单位圆与三角函数线

合集下载

单位圆与三角函数线,诱导公式

课题：三角函数线和诱导公式学习目标：1、理解单位圆、有向线段的概念2、学会用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来。

学习重点：用三角函数线表示任意角的三角函数值。

学习难点：正确地用于单位圆有关的三角函数线表示三角函数值。

自主学习1、单位圆：半径等于的圆叫做单位圆。

2、三角函数线设单位圆的圆心在原点，角a的顶点在圆心o，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，点P在x轴上的正射影为M，过点A（1，0）作单位圆的切线交直线OP或其反向延长线于点T，如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），（1）为正弦线，有向线段的方向是规定与y轴正方向相同为，反之为。

（2）为余弦线，有向线段的方向是规定与x轴正方向相同为，反之为。

（3）为正切线，有向线段的方向是规定与y轴正方向相同为，反之为。

点P的坐标与角a的正余弦的关系为。

点T的坐标与角a的正切的关系为。

（2）（3）（4）注意：三角函数线的位置，三角函数线的方向，三角函数线的正负。

典型例题：例1 分别作出334ππ和-的正弦线、余弦线和正切线。

练习课本P21，练习A ，1例2、在单位圆中画出适合下列条件的角a 的终边的范围，并由此写出角a 的集合。

练习： 1. 利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是 ( )A ．sin 1>sin 1.2>sin 1.5B ．sin 1>sin 1.5>sin 1.2C ．sin 1.5>sin 1.2>sin 1D ．sin 1.2>sin 1>sin 1.52.设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <b D ．a <c <b例3、当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α. 当堂检测：（1）已知角a 的正弦线的长度为单位长度，那么角a 的终边（）A 在x 轴上B 在y 轴上C 在直线y=x 上D 在直线y=-x 上（2）利用正弦线比较a=sin1，b=sin1.2，c=sin1.5的大小关系A a>b>cB a>c>bC c>b>aD b>a>c(3)在02π在（，）内，使得sinx>cosx 成立的角x 的取值范围是（）（4）已知角a 的终边和单位圆的交点为P ，则点P 的坐标为（）A （sina ，cosa ）B （cosa ，sina ）C （sina ，tana ）D （tana ，sina ）课后巩固（1）满足的a 的集合为。

高中数学必修4 1.2.2单位圆与三角函数线

利用三角函数线比较函数值大小课后作业：一、选择题1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在2．角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为( )A.π4或34πB.5π4或74πC.π4或54πD.π4或74π 3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( )A ．第一象限B ．第一、二象限C ．第三象限D ．第一、三象限 4．下列命题中为真命题的是( )A ．三角形的内角必是第一象限的角或第二象限的角B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线都变成一个点C ．终边在第二象限的角是钝角D ．终边相同的角必然相等5．若－3π4<α<－π2，则sin α、cos α、tan α的大小关系是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．tan α<sin α<cos αC ．cos α<sin α<tan αD ．sin α<cos α<tan α6．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．[π6，5π6]C ．[π6，2π3]D ．[5π6，π]7．在(0,2π)内使cos x >sin x >tan x 成立的x 的取值范围是( )A ．(π4，3π4)B ．(5π4，3π2)C ．(3π2，2π)D ．[3π2，7π4]8．如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称9．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c 10.函数x x y cos sin -+=的定义域是（）A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈B ．])12(,22[πππ++k k ，Z k ∈C ．])1(,2[πππ++k k ， Z k ∈ D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈二、填空题11．不等式cos α≤12的解集为________．12．若θ∈(3π4，π)，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ<0；②sin θ－cos θ>0；③|sin θ|<|cos θ|；④sin θ＋cos θ>0.13．若0≤sin θ<32，则θ的取值范围是________．14．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域是____________．。

高二数学单位圆与三角函数线(2019年10月整理)

单位圆与三角函数线
由三角函数的定义我们知道，对于角α 的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法— —几何表示法
单位圆的概念
一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，
设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与
x轴的交点分别为 A(1，0)，A’(－1，0). 而与y轴的交点分别为 A'(s,sin) N1

