第一章 静定结构的位移计算
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6 静定结构的位移计算-xhy1
B
1 B
l/2
1/2 C
给定位移
解：虚设平衡力系如图所示，运用变形体虚功 方程 W Wi 得：
1 1 1 1 l l2 1 M d M dx Mdx l R RA R 2 4 8R A A
C C C
27
三、广义位移的计算
ΔAH
华 北 水 利 水 电 学 院
若 FRK与 CK 同向，则乘积 FRK CK 为正，反之为负。
3）外力虚功 W =1 CV 这一项前取正号。若求得的 CV 0，则 CV 与 FP1 同向；若求得的 CV 0， 则 CV 与 FP1反向。 21
4）根据所求位移的性质虚设相应的单位载荷。
1
华 北 水 利 水 电 学 院
一、静定结构的位移
华 北 水 利 水 电 学 院
静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制 造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产 生水平线位移、竖向线位移以及角位移。 1. 截面位移
FP
FP
B
Bu
B
C
c
cu
BV
cv
A C
桁架受荷载作用 3
A
刚架受荷载作用
A
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K
所求位移 1 CV ( M FQ 0 FN )ds FRK CK 3. 小结
1） 、Q 、N 、 RK ——单位载荷 FP1 1 在结构中产 M F F F 生的内力和支座反力， ds、 0 ds、 ds、C1、C2及 Δ CV ——给定的位移和变形。力和位移无关。
结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总 和得：
q(s)w(s)ds F
静定结构的位移计算—图乘法计算静定结构的位移(建筑力学)
ql 2 8
) (5 8
l) 4
5ql 4 384 EI
()
温度变化时位移计算公式
设结构上侧温度变化t1，下侧温度变化t2，则杆轴线处温度变化为t0 =（h2t1+h1t2）/h。
此时任一微元体变形如图所示，包括两种形式：
①轴线伸长量du； ②截面转角dθ。
使用公式 L t L 和图中的几何关系，不难得到：
l
l
]
[t0
0
l
t h
1 2
l
l
]
-6l 18l 2 6l(1 3)()
h
h
N图
M图
支座位移时结构位移计算公式
支座位移直接引起结构位移，并不引起结构变形。因此，仅有支座位移时， 结构微元体变形为0。所以，虚拟状态内力虚功为0。将这一结论代入结构位移计 算的一般公式，即可得到支座位移时结构的位移计算公式：
N Nds EA
荷载作用下位移计算步骤
（1）计算位移状态（实际状态）结构内力：M、Q、N； （2）假设虚拟状态（受力状态）； （3）并求其内力 M、 、Q ；N （4）代入位移计算公式并求解。
计算示例
例：计算图（a）所示简支梁中点C处得竖向线位移（EI为常数）。
（a）实际状态
（b)虚拟状态
解：（1）计算实际状态弯矩
位置如图a所示。
（3）当图形的面积和形心位置不易
图b
确定时,可将其分解为几个简单的图形,分
别与另一图形相乘,最后把结果相加,图b。
图a
（4）当y0所在图形是由若干直线段
组成的折线时,应分段进行图乘，再进行叠
加，图c。
（5）当直杆各杆段截面性质不同,即
EI不同时,应分段图乘,再进行叠加，图d。
静定结构的位移计算—结构位移公式及应用(工程力学课件)
【例4】求图示桁架k点水平位移. (各杆EA相同)
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
1
1 2 2 Ni
Δ= FN FNP l
EA
1
1
解：
kx
1 [(1)(P)a EA
(1)( P )a
2 2P 2a] 2(1 2) Pa () EA
ds
FN FNP EA
ds
1. 梁和刚架
在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产 生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
2. 桁架
Δ=
MMP EI
ds
Δ=
FN FNP ds FN FNP ds FN FNPl
EA
EA
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：
1 (M ds FQ 0 FN )ds
MP
EI
0
kFQ P GA
FNP
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
适用条件：小变形、线弹性
➢ 正负号规则
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
M、FQ、FN、FRK ：单位载荷 FP1 1在结构中产生
的内力和支座反力
➢ 单位荷载法
一次计算一种位移
求绝对位移!
