9.2一阶线性微分方程
常微分方程
dy y
P(
x)dx,
ln | y | P( x)dx lnC1 ,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx (C eC1 )
17
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
线性齐次方程的通解是 Ce P( x)dx ,
（3）检验改进模型， 观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，
用实际问题检验该模型， 如果存在问题，则需研究， 改进模型.
27
例 冷却问题 将一个温度为50º的物体，放在20º的恒温 环境中冷却，求物体温度变化的规律.
解 冷却定律：“温度为T的物体，在温度为 T0 的环境中 冷却的速率与温差T T0成正比.” 设物体的温度T与时间 t的函数关系为 T T (t),
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程;
未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程.
方程中所出现的导数的最高阶数称为 微分方程的阶.
一般的n阶微分方程为 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
或已解出最高阶导数 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
9.4 微分方程的应用问题
例 把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度 处的气压成正比”所含关系表示出来.
解：第一步，设未知函数：
设大气压P和高度x之间的函数关系为 P P(x),
大气压随高度变化的速率为 dP
dx
第二步，根据条件写出方程 dP P, 为比例系数，
dx
第三步，取比例系数为正：因 dP 0， 故 0，
第九章 常微分方程
高等数学(微积分)课件--§92一阶微分方程
2
两边积分, 得 1 ln 1 2u 3 ln x ln C 2 1 y 3 或 ln 1 2( ) ln x ln C . 2 x
21
课堂练习
1 求下列齐次方程的通解: x x x y y (2) (1 2e ) 2e (1 )dy 0 y x dx du 解令 u, x yu, u y , y dy dy du u 代入原方程 ， 得 (1 2e )( u y ) 2e u (1 u) 0, dy u 1 2e 1 即 du dy , u y u 2e 两边积分， 得 ln u 2e u ln y ln C
解
分离变量
dy e dx, 2x y 7e
2x
2 ln y ln(7 e 2 x ) C 1
y e
c 2x
dy e2 x dx, 两端积分 2x y 7e
7e
C 7e
2x
4
例题讲解
例 3 求解微分方程
4 xdx 3 ydy 3x 2 ydy 2 xy 2 dx的通解
dy x y 解： dx 2 xy
2
2
dy ( y x) 1 dx 2( y x)
2
y 令u , y ux x
18
例题讲解(续)
dy dux du 1 u 2 ux dx dx dx 2u dx 2u 1 1 du ( )du 2 x 1 u 1 u 1 u ~ ln x ln(1 u ) ln(1 u ) ln c
dy 2 2 例如 2 x y y dy 2 x dx , dx
4 5
9.2一阶微分方程
′
=+=而()()yPxyQx
′
+=()()Pxdxd
ye
dx
∫
∴()(())PxdxeyPxy
∫
′
=+()()PxdxQxe
∫
=【微积分9-2-23】()Qxe=两边同时积分有()()()PxdxPxdxyeQxedxC
∫∫
=+∫所以非齐次方程的通解为()()()PxdxPxdxyeQxedxC???
121
11
1
P
dPPP
P
dPP
?
=?
+【微积分
9-2-18】1
22
21
P
dPP
P
+1
2,
P
u
P
=则为令方程化21
1
u
Puuu
u
?
′
+=?
+分离变量得2
2
211
()2
dP
12
uu
xuu
u
?
′
+=
?化简得22
12
duu
x
dxu
=
?分离变量有1
()
2
dx
udu
ux
?=两边积分有2
111
lnlnln
22
uuxC?=+2【微积分
9-2-17】222
1,uueCxCC?==
?=
==
=∫∫
∫∫∫∫
922一阶线性微分方程
例3.有一质量为m的质点,从液面由静止状态开始垂直下 降,设在沉降过程中质点所受的阻力与沉降速度v成正比, 比例系数为k(k>0),试求质点下沉速度v及位置x与沉降时 间t的关系.
