最新人教版初中九年级上册数学24.2点和圆、直线和圆的位置关系课时5精品教学课件
人教版数学九年级上册24.2《点和圆、直线和圆的位置关系》知识点+例题+练习(精品)
点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习1.点和圆的位置关系2.（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：3.①点P在圆外⇔d＞r4.②点P在圆上⇔d=r5.①点P在圆内⇔d＜r6.（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．7.（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）（3）概念说明：（4）①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．（5）②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．（6）③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法(了解)（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）（2）反证法的一般步骤是：（3）①假设命题的结论不成立；（4）②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（5）③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质（2）①圆的切线垂直于经过切点的半径．（3）②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．（4）③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（5）（2）切线的性质可总结如下：（6）如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（7）（3）切线性质的运用（8）由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定8.（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．9.（2）在应用判定定理时注意：10.①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．11.②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．12.③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）（4）切线长定理包含着一些隐含结论：（5）①垂直关系三处；（6）②全等关系三对；（7）③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．10.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．11.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．12.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．13.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：（2）相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．（3）注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（4）（2）两圆的公切线性质：（5）两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．（6）两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=34，D是线段BC的中点.（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP 是半圆O 的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例 2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；•当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15B. 30C. 45D. 60O O2O14. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长.6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（ ）A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 长63，以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）．9.如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是______cm ．12.如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF=2，则HE 的长为_________．13. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若直径AC=12cm ，∠P=60°．求弦AB 的长． 【中考连接】 一、选择题 1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.3 2.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为 （ ）A. 335 B. 635 C. 10 D. 54. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26，PA ＝4，则⊙O 的半径等于（ ）A. 1B. 2C. 23D. 265.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外O D C B ABPA OC 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第8题图 第9题图 第11题图 第10题图 第12题图切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（ ）①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题 6. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________度．7. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，，，的度数比为3∶2∶4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为________．8．如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．9．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ．10．如图6，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．11.如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．12.如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm.13.如图，⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x =图象上，则阴影部分面积等于 ．14. Rt △ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．则△ABC的内切圆半径r =______．15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．16.已知：⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB 、BC 、CA 分别为 ．17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．三、解答题18. 如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由． 第3题图 第6题图 第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 第12题图 第13题图19.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=． （1）求∠AOC 的度数；（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长；（3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S =△△时，求动点M 所经过的弧长．第18题图。
九年级数学上册第二十四章24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.5实验与探究圆和圆的位置关系备
九年级数学上册第二十四章24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.5 实验与探究圆和圆的位置关系备课资料教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第二十四章24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.5 实验与探究圆和圆的位置关系备课资料教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二十四章 24。
2.5实验与探究圆和圆的位置关系知识点：圆和圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，如下表所示(R、r为两圆的半径,R>r,d为两圆圆心的距离)：位置关系图形公共点个数公共点名称数量关系外离0——d〉R+r 外切1切点d=R+r 相交2交点R-r<d〈R+r 内切1切点d=R-r 内含0-—d<R—r关键提醒：(1)两圆的五种位置关系主要根据公共点的个数及两圆的相对位置来确定;（2)利用数量关系确定两圆的位置关系，当d〉R—r时,两圆可能相交，还可能外切或外离；当d<R+r时，两圆可能相交，还可以内切或内含;只有当R—r<d<R+r 时，才能判定两圆相交。
具有内切和内含关系的两圆半径不可能相等，否则这两圆重合；同心圆时d=0;(3)已知两圆相切时,要分外切、内切两种情况考虑；(4)连心线和圆心距是两个不同的概念，连心线是通过不同的圆的圆心的一条直线,圆心距是指两个圆心之间的线段的长度，圆心距是连心线的一部分；（5）两圆相切的性质：两圆相切,切点一定在连心线上，它是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线.两圆相交的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦；（6)有关两圆问题，作连心线(圆心距）是常用的辅助线.考点1:圆和圆的位置关系的判定【例1】已知两圆半径之比是5∶3，如果两圆内切时，圆心距等于6，问当两圆的圆心距分别是24，5，20,0时，相应两圆的位置关系如何？解：∵两圆的半径之比为5∶3，∴可设大圆半径R=5x,小圆半径r=3x.∵两圆内切时圆心距等于6,∴5x-3x=6.∴x=3。
新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：直线和圆的位置关系及其判定》优质课教学设计_2
教学教案设计
24.2.2直线和圆的位置关系
课型
新授课
一、知识与技能:
（1）根据公共点的个数来判断直线和圆的三种位置关系。
（2）根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置关系。
(3)理解并应用切线的判定定理。
二、数学思考：
经历生活中的实例，探求直线和圆的三种位置关系和切线的判定方法，并提炼出相关的数学知识，从而体会数形结合、分类讨论等数学思想。
利用直线与圆的三种位置关系自然过渡到切线的判定定理,实现第二个知识点的掌握.
7、练习巩固
1、已知圆的直径为8cm，设直线和圆心的距离为d：
1)若d=3.5cm ,则直线与圆,直线与圆有____个公共点.
2)若d=4cm ,则直线与圆______,直线与圆有____个公共点
3)若d= 8 cm ,则直线与圆______,直线与圆有____个公共点
3、创设情景，导入课题
1、欣赏三幅超级月亮升起的照片，提问着这个自然现象反应出几种直线和圆的位置关系？
2、在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，观察直线l与圆的公共点个数的变化情况。
学生进行讨论，可从直线与圆交点的个数考虑。
让学生感受到数学与生活的密切关系，并直观地感受直线与圆的三种位置关系。
6、实践活动，探索知识点二
思考：在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？
归纳总结:切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的的直线是圆的切线.
定理的几何语言：
∵OA是⊙O的半径，
OA⊥l，
∴直线l是⊙O的切线．
人教版数学九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系(第3课时)教学设计
在学生小组讨论环节，我会组织学生进行小组合作学习。我会提出一些问题，如“如何运用直线和圆的位置关系解决实际问题？”让学生在小组内进行讨论和实验。学生可以通过观察、实验、思考，得出结论，并分享自己的心得和体会。
（四）课堂练习
在课堂练习环节，我会设计一些有关直线和圆位置关系的练习题，让学生独立完成。这些练习题包括判断直线和圆的位置关系、求解圆的弦长、圆心角等。在学生解答过程中，我会给予及时的指导和鼓励，帮助学生巩固所学知识。
人教版数学九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系（第3课时）教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
本节课的主要目标是让学生掌握直线和圆的位置关系，包括相交、相切和相离三种情况。学生能够运用这些知识解决实际问题，如求解圆的弦长、圆心角等。通过对直线和圆的位置关系的探究，学生能够理解圆的性质，如圆的半径与弦的关系，圆心角与圆周角的关系等。此外，学生还能够掌握圆的标准方程和一般方程，并能够进行相应的转化。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
本节课的重难点是让学生理解和掌握直线和圆的位置关系，以及如何运用这些知识解决实际问题。具体来说，重难点包括：
1.直线和圆的位置关系的定义和判定。学生需要理解相交、相切和相离三种情况的含义，并能准确判断直线和圆的位置关系。
2.圆的性质的推导和应用。学生需要理解和掌握圆的半径与弦的关系，圆心角与圆周角的关系等，并能运用这些性质解决实际问题。
在教学过程中，我发现学生对于直观和实际操作的学习方式较为感兴趣。他们喜欢通过观察、实验来发现问题和解决问题。因此，在教学设计中，我将充分利用多媒体教学资源，如动画和实物模型，以直观的方式展示直线和圆的位置关系，激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性。
九年级数学上册 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系(2)教案 (新版)新人教版
24.2.2直线和圆的位置关系线的判定方法
一、复习引入
问题：
直线和圆的位置关系有哪几种？如何判定？
二、探究新知
（一）切线的判定定理
1.推导定理：根据“直线l和⊙O相切⇔d=r”，
如图所示,因为d=r⇒直线l和⊙O相切，这里的d是圆心O到直线l 的距离，即垂直，并由d=r就可得到l经过半径r的外端，即半径OA的端点A，可得切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(学生画一个圆，半径OA，过半径外端点A的切线l，然后将
“d=r直线l和⊙O相切”尝试改写为切线的判定定理.)
