2018年秋九年级数学上册第2章对称图形—圆2.1圆第1课时圆的概念、点和圆的位置关系导学课件(新版)苏科版
苏教版九年级上册数学第二章对称图形圆【1】圆
ADB
即时考你：
P
如图(1)直径是_______; (2)弦是_____________; (3) PQ是直径吗?______;
E
G O.
FB
(4)线段EF、GH 是弦吗？_______.
AH
C
K
在圆中有长度不等的弦， 注 意: Q
直径是圆中最长的弦。 1、弦的两个端点在圆上
2、⊙O的半径6cm，
当OP=6cm时，点P在 圆上 ；
当OP ＜6cm 时, 点P在圆内； 当OP ＞6cm 时, 点P在圆外。
【活动一】尝试与交流
1、作矩形ABCD，使边AB=3cm，AD=4cm；
2、以点A为圆心，4cm为半径作⊙A；
则点B、C、D与⊙A的位置关系为：
点B在 ⊙A内
点D在 ⊙A上 点C在 ⊙A外
2、直径是弦，是过圆心的弦 3、半径不是弦，因为圆心不在圆周上
1.如图,
A
A⌒BC A⌒CB B⌒CA 它们一样吗？
B
O●
2 .劣弧有： A⌒B B⌒C
C
优弧有： A⌒CB B⌒AC
你知道优弧与劣弧的区别吗？
判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆.( )
3.圆心角定义
圆心角： 顶点在圆心的角叫做 圆心角。
A
B
O
D
C
通过本节课的学习， 你学到了什么？
作业
P40练习
2.1 圆（2）
复习：什么是圆？
1、用运动的观点
P
把线段OP绕着端点O在平 面内旋转1周，端点P运动
O·
所形成的图形叫做圆.
2、用集合的观点 圆可以看作是（ 到定点的距离等于定长的）点 的集合；
九年级数学圆的知识点
九年级数学圆的知识点在九年级的数学学习中，圆是一个重要的概念。
掌握圆的基本知识点对于学生正确理解和应用数学知识至关重要。
本文将介绍九年级数学圆的知识点，包括圆的定义、性质、公式以及与圆相关的几何图形等。
让我们一起来详细了解吧。
1. 圆的定义在九年级数学中，我们定义圆为平面上到一个固定点距离相等的所有点的集合。
这个固定点叫做圆心，到圆心的距离叫做半径。
圆由圆心和半径唯一确定。
2. 圆的性质- 半径相等的两个圆是相等的。
- 圆上任意两点到圆心的距离相等。
- 圆的直径是通过圆心的一条线段，它的长度是半径的两倍。
- 圆的周长是圆周长的一半，用公式C = 2πr表示，其中C表示周长，r表示半径。
- 圆的面积由公式A = πr²给出，其中A表示面积。
3. 圆与直线的关系- 圆内的点到圆心的距离小于半径，称为圆内部的点；到圆心的距离等于半径，称为圆上的点；到圆心的距离大于半径，称为圆外的点。
- 切线是与圆只有一个交点的直线。
- 弦是连接圆上两点的线段。
直径是一种特殊的弦，它通过圆心。
- 弧是圆上的一段弯曲的部分。
4. 弧与角的关系- 弧长是弧上的一段长度。
圆的弧长公式为L = 2πr，其中L表示弧长，r表示半径。
- 圆心角是以圆心为顶点的角，它所对的弧长是整个圆的弧长的一部分。
- 弦与其所对的弧所夹的圆心角相等。
5. 圆与其他几何图形的关系- 正方形的内接圆是正方形内接圆周围的正方形。
- 正方形的外接圆是正方形外接圆周围的正方形。
- 直角三角形的内切圆是三角形内接圆周围的圆。
- 直角三角形的外接圆是三角形外接圆周围的圆。
除了上述的知识点，还有关于圆的弦的性质、圆与切线的性质、圆的切线与切点定理、切线长的性质等内容需要学生在九年级进行深入的学习和理解。
通过掌握圆的相关知识点，可以帮助学生在解决几何问题、计算圆的周长和面积等方面得到更好的应用。
总结起来，九年级的数学圆的知识点主要包括圆的定义、性质、公式以及圆与其他几何图形的关系等。
九年级上册圆的知识点
九年级上册圆的知识点咱来唠唠九年级上册圆的那些知识点哈。
一、圆的基本概念。
1. 圆的定义。
- 圆就是在一个平面内，到一个定点（这个定点就叫圆心，一般用字母O表示）的距离等于定长（这个定长就是半径，用字母r表示）的所有点组成的图形。
你可以想象一下，就像有个中心，周围的点都离它一样远，就围成了一个圆，就像一群小伙伴以一个人为中心，大家都站在离他同样距离的地方，就形成了一个圆乎乎的形状。
2. 弦、直径。
- 弦就是连接圆上任意两点的线段。
那直径呢，它可特殊了，它是圆里最长的弦，而且它得通过圆心。
就好比在一个圆的世界里，弦是连接圆上两点的普通道路，而直径就是通过圆心这个城市中心的超级大道。
3. 弧、半圆、优弧、劣弧。
- 弧就是圆上任意两点间的部分。
半圆就很好理解啦，圆的一半嘛。
那优弧和劣弧呢？优弧是大于半圆的弧，劣弧是小于半圆的弧。
你可以把圆想象成一个大饼，咬掉一半就是半圆，咬掉一小口那剩下的大弧就是优弧，咬掉一大口剩下的小弧就是劣弧。
4. 等圆、等弧。
- 等圆就是能够完全重合的圆，它们的半径是相等的。
等弧呢，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。
这就像双胞胎圆，一模一样，它们上面能重合的弧就是等弧。
二、圆的性质。
1. 圆的对称性。
- 圆可是个对称小能手呢。
它是轴对称图形，它的对称轴就是任意一条通过圆心的直线。
你把圆沿着这条线对折，两边就完全重合了。
而且圆还是中心对称图形，它的对称中心就是圆心。
就像一个圆形的镜子，不管你从通过圆心的哪条线对折，或者绕着圆心转，它都能保持对称。
2. 垂径定理及其推论。
- 垂径定理可重要啦。
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
就好像一个大柱子（直径）垂直穿过一根小绳子（弦），这个大柱子就把小绳子从中间平分了，而且小绳子两边对应的弧也被平分了。
推论就是：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧等。
这里要注意弦不是直径哦，要是直径的话就不一定垂直啦。
3. 弧、弦、圆心角的关系。
九年级数学圆有关概念及知识点
九年级数学圆有关概念及知识点数学中的圆是一个基础概念，出现频率较高，且与其他几何图形有着密切的关系。
在九年级的数学课程中，我们将更深入地学习圆的相关概念和知识点。
