数值计算课件
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数值计算方法教学课件chapter4
(1) 独立抽样 ϕ(s) ∼ Gam(νn/2, Sn/2), s = 1, . . . , T
(2) 对每个 则 E(µ | y1, .
ϕ(s), . . , yn
)抽≈µ∑(s)Ts=| 1ϕµ(s()s)∼/TN(µn
,
(κn
ϕ(s))−1),
s
.
=
.
1, . . . , T
. .... ..
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. .
. ..
6 / 15
则 (µ(1), ϕ(1)) 可以看作联合后验分布 p(µ, ϕ | y1, . . . , yn) 的一个样本
▶ 只要给定 µ 或 ϕ 的一个初始值，然后轮流从 µ 和 ϕ 的完全条件分布 抽样，就可以得到一列来自联合后验分布 p(µ, ϕ | y1, . . . , yn) 的样本 {(µ(s), ϕ(s)) : s = 1, . . . , T}
. .. .
. ..
5 / 15
A Bayesian Normal Model
如果为模型(2)选取如下的先验分布:
µ ∼ N(µ0, τ02)
(3)
ϕ ∼ Gam(ν0/2, ν0σ02/2)
此时 ϕ 的边际后验分布既不是 Gamma 分布，也不是任何常见的分布
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
第四章 Gibbs 抽样和马尔可夫链
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. .
. ..
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第一章数值计算方法与误差分析PPT课件
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29
0 . 4 9 0 . 4 0 0 8 . 0 0 4 1 0 . 0 2 1 3 1 2 1 9 1 5 0 7 1 1 ( 2 1 ) 0
0 . 484
2 4 2 4
我们不能由此推出x*有两位有效数字，这是因为
x-x*=0.4900-0.484=0.0060>0.005
即可知近似值x*并不具有两位有效数字。
例４ 对于绝对值小的 x，可利用泰勒级数
ex–1= x+x2/2+x3/6+…
取前n项来计算。
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23
（二）要防止大数“吃掉“小数，注意保护重要数据
在数值运算中，参加运算的数有时数量级相差很大，而计算 机位数有限，如不注意运算次序就可能出现大数“吃掉”小数的
现 象，影响计算结果的可靠性。
5 .编制源程序并调试
6 .做出算法的误差分析
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2
从工程实际中抽象出来的数学问题往往很复杂，典型的有： 1、数据点的插值 2 、曲线拟和 3、复杂函数的微积分运算 4、非线性方程f(x)=0的根的求解
5、当n很大时线性方程组AX=B的求解 6、常微分方程的求解
minf (x) xX
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3
参考书籍的几种名称： 1、数值分析 2、数值计算原理 3、计算方法 4、算法设计 5、计算机数值计算方法与程序设计
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4
数值计算中的误差
1、误差的种类和来源
① 模型误差
② 观测误差
③ 截断误差
④ 舍入误差
真
2、误差的有关概念：
值
近似值
① 绝对误差： (x)xx
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《数值计算》课件
《数值计算》PPT课件
数值计算是一门重要的数学领域，涉及到各种数值分析和计算方法的应用。 本课程将介绍数值计算的基本概念、常见方法、实例分析以及误差分析等内 容，帮助学生更好地掌握数值计算技术。
第一部分：引言
课程概述
介绍数值计算课程的目标、 内容和学习方法。
数值计算的基本概念
解释数值计算涉及的基本概 念，如数值方法、误差分析 和数值稳定性。
介绍高斯消元法、LU分解法和特征值计 算等常用的矩阵计算方法。
第三部分：数值计算实例分析
割线法求解方 程
详细解释使用割线法 求解方程的步骤和应 用场景。
三点逼近法求 解曲线拟合
介绍使用三点逼近法 进行曲线拟合的原理 和实际应用。
数值求解微分 方程
探讨数值方法在求解 微分方程和模拟动态 系统中的作用。
数值计算的应用前景
展望数值计算在科学、工程 等领域的未来应用前景。
数值计算的挑战与机遇
