对面积曲面积分

o
Bx
注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径
三、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 定理 设D 是单连通域 , 函数 在D 内 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: ∂P ∂Q = . (1) 在 D 内每一点都有 ∂y ∂x (2) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 ∫ Pdx + Qdy = 0.
证明 (4)
(1)
设存在函数 u ( x , y ) 使得
则
du = P dx + Qdy ∂u ∂u = P(x, y), = Q(x, y) ∂x ∂y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 ∂P ∂Q = ∂y ∂x
说明: 说明
∂P ∂Q 若在某区域内 = , ∂y ∂x
第十章
第四节
对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念与性质
引例: 曲面形构件具有连续面密度 引例 设曲面形构件 曲面形构件 量 M. z 类似求平面薄板质量的思想, 采用 “大化小 常代变 近似和 求极限 大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 大化小 的方法, 可得 求质 质
(ξk ,ηk ,ζ k )
y0 x0 x0 y y0 x
( x0 , y0 ) x
P(x, y)dx + Q(x, y)dy
y
y
y0 x0
x
例5. 验证
是某个函数的全微分, 并求
2 2
出这个函数.
∂P ∂Q = 2xy = 证: 设P = xy , Q = x y, 则 ∂x ∂y
由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使
∂Q ∂Q ∫L Pd x + Qd y = ∫∫D′ ( ∂x − ∂x )dxdy ∂P ∂Q 因此在D上 ≡ ∂y ∂x
D D′ L
∫L Pdx + Qdy = 0.
说明: 说明
根据定理2 , 若在某区域内 且满足定理条件（单连通 单连通、 单连通 D内一阶连续偏导 一阶连续偏导）则 一阶连续偏导
A
L Bx
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
取圆弧 AB : x = cosθ , y = sinθ (θ : →0) 2 2 2 k y W =∫ ( y dx − x dy) 2 AB r A
π
π
π
L
= k 2 思考: 思考 积分路径是否可以取 AO∪OB ? 为什么？
无关 !
π
例3. 设 ∑: x2 + y2 + z2 = a2
z∑
o x
1
Dx y y
计算 I =
∫∫∑ f (x, y, z) d S .
2 2
解: 锥面 z = x + y 与上半球面 z = a2 − x2 − y2 的 交线为 投影域为 Dxy = { (x, y) x2 + y2 ≤ 1 a2 }, 则 2
1
Pdx + Qdy
2
L2
B
L1
A
=∫
L1+L− 2
Pdx + Qdy
L2
(根据条件(1))
= ∫ Pdx + Qdy
说明: 说明 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
∫AB Pdx + Qdy = ∫A Pdx + Qdy
B
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D′ ⊂ D (如图) , 利用格林公式 , 得 格林公式
+ ∫ (3 x2 y − 3xy2 + y2 ) dy u (x, y) = ∫ 5 x dx 0
4 0 x
y
1 3 3 2 2 3 = x + x y − xy + y 3 2 因此方程的通解为 5 3 2 2 3 1 3 x + x y − xy + y = C 2 3
5
y
(x, y)
o (x,0) x
∂Q ∂P ∫∫ ∂x − ∂y dxdy = ∫ Pdx + Qdy D L
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
定理2. 定理 设D 是单连通域 , 函数 单连通域 具有一阶连续偏导数 则: 一阶连续偏导数, 一阶连续偏导数 (1)沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 在D 内
∫L Pdx + Qdy = 0.
则
可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数: 取定点 ( x0, y0 ) ∈D及动点 ( x, y ) ∈D, 则原函数为
u ( x, y) = ∫
( x, y )
= ∫ P(x, y0 )dx +∫ Q(x, y)dy
或 u (x, y) = Q(x0 , y)dy + P(x, y)dx ∫ ∫
设∑1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的
I = ∫∫ (x2 + y2 ) d S
∑1
I = ∫∫ (x2 + y2 ) d S
∑1
= ∫∫
=∫
Dx y
(x + y )
2 2
1 2
a a2 − x2 − y2 2 ar r dr 2 2 a −r
d xd y
记作
∫∫ f (x, y, z)d S
∑
都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 ∑ 上对面积 都存在 的曲面积分 或第一类曲面积分 其中 f (x, y, z) 叫做被积 第一类曲面积分. 函数, 叫做积分曲面. 函数 ∑ 叫做积分曲面 据此定义, 据此定义 曲面形构件的质量为 M = ∫∫ ρ(x, y, z) d S
定理: 定理 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 ∑ 上连续 则曲面积分 连续, 连续 存在, ∫∫∑ f (x, y, z)dS 存在 且有
= ∫∫
Dxy
f (x, y,
)
说明: 说明 1) 如果曲面方程为
或
x = x( y, z), ( y, z) ∈Dyz 可有类似的公式. y = y(x, z), (x, z) ∈Dxz
= −∫ 0⋅ dx + x∫0
1
x
y
dy x2 + y2
或
dy =∫ 0 1+ y2yx源自= − arctan 2 yπ
四、全微分方程
若 在u(x, y) 使 du(x, y) = P(x, y) dx + Q(x, y) dy 存 则称 P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 ①
即(2)对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 (2) D
∫L Pdx + Qdy 与路径无关, 只与起止点有关.
∂P ∂Q = . 在 D 内每一点都有 ∂y ∂x
(2) 证明 (1) 设 L , L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲 1
线, 则
∫L Pdx + Qdy − ∫L
思考: 思考
若 ∑ 是球面 出的上下两部分, 出的上下两部分 则
被平行平面 z =±h 截 ±
z
0
)
dS ∫∫ z = ( ∑
Σ
h
o
y
dS a ∫∫ z = ( 4π aln h ) ∑
x
−h Σ
例2. 计算
其中∑ 是由平面 其中∑
与
坐标面所围成的四面体的表面. 坐标面所围成的四面体的表面 解: 设 ∑1, ∑2, ∑3, ∑4分别表示∑ 在平面 上的部分, 则 原式 = ∫∫ +∫∫
du = xy2 dx + x2 ydy
。 (0,0)
(x, y) 。
= ∫ x⋅ 0 dx + ∫
0
x
y 2 x y dy 0
(x,0)
=∫
y 2 x y dy 0
xd y − y d x 例6. 验证 在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函 2 2 x +y 数 , 并求出它. (x, y) −y x , Q= 2 证: 令 P = 2 2 x +y x + y2 2 2 ∂P y −x ∂Q (1,0) ( x,0) 则 = 2 = ( x > 0) ∂x (x + y2 )2 ∂y 由定理 2 可知存在原函数 定理
L
(3) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 ∫ Pdx + Qdy
L
与路径无关, 只与起止点有关. (4) 即 在 D 内是某一函数 的全微分,
d u(x, y) = P dx + Qdy
(4) 证明 (3) 在D内取定点 与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
B(x, y )
面, 计算
x + y + z ≤1, x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0的 表 z 1
解: 在四面体的四个面上 平面方程
dS
投影域
1 x
o
1y
z =1− x − y =1 y =0
3dxdy Dxy : 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1− x
同上
dzdx Dz x : 0 ≤ z ≤1, 0 ≤ x ≤1− z
A(x0, y0 )
( x+∆x, y)
C(x + ∆x, y )
则
∆xu = u(x + ∆x, y) − u (x, y)
=∫
( x+∆x, y)
( x, y)
Pd x + Qdy = ∫
( x, y)
Pd x
= P(x +θ ∆x, y)∆x ∆xu ∂u = lim P(x +θ ∆x, y) = P(x , y) ∴ = lim ∂ x ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∂u 同理可证 = Q(x , y), 因此有 du = P dx + Qdy ∂y