BF
C
D
q
实际状态
（位移状态）
CH求、CV、C
静定结构的位移计算
第4章
二、单位荷载法
1、定义：应用虚力原理，通过加单位力求实际位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式
PK=1 RK
1
RK RK3
2
( a , a , a , Ca )
位移状态
RK
4
(M K ,Q K , N K , RK )
虚力状态
对上述两种状态应用虚功原理：
1 Ka R K 1 C a1 R K 2 C a 2 M K a ds Q K a ds N K a ds
P/2
P/2
c
c
CV
4、结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结 构的位移。
第4章
三、计算位移的有关假定
2、小变形假设。变形前后荷载作用位臵不变。 3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。 4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆 弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
ω1
ω2
MP图
1 Δ (ω1 y1 ω2 y2 ) EI
第4章
3、当杆件为变截面时亦应分段计算； y1
EI1
y2
EI 2
MK图
ω1
EI1
ω2
EI 2
MP图
1 1 Δ ω1 y1 ω2 y2 EI1 EI 2
第4章
4、图乘有正负之分：弯矩图在杆轴线同侧时，取正号； 异侧时，取负号。
13860 0.0924m( ) EI
第4章
例题 试求左图所示刚架C点的竖向位移AV和转角C。 EI 1.5 105 KN m 2 各杆材料相同，截面抗弯模量为:
MB A
力状态(状态1)
静定结构的位移计算
第4章静定结构的位移计算计算结构位移的目的结构在荷载作用下会产生内力，同时使其材料产生应变，以致结构发生变形。
由于变形，结构上各点的位置将会发生改变。
杆件结构中杆件的横截面除移动外，还将发生转动。
这些移动和转动称为结构的位移。
此外，结构在其他因素如温度改变、支座位移等的影响下，也都会发生位移。
b5E2RGbCAP例如图4—1a所示简支梁，在荷载作用下梁的形状由直变弯，如图4—1b所示。
这时，横截面的形心移动了一个距离，称为点的线位移。
同时截面还转动了一个角度，成为截面的角位移或转角。
p1EanqFDPw又如图4—2a所示结构，在内侧温度升高的影响下发生如图中虚线所示的变形。
此时，C点移至C点，即C点的线位移为C C。
若将C C沿水平和竖向分解<图4—2b），则分量C C和CC分别称为C点的水平位移和竖向位移。
同样，截面C还转动了一个角度，这就是截面C的角位移。
DXDiTa9E3d在结构设计中，除了要考虑结构的强度外，还要计算结构的位移以验算其刚度。
验算刚度的目的，是保证结构物在使用过程中不致发生过大的位移。
RTCrpUDGiT计算结构位移的另一重要目的，是为超静定结构的计算打下基础。
在计算超静定结构的反力和内力时，除利用静力平衡条件外，还必须考虑结构的位移条件。
这样，位移的计算就成为解算超静定结构时必然会遇到的问题。
5PCzVD7HxA此外，在结构的制作、架设等过程中，常须预先知道结构位移后的位置，以便采取一定的施工措施，因而也须计算其位移。
jLBHrnAILg本章所研究的是线性变形体系位移的计算。
所谓线性变形体系是位移与荷载成比例的结构体系，荷载对这种体系的影响可以叠加，而且当荷载全部撤除时，由何在引起的位移也完全消失。
这样的体系，变形应是微小的，且应力与应变的关系符合胡克定律。
由于变形是微小的，因此在计算结构的反力和内力时，可认为结构的几何形状和尺寸，以及荷载的位置和方向保持不变。
xHAQX74J0X功广义力和广义位移在力学中，功的定义是：一个不变的集中力所作的功等于该力的大小与其作用点沿力作用线方向所发生的分位移的乘积。
静定结构的位移计算—结构位移计算的一般公式(建筑力学)
2.计算公式
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
结构力学 静定结构的位移计算
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
能力拓展 如图 2 – 61a 所示屋架，通过对比左右两图，运用结构位移的相关知识 ，可以解释制作时为何通常将各下弦杆的实际下料长度做得比设计长度
要短些，这样可以使屋架拼装后，结点 C 位于 C′的位置（图 2 – 61b）
， 工程上将这种做法称为建筑起拱。那么预先应知道哪些位移量？
情景二 虚功原理及单位荷载法
项目表述
静定结构位移计算是演算结构刚度和计算超静定结构所必需的。变形 体虚功原理是结构力学中的重要理论。通过本项目学习，同学们重点理 解变形体的虚功原理、单位荷载法及位移计算一般公式。对变形体的虚 功原理的推导过程的理解是本项目的难点内容。
情景二 虚功原理及单位荷载法 学习进程
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的 知识链接
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
