08第8章 时间序列
统计学 第8章 时间序列分析
第八章时间序列分析
第⼋章时间序列分析第⼋章时间序列分析与预测【课时】6学时【本章内容】§ 时间序列的描述性分析时间序列的含义、时间序列的图形描述、时间序列的速度分析§ 时间序列及其构成分析时间序列的构成因素、时间序列构成因素的组合模型§ 时间序列趋势变动分析移动平均法、指数平滑法、模型法§ 时间序列季节变动分析[原始资料平均法、趋势-循环剔除法、季节变动的调整§ 时间序列循环变动分析循环变动及其测定⽬的、测定⽅法本章⼩结【教学⽬标与要求】1.掌握时间序列的四种速度分析2.掌握时间序列的四种构成因素3.掌握时间序列构成因素的两种常⽤模型4.掌握测定长期趋势的移动平均法5.了解测定长期趋势的指数平滑法6.；7.掌握测定长期趋势的线性趋势模型法8.了解测定长期趋势的⾮线性趋势模型法9.掌握分析季节变动的原始资料平均法10.掌握分析季节变动的循环剔出法11.掌握测定循环变动的直接法和剩余法【教学重点与难点】1.对统计数据进⾏趋势变动分析，利⽤移动平均法、指数平滑法、线性模型法求得数据的长期趋势；2.对统计数据进⾏季节变动分析，利⽤原始资料平均法、趋势－循环剔除法求得数据的季节变动；3.对统计数据进⾏循环变动分析，利⽤直接法、剩余法求得循环变动。
【导⼊】；很多社会经济现象总是随着时间的推移不断发展变化，为了探索现象随时间⽽发展变化的规律，不仅要从静态上分析现象的特征、内部结构以及相互关联的数量关系，⽽且应着眼于现象随时间演变的过程，从动态上去研究其发展变动的过程和规律。
这时需要⼀些专门研究按照时间顺序观测的序列数据的统计分析⽅法，这就是统计学中的时间序列分析。
通过介绍⼀些时间序列分析的例⼦，让同学们了解时间序列的应⽤，并激发学⽣学习本章知识的兴趣。
1.为了表现中国经济的发展状况，把中国经济发展的数据按年度顺序排列起来，据此来研究。
2.公司对未来的销售量作出预测。
这种预测对公司的⽣产进度安排、原材料采购、存货策略、资⾦计划等都⾄关重要。
时间序列分析
时期序列
计算公式：
n
YY1Y2Yn
Yi i1
n
n
【例8.1】 根据表8.1中的国内生产总值序 列，计算各年度的平均国内生产总值
n
Yi
Yi1
4288.585 476.95（ 43 亿元）
n
9
绝对数序列的序时平均数
（计算方法）
时点序列— 间隔不相等
Y1 Y2
Y3 Y4
T1
T2
T3
Yn-1
发展速度与增长速度的计算（实例）
【例8.5】 根据表8-3中第三产业国内生产总值序列， 计算各年的环比发展速度和增长速度，及以1994年 为基期的定基发展速度和增长速度
表8- 4 第三产业国内生产总值速度计算表
年份
1994 1995 1996 1997 1998
国内生产总值(亿元)
发展速度 (%)
第8章 时间序列分析
第一节 时间序列的对比分析 第二节 时间序列及其构成因素 第三节 长期趋势分析 第四节 季节变动分析 第五节 循环波动分析
第一节 时间序列的对比分析
一. 时间序列及其分类 二. 时间序列的水平分析 三. 时间序列的速度分析
时间序列及其分类
1. 同一现象在不同时间上的相继观察值排 列而成的数列
803 896 1070 1331 1781 2311 2726 2944 3094
时间序列的分类
时间序列
绝对数序列 相对数序列 平均数序列
时期序列 时点序列
时间序列的分类
1. 绝对数时间序列 一系列绝对数按时间顺序排列而成 时间序列中最基本的表现形式 反映现象在不同时间上所达到的绝对水平 分为时期序列和时点序列
第8章 时间序列趋势分析
我国年末人口数（万人） 我国人口自然增长率（‰）
某厂职工年平均工资（元/人）
12000
13000
15000……
.
时间序列的构成要素
现象在各时间上的指标数值 时间序列分析的目的
描述现象在过去时间的状态。 分析现象发展变化的规律性。 根据现象的过去行为预测其未来行为。 将相互联系的时间序列进行对比，研究有关现象之 间的联系程度。
4.