本文将详细介绍九年级数学中与圆有关的知识。
1. 圆的定义和性质圆是平面上到一个固定点的距离等于定长的点的集合。
圆由无数个点组成，这些点都与圆心的距离相等。
在圆上选择两个点，它们与圆心的连线就是半径。
圆的直径是通过圆心的一条线段，它的长度是两个半径的长度之和。
圆的周长是所有弧长的总和，公式为C=2πr。
圆的面积是圆边界内部的区域，公式为A=πr²。
圆的性质包括：圆上的任意弧长是周长的一部分，圆内的任意两点与圆心的距离均小于半径。
2. 圆心角和圆周角圆心角是指以圆心为顶点的角，它的弧度正好是对应的弧长除以半径。
圆心角的度数等于弧度数乘以180°/π。
圆周角是指与同一圆心角对应的弧所夹的角，它等于两个圆心角的和。
圆周角的度数可以通过弧度转化公式进行计算。
3. 弧长弧长是圆上的一段弧长度，它与圆心角成正比。
当圆心角的弧度为1时，弧长等于半径，当圆心角的弧度小于1时，弧长等于圆心角的弧度乘以半径。
因此，我们可以通过弧度和半径的乘积计算弧长。
4. 切线和切线定理切线是与圆只有一个交点的直线。
与切线相切的点被称为切点。
切线定理指出，切线与切点间所构成的角是半径与切线之间的唯一角，且这个角的度数是90°。
根据切线定理可以解决一些与圆有关的几何问题。
5. 相交弧和相等弧当两个圆相交时，存在两个相交弧。
相交弧是以两个交点为端点的弧，其度数是两个圆心角的差。
当两个圆相交于一点时，存在两个相等弧。
相等弧是以相交点为端点的弧，其度数相等。
6. 弧长和面积的计算我们可以通过圆周角的计算公式来计算弧长，通过圆的面积公式来计算面积。
在实际问题中，我们需要根据已知条件使用这些公式进行计算。
例如，给定弧长和半径，可以计算圆心角；给定圆的面积，可以计算半径。
九年级圆的认识知识点
九年级圆的认识知识点圆是我们数学学习中非常重要的一个概念，它在几何形状、代数运算等方面都有广泛的应用。
在九年级学习中，深入了解圆的认识知识点对于理解和应用数学概念具有重要意义。
下面将为大家介绍九年级圆的认识知识点，以帮助大家更好地理解和运用圆的概念。
一、圆的定义和性质在九年级数学中，我们首先要了解圆的定义和性质，这对于后续的学习非常重要。
1. 圆的定义：圆是由平面上到一点的距离都相等的点的集合。
其中，到这个固定点的距离称为半径，两倍半径的距离称为直径。
2. 圆的性质：a. 圆的直径是圆上的最长线段，而半径是圆上的最短线段。
b. 圆上任意两点之间的线段都是圆的弦。
c. 在同一个圆中，所有的弦都有相等的长度。
d. 圆的面积公式：S = π * r²，其中S表示圆的面积，π是一个无理数，约等于3.14，r是圆的半径。
e. 圆的周长公式：C = 2π * r，其中C表示圆的周长，r是圆的半径。
二、圆的判定与构造了解圆的判定和构造方法，可以帮助我们在几何问题中应用圆的知识。
1. 圆的判定：当已知一个几何图形时，如何确定它是圆？a. 如果一个图形上的每个点到另一个固定点的距离都相等，那么这个图形就是一个圆。
b. 如果一个图形由一个点围绕另一个固定点做任意长度的半径，那么这个图形也是一个圆。
2. 圆的构造：当已知一部分信息时，如何准确地构造出一个圆？a. 已知圆的半径：以圆心为中心，半径为长度画一个圆。
b. 已知圆上的一点：以已知点为圆心，已知距离为半径画一个圆。
三、圆与其他几何图形的关系圆与其他几何图形之间存在着一些重要的关系，了解这些关系可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
1. 圆与直线的关系：a. 直径与直线的关系：直径是直线的垂直平分线，在直线上的任意一点到圆心的距离都等于半径的一半。
b. 弦与直线的关系：弦与直线的关系取决于弦是否与直线垂直相交，如果相交则为垂弦，否则为斜弦。
2. 圆与三角形的关系：a. 圆与正三角形：正三角形的外接圆和内切圆的圆心和半径具有特殊的关系。
九年级数学圆知识点
九年级数学圆知识点在九年级数学学习中，圆是一个重要的知识点。
下面将介绍圆的定义、性质以及与圆相关的主要公式和定理。
一、圆的定义和性质：1. 定义：圆是由平面上的一点到另一点距离不变的所有点的集合。
2. 圆心和半径：圆心是圆的中心，圆的半径是圆心到圆上任一点的距离。
3. 直径和直径长：直径是圆上任意两点之间通过圆心的线段，直径长等于半径的两倍。
4. 弦：连接圆上任意两点的线段。
5. 弧：由圆上两点所确定的一段圆形曲线。
6. 弧长：圆的周长被称为弧长，可以表示为2πr（r为圆的半径）。
7. 弧度制：圆的周长为360°，也可以用弧度来表示，一周的弧度数为2π。
二、圆的相关公式和定理：1. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C表示周长，r表示半径。
2. 圆的面积公式：A = πr²，其中A表示面积，r表示半径。
3. 弧长公式：L = 2πr × (θ/360°)，其中L表示弧长，r表示半径，θ表示所对应的圆心角的度数。
4. 弦长公式：如果圆心角θ的度数已知，弦长可通过公式l = 2r × sin(θ/2)计算。
5. 切线与半径的关系：切线与半径的相交点处，切线是半径的垂直平分线。
6. 切线与弦的关系：切线与弦的相交点处，切线与弦的夹角等于所对应的弧的圆心角的一半。
7. 弦割定理：如果两个弦相交于圆的内部，那么相交点之间的两个弦的长度的乘积等于两个弦的切割线段的长度的乘积。
8. 切割定理：如果两条切线相交于圆的外部，那么相交点之间的两个切线段的长度的乘积等于两个切线的切割线段的长度的乘积。
三、应用示例：1. 根据给定的半径，求解圆的面积和周长。
2. 根据给定的弦长和半径，求解所对应的圆心角的度数。
3. 根据所给条件，利用切线和弦的关系解题。
4. 根据所给条件，应用弦割定理或切割定理解决问题。
综上所述，九年级数学中的圆知识点包括了圆的定义、性质、相关公式和定理。
九年级数学上册第2章对称图形_圆2.1圆(1)课件(新版)苏科版
练一练
1.☉O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、 10cm、12cm，则点A、B、C与☉O的位置关系是：点A
在 圆内 ；点B在 圆上 ；点C在 圆外 .
