非平稳时间序列

判断 的估计值 ˆ 是接受原假设或者接受备选假设，进而
下判断高阶自相关序列是否存在单位根。
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但是，在进行ADF检验时，必须注意以下两个实际 问题： （ 1 ）必须为回归定义合理的滞后阶数，通常采用 AIC准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数。在实际 应用中，还需要兼顾其他的因素，如系统的稳定性、模
预测未来的信息。
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然而，对于一个非平稳时间序列而言，时间序列的
某些数字特征是随着时间的Hale Waihona Puke Baidu化而变化的。
非平稳时间序列在各个时间点上的随机规律是不同 的，难以通过序列已知的信息去掌握时间序列整体上的 随机性。但在实践中遇到的经济和金融数据大多是非平 稳的时间序列。
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图5.9 中国1978年～2006年的生产法GDP序列
§5. 3 非平稳时间序列建模
前述的AR(p)、MA(q) 和ARMA(p,q) 三个模型只适 用于刻画一个平稳序列的自相关性。一个平稳序列的数 字特征，如均值、方差和协方差等是不随时间的变化而 变化的，时间序列在各个时间点上的随机性服从一定的 概率分布。也就是说，对于一个平稳的时间序列可以通 过过去时间点上的信息，建立模型拟合过去信息，进而
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§ 5. 3.1 非平稳序列和单整
1.确定性时间趋势
描述类似图5.9形式的非平稳经济时间序列有两种方
法，一种方法是包含一个确定性时间趋势
yt a t ut
(5.3.1)
其中 ut 是平稳序列；a + t 是线性趋势函数。这种过程
也称为趋势平稳的，因为如果从式(5.3.1)中减去 a + t，
其中： = -1。
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其中： = -1，所以原假设和备选假设可以改写为
显著性检验的方法，构造检验 ˆ 显著性的 t 统计量。
可以通过最小二乘法得到 的估计值 ˆ，并对其进行
H 0 : 0 H1 : 0
但是，Dickey-Fuller研究了这个t 统计量在原假设下 已经不再服从 t 分布，它依赖于回归的形式(是否引进了 常数项和趋势项) 和样本长度T 。
来信息的。
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残差序列是一个非平稳序列的回归被称为伪回归，
这样的一种回归有可能拟合优度、显著性水平等指标都
很好，但是由于残差序列是一个非平稳序列，说明了这 种回归关系不能够真实的反映因变量和解释变量之间存 在的均衡关系，而仅仅是一种数字上的巧合而已。伪回 归的出现说明模型的设定出现了问题，有可能需要增加 解释变量或者减少解释变量，抑或是把原方程进行差分， 以使残差序列达到平稳。 一个可行的办法是先把一个非平稳时间序列通过某
如果序列存在高阶滞后相关，这就违背了扰动项是独立同 分布的假设。在这种情况下，可以使用增广的 DF 检验方 法（augmented Dickey-Fuller test ）来检验含有高阶序列 相关的序列的单位根。
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2. ADF检验
考虑 yt 存在p阶序列相关，用p阶自回归过程来修正，
yt a 1 yt 1 2 yt 2 p yt p ut
yt a yt 1 ut
也可写成
(5.3.3)
yt (1 L) yt a ut
(5.3.4)
其中 a 是常数，ut 是平稳序列，若ut ～ i.i.d. N (0, 2) ，且
ut 是一个白噪声序列。若令a = 0， y0=0，则由式(5.3.2)生成
的序列 yt，有var(yt) = t 2（t = 1, 2, , T），显然违背了时 间序列平稳性的假设。而式(5.3.3)的差分序列是含位移 a 的
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因此，判断一个序列是否平稳，可以通过检验 是
否严格小于1来实现。也就是说： 原假设H0： =1，备选假设H1： < 1 从方程两边同时减去 yt-1 得，
yt yt 1 ut
(5.3.8) (5.3.9) (5.3.10)
yt yt 1 a ut
yt yt 1 a t ut