知识链接
2．引起位移的原因 众所周知，引起位移的原因主要是荷载作用。除此之外，温度改变使材料膨胀 或收缩、结构构件的尺寸在制造过程中产生误差、基础的沉陷或结构支座产生 移动等因素，均会引起结构的位移。如图 2 – 56a、图 2 – 57a 所示，由荷载作 用产生的位移。如图 2 – 57b 所示，因温度改变或材料胀缩产生的位移。如图 2 – 57c 所示，因制造误差或支座移动产生的位移。
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
知识链接
1．结构位移的概念 建筑结构在施工和使用过程中常会发生变形，由于结构变形，其上各点或截面 位置会发生改变，这称为结构的位移。如图 2 – 56a 所示的刚架，在荷载作用 下，结构产生变形如图中虚线所示，使截面的形心 A 点沿某一方向移到 A′点， 线段 AA′称为 A 点的线位移，一般用符号 ΔA 表示。 它也可用竖向线位移 ΔAy 和水平线位移 ΔAx 两个位移分量来表示，如图 2 – 56b 所示。
福建专升本建筑学力法位移法支座位移解析
一、静定结构在支座移动时的位移计算静定结构由于支座移动并不产生内力也无变形，只会发生刚体位移。
因此，静定结构由于支座移动引起的位移计算属于刚体体系问题。
应用虚功方程求解时，虚拟状态的选取同前，因实际状态的变形为零，因此内力虚功为零。
这时结构的位移表达式可以根据式（8-9）改写为（8-28）如果令表示支座移动所引起的位移，为虚拟状态中的支座反力，表示支座位移，则式（8-28）改写为（8-29）式（8-29）就是计算结构由于支座移动所引起的位移表达式。
例8-11 图8-30a 所示为三铰刚架。
支座B 有水平位移a 和竖向位移b ，试求铰C 两边截面的相对转角。
图8-30解：为求C 铰两边截面的相对转角，需在其两边截面施加一对方向相反的单位力偶。
此时因单位力偶的作用产生的支座反力为、、、，如图8-30b 所示。
利用式（8-29），得∑⋅-=c R k K ∆ic ∆R c ∑⋅-=c R ic∆Ax F Ay F Bx F By F ())(h a 0a h 1b F a F c R By Bx C ic 弧度-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-=⋅-⋅-=⋅-==∆∑ϕ负号表示C处的相对转动的方向与所设的单位力偶的转向相反。
例1 已知简支梁AB跨度为l，右支座B竖直下沉Δ，如图(a)所示。
求梁中点C的竖向位移ΔCV。
解：(1) 在梁中点C处加单位力P=1，如图(b)所示。
(2)计算单位荷载作用下的支座反力:由于A支座无位移，故只需计算B支座反力RB即可。
由对称得B支座反力RB=1/2 (↑)(3) 计算ΔCVΔCV=-∑RC=-(-1/2×Δ)=Δ/2 (↓)例2 图示三铰刚架跨度l=12m，高为h=8m。
已知右支座B发生了竖直沉陷C1=6cm，同时水平移动了C2=4cm (向右)，如图(a)所示。
求由此引起的左支座A处的杆端转角φA。
解: (1) 在A处虚设单位力偶m=1，如图(b)所示。
(2) 计算单位荷载作用下的支座反力由于A支座无位移，故只需计算B支座反力即可。
05.静定结构的位移计算
3
A
计
例3:求图示桁架(各杆EA相同)k点 水平位移. 解：构造虚设的力状态
kx N P Nil EA
P
P
0
NP
0
P
a
2P
k
a
1
1 [( P )(1)a ( P )(1)a EA
Pa 2 P 2 2a ] 2(1 2 ) ( ) EA
1
2 2
2m
2m
2m
FB
0.67
1
0.33
0.25
1 .5
0 .5
1
二、变形体系的虚功原理和单位荷载法
（一）虚应变能
力状态的内力因位移状态的 相对变形而作虚功，这种虚 功称为虚应变能。
力状态
位移状态
V FN 1du2 FQ1dv2 M 1d2
V FN 1 2 dx FQ1 2 dx M1 2 dx
MP QP
q
[
q(l x)k q(l x) ]dx 0 GA 2 EI qkl2 ql 4 () 2GA 8EI
l 3
Mi
P 1
Qi lx
qkl2 ql 4 ip () 2GA 8EI ql 4 qkl2 设 : M , Q 8EI 2GA Q 4 EIk M GAl2 A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5,
（二）变形体的虚功原理
一个具有理想约束的变形体体系，若发生满足约束允许的 微小位移和变形（可能的），则该变形体体系上任意平衡 外力力系（可能的），在该位移上所作的总外力虚功等于 变形虚功。
W=Ｖ
对于直杆构成的结构
A
计
例3:求图示桁架(各杆EA相同)k点 水平位移. 解：构造虚设的力状态
kx N P Nil EA
P
P
0
NP
0
P
a
2P
k
a
1
1 [( P )(1)a ( P )(1)a EA
Pa 2 P 2 2a ] 2(1 2 ) ( ) EA
1
2 2
2m
2m
2m
FB
0.67
1
0.33
0.25
1 .5
0 .5
1
二、变形体系的虚功原理和单位荷载法
（一）虚应变能
力状态的内力因位移状态的 相对变形而作虚功，这种虚 功称为虚应变能。
力状态
位移状态
V FN 1du2 FQ1dv2 M 1d2