分析：○1垂直于一条半径的直线有几条？
○2经过半径的外端可以做出半径的几条垂线？
○3去掉定理中的“经过半径的外端”会怎样？去掉“垂直于半径”呢？
思考1：根据上面的判定定理，要证明一条直线是⊙O的切线，需要满足什么条件？
总结：①这条直线与⊙O有公共点；②过这点的半径垂直于这条直线．(学生结合老师提出的问题，思考，画出反例图形，进一步理解定理) 思考2：现在可以用几种方法证明一条直线是圆的切线？
①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.③上面的判定定理. (教师引导学生汇总切线的几种判定方法)
思考3：已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？（二）切线的性质定理
1.阅读课本96页思考
2.如图，CD是切线，A是切点，连结AO与⊙O交于B，那么AB是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，因此，∠BAC=∠BAD= 90°.因此，可得切线的性质定理:
线的性质归纳：
使学生全面。
人教版数学九年级上册24.2.2.1《直线与圆的位置关系》说课稿
人教版数学九年级上册24.2.2.1《直线与圆的位置关系》说课稿一. 教材分析《直线与圆的位置关系》是人教版数学九年级上册第24章第二节的一部分，这部分内容是整个初中数学的重要知识之一。
在此之前，学生已经学习了直线、圆的基本性质和图形的相互关系。
通过这部分的学习，学生能够更深入地理解直线与圆的位置关系，为后续解析几何的学习打下基础。
本节内容主要包括直线与圆相切、相交两种情况。
教材通过丰富的图形和实例，引导学生探究直线与圆的位置关系，并通过数学推导证明相关结论。
学生需要理解并掌握直线与圆的位置关系，能够运用到实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直线、圆的基本性质和图形相互关系有一定的了解。
但学生在学习过程中，可能会对直线与圆的位置关系的理解存在一定的困难，特别是对相交和相切的判断。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，针对学生的实际情况进行教学。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解直线与圆的位置关系，掌握判断直线与圆相交、相切的方法。
2.过程与方法目标：通过观察图形、实例分析、数学推导等方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：直线与圆的位置关系的理解和判断方法。
2.教学难点：对相交和相切的判断，以及相关数学推导。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、案例分析、小组讨论、数学推导等教学方法，引导学生主动探究，提高学生的参与度和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等教学手段，直观展示直线与圆的位置关系，帮助学生理解和掌握相关知识。
六. 说教学过程1.导入：通过展示实际生活中的直线与圆的例子，如自行车轮子、地球表面的经纬线等，引导学生关注直线与圆的位置关系，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍直线与圆的位置关系的概念，引导学生思考如何判断直线与圆的位置关系。
人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.2点和圆直线和圆的位置关系》第2课时说课稿
人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.2点和圆直线和圆的位置关系》第2课时说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.2点和圆、直线和圆的位置关系》第2课时，主要学习了点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系。
这部分内容是圆的基础知识，对于学生理解圆的性质，以及解决与圆有关的问题具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的代数知识和几何知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但是，对于圆的相关概念和性质，部分学生可能还不太熟悉，需要通过本节课的学习来进一步掌握。
同时，学生需要通过实例来加深对点和圆、直线和圆位置关系的理解。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能理解点和圆、直线和圆的位置关系，并能运用这些知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，学生能自主探索点和圆、直线和圆的位置关系，培养解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的意志。
四. 说教学重难点1.教学重点：点和圆、直线和圆的位置关系的判定。
2.教学难点：直线和圆的位置关系的应用，以及如何解决相关问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过回顾上一节课的内容，引出本节课的主题——点和圆、直线和圆的位置关系。
2.自主学习：学生自主阅读教材，了解点和圆、直线和圆的位置关系的判定方法。
3.合作探究：学生分组讨论，通过实例探究点和圆、直线和圆的位置关系，并总结规律。
4.教师讲解：教师根据学生的探究结果，进行讲解和归纳，强调重点和难点。
5.应用练习：学生进行课堂练习，巩固所学知识。
6.课堂小结：教师引导学生总结本节课的主要内容和收获。
7.课后作业：布置相关作业，巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计如下：人和圆的位置关系：•点在圆内：……•点在圆上：……•点在圆外：……直线和圆的位置关系：•直线与圆相交：……•直线与圆相切：……•直线与圆相离：……八. 说教学评价本节课的教学评价主要通过以下几个方面进行：1.学生课堂参与程度：观察学生在课堂上的发言和表现，了解学生的学习状态。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第24章 圆直线和圆的位置关系 (第1课时)教案
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系（第1课时）一、教学目标【知识与技能】掌握直线和圆的三种位置关系及其数量间的关系，掌握运用圆心到直线的距离的数量关系或用直线与圆的交点个数来确定直线与圆的三种位置关系的方法.【过程与方法】通过生活中的实例，探求直线和圆的三种位置关系，并提炼出相关的数学知识，从而渗透数形结合，分类讨论等数学思想.【情感态度与价值观】在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.二、课型新授课三、课时第1课时，共3课时。
四、教学重难点【教学重点】直线与圆的三种位置关系及其数量关系.【教学难点】通过数量关系判断直线与圆的位置关系.五、课前准备课件、图片、圆规、直尺等.六、教学过程（一）导入新课如图，在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？我们把太阳看作一个圆，地平线看作一条直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗？（出示课件2）解决这个问题要研究直线和圆的位置关系．（板书课题）（二）探索新知探究一用公共点个数判断直线与圆的位置关系教师问：如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？（出示课件4）学生交流，回答问题：有三种位置关系.教师问：如图，在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现在钥匙环移动的过程中，它与直线l的公共点的个数吗？（出示课件5）学生交流，回答问题：0个，1个，2个.教师问：请同学在纸上画一条直线l，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？（出示课件6）学生交流，回答问题：公共点个数最少时0个，公共点个数最多时2个.出示课件7：教师展示切割钢管过程，学生观察并填表.出示课件8：填一填：（教师引导学生构建并填写表格，帮助学生理清知识脉络）教师归纳：（出示课件9）直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）.练一练：判断正误.（出示课件10）（1）直线与圆最多有两个公共点.（2）若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上.（3）若A是⊙O上一点，则直线AB与⊙O相切.（4）若C为⊙O外一点，则过点C的直线与⊙O相交或相离.（5）直线a和⊙O有公共点，则直线a与⊙O相交.学生独立思考后口答：⑴√⑵×⑶×⑷×⑸×探究二用数量关系判断直线与圆的位置关系教师问：同学们用直尺在圆上移动的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？（出示课件11）学生讨论，归纳总结答案，并由学生代表回答问题.教师问：怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢？（出示课件12）学生讨论，归纳总结答案后教师归纳：根据直线和圆相交、相切、相离的定义：直线和⊙O d＜r；直线和⊙O d＞r；直线和⊙O d = r.教师演示：根据直线和圆相切的定义，经过点A用直尺近似地画出⊙O的切线.（出示课件13）学生根据教师演示进行操作.教师归纳：（出示课件14）直线和⊙O d＜r 两个直线和⊙O d＞r 0个直线和⊙O d=r 1个位置关系公共点个数出示课件15-17：例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2cm；(2)r=2.4cm；(3)r=3cm．教师分析：要了解AB 与⊙C 的位置关系，只要知道圆心C 到AB 的距离d 与r 的关系．已知r ，只需求出C 到AB 的距离d.师生共同解决如下：解：过C 作CD ⊥AB ，垂足为D.在△ABC 中，==5（cm ）.根据三角形的面积公式有1122CD AB AC BC ⨯=⨯.∴342.4(cm),5AC BC CD AB ⨯⨯===即圆心C 到AB 的距离d=2.4cm.所以(1)当r=2cm 时,有d>r,因此⊙C 和AB 相离.(1) （2） （3） （2）当r=2.4cm 时,有d=r ，因此⊙C 和AB 相切. （3）当r=3cm 时，有d<r ，因此⊙C 和AB 相交. 巩固练习：（出示课件18-20）1.Rt △ABC,∠C=90°AC=3cm ，BC=4cm ，以C 为圆心画圆，当半径r 为何值时，圆C 与直线AB 没有公共点？学生独立思考后独立解答.解：当0cm＜r＜2.4cm或r＞4cm时,⊙C与线段AB没有公共点.2.Rt△ABC,∠C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与线段AB有一个公共点？当半径r为何值时，圆C与线段AB有两个公共点？学生独立思考后独立解答.解：当r=2.4cm或3cm＜r≤4cm时,⊙C与线段AB有一个公共点.当2.4cm＜r≤3cm时,⊙C与线段AB有两公共点.3.圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是（1）4.5cm ；（2）6.5cm；（3）8cm；那么直线与圆分别是什么位置关系？有几个公共点？学生独立思考后一生板演.解：如图所示.（1）圆心距d=4.5cm＜r=6.5cm时，直线与圆相交，有两个公共点；（2）圆心距d=6.5cm=r=6.5cm时，直线与圆相切，有一个公共点；（3）圆心距d=8cm＞r=6.5cm时，直线与圆相离，没有公共点.