不规则变动 (Irregular Variations )
包括随机变动和突然变动。 随机变动—现象受到各种偶然因素影响而呈现出方 向不定、时起时伏、时大时小的变动。 突然变动—战争、自然灾害或其它社会因素等意外 事件引起的变动。影响作用无法相互抵消，影响幅 度很大。 一般只讨论有随机波动而不含突然异常变动的情况。 随机变动与时间无关，是一种无规律的变动，难以 测定，一般作为误差项处理。
8.2.2 长期趋势的测定
长期趋势分析主要是指长期趋势的测定，采用一定的方法
对时间序列进行修匀，使修匀后的数列排除季节变动、循环
.
变动和无规则变动因素的影响，显示出现象变动的基本趋势， 作为预测的依据。
测定长期趋 势的方法
移动平均法 趋势方程拟和法(数学模型法)
.
研究长期趋势的目的和意义
1. 认识和掌握现象随时间演变的趋势和规律，为 制定相关政策和进行管理提供依据；
表8- 2 1981-1998年我国汽车产量数据
年 份
1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989
产量(万辆)
17.56 19.63 23.98 31.64 43.72 36.98 47.18 64.47 58.35
第八章时间序列分析
第八章时间序列分析一、填空题：1. 由于决定时间数列变化的因数是多方面的，因此通常把时间数列上各期发展水平按其影响因素的不同分解成几个不同的组成部分，即长期趋势、、循环波动和不规则变动。
2.时间序列按照数列中排列指标的性质不同，可分为、和。
3. “增长1%绝对值”指标其实质是水平的1%。
4. 是把原动态数列的时距扩大，再采用逐项移动的方法计算扩大了时距的序时平均数。
5．就是研究某种现象在一个相当长的时期内持续向上或向下发展变动的趋势。
6. 就是指某些社会现象由于受生产条件或自然条件因素的影响，在一年内随着季节的更换而呈现出比较有规律的变动。
二、单项选择题：1. 时间序列在一年内重复出现的周期性波动称为（）A、趋势B、季节性C、周期性D、随机性2. 增长一个百分点而增加的绝对数量称为（）A、环比增长率B、平均增长率C、年度化增长率D、增长1%绝对值3. 某银行投资额2004年比2003年增长了10%，2005年比2003年增长了15%，2005年比2004年增长了（）A、15%÷10%B、115%÷110%C、（110%×115%）+1D、（115%÷110%）-14．某种股票的价格周二上涨了10%，周三上涨了5%，两天累计张幅达（）A、15%B、15.5%C、4.8%D、5%5．如果某月份的商品销售额为84万元，该月的季节指数为1.2，在消除季节因素后该月的销售额为（）A、60万元B、70万元C、90.8万元D、100.8万元6. 时间数列的构成要素是（）。
A、变量和次数B、时间和指标数值C、时间和次数D、主词和宾词7. 定基增长速度与环比增长速度的关系为（）。
A、定基增长速度等于相应的环比增长速度各个的算术和B、定基增长速度等于相应的环比增长速度各个的连乘积C、定基增长速度等于相应的环比增长速度加1后的连乘积再减1D、定基增长速度等于相应的环比增长速度各个的连乘积加18. 以1950年a0为最初水平，1997年a n为最末水平，计算钢产量的年平均发展速度时，须开（）。
8章-时间序列分析练习题参考答案
第八章时间数列分析一、单项选择题1. 时间序列与变量数列（）A都是根据时间顺序排列的B都是根据变量值大小排列的C前者是根据时间顺序排列的，后者是根据变量值大小排列的D前者是根据变量值大小排列的，后者是根据时间顺序排列的C2.时间序列中，数值大小与时间长短有直接关系的是()A平均数时间序列B3.发展速度属于（A比例相对数B时期序列C时点序列D相对数时间序列）B比较相对数C动态相对数D强度相对数C4. 计算发展速度的分母是（）A报告期水平B基期水平C实际水平D计划水平B5. 某车间月初工人人数资料如下：则该车间上半年的平均人数约为（）A 296 人B 292 人C 295 人D 300 人C6. 某地区某年9月末的人口数为150万人，10月末的人口数为150. 2万人，该地区10月的人口平均数为（）A 150万人B 150 . 2万人C 150 . 1万人D 无法确定C7. 由一个9项的时间序列可以计算的环比发展速度（）A有8个B有9个C有10个D有7个A8. 采用几何平均法计算平均发展速度的依据是（）A各年环比发展速度之积等于总速度B各年环比发展速度之和等于总速度C各年环比增长速度之积等于总速度D各年环比增长速度之和等于总速度A9. 某企业的科技投入，2010年比2005年增长了58. 6%,则该企业2006—2010年间科技投入的平均发展速度为（）A 558.6%B 5158.6%C 658.6%D 6158.6%B10. 根据牧区每个月初的牲畜存栏数计算全牧区半年的牲畜平均存栏数，采用的公式是（）A简单平均法B几何平均法C加权序时平均法D首末折半法D11. 在测定长期趋势的方法中，可以形成数学模型的是（）A时距扩大法B移动平均法C最小平方法D季节指数法12. 动态数列中，每个指标数值相加有意义的是( )。
