1.1 空间解析几何

在三个坐标轴上的分向量： a x i , a y j , a z k
（3）向量的坐标表示式： 向量的坐标： a x , a y , a z
a {a x , a y , a z }
其中a x ,a y , az 分别为向量在x, y, z 轴上的投影 .
3、向量的线性运算 (1)加法： a b c (2)减法： a b d (3)向量与数的乘法：
B
S A B C 1 AB AC
2
i 2 1 j 2 2 k 2 4

A
C
1 2
1 ( 4, 6, 2 ) 2
1 2 4 (6) 2 2 2 14 2
二、空间解析几何
1、空间直角坐标系
z 竖轴
空间的点
定点 o 横轴 x

y 纵轴
( x, y, z )
有序数组
( a x )i ( a y ) j ( a z )k
2 2 2 向量模长的坐标表示式 | a | a x a y a z
向量方向余弦的坐标表示式
cos
cos
ax a x a y az ay
2 2 2
a x a y az
2 2
运算律 (1) 交换律 (2) 结合律
a ( b) ( a ) ( b ) a ( b ) (a b)
(3) 分配律
5、 向量积 定义：
设 a , b 的夹角为 ，
方向 : c a , c b 且符合右手规则 模 : c a b sin
(3) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
向量积的坐标表达式
a b (a y bz a z by )i (a z bx a x bz ) j (a x by a y bx )k
a b ax bx
（2） 柱面 定义： 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L 所形成的曲面. 这条定曲线叫柱面 的准线，动直线叫 柱面的母线. 从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy 面上曲线C .
空间解析几何
一、向量代数 二、空间解析几何
一、向量代数
1、向量的概念 定义:既有大小又有方向的量称为向量. 向量的模:向量的长度(大小) 单位向量:模为1的向量 零向量:模为0的向量,方向不固定 相等向量:大小相等,方向相同 负向量:大小相同,方向相反 向径:起点为原点
2、向量的表示法 （1）有向线段 (模和方向余弦） （2）向量的分解式： a a x i a y j a z k
是直线上一点 . 再求直线的方向向量 s . 交已知直线的两平面的法向量为
s n1 , s n2
s n1 n2
i j k s n1 n2 1 1 1 2 1 3
(4 , 1, 3)
x 1 y 故所给直线的对称式方程为 4 1
参数式方程为 解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量.
b
ab c
a
ab d
设 是一个数，向量 a 与 的乘积 a 规定为 (1) 0, a 与 a 同向， | a | | a | a 0 ( 2) 0, ( 3) 0, a 与 a 反向， | a || | | a |
(3) 二次曲面
椭球面
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
抛物面
椭圆抛物面
z
x2 y2 z ( p , q 同号) 2 p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. 双曲抛物面（鞍形曲面）
x
y
z
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
b 例 2 求与 a 3i 2 j 4k ， i j 2k 都垂
直的单位向量.
解
c a b ax bx
i
j ay by
i j k a z 3 2 4 10 j 5k , bz 1 1 2
i
j ay by
k az bz
ax a y az a∥ b ab 0 bx by bz
, 例 1 已知 a {11,4}， b {1,2,2}，求（1） a b ；（2） a 与 b 的夹角；（3） a 在 b 上的投影. 解 (1) a b 1 1 1 ( 2) ( 4) 2 9.
( 2) cos a x bx a y b y a z bz a x a y az
2 2 2
bx b y bz
2 2
2
1 , 2 ( 3) a b | b | Pr jb a
ab Pr jb a 3. |b |
3 . 4
d
Ax0 By 0 Cz0 D A B C
2 2 2
2、曲面
空间曲面S与三元方程 ( x, y, z) 0对应 F .
（1）旋转曲面
定义：以一条平面曲线绕 其平面上的一条直线旋转 一周所成的曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴.
方程特点:
f ( x, y ) 0 设有平面曲线L : z0 (1) 曲线 L 绕 x 轴旋转所成的旋转曲面 方程为 f ( x , y 2 z 2 ) 0 (2) 曲线 L 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面 方程为 f ( x 2 z 2 , y ) 0
x
y
双曲面 单叶双曲面
z
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
双叶双曲面
2
2
2
x
y
z
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
o x
y
3、空间曲线
（1） 空间曲线的一般方程
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
z z1 z 2 z1 0 z3 z1
三点式
Ax By Cz D 0 ( A B C 0 )
2 2 2
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
k
| c | 102 52 5 5 c 2 1 0 j k . c 5 5 |c |
例3. 已知向量 a , b 的夹角 3 , 且 | a | 2, | b | 3, 4 解：
( a b )( a b )
t
例7. 求直线 的交点 .
提示: 化直线方程为参数方程
与平面
t
代入平面方程得 t 1
从而确定交点为（1，2，2）.
5.线面之间的相互关系 面与面的关系 平面
平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C2 )
a aa
2
a b a x bx a y b y a z bz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
a b
a x bx a y b y a z bz a x a y az
2 2 2
bx b y bz
2 2
2
a b 0
线性运算的坐标表达式
a {a x , a y , a z } b {bx , b y , bz } a b {a x bx , a y b y , a z bz } (a x bx )i (a y b y ) j (a z bz )k a b {a x bx , a y b y , a z bz } (a x bx )i (a y b y ) j (a z bz )k a {a x , a y , a z }
两点间距离公式: 设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点
它们距离为
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
点到平面的距离公式：
点M 0 ( x0 , y0 , z0 )到平面Ax By Cz D 0的距离为
对称式
x x0 m t 参数式 y y0 n t z z0 p t ( x0 , y0 , z0 ) 为直线上一点;
s ( m , n , p ) 为直线的方向向量.
例6.用对称式及参数式表示直线
解:先在直线上找一点. y z 2 ,得 y 0 , z 2 令 x = 1, 解方程组 y 3z 6
（2） 空间曲线的参数方程
x x( t ) y y( t ) z z(t )
4. 空间直线与平面的方程 空间平面
一般式
点法式
截距式
x y z 1 a b c
x x1 x2 x1 x3 x1 y y1 y2 y1 y3 y1
点 : ( x0 , y0 , z0 ) 法向量 : n ( A , B , C )
例5. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0