单位圆与三角函数线教案

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单位圆与三角函数线教案

单位圆与三角函数线教案教案：单位圆与三角函数线一、教学目标：1.理解单位圆的定义及性质；2.掌握三角函数线的定义；3.能够在单位圆上确定三角函数的取值范围；4.能够根据给定的角度求解三角函数的值。

二、教学重点：1.单位圆的性质；2.三角函数线的定义。

三、教学难点：1.单位圆上角度和三角函数之间的关系；2.在单位圆上确定三角函数的取值范围。

四、教学过程：Step 1：引入1.引导学生回顾三角函数的定义，并简要介绍单位圆的概念。

3.学生回答后，引导他们思考如何用单位圆解释三角函数。

Step 2：单位圆的定义及性质1.展示单位圆的图像，并介绍单位圆的定义。

2.提出问题：“单位圆的半径是多少？圆心在哪里？为什么称之为‘单位’圆？”3.引导学生发现单位圆的半径为1，并解释为什么称之为“单位”圆。

4.提问：“单位圆上一个点的坐标有什么特点？”5.学生回答后，引导他们发现单位圆上的点的坐标可以用三角函数表示。

6. 总结：单位圆上点的坐标(x,y)可以表示为(x,y)=(cosθ,sinθ)，其中θ为与正半轴的夹角。

7.展示并讲解单位圆上一些特殊角度的坐标及对应的三角函数值。

Step 3：三角函数线的定义1.提醒学生在单位圆上的角度是从正半轴逆时针旋转的，而实际应用中角度是从正半轴顺时针旋转的。

3.解释正弦函数、余弦函数和正切函数的定义及性质。

4.强调正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性。

Step 4：确定三角函数的取值范围1.提醒学生在单位圆上，正弦函数和余弦函数的取值范围是[-1,1]。

2.提问：“在什么角度上，正弦函数和余弦函数的值等于1、等于0、等于-1？”3.学生回答后，引导他们在单位圆上确定三角函数的取值范围，并总结出规律。

4.引导学生发现正切函数的取值范围是整个实数轴，不存在界限。

Step 5：求解三角函数的值1.提醒学生在单位圆上，正弦函数和余弦函数的值由点的y坐标决定，正切函数的值由点的y坐标除以点的x坐标决定。

7.2.2 高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》

高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》教材分析与单位圆有关的三角函数线是对任意三角函数定义的一种“形”上的补充，它作为三角函数线的几何表示，使学生对三角函数的定义有了直观的理解，同时能帮助我们理解和掌握三角函数的定义域及三角函数的符号规律，加深数与形的结合。

三角函数线贯穿了整个三角函数的教学，借助三角函数线，可以推导出同角三角函数的基本关系式及诱导公式，画出正弦曲线，解出三角不等式，求函数的定义域及比较大小。

可以说，三角函数线是研究三角函数的有力工具。

学情分析1、学生在学习本节课之前已经学习了任意角的三角函数的定义和三角函数值在各个象限的符号。

利用几何画板工具，学生可以有效地进行数学试验。

2、在角的分类中，学习角的终边所在的象限知识，学生可能会只考虑到象限角而忽视轴上角，在学习新概念之前要复习且强调一下。

3、向量和实数的对应关系是新内容，学生需要提前掌握。

教学目标1、经过三角函数线的学习，培养数学抽象和直观想象核心素养。

2、借助三角函数的应用，培养逻辑推理及直观想象核心素养。

教学重点认识三角函数线的意义。

教学难点会用三角函数线表示一个角的正弦。

教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、问题导入我们已经知道，如果P （x ，y ）是α终边上异于原点的任意一点，r = √x 2+y 2，则sin α = = y r ，cos αx r 。

如果选取的P 点坐标满足x 2+y 2 = 1，则上述正弦与余弦的表达式有什么变化？由此你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗？二、学习新知不难看出，如果x 2+y 2 = 1，则sin α = y ，cos α= x 。

因为x 2+y 2 = 1可以化为√（x −0）2+（y −0）2 = 1因此P （x ，y ）到原点（0，0）的距离为1。

一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x 2+y 2 = 1的点组成的集合称为单位圆。

因此，如果角α的终边与单位圆的交点为P ，则P 的坐标为（cos α，sin α）这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。