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利用方程(5.3.14)的估计参数定义退势后的序列ytd为
ˆ(a ) ytd yt xt
DFGLS检验。检验过程如下：
t = 1, 2, , T
然后，对退势后的序列ytd，应用ADF检验，即为
ytd ytd1 i ytdi ut
i 1
p 1
t = 1, 2, , T
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首先定义序列 yt 的拟差分序列如下：
yt d ( y t | a) yt ayt 1
并且构造如下回归方程：
if t 1 if t 1
t = 1, 2, , T
d ( yt | a) d ( xt | a) δ(a) ut
t = 1, 2, , T (5.3.14)
在上式两端减去 yt-1，通过添项和减项的方法，可得
Δ yt a yt 1 i Δ yt i ut
i 1
p 1
其中
i 1
i 1
p
i j
j i 1
p
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ADF检验方法通过在回归方程右边加入因变量 yt 的滞 后差分项来控制高阶序列相关
同样可以除去这种确定性趋势，然后分析和预测去势 后的时间序列。对于中长期预测而言，能准确地给出确定 性时间趋势的形式很重要。如果 yt 能够通过去势方法排除 确定性趋势，转化为平稳序列，称为退势平稳过程。
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2. 差分平稳过程 非平稳序列中有一类序列可以通过差分运算，得到具 有平稳性的序列，考虑下式
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1. DF检验 为说明DF检验的使用，先考虑3种形式的回归模型
yt yt 1 ut
yt yt 1 a ut
(5.3.5) (5.3.6) (5.3.7)
yt yt 1 a t ut
其中 a 是常数， t 是线性趋势函数，ut ～ i.i.d. N (0, 2) 。
KPSS 检验、 ERS 检验和 NP 检验，本节将介绍 DF 检验、
ADF检验。 ADF检验和 PP检验方法出现的比较早，在实际应用
中较为常见，但是，由于这2种方法均需要对被检验序列
作可能包含常数项和趋势变量项的假设，因此，应用起 来带有一定的不便；其它几种方法克服了前 2种方法带来 的不便，在剔除原序列趋势的基础上，构造统计量检验 序列是否存在单位根，应用起来较为方便。
H 0 : 0 H1 : 0
(5.3.14)
原假设为：至少存在一个单位根；备选假设为：序列 不存在单位根。序列 yt可能还包含常数项和时间趋势项。 判断一个高阶自相关序列AR(p) 过程是否存在单位根。 类似于DF检验，Mackinnon通过模拟也得出在不同回 归模型及不同样本容量下检验 ˆ 不同显著性水平的 t 统计 量的临界值。这使我们能够很方便的在设定的显著性水平
原假设和备选假设同ADF检验一致，为
H 0 : 0 H1 : 0 Elliott，Rothenberg和Stock (1996)给出了不同置信水
yt yt 1 i yt i ut
i 1
p
(5.3.11)
yt yt 1 a i yt i ut
i 1
p
(5.3.12)
yt yt 1 a t i yt i ut
i 1
p
(5.3.13)
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扩展定义将检验
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(1) 如果 -1< <1，则 yt 平稳（或趋势平稳）。 (2) 如果 =1，yt 序列是非平稳序列。(5.3.4)式可写成：
显然 yt 的差分序列是平稳的。 是非平稳的。
yt yt 1 yt ut
(3) 如果 的绝对值大于1，序列发散，且其差分序列
yt ( 1) yt ut
随机游走，说明 yt 的差分序列yt是平稳序列。
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实际上，在5.1节中讨论的回归方程的序列自相
关问题暗含着残差序列是一个平稳序列。这是因为，
如果残差序列是一个非平稳序列，则说明因变量除 了能被解释变量解释的部分以外，其余的部分变化 仍然不规则，随着时间的变化有越来越大的偏离因 变量均值的趋势，这样的模型是不能够用来预测未
单整 I(2) ；以不变价格表示的消费额、收入等流量数
