构造向量处理等式不等式问题
不等式证明中的常用构造法
构造法是一种富有创造件的解题方法，它很好地体现了数学中发现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、试验、探索、归纳、概括、特殊化等重要的数学方法，在数学解题中，对题设条件、结论进行分析，联想有关知识和方法，通过恰当地构造辅助元素，可以使问题化难为易。
在构造法中所构造的辅助元素可以是函数、方程（组），也可以是图形、数列等等。
下面结合高中数学不等式教学实践谈谈解题中的构造法。
一、构造函数例１、求证：解：此题若运用绝对值不等式的性质去证明，学生一时无从下手。
这时，引导学生整体思维，即在思考问题时，把注意力和着眼点放在问题的整体上，全面的收集和获取信息，对问题作出整体判断，从高层次上寻找捷径，化难为易，从而诱发灵感，获得问题的简捷解法。
二、构造主元方程例２、ａ、ｂ、ｃ都是小于ｋ的正数，求证：ａ（ｋ－ｂ）＋ｂ（ｋ－ｃ）＋ｃ（ｋ－ａ）＜ｋ２。
分析与证明：（构造一次函数图象）：令Ａ＝ｋ２－［ａ（ｋ－ｂ）＋ｂ（ｋ－ｃ）＋ｃ（ｋ－ａ）］因变量较多，可用主元法，把ａ当作主元，重新整理得：Ａ＝（ｂ＋ｃ－ｋ）ａ＋ｂｃ－（ｂ＋ｃ）ｋ＋ｋ２，将Ａ看作关于ａ的一次函数，注意到０＜ａ＜ｋ，当ａ＝０时，Ａ＝ｋ２－（ｂ＋ｃ）ｋ＋ｂｃ＝（ｋ－ｂ）（ｋ－ｃ）＞０当ａ＝ｋ时，Ａ＝（ｂ＋ｃ－ｋ）ｋ＋ｂｃ－（ｂ＋ｃ）ｋ＋ｋ２＝ｂｃ＞０如图所示，函数图象的两个点Ｐ、Ｑ（横坐标分别为０，ｋ）都在ｘ轴的上方，由直线的性质可知０＜ａ＜ｋ时，Ａ＝ｆ（ａ）＞０三、构造图形例３、正数ａ、ｂ、ｃ、Ａ、Ｂ、Ｃ满足条件求证：证明一：这是一道代数不等式的证明题，可用代数法求解。
下面我们可用构造法，将数形结合，得出此不等式的巧妙证法。
证明二：由求证的不等式联想到面积关系，由所设条件联想到构造以边长为ｋ的正三角形，如下图所示：四、构造向量证明例１设为不相等的正数，求证分析：利用向量的数量积不等式证明：设利用向量的数量积不等式有由于也即向量ｍ与ｎ不是平行向量，故五、构造数列与自然有关的问题，有时通过构造一个数列，利用数列的单调性解题或证题显得很简捷。
招教 笔试 技巧类 教师招聘考试数学基础知识考试辅导 构造向量巧解有关不等式问题 付明慧 编写
构造向量巧解有关不等式问题付明慧有关不等式这一知识点，是教师招聘考试的常考考点之一，这一部分的考察题型一部分是选择题，另一部分就是在解答有关函数大题的时候会应用不等式的相关性质进行解题。
在这里，主要是向大家介绍一种应用向量性质的解题技巧。
向量的性质其中两个向量的数量积有一个性质：a b a b ⋅=⋅||||cos θ（其中θ为向量a 与b 的夹角），则|||||||cos |a b a b ⋅=⋅θ，又-≤≤11cos θ，则易得到以下推论：a b a b ⋅≤⋅||||；||||||a b a b ⋅≤⋅；当a 与b 同向时，a b a b ⋅=⋅||||；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-⋅||||；当a 与b 共线时，||||||a b a b ⋅=⋅。
下面通过几道例题向大家详解以上性质及推论在解不等式问题中的应用。
一、证明不等式例1、已知a b R a b a b 、，，求证：∈+=+++≤+1212122。
证明：设m=（1，1），n a b =++()2121，，则m n a b ⋅=+++2121||||m n a b ==+++=221212，由性质m n m n ⋅≤⋅||||，得212122a b +++≤例2、已知x y z x y z ++=++≥113222，求证：。
证明：设m=（1，1，1），n=（x ，y ，z ），则 m n x y z m n x y z⋅=++===++13222||||， 由性质||||||m n m n x y z ⋅≤++≥22222213，得 例3、已知a ，b ，c ∈+R ，求证：a b c b c a c a b a b c 2222+++++≥++。
证明：设m a b c b c a c a b=+++()222，，，n b c a c a b =+++()，，，则m n a b c ⋅=++ ||||()m a b c b a c c a bn a b c =+++++=++2222，由性质||||||m n m n ⋅≤222，得a b c b c a c a b a b c 2222+++++≥++ 例4、已知,a b 为正数，求证：()()()a b a b a b 4422332++≥+。
向量法证明不等式(完整版)
向量法证明不等式向量法证明不等式第一篇：向量法证明不等式向量法证明不等式高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变.若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的运算，则高中阶段的向量即为n=2，3时的情况.设a，b是欧氏空间的两向量，且a=。
因此，原不等式等价于证明a?b?a?b，其中a?b，向量 a和b不可能同向，不取等号。
二利用a?b?ab证明不等式2222例2 、已知实数mnx满足m?n?a,x??b（a?b），求mx?n得最大值?解析：构造向量a?0，求证：4a0矛盾，故a=0时，4a0，∴存在m，当-1第五篇：不等式的证明．3．在横线上填写恰当的符号2x2若x∈r，且x≠1，那么，1?x．若0＜a＜1，那么－a)． 1413若a＞0，a≠1，那么loga_____loga．当x≥1时，那么x5＋x4＋x32＋x＋1．4．设p＝a2b2＋5，q＝2ab－a2－4a，若p＞q，则实数a，b满足的条件为________．5．设a＞0，b＞0，则下面两式的大小关系为2lg_____lg＋lg．提升你的能力！基础巩固题1．设0＜a＜2，下列不等式成立的是1111?1?a2?1?a2?1?a21?a2?1?ab．1?a1?a a．1?a．1?a2?11111?a2?1?a21?a21?a1?a1?ad．1?a2．若a＜b＜0，则下列不等式关系中不能成立的是11?a．ab11?b．a?ba．｜a｜＞｜b｜d．a2＞b23．若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，则下列不等式中恒成立的是XX?mXX?m1?a．bb?mb．bb?mXX?ma?ma11b?mb ．bb?md．4．设a、b∈r，用不等号连接下列两个式子，a2＋b2＋ab＋1_____a＋b．5．已知a＞b＞，求证：a2b＋b2＋2a＞ab2＋b2＋a2综合应用题11?1．a，b∈r，那么ab成立的一个充分非必要条件是a．a＞bb．ab＜0．0＜a＜bd．a＜b2．设0＜a＜b＜1，则a＋b，2ab，a2＋b2，2ab中最大的值是ab a．a2＋b2b．a＋b．2abd．23．已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是a．a＞b＞2＞abb．a＞2＞ab＞ba?ba?b．a＞2＞b＞abd．a＞ab＞2＞b4．若x为正数，且x3－x＝2，则x与5的大小关系为_____．a2b25．设a b ，求证：a?b+b? a+2b+.6．已知a＞b＞＞0，求证:XXbb＞13探索创新题1x?11．11．设a＞0，a≠1，x＞0，比较2logax与loga2的大小，并证明你的结论．2．12．甲、乙两个粮油公司，同时在某地按同一批发价格购进粮食，他们各购粮两次，已知每次批发价格互不相同，甲公司每次购粮为1万千克，乙公司每次用1万元购粮，试比较这两种购粮方法，哪一种购粮方法购得的粮食平均批发价格较低，并证明你的结论．试试你的身手！1．2．向量法证明不等式附送：向量法证明正弦定理向量法证明正弦定理三级记向量i，使i垂直于a于，△ab三边ab,b,接着得到正弦定理其他步骤在锐角△ab中，证明asina=bsinb=sin=2r：任意三角形ab,4过三角形ab的顶点a作b边上的高，垂足为d.当d落在边b上时，向量ab与向量ad的夹角为90°-b，向量a与向量ad的夹角为90°-，由于向量ab、向量a在向量ad方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知向量ab*向量ad=向量a*向量ad即向量ab的绝对值*向量ad的绝对值*os=向量的a绝对值*向量ad的绝对值*os所以sinb=bsin即bsinb=sin当d落在b的延长线上时，同样可以证得第五篇：用正弦定理证明三重向量积用正弦定理证明三重向量积作者：光信1002班李立内容：通过对问题的讨论和转化，最后用正弦定理来证明三重向量积的公式——?a?b。
思路大全：构造向量巧解有关不等式问题
构造向量巧解有关不等式问题新教材中新增了向量的内容，其中两个向量的数量积有一个性质：a b a b ⋅=⋅||||cos θ（其中θ为向量a 与b 的夹角），则|||||||cos |a b a b ⋅=⋅θ，又-≤≤11cos θ，则易得到以下推论：（1）a b a b ⋅≤⋅||||；（2）||||||a b a b ⋅≤⋅；（3）当a 与b 同向时，a b a b ⋅=⋅||||；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-⋅||||； （4）当a 与b 共线时，||||||a b a b ⋅=⋅。