解：由牛顿第二定律： m dv m g kv ， v(0) 0 dt
dv
k
v
g, 通解： v
mg
k t
方程通解
例1 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
解 P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
y
e
1 x
dx
sin x
x
e
1 x
dx
dx
C
e
ln
x
si
n x
x
eln
xdx
C
1 x
si
n
xdx
C
积分得 u( x) Q( x)e P( x)dxdx C ,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
Ce P( x)dx e P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx
对应齐次
非齐次方程特解
Ce m
dt m
k
由 v(0) 0 得 C m g ， k
特解为
v
mg
(1
k t
em)
k
续解：
dx
v
ch9-2-1-2一阶微分方程103 共34页
代入公式，
y(1x)Q(x)(x)dx C 其中 C， C1
因此，计算中绝对值符号可省略。
2019/7/10
9
例 9求微分 xyy 方 co x 程 s 的通解
解 方程变形为 y1 ycosx xx
则 P(x) 1，Q(x) cosx，
x
x
所以通解为
dx
当Q(x)0 时称，为一阶线性非齐次方程 .
2019/7/10
2
1. 解一阶线性齐次方程 dyP(x)y0
dx
分离变量，得 dy P(x)dx
y
两边积分
dy y
P(x)dx，
得 ln y P (x )d xln C
所以通解为 yCeP(x)dx
2019/7/10
分离变量得 两边积分
(11)dudx
u
x
(11)du dx
u
x
得u ln u C ln x ， 即ln x uuC ，
所以所给方程的通解为
lny y C．
2019/7/10
x
15
例 3求(x 方 2 y 2 )d 程 y 2 xd y x 0 满 y (0 ) 足 1 的特
§9.2 一阶微分方程
可分离变量的方程 一阶线性微分方程 齐次型方程 伯努里方程
2019/7/10
1
§9.2 一阶微分方程
二. 一阶线性微分方程
形如 dyP(x)yQ(x) 的方程，一 称阶 为线性， 方 dx
其中P(x)、Q(x) 是连续 Q(的 x) 称， 为自由项．
当Q(x)0 时d， yP(x)y0 称为一阶线性齐次方程 ;
高考数学中的一阶线性微分方程
高考数学中的一阶线性微分方程微积分是高中数学的一门重要的学科，其中涉及到微分及其应用。
在微分学中，微分方程是一类非常重要的数学工具，它可以帮助我们解决各种不同的问题。
在高考数学中，微分方程也是一个非常重要的考点，其中一阶线性微分方程更是高考数学的热点难点。
一阶线性微分方程是指形如：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$的微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知的函数，$y$是未知函数，$\frac{dy}{dx}$表示$y$对$x$的导数。
这个方程的解决方法非常重要，因为一阶线性微分方程是众多微分方程中比较简单的一种。
下面我们将详细介绍一阶线性微分方程的解法。
一、非齐次线性微分方程的解法对于形如$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$的非齐次线性微分方程，我们可以使用变量分离法来解决。
1. 求出齐次线性微分方程的通解首先我们要求出非齐次线性微分方程对应的齐次线性微分方程的通解，即$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$的通解。
设齐次线性微分方程的通解为$y_0=Ce^{-\int p(x)dx}$，其中$C$是待定系数，$e$为自然对数的底数。
下面我们来证明这个解法的正确性。
将$y_0=Ce^{-\int p(x)dx}$代入到$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$中，即可得到：$\frac{d(Ce^{-\int p(x)dx})}{dx}+p(x)(Ce^{-\int p(x)dx})=0$$\Rightarrow -Cp(x)e^{-\int p(x)dx}+C(e^{-\intp(x)dx})\frac{d}{dx}(e^{-\int p(x)dx})+p(x)Ce^{-\int p(x)dx}=0$ $\Rightarrow \frac{d}{dx}(Ce^{-\int p(x)dx})=0$根据微积分基本定理可知，如果$\frac{d}{dx}(Ce^{-\intp(x)dx})=0$，那么$Ce^{-\int p(x)dx}$就是一个常数，不妨设为$C_1$。
一阶微分方程
(91)5
的微,分 当 c 方 c 1 程 0 时 , 为齐次方程.
解
分离变量,
dy adx y(N y)
即有
1 1 dyaN dx y Ny
两边积分, 得
ln y aNxlnClnCeaNx Ny
由于y 0, 整理得通解 Ny
y
CNC 1,
4
3
于是所求特解为
y 3NeeNNaaxx.