A. 时期数列B. 时点数列C. 相对数数列D. 平均数数列 A13. 按几何平均法计算的平均发展速度侧重于考察现象的( ) A. 期末发展水平 B. 期初发展水平 C •中间各项发展水平D.整个时期各发展水平的总和14. 累计增长量与其相应的各逐期增长量的关系表现为( )A. 累计增长量等于相应各逐期增长量之和 B •累计增长量等于相应各逐期增长量之差 C. 累计增长量等于相应各逐期增长量之积 D. 累计增长量等于相应各逐期增长量之商 A15. 已知某地区 2010 年的粮食产量比 2000 年增长了 1 倍，比 2005 年增长了 0.5 倍，那么 2005 年粮食产量比 2000 年增长了( )。
第八章 时间序列分析 思考题及练习题
第八章思考题及练习题(一) 填空题1、时间数列又称数列,一般由和两个基本要素构成。
2、动态数列按统计指标的表现形式可分为、和三大类，其中最基本的时间数列是。
3、编制动态数列最基本的原则是。
4、时间数列中的四种变动（构成因素）分别是：、、、和5、时间数列中的各项指标数值，就叫，通常用a表示。
6、平均发展水平是对时间数列的各指标求平均，反映经济现象在不同时间的平均水平或代表性水平，又称：平均数，或平均数。
7、增长量由于采用的基期不同，分为增长量和增长量，各增长量之和等于相应的增长量。
8、把报告期的发展水平除以基期的发展水平得到的相对数叫，亦称动态系数。
根据采用的基期不同，它又可分为发展速度和发展速度两种。
9、平均发展速度的计算方法有法和法两种。
10、某企业2000年的粮食产量比90年增长了2倍，比95年增长了0.8倍，则95年粮食产量比90年增长了倍。
11、把增长速度和增长量结合起来而计算出来的相对指标是：。
12、由一个时期数列各逐期增长量构成的动态数列，仍属时期数列；由一个时点数列各逐期增长量构成的动态数列，属数列。
13、在时间数列的变动影响因素中，最基本、最常见的因素是，举出三种常用的测定方法、、。
14、若原动态数列为月份资料，而且现象有季节变动，使用移动平均法对之修匀时，时距宜确定为项，但所得各项移动平均数，尚需，以扶正其位置。
15、使用最小平方法配合趋势直线时，求解 a、b参数值的那两个标准方程式为。
16、通常情况下，当时间数列的一级增长量大致相等时，可拟合趋势方程，而当时间数列中各二级增长量大致相等时，宜配合趋势方程。
17、用半数平均法求解直线趋势方程的参数时，先将时间数列分成的两部分，再分别计算出各部分指标平均数和的平均数，代入相应的联立方程求解即得。
18、分析和测定季节变动最常用、最简便的方法是。
这种方法是通过对若干年资料的数据，求出与全数列总平均水平，然后对比得出各月份的。
19、如果时间数列中既有长期趋势又有季节变动，则应用法来计算季节比率。
第八章时间序列分析思考题及练习题
第八章思考题及练习题（一）填空题1、时间数列又称______ 数列,一般由 _______ 和________ 两个基本要素构成。
2、动态数列按统计指标的表现形式可分为____________ 、 ________ 和___________ 三大类，其中最基本的时间数列是___________ o3、编制动态数列最基本的原则是_4、时间数列中的四种变动（构成因素）分别是：__________ 、________ 、_______ 、和 _______5、时间数列中的各项指标数值，就叫____________ ，通常用a表示。
6平均发展水平是对时间数列的各指标求平均，反映经济现象在不同时间的平均水平或代表性水平，又称： _________________________ 平均数，或 ________ 平均数。
7、增长量由于采用的基期不同，分为_______ 增长量和________ 增长量，各 ______ 增长量之和等于相应的 _________ 增长量o8、把报告期的发展水平除以基期的发展水平得到的相对数叫______________ ，亦称动态系数。
根据采用的基期不同，它又可分为 ________ 发展速度和发展速度两种。
9、平均发展速度的计算方法有__________ 法和 _________ 法两种。
10、某企业2000年的粮食产量比90年增长了2倍，比95年增长了0.8倍，则95年粮食产量比90年增长了________ 倍。
11、把增长速度和增长量结合起来而计算出来的相对指标是：____________________ o12、由一个时期数列各逐期增长量构成的动态数列，仍属时期数列；由一个时点数列各逐期增长量构成的动态数列，属 __________ 数列。
13、在时间数列的变动影响因素中，最基本、最常见的因素是__________ ，举出三种常用的测定方法 _____________ 、______________ 、______________ o14、若原动态数列为月份资料，而且现象有季节变动，使用移动平均法对之修匀时，时距宜确定为 _______ 项，但所得各项移动平均数，尚需______________ ，以扶正其位置15、使用最小平方法配合趋势直线时，求解a、b参数值的那两个标准方程式为 _________ o 16、通常情况下，当时间数列的一级增长量大致相等时，可拟合趋势方程，而当时间数列中各二级增长量大致相等时，宜配合 ____________ 趋势方程。