下面例析以上推论在解不等式问题中的应用。
一、证明不等式例1 已知a b R a b a b 、，，求证：∈+=+++≤+1212122。
证明：设m=（1，1），n a b =++()2121，，则m n a b ⋅=+++2121||||m n a b ==+++=221212，由性质m n m n ⋅≤⋅||||，得212122a b +++≤ 例2 已知x y z x y z ++=++≥113222，求证：。
证明：设m=（1，1，1），n=（x ，y ，z ），则 m n x y z m n x y z ⋅=++===++13222||||， 由性质||||||m n m n x y z ⋅≤++≥22222213，得 例3 已知a ，b ，c ∈+R ，求证：a b c b c a c a b a b c 2222+++++≥++。
证明：设m a b c b c a c a b=+++()222，，，n b c a c a b =+++()，，， 则m n a b c ⋅=++||||()m a b c b a c c a bn a b c =+++++=++2222，由性质||||||m n m n ⋅≤222，得a b c b c a c a b a b c 2222+++++≥++ 例4 已知a,b 为正数，求证：()()()a b a b a b 4422332++≥+。
论运用构造法证明不等式
显然 当 Ｉ ＰＱＩ 短 时 ， Ｑ 分 别 是 直 线 — Ｘ 最 Ｐ， 与 半 圆 。 ＋ 一２ ｙ Ｏ 及 双 曲线 ｚ 一 ９在 （≥ ）
第 一 象 限 的 两 个 交 点 ， 时 Ｐ（ ， ） Ｑ（ ， 此 １ １ ， ３
３ ，Ｐ 一２ ２ 所 以 ） Ｉ Ｑｉ √ ．
一
Ｉ Ｉ ｎ ． ｆＩ ｂ １ Ｉ Ｊ ＪＩ’ ＋ ｝ 』 Ｊ ＋ 口＋ ６ １ 口 ＋ Ｊ ６
十 ，
≤
得 以解 决． 造法 的内涵十 分丰富 ， 构 没有 完全 固定 的模 式 可 以套 用 ， 是 以 广泛 抽象 的普 它 遍 性与现 实 问题 的特 殊性 为基 础 ， 对 具 体 针 问题 的特 点而 采取 相 应 的解 决 办法 ， 基本 其 的方法是 ： 用一类 问题 的性质 ， 借 来研 究另一
ｆ ＋６ ≤ ｌ ｌ ｆｊ ｅ ｆ ａ ＋ ｂ， ｌ 有 ≤
由于复数与 其他 内容 联 系密 切 ， 因而 对
某些 问题 的特 点 ， 以指 导学 生从 复 数 的定 可
义性质 出发来解决一些数 学难 题． 例 ３ 求证 、 ＋ 干 ＝ ＋
第 ３ Ｏ卷第 ５ 期
简析
不 等式左 边可看成／ ｚ称 与 玛
对提 高我们 的解 题 能 力也 有所 帮 助 ， 面我 下
们 通 过 举 例 来 说 明如 何 通 过 构 造 法 证 明 一 些 不等式 ．
、９ 。 两 乘 积 的 和 ， 而 联 想 到 数 量 积 的 ／ 一ｚ 两 从
坐标表 示 ， 左 边看 成 向量 口 （ ， ） 将 ＝ 与
于 是 由
ｌ ＋ Ｊ ｌ ｌ Ｉ Ｉ Ｉ Ｊ ＋ 。 ＋ ｚ ≥ ｉｌ ２ ｚ ＋ ＋ ＋ ， ４ ｆ
构造向量数量积 妙解最值不等式
算不 同， 同时， 其坐标运 算又是纯数 量的代数运 算 ， 可 以与其它知识 交汇考查 ， 以在掌握平面 向量 基本概 所
念 、 算的同时， 运 我们更要掌握好 数量 积的拓展运用．
例 ４ 在Ａ Ｂ Ａ Ｃ中， 外接圆的半径为 Ｒ Ｉ面积 ＝．
— —
维普资讯
数擎：
并
。 。。。…
二 、 造 向量 证 明 不等 式 ！ 构
… … ～ …
… … … … … ～ … ～
≤
、 ＋＋・１。１ ／ ｝÷ ｖ＋＋ ｝ ／ １
＿ —ｌ ｌ ＋ ＿＋
，
●ｌ
—
≤ｎ ＋ ＋ ． ｂ ｃ
维普资讯
薮擎： ’
向量数量积 最值不等式
０ 河北省正定 中学 戎学智
平 面 向量 的 数量 积是 两 个 向量 间 的一 种乘 法 运算 ，在平 面 向量 中 占有相 当重 要 的地位 ． 量 积 数 （ 称 为 内积 ） 又 隐含 着一 种不 等量 的关 系 ， 而这 种 不 等量 的关 系可 用 于求 与 函数 、 程 有关 的最 值 以及 方
造法 ， 因此解题 的关 键是 巧妙 构造 向量．
＝ ＋ ２ （２－ ｍ Ｔ一 ） ＋＊ ’ （ ＝ ｍ ｝ ｎ２ ） － ２ ＋ ≥ （ ・ ｌ ） ｝２ ｌ ＋ ・ ≥ （ ＋ ・） 一１ ｝ ・ ２ ・＝ ｎ２
因为 ｎ ｂ ｃ０ ， ，＞
一
、
… … ‘ …
构 造 向量 求最 值 ｉ
一 … … 一 … … … ～ … … ～ 一 一
一
例 １ （０６年 江苏 ） 仁、 ２０ 设 ／
ｔ 的取值 范 围．
＋／ 、
， 求
构造向量处理等式不等式问题
助向 量 的 数 量 积 可 以 巧 妙 地 给 出 证 明 )加 强
了向 量与 代数 的整合 +
F 平面几何中的等式问题
例 F 已 知 G是 HIJK的重 心)L是任意 一 点+求 证7
IJ/0JK/0KI/ 0MLG/
5 "-LI/ 0 LJ/0 LK/2+
PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
杨 辉 三 角 形 的 性 质 +通 过 观 察 归 纳 )不 难 发 现)每 一 个 单 位 分 数 都 等 于 它 脚 下 踩 着 的 两 个单 位分 数之和 )如
@ /5 @ "0 @ &) @@/5 /@$0 "@$)Q 由此 可 知本 题 的第 /空实 质 上 是 单位 分
0 -"#$( ) #.( ) #&(’
点 评 本 题 用 几 何 法证 明 需 要 添 加 辅
助 线1比 较 困 难 1若 用 坐 标 法 证 明 则 计 算 量
大2这 里利 用 向量 的运 算 进行 证 明1使推 理 证
明变 得简 捷1从 而提 高了 学生 学习 的兴 趣2
3 立体几何中的等式问题
, 代数中的等式问题
例 , 已知
-./ 0 1/2-3/ 0 4/25 -.30 142/ -346 $2)
求证 7. 35 4 1+ 证明 设 85 -.)12)95 -3)42)8与 9
的夹 角为 :)则 有
;8;/ 5 ./ 0 1/) ;9;/ 5 3/ 0 4/)
8 <95 .30 14+依 题设 有
不等式的几种证明方法及其应用
不等式的几种证明方法及其应用不等式的证明方法多种多样，常用的证法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法等，高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、凹凸性等方法．本文将对其中一些典型证法给出系统的归纳与总结，并以例题的形式展示这些方法的应用．1 利用构造法证明不等式“所谓构造思想方法就是指在解决数学问题的过程中，为完成从条件向结论的转化，利用数学问题的特殊性设计一个新的关系结构系统，找到解决原问题的具体方法．利用构造思想方法不是直接解决原问题，而是构造与原问题相关或等价的新问题．”)52](1[P 在证明不等式的问题中，构造思想方法常有以下几种形式：1.1 构造函数证明不等式构造函数指根据所给不等式的特征，巧妙地构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式或函数的有界性、单调性、奇偶性等来证明不等式．1.1.1 利用判别式在含有两个或两个以上字母的不等式中，若根据题中所给的条件，能与一元二次函数有关或能通过等价形式转化为一元二次函数的，都可考虑使用判别式法．例1 设R z y x ∈,,，证明0)(322≥+++++z y x z y xy x 成立． 解 令22233)3()(z yz y x z y x x f +++++=为x 的二次函数． 由2222)(3)33(4)3(z y z yz y z y +-=++-+=∆知0≤∆，所以0)(≥x f ． 故0)(322≥+++++z y x z y xy x 恒成立．对于某些不等式，若能根据题设条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数)(x f =(11b x a -)2＋(x a 2－22)b ＋…＋2)(n n b x a -，由0)(≥x f 得出0≤∆，从而即可得出所需证的不等式．例2 设+∈R d c b a ,,,，且1=+++d c b a ，求证614141414<+++++++d c b a )18](2[P ．证明 令)(x f =(x a 14+－1)2＋(114-+x b )2＋)114(-+x c 2＋)114(-+x d 2=4)14141414(282++++++++-x d c b a x (因为1=+++d c b a )．由0)(≥x f 得0≤∆ 即0128)14141414(42≤-+++++++d c b a ．所以62414141414<≤+++++++d c b a ．1.1.2 利用函数有界性若题设中给出了所证不等式中各个变量的变化范围，可考虑利用函数的有界性来证明，具体做法是将所证不等式视为某个变量的函数．例3 设,1,1,1<<<c b a 求证1->++ca bc ab )18](2[P ． 