据经常表现为1阶单整I(1) ；而像利率、收益率等变化 率的数据则经常表现为0阶单整I(0) 。
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§5.3.2
非平稳序列的单位根检验
检查序列平稳性的标准方法是单位根检验。有6种单 位 根 检 验 方 法 ： ADF 检 验 、 DFGLS 检 验 、 PP 检 验 、
为 d 阶单整序列，记为 yt ～ I(d)。特别地，如果序列 yt 本身是平稳的，则为零阶单整序列，记为 yt ～ I(0)。
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单整阶数是使序列平稳而差分的次数。对于上面 的随机游走过程，有一个单位根，所以是I(1)，同样， 平稳序列是I(0)。一般而言，表示存量的数据，如以不 变价格资产总值、储蓄余额等存量数据经常表现为 2阶
型的拟合优度等。
（ 2 ）可以选择常数和线性时间趋势，选择哪种形 式很重要，因为检验显著性水平的 t 统计量在原假设下 的渐近分布依赖于关于这些项的定义。
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① 若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择 含有常数，意味着所检验的序列的均值不为 0；若原序列 中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数，意味着所 检验的序列具有线性趋势，一个简单易行的办法是画出检 验序列的曲线图，通过图形观察原序列是否在一个偏离 0 的位置随机变动或具有一个线性趋势，进而决定是否在检 验时添加常数项。 ② 若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择 含有常数和趋势，意味着所检验的序列具有线性趋势；若 原序列中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数和趋 势，意味着所检验的序列具有二次趋势。同样，决定是否 在检验中添加时间趋势项，也可以通过画出原序列的曲线 图来观察。如果图形中大致显示了被检验序列的波动趋势 呈非线性变化，那么便可以添加时间趋势项。
其中xt =(1) 表示 yt 中只含有截距项，或 xt = (1,t)表示 yt 中含有
截距项和趋势项。令表示方程(5.3.14)参数的最小二乘估计量， 在实际计算中通常如下定义参数 a：
1 7 / T a 1 13.5 / T
if x t {1} if x t {1, t}
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3. DFGLS检验
在经验研究中，尽管DF检验的DF 统计量是应用最广泛
的单位根检验，但是它的检验功效偏低，尤其是在小样本
条件下，数据的生成过程为高度自相关时，检验的功效非 常不理想。另外，DF检验和ADF检验对于含有时间趋势的 退势平稳序列的检验是失效的。因此，为了改进DF和ADF 检验的效能，Elliott，Rothenberg和Stock (1996) 基于GLS 方法的退势DF检验，简称为DFGLS检验，其基本原理如下：
种变换化成一个平稳序列，根据5.2节中的方法建模，并
利用变量之间的相关信息，描述经济时间序列的变化规 律。
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3.单整 像前述 yt 这种非平稳序列，可以通过差分运算，得 到平稳性的序列称为单整(integration)序列。定义如下： 定义：如果序列 yt ，通过 d 次差分成为一个平稳序
列，而这个序列差分 d – 1 次时却不平稳，那么称序列 yt
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Mackinnon进行了大规模的模拟，给出了不同回归模
型、不同样本数以及不同显著性水平下的临界值。这样， 就可以根据需要，选择适当的显著性水平，通过 t 统计量 来决定能否拒绝原假设。这一检验被称为 Dickey-Fuller检 验(DF检验)。
上面描述的单位根检验只有当序列为AR(1)时才有效。
结果是一个平稳过程。注意到像图5.9一类的经济时间序 列常呈指数趋势增长，但是指数趋势取对数就可以转换
为线性趋势。
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一般时间序列可能存在一个非线性函数形式的确定性
时间趋势，例如可能存在多项式趋势：
yt a 1 t 2 t n t ut
2 n
(5.3.2)
t = 1, 2, , T