第三讲 一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
上述命题的逆命题也正确
例1：不解方程判断下列方程根的情况 ① x²-4x-1=0 ②x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
例2：k取何值时，方程4 x²-（k+2）x+（k-1）=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根
解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4＞0 既a²＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a²-1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a²＞1 ∴a²-1＞0 ∴（4a²-1）＞0 2=-4（4a²-1）（a²-1）<0 ∴方程②无实根
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知 识点的考查可以解决以下几个问题：
一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
点评：本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2－3x＋1＝0的 两根，利用根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1，再通过运用整体代换 的思想代入运算，问题可求．利用根与系数的关系求与根有关的代数 式的值，
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值
例3 已知关于x的方程x 2＋px＋q＝0的两实数根和的平方比两实数根之积 大7，而两实数根差的平方比两实数根之积的3倍小5，求p、q值．
(x 1－x 2) 2＝3 x 1·x 2－5 ……③ ∵(x 1－x 2) 2＝(x 1＋x 2) 2-4 x 1·x 2
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式．通常用符号“Δ”来表示．2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-ab，x1x2=ac4. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ＝b2－4ac，而不是指Δ＝acb42 ．3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b2－4ac≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
【例题罗列】根的判别式类型1：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）3x2－2x－1＝0；（2）y2＝2y－4；（3）（2k2＋1）x2－2kx＋1＝0；（4）9x2－（p＋7）x＋p－3＝0．（系数中有字母的情况）解：(1)∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝4＋12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程就是y2－2y＋4＝0．∵Δ＝（－2）2－4×1×4＝4－16＜0，∴原方程无实数根．(3)∵2k2＋1≠0，∴原方程为一元二次方程．又∵Δ＝（－2k）2－4（2k2＋1）×1＝－4k2－4＜0，∴原方程无实数根．(4)Δ＝［－（p＋7）］2－4×9×（p－3）＝（p－11）2＋36，∵不论p取何实数，（p－11）2均为非负数，∴(p－11)2＋36＞0，即Δ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．升级:如果关于x的方程x2＋2x＝m＋9没有实数根，试判断关于y的方程y2＋my－2m＋5＝0的根的情况．这是一类需要自己找出隐含条件的题解：∵x2＋2x－m－9＝0没有实数根，∴Δ1＝22－4(－m－9)＝4m＋40＜0，即m＜－10．又y 2＋my －2m ＋5＝0的判断式Δ2．Δ2＝m 2－4(－2m ＋5)＝m 2＋8m －20 当m ＜－10时，m 2＋8m －20>0，即Δ2>0．∴方程y 2＋my －2m ＋5＝0有两个不相等的实数根． 类型2：1.已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0．k 取什么值时， (1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?解：Δ＝(2k )2－4（k －1）（k ＋3）＝－8k ＋12．(1)当－8k ＋12＞0，且k －1≠0，即k ＜23且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根；(2)当－8k ＋12＝0，且k －1≠0，即k ＝23时，方程有两个相等的实数根；(3)当－8k ＋12＜0，且k －1≠0，即k ＞23时，方程没有实数根．说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零．2．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程a(1+x 2)+2bx-c(1-x 2)=0有两个相等的实数根，则此三角形为（ ）A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、斜三角形 看到有两个相同的实数根立即判断 应用根的判别式解：原方程可化为（a+c ）x 2＋2bx ＋a-c ＝0，Δ＝(2b)2－4（a +c ）（a -c ）＝0得到a 2=b 2+c 2，因此此三角形为直角三角形。
第三讲一元二次方程根的判别式 韦达定理
一、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到2224()24b b ac x aa-+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a+=也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．二、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)axbx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,22x a=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．三、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： ⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．一、一元二次方程实数根个数的判定【例1】 不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定知识点睛例题精讲一元二次方程根的判别式【例2】 已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根【例3】 若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程2(1)220m x m x m +-+-=（ ）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定【例4】 已知：方程()22250m x m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根．【例5】 对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根．二、一元二次方程中字母参数的确定【例6】 k 的何值时？关于x 的一元二次方程2450x x k -+-=：⑴有两个不相等的实数根；⑵有两个相等的实数根；⑶没有实数根．【例7】 m 为给定的有理数，k 为何值时，方程()22413240x m x m m k +-+-+=的根为有理数？【例8】已知方程22(21)10+++=有实数根，求m的范围．m x m x【例9】关于x的方程()2--+=有实数根，则整数a的最大值是．a x x6860【例10】关于x的一元二次方程2k x---=有两个不相等的实数根，(12)10求k的取值范围．、【例11】已知关于x的方程22x m x m++++=有两个不相等的实数根，化简：2(1)50m-|1|【例12】已知关于x的方程22(21)10+-+=有两个不相等的实数根12k x k x，．x x⑴求k的取值范围；⑵是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．三、一元二次方程与三角形三边关系的综合【例13】三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350-+=的根，则该x x三角形的周长为．【例14】 方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 ．【例15】 已知a ，3是直角三角形的两边，第三边的长满足方程29200x x -+=，则a 的值为．这样的直角三角形有 个．【例16】 已知关于方程21(21)4()02x k x k -++-=⑴求证：无论k 取何值，这个方程总有实数根；⑵若等腰A B C ∆的一边长为4，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长．【例17】 已知关于x 的方程2(2)20x k x k -++=⑴求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；⑵若等腰三角形ABC 的一边长1a =，另两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求A B C ∆的周长．根与系数关系式习题精选1、设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）)3)(3(21--x x ；（2）2221)1()1(+++x x（3）112112+++x x x x（4）||21x x -5）)31)(31(1221x x x x ++2、已知1x ，2x 是关于x 的方程012)2(222=-++-m x m x 的两个实根，且满足02221=-x x ，求m的值；3、已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和，方程02=+-n mx x 的两实根是71+x 和72+x ，求m 和n 的值。
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0
例3：分别以x 2+3x-2=0的两根和与两根积为根的一元二次方程是： 分析：本题求一个已知两个根的一元二次方程，关键是要求出两个根的和与两根的积。
四、不解方程，求与根有关的代数式的值
解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4＞0 既a²＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a²-1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a²＞1 ∴a²-1＞0 ∴（4a²-1）＞0 2=-4（4a²-1）（a²-1）<0 ∴方程②无实根
