犍为一中高二数学上期半期试题

犍为一中高二数学上期半期试题
2007年11月
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每个小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，请用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．若R c b a ∈>,，则在下列结论中成立的是（ ）
A .bc ac >
B .c b c a ->-
C .22b a >
D .
b
a 11< 2.直线4
y π
=
的倾斜角为 （ ）
A .0
B .
2π C .4
π
D .不存在 3.不等式
(2)(10)
0(1)
x x x --≥-的解集是 （ ）
{.210A x x ≤≤或}1x < {.210B x x ≤≤或}1x ≤ {.12C x x <≤或}10x ≥ {.12C x x ≤≤或}10x ≥
4.已知过点),2(m A 和)5,(m B 的直线与直线012=+-y x 平行，则m 的值为 （ ）
A .0
B .1
C .2
D .3 5.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 ( )
A .y x =
B .220x y -=
C .y x =-
D .y x =
6．某校欲在一块半径为10米的圆形土地中规划一个矩形区域搞绿化， 则在此圆形土地中可绿化的最大面积为（ ）平方米。

A ．100
B .200
C .400
D .7．直线0x ay a +-=与直线(23)10ax a y ---=互相垂直，则a 的值是
（ ）
A .2
B .3-或1
C .2或0
D .1或0
8．设x 、y 为正数，则有()x y +14
()x y
+
)的最小值为 ( ) A ．15 B ．12 C ．9 D ．8 9．（文科）若坐标原点O 在直线l 上的射影是点)1,2(-，则直线l 的方程
是（ ）
A ．052=+-y x
B ．052=+-y x
C ．032=-+y x
D ．052=--y x
9.（理科）若直线l :y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 （ ）
A .[,)63ππ
B . (,)62ππ
C . (,)32ππ
D . [,]62
ππ
10．如直线1l 、2l 的斜率是二次方程2
410x x -+=的两根，那么1l 与2l 的夹
角是 ( )
A .
3π B .4π C .6π D .8
π
11．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．
的是 A ．||||||c b c a b a -+-≤- B.a
a a a 1
12
2+
≥+ C ．21
||≥-+
-b
a b a D.a a a a -+≤+-+213
12．设0x >，0y >，1x y +=a ≤恒成立的a 的最小值是（ ）
A B ．2 D ．
犍为一中高2008级高二上期半期考试
数 学 答 题 卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

13.关于x 的不等式
11
ax
x <-的解集为{1x x <或}2x >，则a = 14
．已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距
离是 15．已知1(2)2m a a a =+
>-，22
1(0)2x n x -⎛⎫=<
⎪⎝⎭
，则,m n 之间的大小关
系是 ．
16．图中所示的平面区域（含边界）的线性 约束条件是
三、解答题：本大题共6小题，共74分。

（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题12分）解关于x 的不等式
2
314
x
x ≤-
18. （本题12分）若ABC ∆的两个顶点B 、C 的坐标分别是(1-，0) 和(2，0)，顶点A 在直线21y x =-上运动，求ABC ∆的重心G 的轨迹 方程
19．（文科）（本题12分）（文科）已知a 、b 、x 、y 为实数
求证：22222)())((by ax y x b a +≥++ 19．（理科）已知a 、b 为实数，求证：||1||a b a b +++≤||||
1||1||
a b a b +++；
20．（本题12分）如图，已知矩形ABCD 的两条对 角线的交点为E （1，0），且AB 与BC 所在的直线 方程分别为:05053=+-=-+y ax y x 与 （1）求a 的值；
（2）求DA 所在的直线方程及CD 所在的直线方程。

21．（本题12分）某校在筹备校运会时欲制作会徽，准备向全校学生征集设计方案，某学生在设计中需要相同的三角形纸片7张，四边形纸片6张，五
（文科）若每张Ａ、Ｂ型纸的价格分别为3元与4元，试设计一种买纸方案，使该学生在制作时买纸的费用最省，并求此最省费用。