分析数值计算所面临的挑战 和带来的机遇，如算法优化 和计算性能提升。
线性回归分析 实例
展示如何使用数值计 算方法进行线性回归 分析以预测未来趋势。
第四部分：数值计算的误差分析
Байду номын сангаас
1 四舍五入误差
探讨数值计算中由于四舍五入引起的误差及 其影响。
2 截断误差
解释截断误差在数值计算中的产生和如何控 制。
3 舍入误差
说明舍入误差是由于浮点数表示而引入的误 差。
4 稳定性与精度
讨论数值计算算法的稳定性和精度对计算结 果的影响。
第五部分：数值计算的软件工具
MATLAB的使用
介绍使用MATLAB软件进行数值计算和数据分析的相 关技巧。
Python的使用
数值计算是一门重要的数学领域，涉及到各种数值分析和计算方法的应用。 本课程将介绍数值计算的基本概念、常见方法、实例分析以及误差分析等内 容，帮助学生更好地掌握数值计算技术。
第一部分：引言
课程概述
介绍数值计算课程的目标、 内容和学习方法。
数值计算的基本概念
解释数值计算涉及的基本概 念，如数值方法、误差分析 和数值稳定性。
介绍高斯消元法、LU分解法和特征值计 算等常用的矩阵计算方法。
第三部分：数值计算实例分析
割线法求解方 程
详细解释使用割线法 求解方程的步骤和应 用场景。
三点逼近法求 解曲线拟合
介绍使用三点逼近法 进行曲线拟合的原理 和实际应用。
数值求解微分 方程
探讨数值方法在求解 微分方程和模拟动态 系统中的作用。
数值计算的应用前景
展望数值计算在科学、工程 等领域的未来应用前景。
数值计算的挑战与机遇
分析数值计算所面临的挑战 和带来的机遇，如算法优化 和计算性能提升。
线性回归分析 实例
展示如何使用数值计 算方法进行线性回归 分析以预测未来趋势。
第四部分：数值计算的误差分析
Байду номын сангаас
1 四舍五入误差
探讨数值计算中由于四舍五入引起的误差及 其影响。
2 截断误差
解释截断误差在数值计算中的产生和如何控 制。
3 舍入误差
说明舍入误差是由于浮点数表示而引入的误 差。
4 稳定性与精度
讨论数值计算算法的稳定性和精度对计算结 果的影响。
第五部分：数值计算的软件工具
MATLAB的使用
介绍使用MATLAB软件进行数值计算和数据分析的相 关技巧。
Python的使用
数值计算ppt课件
ans =
030000000 004000000 000500000 000060000 000007000 000000800 000000090 0 0 0 0 0 0 0 0 10
多项式表示
多项式在MATLAB中使用降幂系数的行向 量表示。表示中需要包含零系数的项。 poly2str：
使用函数roots可找出多项式等于零的根。 规定：多项式用行向量，根用列向量。 给出多项式的根，使用poly函数也可以构造
总结：多项式常用函数
poly(A) %A 为矩阵，计算A的特征多项式 poly(x) roots(p) conv(p,q)%p*q [k,r]=deconv(p,q) %p/q,k为商，r为余数
曲线拟合与插值
在分析试验数据中，常常要面临将试验数据作解 析描述的任务，这个问题有曲线拟合和插值两种 方法。
即y=0.5318+0.9191t-0.2387t2
最小二乘拟合
数据规律并不是多项式形式，即非线性 方式。
nlinfit 或lsqcurvefit 函数 需建立m脚本文件
举例
J=a*exp(-pt)求a和p 观察序列为
t=(0,1,2,3) J=(2.010,1.210,1.740,0.450)
稀疏矩阵
只存储非0元素 常用建立稀疏矩阵的方法
sparse（建立一般稀疏矩阵） speye（建立单位稀疏矩阵） spdiags（建立带状稀疏矩阵） sprand（建立均匀分布随机稀疏矩阵） sprandn（建立正态分布随机稀疏矩阵） sprandsym（建立对称稀疏矩阵）
稀疏矩阵_sparse函数
sparse(A)%A转为系数矩阵 sparse(m,n) %m*n维全0 zeros？ sparse(i,j,s) %i,j,s向量要求长度相同，分别
数值计算方法教学课件chapter1_handout
7 / 40
随机数的检验
对 U(0, 1) 随机数发生器产生的序列 {Ri : i = 1, 2, . . . , n}, 可以进行各种 检验确认其均匀性：
把 [0,1] 等分成 K 段，用 Pearson’s χ2 test 检验 {Ri : i = 1, 2, . . . , n} 落在每一段的概率是否近似为 1/K
6 / 40
组合发生器
把若干个发生器组合利用，产生的随机数比单个发生器具有更长的周期 和更好的随机性
MacLaren and Marsaglia (1965) 提出组合同余法，组合两个同余发 生器，其中一个用来 “搅乱” 次序 Wichman and Hill (1982) 设计了如下的线性组合发生器。利用三个 同余发生器：
如果 CDF F(x) 不连续 (离散分布) 或不可逆，可以定义如下的广义
逆：
F−1(u) = inf{x | F(x) ≥ u}, 0 < u < 1