例4：求证关于x的方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根。
证明：△=[-（m+2）] 2-4（2m+1）=m2 -4m+8=（m-2）2 + 4 ∵不论m为何实数（m-2）2≥0 ∴（m-2）2+4一定是正数 既△＞0 ∴方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根
例5：已知a是实数且方程x²+2ax+1=0 ①有两个不相等的实根。试判别方程 （2a 2-1）x²+2ax+2a 2-1=0 ②没有实根
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知 识点的考查可以解决以下几个问题：
一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
一元二次方程根的判别式和根与系数的关系
一元二次方程根的判别式和根与系数的关系回顾与思考1．一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根的情况可由△=b2－4ac来判定：(1)当b2–4ac>0时，方程有实数根，即x1= ，x2= ．当b2–4ac=0时，方程有实数根，即x1=x2= ．当b2–4ac<0时，方程实数根．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根的判别式．(2)一元二次方程根的判别式的应用：①不解方程，判别根的情况，特别是判别含有字母系数的一元二次方程根的情况，可通过配方法把b2–4ac变形为±(m±h)2＋k的形式，由此得出结论，无论m为何值，b2–4ac≥0或b2–4ac<0，从而判定一元二次方程根的情况．一般步骤是：先计算△，再用配方法将△恒等变形，然后判断△的符号，最后得出结论．②根据方程的根的情况，求待定系数的取值范围；③进行有关的证明．(3)关于根的判别式的应用：①对于数字系数方程，可直接计算其判别式的值，然后判断根的情况；②对于字母系数的一元二次方程，若知道方程根的情况，可以确定判别式大于零、等于零还是小于零，从而确定字母的取值范围；③运用配方法，并根据一元二次方程根的判别式可以证明字母系数的一元二次方程的根的有关问题.(4)应用根的判别式须注意以下几点：①要用△，要特别注意二次项系数a≠0这一条件．②认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知△＞0，△≥0还是要证明△＜0．③要证明△≥0或△＜0，需用配方法将△恒等变形为±(m±h)2＋k的形式，从而得到判断．2．一元二次方程的根与系数的关系(1)如果方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根是x1和x2，那么x1+x2= ，x1x2= ．特别低，如果方程x2＋px＋q = 0的根是x1和x2，则x1+x2= ，x1x2= ．(2)一元二次方程根与系数关系的应用．①验根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：一要先把一元二次方程化成标准型，二不要漏除二次项系数a≠0；三还要注意–ba中的符号．②已知方程一根，求另一根．③不解方程，求与根有关的代数式的值．一般步骤：先求出x1+x2，x1x2的值，再将所求代数式用x1+x2，x1x2的代数式表示，然后将x1+x2，x1x2的值代入求值．④已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程：以x1，x2为根的一元二次方程可写成x2－(x1+x2)x+x1x2=0．(3)应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式b2–4ac≥0；②二次项系数a≠0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.(4)求方程两根所组成的代数式的值，关键在于把所求代数式变形为两根的和与两根的积的形式.(5) 常见的形式：3．二次三项式的因式分解：ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2)．其中x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个实数根．【例1】不解方程，判定关于x的方程根的情况(1) 2x2–9x+8=0 (2)9x2+6x+1=0 (3) 16x2+8x= –3 (4)x2=7x+18(5)2x2–(4k+1)x+2k2–1＝0 (6)x2＋(2t＋1)x＋(t–2)2＝0【例2】(1)已知关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．(2)若关于x的一元二次方程(a–2)x2–2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．【例3】(1)已知关于x的方程x2–mx+m–2=0，求证：方程有两个不相等的实数根(2)求证：方程(m2＋1)x2–2mx＋(m2＋4)＝0没有实数根．【例4】(1)已知方程x2–5x–6=0的根是x1和x2，求下列式子的值：①(x1–3)(x2–3) ②x12+x22+x1x2③x1x2+x2x1(2)利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，①使它的根分别是方程3x2–x–10=0各根的3倍；②使它的根分别是方程3x2–x–10=0各根的负倒数。
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
b 2 2 Δ一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【学习目标】1．掌握一元二次方程根的判别式的应用．2．掌握一元二次方程的根与系数的关系．【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：－4ac 叫做一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式．通常用符号“”来表示．2．对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当Δ ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ ＝0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ ＜0 时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于 x 的一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-1 2 ba，x x =1 2 ca4. 如果关于 x 的一元二次方程 x 2＋px ＋q ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-p ，x x =q12 1 2【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ ＝b 2－4ac ，而不是指Δ ＝ b 2 4ac ．3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时 b 2－4ac ≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数 a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b 2－4ac ≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值
一：掌握常见变形，快速求值
例1：已知方程2x 2-7x+2=0的两根为x 1和x 2，求下列各式的值 （1）x 1 2+x 22 （2）+ （3）（x 1-x 2）2 （4）（x 1-2）(x 2-2) (5) x 1 2 x 2 + x2 2 x2 -3 二、已知方程的根，求另一根及某一系数
例2： (1)已知方程mx 2＋4x＋3＝0有一根是1，另一根是______． (2)若方程x 2＋kx＋3＝0有一根是－1，则k＝______
例4：求证关于x的方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根。
证明：△=[-（m+2）] 2-4（2m+1）=m2 -4m+8=（m-2）2 + 4 ∵不论m为何实数（m-2）2≥0 ∴（m-2）2+4一定是正数 既△＞0 ∴方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根
例5：已知a是实数且方程x²+2ax+1=0 ①有两个不相等的实根。试判别方程 （2a 2-1）x²+2ax+2a 2-1=0 ②没有实根
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知 识点的考查可以解决以下几个问题：
一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式是一个比较重要的知识点，它的应用很广泛，既可以 用来判断一元二次方程根的情况，还是后续知识点的基础和准备。另一方面， 根的判别式也能独立形成综合题。
一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）的判别式：△=b 2－4ac
△＞0方程有两个不相等的实数根． △=0方程有两个相等的实数根． △＜0方程没有实数根． △≥0方程有两个实数根．
上述命题的逆命题也正确
例1：不解方程判断下列方程根的情况 ① x²-4x-1=0 ②x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
例2：k取何值时，方程4 x²-（k+2）x+（k-1）=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根
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分析：①方程有一个根是-1，需将x=-1代入原方程 ②方程有两个相等的实根，既△=0
例3：当m为何值时，方程（m-1）x²+2mx+m+3=0
①﹑无实根 ②﹑有实根
③﹑只有一个实根
④﹑有两个实根 ⑤﹑有两个不等实根 ⑥﹑有两个相等实根
分析 （1）﹑只需△<0 （2）、分情况讨论 ① m-1=0 ② △≥0 且m-1≠0 （3）﹑当m-1=0时 （4）、 △≥0 且 m-1≠0 （5）、△＞0 且 m-1≠0 （6）、 △=0 且 m-1≠0
；
一根普通的老茅草，也不知是红色还是绿色。”作者为什么要
一元二次方程的判别式及跟与系数的关系