（理科）若每张Ａ、Ｂ型纸的价格分别为4元与3元，试设计一种买纸方案，使该学生在制作时买纸的费用最省，并求此最省费用。

22．（本题14分）在直角坐标xoy 中,已知(1,1)A ，(3,3)B ，试在x 轴
的正半轴上求一点P ，使APB 最大
犍为一中2009级高二数学半期考试参考答案 11.6
一. 选择题（每题5分，共60分）
1.B
2.A
3.A
4.D
5.B
6.B
7.C
8.C
9.（文科）D 9.（理科）B 10.A 11.C 12.B
二.填空题（每题4分，共16分）
13. 12
14. 15. m>n 16. 2
230430
y x y x y ≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩
三.解答题（共74分） 17. （本题12分） 解：原不等式等价于：
22314
314
x
x x x ⎧≤⎪⎪-⎨
⎪≥-⎪-⎩ 即
22
2
234
04
3404
x x x x x x ⎧--≥⎪⎪-⎨+-⎪≥⎪-⎩ -----------------------------------------------6分
即
(2)(1)(2)(4)0
2
(4)(2)(1)(2)0x x x x x x x x x ++--≥⎧⎪
≠±⎨⎪++--≥⎩
∴
2124
4212
x x x x x x <--≤<≥⎧⎨
≤--<≤>⎩或或或或 -------10分
∴4114x x x ≤--≤≤≥或或-------------------------------------------------------------12分
18.（本题12分）解：设ABC ∆的重心G (,)x y ,A 00(,)x y
点A 在直线21y x =-上，∴0021y x =-------①------------------------- 4
分
又G 为ABC ∆的重心
∴00(1)23
003x x y y -++⎧=⎪⎪⎨
++⎪=⎪⎩
-------②-----------------------------------------------------------8分
将②式代入①式得：210x y --=，又G 不在直线BC 上
故G 的轨迹方程是：210(0)x y y --=≠-----------------------------------------12分
19. （本题12分）
（文科）22222a y b x abxy +≥ -----------------------------------------------4分
2222()()a b x y ∴++
()22222222()a x b y a y b x =+++
22222
()2()
a x
b y abxy ax by ≥++=+
------------------------------------------------------10分
∴
不等式得证 --------------------------------------------------------------------12分
19.（理科）（法一）令f(x)=
x
x
+1(x>0), 则2
1
()(1)
f x x '=
+，有()0f x '>
()f x ∴在(0,)+∞上是增函数，
-------------------------------4分 而
a
+b ≥b a +
-------------------------------------6分
∴f(a +b )≥f(b a +)
∴
b
a b a +++1≥
b
a b a +++1
-------------------------------------------- 8分
又
b
a b a +++1≤
a
a +1+
b
b +1
-------------------------------------------10分
∴
b
a b a +++1≤
a
a +1+
b
b +1
-----------------------------12分
（法二）（1）b a +=0时原等式显然成立，--------------------2分
（2）b a +≠0时，，a +b ≥b a +≠0，----------------4分
∴
b
a +1≤
b
a +1
---------------------------------6分 ∴
1+
b
a +1≤1+
b
a +1 即
0<
b
a b a +++1≤
b
a b a +++1---------------8分
∴
b
a b a +++1≤
b
a b a +++1
又
b
a b a +++1≤
a
a +1+
b
b +1
---------------------------------10分 ∴
b
a b a +++1≤
a
a +1+
b
b +1
-------------------------------12分
20.（本题12分） 解：（1）由于BC AB ⊥，则3=a 。

---------------------------------------------------4分
（2）由于DA//BC ，则可设直线DA 的方程为：
)5(03≠=+-m m y x ，
又点E 到BC 与DA 的距离相等，则
10
810
3=
+m ，
----6分
∴11-=m ，或5=m （舍去）
，
则直线DA 所在的方程为
0113=--y x -----------------------------8分
又CD ∥AB, 则可设直线CD 的方程为：30(5)x y n n ++=≠-, 由点E 到CD 与AB
的距离相等得
=
-----------------------------------10分 3n ∴=，或5n =-（舍去）， 则直线CD 所在的方程为：
330x y ++=---------------------------------------------12分
（此题也可先解出点B ，再利用点D 与B 关于点E 对称得出点D 的坐标来完成）
21.（本题12分）
解：设需买Ａ、Ｂ型纸分别为y x ,张，
则由题意知：⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0
,093672y x y x y x y x
---------------------------------------------------4分
如图作出可行域，解得Ａ、Ｂ的坐标分别为
)1,5(),2
9
,23(， ————7分 （文科） 所需费用
),(,43Z y x y x u ∈+=，
作
平行直线束
4
43u x y +-=，当它经过点
Ｂ时，在y 轴上的截距最
小，故满足条件的最优解为
)1,5(，
且191453min =⨯+⨯=u 元。

-------11分
答：当该学生购买Ａ、Ｂ型纸分别为５张与1张时所需费用最低，
且此最低费用为19元。

---------------------------------------------------------------------12分
（理科）所需费用),(,34Z y x y x u ∈+=，
作平行直线束3
34u
x y +-=，当它经过点A 时，在y 轴上的截距最小，但点A 的坐标不是整数，则2
39
293234=⨯+⨯>u ，由2034=+=y x u 得
满足条件的最优解为)4,2(，
且
20
min =u 元。

-------------------------------------------------------11分
答：当该学生购买Ａ、Ｂ型纸分别为2张与4张时所需费用最低，
且此最低费用为20元。

-----------------------------------------------------------12分
22. （本题14分）
解：设P (,0)(0)x x >，
APB θ∠= ----------------------------------------------1分
则当1x ≠，且3x ≠时，
11PA k x
=
- ，
3
,3PB k x
=
- -------------------------------------------------3分
-------------6分
0x >
6x x ∴+
≥，当且仅当6
x x
=
，即x =
tan θ∴≤
即θ的最大值为arctan(1)2+ -------------------------------------9分
当1x =时，PA Ox ⊥，32
PB k =
3arctan
1)2
2π
θ=
-<+
-----------------------------------11分 当3x =时，PB Ox ⊥，1
2
PA k =-
1arctan 22
π
θπ=--
1arctan
1)2
2π
=
-<+ --------------------------------------------13分
∴
当x =θ
有最大值arctan(1)2
+，此时点P
的坐标为--14分
21322
13tan 1361461413PA PB PA PB
k k x x x k k x x x x x x
θ-
---=
===
+⋅-++⋅
+---。