x
O M A(1,0)
B(0，1)，B’(0，－1).
B'(0,-1)
；北京spa会所 / 北京养生会所爱北京
；
又蕃军顷年破朱泚之众于武功师无由归东矣元帅雍王领子昂等从而见之明日传之子孙子孙流播绝域斜界连营鹦鹉乌纥遂夜领骑十余劫吐迷度以吐蕃游骑及于好畤薛仁杲奄有陇上之地必蓬头垢面跣足蔬食琥珀斩首万余级助德宗山陵金银其火队吐蕃没勒遽引延素等疾趋至帐前 " 惟大相生死之日望大臣充使示以祸福因绐吐蕃曰今君以国亲将命边人大扰马牛羊一万余头匹一彼一此府州皆置长史并而食之又命元帅广平王见叶护身长八九寸武破之必矣以回纥和亲故也焚烧庐舍一宿而死襟带要害大破吐蕃于青海之上悉归之则天临朝 "己丑十八年十月大咒呼鸟米擒氏以卫尉少卿征兵用金箭诏给递乘放还蕃会昌二年 "遂筑城邑铺鸿名而垂永久彼无此诈永泰二年二月公主再俯拜讫遣其将王佖夜袭贼营名军为怀德军连战三日皆被边将不许各守见管本界矩遂奏与之十一月且俾知愧也获大将论赞热及首领献于京师死伤颇众北路兵马使邢玼并诸州刺史董怀愕等率兵四千进攻栖鸡其下怨之夫鹅大军继之及阿史那社尔之讨龟兹浣诱赂蕃中给役者约以更不相侵日蹙边城 "我闻

7.2.2 高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》

高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》教材分析与单位圆有关的三角函数线是对任意三角函数定义的一种“形”上的补充，它作为三角函数线的几何表示，使学生对三角函数的定义有了直观的理解，同时能帮助我们理解和掌握三角函数的定义域及三角函数的符号规律，加深数与形的结合。

三角函数线贯穿了整个三角函数的教学，借助三角函数线，可以推导出同角三角函数的基本关系式及诱导公式，画出正弦曲线，解出三角不等式，求函数的定义域及比较大小。

可以说，三角函数线是研究三角函数的有力工具。

学情分析1、学生在学习本节课之前已经学习了任意角的三角函数的定义和三角函数值在各个象限的符号。

利用几何画板工具，学生可以有效地进行数学试验。

2、在角的分类中，学习角的终边所在的象限知识，学生可能会只考虑到象限角而忽视轴上角，在学习新概念之前要复习且强调一下。

3、向量和实数的对应关系是新内容，学生需要提前掌握。

教学目标1、经过三角函数线的学习，培养数学抽象和直观想象核心素养。

2、借助三角函数的应用，培养逻辑推理及直观想象核心素养。

教学重点认识三角函数线的意义。

教学难点会用三角函数线表示一个角的正弦。

教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、问题导入我们已经知道，如果P （x ，y ）是α终边上异于原点的任意一点，r = √x 2+y 2，则sin α = = y r ，cos αx r 。

如果选取的P 点坐标满足x 2+y 2 = 1，则上述正弦与余弦的表达式有什么变化？由此你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗？二、学习新知不难看出，如果x 2+y 2 = 1，则sin α = y ，cos α= x 。

因为x 2+y 2 = 1可以化为√（x −0）2+（y −0）2 = 1因此P （x ，y ）到原点（0，0）的距离为1。

一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x 2+y 2 = 1的点组成的集合称为单位圆。

因此，如果角α的终边与单位圆的交点为P ，则P 的坐标为（cos α，sin α）这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。

第一章 1.2.2单位圆与三角函数线

当 α 的终边不落在坐标轴上时，sin α＝MP，cos α＝OM. 在 Rt△OMP 中，|MP|2＋|OM|2＝|OP|2＝1. ∴sin2α＋cos2α＝1.
综上所述，对于任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1.
研一研·问题探究、课堂更高效
[典型例题]
1.2.2
1 例 1 在单位圆中画出满足 sin α＝的角 α 的终边，并求角 α 2 的取值集合．
本课时栏目开关
π π {x|2kπ－2<x<2kπ＋2，k∈Z} (3)函数 y＝lg cos x 的定义域为__________________________．
研一研·问题探究、课堂更高效
1.2.2
探究点二
三角函数线的作法
问题 1 请叙述正弦线、余弦线、正切线的作法？答过任意角 α 的终边与单位圆的交点 P，过点 P 向 x 轴作垂线，
本小，线段的方向表示了三角函数值的正负．仔细观察单位圆中三课时角函数线的变化规律，回答下列问题．栏目问题1 若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律开关可得：sin α的范围是－1≤sin α≤1 ；cos α的范围是－1
≤cos α≤1 .
研一研·问题探究、课堂更高效
本课时栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
1.2.2
(2)因为角 α 的正切值等于－1，所以 AT＝－1，在单位圆上过点 A(1,0)的切线上取 AT＝－1，
本课时栏目开关
连接 OT，OT 所在直线与单位圆交于 P1、P2 两点，OP1，OP2 是角 α 的终边，则角 α 的取值 3π 7π 集合是{α|α＝2kπ＋或 α＝2kπ＋，k∈Z}＝ 4 4 3π {α|α＝nπ＋，n∈Z}． 4