一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系要点一、一元二次方程的判别式1．定义：在一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0中，只有当系数a 、b 、c 满足条件△≥b ac 2=−40时才有实数根．这里b ac 2−4叫做一元二次方程根的判别式，记作△．2．判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的根的情况由△b ac 2=−4确定． 设一元二次方程为()ax bx c a 2++=0≠0，其根的判别式为：△b ac 2=−4，则①△>0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个不相等的实数根,x 12．②△=0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个相等的实数根b x x a12==−2． ③△<0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0没有实数根． 特殊的：（1）若a ，b ，c 为有理数，且△为完全平方式，则方程的解为有理根；（2）若△为完全平方式，同时b −±2a 的整数倍，则方程的根为整数根．【例1】（1）不解方程，直接判断下列方程的解的情况： ①x x 27−−1=0 ②()x x 29=43−1 ③x x 2+7+15=0④()mx m x 2−+1+=02（m 为常数）（2）已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()()a b x cx a b 2++2++=0的根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【解析】（1）①△>0，有两个不等实根；②△=0，有两个相等实根； ③△<0，无实根；④△m 2=+1>0，方程有两个不等实根． （2）由题()()()()△c a b a b c c a b 22=2−4+=4++−−∵a b c ++>0，c a b −−<0，故方程没有实根．选A ．【点评】这道题（1）主要考察判别式与根的关系，属于特别基础的题，锻炼孩子们的思维，（2）结合三角形三边关系来考察一元二次方程的判别式和根的个数的关系．【例2】（1）若关于x 的一元二次方程()k x x 21−1+−=04有实根，则k 的取值范围为______． 【解析】（1）≥k 0且≠k 1；【变式2-1】若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是（ ） A. 1 B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2,3【答案】A.提示：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0，解得：k≤，且k≠0. 则k 的非负整数值为1．【变式2-2】已知关于x 的一元二次方程有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】且m≠1 【解析】因为方程有实数根，所以，解得， 同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即， ∴ m 的取值范围是且m≠1． 【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即，m≠1．【例3】已知：关于x 的方程有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 【答案】.【变式3-1】关于x的一元二次方程()k x 21−2−−1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围______．≤k −1<2且k 1≠2， 由题意，得()()k k k k 4+1+41−2>0⎧⎪+1≥0⎨⎪1−2≠0⎩，解得≤k −1<2且k 1≠2；2(1)10m x x −++=54m ≤2(1)10m x x −++=214(1)450m m =−−=−+≥△54m ≤(1)0m −≠54m ≤(1)0m −≠2(1)04kkx k x +++=102k k ≠＞－且【变式3-2】已知关于x 的方程x 2+2x+a ﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根． 【思路点拨】（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b 2﹣4ac ＞0．即可得到关于a 的不等式，从而求得a 的范围．（2）设方程的另一根为x 1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a 的值和方程的另一根． 【答案与解析】解：（1）∵b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0，解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：，解得：，则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【变式3-2】关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】k ＜2且k≠1；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0， 解得：k ＜2且k≠1． 故答案为：k ＜2且k≠1．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件.【例4】当a 、b 为何值时，方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根？（3）要使关于x 的一元二次方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根，则必有△≥0，即()()≥a a ab b 22241+−43+4+4+20，得()()a b a 22+2+−1≤0．又因为()()a b a 22+2+−1≥0，所以()()a b a 22+2+−1=0，得a =1，b 1=−2．【变式4-1】已知关于x 的一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根，求代数式a a a21−2+1+的值．【解析】由题，一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根， 所以a a 2−3+1=0．所以有a a a 2−2+1=，a a 2+1=3．代入a a a21−2+1+，得a a a a a a a a a 2211+13−2+1+=+===3．【点评】这道题主要是考察判别式与代数式的结合，难度不大．【变式4-2】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根. 【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.【例5】在等腰△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知a =3，b 和c 是关于x 的方程x mx m 21++2−=02的两个实数根，求△ABC 的周长．【解析】当b c =时，方程有两个相等的实数根，则=△m m 21⎛⎫−42−=0 ⎪2⎝⎭，∴m 1=−4，m 2=2．若m =−4，原方程化为x x 2−4+4=0， 则x x 12==2，即b c ==2， ∴△ABC 的周长为2+2+3=7． 若m =2，原方程化为x x 2+2+1=0， 则x x 12==−1，不合题意．当a b =或a c =时，x =3是方程的一个根， 则m m 19+3+2−=02，则m 22=−5，原方程化为x x 22221−+=055，解得x 1=3，x 27=5， ∴ABC △的周长为7373+3+=55．综上所述，ABC △的周长为7或375． 【点评】这道题主要考察学生们的分类讨论能力，应对多种情况是要理清思路．要点二、一元二次方程的根与系数关系(韦达定理)1．韦达定理：如果()ax bx c a 2++=0≠0的两根是x 1，x 2，则b x x a 12+=−，cx x a12=．（使用前提：△≥0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x 1，x 2是方程x px q 2++=0的两个根，则x x p 12+=−，x x q 12=． 2．韦达定理的逆定理：如果有两个数x 1，x 2满足b x x a 12+=−，cx x a12=，那么x 1，x 2必定是()ax bx c a 2++=0≠0的两个根．特别地，以两个数x 1、x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是()x x x x x x 21212−++=0． 3．韦达定理与根的符号关系：在△≥b ac 2=−40的条件下，我们有如下结论： （1）当ca<0时，方程的两根必一正一负． ①若≥b a −0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若ba−<0，则此方程的正根小于负根的绝对值．（2）当ca>0时，方程的两根同正或同负． ①若b a −>0，则此方程的两根均为正根；②若ba−<0，则此方程的两根均为负根．注意：（1）若ac <0，则方程()ax bx c a 2++=0≠0必有实数根．（2）若ac >0，方程()ax bx c a 2++=0≠0不一定有实数根．【例6】（1）已知一元二次方程ax ax c 2+2+=0的一根x 1=2，则方程的另一根______x 2=．（2）已知x 1，x 2是方程x x 2−3+1=0的两个实数根，则：①x x 2212+；②()()x x 12−2⋅−2；③x x x x 221122+⋅+；④x x x x 2112+；⑤x x 12−；⑥x x 2212−；⑦x x 1211−．【解析】（1）−4；（2）()x x x x x x 2222121212+=+−2⋅=3−2⨯1=7， ()()()x x x x x x 121212−2⋅−2=⋅−2++4=1−2⨯3+4=−1， ()x x x x x x x x 22211221212+⋅+=+−⋅=9−1=8，x x x x x x x x 2221211212+7+===7⋅1，()()x x x x x x 222121212−=+−4⋅=3−4⨯1=5，∴x x 12−=，∴()()(x x x x x x 22121212−=+−=3⨯=x x x x x x 21121211−−==．【点评】第三小题，主要是考察韦达定理的灵活运用，包含了各种变形情况．【例7】（1）已知关于x 的方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1，x 2，且x x x x 121211+=+，求k 值．（2）已知x 1，x 2是方程ax ax a 24−4++4=0的两实根，是否能适当选取a 的值，使得()()x x x x 1221−2−2的值等于54．【解析】（1）∵方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1，x 2，∴()()△≥k k k 22=2−3−4−3=21−120得：≤k 74． 由韦达定理得，()x x k x x k 12212+=−2−3⎧⎪⎨⋅=−3⎪⎩． ∵x x x x 121211+=+，∴x xx x x x 121212++=，x x 12+=0或x x 12=1，当x x 12+=0时，k 3−2=0，k 3=2，∵k 37=<24，所以k 3=2符合题意． 当x x 12=1时，k 2−3=1，k =±2，∵k 7≤4，∴k =2舍去．