出示课件21：例2 如图，Rt △ABC 的斜边AB=10cm,∠A=30°.学生独立思考后师生共同解答. 解：过点C 作边AB 上的高CD. ∵∠A=30°，AB=10cm,15cm.2BC AB ==在Rt △BCD 中，有1 2.5cm,2BD BC CD ====时，AB 与☉C 相切. 巩固练习：（出示课件22）如图，已知∠AOB=30°，M 为OB 上一点，且 OM=5cm ，以M 为圆心、r 为半径的圆与直线OA 有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2cm ；(2)r=4cm ；(3)r=2.5cm.学生思考后自主解答.解：(1)相离；(2)相交；(3)相切. （三）课堂练习（出示课件23-29）1.已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O 的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定2.已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为________．3.看图判断直线l与☉O的位置关系？4.直线和圆相交，圆的半径为r,且圆心到直线的距离为5，则有（）A.r<5B.r>5C.r=5D.r≥55.☉O的最大弦长为8，若圆心O到直线l的距离为d=5，则直线l与☉O______.6.☉O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与☉O的位置关系是（）A.相交或相切B.相交或相离C.相切或相离D.上三种情况都有可能7.如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点．若点M的坐标是(－4，－2)，则点N的坐标为( )A．(－1，－2) B．(1，2)C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2)8.已知☉O的半径r=7cm,直线l1//l2,且l1与☉O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.参考答案：1.B2.13m0<<23.解:⑴相离；⑵相交；⑶相切；⑷相交；⑸相交.4.B5.相离6.A7.A8.解：（1）l2与l1在圆的同一侧：m=9-7=2cm；（2）l2与l1在圆的两侧：m=9+7=16cm.（四）课堂小结本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流.（五）课前预习预习下节课（24.2.2第2课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课从生活中的常见情况引出了直线和圆的位置关系，并且从两个不同方面去判定直线与圆的三种关系，让学生讨论并归纳总结常用的直线和圆位置关系的判定方法，让学生领会该判定方法的实质是看直线到圆心的距离与半径的大小.对于该判定方法，学生一般能够熟记图形，以数形结合的方法理解并记忆.。
人教版九年级数学上册24.2直线与圆的位置关系(教案)
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调几何法和代数法判断直线与圆位置关系这两个重点。对于难点部分，比如圆心到直线的距离与圆的半径之间的关系，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与直线与圆位置关系相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示直线与圆相切、相交的基本原理。
其次，实践活动中的小组讨论非常热烈，大家积极参与，提出了不少有见地的观点。但在实验操作环节，我发现有些小组在进行操作时，对一些基本原理掌握得并不是很牢固。这说明我在教学中还需要加强对基本概念和原理的强调，确保学生能够扎实掌握。
此外，在小组讨论中，我也发现了学生之间的交流合作能力有待提高。有些同学在讨论中显得比较被动，这可能是因为他们对问题的理解不够深入，或者是对如何表达自己的观点感到困惑。针对这一点，我打算在接下来的课程中，多组织一些小组活动，鼓励学生主动参与，提高他们的表达能力和团队合作精神。
3.探索圆的切线方程的求法。
4.应用直线与圆的位置关系解决实际问题。
本节课旨在帮助学生掌握直线与圆的位置关系的判定方法，并能运用相关知识解决实际问题，提高学生的几何逻辑思维和解决问题的能力。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识分析问题的能力，通过探究直线与圆的位置关系，提高学生的空间想象力和几何直观。
人教版九年级数学上册24.2直线与圆的位置关系（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学上册第24.2节，本节课主要教学内容包括：
最新人教版九年级数学上册第二十四章《点和圆、直线和圆的位置关系》名师导航5
24.2.2直线和圆的位置关系要点预习1.直线和圆有两个公共点,这时我们说这条直线和圆_______,这条直线叫做圆的_______.答案:相交割线2.直线和圆有一个公共点,这时我们说这条直线和圆_______,这条直线叫做圆的______,这个点叫做_______.答案:相切切线切点3.直线和圆没有公共点,这时我们说这条直线和圆_______.答案:相离4.设⊙O的半径为r,直线l到圆心O的距离为d,则有:直线l和⊙O相交⇔d_______r;直线l 和⊙O相切⇔d_______r;直线l和⊙O相离⇔d_______r.答案:<=>5.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_______.答案:切线6.圆的切线垂直于过切点的_______.答案:半径7.经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的_______.答案:切线长8.从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长_______,这一点和圆心的连线平分两条切线的_______.答案:相等夹角9.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的_______,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的_______.答案:内切圆内心互动讲练1.直线与圆的位置关系.剖析:有三种:直线与圆相交,直线与圆相切,直线与圆相离.直线和圆的位置关系可以用它们交点的个数来区分,也可以比较圆心到直线的距离和半径的大小来区分,它们是一致的.【例1】如图24-2-2-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,以C为圆心,r为半径的圆与AB是怎样的位置关系?图24-2-2-1(1)r=2 cm;(2)r=2.4 cm;(3)r=3 cm.分析:先求出圆心到直线的距离,再比较它与给出的半径的大小关系.图24-2-2-2解:如图24-2-2-2,过C 作CD ⊥AB,垂足为D,在Rt △ABC 中, AB=222243+=+BC AC . ∵21AB·CD=21AC·BC, ∴CD=543⨯=⋅AB BC AC =2.4 cm, 即圆心到直线AB 的距离d=2.4 cm.(1)当r=2 cm 时,有d>r,因此⊙C 与直线相离;(2)当r=2.4 cm 时,有d=r,因此⊙C 与直线相切;(3)当r=3 cm 时,有d<r,因此⊙C 与直线相交.点拨:比较圆心到直线的距离与半径的大小是确定直线与圆的位置关系常用的方法.变式训练:1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=4 cm, BC=2 cm,以C 为圆心,r 为半径作圆,若直线AB 与⊙C(1)相交;(2)相切;(3)相离.求半径r 的值.解:过点C 作CD ⊥AB 于点D.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=4,BC=2,∴AC=23.S △ABC =21AB·CD=21AC·BC, ∴AB·CD=AC·BC.∴CD=.34232=⨯=⋅AB BC AC (1)∵直线AB 与⊙C 相交,∴r>CD,即r>3.(2)∵直线AB 与⊙C 相切,∴r=CD,即r=3.(3)∵直线AB 与⊙C 相离,∴r<CD,即r<3.2.直线与圆相切的性质和判定.剖析:切线有如下性质:(1)切线和圆只有一个公共点;(2)切线和圆心的距离等于半径;(3)切线垂直于过切点的半径;(4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点;(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.判断直线与圆相切有三种方法:(1)定义:如果一条直线与圆有唯一的公共点,则直线与圆相切;(2)圆心到直线的距离等于该圆的半径,即d=r时,直线与圆相切;(3)切线的判定定理:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例2】(2007湖北十堰)如图24-2-2-3,PA是⊙O的切线,切点是A,过点A作AH⊥OP于点H,交⊙O于点B.图24-2-2-3求证:PB是⊙O的切线.分析:连接OA、OB,综合运用切线的性质和判定.证明:如图24-2-2-4,连接OA、OB.图24-2-2-4∵PA是⊙O的切线,∴∠OAP=90°.∵OA=OB,AB⊥OP,∴∠AOP=∠BOP.又∵OA=OB,OP=OP,∴△AOP≌△BOP.∴∠OBP=∠OAP=90°.∴PB是⊙O的切线.点拨:知切线,连半径,得垂直,即根据切线的性质,当已知某条直线是圆的切线时,切线与过切点的半径垂直,对解决问题起关键作用.判定一条直线是圆的切线,当直线和圆的公共点已知时,这时常用的证明方法是利用切线的判定定理.变式训练:图24-2-2-52.如图24-2-2-5,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在圆上,∠CAB=30°. 求证:DC是⊙O的切线.证明:如图,连接OC、BC.∵∠CAB=30°,∴∠COB=60°.又∵OC=OB,∴△OCB 是正三角形,∠OCB=∠OBC=60°,BD=OB=BC.∴∠BCD=30°,∠OCD=30°+60°=90°.∴DC 是⊙O 的切线.3.三角形的内切圆与内心.剖析:三角形的内切圆是与三角形的三边都相切的圆,在三角形的内部.它与三角形的外接圆不同,外接圆在三角形的外部.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点.正因为三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点,所以过三角形的顶点和内心的射线平分三角形的内角.【例3】 如图24-2-2-6,在△ABC 中,⊙I 是△ABC 的内切圆,和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F.试猜想∠FDE 与∠A 的关系,并说明理由.图24-2-2-6分析:∠FDE 是圆周角,∠FIE 是同弧所对的圆心角,要确定∠FDE 与∠A 的关系,可首先确定∠FIE 与∠A 的关系.图24-2-2-7解:∠FDE=90°-21∠A.理由如下: 如图24-2-2-7,连接IE 、IF.∵CA 、AB 分别与圆I 相切于点E 、F,∴IE ⊥CA,IF ⊥AB.∴∠AEI=∠AFI=90°.∴∠FIE=360°-90°-90°-∠A=180°-∠A.∵∠FIE=2∠FDE=180°-∠A,∴∠FDE=90°-21∠A. 点拨:连接圆心和切点是常作的辅助线.变式训练:3.如图24-2-2-8,在△ABC 中,∠ABC=45°,∠ACB=75°,点O 是三角形的内心.求∠BOC 的度数.图24-2-2-8解:∵点O 是三角形的内心,∴BO 、CO 分别是∠ABC 与∠ACB 的平分线,即∠1=21∠ABC,∠3=21∠ACB. 又∵∠ABC=45°,∠ACB=75°,∴∠1+∠3=21∠ABC+21∠ACB=21(45°+75°)=60°. ∴∠BOC=180°-60°=120°.。