(1)
10 / 40
CDF 逆变换
F−1(0.15) = 0.2, F−1(0.6) = 1.2, F−1(0.9) = 1.7
11 / 40
CDF 逆变换
用 Kolmogorov-Smirnov (K-S) test 检验 {Ri : i = 1, 2, . . . , n} 是否近 似服从 U[0, 1] 分布
把 {Ri : i = 1, 2, . . . , n} 每 d 个组合在一起成为 Rd 向量，把超立方 体 [0, 1]d 每一维均匀分为 K 份，得到 Kd 个子集，用 Pearson’s χ2 test 检验这些 Rd 向量落在每个子集的概率是否近似为 1/Kd
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随机数的检验
对 U(0, 1) 随机数发生器产生的序列 {Ri : i = 1, 2, . . . , n}, 可以进行各种 检验确认其均匀性：
把 [0,1] 等分成 K 段，用 Pearson’s χ2 test 检验 {Ri : i = 1, 2, . . . , n} 落在每一段的概率是否近似为 1/K
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组合发生器
把若干个发生器组合利用，产生的随机数比单个发生器具有更长的周期 和更好的随机性
MacLaren and Marsaglia (1965) 提出组合同余法，组合两个同余发 生器，其中一个用来 “搅乱” 次序 Wichman and Hill (1982) 设计了如下的线性组合发生器。利用三个 同余发生器：
如果 CDF F(x) 不连续 (离散分布) 或不可逆，可以定义如下的广义
逆：
F−1(u) = inf{x | F(x) ≥ u}, 0 < u < 1
(1)
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CDF 逆变换
F−1(0.15) = 0.2, F−1(0.6) = 1.2, F−1(0.9) = 1.7
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CDF 逆变换
用 Kolmogorov-Smirnov (K-S) test 检验 {Ri : i = 1, 2, . . . , n} 是否近 似服从 U[0, 1] 分布
把 {Ri : i = 1, 2, . . . , n} 每 d 个组合在一起成为 Rd 向量，把超立方 体 [0, 1]d 每一维均匀分为 K 份，得到 Kd 个子集，用 Pearson’s χ2 test 检验这些 Rd 向量落在每个子集的概率是否近似为 1/Kd
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数值分析课件高斯求积公式
1
1
1 f ( x)dx A0 f (
求 A0 , A：1
3 ) A1 f (
) 3
令 f ( x) ，1,代x入公式精确成立，得到： A0 A1 1
或
1
1
A0 1 l0 ( x)dx 1, A1 1 l1( x)dx 1
两点Gauss-Legendre求积公式
3次代数精度
1
1
1
一、 Gauss积分问题的提法
n
积分公式的一般形式： In ( f ) Ak f ( xk ) k0
➢为了提高代数精度，需要适当选择求积节点:
①当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选
取，求积公式的代数精度最高能达到多少？2n 1
②具有最高代数精度的求积公式中求积节点如何选取？
n 个1求积节点， n个求1 积系数，共 个2n未知2量，需要
f p max f p axb
则Gauss型求积公式（*）是收敛的。
证明：由Weierstrass定理知 对 0
存在m次多项式 p( x满)足
下证 N , 当 n 时N
f
p 2
b
( x)dx
a
b
n
f ( x)( x)dx
a
Ak f ( xk )
k0
b
n
f ( x)( x)dx
➢ Gauss-Chebyshev求积公式
(x)
1
n
f ( x)( x)dx
1
Ak f ( xk )
k0
1 1 x2
其中求积节点
多项式的零点
xk
n [a, b] 是n+1次Chebyshev
k0
数值计算方法_数值分析课件
，输出数据为 ,a n, x
2
n
a ,a
,, a0 2n 1
秦九韶方法，也称为Horner算法 用递推公式表示为 新冲旧： b ai bx i 1,2,, n
p( x) ((a0 x a1 ) x an1 ) x an
b0 a0 bi ai bi 1 x i 1,2,, n bn pn ( x)
0 x2
1
e
x2
dxΒιβλιοθήκη = 0.747… …取
1
0
e
x2
dx S4 ,
S4
R4 /* Remainder */