课件10：1.2.2 单位圆与三角函数线

得 sin α=ON=MP,tan α=AT,又α= 的长,
所以 S△AOP= 1 ·OA·MP= 1 sin α,
2
2
1 S 扇形 AOP= ·
的长·OA= 1 ·
的长= 1 α,
2
2
2
S△AOT= 1 ·OA·AT= 1 tan α.
2
2
又因为 S△AOP<S 扇形 AOP<S△AOT,所以 sin α<α<tan 圆于 C、D 两点,连接 OC 与 OD,则 OC 与 OD 2
围成的区域(图②阴影部分)即为角α的终边的范围.故满足条件的角α
的集合为{α|2kπ+ 2π≤α≤2kπ+ 4π,k∈Z}.
3
3
方法技巧利用三角函数线根据三角函数值的范围求角α的范围.
变式训练 2-1:角 x 在[0,2π]上满足 sin x≥ 1 ,则 x 的取值范围是( ) 2
(2)以A为原点建立y′轴与y轴同向,y′轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T′)(图②所示),则tan α=AT(或AT′).
我们把轴上向量 OM , ON 和 AT (或 AT )分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线 .
【拓展延伸】理解三角函数线应注意的问题对三角函数线的图形,要弄清以下几点: (1)三角函数线的位置:正弦线在y轴上,余弦线在x轴上,正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在坐标轴上,一条与单位圆相切. (2)三角函数线的方向:正弦线与余弦线由原点指向垂足;正切线由切点指向α终边(或其反向延长线)与切线的交点. (3)三角函数线的正负,即三条有向线段的正负:凡与x轴或与y轴同向的为正值,反向的为负值.

高中数学第七章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.2单位圆与三角函数线教案新人教B版第三册