证明 令1)()(+++=ac x c a x f 为x 的一次函数． 因为,1,1<<c a 所以0)1)(1(1)1(>++=+++=c a ac c a f ，0)1)(1(1)()1(>--=+++-=-c a ac c a f ．即∀)1,1(-∈x ，恒有0)(>x f ．又因为)1,1(-∈b ，所以0)(>b f ， 即01>+++ca bc ab ． 1.1.3 利用函数单调性在某些问题中，若各种式子出现统一的结构，这时可根据这种结构构造函数，把各种式子看作同一函数在不同点的函数值，再由函数的单调性使问题得到解决．例４ 求证121212121111n n n na a a a aa a a a a a a +++≤++++++++++)53](1[P ．分析 通过观察可发现式中各项的结构均相似于式子M M +1，于是构造函数xxx f +=1)()0(≥x ．证明 构造函数xxx f +=1)( )0(≥x ． 因为0)1(1)(2'>+=x x f ， 所以)(x f 在),0[+∞上严格递增．令n a a a x +++= 211，n a a a x +++= 212． 因为21x x ≤，所以)()(21x f x f ≤． 所以≤+++++++nn a a a a a a 21211nn a a a a a a +++++++ 21211=+++++na a a a 2111++++++ n a a a a 2121nna a a a ++++ 211nna a a a a a ++++++≤1112211 ．1.1.4 利用函数奇偶性 例５ 求证221xx x <-)0(≠x ．证明 设)(x f 221x x x --=，对)(x f 进行整理得)(x f )21(2)21(xx x -+=， )(x f -＝)21(2)21(xx x ---+-＝)12(2)12(-+-x x x ＝)21(2)21(x x x -+＝)(x f ， 所以)(x f 是偶函数．当0>x 时，12>x ，所以021<-x，所以0)(<x f ． 由偶函数的图象关于y 轴对称知，当0<x 时，0)(<x f ． 即 当0≠x 时，恒有0)(<x f ，即221xx x <- )0(≠x ． 注意 由以上几种情况可以看出，如何构造适当的函数并利用函数的性质来证明不等式是解题的关键．1.2 构造几何图形证明不等式构造几何图形，就是把题中的元素用一些点或线来取代，使题中的各种数量关系得以在图中表现出来，然后借助几何图形的直观性或几何知识来寻求问题的解答．一般是在问题的条件中数量关系有明显的几何意义，或可以通过某种方式与几何形（体）建立联系时宜采用此方法.)52](1[P 这种方法十分巧妙且有效，它体现了数形结合的优越性．下面将具体介绍用几何法证明不等式的几种途径：1.2.1 构造三角形)1](3[P例６ 已知z y x ,,为正数，求证22y xy x ++＋22z xz x ++＞22z yz y ++．分析 注意到︒-+=++120cos 22222xy y x y xy x ，于是22y xy x ++可看作是以y x ,为两边，夹角为︒120的三角形的第三边，由此，易得出下面的证明:证 如图1 ，在BC A ∆内取一点O ，分别连接OC OB OA ,,，使图1B︒=∠=∠=∠120COA BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,则22y xy x AB ++=，22z xz x AC ++=，22z yz y BC ++=．由BC AC AB >+， 即得所要证明的不等式．注 该题可做如下推广:已知z y x ,,为正数，πα<<0，πβ<<0，πγ<<0，且πγβα2=++，求证++-22cos 2y xy x α>+-22cos 2z xz x β22cos 2z yz y +-γ，令γβα,,为满足条件的特殊角可设计出一系列的不等式．例7 已知正数k n m c b a ,,,,,满足p k c n b m a =+=+=+,求证2p cm bk an <++． 证明 如图2，构造边长为p 的正三角形ABC ，在边BC AB ,,上依次截取 n FA b CF k EC c BE m DB a AD ======,,,,,．因为ABC FEC DBE ADF S S S S ∆∆∆∆<++所以243434343p bk cm an <++， 即2p cm bk an <++． 1.2.2 构造正方形)1](3[P例8 已知+∈R x ,d c b a ,,,均是小于x 的正数，求证+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c x a x d 4)(22<-+．分析 观察不等式的左边各式，易联想到用勾股定理，每个式子代表一直角三角形的一斜边，且)()()()(d x d c x c b x b a x a -+=-+=-+=-+，所以可构造边长为x 的正方形．证明 如图3，构造边长为x 的正方形ABCD ，在边DA CD BC AB ,,,上 依次截取,a AE =,a x EB -=,d BF =c CG d x FC =-=,，b DHc x GD =-=,，b x HA -=．则四边形EFGH 的周长为+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c 22)(a x d -+．由三角形两边之和大于第三边知，四边形EFGH 的周长小于正方形ABCD 的周长， 从而命题得证．1.2.3 构造矩形图2x-c 图3例9 已知z y x ,,为正数，证明))((z y y x yz xy ++≤+．分析 两个数的乘积，可看作以这两个数为边长的矩形的面积，也可以看成以这两个数为直角边长的三角形面积的两倍．证明 如图4 ，造矩形ABCD ，使,y CD AB ==,x BE =,z EC =设α=∠AED ．由AED ECD ABE ABCD S S S S ∆∆∆++=矩形知 =+)(z x y ++yz xy 2121αsin ))((21z y y x ++． 化简得αsin ))((z y y x yz xy ++=+．因为1sin 0≤<α，所以))((z y y x yz xy ++≤+(当且仅当︒=90α时，等号成立)．1.2.4 构造三棱锥例10 设,0,0,0>>>z y x 求证22y xy x +->+-+22z yz y 22x zx z +-)129](4[P ．分析 注意到22y xy x +-︒-+=60cos 222xy y x ，可以表示以y x ,为边， 夹角为︒60的三角形的第三边，同理22z yz y +-，22x zx z +-也有类似意义．证明 如图5，构造顶点为O 的四面体ABC O -，使︒=∠=∠=∠60AOC BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,，则有22y xy x AB +-=，22z yz y BC +-=，22x xz z AC +-=．在ABC ∆中AC BC AB >+，即得原不等式成立．注 该题还可做如下推广:已知z y x ,,为正数，,0πα<<,0πβ<<πγ<<0时πγβα20<++<且,βαγβα+<<-求证22cos 2y xy x +-α+22cos 2z xz x +-β>22cos 2z yz y +-γ.例10便是当︒===60γβα时的特殊情况．1.3 构造对偶式证明不等式对偶思想是根据矛盾双方既对立又统一的二重性，巧妙地构造对偶数列，从而将问题解决的一种思想．⌒ADCBE y x +图4图5OAC例11 求证1212124321+<-⨯⨯⨯n nn ．分析 令=P nn 2124321-⨯⨯⨯ ，由于P 中分子为奇数、分母为偶数，则由奇数的对偶数为偶数可构造出关于P 的一个对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．证明 设=P n n 2124321-⨯⨯⨯ ，构造P 的对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．因为Q P <<0，所以=<PQ P 2)2124321(n n -⨯⨯⨯ 121)1225432(+=+⨯⨯⨯n n n ．所以121+<n P ，即原不等式成立．注 构造对偶式的途径很多，本题是利用奇偶性来构造对偶式，此外，还可利用倒数关系、相反关系、对称性关系等来构造对偶式．1.4 构造数列证明不等式这种方法一般用于与自然数有关的不等式证明，当问题无法从正面入手时，可考虑将它转化为数列，然后利用数列的单调性来证明．例12 求证:不等式!21n n ≤-，对任何正整数n 都成立)55](1[P ．分析 不等式可变形为,1!21≤-n n n 是正整数，所以可构造数列{},n a 其中1,!211==-a n a n n ，则只需证1a a n ≤即可．对于任意正整数n ，=-+=--+!2)!1(211n n a a n n n n 0)!1(2)1()!1()1(2211≤+-=++---n n n n n n n ， 所以{}n a 是递减数列．所以1a a n ≤，即原命题成立．1.5 构造向量证明不等式向量由于其自身的形与数兼备的特性，使得它成了数形结合的桥梁，也是解决一些问题的有利工具．