∴k 的值为32或−2． （2）显然a ≠0由()△a a a 2=16−16+4≥0得a <0， 由韦达定理知x x 12+=1，a x x a12+4=4， 所以()()()()()a x x x x x x x x x x x x a 2221221121212129+4−2−2=5−2+=9−2+=−24a a+36=4 若有()(),x x x x 12215−2−2=4则a a +365=44，∴a =9，这与0a <矛盾， 故不存在a ，使()()x x x x 12215−2⋅−2=4． 【点评】这道题主要锻炼孩子们的过程，以及有两个实根，解出来别忘了限制条件，这种类型的题比较常见，一定不要忽视∆的限定条件以及用韦达定理可得到的限定条件．【例8】（1）若m ，n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根，则m m n 2+2+−1的值为________．（2）已知a ，b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根，则a ab a b 2−+3+的值为__________．（3）已知m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，则()()m m n n 22+2015+6+2017+8= ________．【解析】（1）∵m ，n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根，∴m n +=−1，m m 2+−1=0，则原式()()m m m n 2=+−1++=−1=−1，（2）∵a 是方程x x 2+2−5=0的实数根，∴a a 2+2−5=0，∴a a 2=5−2，∴a ab a b a ab a b a b ab 2−+3+=5−2−+3+=+−+5， ∵a ，b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根，∴a b +=−2，ab =−5，∴a ab a b 2−+3+=−2+5+5=8． 故答案为8．（3）∵m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，∴m n +=−2016，mn =7；∴m m 2+2016+7=0，n n 2+2016+7=0，()()()()m m n n m m m n n n 2222+2015+6+2017+8=+2016+7−−1+2016+7++1()()()()m n mn m n =−+1+1=−+++1=−7−2016+1=2008故答案是：2008．【点评】这道题主要考查韦达定理根系关系的应用，进一步强化孩子对于韦达定理应用的理解．【例9】（1）已知一元二次方程()ax a x a 2+3−2+−1=0的两根都是负数，则k 的取值范围是_________．（2）已知二次方程342x x k 2−+−=0的两根都是非负数，则k 的取值范围是__________．【解析】（1）此方程两实根为,x x 12，由已知得a x x x x 1212≠0⎧⎪∆0⎪⎨+<0⎪⎪>0⎩≥，∴()()a a a a a a a a2≠0⎧⎪3−24−10⎪⎪2−3⎨<0⎪⎪−1⎪>0⎩-≥g ,即a 91<8≤．（2）此方程两实根为,x x 12，由已知得≥x x x x 1212∆≥0⎧⎪+≥0⎨⎪0⎩，得：∴2()43()k k ⎧⎪−4−⨯−2≥0⎪4⎪>0⎨3⎪−2⎪≥0⎪3⎩即k 102≤≤3． 【点评】这道题主要考查韦达定理和判别式结合不等式组的形式去判定根的具体情况，这类题是比较常见一类题，要将这种不等的思想传授给孩子．【课后作业】1．已知关于x 的一元二次方程()()k x k x 22−1+2+1+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为_____________． A ．k 1≥4 B ．k 1>4且≠k 1 C ．k 1<4且≠k 1 D ．k 1≥4且≠k 1【解析】B ．2．已知关于x 的一元二次方程x m 2−=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围__________．3．关于x 的方程()()m x m x 22−4+2+1+1=0有实根，则m 的取值范围__________．【解析】2．由题意可知，原方程的判别式(m m m 21∆=+4=1+3>0⇒>−3．又≥≤m m 1−0⇒1， 故≤m 1−<13．3．题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分0m 2−4=和m 2−4≠0，两种情形讨论：当m 2−4=0即m =±2时，()m 2+1≠0，方程为一元一次方程，总有实根； 当m 2−4≠0即m ≠±2时，方程有根的条件是： [()]()≥m m m 22=2+1−4−4=8+20∆0，解得m 5≥−2．∴当m 5≥−2且m ≠±2时，方程有实根．综上所述：当m 5≥−2时，方程有实根．4．已知关于x 的方程()x k x k 2−+1+2−2=0． （1）求证：无论k 为何值，方程总有实根；（2）若等腰ABC △，底边a =3，另两边b 、c 恰好是此方程的两根，求ABC △的周长．【解析】（1）()()()≥△k k k 22=+1−42−2=−30，∴无论k 为何值，方程总有实根．（2）当a =3为底，b ，c 为腰时，b c =，∴方程有两个相等的实根，∴∆=0，即()k 2−3=0，k =3，此时方程为x x 2−4+4=0，解x x 12==2，∴ABC △的周长为3+2+2=7，当a =3为腰，则方程有一根为3，将x =3代入方程，得k =4，方程为x x 2−5+6=0，解得x 1=2，x 2=3，∴ABC △的周长为2+3+3=8，综上所述，ABC △的周长为7或8．5．关于x 的方程x kx 22+=10的一个根是−2，则方程的另一根是_______；k =________．6．已知a ，b ，c 为正数，若二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根，那么方程a x b x c 2222++=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的正实数根 B ．有两个异号的实数根 C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根7．设α，β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根，则ααβ2+4+=________．【解析】5．设另一根为x ，由根与系数的关系可建立关于x 和k 的方程组，解之即得．x 5=2，k =−1． 6．a x b x c 2222++=0的()()D b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2， ∵二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根， ∴≥b ac 2−40， ∴b ac 2−2>0，∴()()△b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2>0∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正． 故有两个负根．故选C ．7．∵α，β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根， ∴αβ+=−3，αα2+3−7=0， ∴αα2+3=7，∴ααβαααβ22+4+=+3++=7−3=4，故答案为：4．11 8．已知关于x 的方程()x m x m 22+2+2+−5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．【解析】有实数根，则∆≥0，且x x x x 221212+−=16，联立解得m 的值．依题意有：()2()3()()x x m x x m x x x x m m 12212121222+=−2+2⎧⎪=−5⎪⎨+−=16⎪⎪∆=4+2−4−5≥0⎩，解得：m =−1或m =−15且m 9≥−4， ∴ m =−1．韦达定理说明了一元n 次方程中根和系数之间的关系。
一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用
一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用
一元二次方程的一般形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中
$a,\,b,\,c$ 是实数，且 $a \neq 0$。
根的判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
根的情况如下：
1. 当 $\Delta > 0$ 时，方程有两个不相等的实根，根的关系为$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b -
\sqrt{\Delta}}{2a}$。
2. 当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实根，根的关系为$x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}$。
3. 当 $\Delta < 0$ 时，方程没有实根，而有两个共轭复根，根的关系为 $x_1 = \frac{-b + \sqrt{-\Delta}i}{2a}$，$x_2 = \frac{-b - \sqrt{-\Delta}i}{2a}$，其中 $i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
应用根与系数的关系需要注意以下几点：
1. 根与系数之间的关系是通过根的求解公式得到的。
2. 求解根时，必须保证方程是一元二次方程且系数满足条件，即 $a \neq 0$。
3. 具体的应用问题需要根据具体情况来确定如何使用根与系数的关系，例如可以通过根的值判断方程的解的情况，或者通过
根的关系来确定系数的取值范围等。
4. 根与系数的关系可以用于解决实际问题中的方程求解、几何问题等。
例如，可以用根的关系来求解二次函数的最值、方程组中的未知数等。
考点04 一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系(解析版)