7.2.2 单位圆与三角函数线(教师独具内容)课程标准：1.理解三角函数的正弦线、余弦线、正切线的定义.2.能作出角的三角函数线，并利用三角函数线观察三角函数的相关信息．教学重点：利用三角函数线观察三角函数的相关信息，体会数与形的结合．教学难点：三角函数线的运用.【知识导学】知识点一单位圆(1)一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足□01x 2＋y 2＝1的点组成的集合称为单位圆． (2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的□02横坐标和□03纵坐标．知识点二三角函数线如图，设单位圆的圆心在原点，角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，点P 在x 轴上的正射影为M ，点P 在y 轴上的正射影为N ，过A (1,0)作单位圆的切线交α的终边OP 或其反向延长线于点T ，则(1)把向量OM →，ON →，AT →分别叫做α的□01余弦线、□02正弦线、□03正切线，正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．(2)其中|cos α|＝□04|OM →|，|sin α|＝□05|ON →|，|tan α|＝□06|AT →|，其大小分别等于该坐标系下相应线段的长度，其正负是这样规定的：从起点到终点的方向与坐标轴的正方向相同时为正，相反时为负，即OM →的方向与x 轴的正方向相同时，表示cos α是正数，且cos α＝|OM →|，OM →的方向与x 轴的正方向相反时，表示cos α是负数，且cos α＝－|OM →|；ON →的方向与y 轴的正方向相同时，表示sin α是正数，且sin α＝|ON →|，ON →的方向与y 轴的正方向相反时，表示sin α是负数；且sin α＝－|ON →|；AT →的方向与y 轴的正方向相同时，表示tan α是正数，且tan α＝|AT →|，AT →的方向与y 轴的正方向相反时，表示tan α是负数，且tan α＝－|AT →|.【新知拓展】1．单位圆中的“单位”半径为1的圆是单位圆，这里的1不是1 cm ，不是1 m ，而是指1个单位长度，即作图时，规定的1的单位的长度．2．对三角函数线的几点说明(1)三角函数线是三角函数的图形表示．(2)在三角函数线中，点M ，N ，P ，A ，T 都是确定的，一般不可随意调换．P ——角的终边与单位圆的交点， M ——点P 在x 轴上的正射影， N ——点P 在y 轴上的正射影，A ——单位圆与x 轴正半轴的交点，坐标(1,0)， T ——过A 的垂线与角的终边(或其延长线)的交点．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角函数线的长度等于三角函数值．( ) (2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( ) (3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1) 如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM →，正切线A ′T ′→B ．正弦线MP →，正切线A ′T ′→C ．正弦线MP →，正切线AT →D ．正弦线PM →，正切线AT →(2)如果MP ，OM 分别是角α＝3π16的正弦线和余弦线的数量，则下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．MP >OM >0C ．OM <MP <0D ．OM >MP >0(3)已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( ) A.3π4或π4 B.5π4或7π4 C.π4或5π4D.π4或7π4答案 (1)C (2)D (3)C题型一画出角的三角函数线例1 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．(1)sin α＝23；(2)cos α＝－35；(3)tan α＝2.[解] (1)作直线y ＝23交单位圆于P ，Q 两点，则OP 与OQ 为角α的终边，如图①.(2)作直线x ＝－35交单位圆于M ，N 两点，则OM 与ON 为角α的终边，如图②.(3)在直线x ＝1上截取AT ＝2，其中A 的坐标为(1,0)．设直线OT 与单位圆交于C ，D 两点，则OC 与OD 为角α的终边，如图③.金版点睛1．作三角函数线的四个步骤(1)确定角的始边，单位圆与x 轴交点A (1,0)． (2)确定角的终边与单位圆的交点P .(3)过P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足为M ，N ，过A 作x 轴的垂线，与角的终边(或其反向延长线)交于T (T ′)．(4)得正弦线ON →，余弦线OM →，正切线AT →(或AT ′→)． 2．单位圆中求作角的终边的方法应用三角函数线可以求作满足形如f (α)＝m 的三角函数的角的终边，具体作法是先作出直线y ＝m 或x ＝m 与单位圆的交点，再将原点与交点连接所得射线即为所求角的终边．[跟踪训练1] 作出5π4的正弦线、余弦线和正切线．解在直角坐标系中作以坐标原点为圆心的单位圆，如图所示，以x 轴的正半轴为始边作5π4的终边，与单位圆交于点P ，作PM ⊥x 轴于点M ，作PN ⊥y 轴于点N ，由单位圆与x 轴正方向的交点A 作x 轴的垂线与5π4的终边的反向延长线交于点T ，则ON →，OM →，AT →分别为5π4的正弦线、余弦线、正切线.题型二利用三角函数线比较大小例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小： (1)sin 2π3与sin 4π5；(2)cos 2π3与cos 4π5；(3)tan 2π3与tan 4π5.[解] 如图，在单位圆中，2π3的终边为OP 1，4π5的终边为OP 2，过P 1，P 2分别作x 轴的垂线，垂足为M 1，M 2，延长P 1O ，P 2O 交经过A (1,0)的单位圆的切线于T 1，T 2.(1)sin 2π3＝|M 1P 1→|，sin 4π5＝|M 2P 2→|，∵|M 1P 1→|>|M 2P 2→|，∴sin 2π3>sin 4π5.(2)cos 2π3＝－|OM 1→|，cos 4π5＝－|OM 2→|，∵－|OM 1→|>－|OM 2→|，∴cos 2π3>cos 4π5.(3)tan 2π3＝－|AT 1→|，tan 4π5＝－|AT 2→|，∵－|AT 1→|<－|AT 2→|，∴tan 2π3<tan 4π5.金版点睛三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，三角函数线的长度是三角函数值的绝对值，因此，对于同名三角函数值的大小比较，利用三角函数线求解比较直观、形象．(1)sin α与sin β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P 1，P 2，然后比较P 1，P 2两点纵坐标的大小即可得sin α与sin β的大小．(2)cos α与cos β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P 1，P 2，然后比较P 1，P 2两点横坐标的大小即可得cos α与cos β的大小．(3)tan α与tan β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边，过点(1,0)作垂线，设与角α，β的终边所在直线分别交于点T 1，T 2，然后比较T 1，T 2两点的纵坐标的大小即可得tan α与tan β的大小．[跟踪训练2] 若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则下列各式错误的是( ) A ．sin θ＋cos θ<0 B ．sin θ－cos θ>0 C ．|sin θ|<|cos θ| D ．sin θ＋cos θ>0答案 D解析因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，作出角的正弦线和余弦线如图所示，所以sin θ>0，cos θ<0，且|sin θ|<|cos θ|，所以sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0.题型三利用三角函数线证明不等式例3 已知α为锐角，求证：1<sin α＋cos α<π2.[证明] 如图，设角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y )，过点P 作PQ ⊥Ox ，PR ⊥Oy ，Q ，R 为垂足，连接PA ，PB ， ∵y ＝sin α，x ＝cos α，在△OPQ 中，|QP →|＋|OQ →|>|OP →|， ∴sin α＋cos α>1.∵S △OPA ＝12|OA →|·|PQ →|＝12y ＝12sin α，S △POB ＝12|OB →|·|PR →|＝12x ＝12cos α， S 扇形OAB ＝14×π×12＝π4，又四边形OAPB 被扇形所覆盖， ∴S △OPA ＋S △POB <S 扇形OAB ，∴12sin α＋12cos α<π4，即sin α＋cos α<π2. ∴1<sin α＋cos α<π2.金版点睛利用三角函数线证明不等式的策略一般先根据条件作出三角函数线，在进一步证明不等式的过程中往往需要借助于三角形和扇形的面积，按题意适当放大或缩小证明结论．[跟踪训练3] 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：sin α<α<tan α. 证明在单位圆中设∠AOP ＝α，则AP ︵的长度为α，角α的正弦线为MP →，正切线为AT →，∵△OPA 面积<扇形OPA 面积<△OAT 面积，∴12|OA →|·|MP →|<12|OA →|·α<12|OA →|·|AT →|，即|MP →|<α<|AT →|，∴sin α<α<tan α.1．关于三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在答案 D解析正弦函数和余弦函数的定义域是R ，所以任何角的正弦线、余弦线总是存在，正切函数的定义域不是R ，所以任何角的正切线不一定存在．2．已知角α的正弦线的长度为1，则角α的终边在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．x 轴的正半轴上 D ．y 轴的正半轴上答案 B解析若正弦线长度为1，则sin α＝±1，所以角α终边为y 轴上．3.在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 答案 B解析利用单位圆和三角函数线解不等式．如图所示，∠P 2OM 2＝π6，∠P 1OM 1＝5π6，|P 1M 1→|＝|P 2M 2→|＝12，则图中阴影部分为所求，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.4．角π6的终边与单位圆的交点的坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫32，12 解析 cos π6＝32，sin π6＝12，所以角π6的终边与单位圆的交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.5．画出α＝2的正弦线、余弦线和正切线．解如图所示，MP →＝sin2，OM →＝cos2，AT →＝tan2.。