统计学第八章时间数列
2020/1/19
增长速度growth rate 表明现象的增长程度
某现 基象 期报 水 告 平 报期 告 基的 期 期 基 增 水 水 期 长 平 平 发 水 量 展 平 1速
环比增长速度=环比发展速度-1 定基增长速度=定基发展速度-1
2020/1/19
增 1长 的 % 绝 环 对 逐 比 期 增 1 值 增 0 长 0上 长 1速 0 期 量 0度 水平
n 1
n 1
（5）间隔不相等不连续时点的时点数列
2020/1/19
aa1 2a2t1a2 2a3t2an12 antn1 t1t2tn1
增长量和平均增长量 •增长量growth amount
总量指标报告期水平与基期水平之差，表明 该指标在一定时期内增加或减少的绝对数量。
社会经济现象以若干年为周期的 涨落起伏相同或基本相同的一种 波浪式的变动
随机变动（I）
客观社会经济现象由于天灾、人 祸、战乱等突发事件或偶然因素 引起是无周期性波动
2020/1/19
一般模型 加法模型
Y=T+S+C+I
乘法模型 Y=T×S×C×I
分解方法
加法模型 T=Y-（S+C+I）
乘法模型
2020/1/19
✓水平法（几何平均法）
n
X
n
Xi
i1
n
an a0
适用：水平指标的平均发展速度计算
2020/1/19
✓方程法（累计法）
a 0 x a 0 x 2 a 0 x 3 a 0 x n a i
xx2x3xnai a0
适用：侧重于考察中长期间的累计总量
平均增长速度 = 平均发展速度-100% 表明现象在一个较长时期中逐期平均增长变化的程度
第八章时间序列分析精品PPT课件
时间序列
随机过程的一次实现称为时间序列，可用{xt}或 xt表示。随机过程与时间序列的关系图示如下：
样本空间
4
比如某河流一年的水位值， {x1, x2, …, xT-1, xT,}， 可以看做一个随机过程，每一年的水位记录则是一 个时间序列，如{x11, x21, …, xT-11, xT1}。
13
时域分析方法的发展过程
❖ 基础阶段 ❖ 核心阶段 .U.Yule
❖1927年，AR模型
❖ G.T.Walker
❖1931年，MA模型，ARMA模型
15
核心阶段
❖G.E.P.Box和 G.M.Jenkins
❖1970年，出版《Time Series Analysis Forecasting and Control》
❖ 由于SAS系统具有全球一流的数据仓库功能， 因此在进行海量数据的时间序列分析时它具有 其它统计软件无可比拟的优势
18
三、平稳性（Stationarity）
1.严平稳
如果一个时间序列xt的联合概率分布不随时 间而变，即对于任何n和k，x1,x2,…，xn的联合 概率分布与x1+k,x2+k,…xn+k 的联合分布相同，则
而在每年中同一时刻（如t=2时）的水位记录是不 同的，{ x21, x22, …, x2n,} 构成了x2取值的样本空间。
5
时间序列 xt通常包含四个成分： 趋势因素（trend），季节因素（seasonality）， 循环因素（cycle）和不规则因素（irregular）。 时间序列的分解通常有加法分解法则和乘法分解 法则，有兴趣的读者可以参阅其他文献。
❖ 特点
❖ 理论基础扎实，操作步骤规范，分析结果易于 解释，是时间序列分析的主流方法
第8章时间序列趋势分析
第8章时间序列趋势分析时间序列趋势分析是一种用于分析时间序列数据中趋势变化的方法。
它可以帮助我们理解时间序列数据中的长期趋势，并预测未来的发展趋势。
本章将介绍时间序列趋势分析的基本概念和常用方法。
1.时间序列的趋势：时间序列是按照时间先后顺序排列的一系列数据观测值的集合。
时间序列的趋势是指其长期平均水平的变化趋势，包括上升、下降或平稳变化。
趋势可以是线性的，也可以是非线性的。
2.趋势分析的目的：趋势分析的目的是识别和描述时间序列数据中的趋势变化，以便预测未来的发展趋势。
趋势分析可以帮助我们了解时间序列数据的长期变化趋势，从而做出有效的决策。
3.常用的趋势分析方法：(1)平均移动方法：平均移动方法是一种简单的趋势分析方法，它利用移动平均值来平滑原始数据，从而识别出数据的长期趋势。
平均移动方法有简单移动平均法、加权移动平均法和指数移动平均法等。
(2)线性趋势分析：线性趋势分析是一种通过拟合线性模型来描述时间序列数据的趋势变化的方法。
它可以用来估计趋势的斜率和截距，从而判断趋势的上升或下降趋势。
(3)非线性趋势分析：非线性趋势分析是一种通过拟合非线性模型来描述时间序列数据的趋势变化的方法。
它可以用来捕捉数据中的曲线、周期性和季节性等非线性特征。
(4)季节性调整：季节性调整是一种用来消除时间序列数据季节性变化影响的方法。