「课题：单位圆和三角函数线(教案)」

课题:7．3．2单位圆和三角函数线.教学目标：1.理解三角函数的几何意义，掌握用单位圆中的有向线段表达三角函数值的方法,能由已知角正确作出它的三角函数线．2．能够根据角的终边与单位圆交点的坐标：（)求特殊角的三角函数值及确定各三角函数值在各象限的符号,并牢记它们，能熟练应用.3.通过三角函数线的教学培养学生数形结合的思想和能力.教学重点:三角函数线及各象限的角的三角函数值符号．教学难点：三角函数线的概念和性质．教学方法：启发点拨,讲练结合．教学用具:三角板、圆规、投影片.教学过程：一、复习引入1.复习提问(1)已知角终边上一点，点到原点的距离为ｒ,试说出角的余弦、正弦和正切值.又问:另外的3种函数——正割、余割和余切与它们有何关系?怎样定义的？（２)以上定义的各种比值与点在角终边上的位置有没有关系？为什么？其中余弦和正弦这两种比值分别等于什么？(,分别是角的终边上单位向量在轴、轴上的正射影的数量.)(3)如果在(1）中取=１,那么点就是单位圆(以坐标原点为圆心,半径为1的圆)上的一点，此时可以写成怎样的表达式？2.引入7.3.2单位圆与三角函数线从刚才的提问我们可以知道：角终边与单位圆交点的横、纵坐标分别等于的余弦和正弦，即有(),亦即=(),由于|｜＝1,所以cｏs和sｉn分别是角终边上单位向量在轴、轴上的正射影的数量．于是作出在轴和轴上的正射影,我们便可得到的几何表示.（出示预先准备好的小黑板，请同学作出在轴、轴上的正射影和,对于向量的方向应注意强调，并予以纠正．)二、新课1.三角函数线由于的数量(或坐标)可用来表示,所以有,同理．于是定义为的余弦线, 为的正弦线．请同学思考正切线如何作呢?启发:因为=，如果能在角的终边上取一点,使得它的横坐标为1,那么点的纵坐标不就表示了的值吗?而要使点的横坐标为１,那么点的纵坐标就必在过单位圆与轴正向的交点(１,0）的单位圆的切线上．教师边讲边作出，当的终边在第二、三象限时,提示学生让的终边的反向延长线与过的单位圆的切线相交找到点.怎样说明就是的正切线呢？启发:由作图可知(１,），即=（１，tａｎ)，因在轴上的正射影为,即有=，所以定义为的正切线.强调:三角函数线都是有向线段，在作图及表示它们时要注意它们的方向，分清始点和终点，书写顺序不能颠倒.(作图板演时分别用不同颜色的笔区别开三种函数线．）例1如图2所示，,边与单位圆相交于点,求点的坐标.解：设点的坐标为（、)，则所以点的坐标为.例2 求下列各角的三角函数值:（1)０；(2)；(3)；(4)(5)2．解：由角的终边与单位圆交点坐标可得：(以上三角函数值要求会熟练推导，并牢固记忆.)三、小结单位圆是从“形”与“数”两方面研究三角函数的一种十分有用的工具．利用这个工具我们得到了：“角的终边与单位圆交点坐标为)”这一重要结论．由此我们研究了以下三个问题：（1)得到了三角函数值的一种几何表示,即三角函数线;(２）求特殊角的三角函数值.（3)得到了三角函数值在各象限的符号规律(全、、、).四、作业1.复习课文.做第215页练习,第1，2,3题，第1,２题．2.预习下一节.五、板书设计。

单位圆与三角函数线说课

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二、学情分析
学生已经掌握了任意角三角函数的定义，为三角函数线的寻找做好了知识准备。关于轴上向量的概念在解析几何初步中已经学习过，已明确轴上的向量是既有大小又有方向的量
高一学生个性活泼，思维活跃，动手实践、合作探究的积极性高
高一学生的知识迁移能力、知识的运用能力、独立思考的意识与能力以及解决问题的能力还有欠缺
有向线段MP的数量等于角的正弦，把有向线段MP叫做正弦线有向线段OM的数量等于角的余弦，把有向线段OM叫做余弦线
提高学生自主分析问题，解决问题的能力。同时使学生观察数到形的转化。
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3、合作探究，归纳应用教学过程
问题三：类比正弦线，余弦线归纳出正切线的定义。
设计意图
学生分组合作，教师巡视，解决疑难
作法：
练习4：
例1：
例2：
小结：
例3：
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七、教学反思在教学设计中，我突显了教学的有效性：引导学生积极、主动地参与学习；使教师与学生、学生与学生之间保持有效互动的过程；为学生的自主建构创设平台，鼓励学生参与讨论、表述思想、展示自我，形成对知识真正的个性化的理解，获得对本学科的积极体验与情感．
设计意图
进一步加深对正切线的理解，体会数形结合的思想，并为以后学习诱导公式做好铺垫。
y P T Q β α NO M A x
T/
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3、合作探究，归纳应用教学过程设计意图
问题六：当α终边落在坐标轴上时，强调：α终边落在x轴上时，正弦线、正切线分别变成一情况又如何？
个点， α终边落在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在。当角α终边与角β 的终边位置关于坐标轴对称时，它们的正切线有何关系？让学生意识到和上节课用代数定义计算的结果吻合。从而体现数与形的完美结合。

单位圆和三角函数线课件(说课)

问题二、P点位于什么位置时，角的正弦值和
余弦值表示最简单?这时P点的坐标是什么？
问题三、如何用轴上向量表示出角的正弦值、
余弦值?
.
y
定义：我们把轴上向量OM
,
ON
叫做的的余弦线、正弦线。
其中 cos = OM ,sin = ON .
B(0,1) N
A`(-1,0) O
P(cosa,sina)
三、教学方法
2、学法分析
类比学习：由正弦线、余弦线的分析类比到正切线的学习．
探究定向性学习：学生在教师建立的问题构架下，通过思考、分析、操作、探索，归纳得出三种三角函数线的定义．
主动合作式学习：学生在归纳得出三种三角函数线的定义时，通过小组讨论，纠正错误理解，使问题得以圆满解决．
三、教学方法
练习2、分别作出下列各角的正切线：
（1）（2）5 （3） 2 （4） 13
3
6.
3
6
步骤：1、以A为原点建立 y轴与 y轴同向；
2、y轴与的终边或其反向延长线相交于点T ，T源自正切线 ATAT四、教学设计
（三）巩固应用，能力形成
例1、分别作出 0，的正弦线、余弦线、正切线：
2
例2、设是第一象限的角，作的正弦线、余弦线、正切线，由图证明下列各等式：
单位圆与三角函数线
2、正切函数线
例2
练习2
三、应用举例例1
四、课堂小结，五、布置作业
教学环节复习引入概念形成能力形成反思小结布置作业
时间分配 5分钟 9分钟 25分钟 5分钟 1分钟
一、教材分析二、学情分析三、教学方法四、教学设计五、设计说明
一、教材分析