新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：直线和圆的位置关系及其判定》公开课获奖教案_0
《直线与圆的位置关系及其判定》教学设计一、教材分析1、教学内容：本节课主要学习（1）直线和圆相交、相切、相离的有关概念（2）直线和圆三种位置关系的判定与性质（3）相关应用。
2、教材的地位和作用：直线和圆的位置关系是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，为后面的圆与圆的位置关系作了铺垫．起着承上启下的作用．二、教法与学法分析蔡旗中学“四双五环”高效导学模式在课堂上充分体现学生的主体地位和教师的主导作用，课堂大部分时间留给学生自主探究、合作释疑和展示交流，教师只用很少时间进行引导和点拨。
这种导学模式下的课堂气氛热烈融洽，学生自觉投入，在此种课堂模式下，课堂就成了学生展示自我、张扬个性、快乐成长的舞台。
课堂教学的高效性就是通过课堂教学活动，学生在学业上有超常收获，有超常提高，有超常进步。
具体表现在：学生在认知上，从不懂到懂，从少知到多知，从不会到会；在情感上，从不喜欢到喜欢，从不热爱到热爱，从不感兴趣到感兴趣。
蔡旗中学“四双五环”高效导学模式要求课堂教学要充分体现以学生发展为本的精神，因此，在本节课的教学设计中，我采用了“情景问题——学生体验——合作交流”教学模式，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识和基本技能，发展应用数学知识的意识与能力，增强学好数学的愿望和信心。
三、教学设计思路：本节课我首先通过现实生活中的例子，激发学生对探索直线与圆的位置关系是兴趣。
然后让学生动手操作，参与学习活动，用运动变化的观点观察直线与圆的位置关系的变化及它们之间的公共点个数的变化情况，在共同合作利用数形结合的方法量化了直线与圆的位置关系的性质和判定。
接着通过小组探讨、交流、发现，和老师的引导，点拨，让学生利用所学知识判断直线和圆的位置关系。
在整个活动中，学生是实践者、探索者、发现者，老师是引导者、启发者、帮助者，把发现的主动权交给学生，让学生成为学习的主人。
四、教学目标：知识技能1.探索并掌握直线与圆的三种位置关系，知道直线和圆相交、相切、相离的定义。
人教版九年级数学上册24.2点和圆、直线和圆的位置关系优秀教学案例
1.利用生活实际问题，如确定篮球场上的罚球线是否公平，引出点和圆、直线和圆的位置关系；
2.展示实物模型或图形软件，让学生直观地感受到点和圆、直线和圆的位置关系，激发学生的学习兴趣；
3.引导学生提出问题，如“如何判断一个点是否在圆上？”、“直线与圆的位置关系有哪些？”；
4.创设情境，引导学生思考，为新课的学习做好铺垫。
五、案例亮点
1.生活情境导入：通过生活实际问题，如篮球场上的罚球线问题，引出本节课的学习内容，使学生能够直观地感受到数学与实际生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣和积极性。
2.直观展示和操作：利用实物模型、图形软件等教学工具，直观地展示点和圆、直线和圆的位置关系，帮助学生建立正确的空间观念，使抽象的数学概念变得具体形象，有利于学生理解和掌握。
1.引导学生对学习过程进行反思，总结经验，提高学生的思维品质；
2.设计具有针对性和指导性的评价指标，对学生的学习过程和结果进行评价，帮助学生找到不足，促进学生的全面发展；
3.鼓励学生自我评价，培养学生的自我监控和自我调整能力；
4.对学生的评价结果进行反馈，引导学生正确对待评价，培养学生的自信心。
四、教学内容与过程
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，培养学生的提问能力和思维能力；
2.设计具有逻辑性和连贯性的问题链，引导学生进行层层递进的思考，提高学生的思维深度；
3.鼓励学生通过讨论、交流等方式，解决问题，培养学生的合作意识和沟通能力；
4.引导学生对解决问题的过程进行反思，总结经验，提高学生的思维品质。
（三）小组合作
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学的实用性和魅力，激发学生学习数学的内在动机；
人教版(广西版)九年级数学上册教学设计24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
人教版（广西版）九年级数学上册教学设计24.2 点和圆、直线和圆的位置关系一. 教材分析本节课为人教版（广西版）九年级数学上册第24.2节“点和圆、直线和圆的位置关系”。
这一节的主要内容是点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系。
通过这一节的学习，让学生理解并掌握点和圆、直线和圆的位置关系，能够运用这些知识解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对点和圆、直线和圆的概念有一定的了解。
但是，对于它们之间的位置关系的理解和运用还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，需要注重学生的实际操作和思考，引导学生通过实践来理解和掌握知识。
三. 教学目标1.让学生理解点和圆、直线和圆的位置关系。
2.让学生能够运用点和圆、直线和圆的位置关系解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.教学重点：点和圆、直线和圆的位置关系的理解和运用。
2.教学难点：点和圆、直线和圆的位置关系的推导和证明。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过提出问题，引导学生思考和探究；通过案例分析，让学生理解和掌握知识和技能；通过小组合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例。
2.准备教学PPT，包括相关的图片、动画和视频等。
3.准备黑板和粉笔，用于板书和标注。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生思考和探究。
例如：“你在生活中见过点和圆、直线和圆的位置关系吗？它们之间有什么关系？”2.呈现（15分钟）通过PPT展示相关的案例和实例，让学生直观地理解和掌握点和圆、直线和圆的位置关系。
同时，引导学生观察和分析，发现其中的规律和特点。
3.操练（20分钟）让学生通过实际操作，进一步理解和掌握点和圆、直线和圆的位置关系。
例如，让学生画出给定条件的点和圆、直线和圆的位置关系，并解释其原因。
4.巩固（10分钟）通过提问和讨论，巩固学生对点和圆、直线和圆的位置关系的理解和掌握。
最新人教版九年级数学上册第二十四章《点和圆、直线和圆的位置关系》教案
24.2.1 点和圆的位置关系教学设计(一)教学目标1．能够用数量关系判断点和圆的位置关系．2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．了解反证法的证明思想．教学重难点重点是点和圆的位置关系的结论，不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用；难点是对反证法的理解．教学过程导入新课〈方式1〉请同学们回答下面的问题．1．圆的两种定义是什么？2．你能至少举两个例子说明圆是如何形成的吗？3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．〈方式2〉同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许多圆组成的，射击的成绩是由击中靶子不同位置所决定的．如图是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹．你知道这个运动员的成绩吗？请同学们算一算(击中最里面的圆的成绩为10环，依次为9,8，…，1环)．这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系．今天我们就来学习点与圆的位置关系．推进新课一、合作探究(一)点和圆的位置关系1．想一想：平面内的点P和⊙O有几种位置关系？设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP＝d，那么相对应的d和r的大小关系如何？由上面的画图以及所学知识，我们可知：点P在圆外⇒d＞r；点P在圆上⇒d＝r；点P在圆内⇒d＜r.反过来，也十分明显，如果d＞r⇒点P在圆外；如果d＝r⇒点P在圆上；如果d＜r⇒点P在圆内．2．归纳：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上d＝r；点P在圆内d＜r.(二)确定圆的条件1．做一做、议一议：(1)作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？(2)作圆，使该圆经过已知点A，B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？(3)作圆，使该圆经过已知A，B，C三点(其中A，B，C三点不在同一直线上)，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？结论：过一个点A可以作无数个圆；过两个点A，B也可以作无数个圆，但圆心都在线段AB的垂直平分线上；过不在同一直线上的三点A，B，C可以作唯一一个圆，圆心在由三点确定线段的垂直平分线上．即：不在同一直线上的三个点确定一个圆．2．相关概念三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．(三)反证法证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆．证明：如图，假设过同一直线l上的A，B，C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上．即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．所以，过同一直线上的三点不能作圆．议一议：以上证明过程有什么特点？结论：它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立(即假设过同一直线上的三点可以作一个圆)，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．这种证明方法叫做反证法．二、应用迁移1．不在同一直线上的三个点确定一个圆某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示，为复制该瓷盘，需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取三点连接成两条线段，作线段的垂直平分线，交点就是我们所求的圆心．画法：(1)在残缺的圆盘上任取三点连接成两条线段；(2)作两线段的垂直平分线，相交于一点O.则O就为所求的圆心．点拨：该方法也可以用来确定一段弧的圆心．三、巩固提高1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内．其中正确的个数为()．A．1B．2C．3D．4答案：B2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，则它的外心与顶点C的距离为()．A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm答案：B3．如图，通过防治甲型H1N1流感，人们增强了卫生意识，大街上随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中．