛必达法则求极限4.4 用泰勒公式求极限二、导数与微分1. 导数的概念与求导法则1.1 导数的概念1.2 导数的计算与求导法则1.3 隐函数的导数1.4 高阶导数2. 函数的微分与高阶导数2.1 函数的微分2.3 高阶导数的概念与计算3. 函数的增减性与凹凸性3.1 函数的单调性3.2 函数的最值与最值存在条件3.3 函数的凹凸性及拐点三、函数的应用1. 泰勒公式在误差估计中的应用2. 函数的极值及其应用3. 函数的图形与曲线的切线方程4. 收敛性与闭区间紧性的概念及应用四、不定积分1. 不定积分的概念与性质1.1 不定积分的定义1.2 不定积分的性质1.3 不定积分的基本公式2. 不定积分的计算2.1 一些特殊函数的不定积分2.2 有理函数的不定积分2.3 有理三角函数的不定积分2.4 特殊的不定积分解法五、定积分1. 定积分的概念与性质1.1 定积分的定义1.2 定积分的性质2. 定积分的几何应用2.1 定积分与曲线下面积2.2 定积分与旋转体的体积计算2.3 定积分与空间几何体的体积计算六、微分方程1. 微分方程的概念与基本性质1.1 微分方程的定义1.2 微分方程的基本性质2. 常微分方程的解法2.1 一阶微分方程的解法2.2 二阶微分方程的解法2.3 高阶微分方程的解法3. 微分方程在物理问题中的应用3.1 弹簧振动问题3.2 电路的动态特性问题3.3 理想气体的状态方程问题七、多元函数微积分1. 多元函数的概念与性质1.1 多元函数的定义1.2 多元函数的导数与偏导数1.3 多元函数的微分2. 多元函数的极值与条件极值2.1 多元函数的极值点2.2 多元函数的条件极值点3. 二重积分与三重积分3.1 二重积分的概念与性质3.2 二重积分的计算3.3 三重积分的概念与性质3.4 三重积分的计算4. 重积分在几何与物理中的应用4.1 重积分与平面图形的面积计算4.2 重积分与曲面旋转体的体积计算4.3 重积分与空间物体的质量与重心计算八、无穷级数1. 数项级数的概念与性质1.1 数项级数的概念1.2 数项级数收敛的充分条件1.3 数项级数的审敛法2. 幂级数2.1 幂级数的概念与性质2.2 幂级数的收敛域2.3 幂级数在收敛域上的一致收敛性3. 函数项级数3.1 函数项级数的概念与性质3.2 函数项级数收敛的判别法3.3 函数项级数的一致收敛性以上是大一高数的知识点总结，总结了函数与极限、导数与微分、函数的应用、不定积分、定积分、微分方程、多元函数微积分、无穷级数等内容。
高等数学导数微分学习辅导及公式总结
高等数学（1）学习辅导（三）第三章 导数与微分导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。
在学习的时候要侧重以下几点：⒈理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。
)(x f 在点0x x =处可导是指极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000存在，且该点处的导数就是这个极限的值。
导数的定义式还可写成极限0)()(limx x x f x f x x --→函数)(x f 在点0x x =处的导数)(0x f '的几何意义是曲线)(x f y =上点))(,(00x f x 处切线的斜率。
曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为)())((000x f x x x f y +-'=函数)(x f y =在0x 点可导，则在0x 点连续。
反之则不然，函数)(x f y =在0x 点连续，在0x 点不一定可导。
⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。
⒊熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法 （1）导数的四则运算法则 （2）复合函数求导法则 （3）隐函数求导方法 （4）对数求导方法（5）参数表示的函数的求导法正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法， 例如函数xx y 2)1(-=，求y '。
在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。
如果我们把函数先进行变形，即21212322212)1(-+-=+-=-=xx x xx x xx y再用导数的加法法则计算其导数，于是有2321212123----='x x x y这样计算不但简单而且不易出错。
又例如函数321-+=x x y ，求y '。
显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得)2ln(31)1ln(21ln --+=x x y 两端求导得)2(31)1(21--+='x x y y 整理后便可得)2(682123---⋅-+='x x x x x y若函数由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕψ 的形式给出，则有导数公式)()(d d t t x y ϕψ''=能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。
经典-高数第2章：导数与微分
1 y 1 x 1 1 x 1 2 x 4 1
y x 1
3(x 1)
x4
y
(x 1) 3 x 1 (x 4)2 ex
1 x 1
1 3(x 1)
x
2
4
1
隐函数的导数
设 y xsinx ( x 0), 求y.