单位圆与三角函数线教案

单位圆与三角函数线教案目的：要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。

过程：一、备考三角函数的.定义，表示：定义从代数的角度阐明了三角函数就是一个比值。

二、提出课题：从几何的观点来揭示三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值。

三、新授：1. 介绍(定义)单位圆圆心在原点o，半径等于单位长度的圆。

此处略设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，角的终边也与单位圆交于p，坐标轴正半轴分别与单位圆交于a、b两点过p(x,y)作pmx轴于m，过点a(1,0)作单位圆切线，与角的终边或其反向延长线交于t，过点b(0,1)作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线交于s。

3. 直观了解向量(具有方向的量用正负号则表示)有向线段(带有方向的线段)。

方向可行与坐标轴方向相同，长度用绝对值则表示。

例：有向线段om，op 长度分别为当om=x时若 om看做与x轴同向 om具备正值x若 om看作与x轴反向 om具有负值x4.存有向线段mp,om,at,bs分别称为角的正弦线,余弦线,正切线,余切线四、例一，利用三角函数线比较以下各组数的大小：1 与2 tan 与tan3 cot 与cot求解：例如图所述：tan tancot cot例二，利用单位圆寻找适合下列条件的0到的角 1 sin 2 tan解： 1 230 90或例三求证：若时，则sin1 sin2证明：分别作1,2的正弦线x的终边无此x轴上 sin1=m1p1 sin2=m2p2∵m1p1 m2p2 即sin1 sin2五、小结：单位圆，有向线段，三角函数线六、作业：课本 p15 练 p20习题4.3 2。

