12-1 级数的收敛性

k →∞
括号后的级数 ∑ ( un
k =1
+ L + unk ) 收敛, 且其和也是
S . 为此，记v1 = u1 + L + un1 , v2 = un1 +1 + L + un2 ,L ,
v k = unk −1 +1 + L + unk ,L , 则
∞ ∞ ∞
注 从级数加括号后的收敛,不能推断它在未加括号 时也收敛. 例如
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称为数项级数(1)的第 n 个部分和,也简称部分和.
(3)
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§12.1 级数的收敛性
1
解 q≠1时, 级数(3)的第 n 个部分和为 Sn = a + aq + L + aq n−1 = a ⋅ 因此 (i) 当 q < 1 时, lim Sn = lim a ⋅
n →∞ n →∞
n 1 2k − 1 n 2k − 1 S n − S n = ∑ k − ∑ k +1 3 3 k =1 k =1 3
所以
3 2 1 2n − 1 Sn = − n − n + 1 , 2 3 3 3
= =
1 n－1 2k + 1 n 2k − 1 +∑ − ∑ k +1 3 k =1 3 k +1 k =1 3 1 n－1 2k + 1 2k − 1 2n − 1 +∑ − k +1 − n+1 k +1 3 k =1 3 3 3
∑u
n 为收敛级 数 , 其和 为 S . 下面 证明 ∑ un 加 ∞
k −1 +1
∑v
k
的部分和数列 { Snk } 是 { S n } 的一个子列。由于
n→∞
{ Sn } 收敛,且 lim Sn = S .故由子列性质， { S nk }也收敛， 且 lim Snk = S , 即级数∑ v k收敛,且它的和也等于 S .
n =1 ∞
∑ ( cun + dvn ) = c ∑ un + d ∑ vn .
根据级数收敛的柯西准则, 级数 ∑ un 的收敛与否与 级数前面有限项的取值无关.从而可得到以下定理. 定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变 级数的敛散性.
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un+1 + un+ 2 + L
(iii) 当 q = 1 时, Sn = na , 级数发散. 当q = −1 时,
n
1−q . 1−q
S2 k = 0, S2k +1 = a , k = 0,1,2,L , 级数发散. 综合起来得到: q < 1 时, 级数(3)收敛; q ≥ 1 时, 级 数(3)发散. 例2 讨论数项级数 1 1 1 + +L + +L 1⋅ 2 2 ⋅ 3 n( n + 1) 的收敛性. 解 级数(4)的第n个部分和为
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(1)
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称为数项级数或无穷级数(也常简称级数),其中 un 称为数项级数(1)的通项或一般项. 数项级数(1)也 常记为
定义2 若数项级数(1)的部分和数列 { S n }收敛于 S (即 lim S n = S ), 则称数项级数(1)收敛, S 称为数
n →∞
∑u
n =1
∞
n
. 在不致误解时可简记为 ∑ un .
第十二章 数项级数
§1 级数的收敛性
级数是逼近理论的基础，是研究函数、 进行近似计算的一种有用的工具. 级数 理论的主要内容是研究级数的收敛性以 及级数的应用.
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对于有限个实数 u1,u2,…, un 相加后还是一个实数， 这是在中学就知道的结果,那么“无限个实数相加” 会有什么结果呢？请看下面的几个例子. 如在第二 章提到《庄子·天下篇》“一尺之棰,日取其半,万 世不竭”的例中,将每天截下那一部分的长度“加” 起来是: 1 1 1 1 + + + L + n + L, 2 22 23 2
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3 2 1 2n − 1 Sn = − n − n+1 = 1. 于是 lim n→∞ 2 3 3 3 这样就证明了级数
∑
n=1
∞
2n − 1 收敛, 并且其和为1. 3n
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§12.1 级数的收敛性
4
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个数相加”的结果应该是1.又如下面由“无限个数 相加”的表达式
1 + ( −1) + 1 + ( −1) + L
中，如果将其写作
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + L = 0 + 0 + 0 + L ,
结果肯定是0，而写作
1 + [( −1) + 1] + [( −1) + 1] + L = 1 + 0 + 0 + 0 + L ,
因为一般项un=(−1)n-1不趋于零，所以发散. 例3 讨论调和级数 1+ 的敛散性. 1 解 这里一般项 un = n → 0 ,不能利用推论判断级数 的敛散性.
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1 1 1 + +L + +L 2 3 n
1 1 1 1 + +L + = , 2m 2m 2m 2
1 故取 ε 0 = , 对任何正整数 N 只要 m > N 和 p = m 2 就有(7)式成立，因此调和级数发散.