它可以使得数据更加稳定，更容易分析长期趋势。
4.趋势分析的应用领域：时间序列趋势分析在许多领域都有广泛的应用，包括经济学、金融学、市场研究、气象学、环境科学、交通规划等。
它可以用来预测市场走势、分析经济周期、预测天气变化等。
5.趋势分析的局限性：趋势分析的结果受到许多因素的影响，如数据质量、样本大小和选择的分析方法等。
此外，趋势分析只能应用于具有明显趋势的时间序列数据，对于无趋势或具有周期性的数据效果不佳。
总结起来，时间序列趋势分析是一种用于分析时间序列数据中趋势变化的方法。
它可以帮助我们理解时间序列数据的长期趋势，并预测未来的发展趋势。
第八章 时间序列
环比 定基 环比 定基
120.2 120.2 20.2 20.2
113.8 136.8 13.8 36.8
117.7 161.0 17.7 61.0
108.6 174.8 8.6 74.8
33
三、平均发展速度和平均增长速度
1. 观察期内各环比发展速度 的平均数 2. 说明现象在整个观察期内平均发展变化的 程度
动态速度指标
10
第二节
时间序列的水平分析
一、发展水平
• 是时间序列中每一项具体的指标数值。说明
现象在某一时间上所达到的水平。可是绝对数、 相对数、平均数。
• 假如时间序列为： a 0
a1
a 2 an 1 an
• a 0 叫最初水平， an 叫最末水平。 • 还有中间各项水平、基期水平和报告期水平
ai a0 ai Gi 1 a0 a0
(i 1,2,, n)
32
发展速度与增长速度的计算
第三产业国内生产总值速度计算表
年 份
国内生产总值(亿元)
2004
14930.0 — — — —
2005
17947.2
2006
20427.5
2007
24033.3
2008
26104. 3
发展速度 (%) 增长速度 (%)
18
日期 人数
•
12.31 1000
1.31 1050
3.31 1070
6.30 1100
• 求前半年的平均人数 。 1月份平均人数= (1000 1050) 2、3月份平均人数= (1050 1070)
2
2
1025
1060
4、5、6月份平均人数= (1070 1100)
时间序列分析 第8章 时间序列的深度学习预测
• 感知机则是由两层神经元组成，输入层（input layer）接收外界信号后传递给输出层（output layer）。
2022年9月4日
4
神经元
2022年9月4日
9
2022年9月4日
10
2022年9月4日
11
卷积神经网络预测
2022年9月4日
12
卷积神经网络
• 卷积神经网络（convolutional neural network，简称 CNN或ConvNet）采用卷积（convolution）运算，来 改善神经网络中待估参数多、数据之间空间信息丢失 等问题。
• 循环神经网络中的三个基本的循环网络：简单循 环单元网络、长短期记忆网络和门控循环单元网 络。
2022年9月4日
18
简单循环单元网络
输出层
ht
ht
隐藏层
延迟器
Xt
输入层
ht-1
图：简单循环单元
2022年9月4日
19
长短期记忆网络
2022年9月4日
20
长短期记忆网络
2022年9月4日
21
长短期记忆网络
• 卷积神经网络具有两个特有的网络层级：卷积层和汇 聚层。
-1 2 1 1 1
-1 -1 -1 -1 -1 00000 11111
1 1 2 -1 1 -2 1
卷积结果 信号序列
图：一维时间序列的卷积
11111
×-1 ×0 ×0
-1 0 -3 0 1
×0 ×0 ×0
第8章时间序列分析
第8章时间序列分析
第8章时间序列分析
第8章时间序列分析
第8章时间序列分析
第8章时间序列分析
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第8章时间序列分析
第8章时间序列分析
第8章时间序列分析
第8章时间序列分析
3rew
演讲完毕，谢谢听讲!
再见，see you again
2020/11/27
第8章时间序列分析
第8章时间序列分析
第时间序列分析
第8章时间序列分析
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2020/11/27
第8章时间序列分析
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第8章时间序列分析
统计学第8章 时间序列分析
a n 1
a0
（二）增长速度（增减速度）
增长速度=
增减量 基期水平
报告期水平 基期水平 基期水平
报告期水平 基期水平 1
发展速度1
环比增长速度= an an1 an 1
an1
an1
=环比发展速度 - 100%
定基增长速度= an a0 an 1
a0
a0
=定基发展速度 - 100%
例题：
时间序列的构成要素与模型
（构成要素与测定方法）
时间序列的构成要素
长期趋势
季节变动
循环波动 不规则波动
线性趋势 非线性趋势
按月(季)平均法
移动平均法