例4 某公 t年司 净W 资 (t)(单 产 :百 位 有 万 ),并且元 资产本身以 5%每 的年 速度连续 ,同时增该长 公司每 年要以30百万元的数额连续支付职工工资. (1)给出描述 W(净 t)的资 微产 分 ; 方程 (2)求解方 ,这 程时假设初始W 净 0; 资产为 (3)讨论 W 05在 0 ,600 ,700 三 0 种,W 情 (t)的 况 变 化特 . 点
当 W060百 0 万,元 公司时 将收支平衡, 净资产保持
在600百万元不变; 当 W 070百 0 万,公 元司 时净 将按指数不断增长.
二、齐次微分方程
1. 齐次微分方程
形如
d d x yf x y
(9 1)2
的一阶微分方程, 称为齐次微分方程, 简称齐次方程.
例如, ( x y y 2 ) d x ( x 2 2 x ) d y y 0 ,
解 (1) 利用平衡法, 即由
净资产增长速度= 资产本身增长速度 职工工资支付速度
得到方程 dW0.05W30 dt
(2) 分离变量, 得 dW 0.05dt W600
积分, 得 lW n 6 0 0 .0 0 t 5 lC n(C为正常数)
于是
W 600 C e0.0t5
或 W 6 0 A e 0 0 .0t5(A C )
一阶线性微分方程
关于未知函数 y 及 其导数 y 是一次的.
当Q( x ) 0, 称为一阶线性齐次微分方程.
当Q( x ) 0, 称为一阶线性非齐次微分方程.
例如
dy y x2 , dx dy y 2 xy 3, dx dx x sin t t 2 , 线性的; dt dy cos y 1, 非线性的. dx
Q
解
0
x
x 3 y, y dx ( x y )
3 2
2
两边求导得 y y 3 x ,
dx dx
P
y f ( x)
o x x y e C 3 x 2e dx Ce x 3 x 2 6 x 6,
由 y | x 0 0, 得 C 6,
齐次方程通解 非齐次方程一个特解
1 sin x 例1 求方程 y y 的通解. x x sin x 1 Q( x ) , 解 P( x) , x x
ye
1 dx x
sin x 1 dx x e dx C x
e
ln x
sin x ln x e dx C x
dx (tan y ) x sin 2 y , dy
x e ln cos y [ sin 2 y e ln cos y dy C ]
2 sin y cos y cos y dy C cos y cos y [C 2 cos y].
Q( x ) e P ( x ) d x d x C 2. 公式中的不定积分不再加C . ye
【精选】.一阶线性微分方程、可降阶二阶微分方程
y 3(1 x2 )
再积分,得 y x2 3x C2
把初始条件 y x0 1 代入上式,得 C2 1
于是所求的特解为 y x2 3x 1
三、 y f y, y型的微分方程
y f y, y
右端不显
含自变量 x
解法 设y p( y),则y dp dp dy p dp
dx dy dx dy
y
1 4
e2x
cos
x
C1x
C2
二、 y f x, y 型的微分方程
y f x, y
右端不显
含未知数 y
解法 设y px, 则y dp p
dx 于是原方程变为
p f x, p
它是一个关于变量 x 、p 的一阶微分方程.解此一阶微分
方程,便得到原方程的通解.
例5-10 求微分方程 y 1 y 0的通解 x
二、 y f x, y型的微分方程 三、 y f y, y型的微分方程
一、 y f ( x) 型的微分方程
y f ( x)
右端仅含自
变量 x
解法 接连积分两次,便可得到方程的通解
例5-9 求微分方程 y e2x cos x的通解.