《单位圆与三角函数线》优秀教案

1.2.2 单位圆与三角函数线1.单位圆：一般地，圆心在原点，半径为的圆叫做单位圆；2.正射影：过点P 作PM 于直线l 于M ，则点M 是点P 在直线l 上的正射影（简称射影）；3.三角函数线的概念设任意角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过点P 作PM 垂直x 轴于M ，作PN 垂直y 轴于点N ．由三角函数的定义可知，点P 的坐标为(cos α，sin α)，即P(cos α，sin α)．其中cos α＝，sin α＝ .也就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的和．又设单位圆在点A （单位圆与x 轴的正半轴的交点）的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则=αtan ；我们把有向线段 , , 分别叫做α的、和；【例题】例.分别作出3π,65π,45π和4π-的正弦线，余弦线和正切线.【练习题】1.已知角α的终边和单位圆的交点为P ，则点P 的坐标为--------------------------------( )A ．(sin α，cos α)B ．(cos α，sin α)C ．(sin α，tan α)D ．(tan α，sin α)2.若tan θ≥0，那么θ的范围是-----------------------------------------------------------------( )A ．[0°，90°)B ．[0°，90°)∪(180°，270°)C ．[k ·180°，k ·180°＋90°)(k ∈Z)D ．[k ·360°，k ·360°＋90°)(k ∈Z)3.若α是第一象限角，则ααcos sin +的值与1的大小关系是---------------（）A.1cos sin >+ααB.1cos sin =+ααC.1cos sin <+ααD.不能确定4.使x x cos sin ≤成立的x 的一个区间是---------------------------------（） A.]4,43[ππ- B.]2,2[ππ- C.]43,4[ππ- D.],0[π 5.利用单位圆，可得满足22sin <α，且),0(πα∈的α的集合为 . 6.设24παπ<<，角α的正弦线、余弦线和正切线的数量分别为a,b 和c,由图比较a,b,c 的大小。

高中数学第七章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.2单位圆与三角函数线教案新人教B版第三册