对于某些不等式的证明，若能借助向量模的意义、数量积的性质等，可使不等式得到较易的证明．1.5.1 利用向量模的性质 例13 已知,,,,R d c b a ∈求证++++2222c b b a 2222a d d c +++)(2d c b a +++≥．证明 在原点为O 的直角坐标系内取四个点：()(),,,,c b b a B b a A ++(),,d c b c b a C ++++(),,a d c b d c b a D ++++++则原问题可转化为+，该不等式显然成立．1.5.2 利用向量的几何特征例14 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和，求证)31](5[12.022.02.0log 2log log P n n n S S S ++>+． 分析 可将上述不等式转化为,212++<⋅n n n S S S 构造向量，用平行四边形的几何特征来证明．证明 设该等比数列的公比为q ，如图6，构造向量(),,11a a OA =(),,1n n qS qS OB +=()()12111,,+++=++=n n n n S S qS a qS a OC ，则OB OA OC +=，故B C A O ,,,构成平行四边形．由于OB OA ,在对角线OC 的两侧，所以斜率OB OA k k ,中必有一个大于OC k ，另一个小于OC k ．因为{}n a 是由正数组成的等比数列，所以OA n n OC k S S k =<=++121， 所以OC OB k k <， 即<+1n n S S 21++n n S S ． 所以212++<⋅n n n S S S ． 此外，还可以利用向量的数量积证明不等式，一般是根据向量的数量积公式θb a =⋅找出不等关系，如b a ≤⋅≤等，然后利用不等关系证明不等式，在此对这种方法不再举例说明．综上所述，利用构造思想证明不等式时，需对题目进行全面分析，抓住可构造的因素，并借助于与之相关的知识，构造出所求问题的具体形式或是与之等价的新问题，通过解决所构造的问题使原问题获得解决．就构造的对象来说它的表现形式是多样的，这就需要我们牢固的掌握基础知识和解题技巧，综合运用所学知识将问题解决．2 利用换元法证明不等式换元法是数学解题中的一种重要方法，换元的目的是通过换元达到减元，或通过换元得到熟悉的问题形式．换元法主要有以下几种形式：图6O xyABC2.1 三角换元法例15 已知,122≤+y x 求证2222≤-+y xy x ．证明 设θθsin ,cos r y r x ==()10≤≤r ，则=-+222y xy x θθθθ22222sin sin cos 2cos r r r -+θθθ222sin 2sin cos -+=r224sin 22sin 2cos 222≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=r r r πθθθ．注 这种方法一般是已知条件在结构上与三角公式相似时宜采用．若题设为,12=+y x 可设;sin 2,cos θθ==y x 题设为,122=-y x 可设θθtan ,sec ==y x 等．2.2 均值换元法例16 设,1,,,=++∈z y x R z y x 求证31222≥++z y x )12](2[P ．证明 设,31α+=x ,31β+=y ,31γ+=z 其中0=++γβα 则 =++222z y x ++2)31(α++2)31(β=+2)31(γ31)(231222≥++++++γβαγβα(当且仅当γβα==时取等号)．2.3 增量换元法这种方法一般用于对称式(任意互换两个字母顺序，代数式不变)和给定字母顺序的不等式的证明．例17 已知,0>>y x 求证 yx y x -<-)55](6[P ．证明 由,0>>y x 可令t y x += )0(>t ． 因为2)(2t y yt t y t y +=++<+， 所以t y t y +<+， 即y x y x -<-．总之，证明不等式时适当的引进换元，可以比较容易的找到解题思路，但具体使用何种代换，则因题而异，总的目的是化繁为简．3 利用概率方法证明不等式)51](7[P利用概率方法证明不等式，主要是根据实际问题，构造适当的概率模型，然后利用有关结论解决实际问题．3.1利用概率的性质：对任意事件A ，1)(0≤≤A P ，证明不等式例18 证明若,10,10≤≤≤≤b a 则1+≤+≤ab b a ab ．分析 由,10,10≤≤≤≤b a 可把a 看做事件A 发生的概率，b 看做事件B 发生的概率． 证明 设事件A 与B 相互独立，且,)(,)(b B P a A P ==则ab b a B A P B P A P B A P -+=-+=)()()()( ．因为,1)(0≤≤B A P 所以10≤-+≤ab b a ，所以1+≤+≤ab b a ab ．3.2 利用Cauchy-Schwarz 不等式：2))((ξηE ≤22ηξE E 例19 设0>i a ，0>i b ，,2,1=i …n ,， 则 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．证明 设随机变量ξηηξ,,满足下列要求ξ概率分布:P (ξ=i a )=n 1(n i ,,2,1 =)，η概率分布:P (η=i b )=n1(n i ,,2,1 =)，ξη概率分布:⎪⎩⎪⎨⎧≠=== )(0)(1)(j i j i nb a P j i ξη， 则 2ξE ＝∑=n i i a n 121，2ηE ＝∑=n i i b n 121，)(ξηE ＝∑=n i i i b a n 11．由2))((ξηE ≤22ηξE E 得 212)(1∑=n i i i b a n ≤)1)(1(1212∑∑==n i i n i i b n a n ．即 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．用概率证明不等式比较新颖，开辟了证明不等式的又一途径．但该法用起来不太容易，因为读者必须对概率这部分知识熟悉掌握，才能选择适当的结论加以利用，因此对这种方法只做简单了解即可．4 用微分方法证明不等式在高等数学中我们接触了微分, 用微分方法讨论不等式,为不等式证明方法开辟了新的视野． 4.1利用微分中值定理微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，下面仅给出拉格朗日中值定理、泰勒定理的应用：拉格朗日中值定理)120](8[P 若函数)(x f 在[]b a ,上连续，()b a ,内可导，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得)('ξf ＝ab a f b f --)()(．例20 已知0>b ,求证b b bb<<+arctan 12． 证明 函数x arctan 在[]b ,0上满足拉格朗日中值定理的条件，所以有b arctan －0arctan ＝)0()(arctan '-=b x x ξ＝21ξ+b，),0(b ∈ξ． 而b bx b <+<+2211ξ， 故原不等式成立．泰勒定理)138](8[P 若函数)(x f 在[]b a , 上有直至n 阶的连续导数，在()b a ,内存在()1+n 阶导函数，则对任意给定的0,x x ()b a ,∈，使得10)1(00)(200''00'0)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-+-+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 该式又称为带有拉格朗日余项的泰勒公式．例21 设函数)(x f 在[]b a ,上二阶可导，且M x f ≤)(''，,1,0)2(=-=+a b ba f 试证 4)()(M b f a f ≤+)69](9[P ．证明 将函数)(x f 在点20ba x +=展成二阶泰勒公式 ++-+++=)2)(2()2()('b a x b a f b a f x f 2'')2)((21b a x f +-ξ＝)2)(2('ba xb a f +-+＋2'')2)((21b a x f +-ξ． 将b a x ,=代入上式得)21)(2()('b a f a f +-=＋)(811''ξf ，)(81)21)(2(')(2''ξf b a f b f ++=． 相加得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +=+． 取绝对值得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +≤+≤4M ．4.2 利用极值例22 设12ln ->a 为任一常数，求证xeax x <+-122()0>x )188](10[P ．证明 原问题可转化为求证012)(2>-+-=ax x e x f x)0(>x ．因为0)0(=f ,所以只需证022)('>+-=a x e x f x．由02)(''=-=xe xf 得)('x f 的稳定点2ln =x ．当2ln <x 时，0)(''<x f ． 当2ln >x 时，0)(''>x f ． 