V FN 1 2 dx FQ1 2 dx M1 2 dx
MP QP
q
[
q(l x)k q(l x) ]dx 0 GA 2 EI qkl2 ql 4 () 2GA 8EI
l 3
Mi
P 1
Qi lx
qkl2 ql 4 ip () 2GA 8EI ql 4 qkl2 设 : M , Q 8EI 2GA Q 4 EIk M GAl2 A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5,
（二）变形体的虚功原理
一个具有理想约束的变形体体系，若发生满足约束允许的 微小位移和变形（可能的），则该变形体体系上任意平衡 外力力系（可能的），在该位移上所作的总外力虚功等于 变形虚功。
W=Ｖ
对于直杆构成的结构
04.静定结构的位移计算
重点在于解决荷载作用下应变 、、 的表达式。 一、计算步骤
（1）在荷载作用下建立 M P .N P .QP的方程，可经由荷载内力应力应变 过程推导应变表达式。 （2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知
( M N Q ) d s
MP EI
k--为截面形状系数
M N Q
钢筋混凝土结构G≈0.4E 矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12
DQ
EI 1 h2 = = DM k GAR2 4 R2
DN I 1 h = DM AR2 12 R h <1 R 10 DM DM < < 1 400
2
可见剪切变形和轴向
变形引起的位移与弯
1）列出两种状态的内力方程：
0x AC段 l 2
NP 0 MP 0
QP 0
N 0 M x
Q 1
l x l CB段 2
2 l M q x P 2 2 l QP q x
4.50P 3.00P
0 .278 l As 0 1.50 0.278 l 3 As
0
0.63Pl E s As 0.50Pl E s As
1.50 0.222 l 2 As
1.13Pl E s As
NN Pl C EA
C
3.81 1.13 2 Pl A E A E s s c c
c2
c1
1
R1
M .N .Q .Rk
R2
实际变形状态
虚力状态
( M N Q )ds Rk ck
(1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力； (2) 求虚力状态下的内力及反力 M .N .Q .Rk 表达式;
结构力学——静定结构的位移计算 免费
虚拟状态 M, Q, N
t10C, t2 0C —内、外侧温度的改变
1 kt Mdt Ndut
du t , dt —实变形，温度不引起剪切变形
ⅰ）对称截面
u 2
u1
第三节 温度位移
轴向伸长（内、外表面纤维）
u1 t1ds 杆轴处伸长： u2 t2ds
杆轴处的平均温度
ⅱ） 不对称截面
t轴
MP
dP
MP dS EI
QP
dP
QP dS GA
第一节 一般荷载作用下的位移计算公式
外力虚功: Pk kP (虚外力在实位移上作的虚功) 内力虚功:
MdP NduP QdP
(虚内力在实变形上作的虚功)
1 kP
MMPdS EI
NNPdS EA
k
QQPdS GA
则
MMPdS EI
NNPdS EA
第三节 温度位移
公式符号判断规则
• t轴,t可用绝对值代入
•若为正t，引反起之的为杆负件弯曲变形方向和由 M 引起的弯曲方向一致
•若 t轴 引起的杆件轴向伸缩和由 N 引起的杆件轴向伸缩一致
为正，反之为负
例1－2：求图示刚架因温度产生的竖向位移ct ，设内测温升100 C，
AB杆外侧升高 200C，BC杆外侧无变化，各杆截面 h 16cm,
L 4m, 105
B t1 200C C
BL
1
1B
1
C
C
t2 100C
M
N
A
A
A
第三节 温度位移
AB段： t轴
10 20 2
150 C, t
t1 t2
100 C
BC段：
t10C, t2 0C —内、外侧温度的改变
1 kt Mdt Ndut
du t , dt —实变形，温度不引起剪切变形
ⅰ）对称截面
u 2
u1
第三节 温度位移
轴向伸长（内、外表面纤维）
u1 t1ds 杆轴处伸长： u2 t2ds
杆轴处的平均温度
ⅱ） 不对称截面
t轴
MP
dP
MP dS EI
QP
dP
QP dS GA
第一节 一般荷载作用下的位移计算公式
外力虚功: Pk kP (虚外力在实位移上作的虚功) 内力虚功:
MdP NduP QdP
(虚内力在实变形上作的虚功)
1 kP
MMPdS EI
NNPdS EA
k
QQPdS GA
则
MMPdS EI
NNPdS EA
第三节 温度位移
公式符号判断规则
• t轴,t可用绝对值代入
•若为正t，引反起之的为杆负件弯曲变形方向和由 M 引起的弯曲方向一致
•若 t轴 引起的杆件轴向伸缩和由 N 引起的杆件轴向伸缩一致
为正，反之为负
例1－2：求图示刚架因温度产生的竖向位移ct ，设内测温升100 C，
AB杆外侧升高 200C，BC杆外侧无变化，各杆截面 h 16cm,
L 4m, 105
B t1 200C C
BL
1
1B
1
C
C
t2 100C
M
N
A
A
A
第三节 温度位移
AB段： t轴
10 20 2
150 C, t
t1 t2
100 C
BC段：
静定结构的位移计算
