寿险精算原理课件(非数学专业选修课)

p


p
如果 m p ，则有：
1 i
m
m
d 1 m
m

1
从而有：
i
m
m
d
m
m
i
m
m
d
m
m
注：如果没有特殊说明以后， m 表示每 i 年计息 m 次的年名义利率，d 表示每 年计息 m 次的年名义贴现率。 例1、 ⑴求与实际利率8%等价的每年计 息2次的年名义利率以及每年计息4次的年 名义贴现率。 例2、求1万元按 每年计息4次的年名义利 率6%投资3年的积累值。 例3、以每年计息2次的年名义贴现率 10%，在6年后支付5万元，求其现值。

2、本金：每项业务开始时投资的金额。 3、积累值：业务开始一定时间后回收到 的总金额，即业务开始一定时间后本金和 利息之和。

4、度量期：用来度量投资时间的单位。 如日、周、月、季、半年、一年等。 5、积累函数：一单位的本金在 t 时刻的 积累值，记为 a t 。很显然 a 0 1 。 积累函数 a t 也可称为 t 期积累因子。
1.2 名义利率与名义贴现率
1、实际中有很多，在一个度量期中利息支 付不止一次或多个度量期才支付一次的情 形，称相应的一个度量期的利率和贴现率 为 “名义”的。 2、名义利率： m 用i 表示每一个度量期付 m次利息的名 1 m 义利率。名义利率 i ，是指每 m 个度 1 量期支付利息一次，而在每 m 个度量期的 i 实际利率为 。
n 1
1 i a
1 i n
n

1 i
n 1
i
1 i
1
※显然 I n 是关于 n 单调递增。 ③第 n 期的实际利率为：
in a
n
a
a
n
n 1 1
a
In
n
1
i

例2、某银行以单利计息，年息为2%，某 人存入5000元，问5年后的积累值是多少？
绪言：精算工作的内容
第一节、精算的概念 第二节、预测未来 第三节、未来风险的货币表达 第四节、长期的风险与不确定性

第一节、精算的概念

概念：通常是很难确定，一般的说法是， 精算是利用数学、经济学、数理统计、人 寿险、非人寿险、人口学、养老基金、投 资等理论，对金融、投资等行业中的风险 问题提出数量化意见，使未来价值的可能 性数量化。

第二节、预测未来

精算师常常必须对将来要发生的事件作出估 计（预测）。例如：估计一笔养老金作为特 殊的资产在未来10年中的利率；估计每10万 套同一类型的房屋在下一年将被火灾毁坏的 房屋数；估计已经参加了人身保险的人中有 多少将在未来10年中死亡；估计未来10年的 通货膨胀率进而估计一个具体的正在应运的 公司在支出方面将要受到的影响，等等。

6、总量函数：k 单位的本金在 t 时刻的 积累值，记为 A t 。 t 7、折现因子：积累函数 a t 的倒数 a 称为 t 期折现因子或折现函数。特别地， 把一个度量期的折现因子 a 1 简称为 折现因子，并记为 v 。 8、现值：为了在 t 期期末得到某个积 累值 ，而在开始时投入的本金金额称为 该积累值的现值。
n 1,
n为 常 数

例1、某人到银行存入1000元，第1年年末 的存款余额为1020元，第2年年末的存款 余额为1050元，问第1年，第2年的实际贴 现率分别是多少？

实际利率、实际贴现率和折现因子之间的 关系 ①复利假设下，如果实际利率是常数 i ， 那么实际贴现率也是常数。 这是因为，如果实际利率为 i ，则有
n为 常 数

例1、某人到银行存入1000元，第1年年末 的存款余额为1020元，第2年年末的存款 余额为1050元，问第1年，第2年的实际利 率分别是多少？
1.1.2

单利和复利
一、单利 1、概念：假定投资一个单位本金，在每个单 位时间所得的利息是相等的，而利息并不 用与再投资，按这种形式增长的利息称为 单利。单利形式下只有本金处于投资状态。 2、考虑投资一单位本金，若每期单利 i 计 息，则： ①投资期的每个度量期产生的利息均为常 数i 。
第三节、未来风险的货币表达
在实践中，一些风险是经济方面的，或者说 是可以用货币衡量的。 精算师讨论的风险通常限于财务方面的风险。 精算师不仅能量化风险，还能设计方法经营 或控制风险。如，精算师可以做到： ⑴向寿险公司建议应该采用的保费水平，以确 保身体状况良好的人和身体状况不好的人都 能支付合适的寿险保费。
例1、如果 t 0 .0 1t , 0 t 2 ，确定投资 1000元在第1年年末的积累值和第2年内的 利息金额。 3、理论上，利息强度可以随时变化。但是， 实际上它经常保持为常数或者在各个度量 期上保持为常数。 ①如果各个度量期上保持为常数时： 假设 n为从投资日起的第 n 个时期 上的常数利息强度，即
A
t
A
0
e
0 r d r
t
②积累函数利息强度之间的关系：
a
t
a
0
e
0 r d r
t
e
0 r d r
t
③度量期内获得的利息与利息强度之间的关 n 系： n