1 1 1 则 R4 1 由留下部分 称为截断误差 /* Truncation Error */ 4!/* included 9 5! 11 terms */ 1 1 这里 R4 引起 0 .005 由截去部分 4! 9 /* excluded terms */ 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 . 024 0 .743 引起 3 10 42
| 舍入误差 /* Roundoff Error */ |
0.0005 2 0.001
1 0.02380 42
1 0.33333 3
计算 0 e
1
-x 2
dx 的总体误差 0 .005 0 .001 0 .006
D e f 1 . 4 （数值稳定性/* Numerical
设
称e
为近似值 x 的绝对误差，简称误差。 x x
为真值（精确值）， x
为 x
的一个近似值 x
高中信息技术必修课件数值计算
将时间导数也进行差分近似，得到包含未知量的差分方程，通
过求解该方程得到隐式差分格式。
Crank-Nicolson格式
03
结合显式和隐式格式，得到具有更高精度和稳定性的Crank-
Nicolson格式。
二维波动方程显式格式稳定性分析
稳定性条件
显式格式求解波动方程时 ，时间步长和空间步长需 要满足一定的条件才能保 证数值解的稳定性。
稀疏矩阵存储和计算优化
稀疏矩阵计算优化
选择合适的算法和数据结构以提高计算效 率；
利用稀疏性减少计算量；
并行计算和分布式计算等方法加速大规模 稀疏矩阵的计算。
03
非线性方程求解方法
二分法原理及实现过程
二分法原理：基于连续函数在闭区间上的中值定理，通 过不断将区间二分并判断函数值符号，逐步缩小零点所 在区间，直至达到预设精度。 1. 确定包含零点的初始区间[a, b]；
多项式插值原理：通过已知的函 数值构造一个多项式，使得该多 项式在给定点上与原函数取值相 同。
1. 利用多项式插值逼近非线性函 数，将原问题转化为求解多项式 方程的问题；
2. 对于某些难以直接求解的非线 性方程，多项式插值可以提供一 种有效的近似解法；
3. 通过增加插值节点的数量，可 以提高多项式插值的精度和逼近 效果。
收敛性
迭代求解过程中需要注意算法的收 敛性和收敛速度，选择合适的迭代 方法和参数设置。
边界条件处理和网格划分技巧
边界条件类型
根据问题的实际情况选择合适的 边界条件类型，如Dirichlet边界 条件、Neumann边界条件等。
网格划分
针对问题的特点和求解需求进行 合理的网格划分，如均匀网格、
非均匀网格、自适应网格等。
《数值计算基础》课件
几何方法
01
02
03
数值几何
利用几何知识，通过代数 方法解决几何问题，如求 点到直线的距离、求两线 交点等。
图形图像处理
利用几何变换和图像处理 技术，对图形和图像进行 变换、滤波等操作，实现 图像识别和计算机视觉。
数值逼近
通过几何方法逼近函数， 如多项式逼近、样条逼近 等，以实现函数近似计算 。
概率统计方法
混合精度计算
研究混合精度计算方法，利用低精度数值进行高效计算，降低计算成 本和功耗。
可解释性与可信度
提升数值计算的解释性和可信度，确保计算结果的可靠性和实际应用 的有效性。
THANKS
感谢观看
误差传播是指由于一个或多个输入数据存在误差，导致输出数据也存在误 差，并且这个误差会随着计算的进行而逐渐积累和扩大。
在数值计算中，误差的传播通常表现为计算结果的精度降低，甚至导致结 果完全失真。
为了减小误差的传播，可以采用多种方法，如提高输入数据的精度、选择 合适的算法和数值稳定的方法等。
误差的控制
01
随机模拟
利用概率统计方法模拟随机事件 ，如蒙特卡洛模拟、随机抽样等 ，以解决实际应
通过概率统计方法估计未知参数 ，并进行假设检验，以判断假设 是否成立。
03
回归分析
利用概率统计方法分析变量之间 的关系，如线性回归、逻辑回归 等，以预测未来趋势和结果。
04
数值计算的误差分析
持。
数值计算面临的挑战与机遇
数据规模与复杂度增加
随着数据规模的扩大和复杂度的提升， 数值计算面临更高的计算要求和技术挑
战。
跨学科融合
与其他领域的交叉融合为数值计算带 来了新的机遇，促进跨学科研究和应
《数值分析教程》课件
总结词
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
数值计算方法课件-CH2 解线性方程组的直接法—2.1～2.3 Gauss消去法
n 1
n-1 步回代过程需作乘除运算总次数为：
n2 n ( n i 1) 2 2 i 1
n
Gauss消去法的乘除运算总次数为：
n3 n n3 2 n O( n 2 ) MD 3 3 3
当 n 很大时，
3 n3 n n MD n 2 3 3 3
( 1) a11 0 0 ( 1) ( 1) a12 a1 n (2) (2) a22 a2 n (2) (2) an a 2 nn ( 1) b1 (2) b2 (2) bn
(k ) 0 时，采取类似的处理措施。 当 akk
§2.3 高斯列主元素消去法
例1.