所以 02)2ln 1(222ln 22)2(ln )(min ''>+-=+-==>a a f x f x ．所以原不等式成立．4.3 利用函数的凹凸性定义)193](10[P )(x f 在区间I 上有定义，)(x f 称为I 上的凸（凹）函数，当且仅当：21,x x ∀∈I ，有)2(21x x f +≤2)()(21x f x f + （)2(21x x f +≥2)()(21x f x f +）． 推论)201](10[P 若)(x f 在区间I 上有二阶导数，则)(x f 在I 上为凸（凹）函数的充要条件是：0)(''≥x f （0)(''≤x f ）．例23 证明na a a n +++ 21≥n n a a a 21 ),,2,1,0(n i a i =>)125](11[P ．证明 令,ln )(x x f =则01)(,1)(2'''<-==xx f x x f ，所以 x x f ln )(=在()+∞,0上是凹函数，对),0(,,,21+∞∈n a a a 有)ln ln (ln 1ln 2121n n a a a nn a a a +++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ ，所以na a a n +++ 21≥nn a a a 21．例24 对任意实数,,b a 有)(212b ab a e e e+≤+)80](12[P ．证明 设xe xf =)(，则),(,0)(''+∞-∞∈>=x e x f x，所以)(x f 为),(+∞-∞上凸函数．从而对b x a x ==21,有2)()()2(b f a f b a f +≤+． 即)(212b ab a e e e+≤+． 5 利用几个著名的不等式来证明不等式5.1 均值不等式)133](4[P定理 1 设n a a a ,,,21 是n 个正数，则)()()()(n Q n A n G n H ≤≤≤称为均值不等式，其中,111)(21na a a nn H +++=,)(21n n a a a n G =,)(21na a a n A n+++=na a a n Q n22221)(+++=分别称为n a a a ,,,21 的调和平均值，几何平均值，算术平均值，均方根平均值．例25 已知,10<<a ,02=+y x 求证812log )(log +≤+a yx a a a ． 证明 由,10<<a ,0,0>>yxa a 有y x y x y x a a a a a +=⋅≥+22，从而得22log )2(log )(log yx a a a a y x a y x a ++=≤++， 故现在只需证812≤+y x 或 41≤+y x 即可． 而4141)21(22≤+--=-=+x x x y x (当21=x 时取等号)，所以812log )(log +≤+a yx a a a ．5.2 Cauchy 不等式 定理2)135](4[P 设),,2,1(,n i R b a i i =∈，则∑∑∑===≥⋅n i ni i i ni ii b a ba 121122,)(当且仅当nn a b a b a b === 2211时等号成立. 例26 证明三角不等式 2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ≤2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i a ＋2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i b )33](12[P ．证明 因为∑=+ni i ib a12)(＝∑=+ni i i i a b a 1)(＋∑=+ni i i i b b a 1)(根据Cauchy 不等式，可得∑=+ni i i ia b a1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i n i i i a b a ． （1）∑=+ni i i i b b a 1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i ni i ib b a ． （2） 把（1）（2）两个式子相加，再除以2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ，即得原式成立．5.3 Schwarz 不等式Cauchy 不等式的积分形式称为Schwarz 不等式． 定理3)271](10[P )(),(x g x f 在[]b a ,上可积，则⎰⎰⎰≤b ababadx x g dx x f dx x g x f .)()())()((222若)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，其中等号当且仅当存在常数βα,，使得)()(x g x f βα≡时成立(βα,不同时为零)．例27 已知)(x f 在[]b a ,上连续，,1)(=⎰badx x f k 为任意实数，求证2)cos )((⎰bakxdx x f 1)sin )((2≤+⎰b akxdx x f )272](10[P ．证明 上式左端应用Schwarz 不等式得2)cos )((⎰bakxdx x f 2)cos )(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰badx kx x f x f⎰⎰⋅≤babakxdx x f dx x f 2cos )()(⎰=bakxdx x f 2cos )(． (1)同理2)sin )((⎰bakxdx x f ⎰≤bakxdx x f 2sin )(． (2)由(1)+(2)即得原不等式成立． 5.4 利用W.H.Young 不等式 定理4)288](10[P 设)(x f 单调递增，在),0[+∞上连续，,0)0(=f )(,0,1x fb a ->表示)(x f 的反函数，则⎰⎰-+≤bady y f dx x f ab 010,)()(其中等号当且仅当b a f =)(时成立．例28 设,0,>b a ,1>p ,111=+qp 试证q b p a ab q p +≤)290](10[P ．证明 因为,1>p 所以1)(-=p xx f 单调递增且连续 (当0≥x 时)，1111)(---==q p y yy f )111(-=-q p ． 应用W.H.Young 不等式有 qb p a dy y f dx x f ab qp ba+=+≤⎰⎰-01)()(．。
应用公式a·b≤｜a｜｜b｜构造向量模型解不等式问题
～
证 ： 向 ｍｆｂ Ｖ￣，ａ＋ｂ １：／ｃ 明 设 量 、 ，ｑ Ｊ＝ ， ： ／ｃ一 Ｖ ／ （ ｌ ＋ ’ ａ — ， ，、 Ｉ ＼ ‘ ”
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’
ａ ＋ｃ
，
ｘａ ） ／７ ．
ｂ＋ 叶 ｃ ０＋ Ｃ Ｄ
分 析 ： 于ｎ ｂ ，＋ ＝ ， 以 应想 法 把 ａ ６ 根 号 中 分离 由 ，∈ ａｂ ｌ所 ，从
出， 想平和／ ）、≥， 这向 来 此到方（＋ ／ ）然是量 因 、÷＋６ ｎ （＋ 显 构 建 向量 口 （ｏ０ ｓ Ｏ ，＝ Ｕ 一 ） ＝ ｃｓ ， ｎ ） （ ， １． ｉ （＋，＋） 的方 ｛、 的 平． ／ 模 由ｎ ≤ｌＩ ， Ｉ ００ ｓ Ｏ≤ 、 ． ａｂ 得 “ ｓ一ｉ Ｉ ／ ｒ ｃ ｎ ｉ ・而 ． Ｉ 证 ：＝，ｎｖ ，＋） 明 ｍ・，１ １｛． 设 ＝／ ｖ （＋ ／ ｎ 从ＪｔＣ＋解０ ≤ ．≤ ≤ ． 而ｕ＜ｈ ， ≤ 故 ≥ ２ｊ ￣ 得 ０ — ｌ ÷＼吉 ｌ、’ ｒ ＋＋， ／ ＿ ／ ｌ ６ × × ＿ ２ ． ｇ 求 ： ｂ ａ２ ； 证（ ］ Ｊ ３ 丁 ２ ａ ＋ ＋ ｂ 由‘ ，／ ＋＋≤ ｍ≤ 得叶 、 ２ ｎ 、吉 ／ ．
例８
’ 明： 证
＋ｂ ２＋
ｒ十Ｃ 上
＞
ｔ
ａ＋ ｂ ＋ｃ
．
ａ２ ｂ２ ＋
一
Ｄ十Ｃ
ｒ十Ｏ 上
２
二＿－ ，
例 设６∈，＋： 证 ６ ≥． ４ ｎｃ 且６ １ ： ≥ ， ｎｃ， ＋ ， ＋求 ｃ 证 ：ｍａｃ ＝ ，，） Ｉ ｌ得 明设＝ｂ，（ ÷了 由 ・ ｌ ｌ ，） ≥ １ ｍ ， ，ｎ ． ￣ｌ ＜ （ ‘≥ ｃ吉 ÷（ ）． ＋‘ 。 又为６ １以＋ｃ÷ 因叶ｃ， 娌 ． ＋ 所 ２ ≥ ＝ ６
构造法解决高中数学问题
构造法解决高中数学问题所谓构造法，就是根据题设条件或结论所具有的特征、性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助于该数学模型解决数学问题的方法。
怎样构造呢？当某些数学问题使用通常办法按定势思维去解，很难凑效时，应根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，常是从一个目标联想起我们曾经使用过可能达到目的的方法，手段，进而构造出解决问题的特殊模式，就是构造法解题的思路．在高中阶段一般有构造方程、不等式、函数、数列、向量与图形等。
一． 构造方程构造方程就是根据题目条件与形式联想到解决问题所用的知识，从而构造出一个方程或者方程组来解决。
