数学-甘肃省靖远县第三中学2017-2018学年高二下学期期中考试(理)

甘肃省靖远县第三中学2017-2018学年高二下学期期中考试（理）卷I（选择题）一、选择题（共12 小题，每小题 5 分，共60 分）1.i是虚数单位，复数3+i1−i=()A.1+2iB.2+4iC.−1−2iD.2−i2.函数f(x)=x ln x在点x=1处的导数为（）A.−1B.0C.1D.23.函数f(x)=x3−3x2+1的减区间为（）A.(2, +∞)B.(−∞, 2)C.(0, 2)D.(−∞, 0)4.在用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时的正确反设应为（）A.a，b，c都是奇数B.a，b，c都是奇数或至少有两个偶数C.a，b，c都是偶数D.a，b，c中至少有两个偶数5.若曲线y=x2+ax+b在点(0, b)处的切线方程是x−y+1=0，则（）A.a=1，b=1B.a=−1，b=1C.a=1，b=−1D.a=−1，b=−16.设曲线y=ax2在点(1, a)处的切线与直线2x−y−6=0平行，则a=()A.1B.12C.−12D.−17.若f(x)=−12x2+b ln(x+2)在(−1, +∞)上是减函数，则b的取值范围是（）A.[−1, +∞)B.(−1, +∞)C.(−∞, −1]D.(−∞, −1)8.类比下列平面内的结论，在空间中仍能成立的是（）①平行于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两条直线平行；③如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直；④如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交．A.①②④B.①③C.②④D.①③④9.曲线y ＝cosx(0≤x≤2π)与y ＝1围成的面积是( ) A ．4π B ．5π2 C ．3π D ．2π10.若函数f (x )=x 2+ax +1x 在(12,+∞)是增函数，则a 的取值范围是（ ）A.[−1, 0]B.[−1, ∞]C.[0, 3]D.[3, +∞]11．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图象如右图所示，则导函数)(x f y '=的图象可能为( )12.若函数f (x )=x ln x 的图象在x =1处的切线为l ，则l 上的点到圆x 2+y 2+4x −2y +4=0上的点的最近距离是（ ） A.2 2B. 2−1C.2 2−1D.1卷II （非选择题）二、填空题（共 4 小题 ，每小题 5 分 ，共 20 分 ） 13. 已知复数z =1+i 1−i（i 是虚数单位），则|z|=________．14.函数f(x)=lnx −x+1的极值点是x=________15.一个物体的运动方程为s =1−t +t 2其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是________米/秒．16.已知函数y =f (x )的图象在M （1, f (1)）处的切线方程是y =12x +2，f (1)+f′(1)=________．三、解答题（共 6 小题 ，需写出解答及证明过程 ） 17．（10分）证明： (1)如果a ，b >0，则lga +b 2≥lg a +lg b2；(2) 6+ 10>2 3+2．18.（12分）计算：(1)y =sin(2x 2+x )求y′ 2 y =2x ln x 求y ′ (3) |x|dx 3−4 (4) 1x −1dx ．e+1219.（12分）已知函数f (x )=4x 3+ax 2+bx +5在x =−1与x =32处有极值．(1)写出函数的解析式； (2)求出函数的单调区间； (3)求f (x )在[−1, 2]上的最值．20. （12分）已知函数f (x )=x 3−12x 2+bx +c ．(1)若f (x )在(−∞, +∞)是增函数，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x =1时取得极值，且x ∈[−1, 2]时，f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．21. （12分）设S n=11×2+12×3+13×4+...+1n(n+1)，写出S1，S2，S3，S4的归纳并猜想出结果，并给出证明．22. （12分）已知函数f(x)=−x2+2|x−a|．(1)若函数y=f(x)为偶函数，求a的值；(2)若a=12，求函数y=f(x)的单调递增区间；(3)当a>0时，若对任意的x∈[0, +∞)，不等式f(x−1)≥2f(x)恒成立，求实数a的取值范围．参考答案1.A2.C3.C4.B5.A 6B7.C 8.B 9.D10.D11.D 12.C13.1 14.1 15.5 16.317. 