导 即有如下的关系式
可微
可导
连续
有极限
微分与导数间的计算转换方法
重点）
可导是指
lim y x0 x
存在.
说明函数的连续性，因为式中有除以Δ x，
反应的是变化的快慢，几何意义表示切线
的斜率
可微是函数值的变化增量，Δ y可以表达 为A·Δ x+o(Δ x)，解决的是函数的变化 增量，微分表示函数值的增量结果，可间
联系
可微必可导，可导必连续，连续有极限 但是，有极限不一定连续，连续不一定可
x
当Δ x足够小时，dy与Δ y相差很小，切线段MP 可近似的代替曲线段MN（以直代曲）
微分
微分的理解
A是与Δ x无关的常数，但却与f(x)与x0有 关。实际上，A为f(x)在x0处的导数值。
由刚才的几何意义，当Δ x很小时， Δ y≈dy（这样就可以近似计算较复杂函 数的改变量）
可微与可导的区别与联系（理解
注意：此导数为一函数。在某一点的导数 是一个值。
f (x0 )可以看作导函数f (x) 在x0的函数值，
即 f '(x0 ) f '(x) xx0 . 有下标特别指
明在某点x0
导数的几何意义
高等数学系列教材目录
高等数学系列教材目录第一册：微积分基础1.数集与函数1.1 数集的表示与运算1.2 函数的定义与性质1.3 常用函数及其图像2.极限与连续2.1 数列与极限2.2 函数的极限2.3 连续函数与间断点3.导数与微分3.1 导数的定义与计算3.2 微分的概念与应用3.3 高阶导数与高阶微分4.一元函数的应用4.1 函数的单调性与极值4.2 函数的凹凸性与拐点4.3 泰勒公式及其应用第二册：多元函数微积分1.二元函数与偏导数1.1 二元函数的定义与性质1.2 偏导数与全微分1.3 隐函数与参数方程求导2.多元函数的极值与条件极值2.1 多元函数的极值2.2 隐函数极值与参数方程极值2.3 条件极值与拉格朗日乘子法3.重积分3.1 二重积分的计算3.2 三重积分的计算3.3 积分次序与坐标变换4.曲线与曲面积分4.1 曲线积分的计算4.2 曲面积分的计算4.3 斯托克斯定理与高斯公式第三册：级数与常微分方程1.级数的收敛性与性质1.1 数项级数的概念与性质1.2 正项级数的审敛法1.3 交错级数与绝对收敛2.幂级数与函数展开2.1 幂级数的收敛域与收敛半径 2.2 幂级数的运算与逐项求导2.3 函数的泰勒级数展开3.常微分方程基础3.1 微分方程的基本概念3.2 一阶线性微分方程3.3 高阶线性微分方程4.常微分方程应用4.1 古典物理问题的建模与求解 4.2 生物、经济与工程领域的应用4.3 相图与稳定性分析第四册：向量与解析几何1.向量代数基础1.1 向量的定义与运算1.2 向量的线性相关性与线性无关性1.3 向量的内积与外积2.空间直线与平面2.1 三维空间的点、直线与平面2.2 直线的方向向量与法向量2.3 空间直线与平面的位置关系3.空间曲线与曲面3.1 曲面的参数方程与一阶偏导数 3.2 流形与曲率3.3 空间曲线、曲面与切线法向第五册：数学分析基础1.度量空间与拓扑1.1 度量空间的定义与性质1.2 拓扑空间的概念与特征1.3 开集、闭集与连通性2.泛函分析2.1 功能空间与泛函空间2.2 线性算子与线性泛函2.3 无穷维空间与紧性理论3.微分流形3.1 流形的定义与性质3.2 曲线与曲面的切空间3.3 切向量场与流形上的积分4.测度论基础4.1 测度空间的定义与测度函数4.2 测度的可测性与测度的完备性4.3 测度函数与积分运算这是《高等数学系列教材》的目录，详细介绍了每一册的章节内容。
高数常用求导公式24个
高数常用求导公式24个摘要：一、导数的概念与求导的基本方法1.导数的概念2.求导的基本方法a.幂函数求导b.三角函数求导c.指数函数与对数函数求导d.反三角函数求导e.复合函数求导f.隐函数求导g.参数方程求导h.微分求导二、高数常用求导公式1.和差求导公式2.积求导公式3.商求导公式4.链式法则5.三角函数求导公式6.指数函数与对数函数求导公式7.反三角函数求导公式8.复合函数求导公式9.隐函数求导公式10.参数方程求导公式11.微分求导公式三、求导在高数中的应用1.求极值2.求拐点3.求曲率4.求泰勒级数正文：一、导数的概念与求导的基本方法导数是微积分中的一个重要概念，它表示函数在某一点的变化率。
求导是微积分的基础，通过求导可以研究函数的极值、拐点等性质。