2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若
OP= 3 ，则点P在（ D ）
A.在大圆内 B.在小圆内
o
C.小圆外
D.大圆内，小圆外
半径，一般用r表示．
确定一个圆的要素
一是圆心，圆心确定其位置； 二是半径，半径确定其大小．
我国射击运动员在里约奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉. 如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半 径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何 计算的吗？
问题 观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？
点和圆的位置关系
p
d
d
Pd
r
r
p
r
点P在☉O内 d<r 点P在☉O上 d=r
点P在☉O外 d>r 点P在圆环内 r≤d≤R
数形结合：位置关系
数量关系
P
r R
【练习】
1.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作☉A，则 点B在☉A 上；点C在☉A 外；点D在☉A 上 .
2.☉O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点 P与☉O的位置关系为 （ B ）
.....o..B. .A C
点与圆的位置关系有三种： 点在圆内，点在圆上，点在圆外.
问题 设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和 圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？
p d r
点P在☉O内 点P在☉O上
点P在☉O外
d
r
九年级上册圆知识点最全
九年级上册圆知识点最全圆是几何学中的重要概念之一，其知识点在九年级上册学习中占据了很大的比重。
下面将全面介绍九年级上册关于圆的各个知识点，包括定义、性质、定理等内容，帮助学生更好地理解和掌握圆的相关知识。
1. 圆的定义圆是由平面上与一个确定点的距离相等的所有点组成的图形。
圆由圆心和半径确定，其中圆心是一个固定的点，半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
2. 圆的符号表示圆常用一个字母加一个圆圈表示，例如圆O可以表示为⭕(O)。
3. 圆的性质(1) 在同一个平面上，圆内任意两点都与圆心的距离相等。
(2) 圆上所有的点与圆心的距离都相等。
(3) 圆的半径相等的两个圆是同心圆。
4. 圆的元素(1) 圆心：圆的中心点，通常用字母O表示。
(2) 圆的半径：圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。
(3) 圆的直径：过圆心的两个相对点之间的距离，通常用字母d表示，直径等于半径的两倍。
(4) 圆的弦：圆上的两个点之间的线段，通常用字母AB表示。
(5) 圆的弧：圆上两个点之间的部分，通常用字母AB表示。
弧也可以表示为一段曲线。
(6) 圆的切线：与圆相切且在切点处与圆相切的线段。
5. 圆的定理(1) 圆的四个组成部分：半径、直径、弦、弧。
(2) 在同一个圆中，半径相等，直径是两倍的半径。
(3) 在同一个圆中，位于原弦之间且两弦的端点相连的两个弧是相等的。
(4) 在同一个圆中，位于圆心角上的弧是原弦的两倍。
(5) 位于圆心角上的弧大于位于同一个圆上其他的弧。
(6) 圆与定点的直线相交，相交点到圆心的距离等于定点到圆心的距离。
6. 圆的应用圆的应用非常广泛，涉及到生活的各个方面。
在建筑设计中，圆形的窗户、圆顶等都可以为建筑增添美感和独特性。
在数学科研中，圆的性质和定理被广泛应用于几何学的研究和解决问题。
此外，圆的概念也运用在电子、通信、机械等众多领域，为各种设备和技术的实现提供了基础。
以上是九年级上册关于圆的知识点的全面介绍，希望通过这篇文章的阅读，学生们能够更好地理解和掌握圆的相关知识，并能在学习和生活中灵活应用，进一步提升数学水平。
九年级上册数学圆的所有知识点
九年级上册数学圆的所有知识点在九年级上册的数学课程中，学生们将接触到许多关于圆的知识点。
圆作为几何学中的一个基本概念，在实际生活中随处可见，例如轮胎、钟表等。
本文将为大家详细介绍九年级上册数学课程中涉及到的所有关于圆的知识点。
一、圆的定义和性质在开始学习圆的知识之前，我们首先需要理解什么是圆。
圆可以简单地定义为平面上所有到圆心的距离相等的点的集合。
根据这个定义，我们可以得出圆的一个基本性质：圆的半径相等的两个圆是相等的。
此外，圆还有其他一些重要的性质，如圆上任意两点之间的距离等于圆心到这两点的距离，圆心角等于它所对的弧的中心角等。
二、圆的基本元素了解了圆的定义和性质后，我们可以进一步研究圆的基本元素。
圆主要由以下几个元素组成：圆心、半径、直径、弧、弦、切线和扇形。
圆心是圆的核心部分，用O表示。
半径是从圆心到圆上任意一点的距离，用r表示。
直径是连接圆上任意两点并通过圆心的线段，其长度是半径的两倍。
弧是在圆上的一段弧线，弦是弧的两个端点连接起来的线段。
切线是与圆只有一个交点的直线，它与圆的切点处垂直于半径。
扇形是由弧和两个半径组成的区域。
三、圆的周长和面积了解了圆的基本元素之后，我们可以计算圆的周长和面积。
圆的周长是圆上任意一点到该点相邻两点之间的距离总和，也可以用半径乘以2π来计算。
圆的面积是指圆内部所有到圆心距离小于等于半径的点的总体积，可以用半径的平方乘以π来计算。
四、圆的坐标和方程除了学习圆的基本性质和元素之外，九年级上册还会涉及到圆的坐标和方程。
根据平面直角坐标系，在平面上的每个点都有唯一的坐标表示。
对于圆来说，我们可以通过圆心的坐标和半径的长度来确定圆的方程。
常见的圆的方程有标准方程和一般方程两种形式。
五、圆与其他几何图形的关系学习圆的知识点后，我们还需要了解圆与其他几何图形的关系。
例如，学生们会学习如何判断一个点是否在圆上、在圆内还是在圆外。
此外，圆与直线、三角形、正多边形等几何图形之间还存在着一些特殊的关系，例如切线和弦与圆的交点、圆与三角形的外切、内切等。
九年级数学上学期期末考点大串讲专题02 对称图形——圆(23个考点)
专题02对称图形——圆（23个考点）【知识梳理+解题方法】一．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．二．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．三．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．四．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．五．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．六．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七．相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则P A•PB＝PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝P A•PB（相交弦定理推论）．八．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．九．确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．十．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．十一．直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．十二．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．十三．切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．十四．切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．十五．弦切角定理（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．十六．