如图所示，A，B，C为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，要使得回收站建在到三个小区距离都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址？提示：作出△ABC的外心，就是所建垃圾站的地点．本课小结1．所学知识：(1)点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上d＝r；点P在圆内d＜r.(2)不在同一直线上的三个点确定一个圆．(3)三角形外接圆和三角形外心的概念．2．所学的方法是反证法．教学设计(二)学习目标1．能够用数量关系判断点和圆的位置关系．2．理解不在同一直线上三个点确定一个圆．3．理解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．理解反证法的证明思想．课前预习1．阅读教材，完成下面问题．如图，设⊙O的半径为r，点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．容易看出OA＜r，OB=r，OC＞r.2．预习教材，完成下面的问题．经过三角形的三个顶点可以作一个圆，并且只能作一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O是三角形的外接圆．4．反证法与我们以前学过的证明不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．课内探究一、学习新知【目标1】点和圆的位置关系1．根据课前预习的第1题，总结下面的结论．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆上d＝r；点P在圆外d＞r；点P在圆内d＜r.说明：符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以得到右端，从右端可以得到左端．牛刀小试1．已知⊙O的半径r＝5厘米，A为线段OP的中点，当OP＝6厘米时，点A在⊙O__________；当OP＝10厘米时，点A在⊙O__________；当OP＝14厘米时，点A在⊙O__________.答案：内上外2．两个圆的圆心都是O，半径分别为r1，r2，且r1＜OP＜r2，那么点P在()．A．大⊙O内B．小⊙O内C．大⊙O外D．小⊙O外，大⊙O内答案：D【目标2】经过不在同一直线上的三点确定一个圆(一)自主探究问题1：经过平面上一点能作圆吗？如果能作，请你说出圆心在哪里？半径是多少？可以作多少个圆？(学生探索，得出结论)问题2：经过平面上两点能作圆吗？如果能作，请你说出圆心在哪里？半径是多少？可以作多少个圆？(学生探索，得出结论)问题3：经过平面上三点能作圆吗？如果能作，请你说出圆心在哪里？半径是多少？可以作多少个圆？(学生探索，得出结论)得出结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆．问题4.三角形的外心都在三角形的内部吗？(在下面的三角形中画出它们的外接圆，观察圆心的位置，得出结论)结论：锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心在斜边的中点上；钝角三角形的外心在三角形的外部．(二)牛刀小试1．判断(1)经过三点可以确定一个圆．()(2)到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的外接圆的圆心．()(3)任意三角形都有一个外接圆，并且只有一个．()(4)任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形．()答案：×√√×2．填空：△ABC的三条边是3,4,5时，△ABC的外接圆的半径是__________．答案：2.5【目标3】反证法1．回顾课前预习的问题4.2．教师对此进行点评：(1)反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作的假设不正确，从而得出原命题成立，这种方法叫做反证法．(2)反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾的结论；③由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确．3．牛刀小试(1)用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角的第一步是：假设等腰三角形的底角不是锐角．二、课堂小结这节课，我们应该掌握：(1)点和圆的三种位置关系；(2)不在同一直线上三点确定一个圆；(3)三角形外接圆与外心的概念；(4)反证法．三、当堂测试1．已知⊙P的半径为5，点P的坐标为(2,1)，点Q的坐标为(0,6)，则点Q的位置()．A．在⊙P外B．在⊙P上C．在⊙P内D．不能确定答案：A2．AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，以OC为半径作同心圆，P是线段AB上不同于A，B，C的点，则P点()．A．在大圆上B．在小圆内C．在大圆外D．在小圆外且在大圆内答案：D3．⊙O的半径r＝10 cm，圆心到直线l的距离OM＝8 cm，在直线l上有一点P，且PM＝6 cm，则点P()．A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．可能在⊙O内也可能在⊙O外答案：B4．有一种证明方法，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的__________，经过推理得出__________，由矛盾断定所作的假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做__________．答案：结论不成立矛盾反证法5．已知O为△ABC的外心，若∠A＝80°，则∠BOC＝__________；若∠BOC＝100°，则∠BAC＝__________.答案：160°50°或130°课后拓展A组1．已知⊙O的半径为5，圆心的坐标为(0,0)，点P的坐标为(4,2)，则点P与⊙O的位置关系是()．A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．点P在⊙O内或点P在⊙O外答案：A2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边中点D与⊙A的位置关系是()．A．点D在⊙A外B．点D在⊙A上C．点D在⊙A内D．无法确定答案：A3．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，以A为圆心，以1为半径画圆，则点__________在圆内，点__________在圆上，点__________在圆外．答案：O B，D C4．已知：点A在以O为圆心，3 cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是__________．答案：0 cm≤d＜3 cm5．用反证法证明下列各命题，写出各命题的第一步假设．(1)三角形中至少有一个角不小于60°.第一步假设为：_________________________________________________________；(2)梯形的对角线不能互相平分．第一步假设为：_________________________________________________________；(3)三角形中，至多只有一个角为钝角．第一步假设为：_________________________________________________________.答案：(1)三角形中三个角都小于60°(2)梯形的对角线能互相平分(3)三角形中有两个钝角B组6．教材练习第2,3题．。
人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.2点和圆直线和圆的位置关系》第1课时教学设计
人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.2点和圆直线和圆的位置关系》第1课时教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.2点和圆直线和圆的位置关系》第1课时，主要讲述了点和圆、直线和圆的位置关系。
通过本节课的学习，使学生了解点和圆、直线和圆的位置关系，掌握相关性质和判定方法，为后续学习圆的方程和几何性质打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和判定有一定的了解。
但针对点和圆、直线和圆的位置关系，还需要进一步引导和启发。
此外，学生可能对一些概念和性质的理解不够深入，需要在教学过程中加强解释和举例。
三. 教学目标1.理解点和圆、直线和圆的位置关系的定义和性质。
2.掌握点和圆、直线和圆的位置关系的判定方法。
3.能够运用点和圆、直线和圆的位置关系解决实际问题。
四. 教学重难点1.重难点：点和圆、直线和圆的位置关系的判定方法。
2.难点：对一些概念和性质的理解和运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生思考和探索问题和圆、直线和圆的位置关系。
2.使用几何画板或实物模型，直观展示点和圆、直线和圆的位置关系，帮助学生理解和记忆。
3.通过例题和练习，巩固所学知识和方法。
4.分组讨论和合作交流，提高学生的动手能力和团队协作能力。
六. 教学准备1.准备几何画板或实物模型，用于展示点和圆、直线和圆的位置关系。
2.准备相关练习题和测试题，用于巩固和评估学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾平面几何中图形的性质和判定，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）利用几何画板或实物模型，展示点和圆、直线和圆的位置关系，引导学生观察和思考。
3.操练（15分钟）讲解点和圆、直线和圆的位置关系的判定方法，并通过例题进行演示。
然后让学生分组讨论和合作交流，运用所学知识解决实际问题。
4.巩固（10分钟）布置练习题，让学生独立完成，巩固所学知识和方法。
24.2.1 点和圆的位置关系 初中数学人教版九年级上册课件
这与 三角形的内角和为180°矛盾，假设不成立．
∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60° ．
当堂练习
1.⊙O的半径r为5cm，O为原点，点P的坐标为(3，4)， 则点P与⊙O的位置关系为 （ B ）
A.点P在⊙O内
B.点P在⊙O上
C.点P在⊙O外
D.点P在⊙O上或⊙O外
P
d
d
Pd
r
r
P
r
点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外
d ＜r d= r d＞r
要点归纳 点和圆的位置关系
P
d
d Pd
P d r
r
r
P
r
R
点P在⊙O内 d<r 点P在⊙O上 d=r 点P在⊙O外 d>r 点P在圆环内 r≤d≤R
数形结合：位置关系
数量关系
练一练：
1.⊙O的半径为10 cm，A、B、C三点到圆心的距离分 别为8 cm、10 cm、12 cm，则点A、B、C与⊙O的位
确定这个位置呢？
解：学校应该建 在AB和AC垂直 平分线的交点上
B●
●A
C
●
●
例2 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24 cm， O到BC的距离是5 cm，求△ABC的外接圆的半径．
解：连接OB，过点O作OD⊥BC于点D，
则OD＝5cm，BD 1 BC 12cm.
2
在Rt△OBD中，
OB OD2 BD2 13cm.
经过A，B两点的圆的圆心在线
段AB的垂直平分线上.
F
经过B，C两点的圆的圆心在线
段BC的垂直平分线上.