用Gauss消去法解线性方程组(用3 位十进制浮 点数计算）
0.0001x1 x2 1 x1 x2 2
解:
本方程组的精度较高的解为
x* (0.99989999 ,1.00010001 )T
用Gauss消去法求解（用3位十进制浮点数计算）
在求行乘数时用了很小的数0.0001作除数。
如果在求解时将1,2行交换, 即
1 1 2 A ( A, b) 0.000100 1 1
1 2 1 m21 0.0001 0 1.00 1.00
回代后得到
0.9999 0.9998
根据Cramer(克莱姆)法则, 若 det(A) 0 则方程组 Ax b 有唯一解。
三角形线性方程组解法
上三角形
u11 x1 u12 x2 u1n xn b1 u22 x2 u2 n xn b2 unn xn bn
UX b
n-1 步回代过程需作乘除运算总次数为：
n2 n ( n i 1) 2 2 i 1
n
Gauss消去法的乘除运算总次数为：
n3 n n3 2 n O( n 2 ) MD 3 3 3
当 n 很大时，
3 n3 n n MD n 2 3 3 3
( 1) a11 0 0 ( 1) ( 1) a12 a1 n (2) (2) a22 a2 n (2) (2) an a 2 nn ( 1) b1 (2) b2 (2) bn
(k ) 0 时，采取类似的处理措施。 当 akk
§2.3 高斯列主元素消去法
例1.
用Gauss消去法解线性方程组(用3 位十进制浮 点数计算）
0.0001x1 x2 1 x1 x2 2
解:
本方程组的精度较高的解为
x* (0.99989999 ,1.00010001 )T
用Gauss消去法求解（用3位十进制浮点数计算）
在求行乘数时用了很小的数0.0001作除数。
如果在求解时将1,2行交换, 即
1 1 2 A ( A, b) 0.000100 1 1
1 2 1 m21 0.0001 0 1.00 1.00
回代后得到
0.9999 0.9998
根据Cramer(克莱姆)法则, 若 det(A) 0 则方程组 Ax b 有唯一解。
三角形线性方程组解法
上三角形
u11 x1 u12 x2 u1n xn b1 u22 x2 u2 n xn b2 unn xn bn
UX b
计算方法--数值积分省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
f
( x)
(x ( x1
x0 )( x x) x0 )( x1 x)
f
( x1 )
有
x1 f ( x)dx
x0
x1 x0
L2
(
x )dx
尤其地：当
x
1 2
(
x0
x1 )
,于是，
x1 x0
f
( x)dx
( x1
6
x0 )
f
(x0 ) 4
f
(
x0
2
x1 )
f
( x1)
Simpson公式
30
在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4时旳公式是最常用也 最主要三个公式,称为低阶公式
取n 1, 有x0 a , x1 b , h b a
Cotes系数为
C ( 1 ) 01(t01)dt1 2
C ( 1 ) 1
1
tdt
0
1 2
求积公式为
31
1
I1( f ) (b a) Ck(1) f (xk )
按此余项公式，对于次数不超出 n 旳多项式 f (x) ，
余项 R[ f ] 等于零，求积公式至少具有 n 次代数精度。
23
§5.1.4 插值求积法 - 余项
n+1 个节点旳求积公式为插值型 该求积公式至少有 n 次代数精度.