1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力
2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加 一对指向相反的单位集中力
4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反 的单位集中力偶
5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对 平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力 偶臂为d ，每一力的大小为1/d
在小变形条件下， 12由图示的原始形状、尺
寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与 之相应， FP1单独作用的状态 为虚功计算的力状 态。
当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功 时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上 作内力虚功。
根据功和能的原理可得变形体的虚功原理： 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任 意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移 上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚 位移的相应变形上所作虚功的总和。
定的施工措施，因而也需要进行位移计算。
1.2 结构位移计算的一般公式
一、变形体的虚功原理 功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，
也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功
当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1
11 由0增加至 11
力Fp1在位移
11
上作的实功
W11=
1 2
虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。
二、 单位荷载法
1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷 载求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式
F
K+
FRiCi= M
d +
F
N
du
+
F
Q
dv
式中， F =1 则
2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加 一对指向相反的单位集中力
4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反 的单位集中力偶
5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对 平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力 偶臂为d ，每一力的大小为1/d
在小变形条件下， 12由图示的原始形状、尺
寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与 之相应， FP1单独作用的状态 为虚功计算的力状 态。
当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功 时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上 作内力虚功。
根据功和能的原理可得变形体的虚功原理： 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任 意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移 上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚 位移的相应变形上所作虚功的总和。
定的施工措施，因而也需要进行位移计算。
1.2 结构位移计算的一般公式
一、变形体的虚功原理 功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，
也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功
当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1
11 由0增加至 11
力Fp1在位移
11
上作的实功
W11=
1 2
虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。
二、 单位荷载法
1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷 载求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式