例1：已知1()2()2f x f x x+=，求()f x分析：由1()2()2f x f x x +=构造出方程12()2()f f x x x+=，然后两式联立就可解出()f x 。
解析：在方程1()2()2f x f x x +=①中用1x代换x 构造出方程12()2()f f x x x +=②②2´-①得43()2(0)f x x x x =- ，所以42()(0)33xf x x x =- 例2：在等差数列{}n a 中，35266,5a a a a +==，求n a分析：在等差数列中356a a +=可以推出266a a +=结合265a a =解出26,a a 然后求出n a解：由356a a +=得266a a +=，构造方程2650x x -+=，则26,a a 是其两根。
所以261,5a a ==或者625,1a a ==。
当261,5a a ==时10,1a d ==此时1n a n =- 当625,1a a ==时16,1a d ==-此时7n a n =-所以1n a n =-或者7n a n =-。
二．构造函数函数是我们研究数学的主体之一，在高中阶段许多问题都可以转化为函数问题来处理，它在高考中所占比重较大。
构造函数解题是解决函数问题的一种手段，它主要是根据题设条件与形式、结构等构造出函数，利用函数的单调性、结合导数解决不等式、数列等问题。
用构造法证明不等式
，
， ，
八 、 造 几 何体 构
证 ： 不 式。 一 一‘ ，ｎ｝ｎ） ＞ 明构 等 （｝（ ） 即６ （ 造 一） ＞ 一 舶 １ ６ ０ ０ 以＋｝ ），ｎ＜ ， 。＜ （ ：即舶１ 所 ６ ＋ １ 。
南 。
证明：构造向量 ： 一 （ ｖ可
、１ ／
，— 一 ） ： 、 ，云 （／
、 １ｖ ／一２
，
） ，由向量数量积性质 （ ． ａ『．６Ｊ，得 ４ 三 ）≤ｌ ｆ ｚ ≤
（ － （２ ） 以 ＋ ≥ １－ ） ＋ ， 南 － ・ 所 壬 叫
Ｊ
证 明 ： Ｄ ｌ得 Ｖ ａ ＞ ， 弋 ａ 一 ＞ ， 原 不 等 式 等 价 于 由 ， １即 ｖ ／ １０故
一
０。
＞ 。 构 造 以 １为 首 项 ，
为 公 比 的 等 比数 列 ％， 则
证 明 ： Ｐ ａｂ ， 设 （ ， ） 由题 意 知 点 Ｐ是 直 线 ｘ ｙ ｌ ｃ 与 圆 ＋ ＋ ＝ — ＝ — ｌ ｃ 的公 共 点 ， 是 圆心 ｏ ｏ ０ 到 直 线 ｘ ｙ ｌ ｃ 于 （ ，） ＋ ＝ — 的距 离 不 大 于该 圆 的半 径 ， 即
七 造 解 析 几 何 模 型 构
。
＜
图 １
二 构 造数 列
例 ２ 已知 ｎ １ｎ ， ∈Ｎ， 证 ： Ｉ 一 ＜ ＿ ： ＞ ， ≥２ ｎ 求 ＿ １旦 ｌ
ｎ
例 ７ 已 知 Ⅱ ｂ ｃ∈Ｒ， ＋ ＋ ＝ ，Ｚｂ＋ １ 求 证 ： ＜ ＜ ： ，， ａ ｂ ｃ ｌ ａ ｃ＝ ， ＋ 一１ ｃ
≥
四 、 造 方 程 法 构
构造函数法证明不等式的七种方法
构造函数法证明不等式的七种方法（其实高考中证明不等式时十有八九都需要构造函数，因此下面的前四种方法必须掌握）1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。
2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：一、移项法构造函数【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(111 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(-+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。
【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ，即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ，∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-+++x x∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(111,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方； 分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f <⇔不等式问题， 即3232ln 21x x x <+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有3232ln 21x x x <+成立，设)()()(x f x g x F -=，),1(+∞∈x ，考虑到061)1(>=F 要证不等式转化变为：当1>x 时，)1()(F x F >，这只要证明： )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。
“向量法”解不等式探析
【 关键 词 】 等 式 ； 不 向量 ； 造 ； 形 构 变
一
由性 质 Ｉｌ・ｌ ≤ Ｉ Ｉ ・Ｉ Ｉ ，Ｉ Ｊ ， ｍ ， Ｊ ｌ 得 ３ ＋Ｙ ）≥１ （ ＋ ． ２ ．变 形 构 造 先 对 要 证 不 等 式 进 行 重 新 “塑 造 ”， 要 是 通 过 对 所 证 主
＋ ≤． 、ｂ １ ２ ｌ＋
设 ０ ， ２ ｎ ， ４∈ Ｒ，求 证 ： １４ ＋ ａ ａ １口 ，３ Ⅱ Ⅱｎ ２ ３≤
代 人 不 等 式 Ｉｌ ，Ｉ≤ Ｉ Ｉ ・Ｉ Ｉ 整 理 即得 ・ｌ Ｊ ， 小 Ｊ ｌ
学 ４２
需
・ 孵
．
【 考文 献 】 参 ［］ １ 刘海 燕． 用 微 分 学 证 明 不 等 武 ［ ］ 牡 丹 教 育 学 院 利 Ｊ．
＋ ≥ ＋
构 造恰 当 的 向量 ． 者 经 过 多 年 精 心 总 结 ， 括 出 以 下 两 种 笔 概
方法： １ ．直接 构 造 直 接构 造 出 ａ・ ６或 Ｉ ｂｌ ｌ 西ｌ 不 等 式 的 一 ａ・ 或 ａ・ ２为
如 ０ ａ 故 原 不 等式 成立 ．
１ ＝ ２ Ｉ ＝ 口＋ １＝ ２， 卅ｌ √ ，ｎＩ ｂ＋ √
由性 质 ｍ ・ ≤ ｌｌ ・Ｉ ｌ得 ｎ ， Ｊｌ Ｊ ， ｌ
１
。 ＋
故需（ 只证 ） 而 （ ）
・
．
．
３ １＋２ ＋４ （ ８ ）＞（ １十２ ＋４ 。 ， ）
构 造 向量 Ｊ ＝（ ， ， ） ， ＝（ ， ， ） ， ｌ １２ ４。 ， ｌ １１１ ，
数 学 学 习与 研 究 ２ １． ００ ３
例 ５ 设 厂 ）＝ｌ 十 （ ｇ 一 求 证 ： ≠０时 ，厂 当 ２（ ）＜ （ ｘ ． ，２ ） （ Ⅱ∈Ｒ） 其 中 ０＜ ≤ １ 口 ，
用向量方法解决不等式
线 ，均 可与 ｌＡ台ｌ ＩＡｅｌ构成 三角形的三边 ，而三角形的三边性 质有 ，两边之和大 于第 三边 、两边 之差 小 于第 三边．取 等条 件是 ，三角形 退化 为 三点 在一 条 直 线 上 ，即 任意 俩 向量 平 行 时 ．
第一类题型 ，其实就是从 向量 角度考 虑的柯 西不等 式 ， 柯 西 不 等 式 的题 型 种 类 繁 多 ，有 整 式 形 、分 式 型 、无 理 式 型 、 参数型等等 ，但无 论怎 么变形 ，都 是 考虑 如何 构造 向量 ，然 后 利 用 公 式 ．
例 １ 整 式 型
已知 ｛ Ｌ ＋ ；三 ＋ 墨 ｉ三 ＝ｌ，求 ＋），＋ｚ的
即（ ＋ ＋ ）≥
≥
＝寻．
例 ４ 无 理 型
已知 ａ＋ｂ＋ｃ＝１，且 均为 正数 ，求 ，／３ａ＋１＋ ６＋１＋
３ｃ＋１的最 大 值 ．
解 构 造 向量 Ａ（ Ⅱ＋１， ６＋１
＋
） ≤ ＩＡｌ ·
ＩＢＩ ＝（３口＋１＋３６＋１＋３ｃ＋１）（１＋１＋１）＝６ Ｘ３＝１８，
已知 ｎ＇ｂ，ｃＥＲ¨证 明 Ⅱ＋Ｄ ＋ ０ 十 Ｃ ＋ Ｃ十０ ≥÷．
＝ （Ⅱ＋ｂ＋ｃ） ＋（Ｉ＋２＋３） ＝ ７．
例 ６ 求 ＋ｌ６＋ （ 一４） ＋３６的最 小 值 ． 解 此题 可 以 化 为
（ 一０） ＋（０±４） ＋ｊ（ｘ一４） ＋（０±６）２．
因 此 ，可 以看 成 是 一 个 动 点 Ａ（ ，０）到 两 个 定 点 Ｂ（０， ±４），Ｃ（４，４－６）的最 小 距 离 ．
即 三 角 形 ＡＢＣ 中 ，边 长 ＢＣ为 定 长 ，另 外 两 边 的 最 短 距 离 ，取等时 Ｃ在 ＡＢ上 ，且 Ａ与 在动点 Ｃ的轨迹两侧．
怎样用向量方法解决不等式问题
又由 b c a 及 0, 0 得
a 2a , (b c ) a ( )(a b c )
同理可得
b 2b , (c a) b ( )(a b c) c 2c , (a b) c ( )(a b c)
普○ 通○ 高○ 中○ 课○ 程○ 标○ 准○ 校○ 本○ 教○ 材 ○
解读《不等式选讲》
第三章
怎样用向量方法解决不等式问题
有些不等式证明问题若按常规的证不等式的思想，则很难处理或者是 论证过程很冗长，若运用向量来处理此类问题，则问题变得很容易，解答 过程也非常简洁.运用向量证明不等式主要是运用向量中的两个重要不等 式，即|m|-|n|≤|m n|≤|m|+|n|和 m n ≤|m| |n| (m n) ≤ |m| |n| .下面谈谈向量法在不等式证明及在求最值中的应用.