切线长定理（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．十七．切割线定理（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方＝P A•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC＝P A•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2＝P A•PB＝PC•PD．十八．三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．十九．正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．（2）正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．二十．弧长的计算（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．二十一．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．二十二．圆锥的计算（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．（3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl（5）圆锥的体积＝×底面积×高注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．二十三．圆柱的计算（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．（2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高（3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积（4）圆柱的体积＝底面积×高．【专题过关】一．圆的认识（共1小题）1．（2021秋•泰州月考）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．垂径定理（共2小题）2．（2021秋•常熟市校级月考）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）3．（2021秋•广陵区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（）A．2B．4C．5D．6三．垂径定理的应用（共3小题）4．（2022•钟楼区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米5．（2021秋•启东市校级月考）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF ＝CD＝16cm，则球的半径为（）A．10cm B．10cm C．10cm D．8cm6．（2021秋•姜堰区期末）《九章算术》记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图①），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它（如图②），当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度AB为1尺，问木材的直径CD是寸．（1尺＝10寸）四．圆心角、弧、弦的关系（共2小题）7．（2020秋•梁溪区校级期中）下列语句，错误的是（）A．直径是弦B．相等的圆心角所对的弧相等C．弦的垂直平分线一定经过圆心D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦8．（2021秋•溧水区期中）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证OE＝OF．五．圆周角定理（共2小题）9．（2022•建湖县二模）如图，已知AB是半圆O的直径，∠DAC＝36°，D是弧AC的中点，那么∠BAC 的度数是（）A．54°B．27°C．36°D．18°10．（2022•姑苏区校级一模）如图，线段CD上一点O，以O为圆心，OD为半径作圆，⊙O上一点A，连结AC交⊙O于B点，连结BD，若BC＝BD，且∠C＝25°，则∠BDA＝．六．圆内接四边形的性质（共1小题）11．（2021秋•姜堰区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝140°，则∠BOD的度数为（）A．40°B．70°C．80°D．90°七．相交弦定理（共2小题）12．（2021秋•锡山区校级月考）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的长．13．（2021秋•江阴市校级月考）如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．八．点与圆的位置关系（共2小题）14．（2021秋•滨湖区校级月考）已知⊙O的半径为5cm，若点A到圆心O的距离为4cm，则点A（）A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．与⊙O的位置关系无法确定15．（2022•常州模拟）已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（）A．OP＞4B．0≤OP＜4C．OP＞2D．0≤OP＜2九．确定圆的条件（共2小题）16．（2021秋•连云港月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）A．①B．②C．③D．④17．（2021春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）确定一个圆（填“能”或“不能”）．一十．三角形的外接圆与外心（共3小题）18．（2021秋•苏州期末）如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（0，0）B．（2，3）C．（5，2）D．（1，4）19．（2022•苏州二模）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠ACB＝30°，D是△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，⊙O交直线BD于点P，交边BC于点E，若＝，则AD的最小值为．20．（2022•建邺区一模）如图①，在△ABC中，CA＝CB，D是△ABC外接圆⊙O上一点，连接CD，过点B作BE∥CD，交AD的延长线于点E，交⊙O于点F．（1）求证：四边形DEFC是平行四边形；（2）如图②，若AB为⊙O直径，AB＝7，BF＝1，求CD的长．一十一．直线与圆的位置关系（共4小题）21．（2022•宿豫区校级开学）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆一定与（）A．x轴相交B．y轴相交C．x轴相切D．y轴相切22．（2022•徐州）如图，点A、B、C点圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．23．（2022•鼓楼区校级二模）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的P（1，3）是“垂距点”．（1）在点A（2，2），B（，﹣），C（﹣1，5）中，是“垂距点”的点为；（2）求函数y＝2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；（3）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是．24．（2022•虎丘区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO 于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝5，CF＝3，求MF的长．一十二．切线的性质（共3小题）25．