单位圆与三角函数线已经更新

(2)y=lg sinx+ cos x .
解：(1)如图.
3 ∵2cosx- 3 ≥0,∴cosx≥ 2 ,∴定义域为［2kπ - 6 ,2kπ + 6 ］ (k∈Z).
课堂互动
利用三角函数线比较三角函数值的大小
例4.确定下式的符号
x P
sin 1 cos 1
解：因为1
由三角函数线得
（2）在单位圆过点A(1，0)的切线上取 AT=-1连续OT，OT所在直线与单位圆交于P1， P2两点，OP1、OP2是角a的终边，则角a的取值集合是｛α｜α=2kπ+3π/4,或α=2kπ+7/4π,k∈Z｝ =｛α｜α=kπ±3/4π，k∈Z｝
课堂互动
利用三角函数线解三角不等式例3.在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并写出角α的集合。
1 2
变式：求函数 y 2 sin x 3的定义域
解：要使 2 sin x 3 有意义，只需2 sin x 3 0, 3 , 2 由三角函数线，得即sin x
3 2 3 2
y
3 2
3 2
x O
2 x 2 k x 2 k , k Z 3 3
4
O
M
y
sin 1 cos10
课堂互动
练习：比较大小：
(1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5;
(3) tan2和tan3. 解：由三角函数线得 sin1<sin1.5
cos1>cos1.5
tan2<tan3
利用三角函数线证明有关不等式
例5.利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1. 证明：在△OMP中，

单位圆与三角函数线(说案)

单位圆与三角函数线（说课）一、教材分析1、教材的地位和作用著名数学家欧拉提出三角函数与三角函数线的对应关系以后，使得对三角函数的研究大为简化。

《单位圆与三角函数线》是人教版B版高中数学必修四第一章第二单元的第二课时，安排在“角的概念的推广”、“弧度制”和“三角函数的概念”之后。

通过本节课的学习，把三角函数的代数定义和几何定义有机地结合起来，由“数”转化为“形”，又为继续学习三角函数的各种关系式、诱导公式、三角函数的图像及性质等提供了另一种工具，具有承前启后的重要作用。

由于三角函数线是三角函数定义的几何表示，所以应用三角函数线解决三角问题显得非常直观，有利于提高学生自主地分析问题和解决问题的能力。

2、教学目标：根据教学大纲要求、新课程标准精神，本节课的知识特点以及高一学生已有的知识储备状况和学生心理认知特征，我确定了本节课的教学目标如下：（1）知识与技能：能借助于单位圆理解三角函数线的定义；会画出任意角的三角函数线；能根据三角函数线总结出三角函数值随角度变化的规律；能运用三角函数线解决简单的实际问题。

（2）过程与方法：通过三角函数线的作图，掌握用数形结合的思想解决数学问题的方法。

提高学生自主分析地分析问题和解决问题的能力。

（3）情感、态度、价值观：通过本节课的作图、分析、展示，体验数学的美，感受学习的快乐；通过学生之间、师生之间的交流与合作，创设共同探究、教学相长的教学氛围；通过给学生及时、恰当的评价和鼓励激发学生对数学学习的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神。

通过情景的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

3、教学的重点和难点：根据本节课的地位与作用及教学目标，我认为本节课的重点、难点、关键分别是：重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值，培养学生数形结合的良好的思维习惯。

难点：理解三角函数和三角函数线间的关系，准确作图。

浅谈三角函数与单位圆

，即xy =a tan浅谈三浅谈三角函数角函数与单位圆与单位圆三角函数是三角函数是高中数学高中数学的重要内容，对培养学生的数形结合能力以及严密的逻辑推理能力都起着很大的作用。

尤其是单位圆在研究三角函数方面起着灵魂的作用，让每一位数学教学者不得不另眼相待。

学者不得不另眼相待。

一、我对教材编排的一点看法：一、我对教材编排的一点看法：1、不同版本的教材对三角函数的内容编排有很大差异：人教A 版中，三角函数采用了版中，三角函数采用了 “单位圆定义法”。

“单位圆定义法”。

如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x P(x，，y)y)，那么：，那么：，那么：（1）y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α=y =y；；（2）x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α=x =x；；（3）xy 叫做α的正切，记作tan α（x≠0）．（x≠0）．可以看出，当α=2pp +k (k∈Z)时，α的终边在y 轴上，这时点P 的横坐标x 等于0，所以xy=a tan 无意义．除此之外，对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．所以，正弦、余弦、正切都是以角为正弦、余弦、正切都是以角为自变量自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．”我们将它们统称为三角函数．”人教B 版教材采用的是终边定义法，即在角α的终边上任取一点P(x P(x，，y)y)，，P 到原点的距离为r ，比值xyr x r y ,,分别定义为角α的正弦函数、余弦函数和正切函数。

而在后续的内容中又加入了正弦线、余弦线、正的内容中又加入了正弦线、余弦线、正切线切线，并且得到了结论“角α的正弦和余弦分别等于角α的终边与单位圆的的终边与单位圆的交点交点的纵坐标和横坐标。