求导的基本方法包括幂函数求导、三角函数求导、指数函数与对数函数求导、反三角函数求导、复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导和微分求导等。
二、高数常用求导公式在高数求导过程中，会经常遇到一些常用的求导公式。
这些公式包括和差求导公式、积求导公式、商求导公式、链式法则、三角函数求导公式、指数函数与对数函数求导公式、反三角函数求导公式、复合函数求导公式、隐函数求导公式、参数方程求导公式和微分求导公式等。
掌握这些公式有助于提高求导的效率和准确性。
三、求导在高数中的应用求导在高等数学中有着广泛的应用，如求函数的极值、拐点，计算函数的曲率，研究函数的泰勒级数等。
此外，求导在物理学、工程学等领域也有着重要的实际应用。
2021考研-高数0基础课-第2章导数与微分-第4节隐函数及参数方程求导
求摆线在
处的切线方程与法线方程。
三、相关变化率
例7 设有一个倒置的圆锥形容器,其底面圆直径为10cm,高为5cm,
现以每秒
给容器中加水.试求
秒时水面上升的速率.
内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 :
适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
3. 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导
4. 相关变化率问题
1）列出依赖于 t 的相关变量关系式 2）等式两端对 t 求导
作业 P108：2；3(3)(4)；4(1)(3)；8(3)(4)；11.
第二章 导数与微分
第四节 隐函数及由参 数方程确定的函数的导数
主讲 武忠祥 教授
一、隐函数的导数 显函数： 隐函数：
一般的 例1 求由方程
确定的隐函数
的导数.
例2 设
由
所确定，求
例3 设
求.
例4 设
求.
二、由参数方程所确定的函数的导数
定理 设
在
上可导，
，则
若
二阶可导，则
例5 设
求
例6 已知摆线（旋轮线）的参数方程为
高数常用求导公式24个
高数常用求导公式24个
摘要：
一、导数的基本概念与性质
1.导数的定义
2.导数的几何意义
3.导数的四则运算
二、常见函数的导数公式
1.幂函数
2.三角函数
3.指数函数与对数函数
4.反三角函数
5.复合函数
6.隐函数
7.参数方程
三、导数的应用
1.求极值
2.求最值
3.求曲率
4.求拐点
正文：
高等数学中的导数是微积分的基础，掌握导数的求解方法是解决高等数学
问题的关键。
本文将介绍24 个常用的高数求导公式，帮助大家更好地理解和掌握导数的相关知识。
首先，我们需要了解导数的基本概念和性质。
导数是描述一条曲线（即函数）在某一点处斜率的概念，它可以表示为函数在某一点的瞬时变化率。
导数的几何意义是曲线在某一点的切线的斜率。
导数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法，这些运算规则在求导过程中非常实用。
其次，我们要熟悉常见函数的导数公式。
这些公式包括幂函数、三角函数、指数函数与对数函数、反三角函数、复合函数、隐函数和参数方程等。
熟练掌握这些公式，可以帮助我们在求导过程中更加迅速地找到规律，简化计算过程。
最后，导数在实际问题中的应用也非常重要。
导数可以用来求解函数的极值、最值、曲率和拐点等问题。
通过求导，我们可以了解函数的局部最优点、临界点等信息，从而对函数的图形有更深入的理解。
总之，掌握这24 个常用的高数求导公式，能够帮助我们更好地理解导数的性质和应用，从而提高解决高等数学问题的能力。
高数4(上)复习参考资料 (1)
(7) cos x d x sin x C
2 csc x d x cot x C (9)
1 d x arctan x C (11) 1 x 2
课本公式(5.25)
(16)
公式(5.18) tan x d x ln cos x C ln sec x C
课本公式(5.19) (17) cot x dx ln sin x C ln csc x C
(18) sec x dx ln sec x tan x C 课本公式(5.22)
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x , 求 (1) 六.设函数 f x 1 2 ( x 3)
f x 的单调区间与极值； f x 的渐进线.