解 对所给方程连续积分两次,得
y
1 2
e2x
sin
x
C1
y
Ce
P( x)dx
dx
非齐次微分方程
dy dx
P(x)
y
Q(x)的通解
y C(x)e P(x)dx
一阶线性非齐次微分方程的通解中C(x)是个未定
式，下面我们确定C(x)。
非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比
C C(x)
非齐次微分方程 dy P(x) y Q(x) 的求解 dx
一阶线性微分方程.ppt
2
令 z y1(1) y2 ,
则 dz 2 y dy , dx dx
dz 2xz xex2 ,
z
e
2
xdx
[
xe
x2
e
2
xdx
dx
C
]
dx
所求通解为 y2 ex2 ( x2 C ). 2
2.
dy dx
1 x sin2 ( xy)
y; x
解 令 z xy, 则 dz y x dy ,
2.线性非齐次方程 令 y u( x)e P( x)dx ;
3.伯努利方程 令 y1n z;
思考题
求微分方程
y
cos
y
cos sin 2 y
y
x
sin
y
的通解.
思考题解答
dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y,
dy
cos y
dx tan y x sin 2 y,
一阶线性微分方程的解法
1.
线性齐次方程
dy dx
P( x) y
0.
(使用分离变量法)
dy P( x)dx, y
dy y
P
(
x)dx,
ln y P( x)dx lnC,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
2.
线性非齐次方程
dy dx
P( x) y
Q( x).
讨论
dy y
Q( x) y
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
1、dy dx
y cot x 5e cos x
,
y x
4；
2
2、 dy dx
9.2一阶微分方程
将 W (0) W0 代入 , 有W0 600 A 所以方程通解: W 600 (W0 600)e0.05t
上式推导过程中W 600,
当W 600 时,
dW 0, dt
可知 W 600 W0 ,
通常称为平衡解, 仍包含在通解表达式中.
(3) 由通解表达式可知, 当W0 500 百万元时, 净资产额单调递减, 公司将在第36年破产;
y(0) 1 N 的特解, 式中a 0, N y 0. 4
解
分离变量,
dy adx y(N y)
即有
1 1 dy aNdx y N y
两边积分, 得
ln y aNx lnC lnCeaNx Ny
由于 y 0, 整理得通解 Ny
y
CNe Nax 1 CeNax
(C为正常数)
P ( x )dx
Q(
x)e
P
(
x )dxdx
C
.
(9 19)
这种利用因子e P( x)dx 求解方程的方法叫积分因子法,
e P( x)dx 称为积分因子.
下面介绍解方程（9 16)的常用方法，步骤如下：
求出方程（9 16) 对应的齐次方程（9 17) 的通解
y Ce P( x)dx , 将 C 换成待定函数 C( x), 即令方程（9 16) 的通解为
P2
e P1 CP1P2
其中C 为任意正的常数.
三、一阶线性微分方程
形如
y P( x) y Q( x)
(9 16)
的一阶微分方程, 称为一阶线性微分方程, 其中,
若 Q( x) 0, 方程变为 y P( x) y 0
(9 17)
则称方程(9-17)为一阶齐次线性方程,
一阶线性微分方程
微积分Calculus一阶线性微分方程一定义一阶线性微分方程标准形式:)()(d d x Q y x P x y=+若Q (x ) ≡0, 若Q (x ) ≡0, 称为非齐次方程.称为齐次方程;0)(d d =+y x P x y 分离变量两边积分得C x x P y ln d )(ln +−=⎰故通解为xx P e C y d )(⎰−=二一阶线性齐次微分方程的解法的通解为一阶线性齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程的通解是怎样的？我们已知，那么，三一阶线性非齐次微分方程的解法是一阶线性非齐次微分方程，将方程变形为很容易看出方程的左边，正好是求导之后的结果，xy 即两边同时积分得即（原方程的通解）例我们得到一个很重要的方法：积分因子法即对于如下的微分方程，关键是找到积分因子I(x)我们来推导出这个积分因子的结构。
)()(x Q y x P dx dy=+I(x)得在方程两边同时乘上即则方程的通解可以很容易获得。