反之, 若求积公式至少具有 n 次代数精度，则肯定 是插值型旳。因为求积公式对 n 次多项式是精确成立旳:
b
n
a lk (x)dx Ajlk (x j ) Ak
j0
Return 24
§5.2 Newton-Cotes公式
第1节 公式旳一般形式 第2节 低阶公式及其他项 第3节 复合求积公式
数值分析4牛顿迭代法课件
x1
x0
f ( x0 ) f ( x0 )
x*
x0 x1
x1比x0更接近于x*
02:12
4/25
应用——求正数平方根算法
设C > 0, x C
x2 – C = 0
令 f(x) = x2 – C , 则
xn1
xn
xn2 C 2 xn
f ( x) 2x
xn1
1 2 [xn
C ]
xn
02:12
5/25
1.414213562373095 2.22e-016
1.414213562373095 2.22e-016
02:12
6/25
收敛性: (1) 符合不动点框架
(2) 从序列收敛的角度(单调有界序列)
xn1
2
1 2 [xn
2 xn
]
2
1
[ 2
xn
2 xn
]2
1 2 xn
( xn
2 )2
只要x0 0, xn 2 (n 1) (有界)
x0, x1, x2,···, xn, ···
02:12
3/25
设 x*是方程 f(x)=0 的根, x0是x*的近似值。
在 x0 附近对函数做局部线性化
化难为易
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )化繁为简
f(x) = 0
f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 0
代入牛顿迭代格式
xn1
xn
f (xn ) f ( xn )
x1 x0
xn1
xn
f
( xn
f (xn ) ) f ( xn1 )
数值计算方法(第5章)1 深圳大学 科学与工程计算 数值分析 PPT课件
5
1 19, 75,50,50, 75,19 288
6
1 41, 216, 27, 272, 27, 216, 41 840
7
1 751,3577,1323, 2989, 2989,1323,3577, 751 17280
8
1 989,5888, 928,10496, 4540,10496, 928,5888,989 28350
其中
RT
[
f
]
（b a）3 12
f
'' (
)
(a,b)
y f (x)
f (x) Ln (x) Rn (x)
由Lagrannge插值,任何一的函数
都
L可n (x以) 近似l的j (x表) y示j是成f (x)的Lagrage插值多项式。
j0
其中
为简便起见,取节点为等分
h ba,x
25几个常用的求积公式的代数精度几个常用的求积公式的代数精度1t公式的代数精度公式具有一次的代数精所以xdxdxs公式的代数精度成立所以xdxdx27精确成立28精确成立同理可得n公式具有三次代数精度c公式具有五次代数精度
第5章 数值积分
引言
在数学分析中，我们学习过微积分基
本定理 Newton-Leibniz 公式：
Newton Cotes积分公式
定义 设f (x)是[a, b]上的连续函数，将
[a, b]区间等分n等分，取h
ba n
, xj
a kh
( j 0,1,2..., n), 记f (x j ) f j ,以{x j }0n 为节点作
f (x)的lagrage插值多项式，即
f (x) Ln (x) Rn (x)
数值计算方法课件CH4数值积分4.2复合求积法
f
(b)
f (a)]
1 4
(I
Tn
)
20
因此有
I T2n 1 I Tn 4
4I 4T2n I Tn
即
I
T2n
1 3
(T2
n
Tn )
这说明， T2n作为I的近似值时的截断误差 绝对值约为
1 3 T2n Tn
若预先给定的误差限为，只要 ，就认为此时的数
值积分T2n已经达到精度要求，可以停止计算了.
3 4
)]
14
k
1
f
(xk ) 7
f
(1)]
0.94608307
10
比较三个 公式的结果
精度最低 精度次高
T8 0.94569086 S4 0.94608331
精度最高 C2 0.94608307
原积分的精确值为 I 1sin x dx 0.946083070367183 0x
这三种方法都是求积区间上9个节点上的函数值的线性组合 进行计算，只是组合方法不同，但工作量基本相同.T8的精 度很低，但S4和C2的精度很高，相比较而言，复合Simpson 公式的复杂性居中，精度又可达到要求，故使用更普遍.
在数值积分中，精度是一个很重要的问题，复合求积法 对提高精度是很有效的.由复合求积公式的余项表达式看到， 精度与步长有关. 步长取得太大，精度难以保证，步长太小， 则求积会公导式致之计前算最量好的先增给加出，步并长且.积I累 T误n 差 11也2 h2会[ f 增(b) 大f (，a)]因此使用
从理论上讲，可以根据复合I求 S积n 公 118式0 的2h 4余[ f 项(b) 公f 式(a)或] 其近 似于被表积达函式数，的预高先阶确导定数出很恰难当估的计步I，长 C或hn 来者 9.24但被5 在积h4 6实函[ f (际数5)(b使)没 f用有(5)(中解a)]，析表由 达式，因此这个预估h的方法是不宜使用的.