（2022•镇江）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，BC＝6，⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α（0°＜α≤360°），B、C的对应点分别为B′、C′，在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切的次数为（）A．1B．2C．3D．426．（2022•锡山区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上两点，CE与⊙O相切，交DB延长线于点E，且DE⊥CE，连接AC，DC．（1）求证：∠ABD＝2∠A；（2）若DE＝2CE，AC＝8，求BE的长度．27．（2022•如东县一模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，以AB为直径作⊙O交AC与点D，过点D的切线交BC于点E．（1）求∠BED的度数；（2）若AB＝6，求图中阴影部分的面积．一十三．切线的判定（共1小题）28．（2020•江阴市模拟）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠BAE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sin B＝，BD＝5，求BF的长．一十四．切线的判定与性质（共6小题）29．（2022•高新区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．（1）求证：DE与⊙A相切；（2）若∠ADE＝30°，AB＝6，求的长．30．（2022•南京一模）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，△EBC的外接圆⊙O分别交AB，CD于点M，N．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若DN＝1，AD＝4，求⊙O的半径r．31．（2022•盐城一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（2）若点E是半圆ADB的一个三等分点，求阴影部分的面积．32．（2022•海陵区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB延长线于点D，给出下列信息：①∠A＝30°；②CD是⊙O的切线；③OB＝BD．（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是，结论是（只要填写序号）．判断结论是否正确，并说明理由；（2）在（1）的条件下，若CD＝3，求的长度．33．（2022•洪泽区一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，CD是过点C的直线，AE⊥CD，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC，AC恰好平分∠EAB．（2）若AC＝2，∠CAB＝30°，求阴影部分的面积．34．（2022•无锡模拟）如图，以BC为底的等腰△ABC的三个顶点都在⊙O上，过点A作AD∥BC交BO的反向延长线于点D．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若四边形ADBC是平行四边形，且AD＝4，求⊙O的半径．一十五．弦切角定理（共1小题）35．（2021•江阴市校级三模）如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（）A．50°B．60°C．100°D．120°一十六．切线长定理（共2小题）36．（2022•相城区校级自主招生）一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的比是．37．（2021秋•兴化市月考）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为．一十七．切割线定理（共1小题）38．（2020秋•溧阳市期末）已知：如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO交⊙O于点A，P A＝4，那么PC的长等于（）A．6B．2C．2D．2一十八．三角形的内切圆与内心（共1小题）39．（2021秋•泰兴市期中）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（）A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm一十九．正多边形和圆（共2小题）40．（2022•惠山区校级二模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF 的度数是（）A．18°B．36°C．54°D．72°41．（2022•雨花台区校级模拟）如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF＝30°，则n＝．二十．弧长的计算（共4小题）42．（2021秋•苏州期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，则的长度为（）A．B．C．πD．2π43．（2022•海门市二模）如图，⊙O的半径为5，弦AB，CD互相垂直，垂足为点E．点F在ED上，且EF ＝EC．连接AF，∠EAF＝25°．（1）求的长；（2）延长AF交⊙O于点M，连接BM．若EC＝EB，求∠AMB的度数．44．（2022•泰州）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．45．（2022•南通一模）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求∠ACB的度数；（2）若BC＝6，求的长．二十一．扇形面积的计算（共1小题）46．（2022•张家港市一模）如图，点C为扇形OBA的半径OB上一点，将△AOC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且：＝3：1，若此扇形OAB的面积为，则的长为（）A．B．C．D．二十二．圆锥的计算（共2小题）47．（2022•高新区二模）斐波那契螺旋线也称“黄金黑旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，……画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将共圆弧连接起来得到的．若用图中接下来的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（）A．B．2C．D．448．（2022•淮阴区校级一模）圆锥的高是，底面半径是1，则圆锥的侧面积是（）A．2πB．C．4πD．π二十三．圆柱的计算（共2小题）49．（2022•锡山区一模）若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（）A．12cm2B．24cm2C．12πcm2D．24πcm250．（2022•宜兴市校级一模）如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是．答案与解析【专题过关】一．圆的认识（共1小题）1．（2021秋•泰州月考）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；②弦不一定是直径，错误，不符合题意；③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，正确的有3个，故选：C．【点评】考查了圆的认识及圆的有关定义，解题的关键是了解圆的有关概念，难度不大．二．垂径定理（共2小题）2．（2021秋•常熟市校级月考）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【分析】连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．【解答】解：如图所示，连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．∵点A的坐标为（0，4），∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．故选：C．【点评】此题主要考查了垂径定理，根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径的交点即为圆心是解题关键．3．（2021秋•广陵区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（）A．2B．4C．5D．6【分析】由垂径定理可求得AB⊥CD及CE的长，再利用勾股定理可求解OE的长，进而可求解．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝20，∴CO＝OB＝10，AB⊥CD，CE＝DE＝CD，∵CD＝16，∴CE＝8，在Rt△COE中，OE＝，∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，故选：B．【点评】本题主要考查垂径定理，勾股定理，求解OE的长是解题的关键．三．垂径定理的应用（共3小题）4．（2022•钟楼区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）。