(2)
解:
f x 的凹性与拐点; (3)
3 x f ( x) , 3 ( x 3)
f (3) 0, f (6) 0;
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1 1 2 sin x cos xdx 4 sin 2 xdx 8 (1 cos 4 x)dx x 1 sin 4 x C 8 32
2 2
有理分式部分分式分解；待定系数法
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例.计算下列各题
dx 1. ; x 0 1 e
(19) csc x dx ln csc x cot x C 课本公式(5.21)
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例
x3 (2) 2 dx x x 1
sin
高数下第4讲：多元函数微分法(2)
=++z y x 6222=++z y x 1=x 221y x z ++=高数下第4讲：多元函数微分法(2)1.曲线的切线和法平面1.1 y 和z 都是x 的函数求曲线.1 处的切线和法平面方程在点)1,2-,1(P求曲线.2 轴正向的夹角处的切线与在点y )3,1,1(1.2 x,y,z 均用参数表达012,,.332=-++===z y x t z t y t x 切线平行于平面上求一点，使该点处的在曲线2.曲面的切平面和法线积是一个常数坐标面围成的四面体体上任一点的切平面与三求证：曲面3.4a xyz =aa a z y x 等于各坐标轴上截距之和上任何点处的切平面在求证：曲面)0(.5>=++12113262132.6222--=-=-=++z y x M z y x S 直线：过的方程，使平面处的切平面上某一点：求椭球面ππ面的夹角的余弦处的切平面与在点求椭球面xoy z y x )3,2,1(163.7222--=++λλ相切，求和椭球面平面16301633.8222=++=+-+z y x z y x0,022=+y x 0,2222≠++y x y x xy3.方向导数和梯度3.1 方向导数定义：=),(.9y x f 的方向导数方向处沿在点求l y x f +=)0,0(),(3.2 方向导数公式（注意必须在该点可微）：)0,(1)2,2(.102222>=+=b a b y a x b a P xy z 方向导数在此点的内法线方向的处沿曲线在点求函数3.3 梯度：及梯度数处外法线方向的方向导在点沿球面求函数),,(1.110000222z y x M z y x z y x u =++++=4.最值和极值4.1 极值存在的充分条件：C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x =====),(,),(,),(,0),(,0),(0000000000，函数在该点取极大值；，函数在该点取极小值0,00,022<<-><-A AC B A AC B ，函数在该点不取极值02>-AC B）的极值，（求2020)cos(cos sin .12ππ≤≤≤≤-++=y x y x y x z的极值所确定的隐函数求由方程),(10422.13222y x z z z y x z y x ==-+-++4.2 极值存在的必要条件：=-+++=a y xy ax x y x f 处取得极值，则在点函数)1,1(22),(.14225.拉格朗日乘数法上的最大值和最小值在有界闭区域求函数122),(.152222≤+-++=y x x xy y x y x f2222=-+z y x 53=++z y x ：已知曲线C .16 点平面最远的点和最近的上距离求xoy C和最短距离到这个椭圆的最长截成一个椭圆，求原点被平面抛物面1.1722=+++=z y x y x z之间的最短距离与椭圆求直线144.1822=+=+y x y x方体的球且有最大体积的长求内接于半径为a .19=++C By Ax 12222=+b y a x 的极值满足求函数)0,0,0(1)1)(1)(1(.20>>>=---=z y x z y x xyz u积最小如何选择尺寸使其表面的长方体无盖水池，应要建造一个容积为4.21附：求椭圆 的面积。
大学高数第四章1-2节_多元函数-偏导数与全微分
(x, y)1 x2 y2 4 是有界闭区域
(x, y) x y 1是无界开区域
30
例1 求 f ( x, y) ln(x y) 的定义域
解 所求定义域为
x y0
D {( x, y) | x y 0}.