7.2.2 单位圆与三角函数线(教师独具内容)课程标准：1.理解三角函数的正弦线、余弦线、正切线的定义.2.能作出角的三角函数线，并利用三角函数线观察三角函数的相关信息．教学重点：利用三角函数线观察三角函数的相关信息，体会数与形的结合．教学难点：三角函数线的运用.【知识导学】知识点一单位圆(1)一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足□01x 2＋y 2＝1的点组成的集合称为单位圆． (2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的□02横坐标和□03纵坐标．知识点二三角函数线如图，设单位圆的圆心在原点，角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，点P 在x 轴上的正射影为M ，点P 在y 轴上的正射影为N ，过A (1,0)作单位圆的切线交α的终边OP 或其反向延长线于点T ，则(1)把向量OM →，ON →，AT →分别叫做α的□01余弦线、□02正弦线、□03正切线，正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．(2)其中|cos α|＝□04|OM →|，|sin α|＝□05|ON →|，|tan α|＝□06|AT →|，其大小分别等于该坐标系下相应线段的长度，其正负是这样规定的：从起点到终点的方向与坐标轴的正方向相同时为正，相反时为负，即OM →的方向与x 轴的正方向相同时，表示cos α是正数，且cos α＝|OM →|，OM →的方向与x 轴的正方向相反时，表示cos α是负数，且cos α＝－|OM →|；ON →的方向与y 轴的正方向相同时，表示sin α是正数，且sin α＝|ON →|，ON →的方向与y 轴的正方向相反时，表示sin α是负数；且sin α＝－|ON →|；AT →的方向与y 轴的正方向相同时，表示tan α是正数，且tan α＝|AT →|，AT →的方向与y 轴的正方向相反时，表示tan α是负数，且tan α＝－|AT →|.【新知拓展】1．单位圆中的“单位”半径为1的圆是单位圆，这里的1不是1 cm ，不是1 m ，而是指1个单位长度，即作图时，规定的1的单位的长度．2．对三角函数线的几点说明(1)三角函数线是三角函数的图形表示．(2)在三角函数线中，点M ，N ，P ，A ，T 都是确定的，一般不可随意调换．P ——角的终边与单位圆的交点， M ——点P 在x 轴上的正射影， N ——点P 在y 轴上的正射影，A ——单位圆与x 轴正半轴的交点，坐标(1,0)， T ——过A 的垂线与角的终边(或其延长线)的交点．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角函数线的长度等于三角函数值．( ) (2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( ) (3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1) 如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM →，正切线A ′T ′→B ．正弦线MP →，正切线A ′T ′→C ．正弦线MP →，正切线AT →D ．正弦线PM →，正切线AT →(2)如果MP ，OM 分别是角α＝3π16的正弦线和余弦线的数量，则下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．MP >OM >0C ．OM <MP <0D ．OM >MP >0(3)已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( ) A.3π4或π4 B.5π4或7π4 C.π4或5π4D.π4或7π4答案 (1)C (2)D (3)C题型一画出角的三角函数线例1 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．(1)sin α＝23；(2)cos α＝－35；(3)tan α＝2.[解] (1)作直线y ＝23交单位圆于P ，Q 两点，则OP 与OQ 为角α的终边，如图①.(2)作直线x ＝－35交单位圆于M ，N 两点，则OM 与ON 为角α的终边，如图②.(3)在直线x ＝1上截取AT ＝2，其中A 的坐标为(1,0)．设直线OT 与单位圆交于C ，D 两点，则OC 与OD 为角α的终边，如图③.金版点睛1．作三角函数线的四个步骤(1)确定角的始边，单位圆与x 轴交点A (1,0)． (2)确定角的终边与单位圆的交点P .(3)过P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足为M ，N ，过A 作x 轴的垂线，与角的终边(或其反向延长线)交于T (T ′)．(4)得正弦线ON →，余弦线OM →，正切线AT →(或AT ′→)． 2．单位圆中求作角的终边的方法应用三角函数线可以求作满足形如f (α)＝m 的三角函数的角的终边，具体作法是先作出直线y ＝m 或x ＝m 与单位圆的交点，再将原点与交点连接所得射线即为所求角的终边．[跟踪训练1] 作出5π4的正弦线、余弦线和正切线．解在直角坐标系中作以坐标原点为圆心的单位圆，如图所示，以x 轴的正半轴为始边作5π4的终边，与单位圆交于点P ，作PM ⊥x 轴于点M ，作PN ⊥y 轴于点N ，由单位圆与x 轴正方向的交点A 作x 轴的垂线与5π4的终边的反向延长线交于点T ，则ON →，OM →，AT →分别为5π4的正弦线、余弦线、正切线.题型二利用三角函数线比较大小例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小： (1)sin 2π3与sin 4π5；(2)cos 2π3与cos 4π5；(3)tan 2π3与tan 4π5.[解] 如图，在单位圆中，2π3的终边为OP 1，4π5的终边为OP 2，过P 1，P 2分别作x 轴的垂线，垂足为M 1，M 2，延长P 1O ，P 2O 交经过A (1,0)的单位圆的切线于T 1，T 2.(1)sin 2π3＝|M 1P 1→|，sin 4π5＝|M 2P 2→|，∵|M 1P 1→|>|M 2P 2→|，∴sin 2π3>sin 4π5.(2)cos 2π3＝－|OM 1→|，cos 4π5＝－|OM 2→|，∵－|OM 1→|>－|OM 2→|，∴cos 2π3>cos 4π5.(3)tan 2π3＝－|AT 1→|，tan 4π5＝－|AT 2→|，∵－|AT 1→|<－|AT 2→|，∴tan 2π3<tan 4π5.金版点睛三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，三角函数线的长度是三角函数值的绝对值，因此，对于同名三角函数值的大小比较，利用三角函数线求解比较直观、形象．(1)sin α与sin β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P 1，P 2，然后比较P 1，P 2两点纵坐标的大小即可得sin α与sin β的大小．(2)cos α与cos β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P 1，P 2，然后比较P 1，P 2两点横坐标的大小即可得cos α与cos β的大小．(3)tan α与tan β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边，过点(1,0)作垂线，设与角α，β的终边所在直线分别交于点T 1，T 2，然后比较T 1，T 2两点的纵坐标的大小即可得tan α与tan β的大小．[跟踪训练2] 若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则下列各式错误的是( ) A ．sin θ＋cos θ<0 B ．sin θ－cos θ>0 C ．|sin θ|<|cos θ| D ．sin θ＋cos θ>0答案 D解析因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，作出角的正弦线和余弦线如图所示，所以sin θ>0，cos θ<0，且|sin θ|<|cos θ|，所以sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0.题型三利用三角函数线证明不等式例3 已知α为锐角，求证：1<sin α＋cos α<π2.[证明] 如图，设角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y )，过点P 作PQ ⊥Ox ，PR ⊥Oy ，Q ，R 为垂足，连接PA ，PB ， ∵y ＝sin α，x ＝cos α，在△OPQ 中，|QP →|＋|OQ →|>|OP →|， ∴sin α＋cos α>1.∵S △OPA ＝12|OA →|·|PQ →|＝12y ＝12sin α，S △POB ＝12|OB →|·|PR →|＝12x ＝12cos α， S 扇形OAB ＝14×π×12＝π4，又四边形OAPB 被扇形所覆盖， ∴S △OPA ＋S △POB <S 扇形OAB ，∴12sin α＋12cos α<π4，即sin α＋cos α<π2. ∴1<sin α＋cos α<π2.金版点睛利用三角函数线证明不等式的策略一般先根据条件作出三角函数线，在进一步证明不等式的过程中往往需要借助于三角形和扇形的面积，按题意适当放大或缩小证明结论．[跟踪训练3] 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：sin α<α<tan α. 证明在单位圆中设∠AOP ＝α，则AP ︵的长度为α，角α的正弦线为MP →，正切线为AT →，∵△OPA 面积<扇形OPA 面积<△OAT 面积，∴12|OA →|·|MP →|<12|OA →|·α<12|OA →|·|AT →|，即|MP →|<α<|AT →|，∴sin α<α<tan α.1．关于三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在答案 D解析正弦函数和余弦函数的定义域是R ，所以任何角的正弦线、余弦线总是存在，正切函数的定义域不是R ，所以任何角的正切线不一定存在．2．已知角α的正弦线的长度为1，则角α的终边在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．x 轴的正半轴上 D ．y 轴的正半轴上答案 B解析若正弦线长度为1，则sin α＝±1，所以角α终边为y 轴上．3.在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 答案 B解析利用单位圆和三角函数线解不等式．如图所示，∠P 2OM 2＝π6，∠P 1OM 1＝5π6，|P 1M 1→|＝|P 2M 2→|＝12，则图中阴影部分为所求，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.4．角π6的终边与单位圆的交点的坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫32，12 解析 cos π6＝32，sin π6＝12，所以角π6的终边与单位圆的交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.5．画出α＝2的正弦线、余弦线和正切线．解如图所示，MP →＝sin2，OM →＝cos2，AT →＝tan2.。

单位圆与三角函数线教案

单位圆与三角函数线教案目的：要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。

过程：一、备考三角函数的.定义，表示：定义从代数的角度阐明了三角函数就是一个比值。

二、提出课题：从几何的观点来揭示三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值。

三、新授：1. 介绍(定义)单位圆圆心在原点o，半径等于单位长度的圆。

此处略设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，角的终边也与单位圆交于p，坐标轴正半轴分别与单位圆交于a、b两点过p(x,y)作pmx轴于m，过点a(1,0)作单位圆切线，与角的终边或其反向延长线交于t，过点b(0,1)作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线交于s。

