【人教版】数学(理)一轮复习：第5章《数列》(第4节)ppt课件

• 3．错位相减法 • 如果一个数列的各项是由一个等差数列 和一个等比数列的对应项之积构成的，那 么这个数列的前n项和即可用此法来求，等 比数列的前n项和就是用此法推导的． • 4．裂项相消法 • 把数列的通项拆成两项之差，在求和时 中间的一些项可以相互抵消，从而求得其 和．
[基础自测自评] 1．设数列{(－1)n}的前 n 项和为 Sn，则对任意正整数 n，Sn＝ ( n[（－1）n－1] A. 2 （－1）n＋1 C. 2 （－1）n－1＋1 B. 2 （－1）n－1 D. 2 )
D [因为数列{(－1)n}是首项与公比均为－1 的等比数列，所 －1－（－1）n×（－1） （－1）n－1 以 Sn＝ ＝ .] 2 1－（－1）
2．(教材习题改编)等差数列{an}的通项公式为 an＝2n＋1，其前 n 项的和为
Sn 的前 Sn，则数列 n
10 项的和为 ( )
15 5 n＋1 ＝－ ＋2－n · 3 . 2
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• [规律方法] 用错位相减法求和应注意： (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列 公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别 注意将两式“错项对齐”以便下一步准确 写出“Sn－qSn”的表达式． (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列 的公比为参数，应分公比等于1和不等于1 两种情况求解．
C [a1＋„＋ak＋„＋a10＝240－(2＋„＋2k＋„＋20)＝ （2＋20）×10 240－ ＝240－110＝130.] 2
4．若数列{an}的通项公式为 an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前 n 项和为________． 2（1－2n） n（1＋2n－1） n＋1 解析 Sn＝ ＋ ＝2 －2＋n2. 2 1－2 答案 2n＋1＋n2－2
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Hale Waihona Puke • [关键要点点拨] 数列求和的方法 (1)一般的数列求和，应从通项入手，若无 通项，先求通项，然后通过对通项变形， 转化为与特殊数列有关或具备某种方法适 用特点的形式，从而选择合适的方法求 和． (2)解决非等差、等比数列的求和，主要有 两种思路： ①转化的思想，即将一般数列设法转化为 等差或等比数列，这一思想方法往往通过 通项分解或错位相减来完成．
②
由①－②得
1 1 1 2 1 2 13 n Tn＝5×3 ＋43 ＋3 ＋„＋ 3 － 3 1n＋1 (4n＋1)× 3 1n 1n＋1 1 11 12 13 ＝ ＋43 ＋3 ＋3 ＋„＋3 －(4n＋1)× 3 3
1 1 ·1－3n 1n＋1 3 1 ＝ ＋4· －(4n＋1)× 3 3 1 1－ 3
1 1 1 n＋1 ＝ ＋21－3n－(4n＋1)× . 3 3 1n ∴2Tn＝7－(4n＋7)× 3 ， 1n 7 7 1 ∴Tn＝ － (4n＋7)× 3 ＜2. 2 2
[规律方法] 分组转化法求和的常见类型 (1)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求 和法求{an}的前 n 项和． (2)通项公式为
bn，n为奇数， an＝ 的数列，其中数列{bn}，{cn}是 cn，n为偶数
等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
• [跟踪训练] • 1．已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝ 2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4， x5成等差数列．求： • (1)p，q的值； • (2)数列{xn}前n项和Sn的公式．
解析
(1)由 x1＝3，得 2p＋q＝3，
又因为 x4＝24p＋4q， x5＝25p＋5q，且 x1＋x5＝2x4， 得 3＋25p＋5q＝25p＋8q， 解得 p＝1，q＝1. (2)由(1)，知 xn＝2n＋n， 所以 Sn＝(2＋2 ＋„＋2 )＋(1＋2＋„＋n)＝2
• 二、非等差、等比数列求和的常用方法 • 1．倒序相加法 • 如果一个数列{an}，首末两端等“距离” 的两项的和相等或等于同一常数，那么求 这个数列的前n项和即可用倒序相加法， 等差数列的前n项和即是用此法推导的． • 2．分组转化求和法 • 若一个数列的通项公式是由若干个等差 数列或等比数列或可求和的数列组成，则 求和时可用分组转化法，分别求和而后相 加减．
2 n n ＋1
n（n＋1） －2＋ . 2
错位相减法求和
[典题导入] (理)(2013· 东北三省四市联考)数列{an}的前 n 项和为 Sn， 3 1 3 且 Sn＝ (an－1)，数列{bn}满足 bn＝ bn－1－ (n≥2)，且 b1＝3. 2 4 4 (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)设数列{cn}满足 cn＝an·log2(bn＋1)，其前 n 项和为 Tn，求 Tn.
15 5 n＋1 ＝－ ＋2－n · 3 . 2
(文)(2014· 东北三省四市联考)数列{an}的前 n 项和为 Sn， 3 1 且 Sn＝ (an－1)，数列{bn}满足 bn＋1＝ bn，且 b1＝4. 2 4 (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)设数列{cn}满足 cn＝am·log2bn，其前 n 项和为 Tn，求 Tn.