九年级上圆的知识点总结
九年级上圆的知识点总结圆是初中数学中的重要内容之一，也是中考的必考知识点。
在九年级上册的数学学习中，我们对圆的相关知识有了较为深入的了解。
下面就让我们来一起总结一下九年级上圆的知识点。
一、圆的基本概念1、圆的定义圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
这个定点称为圆心，定长称为半径。
2、圆的表示方法通常用“⊙”表示圆，后面加上圆心的字母，如⊙O 表示以 O 为圆心的圆。
3、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。
4、弧圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为优弧和劣弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
5、等圆和等弧能够完全重合的两个圆叫做等圆。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
二、圆的基本性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
3、圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4、圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
圆周角定理的推论：（1）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
三、圆的位置关系1、点与圆的位置关系设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：（1）点在圆外⇔ d ＞ r；（2）点在圆上⇔ d ＝ r；（3）点在圆内⇔ d ＜ r。
2、直线与圆的位置关系设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则有：（1）直线与圆相离⇔ d ＞ r；（2）直线与圆相切⇔ d ＝ r；（3）直线与圆相交⇔ d ＜ r。
切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。
九年级上册圆的所有知识点
九年级上册圆的所有知识点圆是我们九年级上册数学教材中的一个重要概念，掌握圆的知识对于我们理解几何形态和解题是非常重要的。
本文将通过举例和解析的方式，详细介绍九年级上册中关于圆的所有知识点。
1. 圆的定义首先，我们来了解下圆的定义。
圆是由平面上距离一个固定点（圆心）相等的所有点组成的图形。
我们可以用一个简单的实例来理解，比如太阳花，太阳花的中心是圆心，而花瓣的边缘就是由相等距离的点组成的近似圆。
2. 圆心和半径圆心是圆的中心点，记作O；半径是从圆心到圆上任意一点的距离，记作r。
圆的半径可以用直尺测量，一般以厘米或者毫米为单位。
3. 直径和周长直径是通过圆心的一条直线，它的长度是圆的两个边缘上任意两点之间的距离，直径的长度等于半径的两倍，即d=2r。
周长是圆上的一条线段的长度，也可以理解为圆的一周的长度。
我们可以通过公式C=2πr来计算圆的周长，其中π是一个无限不循环小数，约等于3.14。
4. 弧长和扇形面积弧是圆上两点之间的一段路径。
弧长是弧的长度，记作l。
我们可以通过公式l=2πr来计算弧长。
弧长也可以通过圆心角的度数来计算，假设圆心角的度数为θ°，则弧长等于周长的θ/360。
扇形是圆的一部分，由圆心、两个半径和弧组成。
我们可以通过公式A=πr²(θ/360)来计算扇形的面积。
5. 弦和切线弦是两个圆上的点之间的连线，它的长度可以通过直尺测量。
相对应的，切线是与圆只有一个交点的直线。
切线通过圆心与切点形成的角度为90°。
6. 平行线与切线关系当一条直线与圆相交时，直线上的两个切点与圆心的连线平行。
这是一个非常重要的性质，可以帮助我们解决许多相关题目。
7. 圆与圆的位置关系在平面几何中，两个圆的位置关系可以分为以下几种情况：相离、外切、相交和内切。
相离意味着两个圆互相不相交，外切意味着两个圆相切于一点，相交意味着两个圆有两个交点，而内切意味着一个圆在另一个圆的内部，切于一点。
九年级数学上圆的知识点
九年级数学上圆的知识点圆是我们数学学习中非常重要的一个几何形状。
它的特点和性质在我们的日常生活和数学学科中都有广泛的应用。
本文将介绍九年级数学上关于圆的一些重要的知识点，包括圆的定义、圆的元素、圆的性质以及圆的相关定理等内容。
一、圆的定义圆是平面上所有到圆心距离相等的点的集合。
在数学中，我们用O表示圆心，用r表示圆的半径。
一个圆可以用圆心和半径来唯一确定。
圆的表示方法可以是O(r)，其中O表示圆心，r表示半径的长度。
二、圆的元素1. 圆心：圆的中心点被称为圆心，用O表示。
2. 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段被称为半径，用r表示。
3. 直径：通过圆心并且两端点都在圆上的线段被称为直径。
直径的长度等于半径的两倍。
4. 弧：圆上的两个点之间的部分被称为弧。
根据弧所对的圆心角的大小，弧又可以分为小弧和大弧。
5. 弦：圆上连接两个点的线段被称为弦。
三、圆的性质1. 圆内任意两点的距离都小于或等于圆的直径。
2. 圆内任意两点的距离都大于或等于圆的半径。
3. 圆的直径是圆中最长的弦，且等于两倍的半径。
4. 圆的半径垂直于其所在弦，并且平分弦。
5. 相等弧所对的圆心角相等。
6. 圆的内接四边形的相对角之和等于180度。
四、圆的相关定理1. 圆上的垂直弦定理：如果一条弦垂直地截取了另一条弦，那么连接两条弦的直径垂直于截取弦。
2. 弦切定理：如果一条切线和半径、弦相交，那么切线和半径的夹角等于弦所对的圆心角。
3. 弦弧定理：如果两条弦所对的弧相等，那么这两条弦相等。
4. 切线定理：如果一条直线和圆相切，那么从切点到圆心的线段垂直于切线。
以上是九年级数学上关于圆的一些重要的知识点介绍。
掌握这些知识，可以帮助我们更好地理解圆的性质和应用。
在解决与圆相关的问题时，我们可以根据这些知识点来进行推理和证明。
通过多做练习题和实际问题的应用，我们的数学水平会有明显的提高。
希望本文对大家学习九年级数学上的圆有所帮助。
初中数学九年级上册《2.1 圆》PPT课件 (9)
运动所形成的图形叫做圆。其中点O叫
做圆符心号。表线示段：O记P叫作做“圆⊙的O”半，径。读作“圆O”。
注：（1）圆是一条封闭的曲线； （2）确定一个圆需要两个要素：圆心和半径。
圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.
探究活动
观察：点A、B、C到圆心O的距离相等吗？
o ●
哪几部分？ 平面上的一个圆，把 平面上的点分成三类：
圆内的点
圆上的点，圆内的点和
圆外上的各点。到圆心(定点)的距离都等于半径(定长);到圆心距
离•圆等是于到半定径点的距点离都等在于圆定上长.也的就点是的说集:合.
可以看成
是到圆心的距离小于半径的的点的集合；
可以看
知识梳理
设⊙O 的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，
●A
●
C
●
想一想：在平面内还有到B 点O距离等于半径的点吗？
这些点构成什么图形？ 圆的定义2：到定点的距离等于定长的点的集合.
其中定点为圆心，定长为半径.
练习
1、如图，圆心为点__A,半径为_A_B_, 该圆记作_⊙__A_.