所以为了找到积分因子，我们必须研究将它展开得整理后得因为只要找到一个积分因子就行，故可令，得C=1这是一个关于的可分离变量的微分方程，I(x)所以可得用积分因子法求解一阶线性非齐次微分方程，只需要在方程的两边同时乘以积分因子再两边同时积分即可得到通解为：方法总结对应齐次方程通解xx P e C y d )(⎰−=常数变易法:,)()(d )(⎰−=x x P e x u x y 则⎰−'x x P e u d )()(x P +⎰−x x P e u d )()(x Q =即作变换⎰−−x x P e u x P d )()(Cx e x Q u x x P +=⎰⎰d )(d )(两端积分得齐次方程通解非齐次方程特解⎰−x x P Ce d )(故原方程的通解xe x Q e x x P x x P d )(d )(d )(⎰⎰⎰−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰⎰−C x e x Q e y x x P x x P d )(d)(d )(=y 即用常数变易法求解一阶线性非齐次微分方程，只需要先求出对应的齐次微分方程的通解，然后做常数的变易并代回到原微分方程中去，通过方法总结积分即可得到原微分方程的通解dy dx +3x2y=6x2四相关练习例二解方程解这是一阶线性非齐次方程，积分因子为I(x)=e3x2dx=e x3方程两边同时乘以，可得e x3两边同时积分，可得即通解为解: 先解,012d d =+−x y x y 即1d 2d +=x x y y 积分得即2)1(+=x C y y =23(x +1)ൗ32+C 例三解方程)1(2)1(2+⋅++⋅'='x u x u y 代入非齐次方程得解得故原方程通解为用常数变易法求特解. 令,)1()(2+⋅=x x u y 则。
一阶线性微分方程
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
Ce P( x)dx e P( x)dx
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
对应齐次
非齐次方程特解
方程通解
例1 解方程
解: 先解
dy 2y 0 ,即 dx x 1
dy 2dx y x 1
齐次方程
dx x x
dy dx
1 2x
y
x2 2
线性微分方 程
dx
1
x
y
2
线性微分方
dy 2y
2程
(5) ( y ln x 2) y dx x dy d y 2 y ln x y2 伯努利
dx x x
方程
伯努利(1654 – 1705)
( 雅各布第一 ·伯努利 )
瑞士数学家, 他家祖孙三代出过十多 位数学家. 1694年他首次给出了直角坐 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 年提出了著名的伯努利方程, 1713年出 版了他的巨著《猜度术》, 这是组合数学与概率论史 上的一件大事, 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 此外, 他对 双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .
dy y
P
(
x)dx,
ln y P(x)dx C1,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
2.非齐次线性方程
dy P( x) y Q( x). dx
讨论
dy y
Q( x) y
大学高等数学上册：9.2.2 一阶线性微分方程
3、 dy dx
1 x sin2 ( xy)
y. x
六、已知微分方程 y y g( x),其中
g( x)
2 0
, ,
0 x
x 0
1,试求一连续函数y
y( x) ,满
足条件 y(0) 0 ,且在区间[0 , ) 满足上述方程 .
练习题答案
一、1、 y ( x C )esin x ；
2、2x ln y ln2 y C ；
y
dy
C
cos
yC
2 cos
y.
三、设有一质量为 m 的 质点作直线运动从速度等于零
的时刻起,有一个与运动方向一致,大小与时间成正 比(比例系数为 k1 )的力作用于它,此外还受 一与速度成正比(比例系数为 k2 )的阻力作用,求质
点运动的速度与时间的函数关系 .
四、求下列伯努利方程的通解:
1、 y
P(
x)dx,
两边积分
ln
y
Q( x)dx y
P( x)dx,
设
Q( x)dx为v( y
x
),
ln y v( x) P( x)dx,
即 y e e v( x) P( x)dx . 非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比: C u( x)
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 新未知函数 u( x) 原未知函数 y( x),
y
x
sin
y
的通解.
