第2章控制系统数学模型1

该电路为 二阶系统
§2.1.1 线性定常微分方程的求解 一般求解线性定常系统微分方程有以下两种常用方法， 如下图所示。
r (t )
经典解法
微分方程式 拉氏 变换
c(t )
求解微分方程
时域解 拉氏 反变换
R( s)
拉氏变换法
s的代数方程
C (s)
求解代数方程
复数域解
数学工具——拉普拉斯变换与反变换
分析法－根据系统运动规律（定律、经验公式）和结构参
数，推导系统输入输出之间数学关系。 建模（微分方程）步骤： 第一步：明确系统输入、输出量，列写各组成环节输出与 输入的数学表达式。 根据系统遵循的物理定律——如牛顿定律、基尔霍 夫电流和电压定律、能量守恒定律等。 第二步：联立各环节的数学表达式，消去中间变量，得到描 述 系统输出、输入关系的微分方程。 第三步：标准化。 左“出”=右“入”，且各微分项均按降幂排列。见P19 公式（2-8）所示。
第二章 控制系统的数学模型
• 2.1 线性微分方程的建立及求解 • 2.2 传递函数
定义、性质、典型元件及典型环节传函
• 2.3 控制系统的结构图及信号流图
组成、绘制、梅逊公式
• 2.4 控制系统的传递函数
开环、闭环传函
引言
要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首先要 建立系统的数学模型。

性质8 传递函数G(s)的零点zi 和极点pl
C ( s ) N ( s ) K r i1( s z i ) G( s) n R( s ) M ( s ) ( s pl )
l 1
m
为传递函数 的零、极点 （根轨迹） 表达式
K *---零、极点增益（根轨迹增益）
2.2.2 典型环节的传递函数 任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的；而 环节则是由各种不同的元件组成。 常用的电路元件如下： 常用元件 电阻R 电感L 电容C 运放A 微分方程 传递函数 R Ls 1/Cs - Z2 / Z1 为元件 对应的 复阻抗
u Ri
di u L dt
1 u idt C
z2 uo ui z1
于是，可得出：由电路元件组成的电路环节，其传函就是 该电路网络的复阻抗。 如例2.1 RC滤波器电路，由微分方程求得传函为：
duc 1 1 Rc uc ur G( s ) dt RCs 1 Ts 1
[a1 s a2 ]s p B( s ) [ ( s p1 )( s p2 )]s p 1 A( s )
1
◆F(s)含有多重极点时，可展开为
an br br 1 b1 ar 1 F ( s) r r 1 ( s p1 ) ( s p1 ) ( s p1 ) ( s pr 1 ) ( s pn )
5/ 2 5 5/ 2 Y ( s) s s 1 s 2
对Y（S）进行拉氏反变换得：
5 5 2 t t y( t ) 5e e 2 2
§2.2 非线性数学模型的线性化
——微小偏差法（略）
§2.3 传递函数※
2.3.1 传递函数的定义和主要性质
定义：零初始条件下，系统（元件、环节）输出量的拉氏变
[例2.1] 如图2.1所示，写出RC滤波电路的微分方程。
解：明确输入量 ur ， 输出量 第一步：环节数学表达式 duc ur Ri uc i c
dt
uc
第二步：消去中间变量
duc Rc uc ur dt
＋ 该电路为一 阶系统 ur －
R C
i
uc
图2.1 RC滤波电路
【例2.2】如图2.2所示，写出RLC振荡器电路的微分方程。
式中：c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量； 各系数均是常数。
(n m)
设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条 件，则对上式中各项分别求拉氏变换，可得到：
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm G( s) n R( s ) s a1 s n 1 an 1 s an (n m )

传递函数是在零初始条件下定义的，因此不能反映系统在非 零初始条件下的运动规律。

传递函数是复变量的有理真分式，即n≥m，具有复变函数的 所有性质。对于实际系统来说，且所有系数均为实数。这是因 为在物理上可实现的系统中，总是有惯性且能源有限的缘故。