A● B
2、判断：
①半径为2cm的圆有无数个。 （√ ）
②以点P为圆心的圆有无数个。（√ ）
练习
如图已知直角三角形ABC，∠B=900,点Ｏ为AC中点， A、B、C是否在以点Ｏ为圆心的同一个圆上？为什么？
A O
B
C
这节课的收获是……
例题
2.如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米
（1）以点A为圆心，3厘米为半径作
圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系
如（何2）？以点A为圆心，4厘米为半径作圆A， A
新苏科版九年级数学上册第2章 对称图形—圆《2.1圆》优质课件
B
叫做半圆(如弧
).
m
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作
A
●O
(用两个字母).
C
大于半圆的弧叫做优弧,如记作
(用三个字母).
活动二
圆的相关概念
概念巩固： 如图，AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，那么， 哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧？
CC BB
OO
AA 第1题
活动二
圆的相关概念
圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB)． A
B
（1）画出下列图形：
到点A的距离等于2cm的点的集合；
到点B的距离等于3cm的点的集合．
Q
（2）在所画图中，到点A的距离等于2cm，且到点B的距离等于
3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来．
（3）在所画图中，到点A的距离小于或等于2cm，且到点B的距
离大于或等于3cm的点的集合是怎样的图形？把它表示出来．
知识应用
例2 (1)在图中，画出⊙O的两条直径； (2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形. 判断这个四边形的形状，并说明理由．
知识应用
例3 如图，扇形OAB的半径OA＝3，圆心角 ∠AOB＝90°，点C是弧AB上异于A、B的动点， 过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接 DE，点G、H在线段DE上，且DG＝GH＝HE． （1）求证：四边形OGCH是平行四边形；
如何判断点与圆的位置关系？ 只需要比较点到圆心的距离d与半径r的大小关系.
知识运用
如图，已知点A，请作出到点A的距离等于2cm的点的集合． （1）这个圆的外部是满足什么条件的点的集合？ （2）请用阴影表示出到点A的距离小于或等于2cm的点的集合．
A
知识运用
数学九年级圆知识点
数学九年级圆知识点圆的知识点数学九年级圆是几何图形中的一种特殊形状，具有许多独特的性质和特点。
在九年级的数学学习中，我们需要掌握关于圆的基本概念、性质以及相关的计算方法。
本文将为您详细介绍九年级数学中与圆相关的知识点。
一、圆的定义和基本概念圆是由平面上的一组点构成的，这些点到圆心的距离都相等。
圆通常以字母O表示圆心，字母r表示半径，半径是指圆心到圆上任意一点之间的距离。
如果两个圆的半径相等，我们称它们为同心圆。
根据圆的定义，我们可以得到以下结论：1. 圆上的任意一点到圆心的距离等于半径的长度。
2. 圆上的任意一条弧所对的圆心角都是相等的，且这个圆心角的度数等于弧所对的圆弧的度数。
3. 圆上的任意一点到圆心连线所对的角都是直角。
二、圆的性质和定理1. 圆的周长和面积圆的周长是指圆上一周的长度，常用字母C表示。
圆的周长可以计算公式为：C = 2πr，其中π的近似值为3.14。
圆的面积是指圆所包围的平面区域的大小，常用字母A表示。
圆的面积可以计算公式为：A = πr²。
2. 弧长和扇形面积弧长是指圆上一部分弧的长度，常用字母L表示。
弧长的计算公式为：L = 2πr × (θ/360°)，其中θ为弧所对的圆心角的度数。
扇形是由圆心、两个半径和所对的弧组成的图形。
扇形的面积可以计算公式为：S = (θ/360°) × πr²，其中θ为扇形所对的圆心角的度数。
3. 切线和弦切线是与圆相切于圆上一点的直线，切线与半径的关系如下：a) 切线与半径的交点处，切线与半径垂直。
b) 切线与半径的夹角等于切线与圆的切点处所对的圆心角的一半。
弦是连接圆上两点的线段，弦的性质如下：a) 圆心角等于弦所在的圆周角的一半。
b) 相等弦所对的两个圆心角也相等。
三、圆的相关计算题在九年级数学学习中，我们还需要掌握一些与圆相关的计算方法，如：1. 已知圆的面积，求半径或直径：面积A = πr²，已知A，求r：r = √(A/π)。
九年级上册数学圆的知识点
九年级上册数学圆的知识点圆是数学中一个基础而重要的图形，我们在日常生活中经常会遇到圆形的事物，比如车轮、钟表等等。
而在九年级上册的数学课程中，我们将进一步学习关于圆的知识，掌握圆的性质和应用。
本文将从圆的定义开始，逐步介绍九年级上册数学中关于圆的知识点。
1. 圆的定义与性质圆是平面上以一点为圆心、以一定长度为半径的所有点的集合。
在数学中，圆用O表示圆心，r表示半径。
圆的性质有以下几个重要的方面：（1）圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离，它的长度等于半径的两倍。
（2）圆的弦是圆上连接两点的线段，弦的长度小于或等于直径的长度。
（3）圆的弧是圆上的一段曲线，它是由圆上的两个端点及它们之间的弧所组成的部分。
2. 圆的元素在圆的研究中，除了圆心和半径，还有一些其他的元素：（1）正切线：正切线是与圆相切于一点且与半径垂直的直线。
（2）切点：正切线与圆相切的点称为切点。
（3）切线：切线是与圆相切且只有一个切点的直线。
（4）内切圆：内切圆是与一个多边形的所有边都相切的圆。
3. 圆的面积和周长计算圆的面积和周长是圆的基本应用之一。
（1）圆的面积公式是S = πr²，其中π是一个无限不循环小数，约为3.14，r为半径。
（2）圆的周长公式是C = 2πr，其中C表示圆的周长。
4. 弧长和扇形面积在圆的基础上，我们还需要了解弧长和扇形面积的计算方法：（1）弧长是弧所对的圆周的长度。
（2）弧长的计算公式是L = 2πr × (α/360°)，其中L表示弧长，r表示半径，α表示弧所对圆心角的度数。
（3）扇形是由圆心、弧和与弧所在平面相交的两条半径组成的图形。
扇形的面积计算公式为A = 1/2 × r² × (α/360°)，其中A表示面积，r表示半径，α表示弧所对的圆心角的度数。
5. 圆上的角度关系在圆上，我们还需要关注一些角度的关系：（1）圆心角是以圆心为顶点的角，它的度数等于所对弧的度数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2，OC＝ 26.