F
K+
FRiCi= M
d +
F
N
du
+
F
Q
dv
式中， F =1 则
15静定结构的位移计算
同理，要求B处弯矩，则解除B处的弯曲约束，换为铰 连接，给定初始位移1。
P A B P
C
D
E
G
P I H
虚功原理
P A 0.5 B
0.5a
0.5 C
0.5a
P E D
G
P I
0.25aH
M 1 P 0.5a P 0.5a P 0.25a 0 M 0.25 Pa
步骤： 1）去掉约束并回代相应反力； 注意正负 号表示的意 义。
结构位移计算
FP 1
l
A
F 2
2 F 2
F 2
F
2 F 2
F 2
2 2
0
2 2
D
B
F 2
1 2
A
1 2
1 2
l
杆 件
FP
D
B
1 2
l
(l/m)
2l
FN
2 2 1 2
FNP（kN）
2 2
FNP m） F N （kN· l
2 F l 2
上弦 下弦 竖杆
AC AD CD
若结构上各杆均可图乘，则位移计算公式为
KP
yC
EI
图乘法
图乘法计算位移公式
KP
注意事项：
1. 图乘法的应用条件：
yC
EI
（1） 杆轴为直线； （2）EI为常数；
（3）两个MP、M图中至少有一个是直线。
图乘法
2. 竖标yc必须取自直线图形，而不能从折线和曲 线中取值。
yc M图
结构位移计算
例 求图示桁架(各杆EA相同)C点竖向位移。
静定结构的位移计算
AB段： BC段：
2. 实际状态中各杆弯矩方程为
AB段： MP=
， BC段：
MP=
3. 代入公式（12-4）得
△Ay=
qx 2 dx qL2 dx = (-x)(- 2 ) + (-L) (- 2 ) EI EI
()
5
结构在荷载作用下的位移计算——图乘法
图乘法的注意事项
（1）必须符合上述三个前提条件； （2）竖标yC只能取自直线图形； （3）与yC在杆件同侧乘积取正号，异侧取负号。
t1
k
K
△Kj
P2
ds
k PK=1
t2 P1 K′
k
c3 K
ds
k
Ｒ ３
du j、 dv j、 d j
N k、 k、 k Q M
c1
c2
Ｒ １ Ｒ ２
虚拟状态－力状态
实际状态－位移状态
利用虚功原理
外力虚功 内力虚功 可得
T= W=
=
3
12.4 结构在荷载作用下的位移计算
2. 讨 论
在实际计算时，根据结构的具体情况,式（12-4）可以简化：
9.1静定结构的位移计算 2. 结构位移的种类 （1）某点的线位移 （2）某截面的角位移
（3）两点间的相对线位移
（4）两截面间的相对角移 （3）广义力及广义位移 作 功 的 两 因 素
力： 集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、一个力系 统称为广义力 位移：线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、一组位移 统称为广义位移
图乘法
40kN 10kN 10kN/m 30 B 5 EI 3m 60 D 5 P2=1 C
B
3EI
D
C
B
2. 实际状态中各杆弯矩方程为
AB段： MP=
， BC段：
MP=
3. 代入公式（12-4）得
△Ay=
qx 2 dx qL2 dx = (-x)(- 2 ) + (-L) (- 2 ) EI EI
()
5
结构在荷载作用下的位移计算——图乘法
图乘法的注意事项
（1）必须符合上述三个前提条件； （2）竖标yC只能取自直线图形； （3）与yC在杆件同侧乘积取正号，异侧取负号。
t1
k
K
△Kj
P2
ds
k PK=1
t2 P1 K′
k
c3 K
ds
k
Ｒ ３
du j、 dv j、 d j
N k、 k、 k Q M
c1
c2
Ｒ １ Ｒ ２
虚拟状态－力状态
实际状态－位移状态
利用虚功原理
外力虚功 内力虚功 可得
T= W=
=
3
12.4 结构在荷载作用下的位移计算
2. 讨 论
在实际计算时，根据结构的具体情况,式（12-4）可以简化：
9.1静定结构的位移计算 2. 结构位移的种类 （1）某点的线位移 （2）某截面的角位移
（3）两点间的相对线位移
（4）两截面间的相对角移 （3）广义力及广义位移 作 功 的 两 因 素
力： 集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、一个力系 统称为广义力 位移：线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、一组位移 统称为广义位移
图乘法
40kN 10kN 10kN/m 30 B 5 EI 3m 60 D 5 P2=1 C
B
3EI
D
C
B
静定结构的位移计算—结构位移(建筑力学)
结构的位移
1.绝对位移
水平线位移
（1）线位移
竖向线位移
（2）角位移
变形位移 刚体位移
2.相对位移
（1）相对线位移
（2）相对角位移
变形位移
绝对位移 相对位移
引起结构位移的因素
1.荷载因素
外荷载
内力
2.温度变化因素
均匀变形
变形
不均匀变形
线位移
位移
角位移
变形位移
温度变化
均匀变形
变形
不均匀变形
3.支座位移因素
线位移 角位移
位移
变形位移
支座位移
平移
旋转
4.其它因素
线位移
位移
角位移
刚体位移
பைடு நூலகம்