考点四一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系知识点整合一、一元二次方程根的判别式及根与系数关系1．根的判别式一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；（2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；（3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．3．根与系数关系对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），设其两根分别为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=．典例引领1．已知关于x 的一元二次方程()()22110x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根：(2)若该方程的一个根为1，求m 的值及另一个根．【答案】(1)证明见解析(2)当0m =时，方程的另一个根为0x =；当1m =时，方程的另一个根为2x =【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．（1）只需要证明()()221410m m m ∆=-+-+>⎡⎤⎣⎦恒成立即可；（2）把1x =代入原方程得到20m m -=，解方程求出m 的值，进而根据m 的值解方程求出方程的另一根即可．【详解】（1）证明：由题意得，()()22141m m m ∆=-+-+⎡⎤⎣⎦依题意有：215x -+=，21x k -⋅=，解得26x =，6k =-，故k 的值为6-，方程的另一个根为6x =．9．求证：对于任意实数m ，关于x 的方程22220x mx m -+-=总有两个不相等的实数根．【答案】见解析【分析】本题主要考查了一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根情况，判断其根的情况，完全取决于24b ac ∆=-的符号，当0> 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．【详解】解：()24422m m =--△2488m m =-+()2414m =-+．()210m -≥，∴()241440m =-+≥>△．∴对于任意实数m ，关于x 的方程22220x mx m -+-=总有两个不相等的实数根．10．已知关于x 的一元二次方程()2320x m x m ++++=．(1)求证：不论实数m 取何值，方程总有实数根；(2)当m 取何值时，方程有两个相等的实数根？【答案】(1)见详解(2)1m =-【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记“24b ac ∆=-”是解题关键．（1）方程有实数根时240b ac ∆=-≥，由此即可求解．（2）方程有两个相等的实数根即240b ac ∆=-=，由此即可求解．【详解】（1）证明：()()2243412b ac m m ∆=-=+-⨯⨯+26948m m m =++--221m m =++()21m =+（2）由题意得，222229k k ⨯+-=，整理得，245k k -=，根据()223122023342023k k k k -+=-+，计算求解即可．【详解】（1）解：∵2229x kx k +-=，∴22290x kx k -+-=，∴()()222419360k k ∆=--⨯⨯-=>，∴此方程有两个不相等的实数根；（2）解：由题意得，222229k k ⨯+-=，整理得，245k k -=，∴()2231220233420231520232038k k k k -+=-+=+=，∴23122023k k -+的值为2038．13．已知关于x 的方程22220x mx m ++-=．(1)试说明：无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有一个根为3，求22122043m m ++的值．【答案】(1)证明见解析(2)2029【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，代数式求值；（1）根据一元二次方程根的判别式，进行证明即可；（2）根据方程有一个根为3，得出267m m +=-，然后整体代入求值即可．解题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．【详解】（1）证明：∵()()2222241244880m m m m ∆=-⨯⨯-=-+=>，∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程有一个根为3，∴223620m m ++-=，整理，得：267m m +=-，∴22122043m m ++()2262043m m =++()272043=⨯-+142043=-+2029=．14．已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=．(1)若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；(2)求证：该方程总有两个实数根．【答案】(1)1(2)见解析【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，（1）直接把2x =代入到原方程中得到关于m 的方程，再解方程即可得到答案；（2）根据一元二次方程根的判别式进行证明．掌握对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=-，则方程没有实数根；理解一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，是解决问题的关键．【详解】（1）解：当2x =时，4210m m -+-=3m ∴=，则原方程为：2320x x -+=，即：()()210x x --=，11x ∴=，22x =，∴另一个根1，（2）证明：()()2Δ411m m =--⨯⨯-244m m =-+()220m =-≥，∴该方程总有两个实数根；15．已知关于x 的一元二次方程()()25230x m x m +---=(1)求证：该方程总有两个实数根(2)如果该方程的两个实数根的差为4，求m 的值(2)“凤凰”方程必定有一个根是______；(3)已知方程20x mx n ++=是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求mn 的值．【答案】(1)2230x x +-=(2)1(3)mn 2=-【分析】（1）本题主要考查一元二次方程根的情况，通过观察可以发现1x =是方程的根，直接写出一个根为1一元二次方程即可．（2）本题主要考查通过代数式观察，可以发现1x =是一元二次方程的一个根，直接求解即可．（3）本题主要考查由一元二次方程根的情况，推导出240b ac ∆=-=，可以得到一个方程，再由凤凰方程，又可以得到一个10m n ++=的方程，然后去求，m 和n 即可，最后求出mn 的值．【详解】（1）由题可知，要写出一个一元二次方程，并且满足一个根是1x =；即为：2230x x +-=．（2）关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，且满足0a b c ++=；∴1x =时，0a b c ++=；故凤凰”方程必定有一个根是1x =．（3）20x mx n ++= 是“凤凰”方程；10m n ∴++=，即1n m =--；方程20x mx n ++=有两个相等的实数根；240m n ∴∆=-=．将1n m =--代入，得()2410m m ---=；解得：2,1m n =-∴=；()212mn ∴=-⨯=-．19．已知关于x 的一元二次方程()23220x k x k ++++=．(1)求证：方程有两个实数根；(2)若方程的两个根分别为1x ，2x ，且1212217x x x x ++=，求k 的值．【答案】(1)见解析【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程；（1）求出0∆>即可证明；（2）根据根与系数的关系得出1221k x k x -=++，123x x +=，结合已知等式得出关于k 的一元二次方程，解方程可得答案．【详解】（1）证明：∵()()()2222234194444452140k k k k k k k ∆=---++=+--=-+=-+>，∴无论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程22310x x k k ++--=有两个实数根1x ，2x ，∴1221k x k x -=++，123x x +=，又∵()()12113++=x x ，∴121213x x x x +++=，∴23131k k -+++=+，解得：12k =，21k =-．5．已知关于x 的一元二次方程220x x k ++=．(1)若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；(2)若m 是方程的根，且222m m +=，求k 的值．【答案】(1)1k <(2)2k =-【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与一元二次方程的解的含义，理解原理的应用是解本题的关键；（1）根据方程有两个不相等的实数根，可得240b ac ∆=->，求出k 的取值范围即可；（2）先由方程解的含义可得22m m k +=-，结合222m m +=即可求解．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程220x x k ++=有两个不相等的实数根，∴24440b ac k ∆=-=->，解得：1k <；（2）∵m 是方程220x x k ++=的根，∴220m m k ++=即22m m k +=-，∵222m m +=，∴2k -=，解得：2k =-．6．已知关于x 的一元二次方程2210(0)nx x n -+=≠有实数根．(1)求n 的取值范围；(2)当n 取最大值时，求方程2210(0)nx x n -+=≠的根．【答案】(1)1n ≤且0n ≠(2)121x x ==【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元二次方程．（1）根据题意，可得240b ac ∆=-≥，即440n -≥，解不等式，并根据一元二次方程的定义确定n 的取值范围即可；（2）结合n 的取值范围确定n 的最大值，然后利用配方法解该方程即可．【详解】（1）解：根据题意，一元二次方程2210(0)nx x n -+=≠有实数根，则224(2)41440b ac n n ∆=-=--⨯⨯=-≥，解得1n ≤，又∵0n ≠，∴n 的取值范围是1n ≤且0n ≠；（2）由1n ≤且0n ≠得，n 的最大值为1，把1n =代入原方程得2210x x -+=，∴2(1)0x -=，解得121x x ==．7．己知一元二次方程2410x x m -+-=．(1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；(2)若方程有两个相等的实数根，求实数m 以及此时方程的根．【答案】(1)5m <(2)5m =，122x x ==【分析】本题考查了根的判别式，牢记“①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；③当Δ0<时，方程无实数根．”（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出结论；（2）由方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：2(4)4(1)m ∆=---，方程有两个不相等的实数根，∴0∆>，解得5m <．（2） 方程有两个相等的实数根，∴Δ0=，即164(1)0m --=解得5m =(1)若所捂的部分为【详解】（1）解：∵方程有实数解是1x 和2x ，∴()22410k ∆=--≥，解得2k ≤，故k 的取值范围是2k ≤；（2）∵一元二次方程2210x x k ++-=的实数解是1x 和2x ，∴122x x +=-，121x x k ⋅=-，则()121221x x x x k +-=---，∵12121x x x x +-<-∴()211k ---<-，解得0k >，又由（1）知2k ≤，∴02k <≤，∵k 为整数，∴k 的值为1或2．13．已知关于x 的一元二次方程250x ax a ++-=．(1)若该方程的一个根为3，求a 的值及该方程的另一个根；(2)求证：不论a 为何值，该方程总有两个不相等的实数根．【答案】(1)方程的另一根为2-；(2)见解析【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，（1）将方程的根代入可求得a 的值，再根据根与系数的关系可求得另一个根；（2）用a 表示出其判别式，利用配方可化为平方的形式，可判断判别式的符号，可得出结论；掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的关系及根与系数的关系是解题的关键．【详解】（1）解：将3x =代入方程250x ax a ++-=可得：9350a a ++-=，解得1a =-；∴方程为260x x --=，设另一根为x ，则36x =-，。