3. 直观了解向量(具有方向的量用正负号则表示)有向线段(带有方向的线段)。

方向可行与坐标轴方向相同，长度用绝对值则表示。

例：有向线段om，op 长度分别为当om=x时若 om看做与x轴同向 om具备正值x若 om看作与x轴反向 om具有负值x4.存有向线段mp,om,at,bs分别称为角的正弦线,余弦线,正切线,余切线四、例一，利用三角函数线比较以下各组数的大小：1 与2 tan 与tan3 cot 与cot求解：例如图所述：tan tancot cot例二，利用单位圆寻找适合下列条件的0到的角 1 sin 2 tan解： 1 230 90或例三求证：若时，则sin1 sin2证明：分别作1,2的正弦线x的终边无此x轴上 sin1=m1p1 sin2=m2p2∵m1p1 m2p2 即sin1 sin2五、小结：单位圆，有向线段，三角函数线六、作业：课本 p15 练 p20习题4.3 2。

单位圆与三角函数线教案

山东省诸城实验中学课时教案学科___数学__ 模块___ 必修4 任课教师____ 上课时间：2013年3月____日知识与技能目标：1.单位圆的概念. 2.有向线段的概念. 3.用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值.过程与方法目标：正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来，经历知识产生的过程，培养分析问题、解决问题的能力。

情感态度与价值观目标：通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间.一、引入新课对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法1、观览车在转动过程中，座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化，二者之间有怎么样的联系？二、概念形成1、一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x 轴的交点分别为A(1，0)，A’(－1，0).而与y 轴的交点分别为B(0，1)，B’(0，－1).N1B'(0,-1)B (0,1)A'(-1,0)A (1,0)αM P (cos α,sin α)yxO2、有向线段：带有方向的线段；有向线段的数值由其长度大小和方向来决定。

OxAB3、三角函数线设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P (x ，y ），过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；做PN 垂直y 轴于点N ，则点M 、N 分别是点P 在x 轴、y 轴上的正射影.N1B'(0,-1)B (0,1)A'(-1,0)A (1,0)αM P (cos α,sin α)yxO根据三角函数的定义有点P 的坐标为(cos α,sin α) 其中cos α=OM ，sin α=ON .这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标.以A 为原点建立y ’轴与y 轴同向，y ’轴与α角的终边(或其反向延长线)相交于点T (或T ’)，则tan α=AT (或AT ’)第 4 页。

单位圆与三角函数线(说案)

单位圆与三角函数线（说课）一、教材分析1、教材的地位和作用著名数学家欧拉提出三角函数与三角函数线的对应关系以后，使得对三角函数的研究大为简化。

《单位圆与三角函数线》是人教版B版高中数学必修四第一章第二单元的第二课时，安排在“角的概念的推广”、“弧度制”和“三角函数的概念”之后。

通过本节课的学习，把三角函数的代数定义和几何定义有机地结合起来，由“数”转化为“形”，又为继续学习三角函数的各种关系式、诱导公式、三角函数的图像及性质等提供了另一种工具，具有承前启后的重要作用。

由于三角函数线是三角函数定义的几何表示，所以应用三角函数线解决三角问题显得非常直观，有利于提高学生自主地分析问题和解决问题的能力。

2、教学目标：根据教学大纲要求、新课程标准精神，本节课的知识特点以及高一学生已有的知识储备状况和学生心理认知特征，我确定了本节课的教学目标如下：（1）知识与技能：能借助于单位圆理解三角函数线的定义；会画出任意角的三角函数线；能根据三角函数线总结出三角函数值随角度变化的规律；能运用三角函数线解决简单的实际问题。

（2）过程与方法：通过三角函数线的作图，掌握用数形结合的思想解决数学问题的方法。

提高学生自主分析地分析问题和解决问题的能力。

（3）情感、态度、价值观：通过本节课的作图、分析、展示，体验数学的美，感受学习的快乐；通过学生之间、师生之间的交流与合作，创设共同探究、教学相长的教学氛围；通过给学生及时、恰当的评价和鼓励激发学生对数学学习的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神。

通过情景的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

3、教学的重点和难点：根据本节课的地位与作用及教学目标，我认为本节课的重点、难点、关键分别是：重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值，培养学生数形结合的良好的思维习惯。

难点：理解三角函数和三角函数线间的关系，准确作图。

高中数学_单位圆与三角函数线教学设计学情分析教材分析课后反思

单位圆与三角函数线授课人：一、教学目标：1.知识与技能目标：借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题。

2.过程与方法目标：借助单位圆的直观特征，引导学生自主探索三角函数线的有关问题，培养他们分析问题和解决问题的能力，使学生领会数形结合的思想。

3.情感、态度与价值观目标：通过多媒体教学，激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于探索的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境。

二、教学重点、难点：教学重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值，培养学生数形结合的良好的思维习惯。

教学难点：正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值。

三、教学方法与手段：本节课将按照以教师为主导，以学生为主体，以问题探究为主线，以多媒体辅助教学为手段，遵从认识规律，激发学习兴趣，提高课堂效率。

四、教学过程：,x y三角函数的定义：α的终边上任取一点)P特殊情况：α的终边在正切线变成了一点，它的数量为零，即1.知识层面：（1）学习本节前，学生已经学习了任意角三角函数的定义，为三角函数线的寻找做好了知识准备。