0
A t t d t

0
A t d t A n A 0
i d 1 d
i
d
③与实际利率 i 等价的实际贴现率为 1 i 。 如果某人以实际利率 i 借款1元，则期 末积累值为1 i ，而利息金额为 i ，则 实际贴现率为： d i
1 i
④
d iv 。 d 1 v
⑤
。
⑥ i d id 。
※ ④和⑥经济含义解释看书第6页。
实际利率
某一个度量期的实际利率，是指该度量期 内得到的利息金额与此度量期开始时投入 的本金金额之比。实际利率通常用字母 i 表示。 从投资日算起第 n 个度量期的实际利率用 i n 表示，则有
in A
n A n 1 A n 1
A
In
n
1
n 1,
精算工作主要由精算师承担，在英国精算 行业业务报告中是这样描述精算师的作用 的：“在给金融投资等问题提供专家的、 恰如其分的解答方面，尤其是解释不确定 的未来事件方面，发挥精算行业的作用并 提高它的声誉。” 精算工作的对象是“不确定性”。 精算师工作范围：保险公司、政府部门、 咨询公司、证券公司、大型企业及人口统 计部门，等等。

第一章

利息的基本概念
1.1 实际利率与实际贴现率

1.2 名义利率与名义贴现率
1.3 利息强度

1.1 实际利率与实际贴现率
基本概念：

1、利息可定义为资本借入者因使用资本而 支付给资本借出者的一种报酬。也可以说， 利息是资本借入者支付给资本借出者因放 弃资本的使用，所发生的损失的一种租金。 理论上讲，资本和利息可以是货币，也可 以不用货币度量。

例3、如果例2中银行以复利计息，其他条 件不变，问5年后的积累值是多少？
1.1.3 实际贴现率
某一个度量期的实际贴现率，是指该度量 期内得到的利息金额与此度量期期末积累 值金额之比。实际利率通常用字母 d 表示。 从投资日算起第 n 个度量期的实际贴侠率 用 d n表示，则有

dn A n A n 1 A n 1 In An

3、计算法定责任准备金、支付准备金和各种 累积金。 4、根据经济环境的变化趋势，为保险投资决 策提供各种数量化预测指标，如投资回报 率、资产增长率。 5、分析保险公司年度利润极其来源，提供有 效保单按盈余分配红利的数据。 6、根据保险环境的变化和要求以及地区性特 点参与研究和设计新险种。
7、参与保险公司的计划、销售、投资、财务 等经营管理决策，参与公司各种年度报表 的编制，如财务状况报表、所得税报表、 经营状况报告、呈送保险监管部门的其他 定期报表等。 8、协助其他职能部门根据经验统计资料研究 各种险种的效益和费率的调整，以适应竞 争环境的要求，并编制内部使用的各种报 告。

二、复利 1、概念：假定投资一个单位本金，在每个 单位时间所得的利息可以自动地转成投资 （本金），按这种形式增长的利息称为复 利。复利形式下本利和总处于投资状态。 2、考虑投资一单位本金，若每期复利 i 计息，则： ①其在 t 时的积累值为：
a
t

1 i
t
②投资期的每个度量期产生不同的利息。 第 n 期产生的利息为：

m
1.3 利息强度

1、定义：利息在各个时间点上的度量叫做 利息强度，在 t 时刻的利息强度记为 t ，而我们定义
t
A t A
t

at a
t
也就是说， t 为 t 时每一单位资金的变化 率。
2、由定义可得到以下关系： ①总量函数与利息强度之间的关系：


m
d 1 d 1 m
m

m
d d 1 1 m
d
m
m

m
m 1
1 d

1 m


6、名义利率与名义贴现率之间的关系
i 1 m
m

m
d 1 p
第四节、长期的风险与不确定性
在保险合同中，设计的风险和不确定性往往要持续 很长的时间，精算师常常要研究一个较长时间内的 种种变化。这种长期性的概念在精算工作中是十分 重要的。 ⑴当精算师对未来作预测时采用各种技巧所描述的是 长期性变化而不仅仅是短期变化。 ⑵精算师总是超越近期的形式，测算出任何特定的经 济行为的最终结果。 ⑶精算师调查过去时必须考虑过去很长一段时间以预 测未来的长期趋势。