任何正整数N,总存在正整数m0(>N)和p0，有 um0 +1 + um0 + 2 + L + um0 + p0 ≥ ε 0 . 由定理12.1立即可得如下推论. 推论(级数收敛的必要条件) 若级数(1)收敛,则
lim un = 0.
n →∞
(7)
注 推论是级数收敛的一个必要条件:一般项不趋于 零, 级数一定发散, 但一般项趋于零, 则级数未必 收敛，因此用来判断级数发散很有效. 如级数
1 因此, 对任意ε > 0, 可取N = , 当m>N及任意正 ε 1 整数 p,由上式可得 um +1 + um +2 + L + um + p < < ε , m 1 依级数收敛的柯西准则,知级数 ∑ 2 收敛. n
1 1 1 1 1 1 = − − + +L + m + p − 1 − m + p m m +1 m +1 m + 2
*例5 证明级数
2n − 1 收敛，并求其和. 3n n =1 n 2k − 1 S n , 就能得到所 证 令 Sn = ∑ k ，若能求出 lim n→∞ 3 k =1 要的结论. 由于
∑
∞
=
1 n－1 2 2n − 1 1 2 n－1 1 2n − 1 +∑ − n +1 = + 2 ⋅ ∑ k −1 − n +1 3 k = 1 3k + 1 3 3 3 k =1 3 3 = 2 1 2n − 1 − − n+1 , 3 3n 3
(1 − 1) + (1 − 1) + L + (1 − 1) + L = 0 + 0 + 0 + L = 0,
∑ u = ∑ (u
n =1 n k =1
nk −1 +1
+ L + unk ) = ∑ vk .
k =1
收敛, 但级数 1 − 1 + 1 − 1 + L
却是发散的.
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∑u
n=1
∞
n
= a1 + ( a2 − a1 ) + ( a3 − a2 ) + L + ( an − an−1 ) + L . (5)
这时数列 { a n }与级数 (5) 具有相同的敛散性, 且当 { a n } 收敛时,其极限值就是级数(5)的和.
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基于级数与数列的这种关系,读者不难根据数列极 限的性质得出下面有关级数的定理. 定理12.1(级数收敛的柯西准则)级数(1)收敛的充要 条件是:任给正数 ε , 总存在正整数 N ,使得当 m > N 以及对任意的正整数 p 都有 um +1 + um + 2 + L + um + p < ε . (6)
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根据定理12.1以及数列发散的充要条件，可以立刻 写出级数(1)发散的充要条件是: 存在某正数 ε 0 , 对
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§12.1 级数的收敛性
2
1 + ( −1) + 1 + ( −1) + L
若令 p = m, 则有 um +1 + um +2 + L + u2 m = ≥ 1 1 1 + +L + m +1 m + 2 2m
1 − qn a = . 此时级 1− q 1−q
a 数(3)收敛,其和为 1 − q . (ii) 当 q > 1 时, lim Sn = ∞ , 此时级数(3)发散.
n →∞
(4)
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Байду номын сангаас
Sn =
1 1 1 + +L + 12 ⋅ 2⋅3 n( n + 1)
注 由于级数(1)的收敛或发散(简称敛散性),是由它 的部分和数列 { S n } 来确定, 因而也可把级数(1)作为 数列 { S n } 的另一种表现形式. 反之, 任给一个数列 {an } , 如果把它看作某一数项级数的部分和数列, 则 这个数项级数就是
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由于前 n 项相加的和是 1 −
1 ，可以推测这“无限 2n
则结果是1.两个结果的不同向我们提出了两个基本 问题:“无限个数相加”是否存在“和”;如果存在, “和”等于什么? 由此可见,“无限个数相加”不能 简单地与有限个数相加作简单的类比,需要建立新 的理论. 定义1 给定一个数列{un}, 将其各项依次用“+”号 连接起来的表达式 u1 + u2 + L + un + L
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例4 运用级数收敛的柯西准则证明级数 ∑ 证 由于 um +1 + um + 2 + L + um + p
= < 1 1 1 + +L + 2 2 2 ( m + 1) ( m + 2) (m+ p)
1 收敛. n2
=
1 1 1 − < . m m+ p m
1 1 1 + +L + m( m + 1) ( m +1)( m + 2) ( m + p −1)( m + p )
(8)
也收敛,且其和 Rn = S − S n .(8)式称为级数 ∑ un 的
第 n 个余项(简称余项), 它表示以部分和 Sn 代替S 时所产生的误差.
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§12.1 级数的收敛性
3
定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号, 既不改变 级数的收敛性,也不改变它的和. 证设
于是, 若{ S n }为收敛级数 ∑ un 的部分和数列, 则级数
1 1 1 1 1 = 1 − + − + L + − 2 2 3 n n−1 1 =1− . n +1 由于 1 lim Sn = lim 1 − = 1, n →∞ n→∞ n +1 因此级数 (4) 收敛,且其和为 1.
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定理12.2 若级 数 ∑ un 与 ∑ vn 都收敛, 则对任意常 数c, d， 级数∑ ( cun + dvn ) 亦收敛，且
注 去掉、增加或改变级数的有限项虽不改变该级 数的敛散性，但在收敛时，其和一般还是要变的. 由定理12.3知, 若级数 ∑ un收敛 , 其和为S,则级数
n
项级数(1)的和,记作
S = u1 + u2 + L + un + L , 或 S = ∑ un .
n =1 ∞
数项级数(1)的前n项之和记为
S n = ∑ uk = u1 + u2 + L + un ,
k =1
(2)
若 { S n }是发散数列,则称数项级数(1)发散. 例1 讨论等比级数(也称几何级数) a + aq + aq 2 + L + aq n + L 的收敛性(a≠0).