第三讲 一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系1、一元二次方程的根的判别式综上所述，一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有： （1）当0>∆时，方程有两个不相等的实数根； （2）当0=∆时，方程有两个相等的实数根； （3）当0<∆时，方程没有实数根。
2、一元二次方程的根与系数的关系如果()002≠=++a c bx ax 的两个根是21x x 、，那么ab x x -=+21，ac x x =⋅21。
[例1]已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根．[例2]设方程22630x x --=，的两个根是12,x x ，求2221x x +、3231x x +、21x x -的值；[练1]若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．[练2]已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．类型三：利用韦达定理和根的判别式，判断方程根的情况[例]当m 取什么实数时，关于x 的方程()()05242=-+-+m x m x 分别有：（1）两个正实数根；（2）一正根和一负根；（3）正根绝对值大于负根绝对值；小知识：利用根的判别式和韦达定理，可以判定方程()002≠=++a c bx ax 的正根、负根情况：（1）方程有两个正根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=⋅>-=+≥-=∆⇔000421212a c x x a b x x ac b ；（0=∆时，两正根相等）（2）方程有两个负根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=⋅<-=+≥-=∆⇔000421212a c x x a b x x ac b ；（0=∆时，两负根相等）（3）方程有一正根和一负根⎪⎩⎪⎨⎧<=⋅>-=∆⇔004212a cx x ac b ； 此时又可进一步分为三种情况：①021>-=+ab x x 时，正根大于负根的绝对值；②021<-=+ab x x 时，正根小于负根的绝对值；③021=-=+ab x x ，即0=b 时，两根互为相反数。
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解
1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
这是因为Δ大于0表示
判别式是一个正数，所以开方后可以得到一个实数。
这种情况下方程的根
可以通过求解下面的式子来得到：
x1=(-b+√Δ)/(2a)
x2=(-b-√Δ)/(2a)
2.当Δ=0时，方程有一个实数根。
这是因为Δ等于0表示判别式是
一个零，所以开方后可以得到同一个数字。
这种情况下方程的根可以通过
求解下面的式子来得到：
x=-b/(2a)
3.当Δ<0时，方程没有实数根。
这是因为Δ小于0表示判别式是一
个负数，所以开根号无法得到实数。
但是我们可以通过引入虚数单位i来
表示方程的根。
这种情况下方程的根可以通过求解下面的式子来得到：x1=(-b+√(-Δ)i)/(2a)
x2=(-b-√(-Δ)i)/(2a)
根据根与系数的关系
1.根与二次项系数a的关系：当a大于0时，方程开口向上，根的值
会随着a增大而增大；当a小于0时，方程开口向下，根的值会随着a减
小而增大。
2.根与一次项系数b的关系：根的值与b的正负有关，当b大于0时，根的值变大；当b小于0时，根的值变小。
3.根与常数项系数c的关系：根的值与c的正负有关，当c大于0时，根的值变小；当c小于0时，根的值变大。
这些关系可以帮助我们更好地理解和应用一元二次方程的根。
在实际
问题的解决中，根与系数的关系可以帮助我们分析方程的性质，例如方程
的图像形状和根的变化趋势，并在需要的时候做出合理的调整和判断。
高一数学知识点讲解与专题练习3---一元二次方程
高一数学知识点讲解与专题练习第三讲一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．一、一元二次方程的根的判断式++=≠，用配方法将其变形为：一元二次方程20 (0)ax bx c a(1) 当240−>时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：b ac−<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．(3) 当240b ac由于可以用24−的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把b ac24++=≠的根的判别式，表示为：b acax bx c a−叫做一元二次方程20 (0)24∆=−b ac【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：5(3)60+=(3) 2x x+−=y yx x49122310(1) 2−+=(2) 2解：(1) 2Q，∴ 原方程有两个不相等的实数根．(3)42110∆=−−××=>(2) 原方程可化为：241290y y −+=2 (12)4490∆=−−××=Q ，∴ 原方程有两个相等的实数根．(3) 原方程可化为：256150x x −+=2 (6)45152640∆=−−××=−<Q ，∴ 原方程没有实数根．说明说明：：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式． 练：说出下列各方程的根的情况（1）23x x −+ （2）2441x x −+ （3）22x x +−【例2】已知关于x 的一元二次方程2320x x k −+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．解：2(2)43412k k ∆=−−××=−二、一元二次方程的根解法进一步地，在一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠有实数根的前提下，该实数根具体是多？这就涉及到一元二次方程的根的求法解法一（因式分解法）若2ax bx c ++可分解为()()px q mx n ++，【典例典例】】解一元二次方程220x x +−=解：原方程可化为(1)(2)0x x −+= 故12x =−或练：解一元二次方程（1）24120x x −−= （2）2260x x +−= （3）24510x x −+−= 解法二（配方法）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：【典例典例】】解一元二次方程220x x +−=练：解一元二次方程（1）24120x x −−= （2）2260x x +−= （3）24510x x −+−= 解法三（公式法）对于一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，(1) 当240b ac −>时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：【典例典例】】解一元二次方程220x x +−=解：由2b 490ac ∆=−=>所以原方程有两个不相等的实数根练：解一元二次方程（1）24120x x −−= （2）2260x x +−= （3）24510x x −+−=三、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：说明说明：：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0∆≥．【例3】若12,x x 是方程2220070x x +−=的两个根，试求下列各式的值： 分析分析：：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=−=− (1) 2222121212()2(2)2(2007)4018xx x x x x +=+−=−−−=(3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x −−=−++=−−−+=−说明说明：：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：33312121212()3()x x x x x x x x +=+−+等等．韦达定理体现了整体思想．练：若12,x x 是方程22530x x +−=的两个根，试求下列各式的值 （1）12x x + （2）12x x (3) 2212x x +；A 组1．一元二次方程2(1)210k x x −−−=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且3．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +−++=的根，则m 等于( )A ．3−B ．5C ．53−或D ．53−或4．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=−和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定为( )A ．20−B ．2C ．220−或D ．220或6．如果方程2()()()0b c x c a x a b −+−+−=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______ 7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x −+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．8．若方程22(1)30x k x k −+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．9．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．10．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =−=−，则a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ． 11．对于二次三项式21036x x −+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．的值．13．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++−=． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(1)k 取何值时，方程存在两个正实数根？B 组1．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k −+−++=有两个不相等的实数根12,x x ． (1) 求k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．2．已知关于x 的方程230x x m +−=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m −+−+−=有实数根．3．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k −+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1．(1) 求实数k 的取值范围；第三讲一元二次方程根与系数的关系习题答案A组1．B 2．A 3．A 4．A 5．A且+=≠a cb b c6．2,=−=−7．3 8．9或3−9．1,3p q===11．正确12．4a b c10．3,3,0B组k≠时，0x+=，有实根；(2) 当3∆>也有实m=(1)当3k=时，方程为3102．1根．。