[听课记录]
3 (1)对于数列{an}有 Sn＝ (an－1)， ① 2
3 Sn－1＝ (an－1－1)(n≥2)， ② 2 3 由①－②得 an＝ (an－an－1)，即 an＝3an－1， 2 3 n＝1 时，S1＝ (a1－1)得 a1＝3， 2 则 an＝a1· qn－1＝3· 3n－1＝3n.
(2)由(1)得
n－1 ，n为奇数， 2 bn＝ 2n－3，n为偶数，
∴T2n＝1＋2× 2－3＋22＋2× 4－3＋24＋…＋22n－2＋2× 2n－3 ＝1＋22＋24＋…＋22n－2＋4(1＋2＋…＋n)－3n 1－4n n（n＋1） 4n 1 ＝ ＋4· －3n＝ － ＋2n2－n. 2 3 3 1－4
(2)由(1)可知 cn＝an·log2(bn＋1)＝3n·log242－n ＝3n·log224－2n＝3n(4－2n)． Tn＝2· 31＋0· 32＋(－2)· 33＋„＋(4－2n)· 3n，③ 3Tn＝2· 32＋0· 33＋„＋(6－2n)· 3n＋(4－2n)· 3n＋1， ④
由③－④得 －2Tn＝2· 3＋(－2)· 32＋(－2)· 33＋„＋(－2)· 3n－(4－2n)· 3n＋1 ＝6＋(－2)(32＋33＋„＋3n)－(4－2n)· 3n＋1. 9（1－3n－1） 则 Tn＝－3＋ ＋(2－n)· 3n＋1 1－3
1 3 对于数列{bn}有 bn＝ bn－1－ (n≥2)， 4 4 bn＋1 1 1 1 可得 bn＋1＝ bn－1＋ ，即 ＝ . 4 4 bn－1＋1 4
1 1 n－1 n－1 2 －n bn＋1＝(b1＋1)4 ＝4 ＝ 4 ， 4
即 bn＝42－n－1.
• 第四节
数列求和
• [主干知识梳理] • 一、公式法 • 1．如果一个数列是等差数列或等比数列， 则求和时直接利用等差、等比数列的前n 项和公式，注意等比数列公比q的取值情 况要分q＝1或q≠1.
2．一些常见数列的前 n 项和公式： n（n＋1） (1)1＋2＋3＋4＋„＋n＝ ； 2 (2)1＋3＋5＋7＋„＋2n－1＝ n2 (3)2＋4＋6＋8＋„＋2n＝ n2＋n ； ．
分组转化法求和
[典题导入] (2014· 潍坊模拟)已知数列{an}是各项均不为 0 的等差数 1 2 列，Sn 为其前 n 项和，且满足 S2n－1＝ an，n∈N*. 2 (1)求 an；
n－1 2 ，n为奇数， (2)数列{bn}满足 bn＝1 Tn 为数列{bn}的前 n 项和， a － ，n为偶数， 2 n 1
[跟踪训练] 2．(理)(2014· 合肥一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 2Sn＋3 ＝3an(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； 4n＋1 7 (2)设 bn＝ ，Tn＝b1＋b2＋„＋bn，求证：Tn＜ (n∈N*) an 2
解析：(1)当 n＝1 时，2S1＋3＝3a1⇒a1＝3；
[听课记录]
3 (1)对于数列{an}有 Sn＝ (an－1)， ① 2
3 Sn－1＝ (an－1－1)(n≥2)， ② 2 3 由①－②得 an＝ (an－an－1)，即 an＝3an－1， 2 3 n＝1 时，S1＝ (a1－1)得 a1＝3， 2 则 an＝a1· qn－1＝3· 3n－1＝3n. 1 对于数列{bn}有 bn＋1＝ bn， 4 可得
A．120 C．75
B．70 D．100
n（a1＋an） C [∵Sn＝ ＝n(n＋2)， 2 Sn S1 S2 S10 ∴ ＝n＋2.故 ＋ ＋„＋ ＝75.] n 1 2 10
3． 数列 a1＋2， „， ak＋2k， „， a10＋20 共有十项， 且其和为 240， 则 a1＋„＋ak＋„＋a10 的值为 ( A．31 C．130 B．120 D．185 )
当 n≥2 时，2Sn＋3＝3an，2Sn－1＋3＝3an－1，
∴当 n≥2 时，2Sn－2Sn－1＝3an－3an－1⇒an＝3an－1.
∴数列{an}是以 3 为首项，公比为 3 的等比数列， ∴数列{an}的通项公式为 an＝3n.
1 4n＋1 n (2)证明：由(1)得 bn＝ ＝(4n＋1) 3 ， an
1n－1 2－n bn＝4× ＝ 4 . 4
(2)由(1)可知 cn＝an·log2bn＝3n·log242－n ＝3n·log224－2n＝3n(4－2n)． Tn＝2· 31＋0· 32＋(－2)· 33＋„＋(4－2n)· 3n， 3Tn＝2· 32＋0· 33＋„＋(6－2n)· 3n＋(4－2n)· 3n＋1， －2Tn＝2· 3＋(－2)· 32＋(－2)· 33＋„＋(－2)· 3n－(4－2n)· 3 n ＋1 ＝6＋(－2)(32＋33＋„＋3n)－(4－2n)· 3n＋1， 9（1－3n－1） 则 Tn＝－3＋ ＋(2－n)· 3n＋1 1－3