高中数学 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征课件 新人教A版必修3

即这组数据的中位数是
1.70
；
这
组
数
据
的
平
均
数
是
－
x
＝
1 17
(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝281.775≈1.69(m)． 答 17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m，
1.70 m，1.69 m.
要点二 平均数和方差的运用
例2 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质 量，各从中抽取6件测量，数据为： 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
高中数学·必修3·人教A版
2.2.2 用样本的数字特征估计总体 的数字特征
[学习目标] 1．正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的
标准差． 2．理解用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征．
[知识链接] 1．在数据2，2，3，4，4，5，5，6，7，8中众数为_2_，__4_，__5_． 2．一组数据的和除以数据的个数所得到的数叫做这组数据的平
从中可以看出，月均用水量的众数估计是________；中位数 是________；平均数为________． 答案 2.25 t 2.02 t 2.02 t 解析 众数大致的值就是样本数据的频率分布直方图中最高 矩形的中点的横坐标，因此众数估计是2.25 t； 在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个 体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数 使得在它左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估 计中位数的值，下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的 估计值，此数据值为2.02 t.
均数．例如，数据1，2，3，3，4，5的平均数为_3_． [预习导引] 1．众数、中位数、平均数定义
(1)众数：一组数据中重复出现次数_最__多__的数． (2)中位数：把一组数据按_从__小__到__大__的顺序排列，处在_中__间__ 位置(或中间两个数的_平__均__数__)的数叫做这组数据的中位数．
解 (1)x－甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， x－乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100. s 甲 2＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋ (100－100)2＋(103－100)2]＝73， s 乙 2＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋ (100－100)2＋(100－100)2]＝1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，
标准差的平方s2叫做方差． s2＝n1[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(xn－x－)2]， 其中，xi(i＝1，2，…，n)是_样__本___数__据__，n 是_样__本__容__量___， x－是_样__本__平__均__数__.
要点一 众数、中位数、平均数的简单运用
例1 在上一月调查的100位居民的月均用水量的问题中，制 作出了这些样本数据的频率分布直方图：
∴这组数据的方差是17(16＋1＋1＋0＋0＋9＋9)＝376.
(2)(2013·江苏高考)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练 成绩(单位：环)，结果如下：
(3)平均数： 如果 n 个数 x1，x2，…，xn，那么x－＝1n(x1＋x2＋…＋xn)叫 做这 n 个数的平均数． 2．标准差、方差 (1)标准差的计算公式：标准差是样本数据到平均数的一种 平均距离，一般用s表示，s＝
n1[（x1－x－）2＋（x2－x－）2＋…＋（xn－x－）2]
(2)方差的计算公式：
跟踪演练2 (1)(2013·山东高考)将某选手的9个得分去掉1个最 高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做 的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中 以x表示：
则7个剩余分数的方差为A.1196B.376C．36
答案 B
D.6 7 7
()
解析 ∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据 的数据是 87，90，90，91，91，94，90＋x. ∴这组数据的平均数是 87＋90＋90＋917＋91＋94＋90＋x＝91，∴x＝4.
平均数是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点， 因此，每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积 之和为平均数，平均数为2.02 t.
规律方法 根据样本频率分布直方图，可以分别估计总体的 众数、中位数和平均数． (1)众数：最高矩形下端中点的横坐标； (2)中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标． (3)平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的 乘积之和．
又s甲2＞s乙2， 所以乙机床加工零件的质量更稳定．
规律方法 1.极差、方差与标准差的区别与联系： 数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述． (1)极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变 化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感． (2)方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，为了得到 以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差，即样本方 差的算术平方根，是样本数据到平均数的一种平均距离． 2．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题还要研究方 差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同 的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大， 稳定性越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．
跟踪演练1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17
名运动员的成绩如表所示：
成绩 (单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数
23234111
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．
解 在 17 个数据中，1.75 出现了 4 次，出现的次数最多，即 这组数据的众数是 1.75.上面表里的 17 个数据可看成是按从小 到大的顺序排列的，其中第 9 个数据 1.70 是最中间的一个数据，