第三讲---一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系
第三讲 一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系知识要点回顾：一、一元二方程根的判别式：△＝ 。
（说明：只针对一元二次方程使用）1、当△＝b 2-4ac>0时，方程有 实数根；当△＝b 2-4ac=0时，方程有 实数根，此时两根= ；当△＝b 2-4ac<0时，方程 实数根；（当△大于或等于0时，方程 实数根）。
2、当方程有两个不相等的实数根时，△ 0；当方程有两个相等的实数根时，△ 0；当方程没有实数根时，△ 0；当方程有实数根时，△ 0。
3、一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0（a ≠0）中，如果a ，b ，c 是有理数且Δ=b 2-4ac 是一个完全平方数，则方程必有 ．二、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：1、前提条件是2、一般地，如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是1x 和2x ，那么 x 1+x 2= ,x 1 x 2= ；当a=1时，x 1+x 2= ,x 1 x 2=3、以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 ______________________．例题讲析：例1：若已和关于x 的一元二次方程kx 2+1=x －x 2，当k 为何值时，(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程无实根?例2： 设x 1,x 2是方程2x 2+4x －3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：(1) (x 1－1)(x 2－1)(2)1211x x + （3）x 12+ x 22例3：已知关于x 的方程x 2－(m+3)x －m －7=0，若有一个根为1，则m=___，另一根为_____巩固练习1：1、方程3x 2+2=4x 的判别式b 2-4ac= ，所以方程的根的情况是 .2、不解方程，判断一元二次方程022632=+--x x x 的根的情况是3、若关于x 的方程052=++k x x 有实数根，则k 的取值范围是 ．4、已知方程x 2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m ，n 的值可以是m= ,n= .5下列方程中有两个相等的实数根的方程是( )09124.2=++x x A 032.2=-+x x B02.2=++x x C 072.2=-+x x D 6、一元二次方程x 2-4x+4=0的根的情况是（ ）A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定7、若一元二次方程（1-2k ）x 2+12x-10=0有实数根，那么k 的最大整数值是（ ）A ．1；B ．2；C ．-1；D ．0．8、已知关于x 的方程,03)12(22=-+++k x k x 当k 为何值时，(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程无实根?巩固练习2：1、已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝________ ，x 1•x 2＝_____2、已知x 1，x 2是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，则（1）x 1＋x 2＝________ ，x 1•x 2＝_____ ，（2）(2x 1－1)(2x 2－1) ＝______________________，1211x x +＝_______________ （3）（x 1－x 2）2＝____________________________。
一元二次方程根的判别式和根与系数的关系
专业：数学与应用数学 课程名称：现代教育技术 姓名：宋燕兵 班级：07级6班 学号：200708140635
第3 课时
一元二次方程根的判别式 和根与系数的关系
b 2 (x ) 0 2a 4a 2 0 若等式成立 则有b 2 4ac 0
ax2 bx c 0(a 0)
一元二次方程
判别式的情况
ax2 bx c 0(a 0)
b 2 4ac
根的情况
两不相等实根 两相等实根 无实根
定理与逆定理
0
0 0
0 有两个不等实根
0 有两个相等实根
0 没有实根
m
一元二次方程根的判别式的主要应用
（一）不解一元二次方程，判断根的情况
2个相同解
知识源于悟
性 质
对于一元二次方程 2 bx c 0. ax 1 b 2 4ac 0时，方程有两个不相等 ） 的实数根， b b 2 4ac b b 2 4ac 这两个实数根为 1 x ，x 2 2a 2a 2） b 2 4ac 0时，方程有两个相等的 实数根， b 这两个实数根为 1, 2 x 2a 3） b 2 4ac 0时，方程没有实数根。
解 题 时 一 定 要 注 意 了
知识源于悟
对于所给方程二次项系数未明确不为零 时，不可盲目用根的判别式，必须进行 讨论 用根的判别式确定字母的取值范围时， 不能忽略“二次项系数不为零”这一条 件
一元二次方程根的判别式的主要应用
（三）证明字母系数方程有实数根或无实数根
无论m取何值，关于 的方程x 2 (m 2) x 2m 1 0 x 总有两个不相等的实数 根。
第三讲 一元二次方程根与系数的关系
1第三讲 一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用。
本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述。
一、一元二次方程的根的判断式【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) 22310x x -+= (2) 24912y y += (3) 25(3)60x x +-=说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式。
【例2】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根； (3)方程有实数根；(4) 方程无实数根。
【例3】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值。
二、一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=说明“韦达定理”。
上述定理成立的前提是0∆≥。
2【例4】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -。
【例5】已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值。
(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =。
3【例6】已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根。
(1)是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由。
第3讲：一元二次方程根的判别式、根与系数的关系(韦达定理)
金银学校2010年秋期初2011级一诊考试数学复习（二）“第23章：一元二次方程”第3讲：一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（韦达定理）一．课堂反馈1．（03泸州）一元二次方程210x x ++=的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.以上说法都不对 2．（04泸州17题）已知：一元二次方程2440(0)k x x k ++=≠，当k 为何值时，方程有两个相等的实数根（ ）A. 12k =B.12k =-C. 1k =D. 1k =-3．（07泸州）若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1m < B ．1m >- C ．1m > D ．1m <- 4．（08泸州）已知关于x 的一元二次方程()21210k x x ++-=有两个不相同的实数根，则k 的取值范围是5．(10安徽芜湖7题)关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ） A ．1a ≥ B ．15a a >≠且 C ．15a a ≥≠且 D ．5a ≠6．（03泸州）设12,x x 是方程22410x x +-=的两个根，则2212x x += .7．（10泸州）已知一元二次方程21)10x x -+=的两根为12x x ，，则1211x x +=_________.8．（07泸州）若非零实数)(,b a b a ≠满足020072=-+a a ,020072=-+b b ，则=+ba 11____________.9．（09泸州B4）已知方程11=-xx 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ．10．（10日照）如果关于x 的一元二次方程20x p x q ++=的两根分别为122,1x x ==，那么,p q 的值分别是（ ） A ．－3，2 B 3，-2 C 2，－3 D 2，3 二．典例精析 例1．（09泸州B6）有A 、B 两个黑布袋，A 布袋中装有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2，3， B 布袋中装有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2．小明先从A 布袋中随机取出—个小球，用m 表示取出的球上标有的数字，再从B 布袋中随机取出一个小球，用n 表示取出的球上标有的数字．（1）若用(m ，n)表示小明取球时m 与n 的对应值，请画出树状图并写出(m ，n)的所有取值；（2）求关于x 的一元二次方程0212=+-n mx x 有实数根的概率．例2．已知关于x 的方程22x －4x ＋3q ＝0的一个根是1－2，求它的另一个根和q 的值．