（2）学生在必修2中已经学习了向量的概念，用实数可以表示数轴上的一个向量（人教B 版必修2第66页）； 2.能力层面：经过一学期的学习学生初步有了数形结合的思想和借助图形分析和解决问题的能力。

3.情感层面：高一学生思维活跃，对课堂活动参与的积极性高，利于课堂活动的组织，且学生对数学新知识的学习具有相当的兴趣和积极性。

【课上评测练习】向量的数量：向量AB 的数量AB= ;向量BA 的数量BA= ;向量AC 的数量AC= .【效果分析】由于考虑到必修二中向量的知识可能遗忘，因此通过学生做这道题来温故知新，学生的正确率很高，从这点来看效果很好。

例1作出23π的正弦线和余弦线，并比较其数量的大小. 【效果分析】通过多媒体动画演示，让学生掌握作图的要领和注意的地方。

《单位圆与三角函数线》教学设计

《单位圆与三角函数线》教学设计一、教学背景与设计二、教学过程共同举例思考学生回答：在终边上任意取的点，函数值是相等。

相似三角形可对应边成比例。

让分母相同让分母为1回答：单位长1—如1 cm、1 dm、1 m、1 km等等，都是1个单位长，它们的单位虽不同，但长度都是1个单位长.即单位圆的半径是1(个单位长).独立思考问题后交流合作：过单位圆与射线的交点P，向x轴做垂线，垂足为M。

50°所应用的垂线段比70°所对应的垂线段短∴sin50°< sin70分组讨论;画出余弦线；个别同学展示；说出余弦线的画法个垂直x 轴向量，使它的数量为α的正切？ 2）角α是第二象限的角时能否找到一个垂直于x 轴向量，其数量为tan α？3轴上向量AT 叫做α的正切线AT OAAT x y ===αtan预设多种答案帮助学生选择更适合的向量表述函数值正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线. 三角函数线把代数问题几何化，对我们理解函数有什么便捷之处？学习函数的方法和手段不但扩充，是一个持续待完善的过程。

怎样体现函数知识呢？课下探究。

具体的应用 1 画出-32π正弦线，余弦线和正切线？（同学之间相互评价） 2比大小： sin75° tan75° sin(-75°) tan(-75°) cos15° cos75° 3在 24πθπ<<三、相关预案学习探究作业一、课题：单位圆与三角函数线二、学习目标知识与技能：掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值，并能利用三角函数线解决一些简单三角函数的问题。

过程与方法：借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力。

情感态度价值观：通过对探究过程的引导，提高学习数学的兴趣，培养主动探究的习惯，形成可持续发展的价值观。

单位圆与三角函数线教案

结论：1、单位圆 2、三角函数线
学生总结
教学重点：正确的用三角函数线表示任意角的三角函数值
三、应用训练例1、分别作出下列角的正弦线、余弦线、正切线
教学难点：正确的用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值 “问题探究式”教学法，通过学生发现问题、分析问题和解决问题的过程，让学生主动参与到教学和学习活动中来，形成以学生为中心的探究性学习活动。教师活动学生活动一、复习引入二、探求新知问题 1：设角α终边与单位圆相交于点 P,当角α是第一象限角时，能否在坐标轴上找两个以原点为起点的向量,使 P 点的坐标分别是这两个向量的数量？？问题 2：当终边在第一象限时，角α的正余弦与 P 的纵、横坐标之间有何关系？？问题 3：学生自由作答学生回答
探究：
分组讨论，并派代表回答问题观察下列不等式：：
α是二、三、四象限时向量ON ( MP ),
OM的数量与角 α的正余弦值是否相等？
sin
π
问题 4：α是第一象限角，能否在坐标系中找到一个垂直于 x 轴向量，使它的数量为α的正切？问题 5：角α是第二、三、四象限的角时能否找到一个垂直于 x
sin
π
3
6
<
π
6
< tan
π
6
sin
π
4
<
π
4
< tan
π
4
ห้องสมุดไป่ตู้
<
π
3
< tan
π
3
你有什么一般猜想？
-1-
-2-
《单位圆与三角函数线》单位圆与三角函数线》
1.2.2 单位圆与三角函数线教学目标

单位圆与三角函数线教案

单位圆与三角函数线教案教案1：单位圆与正弦函数教学目标：1.了解单位圆的定义和性质。

2.熟悉正弦函数的定义和性质。

3.掌握单位圆与正弦函数之间的关系。

教学重难点：1.单位圆的理解和运用。

2.正弦函数的定义和性质。

教学准备：1.黑板、粉笔。

2.图形计算器。

教学过程：Step 1 引入问题教师通过提问引入问题：“你们知道单位圆是什么吗？”Step 2 介绍单位圆教师从图形上展示一个圆，解释圆的定义，然后引入单位圆的概念，即半径为1的圆。

Step 3 单位圆的性质教师讲解单位圆的性质：1.单位圆的圆心在原点O(0,0)。

2.单位圆的半径长度为13.单位圆上的点P(x,y)满足x²+y²=1Step 4 单位圆与正弦函数的关系教师引入正弦函数的概念，并与单位圆进行关联：1. 正弦函数sinθ表示单位圆上角度为θ的点的y坐标。