数值积分方法课件
热力学分析
通过数值积分方法，可以对物体的传热过程进行精确 分析。
在金融计算中的应用
01
股票价格预测
数值积分方法可以用于预测股票 价格的变动趋势，为投资决策提 供支持。
02
03
风险管理
精算学
在金融风险管理中，数值积分方 法可以用于评估投资组合的风险 水平。
在精算学中，数值积分方法可以 用于计算生命保险、养老保险等 保险产品的精算现值。
THANKS
感谢观看
按照被积函数的特征分类
可以分为有理函数的积分、无理函数的积分、超越函数的积分等。
02
常见数值积分方法
矩形法
总结词
简单、易理解、精度低
详细描述
矩形法是一种简单的数值积分方法，其基本思想是将积分区间划分为一系列小的矩形，然后用每个小 矩形的面积近似代替该区域的积分。该方法易于理解和实现，但精度较低。
分。
Gauss-Legendre积分法
03
精度高，计算量较大，适用于求解具有特定形状的积
分。
适用范围与场景
梯形法则
适用于简单的一维函数不定积分，如常数函 数、三角函数等。
Simpson法则
适用于具有对称性的积分，如奇函数或偶函数的积 分。
Gauss-Legendre积分法
适用于求解具有特定形状的积分，如圆环域 、球域等。
常见的数值积分公式包括梯形法则、辛普森法则 、高斯积分等。
数值积分的重要性
解决实际问题
数值积分被广泛应用于各种实际问题中，如物理学、工程学、经济学等。
理论计算基础
数值积分也是许多理论计算的基础，如微分方程、偏微分方程的求解等。
数值积分的分类
按照所使用的数值方法分类
通过数值积分方法，可以对物体的传热过程进行精确 分析。
在金融计算中的应用
01
股票价格预测
数值积分方法可以用于预测股票 价格的变动趋势，为投资决策提 供支持。
02
03
风险管理
精算学
在金融风险管理中，数值积分方 法可以用于评估投资组合的风险 水平。
在精算学中，数值积分方法可以 用于计算生命保险、养老保险等 保险产品的精算现值。
THANKS
感谢观看
按照被积函数的特征分类
可以分为有理函数的积分、无理函数的积分、超越函数的积分等。
02
常见数值积分方法
矩形法
总结词
简单、易理解、精度低
详细描述
矩形法是一种简单的数值积分方法，其基本思想是将积分区间划分为一系列小的矩形，然后用每个小 矩形的面积近似代替该区域的积分。该方法易于理解和实现，但精度较低。
分。
Gauss-Legendre积分法
03
精度高，计算量较大，适用于求解具有特定形状的积
分。
适用范围与场景
梯形法则
适用于简单的一维函数不定积分，如常数函 数、三角函数等。
Simpson法则
适用于具有对称性的积分，如奇函数或偶函数的积 分。
Gauss-Legendre积分法
适用于求解具有特定形状的积分，如圆环域 、球域等。
常见的数值积分公式包括梯形法则、辛普森法则 、高斯积分等。
数值积分的重要性
解决实际问题
数值积分被广泛应用于各种实际问题中，如物理学、工程学、经济学等。
理论计算基础
数值积分也是许多理论计算的基础，如微分方程、偏微分方程的求解等。
数值积分的分类
按照所使用的数值方法分类
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k 0
N
i 1
yi
a
j0
m
j
xi
j
k xi
=0
N
i 1
yi
a
j0
m
j
xi
j
2
N
i 1
yi
b
j0
m
j
xi
j
2
利用正则方程组求解曲线拟合问题是一个古老的方法， 在实际计算中，当m较大时，正则方程组往往是病态 的，其求解方法有待于进一步改进
则 在 节 点 x 0处 ( t = 0 ) 的 五 点 二 次 修 匀 公 式 为 ˆ y0 1 35 ( 3 y 2 1 2 y 1 1 7 y 0 1 2 y1 3 y 2 )
ˆ y0 y( x 0) a
三.曲线拟合
直线拟合 多项式拟合 可化为线性拟合的非线性拟合
j
2
m
N
i 1
yi
j
a
j0 m
m
j
xi
j
j
2
i 1
yi
a
j0
j
xi
a
j0
j
xi
b
j0
j
xi
2
N
i 1
yi
a
j0
m
j
xi
j
2
N
i 1 N
2 yi yi
j j 0 m m
j Q yi a j x i i 1 j 0
N
2
为最小
解：Q可以看作是关于a j ( j 0,1, , m )的多元函数，因此 拟合多项式的构造转化为多元函数的极值问题，令 Q ak
N
0,
k 0,1, , m
m k j 2 yi a j xi xi 0, i 1 j 0
j
j0
定理8 设 a j(j=0,1, ,m)是 正 则 方 程 组 的 解 ，
则y
m
a j x 必 为 问 题 11的 解
j
j0
证 明 ： 对 于 任 意 的 一 组 b j ( j 0 , 1, , m ) 有
N
i 1
yi
N
b
j0 m
m
j
xi
j
1) y ax
b
ln y ln a b ln x Y A B X
y ax
2) y