a b c 1 1 1 2 2 ......（1） 2 b c a a b c
【例 10】设 a, b, c R ，求证：
（ 《中等数学》2002 年 1 期数学奥林匹克问题高 110）. 证明：构造向量 m
2
a b c 1 1 1 , , , n b , c , a , a b c
将上述三个不等式相加，得
a b c 2 . (b c ) a (c a ) b (a b) c
于是原不等式得证. 变题 1：在不等式（5）中，若取 1, 0 ，即得([荷兰]O.Bottema 等著， 《几何不等式》 ， 北京大学出版社)
【例 3】已知 a, b, c, d 都是实数，且 a 2 b 2 1, c 2 d 2 1 ， 求证： ac bd 1. 证明：设 m a, b , n c, d , 则|m|
向量解决不等式
向量解决不等式
向量在解决不等式问题时，主要用途是作为连接不同问题之间的桥梁，或者作为创造新的解题方法的工具。
以下是一个使用向量来解决不等式问题的简单例子。
例题：设a, b, c, d是实数，且a²+ b²= c²+ d²。
我们需要证明：ac + bd ≥√(a²+ b²) * √(c²+ d²)。
证明：为了证明这个不等式，我们可以构造两个向量并用向量的点积来进行证明。
设向量A = (a, b)，向量B = (c, d)。
根据向量点积的定义，向量A与向量B的点积为a*c + b*d。
由于$a^2 + b^2 = c^2 + d^2$，根据向量的模长公式，我们可以得到向量A 的模为√(a²+ b²)，向量B的模为√(c²+ d²)。
根据向量点积的性质，当两个向量的模长确定时，它们的点积取得最大值当且仅当这两个向量是共线的，并且它们的方向相同。
因此，向量A与向量B的点积不大于√(a^2 + b^2) * √(c^2 + d^2)。
整理上述不等式，我们可以得到ac + bd ≥√(a^2 + b^2) * √(c^2 + d²)。
因此，我们证明了给定的不等式。
不等式恒成问题
九招破解不等式恒成立问题绵阳东辰国际学校 冷世平不等式恒成立问题求解的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用构造函数法、变量分离法、数形结合法等解题方法求解.解题过程本身渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了重要的作用，因此也成为历年各地高考的一个热点内容.解决恒成立问题主要有以下几种方法，供各位同行参考.一、反客为主法此方法又称为改变主元法.有一些数学题，题中涉及到若干个量，其中有常量，也有变量，学生在解答时，由于思维定势，不太习惯把其中的常量暂视为变量，把其中的变量暂视为常量的做法，结果导致求解过程异常复杂甚至难以解出.其实，常量与变量是相对的，是辩证统一的关系，根据需要可以将它们的地位调换，即“反客为主”，改变主元，常常使许多难题巧妙获解.例1 对于满足2p ≤的所有实数p ,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围.【分析】在不等式中出现了两个字母：x 及p ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[]2,2-内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题.【解析】不等式即2(1)210x p x x -+-+>,设2()(1)21f p x p x x =-+-+,则()f p 在[]2,2-上恒大于0，故有(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩，即2243010x x x ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩，从而解得1x <-或3x >. 【点评】在不等式中出现了两个字母：x 及p ,而我们都习惯把x 看成是一个变量，p 作为常数.本题转换视角，可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[]2,2-内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题. 此类题本质上是利用了一次函数在闭区间上的图象是一条线段，故只需保证该线段两利用函数单调性解题是历年高考的重点和难点.如何攻克这个难点呢?一个词：去壳.利用函数单调性解不等式的关键就是：准确判断出函数单调性，成功去掉f 这层外壳，把关于因变量之间的不等关系转化为关于自变量之间的不等关系,然后解关于x 的简单不等式即可.例2 定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是减函数，且当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有2(cos 2sin )(22)0f m f m θθ++-->恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】由2(cos 2sin )(22)0f m f m θθ++-->得到2(cos 2sin )(22)f m f m θθ+>---，因为()f x 为奇函数，故有2(cos 2sin )(22)f m f m θθ+>+恒成立，又因为()f x 为R 减函数，从而有2cos 2sin 22m m θθ+<+对0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，设sin ,(0,1)t t θ=∈，则22210t mt m -++>对于(0,1)t ∈恒成立，再设函数2()221g t t mt m =-++,对称轴为t m =.①当0t m =<时，函数()y g t =在(0,1)t ∈上单调递增，min ()(0)210g t g m ==+≥，即12m ≥-，又10,02m m <∴-≤<；②当[]0,1t m =∈，即01m ≤≤时, 2min ()()210g t g t m m ==-++>，即2210,1212m m m --<∴-<<+,又[]0,1,01m m ∈∴≤≤；③当1t m =>时，函数()y g t =在(0,1)t ∈上单调递增，min()(1)122120g t g m m ==-++=>恒成立，1m ∴>.综上所述，实数m 的取值范围为12m ≥-. 【点评】此题属于含参数二次函数的轴动区间定的问题，对轴与区间的位置进行分类讨论.对于二次函数在R 上恒成立问题常采用判别式法，而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题.三、变量分离法若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.例3 已知函数22(),[1,)x x a f x x x++=∈+∞，若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立，试求实数a 的取值范围.【分析】此题可经过等价转化为在区间[1,)+∞上220x x a ++>恒成立，再将转化后的不等式分离参数得()()g a h x >恒成立，再求得()h x 得最大值max ()h x ，由max ()()g a h x >可得实数a 的取值范围.【解析】在区间[1,)+∞上，()0f x >恒成立220x x a ⇔++>在区间[1,)+∞上恒成立，要使220x x a ++>恒成立，只需222(1)1a x x x >--=-++恒成立，由二次函数的性质可得2(1)13x -++≤，故只需3a >-，故所示实数a 的取值范围为3a >-.例3 已知二次函数2()(,0)f x ax x a R a =+∈≠，若[0,1]x ∈时，总有()1f x ≤，试求实数a 的取值范围.【解析】①当0x =时，有(0)01f =<恒成立；② 当0x ≠时，21ax x +≤，即2211ax x ax x ⎧+≤⎪⎨+≥-⎪⎩，分离参数可得221111()a x x a x x ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≥-+⎪⎩，令1,(0,1]t x x =∈Q ， (1,]t ∴∈+∞，即当(1,]t ∈+∞时恒有22,()a t t a t t ⎧≤-⎪⎨≥-+⎪⎩Q 当(1,]t ∈+∞时，22min max ()0,[()]2t t t t -=-+=-， 即02a a ≤⎧⎨≥-⎩，又因为0a ≠，故实数a 的取值范围为[2,0)-. 【点评】将所求变量与其他变量分离开，通过研究式中另外一个变量的已知范围来确定所求变量的范围.若所求变量为a ，则根据()a f x >恒成立max ()a f x ⇔>； ()a f x <恒成立min ()a f x ⇔<.此题一般性解法是利用根的分布对211ax x -≤+≤进行讨论，其解题过程复杂性显而易见，而将参数从恒成立不等式中分离出来，可以避免较为复杂的讨论.例4 已知当x R ∈时，不等式cos254sin a x x +<-+a 的取值范围.【分析】在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知，另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a 及x 分离.【解析】原不等式等价于4sin cos25x x a +<-，要使上式恒成立，5a -大于4sin cos2x x +的最大值，故上述问题转化成求()4sin cos2f x x x =+的最值问题.224sin cos22sin 4sin 12(sin 1)33,53x x x x x a +=-++=--+≤->Q，即2a >+，上式等价于22054054(2)a a a a ⎧-≥⎪-≥⎨⎪->-⎩或20540a a -<⎧⎨-≥⎩，解得485a ≤<. 【点评】注意到题目中出现了sin x 及cos2x ，而2cos212sin x x =-,故若把sin x 换元成t ,则可某些含参不等式恒成立问题，我们在解题过程中，可以把不等式进行合理的变形后，将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式，以达到求解的目的.例5 设[0,4]x ∈ax 恒成立，求a 的取值范围.【解析】设1(4)y x x =-，则2211(2)4(0x y y -+=≥），它表示的是以(2,0)为圆心，2为半径的上半圆（如图所示），设2y ax =，它的几何意义是一条经过原点，斜率为a 的直线，将两者图像画在同一坐标系下，根据不等式(4)x x ax -≥的几何意义，要使得半圆恒在直线l 的上方（包括相交），当且仅当0a ≤时才成立，所以a 的取值范围就是0a ≤.【点评】此题还可以利用变量分离法求解，略解如下：当0x =时，不等式显示恒成立；当(]0,4x ∈时，不等式(4)x x ax -≥恒成立等价于41a x -≥恒成立，令41y x =-，显然函数41y x =-在区间(]0,4上是单调递减函数，故min 4104y =-=，故a 的取值范围就是0a ≤. 例6 当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，求a 的取值范围.【分析】若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解.【解析】设212(1),log a y x y x =-=,则1y 的图象为如图所示的抛物线，要使对一切12(1,2),x y y ∈<恒成立，显然1a >,并且必须也只需当2x =时2y 的函数值大于等于1y 的函数值.故log 211a a >⎧⎨>⎩，从而可得12a <≤. 