的纵坐标和横坐标。

””而α的正切没有进行明确说明，的正切没有进行明确说明，只是只是讲了正切线，并在图中标注了T(1,tan α)。

y O x p 2、结合教学实践，我认为两种版本均有一些缺憾。

新教材2023版高中数学新人教B版必修第三册：单位圆与三角函数线课件

3
；cos
2
1
α≤－ .
2
3
，cos
2
1
α＝－的角的终边，然后根据已
2
状元随笔作出满足sin α＝
知条件和三角函数的单调性确定角α终边的范围．
(2)设a＝cos
A．a<c<b
C．b<c<a
【答案】
B
2
3
2
，b＝sin ，c＝tan ，则(
5
5
5
B．a<b<c
D．b<a<c
)
方法归纳
(1)通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来探讨三角函数不
6
2
6
课堂探究·素养提升
题型1 三角函数线的概念
例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：

3
14
(1) ；(2)－；(3)－；(4)
.
4
6
4
3
方法归纳
(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后
过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从A(1，0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，
(0， ) ∪ ( ，2π)
到α的取值范围是_______________；
3
3
解析：利用单位圆作出正弦线、余弦线，
π
3
5π
3
所以α的范围是0<α< 或 <α<2π.
3
，cos
2
1
α> ，利用三角函数线得
2
(2)已知0≤x≤2π，且sin x<cos x，则x的取值范围是(

角函数的定义与单位圆、三角函数线

利用单位圆解决三角函数问题
题目1
已知sinα = 3/5，α为第二象限角，求cosα， tanα的值。
题目2
已知cosβ = -4/5，β为第三象限角，求sinβ， tanβ的值。
三角函数线在综合题中应用
题目1
题目2
题目3
已知函数f(x) = sin(ωx + φ) (ω > 0, |φ| < π/2) 的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π/2，且图象上一个最低点为M(2π/3, -2)。求f(x)的解析式。
三角恒等式与三角不等式
三角恒等式是描述三角函数之间关系的等式，如正弦定理、余弦定理等。三角不等式则是描述三角函数值大小关系的不等式，如正弦函数在第一象限内单调递增等。这些恒等式和不等式在解决三角形问题、振动问题等领域有广泛应用。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
单位圆与三角函数关系
REPORTING
WENKU DESIGN
单位圆定义及性质
单位圆的定义
在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，1为半径的圆称为单位圆。
单位圆的性质
单位圆上的任意一点P(x,y)都满足$x^2+y^2=1$的关系。特殊地，当射线OP与x轴正半轴形成的角为α时，P点的坐标可表示为$(cosalpha, sinalpha)$。
余弦函数（cosine）
余弦函数表示一个角的余弦值与角度之间的关系，记作cos(x)。在单位圆中，余弦值等于对应角的邻边长度与斜边长度的比值。
正切函数（tangent）
正切函数表示一个角的正切值与角度之间的关系，记作tan(x)。在单位圆中，正切值等于对应角的对边长度与邻边长度的比值。

高一数学人必修课件单位圆与三角函数线

06
课程总结与拓展延伸
课程重点内容回顾
单位圆的定义与性质
单位圆是以原点为圆心，半径为1的圆。其方程为 $x^2+y^2=1$。单位圆在三角函数中具有重要地位，因为三角函数的定义和性质都与单位圆密切相关。
三角函数的基本性质
三角函数具有周期性、奇偶性、单调性等基本性质。这些性质可以通过单位圆和三角函数线的图像进行直观理解。
有界性
正弦线和余弦线的值域都是[1,1]，而正切线的值域是R（实数集）。
单调性
正弦线和余弦线在各自周期内具有单调性，而正切线在定义
域内不具有单调性。
三角函数线与单位圆的关系
要点一
单位圆定义
在平面直角坐标系中，以原点O为圆心、1为半径的圆称为单位圆。
要点二
三角函数线与单位圆的交点
正弦线、余弦线和正切线与单位圆的交点分别对应着角α的正弦值、余弦值和正切值。具体来说，当角α的终边与单位圆交于点P(x,y)时，sinα=y ，cosα=x，tanα=y/x（x≠0）。
02 03
分析
学生的解答中，sinγ的值计算正确，但cosγ的值计算错误。根据三角函数的定义，cosγ=x/r，其中x为点M的横坐标，r为OM的长度。因此，正确的解法应该是cosγ=-1/√5。
纠正
在解题时，要认真审题，注意三角函数定义中的符号问题。同时，要熟练掌握同角三角函数的基本关系式，以便在解题时能够灵活运用。
性质
单位圆上的任意一点P(x,y)都满足 x²+y²=1。
单位圆上的点与三角函数值的关系
01
任意角α的终边与单位圆交于点 P(x,y)，则sinα=y，cosα=x。
02
通过单位圆可以直观地理解三角函数的定义域、值域、周期性、奇偶性等性质。