性质7 传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t) 脉冲响应g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出响应。 若r(t)=δ(t)，则：R（s）=1 C(t)=L- 1[C(s)]=L-1[G(s)R(s)]=L-1[G(s)]=g(t)
◆ F(s)中具有不同的极点时，可展开为
an a1 a2 F ( s) s p1 s p2 s pn
B( s ) ( s pk )]s p 待定系数 ak [ k A( s )
◆F(s)含有共扼复数极点时，可展开为
a3 an a1 s a2 F ( s) ( s p1 )( s p2 ) s p3 s pn
数学模型：描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式。
数学表达式：代数方程、微分方程 静态数学模型 ：系统变量之间与时间无关的静态关系 动态数学模型：系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性
控制系统数学模型的类型
时域（t）模型 微分方程
复域（s）模型 传递函数
频域（ω）模型 频率特性
Z域（z）模型 脉冲传函
换与输入量的拉氏变换之比。 定义表达式为： G( s ) C ( s ) C(s)=G(s)R(s)
R( s )
设n阶线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
dn d n 1 d c( t ) a1 n 1 c( t ) an 1 c( t ) an c( t ) n dt dt dt dm d m 1 d b0 m r ( t ) b1 m 1 r ( t ) bm 1 r ( t ) bm r ( t ) dt dt dt
基本性质：

性质1 传递函数的概念只适于线性定常系统。
性质2 传递函数是一种动态数学模型，取决于系统或元件的 结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关，也不反映 系统内部的任何信息 。 性质3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提 供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全 相同的传递函数，这就是系统的相似性。
则：
5 5 A B C Y ( s) 2 s( s 3s 2) s( s 1)( s 2) s s 1 s 2
5 式中 A Y ( s ) s |s 0 2
5 C Y ( s )( s 2) |s 2 2
B Y ( s)( s 1) |s 1 5
[例2.3] 设线性微分方程为
d 2 y( t ) dy( t ) 3 2 y( t ) 5u( t ) 2 dt dt
式中，u（t）为单位阶跃函数，初始条件为零，试求该微分方 程的解。
解：对微分方程中的各项进行拉氏变换得 5 2 s Y ( s ) 3sY ( s ) 2Y ( s ) s
由复阻抗可直接写出：
uc 1 / Cs 1 G( s) ui R Ls 1 / Cs LCs 2 RCs 1
由常用的六种典型环节组成的系统传表达式函如下：
滞后环节 比例环节 一阶微分环 节（m个）
m
C ( s) i 1 G( s ) q n q R( s ) s (Tl s 1) (Tl 2 s 2 2 l Tl s 1)
其中：T=RC为电路时间常数 由复阻抗可直接写出：
uc 1 / Cs 1 1 G( s) ui R 1 / Cs RCs 1 Ts 1
如例2.2：RLC振荡器电路，由微分方程求得传函为：
d 2 uo duo 1 LC 2 RC uo ur G( s) dt dt LCs2 RCs 1
B( s ) br [ ( s p1 )r ]s p 1 A( s )
br 1
d B( s ) { [ ( s p1 )r ]}s p 1 ds A( s )
1 d r 1 B( s ) b1 { r 1 [ ( s p1 )r ]}s p 1 ( r 1)! ds A( s )
l 1 l 1
K e S ( i s 1)
积分环节 （ν个）
惯性环节 （q个）
振荡环节 （n-v-q）个
1. 比例环节(P调节器)
G( s) K
式中: K-比例系数（增益）
特点：输出与输入量成比例，无失真和时间延迟。 实例：线性电位器、运算放大器、传动齿轮、线性传感器等。 2. 惯性环节
§2.1 控制系统的微分方程
§2.1.1 建模方法 ：分析法、实验法 实验法（黑箱法、辨识法、灰箱法）：人为施加某种测试信 号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型。

输入（充分激励）
黑匣子
输出（测量结果）
具体方法：频率特性法:最小二乘 (曲线拟合)法、神经元网 络法、模糊模型法等。 模型验证：将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统 模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。
1 G( s ) Ts 1
式中:T-时间常数
特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不能立即复现， 即有延迟。 实例：RC滤波电路网络，一阶水槽(流水)，直流伺服电动机 的传递函数也包含这一环节。
3. 积分环节（I调节器）