【点评】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观,形少数时难 入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”，作为一种数学思想方法，数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”.本题是数形结合思想中的“形”中觅“数”，“数”上构“形”的充分体现，由表达式结构特征，能让我们联系到用其几何意义去处理.五、构造向量法向量是数形结合的重要工具，对于形式、结构比较复杂的不等式恒成立问题，可以巧妙的构造向量，使数学问题增添新的活力且简单易解.例7 2252510x x x a +-+对于任意的x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围. 【分析】由题目的结构形式可联想到平面向量，于是令(5),(55)m x n x ==u v v ，由向量的模之间的关系5m n m n +≥+=u v v u v v，求得实数a 的取值范围. 【解析】令2222525105(5)5,(5),(55)u x x x x x m x n x =+-+=+-+==u v v ，2222(5,25),5,(5)5,5,52510m n m x n x m n u x x x m n+=∴+=-++=∴=+-+=+u v v v v v u v v5m n ≥+=∴u v v 故实数a 的取值范围是5a ≤.【总结】本题还可以根据结构联想到两点间的距离公式，将不等式左边看作函数y =所求问题转化为平面上一个动点(,0)A x到两定点B C 的距离之和的最小值，易求出点B 关于原点对称的点'(0,B ，显然'5B C =即为所求，故实数a 的取值范围是5a ≤.六、构造函数法根据题目中所给的含参不等式的结构特征，构造适当的函数，并利用函数的性质来求参数的范围.例8若函数()f x =R ，求实数a 的取值范围. 【分析】该题就转化为被开方数222(1)(1)01a x a x a -+-+≥+在R 上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论.【解析】依题意，当x R ∈时，222(1)(1)01a x a x a -+-+≥+恒成立， ①当210a -=时，有21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得1a =，此时222(1)(1)10,11a x a x a a -+-+=≥∴=+ ②当210a -≠时，222102(1)4(1)01a a a a ⎧->⎪⎨∆=---≤⎪+⎩，即有2211090a a a ⎧>⎨-+≤⎩，解得19a <≤； 综上所述，()f x 的定义域为R 时，实数a 的取值范围为[1,9].七、集合思想法集合是高中数学的理论基础，贯穿于整个高中数学的始终，其中所包含的子集思想和补集思想在高中数学解题中应用十分广泛，在不等式恒成立问题中巧妙利用这两种解题思想，能达到意想不到的效果.例9 已知52x a -<时，不等式254x -<恒成立，求实数a 的取值范围. 【分析】若记a x <-25的解集是2,54A x -<的解集是B ，则a x <-25成立时254x -<成立，则应有A B ⊆，根据子集的知识可求得a 的取值范围. 【解析】由52x a -<，可得5522a x a -<<+，由254x -<，可得31x -<<-或13x <<.记55(,),(3,1)(1,3)22A a a B =-+=--⋃，则55,3122A B a a ⊆∴-≤-<+≤-或551322a a ≤-<+≤，从而解得102a <≤. 【点评】不等式在集合A 中恒成立等价于集合A 是不等式解集B 的子集，通过研究集合间的关系便可求出参数的取值范围.八、绝对值几何意义法在不等式中，常会遇到含有绝对值的不等式求解问题，处理这类问题的关键在于如何去掉绝对值符号，将问题转化为不含绝对值符号的常规问题来解决，这是解含绝对值不等式问题的一般解法，下面来探求这类问题的另一种解法-----利用实数绝对值的几何意义来求解.例10 x R ∈时，关于x 的不等式13x x a -++>恒成立，求实数a 的取值范围. 【分析】由13x x a -++>恒成立，即13x x -++的最小值大于a ，再由绝对值得几何意义知13x x -++的最小值是4，故可求得a 的取值范围.【解析】13x x a -++>恒成立，即13x x -++的最小值大于a ，又13x x -++表示数轴上点x 到两点1和3-的距离之和，当31x -≤≤时，这个距离和最小且等于4，故实数a 的取值范围是4a <.【点评】对于一些绝对值内为关于x 的一次式的不等式，我们常可以根据绝对值的基本性质，采用等价转化法或零点分段脱去绝对值符号，将问题转化为不含绝对值符号的常规问题来求解，另外也可以根据绝对值的几何意义用数形结合的方法直观、快速、准确地求解这类含有绝对值的不等式.九、三角代换法根据题目的特点，选取恰当的三角代换，能达到化难为易，化繁为简的目的，它是解不等式问题中常用的方法.例11 当(,)P m n 为圆22(1)1x y +-=上任意一点时，不等式0m n c ++≥恒成立，则c 的取值范围是（ ）.11A c -≤≤11B c ≤≤.1C c ≤.1D c ≥【解析】设cos ,1sin x y θθ==+，则)104x y c c πθ+++++≥恒成立，即)14c πθ≥+-，设())14f πθθ=+-，只要max ()c f θ≥，故得1c . 【点评】三角代换的特点是将原来两个变元,x y 问题转化为关于一个变元θ的问题，通过换元达到减元的目的，在使用三角代换时，一定要注意新变量与原变量间的取值范围是否一致.此题还可以利用数形结合方法求解，略解如下：由0m n c ++≥，可以看作是点(,)P m n 在直线0x y c ++=的右侧，而点(,)P m n 在圆22(1)1x y +-=上，实质相当于是22(1)1x y +-=在直线的右侧并与它相离或相切，01011c c ++>⎧⎪∴∴≥≥.不等式恒成立的题型和解法还有很多，只要我们充分利用所给定的函数的特点和性质，具体问题具体分析，选择恰当、简便的方法，但不管用哪种方法，其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能“以不变应万变”，才能使问题获得顺利解决，只有这样才能真正提高学生分析问题和解决问题的能力，当然这需要我们在实际工作中不断的去领悟、体会和，这样自己的业务能力才能声速得以提高.。
向量法证明不等式
向量法证明不等式(精选多篇)向量法证明不等式高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变.假设在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的运算，那么高中时期的向量即为n=2，3时的情形.设a，b是欧氏空间的两向量，且a=，b=规定a·b=·=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.，表示两向量的内积)，有由上，我们就可以利用向量模的和与和向量的模的不等式及数量积的不等式建立一系列n元不等式，进而构造n维向量来证明其他不等式.一、利用向量模的和与和向量的模的不等式≤++≤.证明：先证左边，设m=，n=，p=，则由综上，原不等式成立.点评：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式证明左边，利用向量数量积建立不等式证明右边.作单位向量j⊥acj=jabjac+jcb=jabjcb=jab|cb|cos=|ab|cos即|cb|sinc=|ab|sinaa/sina=c/sinc其余边同理在三角形abc平面上做一单位向量i,i⊥bc,因为ba+ac+cb=0恒成立，两边乘以i得i*ba+i*ac=0①依照向量内积概念，i*ba=c*cos=c*sinb,同理i*ac=bcos=b=-bsinc代入①得csinb-bsinc=0因此b/sinb=c/sinc类似地，做另外两边的单位垂直向量可证a/sina=b/sinb,因此a/sina=b/sinb=c/sinc 步骤1记向量i，使i垂直于ac于c，△abc 三边ab,bc,ca为向量a,b,c∴a+b+c=0则i=i·a+i·b+i·c=a·cos)+b·0+c·cos=-asinc+csina=0接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。
作ch⊥ab垂足为点hch=a·sinbch=b·sina∴a·sinb=b·sina得到a/sina=b/sinb同理，在△abc中，b/sinb=c/sinc步骤3.证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：任意三角形abc,作abc的外接圆o.作直径bd交⊙o于d.连接da.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.所以c/sinc=c/sind=bd=2r类似可证其余两个等式。
向量不等式等号成立的条件
向量不等式等号成立的条件向量是数学中的一种重要概念，它在多个领域中都有着广泛的应用。
在向量的研究中，不等式是一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解向量之间的关系。
本文将探讨向量不等式等号成立的条件。
在向量的不等式中，等号成立通常意味着两个向量相等或平行。
首先，我们来看一下等号成立的第一种情况：两个向量相等。
当两个向量的每个对应分量都相等时，这两个向量就相等。
例如，对于两个二维向量a和b，如果a的x分量等于b的x分量，且a的y分量等于b的y分量，那么a等于b。
同样地，对于n维向量，如果两个向量的每个对应分量都相等，那么它们相等。
我们来看等号成立的第二种情况：两个向量平行。
当两个向量的方向相同或相反时，它们是平行的。
对于二维向量来说，如果两个向量的斜率相等，那么它们是平行的。
对于n维向量来说，如果两个向量的方向相同或相反，那么它们是平行的。
还有一些特殊情况下的等号成立条件。
例如，当一个向量与自身的点积等于它的模的平方时，等号成立。
这是因为点积是两个向量的乘积的和，而向量与自身的点积等于它的模的平方。
另外，当两个向量的夹角为0度或180度时，它们的点积等于两个向量的模的乘积。
这也是等号成立的一种情况。
在实际问题中，我们经常需要求解向量不等式的等号成立条件。
例如，在求解线性方程组的过程中，我们需要确定方程组是否有解，即求解等号成立的条件。
此外，在优化问题中，我们也常常需要求解向量不等式的等号成立条件，以找到最优解。
向量不等式的等号成立的条件有两种情况：两个向量相等和两个向量平行。
除此之外，还有一些特殊情况下的等号成立条件。
在实际应用中，我们可以根据这些条件来解决各种向量不等式问题。
通过深入理解向量不等式的等号成立条件，我们可以更好地应用向量的概念解决实际问题。
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构造向量处理等式不等式问题
作者： 作者单位：
刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
潘俭， 黄慧 潘俭(537000,广西省玉林师范学院数学与计算机科学系)， 黄慧(430063,湖北 省武汉铁路职业技术学院)
中学数学 MIDDLE SCHOOL MATHEMATICS 2006，""(7) 0次
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本文链接：/Periodical_zxsx200607010.aspx 授权使用：华中师范大学(hzsfdx)，授权号：71252a6a-0a1a-42fe-afe3-9ddb0106210e
下载时间：2010年8月23日
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