∵OC＝ 26＞5，∴点 C 在⊙O 外．
第1课时 圆的概念、点与圆的位置关系
【归纳总结】点与圆的位置关系的确定： 如果⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，
d＝r⇒ 点在圆上； 那么d<r⇒ 点在圆内； d>r⇒ 点在圆外.
第1课时 圆的概念、点与圆的位置关系
在平面直角坐标系内，以原点
为圆心，5 为半径作⊙O，已知 A，B，C 三点的坐标分别为 A(3，4)，
B(－3，－3)，C(4，－ 10)，试判断 A，B，C 三点与⊙O 的位置关
系．
第1课时 圆的概念、点与圆的位置关系
解：连接 OA，OB，OC，易知 OA＝5，OB＝3 ∵OA＝5＝⊙O 的半径，∴点 A 在⊙O 上； ∵OB＝3 2＜5，∴点 B 在⊙O 内；
总结反思
知识点一
圆的定义
(1)圆的运动定义：在平面内把线段OP绕着端点O__________ 旋转1周 ，端 点P运动所形成的图形叫做圆．其中，点O叫做________ 圆心 ，线段OP叫
半径 ． 做________
第1课时 圆的概念、点与圆的位置关系
等于定长 (2)圆的集合定义：圆是到定点(圆心)的距离__________( 半径)
d＝r ______ d＜r ______
点 P 在⊙O 上 点 P 在⊙O 内 点 P 在⊙O 外
______ d＞r
第1课时 圆的概念、点与圆的位置关系
[点拨] 点与圆的位置关系的判定是数形结合的体现：已知
一对数量关系(d与r的关系)，可以判断点与圆的位置关系；反
过来，已知点与圆的位置关系，也可以得到一对数量关系(d与r
【归纳总结】画一个圆需具备的条件： 画一个圆需具备的条件有两个：圆心(确定圆的位置)和半径(确 定圆的大小)．
第1课时 圆的概念、点与圆的位置关系
例2 教材练习第3题变式 如图2－1－1，菱形ABCD各边中点分别
是E，F，G，H.试说明点E，F，G，H在同一个圆上．
图 2－ 1－ 1
第1课时 圆的概念、点与圆的位置关系
第1课时 圆的概念、点与圆的位置关系
目标突破
目标一 理解圆的描述概念和圆的集合概念
例1
无数 教材补充例题 (1)以定点O为圆心作圆，能作________ 个圆；
无数 个圆； (2)以定长r为半径作圆，能作________ 1 (3)以定点O为圆心、定长r为半径作圆，能作________ 个圆．
第1课时 圆的概念、点与圆的位置关系
第2章
对称图形——圆
2.1 圆
第2章 对称图形——圆
第1课时 圆的概念、点与圆 的位置关系
知识目标时 圆的概念、点与圆的位置关系
知识目标
1．经历圆的概念的形成过程，理解圆的描述概念和圆的集合概念．
2．经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆
的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系．
的关系)．
第1课时 圆的概念、点与圆的位置关系
点 P 到⊙O 的最大距离为 10 cm， 最小距离为 5 cm.求⊙O 的半径． 解：如图 2－1－2，PA 的长度是点 P 到⊙O 的最大距离，PB 的长 度是点 P 到⊙O 的最小距离． 设⊙O 的半径为 r cm，
r＋OP＝10， 则 解得 r－OP＝5，
r＝7.5.
图 2－ 1－ 2
即⊙O 的半径为 7.5 cm.
第1课时 圆的概念、点与圆的位置关系
上述解答正确吗？若不正确，请指出错误原因，并写出
正确的解答过程．
第1课时 圆的概念、点与圆的位置关系
[答案] 不正确．错误原因：只考虑了点 P 在⊙O 内这一种情况，
而忽视了点 P 在⊙O 外的情况．故题干中的解法是不完整的． 正解：若点 P 在⊙O 内，解法同题干所写解法． 若点 P 在⊙O 外(如图)，连接 PO，直线 PO 交⊙O 于点 C，D，则 PD 的长度，PC 的长度分别是点 P 到⊙O 的最大距离和最小距离． 设⊙O 的半径为 x cm，则 5＋2x＝10， 解得 x＝2.5. 故⊙O 的半径为 7.5 cm 或 2.5 cm.
第1课时 圆的概念、点与圆的位置关系
【归纳总结】判断几个点是否在同一个圆上的一般方法： 几 个 点 到 某 定 点 的 距 离
相等―→几个点在同一个圆上； 不相等―→几个点不在同一个圆上.
第1课时 圆的概念、点与圆的位置关系
目标二 会判断点与圆的位置关系
例 3 教材练习第 1 题针对训练
解：连接 AC，BD，相交于点 O.连接 OE，OF，OG，OH. ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD. 在 Rt△ABO 中，OE 为斜边 AB 上的中线， 1 ∴OE＝ AB. 2 1 1 1 同理可得 OF＝ BC，OG＝ CD，OH＝ DA， 2 2 2 ∴OE＝OF＝OG＝OH， ∴点 E，F，G，H 在以点 O 为圆心的同一个圆上．
的点的集合． [点拨] 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．
第1课时 圆的概念、点与圆的位置关系
知识点二 点与圆的位置关系
点与圆的位置关系：点在圆上、点在圆外、点在圆内． 若⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，则其对应 关系列表如下：
点 P 与⊙O 的位置 关系 图形表示 d 与 r 的数量关系