思考题解答
dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y,
dy
cos y
dx tan y x sin 2 y,
微积分课件（高教社版朱来义编）——第九章9-1
第9章微分方程初步§9.1 微分方程的基本概念§9.2 一阶微分方程§9.3 二阶常系数线性微分方程§9.4 微分方程在经济学中的应用§9.1 微分方程的基本概念一、问题的提出例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点),(y x M 处的切线的斜率为x 2,求这曲线的方程.解)(x y y =设所求曲线为x dxdy 2=∫=xdx y 2(1)2y =且,2C x y +=,1=C 求得.12+=x y 所求曲线方程为(1)2y =由条件⇒⇒⇒#例2 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度4.0−米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？解)(,t s s s t =米秒钟行驶设制动后4.022−=dtsd ,20,0,0====dt ds v s t 时14.0C t dtdsv +−==2122.0C t C t s ++−=代入条件v(0)=20120C ⇒=,202.02t t s +−=,204.0+−==t dtdsv ),(504.020秒==t 列车在这段时间内行驶了).(5005020502.02米=×+×−=s 开始制动到列车完全停住共需代入条件s(0)=020C ⇒=#含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
例,xy y =′,0)(2=++xdx dt x t ,32x e y y y =−′+′′,y x xz+=∂∂二、微分方程的定义联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)的关系式：()(,,,,)0n F x y y y ′= 微分方程的实质：微分方程的阶:分类1: 常微分方程& 偏微分方程。
,0),,(=′y y x F );,(y x f y =′,0),,,,()(=′n y y y x F ).,,,,()1()(−′=n n y y y x f y 分类2: 一阶微分方程& 高阶(n阶)微分方程。
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sinu e x Cx (C 0) 通 解
arcsin( Cx ) ) (C 0)R ) 由此又得到 y y xxarcsin( Cx (C
注意 : y 0 也是原方程的一个解 , 所以可以有C 0
例2 解方程( y 2 3 x 2 )dx 2 xydy 0.
y P ( x ) y Q( x ) C ( x ) e
P(x)dx C (x) Q(x) e
P ( x ) dx
Q( x )
P(x)dx C(x) Q(x) e dx C
ye
P(x)dx
P(x)dx . ( Q(x). e dx C )
e
ln y
y( e y dy C ) y( e y C)
( ye e
y
ln y
dy C )
dy y 的通解. 练习 求微分方程 3 dx x y 解 对于未知函数y，它不是线性方程，但是方程可改
写为
dx 1 2 dx x y 3 1 2 x y , (7) x y ，即 dy y dy y y
将 y x 1 e代入，得C 0;
1 x 所求特解为 y e . x
练习
求通解
dy 1 x y dx x
dy 1 1 y 2 dx x x
解 化为标准形式
1 p( x ) x
1 q( x ) 2 x
利用公式求解
ye
p ( x ) dx
p ( x ) dx (C1 q( x )e dx )
yCe
P ( x ) dx
(线性齐次方程的通解)
2. 用常数变易法试解 线性非齐次方程:
y P ( x ) y Q ( x ).
想法: 试将齐次 方程 y P ( x ) y 0 的通解
yCe
P ( x ) dx
中的常数 C 改为 x 的函数 C ( x ), 期待y C ( x ) e 为 y P ( x ) y Q( x ) 的通解.
y
Q( y ) e P ( y )d y d y C ，得
例4. 解方程 解: 方法2. 令x+y=u， 则 y=u-x，
代入原方程，得 分离变量，得 两端积分，得
u ln u 1 =x C , y ln x y 1 =C ,
将u=x+y代入，得 Nhomakorabeae ln x
sinx ln x e dx C x
1 ( sin xdx C ) x
1 ( cos x C ). x
x x y y e 0, 例2 求解初值问题 y x 1 e .
x x 1 e 1 e 解 方程变形为y y . , P ( x ) , Q( x ) x x x x
1 1 du dx. f ( u) u x
u g( x ) 的可分离变量的方程!
例1
dy y y tan dx x x
这个方程的特 点是什么 ? 求解方法
可分离变 这是什麽 量方程！ 方程？
dy y g( ) dx x
齐次方程
y 令 u x
dy du u x dx dx
例4. 解方程 解: 方法 若将y看作是x的函数，显然它关于y不是 一. 线性的，但若将其改写为
dx P( y ) x Q( y ) dy
则它关于x是一阶非齐次线性方程.