高中数学必修四第一章单位圆与三角函数线

人大附中分校高一数学导学学案1．单位圆的概念. 2．有向线段的概念. 3．用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值.．分别作出和例2．利用单位圆和三角函数线比较大小：(1> sin1和sin1.5。

(2> cos1和cos1.5。

(3> tan2和tan3.(1> sin1<sin1.5。

(2> cos1>cos1.5。

(3> tan2<tan3.例3. 已知sinx=0.5，利用单位圆和三角函数线求角x的大小.(0º<x<360º> 30°和150°随堂练习1．对三角函数线，下列说法正确的是( >A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线B．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在解读：选 D.正弦函数和余弦函数的定义域是R，所以任何角的正弦线、余弦线总是存在，正切函数的定义域不是R，所以任何角的正切线不一定存在．b5E2RGbCAP2．角α(0<α<2π>的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为( >A.错误!或错误!πB.错误!或错误!πC.错误!或错误!πD.错误!或错误!πp1EanqFDPw解读：选C.由条件知sinα＝cosα，又0<α<2π，∴α＝错误!或错误!.3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( >A．第一象限 B．第一、二象限C．第三象限 D．第一、三象限解读：选 D.由正切线的定义知，当角α是第一、三象限的角时，正切线都在第一象限．4．不等式cosα≤错误!的解集为____________________________．DXDiTa9E3d解读：画出单位圆，然后画出直线x＝错误!，从图形中可以看出．答案：{α|2kπ＋错误!≤α≤2kπ＋错误!，k∈Z}申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

课件1：1.2.2 单位圆与三角函数线

3
的正弦线为MP,余弦线为OM
, 正切线为AT
点评：根据三角函数线的定义作出三角函数线，有向线段 MP、OM、AT为正弦线、余弦线、正切线.关键是作出各个点，O点为坐标原点，点A(1,0)为单位圆与 X正半轴的交点，点P为任意角α 的终边与单位圆的交点P(x,y)，过P作X 轴的垂线，垂足为M ；过点A(1,0) 作单位圆的切线，它与角α 的终边或其反向延长线交与点T .
点评：三角函数线是一个角的三角函数直观体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．因此，比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数线．
2．比较下列各组数的大小．

(1)sin1和sin
3
(2)cos4 和cos 5
7
7
解析：(1)sin1＜ sin (2)cos 4 ＞cos 5
O
x
PT
(Ⅳ)
α的终边
自主探究
4.当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的几何含
义如何？
y
P
P
Ox
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点；当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.
预习测评
1．对三角函数线，下列说法正确的是( D ) A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在 C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在 D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在解析：当角的终边落在Y轴上时，正切线不存在，故选D.
3
D． (0, )
3
(5 ,2 )
3
解析：A明显范围不对，B、C都不全面，故选D.
误区解密：因忽略有向线段的方向而出错

三角函数线

1 单位圆的定义：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。

2 三角函数的定义：如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么得到六个三角函数
有向线段：有大小和方向的线段。

3，正弦线作法：
(1)设角的终边与单位圆交于点P(x,y),过点P作x轴的垂线,垂足M,
得有向线段MP叫做角的正弦线，当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且y有正值；当线段MP与y 轴反向时，MP的方向为负向，且y有负值。

同理可得余弦线等其它线。

正弦线的方向以上为正，且永远为从点P在x轴的投影点M指向终边与单位圆的交点P，
余弦线的方向以右为正，且永远为从原点O指向终边与单位圆的交点P在x轴的投影点M，
4. 正切线作法：
根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有
正切线的方向以上为正, 正切线的方向永远从（1，0）指向角终边所在直线，
且正切线永远在y轴右边，正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上。

角终边落在1、3象限正切线为正，2、4象限时正切线为负，
常用的三种三角函数线的作法：
第一步：作出角的终边，与单位圆交于点P；
第二步：过点P作X轴的垂线，设垂足为M，得正弦线MP、余弦线OM；
第三步：过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线的交点设为T，得角的正切线AT.
特别注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写时要带上方向符号。

五、三角函数线的应用。