位移计算假设
1.假设
（1）线性假设 认为结构的材料服从胡克定律,即应力与应变呈线性关系。 （2）小变形假设 认为结构的变形(或位移)是微小的。因此在建立平衡方程时,仍然采用结 构变形前的原有几何尺寸进行计算。
2.基于假设的认知
（1）结构实际变形一般不是线性的，但假设造成的偏差非常微小，能够满足实际工程需要。 （2）基于上述假设的结构变形是线弹性的，符合叠加原理，多种因素引起的位移可以叠加。
1.绝对位移
水平线位移
（1）线位移
竖向线位移
（2）角位移
变形位移 刚体位移
2.相对位移
（1）相对线位移
（2）相对角位移
变形位移
绝对位移 相对位移
引起结构位移的因素
1.荷载因素
外荷载
内力
2.温度变化因素
均匀变形
变形
不均匀变形
线位移
位移
角位移
变形位移
温度变化
均匀变形
变形
不均匀变形
3.支座位移因素
线位移 角位移
位移
变形位移
支座位移
平移
旋转
4.其它因素
线位移
位移
角位移
刚体位移
பைடு நூலகம்
位移计算假设
1.假设
（1）线性假设 认为结构的材料服从胡克定律,即应力与应变呈线性关系。 （2）小变形假设 认为结构的变形(或位移)是微小的。因此在建立平衡方程时,仍然采用结 构变形前的原有几何尺寸进行计算。
2.基于假设的认知
（1）结构实际变形一般不是线性的，但假设造成的偏差非常微小，能够满足实际工程需要。 （2）基于上述假设的结构变形是线弹性的，符合叠加原理，多种因素引起的位移可以叠加。
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2
BC段： t 轴 0 10 5 0 C , t t 1 t 2 10 0 C
2
h
ct
1 0 M AB
h
1 0 M BC
1 5 N AB 0 4 .4 m m
第四节
图乘法只适合等截面直杆段的情况，而且杆段的两个弯矩图 中至少应有一个是直线。 一般可以按照积分运算的规则分段图乘，然后将分段图乘的 结果相加。 应当注意的是 y c 只能取自直线图形，而 A 应取自另一图形。
例１－１用图乘法求梁C截面的转角
30 kN m
C
B 40 kN
M
P
A 4m
C 1m
由 ip
东南大学远程教育
建 筑 力 学
第一讲 主讲教师：赵才其
第一章
静定结构的位移计算
内容 一般荷载作用下的位移计算公式 图乘法求位移 温度位移 支座变位引起的位移
第一节
一般荷载作用下的位移计算公式
微段的变形：
du P
变形体虚功原理:外力虚功=内力虚功
ds
K K K
Pk 1
NP
du
NP
dθ P
P
N P dS EA
M
P
M
P
dP
M P dS EI
实位移状态 虚拟状态 实际内力 M P , Q P , N P 虚内力: M , Q , N
QP
dλ P
Q P d P
Q P dS GA
第一节
外力虚功: 内力虚功:
一般荷载作用下的位移计算公式
Pk
kP
(虚外力在实位移上作的虚功)
K
M M P dS EI
桁架：各杆只受轴力，且每一杆件的轴力和截面一般是沿杆长不变
K
EA 组合结构：对于钢架杆件，只考虑弯曲变形的影响，链杆只考虑 轴向变形的影响。
K
N N pl
M M P dS EI
N N pl EA
第二节
图乘法求位移
M M P dS EI
A yc EI
u 1 t 1 ds u 2 t 2 ds
杆轴处伸长：
1 2
u
1 2
1
t t2 u 2 1 ds 2
杆轴处的平均温度 ⅱ） 不对称截面
t轴 h1 h t2 h2 h h2 h
t轴
t
1
t2
t2
h2
t1 t2
轴
N
M —单位
M
图面积
N —单位
N
图面积
第三节
温度位移
公式符号判断规则 • t 轴 , t 可用绝对值代入 •若 t 引起的杆件弯曲变形方向和由 M 引起的弯曲方向一致 为正，反之为负 •若 t 轴 引起的杆件轴向伸缩和由 N 引起的杆件轴向伸缩一致 为正，反之为负
例1－2：求图示刚架因温度产生的竖向位移
h
h1
t2
t
1
t1
第三节
d t u1 u 2 h
温度位移
t 1 t 2 ds
h
t h
ds
kt
M
t h
ds
Nt
轴
轴
ds
t h
M ds t N ds
h M
t
t
A yc EI
得
1 1 EI C 80 3 1 25 3 1 2 2 1 2 2 3 30 3 1 8 3 15 C EI
M
二次抛物线面积公式
A
2 3
hl
式中括号前各项的正，负号按照在基线同侧取正，异侧取负的原则。
P
M d
N du
P
Q d
P
(虚内力在实变形上作的虚功)
1 kP
M M P dS EI
N N P dS EA
k
Q Q P dS GA
则
M M P dS EI
N N P dS EA
k
Q Q P dS GA
梁和钢架：位移主要是由弯曲变形引起，轴向变形和剪切 变形的影响一般很小，可略去。
支座变位引起的位移
支座移动对静定结构不产生内力和变形，只发生刚体位移
k
Pk 1
k
Pk
产生一组虚反力 R 及虚内力 Q , N , M
i
a
b
虚内力功— Q , N , M 与支座移动对应的实变形 为零 虚外力功—主动力与被动力作的功为零 虚外力功=虚内力功
P k kc
R iC i 0
kc R i C i
R i ---由单位力引起的一组虚反力 C i ---已知支座位移，当R i 与 C i 一致时取正
第三节
t2 C
0