2.正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1,1]。

3.正弦函数的图像是一条平滑的曲线，可通过图形计算器展示。

Step 5 练习教师出示几道练习题，以巩固学生对单位圆和正弦函数的理解。

1. 求解sin30°的值。

2. 求解sin(π/4)的值。

3. 如果sinθ = 1/2，求解θ的值。

Step 6 总结教师总结本节课所学内容，并与学生一起回答学生提出的问题。

教案2：单位圆与余弦函数教学目标：1.了解单位圆的定义和性质。

2.熟悉余弦函数的定义和性质。

3.掌握单位圆与余弦函数之间的关系。

教学重难点：1.单位圆的理解和运用。

2.余弦函数的定义和性质。

教学准备：1.黑板、粉笔。

2.图形计算器。

Step 3 单位圆的性质教师讲解单位圆的性质：1.单位圆的圆心在原点O(0,0)。

2.单位圆的半径长度为13.单位圆上的点P(x,y)满足x²+y²=1Step 4 单位圆与余弦函数的关系教师引入余弦函数的概念，并与单位圆进行关联：1. 余弦函数cosθ表示单位圆上角度为θ的点的x坐标。

教学设计2：1.2.2 单位圆与三角函数线

1.2.2 单位圆与三角函数线整体设计教学分析从初中的锐角三角函数到高中的任意角的三角函数，是学生在三角函数认知结构上的一次质的飞跃．要使这次认知结构的飞跃在课堂上顺利完成，关键是抓住三角函数的定义，其媒介是从初中的直角三角形转化为高中的平面直角坐标系．因此，准确理解任意角的三角函数定义是极其重要的．在上一节三角函数的定义中，分析教材，以OA为半径画单位圆．学生很容易发现比值可转化为坐标轴上的点的坐标来表示．在坐标轴上，把点的坐标与点的位置向量对应起来，即定义三角函数线，这样可更形象地研究三角函数的性质．利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来．所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质．三角函数的单位圆模型，是研究三角函数最得力的工具．从这一节开始，教材基本上都是利用单位圆来研究三角函数的性质与图象的．三维目标1．通过借助单位圆，理解并进一步掌握三角函数定义．2．掌握三角函数线的定义，初步掌握利用单位圆分析和解决三角函数问题．3．能通过单位圆上点的运动，初步了解各三角函数值的变化情况，为学习后面三角函数性质打下基础．重点难点教学重点：三角函数线的定义．教学难点：正确利用单位圆中轴上向量将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车，大家是否想过大观览车在转动过程中，座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化，二者之间有怎样的相依关系呢？思路2.(复习导入)由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法．我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关．因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向，以使它们的取值与点的坐标联系起来．推进新课新知探究1.回忆上节课学习的三角函数定义并思考：三角函数的定义能否用几何中的方法来表示，怎样探究这种表示呢？2.怎样理解轴上的向量？活动：指导学生在教材图110中，作出单位圆，我们把半径为1的圆叫做单位圆(图1)．设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x 轴的交点分别为A (1,0)，A ′(－1,0)，而与y 轴的交点分别为B (0,1)，B ′(0，－1)．图1设角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P (图1(1))，过点P 作PM 垂直x 轴于M ，作PN 垂直y 轴于点N ，则点M 、N 分别是点P 在x 轴、y 轴上的正射影(简称射影)．由三角函数的定义可知，点P 的坐标为(cosα，sinα)，即P (cos α，sinα)，其中cos α＝OM ，sin α＝ON .于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有sinα＝y r ＝y 1＝y ，cosα＝x r ＝x 1＝x . 这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．以A 为原点建立y ′轴与y 轴同向，y′轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T (或T ′)(图1(2))，则tan α＝AT (或AT ′)．我们把轴上向量OM →， ON →和AT →(或AT′→)分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线．当角α的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，此时，正弦线和正切线都变成了一点，它们的数量为零，而余弦线OM＝1或－1.当角α的终边在y轴上时，正弦线MP＝1或－1，余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在．讨论结果：(1)略；(2)略．提出问题错误!活动：师生共同讨论，最后一致得出以下几点：(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．(3)正弦线、余弦线、正切线都是轴向量，即与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同．正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线．讨论结果：(1)略；(2)略．示例应用例1 如图2，α，β的终边分别与单位圆交于点P，Q，过A(1,0)作切线AT，交射线OP于点T，交射线OQ的反向延长线于T′，点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N，则sinα＝__________，cosα＝__________，tanα＝__________，sinβ＝__________，cosβ＝__________，tanβ＝__________.图2活动：根据三角函数线的定义可知，sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT，sinβ＝NQ，cosβ＝ON ，tan β＝AT ′.【答案】MP OM AT NQ ON AT′点评：掌握三角函数线的作法，注意用有向线段表示三角函数线时，字母的书写顺序不能随意颠倒.变式训练 1.利用三角函数线证明|sin α|＋|cos α|≥1.解：当α的终边落在坐标轴上时，正弦(或余弦)线变成一个点，而余弦(或正弦)线的长等于r ，所以|sin α|＋|cos α|＝1.当角α终边落在四个象限时，利用三角形两边之和大于第三边有|sinα|＋|cosα|＝|OM |＋|MP |>1，∴|sin α|＋|cos α|≥1.2.分别作出2π3和－3π4的正弦线、余弦线和正切线．解：在直角坐标系中作单位圆，如图3，以Ox 轴正方向为始边作2π3的终边与单位圆交于P 点，作PM ⊥Ox 轴，垂足为M ，由单位圆与Ox 正方向的交点A 作Ox 轴的垂线与OP 的反向延长线交于T 点，则sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT ，图3即2π3的正弦线为MP →，余弦线为OM →，正切线为AT →. 同理可作出－3π4的正弦线、余弦线和正切线，如图3中，sin(－3π4)＝M′P ′，cos(－3π4)＝OM ′，tan(－3π4)＝AT ′，即－3π4的正弦线为M′P′→，余弦线为OM′→，正切线为AT′→. 3.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边或终边所在的范围，并由此写出角α的集合：(1)sin α＝12；(2)sin α≥12. 活动：引导学生画出单位圆，对于(1)，可设角α的终边与单位圆交于A (x ，y )，则sin α＝y ，所以要作出满足sin α＝12的终边，只要在单位圆上找出纵坐标为12的点A ，则OA 即为角α的终边；对于(2)，可先作出满足sinα＝12的角的终边，然后根据已知条件确定角α的范围．解：(1)作直线y ＝12交单位圆于A 与B 两点，连结OA ，OB ，则OA 与OB 为角α的终边，如图4所示．图4故满足条件的角α的集合为{α|α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z }． (2)作直线y ＝12交单位圆于A 与B 两点，连结OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(如图4中的阴影部分)即为角α的终边所在的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋π6≤α≤2k π＋5π6，k ∈Z }．点评：在解简单的特殊值(如±12，22等)的等式或不等式时，应首先在单位圆内找到对应的终边(作纵坐标为特殊值的直线与单位圆相交，连结交点与坐标原点作射线)，一般情况下，用(0,2π)内的角表示它，然后画出满足原等式或不等式的区域，用集合表示出来.变式训练已知sin α≥22，求角α的集合．解：作直线y ＝22交单位圆于点P ，P ′，则sin ∠POx ＝sin ∠P′Ox ＝22，在[0,2π)内∠POx ＝π4，∠P′Px ＝3π4. ∴满足条件的集合为{α|2k π＋π4≤α≤2k π＋3π4，k ∈Z }. 4求下列函数的定义域：(1)y ＝log sin x (2cos x ＋1)；(2)y ＝lg(3－4sin 2x )．活动：先引导学生求出x 所满足的条件，这点要提醒学生注意，研究函数必须在自变量允许的范围内研究，否则无意义．再利用三角函数线画出满足条件的角x 的终边范围．求解时，可根据各种约束条件，利用三角函数线画出角x 满足条件的终边范围，写出适合条件的x 的取值集合．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，sin x ≠1，2cos x ＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，sin x ≠1，cos x >－12，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2kπ<x <π＋2k π，x ≠π2＋2k π，2k π－2π3<x <2k π＋2π3(k ∈Z )．∴函数的定义域为{x |2k π<x <2k π＋π2或2k π＋π2<x <2k π＋2π3，k ∈Z }． (所求x 的终边所在的区域如图5中的阴影部分所示)图5(2)∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34.∴－32<sin x <32. ∴x ∈(2k π－π3，2k π＋π3)∪(2k π＋2π3，2k π＋4π3)(k ∈Z )，即x ∈(kπ－π3，k π＋π3)(k ∈Z )． (所求x 的终边所在的区域如图6中的阴影部分所示)图6变式训练求函数y ＝2cos x －1的定义域．解：要使函数有意义，需满足2cos x －1≥0，所以cos x ≥12. 故由余弦函数线可知函数的定义域为[2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z . 课堂小结本节课我们学习了正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示．三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念，与三角函数的定义结合起来，可以从数和形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、公式一等的理解容易了．设计感想1．对于三角函数线，开始时学生可能不是很理解，教师应该充分发挥好图象的直观作用，让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义．在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定义后，教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质．以便为以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础．2．教师要把握好深度让学生对三角函数线了解即可，要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势，不要再向深处挖掘，因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决．3．教师在教学中要搞好师生互动，让学生自己动脑、动手，多启发学生善于发现问题、提出问题、解决问题的能力，让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力．。