B
A
●o
经过A，B，C三点的圆的圆心应该
九年级数学上册 第二十四章 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系备课资料教案 (新版
第二十四章 24.2.1点和圆的位置关系个点而且只能作一个圆知识点3：三角形的外接圆和三角形的外心经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,也叫做三角形的外心.关键提醒:(1)“接”是说三角形的顶点与圆的关系,圆经过三角形的三个顶点或说明三角形的三个顶点都在圆上,而“外”是相对位置,是以一个图形(三角形)为准,说明另一个图形(圆)在它的外面,由此我们可以说这个三角形叫做圆的内接三角形.三角形有唯一的外接圆,而圆有无数个内接三角形.(2)锐角三角形的外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形的外心在三角形外部.无论哪种三角形,它们的外心都是三角形任意两边的垂直平分线的交点,它到三角形各顶点的距离相等.只要三角形确定,那么它的外心和外接圆的半径就确定了.知识点4：反证法一种间接证法,先假设命题不成立,然后从假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义、公理、定理等矛盾,从而得出假设命题不成立,即所求证的命题正确,这种证明方法叫做反证法.归纳整理:(1)用反证法证明命题的一般步骤如下:①反设:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;②归谬:从假设出发,经过推理论证,得出矛盾;③结论:由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.(2)用反证法证题时,由于要假设待证命题的结论不成立,就必须考虑结论的反面可能出现的情况.如果结论的反面只有一种情况,那么只需否定这种情况,就足以证明原结论是正确的;如果结论的反面不止一种情况,那么必须把各种可能的情况全部列举出来,并且一一加以否定之后,才能肯定原结论是正确的.考点1：点和圆的位置关系的判定【例1】如图,已知矩形ABCD的边AB=75px,AD=100px.(1)以点A为圆心,100px为半径作☉A,则点B、C、D与☉A的位置关系如何?(2)若以点A为圆心作☉A,使B、C、D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外,则☉A的半径r的取值范围是什么?解:(1)∵AB=75px<100px,∴点B在☉A内.∵AD=100px,∴点D在☉A上.∵AC==125px>100px,∴点C在☉A外.(2)点B一定在圆内,点C一定在圆外.∴75px<r<125px.点拨:(1) 要判定点B、C、D与☉A的位置关系,只需比较AB、AC、AD的长度与半径r之间的大小;(2)B、C、D三点中点B距离点A最近,点C距离点A最远,所以点B一定在圆内,点C一定在圆外,半径r的值大于AB的长,小于AC的长即可.考点2：作过已知三点的圆【例2】已知线段AB和点C(点C不在线段AB所在的直线上),求作☉O,使它经过A、B、C 三点.(要求:尺规作图,写作法,保留作图痕迹).解:作法:(1)连接AC,作AC的垂直平分线l1;(2)作AB的垂直平分线l2,与l1交于点O;(3)以点O为圆心,以OA(或OB、OC)的长为半径作圆,则☉O即为所求作的圆(如图).点拨:本题中只要作出两条中垂线,即得到圆心和半径.考点3：利用反证法解决问题【例3】用反证法证明:等腰三角形的底角必定是锐角.解:已知:在△ABC中,AB=AC.求证:∠B、∠C必定是锐角.证明:若AB=AC,则∠B=∠C.假设∠B不是锐角,则∠B是直角或钝角.(1)若∠B是直角,即∠B=90°,则∠C=90°,故∠A+∠B+∠C>180°.这与三角形的内角和定理矛盾,所以∠B不是直角.(2)若∠B是钝角,即∠B>90°,则∠C>90°,故∠A+∠B+∠C>180°.这与三角形的内角和定理矛盾,所以∠B不是钝角.综上所述,∠B即不是直角也不是钝角,即∠B、∠C是锐角.所以等腰三角形的底角必定是锐角.点拨:当题目中出现了“必定”“不可能”“不是”“至少”“至多”型命题时,一般考虑用反证法证明.本题是文字叙述题,先用几何语言表述,再用反证法证明.。
2024年人教版九年级上册教学第二十四章 圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1点和圆的位置关系课时目标1.掌握点与圆的三种位置关系及数量间的关系,探求过点画圆的过程,掌握过不在同一直线上三点画圆的方法,掌握三角形的外接圆和外心的概念,了解运用“反证法”证明命题的思想方法.2.通过生活中的实例探求点和圆的三种位置关系,并提炼出数量关系,从而渗透数形结合,分类讨论等数学思想.3.形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力.学习重点点与圆的三种位置关系,过三点作圆.学习难点点与圆的三种位置关系及其数量关系,及反证法的理解.课时活动设计情境引入射击是奥运会的一个正式体育项目,我国射击运动员在奥运会上屡获金牌,为祖国赢得了荣誉.如图是射击靶的示意图,它是由许多同心圆(圆心相同、半径不等的圆)构成的,射击成绩是由击中靶子不同位置所决定的.图中是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹.你知道如何计算运动员的成绩吗?从数学的角度来看,这是平面上的点与圆的位置关系,我们今天这节课就来研究这一问题,引出课题.设计意图:随着现在经济科技的发展,奥运会越来越被人们所重视.本节内容通过学生熟悉的射击比赛成绩的算法,使学生在开拓知识视野的同时,感知点与圆的几种位置关系,体会数学在生活中的应用.探究新知我们取刚才射击靶上的一部分图形来研究点与圆存在的几种位置关系.学生交流,回答问题.教师点评:点与圆有三种位置关系:点在圆内,点在圆上,点在圆外.如下图,☉O的半径为4cm,OA=2cm,OB=4cm,OC=5cm,那么,点A,B,C与☉O 有怎样的位置关系?解:∵OB=4cm,∴OB=r,∴点B在☉O上.∵OA=2cm<4cm,∴点A在☉O内.∵OC=5cm>4cm,∴点C在☉O外.设计意图:通过实例观察点与圆的位置关系,从而总结出规律,使学生的思维得到提升.探究(1)如图1,经过一个已知点A能不能作圆,这样的圆你能作出多少个?(2)如图2,经过两个已知点A,B能不能作圆?如果能,圆心分布有什么特点?学生动手探究,作图,交流,得出结论,教师点评并总结.解:(1)过已知点A画圆,可作无数个圆.这些圆的圆心分布于平面的任意一点,半径是任意长的线段.(仅过点A,既不能确定圆心,也不能确定半径.)(2)过已知的两点A,B也可作无数个圆.这些圆的圆心分布在线段AB的垂直平分线上.因为线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.(注:仅过点A,B,同样不能确定圆心,也不能确定半径.)经过不在同一条直线上的三个点,A,B,C能不能作圆?如果能,如何确定所作圆的圆心?解:经过A,B两点的圆,圆心在线段AB的垂直平分线上.经过A,C两点的圆,圆心在线段AC的垂直平分线上,那么这两条垂直平分线一定相交,设交点为O,则OA=OB=OC,于是以O为圆心,以OA为半径的圆,必过B,C两点,所以过不在同一直线上的A,B,C三点有且仅有一个圆.教师总结,不在同一条直线上的三个点确定一个圆.经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心.设计意图:学生动手从易到难,逐个分析过不同个数的点的圆的个数.典例精讲例1☉O的半径为10cm,根据点P到圆心的距离:(1)8cm;(2)10cm;(3)13cm.判断点P与☉O的位置关系,并说明理由.解:设☉O的半径为r cm,点P到圆心的距离为d cm,则r=10.(1)当d=8时,∵d<r,∴点P在☉O内.(2)当d=10时,∵d=r,∴点P在☉O上.(3)当d=13时,∵d>r,∴点P在☉O外.例2如图,在A地往北90m处的B处,有一栋民房,东120m的C处有一变电设施,在BC的中点D处有一古建筑.因施工需要必须在A处进行一次爆破,为使民房,变电设施,古建筑都不遭破坏,问爆破影响的半径应控制在什么范围之内?解:由题可知AB=90m,AC=120m,∠BAC=90°,由勾股定理,可得BC=B2+B2=902+1202=150(m).又∵D是BC的中点,∴AD=12BC=75(m).∴民房B,变电设施C,古建筑D到爆破中心的距离分别为:AB=90m,AC=120 m,AD=75m.要使B,C,D三点不受到破坏,即B,C,D三点都在☉A外,∴☉A的半径要小于75m.即爆破影响的半径控制在小于75m的范围,民房,变电设施,古建筑才能不遭破坏.设计意图:例1可让学生独立思考,尝试写出过程;教师点评,并规范书写格式.例2是对本节知识的实际应用,教师引导学生分析问题,使学生学会将实际问题转化为数学问题,从而认识到问题的本质,也让学生体会到数学是与实际生活紧密相连的.思考经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗?学生易想到过同一条直线上的三个点不能圆,那如何证明呢?证明:如图,假设经过同一条直线l上的A,B,C三点可以作出一个圆.设这个圆的圆心为P,那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上,又在线段BC的垂直平分线l2上,即点P为l1与l2的交点,而l1⊥l,l2⊥l,这与我们之前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以经过同一条直线上的三个点不能作圆.教师进行总结,引出反正法:上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同,它不是直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成立(即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆),由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.设计意图:让学生了解用反证法证明的基本思路和一般步骤.巩固训练1.判断下列说法是否正确:(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆.(√)(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形.(×)(3)经过三点一定可以确定一个圆.(×)(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.(√)2.☉O的半径为10cm,A,B,C三点到圆心的距离分别为8cm,10cm,12cm,则点A,B,C与☉O的位置关系是:点A在圆内;点B在圆上;点C在圆外.课堂小结1.本节课你学到了哪些数学知识和数学方法?请与同伴交流点和圆的位置关系,会判断点和圆的位置关系、理解并掌握三角形的外心及性质.2.了解反证法证明的基本思路和一般步骤.课堂8分钟.1.