二次曲线 指数曲线
趋势剔出法
半数平均法
修正指数曲线
最小平方法
Gompertz曲线 Logistic曲线
剩余法
线性趋势
一、移动平均法
(Moving Average Method)
移动平均法(趋势图)
200
汽 150
车
产 100
量
（万辆）50
产量 五项移动平均趋势值 五项移动中位数
0
1981
1985
1989
1993
1997
（年份）
图11-1 汽车产量移动平均趋势图
移动平均法特点
1、对原数列有修匀作用，移动项数越大，修匀 作用越强。
2、移动平均时，项数为奇数时，只需一次移动 平均，其平均值作为移动平均项中间一期； 当为偶数时，需再进行一次相邻两平均值的 移动平均。
年份
销售额 逐 期 增 减 量 环比发展速度 定基增长速
（万元） （万元）
（%）
度（%）
第八章时间序列
第1页，共61页。
华南理工大学精品课程
第八章 时间序列与指数
Q1 时间序列的成分
Q2 利用平滑法进行预测
Q3 利用趋势推测法进行预测 Q4 利用趋势和季节成分进行预测
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第八章 时间序列与指数
学习目标1：时间序列的几种类型 学习目标2：时间序列的预测分析法
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不稳定，随时间 呈现持续增加 或减少的形态
趋势推测法可行
平滑法不合适
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8.3 利用趋势推测法进行预测
[例题8.1] 考虑一某超市过去10年的自行车销售量时间序
列，资料见表8-1。注意，第1年销售了21600辆，第 2年销售了22900辆，…，第10年（即最近一年）销 售了31400辆。尽管图8-1显示在过去10年中销售量 有上、下波动，但时间序列总的趋势是增长的或 向上的。
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8.2.3 指数平滑法
指数平滑法模型：
F t 1 Y t ( 1 ) F t
（ 8 - 2 ）
式中Ft+1——t+1期时间序列的预测值； Yt——t期时间序列的实际值；
Ft——t期时间序列的预测值；
α——平滑常数（0≤α≤1）。
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8.2.3 指数平滑法
82利用平滑法进行预测821移动平均法822加权移动平均法823指数平滑法823指数平滑法823指数平滑法823指数平滑法823指数平滑法83利用趋势推测法进行预测83利用趋势推测法进行预测83利用趋势推测法进行预测表81自行车销售数量的时间序列83利用趋势推测法进行预测83利用趋势推测法进行预测83利用趋势推测法进行预测83利用趋势推测法进行预测83利用趋势推测法进行预测83利用趋势推测法进行预测84利用趋势和季节成分进行预测84利用趋势和季节成分进行预测84利用趋势和季节成分进行预测841乘法模型841乘法模型841乘法模型841乘法模型842季节指数的计算842季节指数的计算842季节指数的计算842季节指数的计算842季节指数的计算842季节指数的计算843消除时间序列的季节影响843消除时间序列的季节影响844利用消除季节影响的时间序列确定趋势844利用消除季节影响的时间序列确定趋势844利用消除季节影响的时间序列确定趋势845季节调整846基于月度资料的模型846基于月度资料的模型847循环成分847循环成分案例分析14中国社会消费品零售总额分析改革开放以来随着中国社会经济的快速发展城乡居民和社会集团的消费水平不断提高而且由于社会主义市场经济体制的建立国内消费需求对经济增长所发挥的作用也更趋明显
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S1
150.5 .
11 5 计算结果表明， N 4 时，预测的标准误差较小，所以
选取 N 4。预测第 12 月份的销售收入为 993.6。
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182.4 .
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数学 建模
移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标 的发展趋势变化不大的情况。如果目标的发展趋势存 在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的 预测偏差和滞后。
(2) T
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例 8.1 某企业 1 月～11 月份的销售收入时间序列如 表 8.1 示。试用一次简单移动平均法预测第 12 月份的 销售收入。