0
温度位移
t1 C , t 2 C
0 0
—内、外侧温度的改变
t
t1 C
k
1 kt
M d
N du
t
实际状态
1
du t , d t
—实变形，温度不引起剪切变形
u 2
ⅰ）对称截面
t2 C
0
t1 C
0
k
虚拟状态
M,Q,N
u1
第三节
温度位移
轴向伸长（内、外表面纤维）
AB杆外侧升高
L 4 m , 10
B
5
20
0
，设内侧温升10 0 C ， C ，BC杆外侧无变化，各杆截面 h 16 cm ,
ห้องสมุดไป่ตู้ct
1
C
L
B
C
1
( )
B
1
C
t 1 20 C
0
t 2 10 C
0
M
A
N
A
A
第三节
温度位移
AB段： t 轴 10 20 15 0 C , t t 1 t 2 10 0 C
BC段： t 轴 0 10 5 0 C , t t 1 t 2 10 0 C
2
h
ct
1 0 M AB
h
1 0 M BC
1 5 N AB 0 4 .4 m m
第四节
图乘法只适合等截面直杆段的情况，而且杆段的两个弯矩图 中至少应有一个是直线。 一般可以按照积分运算的规则分段图乘，然后将分段图乘的 结果相加。 应当注意的是 y c 只能取自直线图形，而 A 应取自另一图形。
例１－１用图乘法求梁C截面的转角
30 kN m
C
B 40 kN
M
P
A 4m
C 1m
由 ip
东南大学远程教育
建 筑 力 学
第一讲 主讲教师：赵才其
第一章
静定结构的位移计算
内容 一般荷载作用下的位移计算公式 图乘法求位移 温度位移 支座变位引起的位移
第一节
一般荷载作用下的位移计算公式
微段的变形：
du P
变形体虚功原理:外力虚功=内力虚功
ds
K K K
Pk 1
NP
du
NP
dθ P
P
N P dS EA
M
P
M
P
dP
M P dS EI
实位移状态 虚拟状态 实际内力 M P , Q P , N P 虚内力: M , Q , N
QP
dλ P
Q P d P
Q P dS GA
第一节
外力虚功: 内力虚功:
一般荷载作用下的位移计算公式
Pk
kP
(虚外力在实位移上作的虚功)
K
M M P dS EI
桁架：各杆只受轴力，且每一杆件的轴力和截面一般是沿杆长不变
K
EA 组合结构：对于钢架杆件，只考虑弯曲变形的影响，链杆只考虑 轴向变形的影响。
K
N N pl
M M P dS EI
N N pl EA
第二节
图乘法求位移
M M P dS EI
A yc EI
u 1 t 1 ds u 2 t 2 ds
杆轴处伸长：
1 2
u
1 2
1
t t2 u 2 1 ds 2
杆轴处的平均温度 ⅱ） 不对称截面
t轴 h1 h t2 h2 h h2 h
t轴
t
1
t2
t2
h2
t1 t2
轴
N
M —单位
M
图面积
N —单位
N
图面积
第三节
温度位移
公式符号判断规则 • t 轴 , t 可用绝对值代入 •若 t 引起的杆件弯曲变形方向和由 M 引起的弯曲方向一致 为正，反之为负 •若 t 轴 引起的杆件轴向伸缩和由 N 引起的杆件轴向伸缩一致 为正，反之为负
例1－2：求图示刚架因温度产生的竖向位移
h
h1
t2
t
1
t1
第三节
d t u1 u 2 h
温度位移
t 1 t 2 ds
h
t h
ds
kt
M
t h
ds
Nt
轴
轴
ds
t h
M ds t N ds
h M
t
t
A yc EI
得
1 1 EI C 80 3 1 25 3 1 2 2 1 2 2 3 30 3 1 8 3 15 C EI
M
二次抛物线面积公式
A
2 3
hl
式中括号前各项的正，负号按照在基线同侧取正，异侧取负的原则。
P
M d
N du
P
Q d
P
(虚内力在实变形上作的虚功)
1 kP
M M P dS EI
N N P dS EA
k
Q Q P dS GA
则
M M P dS EI
N N P dS EA
k
Q Q P dS GA
梁和钢架：位移主要是由弯曲变形引起，轴向变形和剪切 变形的影响一般很小，可略去。
支座变位引起的位移
支座移动对静定结构不产生内力和变形，只发生刚体位移
k
Pk 1
k
Pk
产生一组虚反力 R 及虚内力 Q , N , M
i
a
b
虚内力功— Q , N , M 与支座移动对应的实变形 为零 虚外力功—主动力与被动力作的功为零 虚外力功=虚内力功
P k kc
R iC i 0
kc R i C i
R i ---由单位力引起的一组虚反力 C i ---已知支座位移，当R i 与 C i 一致时取正
第三节
t2 C
0
0
温度位移
t1 C , t 2 C
0 0
—内、外侧温度的改变
t
t1 C
k
1 kt
M d
N du
t
实际状态
1
du t , d t
—实变形，温度不引起剪切变形
u 2
ⅰ）对称截面
t2 C
0
t1 C
0
k
虚拟状态
M,Q,N
u1
第三节
温度位移
轴向伸长（内、外表面纤维）
AB杆外侧升高
L 4 m , 10
B
5
20
0
，设内侧温升10 0 C ， C ，BC杆外侧无变化，各杆截面 h 16 cm ,
ห้องสมุดไป่ตู้ct
1
C
L
B
C
1
( )
B
1
C
t 1 20 C
0
t 2 10 C
0
M
A
N
A
A
第三节
温度位移
AB段： t 轴 10 20 15 0 C , t t 1 t 2 10 0 C