教材第95页练习第2,3题.2.七彩作业.24.2.1点和圆的位置关系点和圆的位置关系点和圆的位置关系点在圆内⇔<点在圆上⇔=点在圆外⇔>确定圆的条件:不在同一条直线上的三个点确定一个圆反证法:①反设,②推导出矛盾,③下结论教学反思24.2.2直线和圆的位置关系第1课时直线和圆的位置关系课时目标1.掌握直线和圆的三种位置关系及其数量间的关系,掌握运用圆心到直线的距离的数量关系或用直线与圆的交点个数来确定直线与圆的三种位置关系的方法,发展学生抽象思维能力的核心素养.2.结合图形理解直线和圆的位置关系,培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养.3.通过生活中的实例,探求直线和圆的三种位置关系,并提炼出相关的数学知识,从而渗透数形结合,分类讨论等数学思想,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力.学习重点掌握直线与圆的三种位置关系及其数量关系.学习难点能够通过数量关系判断直线与圆的位置关系.课时活动设计情境导入(1)教师动态演示太阳升起的过程,提问:如果我们把太阳看作一个圆,把地平线看作是一条直线,太阳升起的过程中,太阳和地平线会有几种位置关系?由此你能得出直线和圆的位置关系吗?(2)在纸上画一条直线l,把钥匙环看作一个圆.在纸上移动钥匙环,你能发现在移动钥匙环的过程中,它与直线l的公共点个数的变化情况吗?设计意图:从人们常见的太阳的东升西落的问题开始,然后学生通过移动钥匙环,亲身体会到现实生活中的数学知识,更加形象地表明了直线和圆的位置关系.先由学生交流、操作,观察发现直线与圆的位置关系,可让同学分别演示每一种情况,并写出交点的个数.新知讲解1.直线和圆的位置关系的定义及有关概念.由前面的两个探究情景可知,直线与圆有如下三种位置关系:如图1,直线l与☉O有两个公共点,这时我们说这条直线和圆相交,直线l叫做☉O的割线.如图2,直线l与☉O只有一个公共点,这时我们说这条直线与☉O相切,直线l 叫做☉O的切线,这一个公共点叫做切点.如图3,直线l与☉O没有公共点,我们说这条直线与☉O相离.2.直线和圆的位置关系的性质和判定.思考:在上面的图1、图2、图3中,设☉O的半径为r,直线l到圆心O的距离为d,在直线和圆的三种不同位置关系中,d与r具有怎样的大小关系?反过来你能根据d与r的大小关系来确定直线和圆的位置关系吗?(学生讨论,归纳总结答案,并由学生代表回答问题.)归纳总结:直线l与☉O相交⇔d<r有两个公共点;直线l与☉O相切⇔d=r有1个公共点;直线l与☉O相离⇔d>r无公共点.设计意图:这是直线和圆的位置关系的性质和判定,对于这一结论,要求学生要熟记图形,重在结合图形进行理解掌握.典例精讲例1已知圆的半径等于10cm,直线l与圆只有一个公共点,求圆心到直线l 的距离.解:∵直线l与圆只有一个公共点.∴直线l与圆相切.当直线l与圆相切时,d=r=10cm.∴圆心到直线l的距离为10cm.例2如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以点C为圆心,r为半径的圆与AB有怎样的位置关系?为什么?(1)r=2cm;(2)r=2.4cm;(3)r=3cm.分析:判断☉C与直线AB的位置关系,就是比较半径r与圆心C到直线AB的距离d的大小关系,即比较r与图中CD的大小关系.解:如图,过点C作CD⊥AB于点D.∵∠ACB=90°,AC=3cm,BC=4cm,∴AB=5cm.=12·AB·CD=12·AC·BC,即12×5·CD=12×3×4,∵S△ABC∴CD=125=2.4cm,即d=2.4cm.(1)当r=2cm,∵d=2.4cm>r,∴☉C与直线AB相离.(2)当r=2.4cm,∵d=2.4cm=r,∴☉C与直线AB相切.(3)当r=3cm,∵d=2.4cm<r,∴☉C与直线AB相交.设计意图:学以致用,从做题中让学生理解知识.巩固练习1.如图,正方形ABCD中,边长为1.(1)以点A为圆心,1为半径的圆与直线BC有怎样的位置关系?(2)以A为圆心,半径为多少时,圆与直线BD相切?解:(1)∵四边形ABCD为正方形,∴AB⊥BC.∵AB=1=r,∴☉A与直线BC相切.(2)∵四边形ABCD为正方形,边长为1,∴AB=BC=1,∠ABC=90°,AC⊥BD且AO=12AC.在Rt△ABC中,AC=B2+B2=2,∴AO=12AC∴以A为圆心,半径为22时,圆与直线BD相切.设计意图:巩固所学,拓展思维.课堂8分钟.1.教材第96页练习.2.七彩作业.教学反思第2课时切线的判定和性质课时目标1.使学生能判定一条直线是否为一条切线,会过圆上一点作圆的切线,会运用切线的判定定理和性质定理解决问题,发展学生抽象思维能力的核心素养.2.经历切线的判定定理及性质定理的探究过程,养成学生既能自主探究,又能合作探究的良好学习习惯,培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养.3.灵活运用切线的性质解决一些实际问题,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力.学习重点掌握切线的判定定理及性质定理.学习难点切线的判定定理和性质的应用.课时活动设计新知导入通过多媒体动态演示实例,教师进行提问,这些现象有哪些共同点?设计意图:通过观察生活中的实例,使学生初步感知直线与圆相切的情景,深化学生思想中的数学模型.思考如图,在☉O中,经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l的距离是多少?直线l和☉O有什么位置关系?解:∵直线l⊥OA,而点A是☉O的半径OA的外端点,∴直线l与☉O只有一个交点,并且圆心O到直线l的距离是垂线段OA,即是☉O的半径.∴直线l与☉O相切.教材总结得到切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.设计意图:引导学生分析切线的特点,为后续做准备.新知探究已知直线l是☉O的切线,切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢?为什么?(学生讨论,由学生代表回答)分析:这个问题在引导学生分析时,直接证明比较困难,我们可以运用反证法.假设OA与l不垂直,过点O作OM⊥l,垂足为M,根据垂线段最短的性质,有OM<OA,这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA,于是直线l与☉O相交,而这与直线l 与☉O相切矛盾.因此,半径OA垂直于直线l.教师点评:由于l是☉O的切线,点A为切点,∴圆心O到l的距离等于半径,所以OA就是圆心O到直线l的距离.∴直线l⊥OA.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.符号语言:∵直线l是☉O的切线,切点为A,∴直线l⊥OA.设计意图:学生具有初步的逻辑分析能力和表达能力,课堂上适时的锻炼既能消除学生对证明的陌生感,又能提升学生的逻辑思维能力.典例精讲例1如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与☉O相切于点D.求证:AC是☉O的切线.师:要证明一条直线是圆的切线,必须符合两个条件,即“经过半径外端”和“垂直于这条半径”.引导学生分析.解:过点O作OE⊥AC,垂足为E,连接OD,OA.∵☉O与AB相切于点D,∴OD⊥AB.又△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,∴AO是∠BAC的平分线.∴OE=OD,即OE是☉O的半径.∴AC是☉O的切线.例2(1)如图1,AB是☉O的弦,PA是☉O的切线,A是切点,∠PAB=30°,求∠AOB.(2)如图2,AB是☉O的直径,DC切☉O于点C,连接CA,CB,AB=12,∠ACD=30°,求AC的长.解:(1)∵OA,OB为☉O的半径,∴△OAB为等腰三角形.∴∠OAB=∠OBA.又∵PA是☉O的切线,∴由切线的性质,可知PA⊥OA.∴∠OAP=90°.∴∠OAB=∠OAP-∠BAP=90°-30°=60°.∴∠AOB=180°-2∠OAB=180°-2×60°=60°.(2)连接OC,∵CD是☉O的切线,∴OC⊥CD.∴∠OCA=60°.∵OA=OC,∠ACD=30°,∴∠OCA=90°-30°=60°=∠OAC,△OAC是等边三角形.∴AC=OA=r=12×AB=12×12=6.设计意图:让学生能够应用新知识,进一步运用到实际学习内容中.巩固训练1.如图所示,线段AB经过圆心O,交☉O于点A,C,∠BAD=∠B=30°,边BD交圆于点D.BD是☉O的切线吗?为什么?解:BD是☉O的切线.理由:连接OD.∵∠BAD=30°,OA=OD,∴∠ADO=∠BAD=30°.∴∠BOD=∠ADO+∠BAD=60°.在△BOD中,∠B=30°,∠BOD=60°,∴∠BDO=90°.∴BD是☉O的切线.2.如图,已知直线AB经过☉O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证:直线AB是☉O的切线.解:连接OC,∵OA=OB,AC=BC,∴OC⊥AB,∵点C为OC的端点且点C在☉O上,∴直线AB是☉O的切线.学生思考交流后师生共同解答.3.如图,OA=OB=5,AB=8,☉O的直径为6.求证:直线AB是☉O的切线.证明:如图,过点O作OC⊥AB于点C,∵OA=OB=5,AB=8,∴AC=BC=12AB=4.在Rt△AOC中,由勾股定理,可得OC=B2-B2=3.∵☉O的直径为6,∴OC为☉O的半径.又∵OC⊥AB,∴直线AB是☉O的直径.教师归纳:证切线时辅助线的添加方法:(1)有公共点,连半径,证垂直;(2)无公共点,作垂直,证半径.有切线时常用辅助线添加方法:见切线,连半径,得垂直.切线的其他重要结论:(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.课堂小结1.让学生回顾本堂课的两个知识点.2.试着让学生自己总结切线的证明方法,然后相互交流.设计意图:在这一环节,教师要尽可能地让学生自主总结与交流,然后适当地予以点评和补充.课堂8分钟.1.教材第98页练习第1,2题,教材第101页习题24.2第4,5题.2.七彩作业.教学反思第3课时切线长定理和三角形的内切圆课时目标1.理解掌握切线长的概念和切线长定理,了解三角形的内切圆圆心和三角形的内心等概念,发展学生抽象思维能力的核心素养.2.利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征,结合求证三角形内面积最大的圆的问题,掌握三角形内切圆和内心的概念.培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养.3.运用切线长定理和内心解决一些实际问题,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力.学习重点切线长定理及其应用.学习难点有关切线长定理的有关计算和证明问题.课时活动设计情境引入同学们玩过悠悠球(如图1)吗?大家在玩悠悠球时是否想到过它在转动过程中还包含着数学知识呢?图2是悠悠球在转动的一瞬间的剖面示意图,从中你能抽象出什么样的数学图形(球的整体和中心轴可抽象成圆形,被拉直的线绳可抽象成线段)?