表 8.1 企业销售收入
月份 t
1
2
3
4
5 705.1 11
6 772.0
销售收 533.8 574.6 606.9 649.8 入 yt 7 8 9 10 月份 t
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51 50.2 51.64 47.93 50.39 49.28 48.26 50.45 42.09 46.82 50.96 50.99
ˆ t 1 M y
(1) t
1 ( yt yt N 1 ) ， N
（8.3）
其中 t N , N 1,,T 。
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其预测标准误差为
S
t N 1
T
ˆ t yt ) 2 (y
.
TN
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数学建模算法与应用
第8章 时间序列
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8.1 确定性时间序列分析方法 时间序列预测技术就是通过对预测目标自身时间 序列的处理，来研究其变化趋势的。一个时间序列往 往是以下几类变化形式的叠加或耦合。
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（1）长期趋势变动。它是指时间序列朝着一定的 方向持续上升或下降，或停留在某一水平上的倾向， 它反映了客观事物的主要变化趋势。
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数学 建模
为进一步理解指数平滑的实质，把式（8.4）依次 展开，有 (1) (1) S t yt (1 )[ yt 1 (1 ) S t 2 ] ， （8.5） j (1 ) yt j
j0
（8.5）式表明 S t(1) 是全部历史数据的加权平均，加权 系数分别为 , (1 ), (1 )2 ,，显然有
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一般说来历史数据对未来值的影响是随时间间隔 的增长而递减的。所以，更切合实际的方法应是对各 期观测值依时间顺序进行加权平均作为预测值。指数 平滑法可满足这一要求，而且具有简单的递推形式。 指数平滑法根据平滑次数的不同，又分为一次指 数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等，分 别介绍如下。
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例 8.2
某市 1976～1987 年某种电器销售额如表
8.2 所示。试预测 1988 年该电器销售额。
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解 采用指数平滑法，并分别取 0.2,0.5和 0.8 进行计算，初始值 y1 y2 (1) S0 51， 2 即 (1) ˆ 1 S0 y 51. 按预测模型 ˆ t 1 yt (1 ) y ˆt y 计算各期预测值，列于表 8.2 中。
预测值
0.2
ˆ y
t
预测值
0.5
ˆ y
t
预测值
0.8
ˆ y
t
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51 50.8 51.04 50.23 50.39 50.11 49.69 49.95 47.96 47.97 48.77 49.22
51 50.5 51.25 49.13 50.06 49.53 48.77 49.88 44.94 46.47 49.24 50.12
最近 N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结 果。一般 N 取值范围： 5 N 200 。当历史序列的基 本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时， N 的 取值应较大一些。否则 N 的取值应小一些。在有确定 的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期 长度。选择最佳 N 值的一个有效方法是，比较若干模 型的预测误差，预测标准误差最小者为好。
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当预测目标的基本趋势与某一线性模型相吻合 时，常用二次移动平均法，但序列同时存在线性趋势 与周期波动时，可用趋势移动平均法建立预测模型
ˆ T m aT bT m ， m 1,2,， y
其中 aT 2 M
(1) T
2 (1) (2) ( M T M T )。 M ， bT N 1
