内蒙古2017届高三第一次统一考试(文)(word版,附答案)

内蒙古2017届高三第一次统一考试（文）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知全集U ＝R ，集合A ＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R |x ≥2}，则图中阴影部分所表示的集合（ ） A ．{0,1} B ．{1} C ．{1,2} D ．{0,1,2}2.已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且x i －y ＝－1＋i ，则(1＋i)x ＋y 的值为（ ）A ．2B ．－2iC ．－4D ．2i3.已知向量a ，b ，满足|a |＝3，|b |＝23，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为（ ） A.π2 B.2π3 C.3π4 D.5π64等差数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列. 则a 4的值为（ ）A ．20B ．18C ．15D ．12 5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76.用抽签法从1 000名学生(其中男生250人)中抽取200人进行体育测试，某男学生被抽到的概率是（ ）A.11 000 B.1250 C.15 D.147.已知等比数列{a n }的首项为1，若4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（ ）A.3116 B ．2 C.3316 D.16338.将函数()2(2)4f x sim x π=+的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为（ ）A.π8B.3π8C.3π4D.π2 9.“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分又不必要条件10.定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且f (x )在(－∞，2)上是增函数，则（ ） A ．f (－1)＝f (3) B ．f (0)＝f (3) C. f (－1)＜f (3) D ．f (0)＞f (3)11. F 1，F 2是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A.2＋1B.3＋1C.2＋12 D.3＋1212.已知正三角形ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是（ ） A.7π4 B ．2π C.9π4D ．3π第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.曲线y ＝x 3－2x ＋3在x ＝1处的切线方程为________．14．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为________．15．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm 3.16．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知函数2()(2)2cos 16f x sim x x π=-+-(x ∈R )(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC →＝9，求a 的值．18. (本小题满分12分)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学基本公式大赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.(1)求x 和y 的值；(2)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．19.(本小题满分12分)已知直三棱柱ABC －A ′B ′C ′满足∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝12AA ′＝2，点M 、N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求三棱锥C －MNB 的体积．20．(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左，右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点D .求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．(本小题满分12分)已知函数21()(1)23ln ,(1)2f x m x x x m =--++≥. (1)当32m =时，求函数()f x 在区间上的极小值； (2)求证：函数f (x )存在单调递减区间；(3)是否存在实数m ，使曲线C ：()y f x =在点P (1,1)处的切线l 与曲线C 有且只有一个公共点？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点C 、F ，连接CF 并延长交AB 于点E . (1)求证：E 是AB 的中点； (2)求线段BF 的长．23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为()4sim πρθ+=(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标．24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|－a . (1)当a ＝5时，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围．参考答案13 .10x y -+= 14. 32 15.3 16. 617．解：(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2cos 2x －1＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6..........3分 令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )………………….6分 (2)由f (A )＝12，得sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12 ∵π6＜2A ＋π6＜2π＋π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3…………8分 由b ，a ，c 成等差数列得2a ＝b ＋c ∵AB →·AC →＝9，∴bc cos A ＝9，∴bc ＝18由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ∴a 2＝4a 2－3×18，∴a ＝3 2............12分18．解：(1)∵甲班学生的平均分是85，∴92＋96＋80＋80＋x ＋85＋79＋787＝85.∴x ＝5………….3分∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y ＝3…………5分 (2)甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A ，B ， 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C ，D ，E .从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )．其中甲班至少有一名学生共有7种情况：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )．…………. 9分记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M ， 则P (M )＝710.即从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,甲班至少有一名学生的概率为710………..12分19.