大学微积分入门

趋近于零 ( x 0或者 0) 时，
n
曲边梯形面积为
A

lim
0
i 1
f
(i )xi
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v(t)是 时 间 间 隔 [T1 ,T2 ]上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.
性质5 如果在区间[a, b]上 f ( x) 0，
则 b a
f
(
x)dx

0.
(a b)
证 f ( x) 0, f (i ) 0, (i 1,2,,n)
n
xi 0, f (i )xi 0,
i 1
max{x1,x2,,xn }
( x)
f ( )x
o
[ x, x x],
a
x x x b x
f ( ), lim lim f ( )
x
x0 x x0
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为
xi xi xi1，(i 1,2,)，在各小区间上任取
一点i （i xi ），作乘积 f (i )xi (i 1,2,)
n
并作和S f (i )xi ，
i 1
记 x max{x1,x2, ,xn}，
2
4
sin x
xdx
的大小
解 f ( x) sin x , x [ , ] f ( x)在[ , ]上单调下降,
x
42
42
f (x) x cos x sin x cos x(x tan x) 0
x2
x2
故 x 为极大点， x 为极小点,
4
2

0 e xdx
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2
xdx.
0
0
可以直接作出答案
性质5的推论：
（1）如果在区间[a, b]上 f ( x) g( x)，
则 b a
f
(
x
)dx

b
a
g(
x)dx
.
(a b)
证 f ( x) g( x), g( x) f ( x) 0,
Th5.2(推广的积分第一中值定理）
如果函数 f ( x),g(x)在闭区间[a, b]上连续，
且 g(x)在闭区间[a,b]上可积且不变号,
则在积分区间[a, b]上至少存在一个点 ，使
b
b
a f (x)g(x)dx f ( )a g(x)dx
当g(x) 1时,即为Th5.1
六、积分上限函数及其导数
上任取
一点
，
i
o a x1
b xi1i xi xn1
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
当分割无限加细,记小区间的最大长度 或者( x )
x max{x1, x2 , xn}
称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
三、存在定理
定理1 当函数 f ( x)在区间[a, b]上连续时， 称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
定理2 设函数 f ( x)在区间[a, b]上有界，
且只有有限个第一类的 间断点，
则 f ( x)在 区间[a, b]上可积.
四、定积分的几何意义
积分和
f (i )xi
积分下限
被 积 函 数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表
变
达 式
量
注意：
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，
而与积分变量的字母无关.
b
a
f
( x)dx

b
a
f
(t )dt

b
a
f
(u)du
（2）定义中区间的分法和i 的取法是任意的.
（3）当函数 f ( x)在区间[a,b]上的定积分存在时，
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2
ti ti ti1
si v( i )ti
b
b
a f ( x)dx a f ( x)dx a f ( x)dx,
即
b
a
f
( x)dx

b
a
f
( x)dx .
说明： | f ( x)|在区间[a,b]上的可积性是显然的.
性质6 设M 及m 分别是函数
f ( x)在区间[a, b]上的最大值及最小值，
则
m(b

a)





例1 利用定义计算定积分 1 x2dx. 0
解
将[0,1]n 等分，分点为xi

i ，(i n

1,2,, n )
小区间[ xi1 , xi ]的长度xi

1 ，(i n
1,2,, n )
取i xi ，(i 1,2,, n)
n
n
n
f (i )xi i2xi xi2xi ,
(i )xi
n
n
lim k 0 i1
f (i )xi
k lim 0 i1
f (i )xi
b
k a f ( x)dx.
性质3 假设a c b
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx.
补充：不论 a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.
如果不论对[a, b]
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 x 0时，和S 总趋于
确定的极限I ， 我们称这个极限 I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分，记为
积分上限 b a
f ( x)dx

I
lim 0
n i 1
例 若 a b c,
c
a
f ( x)dx

b
a f
c
( x)dx b
f ( x)dx
则
b
a
f
(
x)dx

c
a
f
(
x)dx

c
b
f
(
x)dx
c
b
a f ( x)dx c f ( x)dx.
（定积分对于积分区间具有可加性）
性质4
b
a
1

dx

b
a
dx
ba.
i 1
i 1
i 1

n

i 1

i n

2

1 n

1 n3
n

i 1
i2

1 n3

n(n

1)(2n 6

1)

1 6

1

1 n

2

1 n
,
x 0 n
1 x2dx 0n lim Nhomakorabea 0 i1
i 2xi

lim
b
a
f
(
x)dx

M
(b

a).
证 m f (x) M,
b
b
b
a mdx a f ( x)dx a Mdx,
b
m(b a) a f ( x)dx M(b a).
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
曲边梯形的面积 夹在两个矩形之间
例2
不计算定积分 估计
n

lim
0
i 1
f
(i )xi
b
f ( x)dx 0.
a
例 1 比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
0
0
解 令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
0 (e x x)dx 0, 2
则在积分区间[a, b]上至少存在一个点 ，
使 b a
f
(
x
)dx

f ( )(b a).
(a b)
积分中值公式
证

m(b

a)

b
a
f
( x)dx

M(b
a)

m

1b
b a a
f ( x)dx

M
由闭区间上连续函数的介值定理知
在区间[a, b]上至少存在一个点 ，
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
曲边梯形如图所示，
在区间 [a, b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b, 把区间[a,b] 分成 n y
个小区间[ xi1, xi ]，
长度为 xi xi xi1;
在每个小区间[ xi1, xi ]