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8.1.2
指数平滑法
一次移动平均实际上认为最近 N 期数据对未来值 影响相同，都加权1 / N ，而 N 期以前的数据对未来值 没有影响，加权为 0。但是，二次及更高次移动平均 的权数却不是1 / N ， 且次数越高， 权数的结构越复杂， 但永远保持对称的权数，即两端项权数小，中间项权 数大，不符合一般系统的动态性。
（2）季节变动。
（3）循环变动。通常是指周期为一年以上，由非 季节因素引起的涨落起伏波形相似的波动。
（4） 不规则变动。 通常它分为突然变动和随机变动。
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通常用 Tt 表示长期趋势项， S t 表示季节变动趋势 项， C t 表示循环变动趋势项， Rt 表示随机干扰项。常 见的确定性时间序列模型有以下几种类型。
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数学 表 建模
8.2 某种电器销售额及指数平滑预测值计算表 （单位： 万元）
y
t
年份 t 实际销售额 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 50 52 47 51 49 48 51 40 48 52 51 59
值愈大，修正幅度愈大； 值愈小，修正幅度也愈小。
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ˆ t 1 y ˆ t ，即下期预测值就等于 若选取 0 ，则 y
本期预测值，在预测过程中不考虑任何新信息；若选
ˆ t 1 yt ， 取 1， 则y 即下期预测值就等于本期观测值，
销售收 816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7 入 yt
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解
分别取 N 4, N 5的预测公式 y t y t 1 y t 2 y t 3 (1) ˆ t 1 y ， t 4,5,,11， 4 y t y t 1 y t 2 y t 3 y t 4 (2) ˆ t 1 y ， t 5,,11. 5
Var( Rt ) 2 。
如果在预测时间范围以内，无突然变动且随机变 动的方差 2 较小，并且有理由认为过去和现在的演变 趋势将继续发展到未来时，可用一些经验方法进行预 测，具体方法如下。
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8.1.1 移动平均法 设观测序列为 y1 ,, yT ， 取移动平均的项数 N T 。 一次移动平均值计算公式为 1 (1) M t ( y t y t 1 y t N 1 ) N 1 1 ( yt 1 yt N ) ( yt yt N ) （8.1） N N 1 (1) M t 1 ( yt yt N ). N
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2）加权系数的选择 在进行指数平滑时，加权系数的选择是很重要的。 由式（8.6）可以看出， 的大小规定了在新预测值中新 数据和原预测值所占的比重。 值越大，新数据所占的 比重就愈大，原预测值所占的比重就愈小，反之亦然。 若把式（8.6）改写为 ˆ t 1 y ˆ t ( yt y ˆ t )， y （8.7） 则从式（8.7）可看出，新预测值是根据预测误差对原预 测值进行修正而得到的。 的大小则体现了修正的幅度，
（1）加法模型
yt Tt St Ct Rt
（2）乘法模型
yt Tt St Ct Rt
（3）混合模型
yt Tt St Rt ， yt St Tt Ct Rt
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其中 yt 是观测目标的观测记录，均值 E ( Rt ) 建模
(1) ˆ 12 当 N 4时，预测值 y 993.6，预测的标准误差
(1) 2 ˆ ( yt yt ) t 5 11
11 4 ( 2) ˆ 12 958.2 ，预测的标准误差 当 N 5时，预测值 y S2
(2) 2 ˆ ( y y ) t t t 6 11
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以 M t(1) 1作为 yt N 的最佳估计，则有 (1) y M yt 1 (1) (1) (1) t t 1 M t M t 1 1 M t 1 ， N N N 1 令 ，以 S t 代替 M t(1) ，即得式（8.4） N St(1) yt (1 ) St(1) 1 .
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二次移动平均值计算公式为