解：(1)如图，连接AB ′、AC ′，∵四边形ABB ′A ′为矩形，M 为A ′B 的中点，∴AB ′与A ′B 交于点M ，且M 为AB ′的中点，又点N 为B ′C ′的中点． ∴MN ∥AC ′，………3分又MN ⊄平面A ′ACC ′，且AC ′⊂平面A ′ACC ′. ∴MN ∥平面A ′ACC ′........6分 (2)由图可知V C －MNB ＝V M －BCN ，∵∠BAC ＝90°，∴BC ＝AB 2＋AC 2＝22， 又三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，且AA ′＝4， ∴S △BCN ＝12×22×4＝4 2..........8分∵A ′B ′＝A ′C ′＝2，∠BAC ＝90°，点N 为B ′C ′的中点， ∴A ′N ⊥B ′C ′，A ′N ＝ 2. 又BB ′⊥平面A ′B ′C ′， ∴A ′N ⊥BB ′， ∴A ′N ⊥平面BCN . 又M 为A ′B 的中点， ∴M 到平面BCN 的距离为22，……….10分 ∴V C －MNB ＝V M －BCN ＝13×42×22＝43………..12分20．解：(1)由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得：a ＋c ＝3，a －c ＝1，解得a ＝2，c ＝1，……….3分 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1………….5分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0.则⎩⎨⎧Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)＞0，即3＋4k 2－m 2＞0x 1＋x 2＝－8mk3＋4k 2x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k2..........7分y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2.因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0)， 所以k AD k BD ＝－1，即y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1，所以y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0， 3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk3＋4k 2＋4＝0，7m 2＋16km ＋4k 2＝0.解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k7，且均满足3＋4k 2－m 2＞0…………..10分当m 1＝－2k 时，直线l 的方程为y ＝k (x －2)，过点(2,0)，与已知矛盾； 当m 2＝－2k7时，直线l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －27，过定点⎝⎛⎭⎫27，0. 所以直线l 过定点，定点坐标为⎝⎛⎭⎫27，0…………12分 21．解：(1)f ′(x )＝m (x －1)－2＋1x (x ＞0)．当m ＝32时，f ′(x )＝3 x －2 ⎝⎛⎭⎫x －132x，令f ′(x )＝0，得x 1＝2，x 2＝13…………2分f (x )，f ′(x )在x ∈(0，＋∞)上的变化情况如下表：所以当x ＝2时，函数f (x )在x ∈上取极小值为f (2)＝ln 2－14………..4分(2)令f ′(x )＝0，得mx 2－(m ＋2)x ＋1＝0.(*)因为Δ＝(m ＋2)2－4m ＝m 2＋4＞0，所以方程(*)存在两个不等实根，记为a ，b (a ＜b )．因为m ≥1，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝m ＋2m＞0ab ＝1m ＞0，所以a ＞0，b ＞0，即方程(*)有两个不等的正根，因此f ′(x )＜0的解为(a ，b )． 故函数f (x )存在单调递减区间．…………8分(3)因为f ′(1)＝－1，所以曲线C ：y ＝f (x )在点P (1,1)处的切线l 的方程为y ＝－x ＋2.若切线l 与曲线C 有且只有一个公共点，则方程12m (x －1)2－2x ＋3＋ln x ＝－x ＋2有且只有一个实根．显然x ＝1是该方程的一个根．令g (x )＝12m (x －1)2－x ＋1＋ln x ，则g ′(x )＝m (x －1)－1＋1x ＝m (x －1)⎝⎛⎭⎫x －1m x.当m ＝1时，有g ′(x )≥0恒成立，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以x ＝1是方程的唯一解，m ＝1符合题意．当m ＞1时，由g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝1m ，则x 2∈(0,1)，易得g (x )在x 1处取到极小值，在x 2处取到极大值．………….10分所以g (x 2)＞g (x 1)＝0，又当x 趋近0时，g (x )趋近－∞，所以函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1m 内也有一个解，m ＞1不符合题意．综上，存在实数m ＝1使得曲线C ：y ＝f (x )在点P (1,1)处的切线l 与曲线C 有且只有一个公共点．……….12分22．解：(1)连接OD ，OF ，DF ，∵四边形ABCD 是边长为a 的正方形， ∴BC ＝CD ，∠EBC ＝∠OCD ＝90°， ∵OF ＝OC ，DF ＝DC ，OD ＝OD ，∴△OFD ≌△OCD ，∴∠ODC ＝ODF ，∠ECB ＝12∠FDC ＝∠ODC ，又∠EBC ＝∠OCD ＝90°，BC ＝CD ，……….3分∴△EBC ≌△OCD ，∴EB ＝OC ＝12AB ，∴E 是AB 的中点．………..5分(2)由BC 为圆O 的直径可得BF ⊥CE ，∴△BEC 的面积S △BEC ＝12BF ·CE ＝12CB ·BE ，……….8分∴BF BE ＝CB CE ，∴BF ＝55a ………..10分23．解：(1)对于曲线C 1有⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝cos αy ＝sin α⇔⎝⎛⎭⎫x32＋y 2＝cos 2α＋sin 2α＝1，即C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1；对于曲线C 2有ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22ρ(cos θ＋sin θ)＝42⇔ρcos θ＋ρsin θ＝8⇔x ＋y －8＝0，所以C 2 的直角坐标方程为x ＋y －8＝0………….5分(2)显然椭圆C 1与直线C 2无公共点，椭圆上点P (3cos α，sin α)到直线x ＋y －8＝0的距离为：d ＝|3cos α＋sin α－8|2＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－82，当sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝1时，d 取得最小值为32，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，12……..10分 24．解：(1)当a ＝5时，f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|－5，由|x ＋1|＋|x ＋2|－5≥0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－12x －2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤x ＜－1－4≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－2－8－2x ≥0，解得x ≥1或x ≤－4.即函数f (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－ 4}．……………5分(2)由题可知|x ＋1|＋|x ＋2|－a ≥0恒成立，即a ≤|x ＋1|＋|x ＋2|恒成立，而|x ＋1|＋|x ＋2|≥|(x ＋1)－(x ＋2)|＝1，所以a ≤1，即a 的取值范围为(－∞，1]．..10分。