这些图形的位置关系是怎样的?设计意图:通过同学们常玩的悠悠球来激起他们的学习兴趣,并进一步引出切线长及切线长定理.建议:教师在课前准备一个悠悠球,在课堂上直接展示,活跃课堂气氛.同时在抽象出数学图形的过程中,注意从上节课刚学过的切线的角度引导学生思考问题.新知探究如图,纸上有一☉O,P A为☉O的一条切线,沿着直线PO对折,设圆上与点A重合的点为B,回答下列问题:(1)OB是☉O半径吗?(2)PB是☉O的切线吗?(3)PA、PB是什么关系?(4)∠APO和∠BPO有何关系?学生动手实验,观察分析,合作交流后,教师抽取几位学生回答问题.分析:OB与OA重合,OA是半径,∴OB也是半径.根据折叠前后的角不变,∴∠PBO=∠PAO=90°(即PB⊥OB),PA=PB,∠POA=∠POB,∠APO=∠BPO.而PB经过半径OB的外端点,∴PB是☉O的切线.设计意图:通过观察生活中的实例,使学生初步感知直线与圆相切的情景,深化学生思想中的数学模型.新知讲解问题1:在☉O外任取一点P,过点P作☉O的两条切线,如图,则图形中存在哪些等量关系?问题2:将所画图形沿着直线PO进行对折,观察折线两旁的部分能否互相重合?请用语言概括你的发现.师生活动:教师指导学生运用猜想、测量、对折等方法和策略进行探究,并进行适时点拨后,学生交流、讨论,说明自己的发现,教师做好总结和鼓励.教师强调:(1)切线长的定义:经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长,如图中的线段PA,PB.(2)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.问题3:你能运用所学知识进行证明吗?师生活动:学生小组内讨论、交流,教师引导学生作辅助线证明三角形全等即可,学生写出证明过程,教师巡视、指导.证明:如图,连接OA,OB.∵PA,PB是☉O的两条切线,∴OA⊥P A,OB⊥PB.又∵OA=OB,OP=OP,∴Rt△AOP≌Rt△BOP.∴PA=PB,∠APO=∠BPO.问题4:如何根据图形,用几何语言描述切线长定理呢?师生活动:学生根据定理的题设和结论,结合图形,进行回答,教师板书并补充.∵PA,PB是☉O的两条切线,∴PA=PB,∠APO=∠BPO.设计意图:这个定理要让学生分清题设和结论.题设:过圆外一点作圆的切线.结论:①过圆外的这一点可作该圆的两条切线;②两条切线长相等;③这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.典例精讲例1如图,PA、PB是☉O的切线,切点分别是A、B,若∠APB=60°,PA=4,则☉O例2如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点,连接OP,交☉O于C,若P A=6.PC=23.求☉O的半径OA及两切线PA,PB的夹角.解:连接OA,∵PA是☉O的切线,∴∠OAP=90°.∴OP2=OA2+P A2.∵OP=OC+CP,OC=OA,PA=6,PC=23,∴(OA+23)2=OA2+62.∴OA=23.∴OC=OA=23.∴OP=OC+PC=43.∴OP=2OA.∴∠APO=30°.∵PA,PA分别切☉O于A,B两点,∴∠APO=∠BPO=30°.∴∠APB=60°.∴☉O的半径OA为23,两切线PA,PB的夹角为60°.教师总结:解决有关圆的切线长问题时,往往需要我们构建基本图形.(1)分别连接圆心和切点.(2)连接两切点.(3)连接圆心和圆外一点.切线长定理为证明线段相等,角相等,弧相等,垂直关系提供了理论依据,必须掌握并能灵活应用.设计意图:让学生能够应用新知识,进一步运用到实际学习内容中.探究内切圆思考:如何在三角形内部画一个圆,使它与已知三角形的三边都相切?分析:(1)如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切,那么圆心I应满足什么条件?(2)在△ABC的内部,如何找到满足条件的圆心I呢?解:我们以前学过,三角形的三条角平分线交于一点,并且这个点到三条边的距离相等.因此,如图,分别作∠B,∠C的平分线BM和CN,设它们相交于点I,那么点I到AB,BC,CA的距离都相等.以I为圆心,点I到BC的距离ID为半径作圆,则☉I与三角形三条边都相切,圆I就是所求作的圆.教师总结:与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆;内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.设计意图:从一条线和圆相切,到两条线和圆相切形成切线长定理,再到三边都和圆相切形成三角形的内切圆,层层递进,符合学生的思维认知.典例精讲例3△ABC的内切圆☉O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9,BC=14,CA=13,求AF,BD,CE的长.解:设AF=x,则AE=x,CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14.解得x=4.因此AF=4,BD=5,CE=9.小结:运用切线长定理,将相等线段转化集中到某条边上,从而建立方程.设计意图:理解并掌握内心的定义.巩固训练1.如图,PA切☉O于点A,PB切☉O于点B,下列结论中,错误的是(D)A.∠APO=∠BPOB.P A=PBC.AB⊥OPD.PA=PO第1题图第2题图第3题图第4题图2.如图,PA,PB是☉O的两条切线,切点分别是A,B,如AP=4,∠APB=40°,则∠APO=20°,PB=4.3.如图,PA,PB是☉O的两条切线,切点为A,B,∠P=50°,点C是☉O上异于A,B的点,则∠ACB=65°或115°.4.△ABC的内切圆☉O与三边分别切于D,E,F三点,如图,已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是30.设计意图:学生通过练习进一步熟悉切线长定理和内心的性质,并学会解决问题.旧知识和新知识的结合体现了不同单元内容之间延续性和关联性,在此过程中也培养了学生思维的多样性,促进了学生对教学内容的整体理解和把握,培养学生的核心素养.课堂8分钟.1.教材第100页练习第2题,教材第101页习题24.2第3,6题.2.七彩作业.教学反思。
九年级数学上册第二十四章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系学案设计(新版)新人教
九年级数学上册第二十四章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系学案设计（新版）新人教版24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系学习目标1.理解点和圆的三种位置关系及判定方法,能熟练地运用判定方法判定点与圆的位置关系.2.掌握不在同一直线上的三点确定一个圆,能画出三角形的外接圆.学习过程设计一、设计问题,创设情境问题:我国射击运动员在奥运会上获金牌,为我国赢得了荣誉.右图是射击靶的示意图,它是由许多同心圆(圆心相同,半径不相同)构成的,你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗?二、信息交流,揭示规律1.点P与☉O有哪几种位置关系?画图说明.2.点P到圆心O的距离为d,根据每种位置关系比较☉O的半径r与d的数量关系.当点P在圆时,d r;当点P在圆时,d r;当点P在圆时,d r.3.结合画图说明:设点P到圆心O的距离为d,☉O的半径为r,若d>r,则点P在圆;若d=r,则点P在圆;若d<r,则点P在圆;归纳:①点P在⇔d r;②点P在⇔d r;③点P在⇔d r.练习:1.已知圆的半径等于5厘米,点到圆心的距离是:A.8厘米B.4厘米C.5厘米请你分别说出点与圆的位置关系.2.如图,已知矩形ABCD的边AB=3厘米,AD=4厘米.(1)以点A为圆心,3厘米为半径作圆A,则点B,C,D与圆A的位置关系如何?(2)以点A为圆心,4厘米为半径作圆A,则点B,C,D与圆A的位置关系如何?(3)以点A为圆心,5厘米为半径作圆A,则点B,C,D与圆A的位置关系如何?4.画图探究:图1图2(1)如图1,经过已知点A作圆,这样的圆你能作出多少个?(2)如图2,经过已知点A,B作圆,这样的圆你能作出多少个?它们的圆心分布有什么特点?(3)经过三点作圆①当点A,B,C在同一条直线上时,过这三点能否作圆?②当点A,B,C不在同一条直线上时,过这三点能否作圆?如果能,指出圆心位置.这样的圆能作出多少个?小结:(1)经过一点可以作个圆;经过两点可以作个圆,它们的圆心在上.(2)个点确定一个圆.(3)经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的,这个三角形叫做圆的,圆心叫做三角形的.练习:画出以下几个三角形的外接圆归纳:锐角三角形外心在三角形部;钝角三角形外心在三角形部;直角三角形外心在.三、运用规律,解决问题(一)判断题:1.过三点一定可以作圆()2.三角形有且只有一个外接圆()3.任意一个圆有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形()4.三角形的外心就是这个三角形任意两边垂直平分线的交点()5.三角形的外心到三边的距离相等()(二)思考:如图,CD所在的直线垂直平分线段AB,怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心.(三)如何解决“破镜重圆”的问题四、变式训练,深化提高1.思考:任意四个点是不是可以作一个圆?请举例说明.2.为美化校园,学校要把一块三角形空地扩建成一个圆形喷水池,在三角形三个顶点处各有一棵名贵花树(A,B,C),若不动花树,还要建一个最大的圆形喷水池,请设计你的实施方案.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境两种.二、信息交流,揭示规律1.三种.P的三种位置如图A,B,C2.外> 上= 内<3.外上内归纳:①圆外> ②圆上= ③圆内<练习1:A.圆外、B.圆内、C.圆上.2.(1)B在圆上,D在圆外,C在圆外,(2)B在圆内,D在圆上,C在圆外,(3)B在圆内,D在圆内,C在圆上.4.(1)无数个.(2)无数个;经过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.(3)①不能.②能.不在同一直线上的三点确定一个圆,圆心在AB,AC,BC三条线的垂直平分线的公共交点上.小结:略练习:略三、运用规律,解决问题(一)1.×2.√3.×4.√5.×(二)因为A,B两点在圆上,所以圆心必与A,B两点的距离相等,又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,所以圆心在CD所在的直线上,因此可以作任意两条直径,它们的交点为圆心.(三)四、变式训练,深化提高1.(1)四点在一条直线上时不能作圆;(2)三点在同一直线上,另一点不在这条直线上不能作圆;(3)四点中任意三点不在一条直线上有可能作出圆也可能作不出一个圆.2.作三角形ABC的外接圆.五、反思小结,观点提炼略。