高主数学必修三册公开课教案单位圆与三角函数线

7.2.2 单位圆与三角函数线本节课是人教B 版必修四第一章第二节的第2课时，安排在角的概念的推广、弧度制、三角函数的概念之后。

著名数学家欧拉提出三角函与三角函数线的对应关系之后，使得对三角函数的研究大为简化。

通过本节课的学习，把三角函数的代数意义和几何意义有机地结合起来，由“数”转化为“形”，又为继续学习三角函数的各种关系式、诱导公式、三角函数的图象及性质等提供了另一种工具、具有承前启后的重要作用。

由于三角函数线是三角函数定义的几何表示，所以应用三角函数线解决三角问题显得非常直观，有利于提高学生自主地分析问题和解决问题的能力。

通过本节课的学习，学生需要能借助单位圆理解三角函数线的定义，会画出任意角的三角函数线，能根据三角函数线总结出三角函数值随角度变化的规律，能运用三角函数线解决简单的实际问题。

通过三角函数线的作图，掌握用数形结合的思想解决数学问题的方法，提高学生自主分析问题，解决问题的能力。

【教学重点】正确使用三角函数线表示任意角的三角函数值，培养学生数形结合的良好的思维习惯【教学难点】理解三角函数与三角函数线间的关系，并能应用三角函数线解决实际问题问题1：正弦线与余弦线答：不难看成，如果221x y +=，则sin ,cos y x αα==，因为221x y +=1=，因此(,)P x y 到原点(0,0)的距离为1，一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足221x y +=的点组成的集合称为单位圆。

因此，如果角α的终边与单位圆的交点为P ，则P 的坐标为(cos ,sin )αα. 知识点1 正弦线与余弦线1．一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x 2＋y 2＝1的点组成的集合称为单位圆.2．过角α终边与单位圆的交点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，当OM →的方向与x 轴的正方向相同时，表示cos α是正数，且cos α＝||OM ，当OM →的方向与x 轴的正方向相反时，表示cos α是负数，且cos α＝－||OM ，称OM 为角α的余弦线，类似地，MP →可以直观的表示sin α，称MP 为角α的正弦线．注：利用角的正弦线和余弦线，可以直观地看成角地正弦和余弦地信息，例如上图中，角β的余弦线是ON ，正弦线是NS ，由此可看成cos 0,sin 0ββ<<，而且还可以看出：|cos ||cos |βα>，|sin ||sin |βα<。