代入公式 x =e
xe
y
P ( y )d y
y = Ce y 1 . y e d y +C
方程关于 y 及 y 不是一阶线性的 , 但把 y 看作自变量， dx 1 y x ye 把 x 看作未知函数, 方程可化为 dy y
这是关于x, x的一阶线性方程 . 由通解公式得
xe
1 dy y
1 dy y y ye e dy C
dy 2 例3 求 ( x y ) 的通解. dx
dy du 解 令 x y u, 1 代入原方程 dx dx du 1 u2 解得 arctanu x C , dx
代回 u x y , 得 arctan( x y ) x C ,
原方程的通解为 y tan( x C ) x .
1 dx 1 1 1 x e (C1 2 e dx ) (C1 2 x dx ) x x x 1 1 C 1 (C 2 x dx ) ln x x x x x 1 dx x
例3 解方程 xdy ydx y 2e y dy.
解
dy y 解出y, 得 dx x y 2 e y
2
du 3(1 u ) x dx 2u
2
分离变量得
2udu 3 dx 2 x 1 u
两边积分得 ln( 1 u2 ) 3 ln x lnC1
x (1 u ) C
3 2
y 再用 代替 u，便得方程的通解 x
x( x y ) C
2 2
练习 求解微分方程
y y ( x y cos )dx x cos dy 0. x x
对于未知函数x(y为自变量)来说，所给方程就是 一阶线性非齐次方程，对未知函数x的一阶线性 非齐次方程
dx P( y ) x Q( y ) dy
(8)
的通解公式为
x e P ( y )dy [ Q( y )e P ( y )dy dy C ]
(9)
1 P( y ) , Q( y ) y 2 方程(7)中， 代入(9)式，即得 y 所求上述方程的通解为
Ce
P(x)dx
e
P(x)dx
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
P(x)dx Q(x) e dx
1 sin x 的通解. 例1 求方程 y y x x 解： P ( x ) 1 , Q ( x ) sin x , x x
ye
1 dx x
dx sin x 1 x e dx C x
通解为 y e
1 dx x
dx ex 1 x dx C x e
x 1 e ln x ln x x e e dx C ( e x x dx C ) 1 x (e C ); x
解
y 令u ， 则 dy xdu udx， x
( x ux cos u)dx x cos u( udx xdu) 0,
dx cos udu , x
微分方程的解为
sin u ln x C ,
y sin ln x C . x
求解微分方程常用的方法之一是通过变量代换将给 定的微分方程化成可求解的形式。
y 2 3( ) 2 2 dy 3 x y 解 将方程改写成 x . y dx 2 xy 2( ) x y dy du 令u , 则 u x ; x dx dx
代入上式得 将该方程整理化简
du 3 u u x dx 2u
2
du 3(1 u ) x dx 2u
P ( x ) dx
反试:
试将 y C(x) e
P(x)dx
代入
y P(x)y Q(x)确定C(x):
y C (x) e
P(x)dx
P(x) C(x) e
P(x)dx
,
P(x)dx y P(x)y Q(x) C (x) e Q(x)
或
x =Ce y y 1 .
作 业
P410--411 3(2);4(7)
第二节
一阶微分方程
二、齐次方程
dy y f ( ) 的微分方程称为齐次方程. 形式 形如 dx x
解法(固定的程序) dy du y u x ; 作变量代换 u , 即 y xu, dx dx x 将上式代入原方程得
du u x f ( u), dx
代入得到 du g ( u) u
dx
x
变量代换，化为可分离变量
dy y y y tan 令u dx x x x
dy du 则 u x , 代入得到 dx dx
分离变量 两端积分
C1
du u x u tan u dx dx cot u du x ln | sinu | ln | x | C 1
练习
求 y cos(x y ) 的通解
令 x y u
方程化为
解
1 y u
u 1 cosu
分离变量，两边积分
du 1 cos u dx
通解
du 2 sin2
u 2
dx
x y cot xC 2
三、线性方程
一阶线性微分方程(形式如下的微分方程):
x
1 dy e y
1 dy y 2 e y dy
C
e
ln y
y 2 e ln y dy C
2 y 2 1 y y y dy C y 2 C .
通解公式:
ye
P(x)dx
P(x)dx ( Q(x) e dx C )
公式的证明(实际解的过程)： 1. 解线性齐次方程 (使用分离变量法)