例2 求 f ( x, y) arcsin(x2 y2 ) 的定义域。
O
x
以点P0 (x0, y0 )为中心、
以为半径的圆的内部所有点
24
邻域
o
点P0(x0, y0)的去心邻域 记作U (P0, )
o
U (P0 , ) (x, y) 0 (x x0 )2 ( y y0 )2
y
当不需要强调邻域半径时，
P0 (x0, y0 )
P的邻域和去心邻域
可分别简记为
P 则称P为E的边界点
E的边界点全体称为E的边界27
例：平面点集E
E (x, y)1 x2 y2 2
满足1 x2 y2 2的点(x, y)是E的内点 满足x2 y2 1的点(x, y)是E的边界点
这些边界点不属于E
满足x2 y2 2的点(x, y)是E的边界点 这些边界点属于E
只含x, z而缺y的方程F(x, z) 0 表示平行于y轴的柱面 只含y, z而缺x的方程F( y, z) 0 表示平行于x轴的柱面
15
平面方程
Ax By Cz D 0 (A, B,C不同时为零) D 0, Ax By Cz 0 过原点的平面 C 0, Ax By D 0 平行于z轴的平面
于p0 (x0, y0 )时,函数f (x, y)都无限趋近于一个常数A,则称
f (x, y)当p(x, y) p0 (x0, y0 )时,以A为极限, 记作
专接本高数
专接本高数一、函数与极限。
1. 函数。
函数就像是一个魔法盒子，你给它一个输入（自变量），它就会按照一定的规则给你一个输出（因变量）。
比如说y = f(x)=x^2，你给x一个值，像x = 3，那y就等于3^2=9。
函数的定义域就像是这个魔法盒子能接受的输入的范围。
比如对于y=(1)/(x)，x不能为0，所以定义域就是x≠0。
2. 极限。
极限呢，简单说就是当自变量x无限接近某个值的时候，函数y = f(x)接近的那个值。
比如说lim_x→1(x + 1)，当x越来越接近1的时候，x+1就越来越接近2。
还有一种是x趋近于无穷的极限，像lim_x→+∞(1)/(x)=0，就好像你一直把x变得超级大，那(1)/(x)就会变得超级小，无限接近于0。
求极限有很多方法呢。
洛必达法则就像是一个超级武器。
当你遇到(0)/(0)或者(∞)/(∞)型的极限时，就可以对分子分母分别求导再求极限。
比如说lim_x→0(sinx)/(x)，直接看不好求，但是用洛必达法则，对分子sin x求导得cos x，分母x求导得1，那极限就是lim_x→0cos x = 1。
二、导数与微分。
1. 导数。
导数就是函数的变化率。
比如说你跑步，你的位置s是关于时间t的函数s(t)，那s(t)的导数s^′(t)就是你的速度。
如果s(t)=t^2，那s^′(t) = 2t。
在t = 3的时候，速度s^′(3)=6，这就意味着在时间t = 3的时候，你每秒跑6米（假设单位是米和秒）。
求导数也有一些基本公式，像(x^n)^′=nx^n 1，(sin x)^′=cos x，(cos x)^′=-sin x 等等。
这些公式就像是武功秘籍里的基本招式，要牢记于心。
2. 微分。
微分dy=f^′(x)dx。
可以把dx想象成自变量x的一个小变化量，dy就是函数y 相应的小变化量。
比如说y = x^2，y^′=2x，那dy = 2xdx。
如果x = 3，dx=0.1，那么dy=2×3×0.1 = 0.6。
高数第二章 导数微分
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
★ 函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
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★ 对于任一 x I,都对应着 f (x)的一个确定的 导数值.这个函数叫做原来函数 f ( x) 的导函数.
记作 y, f ( x), dy 或 df ( x) . dx dx
即 y lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
或 f ( x) lim f ( x h) f ( x) .
,
0,
x 0, x0
y
1
－1/π 0 1/π
x
在x 0处不可导.
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4. 若f ( x0 ) , 且在点 x0的两个单侧导数 符号相反 , 则称点 x0为函数 f ( x)的尖点 (不可导点) .
y
y
y f (x)
o
x
y f (x)
o
x0
x
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2
法线方程为 y 2 1 ( x 1), 即 2x 8 y 15 0.
42
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2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度.
v(t) lim s ds . t0 t dt