证明：(1)当a，b>0时，有a+b2≥ab，∴lg a+b2≥lg ab，∴lg a+b2≥12lgab=lga+lgb2．…(2)要证6+10>23+2，只要证(6+10)2>(23+2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立．…18. 解：(1)∵y=sin(2x2+x)∴y′=cos(2x2+x)(2x2+x)′，∴y′=(4x+1)cos(2x2+x)；(2)∵y=2x lnx，∴y′=2x ln2⋅lnx+2x⋅1x；(3) 3−4 |x|dx=−−4xdx+x3dx=−12x2|−40+12x2|03=8+92=252；(4) e+12 1x−1dx=ln(x−1)|2e+1=ln(e+1−1)−ln(2−1)=1．19.解：(1)f′(x)=12x2+2ax+b，依题意有f′(−1)=0，f(32)=0，即12−2a+b=027+3a+b=0，得a=−3b=−18，所以f(x)=4x3−3x2−18x+5；(2)f′(x)=12x2−6x−18<0，∴(−1, 32)是函数的减区间，(−∞, −1)，(32, +∞)是函数的增区间；(3)函数在[−1, 32]上单调递减，在[32, 2]上单调递增，∴f(x)max=f(−1)=16，f(x)min=f(32)=−614．.20.解：(1)f′(x)=3x2−x+b，∵f(x)在(−∞, +∞)是增函数，∴f′(x)≥0恒成立，∴△=1−12b≤0，解得b≥112．∵x∈(−∞, +∞)时，只有b=112时，f′(16)=0，∴b的取值范围为[112, +∞]．(2)由题意，x=1是方程3x2−x+b=0的一个根，设另一根为x0，则x0+1=13x0×1=b3∴x0=−23b=−2∴f′(x)=3x2−x−2，列表分析最值：x−1(−1, −23)−23(−23, 1)1(1, 2)2f′(x)+ 0- 0+f(x)12+c递增极大值2227+c递减极小值−32+c递增2+c∴当x∈[−1, 2]时，f(x)的最大值为f(2)=2+c，∵对x∈[−1, 2]时，f(x)<c2恒成立，∴c2>2+c，解得c<−1或c>2，故c的取值范围为(−∞, −1)∪(2, +∞)21.解：当n=1，2，3，4时，计算得原式的值分别为：S1=12，S2=23，S3=34，S4=45．观察这4个结果都是分数，每个分数的分子与项数对应，且分子比分母恰好小1．归纳猜想：S n=nn+1．证明∵11×2=1−12，12×3=12−13，…，1n(n+1)=1n−1n+1．∴S n=1−12+12−13+13−14+...+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1．22.解：(1)解法一：因为函数f(x)=−x2+2|x−a|又函数y=f(x)为偶函数，所以任取x∈R，则f(−x)=f(x)恒成立，即−(−x)2+2|−x−a|=−x2+2|x−a|恒成立．…所以|x−a|=|x+a|恒成立，两边平方得：x2−2ax+a2=x2+2ax+a2所以4ax=0，因为x为任意实数，所以a=0…解法二（特殊值法）：因为函数y=f(x)为偶函数，所以f(−1)=f(1)，得|1−a|=|1+a|，得：a=0所以f(x)=−x2+2|x|，故有f(−x)=f(x)，即f(x)为偶函数…(2)若a=12，则f(x)=−x2+2|x−12|=−x2−2x+1,x<12−x2+2x−1,x≥12．由函数的图象并结合抛物线的对称轴可知，函数的单调递增区间为(−∞, −1]和[12,1]…(3)不等式f(x−1)≥2f(x)化为−(x−1)2+2|x−1−a|≥−2x2+4|x−a|，即：4|x−a|−2|x−(1+a)|≤x2+2x−1(∗)对任意的x∈[0, +∞)恒成立．因为a>0．①当0≤x≤a时，不等式(∗)化为−4(x−a)+2[x−(1+a)]≤x2+2x−1，即x2+4x+1−2a≥0对任意的x∈[0, a]恒成立，∵函数g(x)=x2+4x+1−2a在区间[0, a]上单调递增，∴g(0)≥0，解得a≤12，∴0<a≤12②a<x≤1+a时，不等式(∗)化为4(x−a)+2[x−(1+a)]≤x2+2x−1，即x2−4x+1+6a≥0对任意的x∈(a, 1+a]恒成立，由①中0<a≤12知：函数h(x)=x2−4x+1+6a在区间(a, 1+a]上单调递减，∴h(1+a)≥0，即a2+4a−2≥0，解得a≤−2−6或a≥6−2．∴结合①的结论可得6−2≤a≤12．③x>1+a时，不等式(∗)化为4(x−a)−2[x−(1+a)]≤x2+2x−1，即x2+2a−3≥0对任意的x∈(a+1, +∞)恒成立，∵函数φ(x)=x2+2a−3在区间(a+1, +∞)上单调递增，∴φ(a+1)≥0，即a2+4a−2≥0，解得a≤−2−6或a≥6−2，结合②的结论可得：6−2≤a≤12．综上所述得，a的取值范围是6−2≤a≤12．。