例3．（08泸州压轴题）如图，已知二次函数2y a x b x c =++的图象经过三点A ()1,0-，B ()3,0，C ()0,3，它的顶点为M ，又正比例函数y k x =的图像与二次函数相交于两点D 、E ，且P 是线段DE 的中点.（1）求该二次函数的解析式，并求函数顶点M 的坐标；（2）已知点E ()2,3，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x 的取值范围；（3）当02k <<时，求四边形PCMB 的面积s 的最小值.【参考公式：已知两点()11D ,x y ，()22E ,x y ，则线段DE 的中点坐标为1212,x x y y ++⎛⎫】三．自我测评 1．（02泸州）下列方程有实数根的是（ ）A ．x 2－x －1＝0 B. x 2＋x ＋1＝0 C. x 2－6x ＋10＝0 D. x 2－2x ＋1＝0 2．（05泸州非课改15题）下列方程中，没有实数根的是（ ） A ．012=++x x B ．0122=++x x C ．0122=--x x D ．022=--x x3. (10兰州) 已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是 ．4．(10安徽B 卷5)关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．95．（04泸州B2）已知：12,x x 是方程2430x x +-=的两根，则1211x x +＝＿＿＿.6．（10四川眉山）已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（ ） A ．7- B ．3- C ．7 D ．37．(10安徽芜湖14题)已知12,x x 为方程2310x x ++=的两实根，则312820x x ++＝_______．8．（10广东广州）已知关于x 的一元二次方程)0(012≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求4)2(222-+-ba ab的值.9．（02泸州压轴题）已知：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A(x 1，0)，B(x 2，0)(x 1<x 2)，顶点M 的纵坐标是－4。
第三讲 一元二次方程根与系数的关系
初高中数学衔接课程（3）第三讲 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）一、方程根的情况一元二次方程2ax ＋b x ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程2ax ＋b x ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示。
对于一元二次方程2ax ＋b x ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相2ax ＋b x ＋c ＝0等的实数根2,1x ＝242b b aca-±-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，1x ＝2x ＝－2ba； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根。
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根。
例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根。
（1）2x －3x ＋3＝0； （2）2x －ax －1＝0； （3）2x －ax ＋(a －1)＝0； （4）2x －2x ＋a ＝0。
解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根。
（2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根2142a a x ++=，2242a a x -+=。
（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1； ②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根x 1＝1，x 2＝a －1。
（4）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )，所以 ①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根111x a =+-，211x a =--；②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1； ③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根。
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第三讲 一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系
知识要点回顾：
一、一元二方程根的判别式：△＝ 。
（说明：只针对一元二次方程使用）
1、当△＝b 2-4ac>0时，方程有 实数根；当△＝b 2-4ac=0时，方程
有 实数根，此时两根= ；当△＝b 2-4ac<0时，方程 实数根；（当△大于或等于0时，方程 实数根）。
2、当方程有两个不相等的实数根时，△ 0；当方程有两个相等的实数根时，△ 0；当方程没有实数根时，△ 0；当方程有实数根时，△ 0。
3、一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0（a ≠0）中，如果a ，b ，c 是有理数且Δ=b 2
-4ac 是一个完全平方数，则方程必有 ． 二、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
1、前提条件是
2、一般地，如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是1x 和2x ，那么 x 1+x 2= ,x 1 x 2= ；当a=1时，x 1+x 2= ,x 1 x 2=
3、以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 ______________________．
例题讲析：
例1：若已和关于x 的一元二次方程kx 2+1=x －x 2，当k 为何值时，
(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程无实根?
例2： 设x 1,x 2是方程2x 2+4x －3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：
(1) (x 1－1)(x 2－1)
(2)1211x x + （3）x 12+ x 22
例3：已知关于x 的方程x 2－(m+3)x －m －7=0，若有一个根为1，则m=___，另一根为_____
巩固练习1：
1、方程3x 2+2=4x 的判别式b 2-4ac= ，所以方程的根的情况是 .
2、不解方程，判断一元二次方程022632=+--x x x 的根的情况是
3、若关于x 的方程052=++k x x 有实数根，则k 的取值范围是 ．
4、已知方程x 2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m ，n 的值可以是m= ,n= .
5下列方程中有两个相等的实数根的方程是( )
09124.2=++x x A 032.2=-+x x B
02.2=++x x C 072.2=-+x x D 6、一元二次方程x 2-4x+4=0的根的情况是（ ）
A.有两个不等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.不能确定
7、若一元二次方程（1-2k ）x 2+12x-10=0有实数根，那么k 的最大整数值是（ ）
A ．1；
B ．2；
C ．-1；
D ．0．
8、已知关于x 的方程,03)12(22=-+++k x k x 当k 为何值时，
(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程无实根?
巩固练习2：
1、已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝________ ，x 1•x 2＝_____
2、已知x 1，x 2是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，则（1）x 1＋x 2＝________ ，x 1•x 2＝_____ ，
（2）(2x 1－1)(2x 2－1) ＝______________________，12
11x x +＝_______________ （3）（x 1－x 2）2＝____________________________。
3、以1和-2为根的一元二次方程可以是：
4、设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（ ）
（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3
5、已知关于x 的方程x －（m ＋1）x ＋m=0的一个根为1，求另一个根。
拓展提高:
1、设n 为方程x 2＋mx ＋n=0（n ≠0）的一个根，则m ＋n 等于___________.
2、方程x 2＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，则m=____，这两个根是 。
3、若关于x 的一元二次方程mx 2+3x-4=0有实数根，则m 的取值范围是____________．
4、a ，b ，c 是一个三角形的三边长，且方程a （1-x 2）＋2bx ＋c （1＋x 2）=0的两个实数根相等，则此三角形是 三角形。
5、关于x 的方程x 2－2ax -1＝0中，那么根的情况是（ ）
（A ）有两个相等的实数根
（B ）有两个不相等的实数根
（C ）没有实数根 （D ）不能确定
6、已知a 、b 、c 是ABC ∆的三条边，且方程0)(2)(2=-+-+-b a x a b x b c 有两个相等实数根，那么，这个三角形是( )
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
7、若方程（a-2）x 2
＋（-2a ＋1）x ＋a=0有实数根，则 （ ）
8、方程x|x|-3|x|+2=0的实数根的
个数是
A ．1；
B ．2；
C ．3；
D ． 4．
9、若αβ，是方程2220050x x +-=的两个实数根，则23ααβ++的值为（ ）
Ａ．2005 Ｂ．2003 Ｃ．－2005 Ｄ．4010 10若方程x ＋mx ＋4=0的两根之差的平方为48，求m 的值。
11、已知方程（a ＋3）x ＋1=ax 的根是负数，求a 的取值范围。
12、若关于2的方程04
1)1(22=+--a x a x 有两个不相等的实数根，试化简代数式 .441912422a a a a +--+-
13、已知关于x 的一元二次方程.012=-+kx x
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两根分别为x 1，x 2，且满足,2121x x x x ⋅=+求k 的值。