c Y aX c
x 1 y ax b x a b x
ax b
3) y
1 ax b
x
1 y
ax b
4) y
ax bx c
一.直线拟合
问题10.对于给定的数据点( xi , yi )( i 1, 2, , N ), 求作一次式 y a bx使得总误差 Q yi (a bxi )
i 1 N 2
为最小
解：使Q达到极值的参数a,b满足 Q a 0, Q b 0,
有
N N aN b xi yi i 1 i 1 N N N 2 a xi b xi xi yi i 1 i 1 i 1
纤维强度随拉伸
9
倍数增加而增加 并且24个点大致分
8 7 6 5
布在一条直线附近
因此可以认为强度 y 与拉伸倍数 x 的主
4 3 2 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
要关系应是线性关 系
y ( x ) a bx
9 8 7 6 5 4
2 4 a 1 2 7 .5 b 1 3 1 .1 1 2 7 . 5 a 8 2 9 . 6 1 b 7 3 1 . 6
关 于 系 数 a j的 线 性 方 程 组
正则方程组
上方程组解是否存在唯一？
定理7 正则方程组有唯一解
证明：即对应的齐次方程组 只有零解。
a
i 1 j 0
N
m
j
xi
jk
0
反证法：若不然，则对应的齐次线性方程组
a
i 1 j 0
N
m
j
xi
jk
0
有非零解，因此有
N 0 ak k 0 i 1
三.观察数据的修匀
提高拟合多项式的次数不一定能改善逼近效果， 实际计算时常用不同的低次多项式去拟合不同的 分段----分段拟合 设已给一批实测数据(xi,yi)(i=1,2, … ,N)，由于测 量方法和实验环境的影响，不可避免地会产生随机 干扰和误差，希望根据数据的分布的总的趋势去剔 除观察数据中的偶然误差----数据修匀(数据平滑)问题
只需要ei=f(xi)-yi（残差）总体上尽可能的小
构造拟合曲线的准则
(1)使残差的绝对值为最小 ( 2)使残差的绝对值之和为最小 (3)使残差的平方和为最小 max | ei | min
i
| e
i
i
| min min
e
i
2 i
基于准则3来选取拟合曲线的方法，称为曲线拟合的 最小二乘法
m
2
因此有
a
j0 m
m
j
x i 0 , ( i 1, 2 , , N ), 即 拟 合 的 m 次 多 项 式
j
有 N 个 零 点 ,当 N>m时 ， 拟 合 多 项 式 恒 为 零 ， 即
a j x 0， 因 此 a j 0 ( j 0 , 1, , m ), 矛 盾
曲线拟合与最小二乘法
直线拟合
多项式拟合
数据修匀
实际问题中，通过一组观测数据，找出描述这些 数据的规律，即构造一条拟合曲线，反映所给数 据点总的趋势，以消除所给数据的局部误差。
问题特点
（xi,yi）,i=1,2,…,N,N很大 yi本身为测量值，不准确 拟合函数f(x)没有必要完全通过所给的空间点，
m
m
a j xi
jk
j0
N
m
m
aka j xi
jk
i 1 j 0 k 0
N
i 1
k ak xi k 0
m
j a j xi j0
m
N
i 1
j a j xi j0
相 邻 的 5个 节 点 x 2 x 1 x 0 x1 x 2 , 设 节 点 之 间 是 等 距 的 ， 记 节 点 间 距 为 h， 作 变 换 t=(x x 0 )/h， 即 x x 0 h t , t i ( x i x 0 ) / h i ( i 2 , 1, 0 , 1, 2 ), 现 考 虑 对 变 量 t进 行 讨 论
C1 x
0.40 7.00
x
0.50 6.00 作最小二乘曲线拟合, 确
试用函数 y
C2
定参数C1和C2, 结果取3位有效数字.
求解二元一次方程，得到取定拟合直线的参数a,b
实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下 表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍 数是记录:
编 号 拉伸倍数 x i 1 1.9 2 2 3 2.1 4 2.5 5 2.7 6 2.7 7 3.5 8 3.5 9 4 10 4 11 4.5 12 4.6 强 度 y i 编 号 拉伸倍数 x i 1.4 13 5 1.3 14 5.2 1.8 15 6 2.5 16 6.3 2.8 17 6.5 2.5 18 7.1 3 19 8 2.7 20 8 4 21 8.9 3.5 22 9 4.2 23 9.5 3.5 24 10 强 度 yi 5.5 5 5.5 6.4 6 5.3 6.5 7 8.5 8 8.1 8.1
a
j0 j
m
j
xi
j
k k ( a k bk ) x i ( a k bk ) x i k 0 k 0
m m 2
2
m
i 1
a
j0
m
xijLeabharlann m k ( a k bk ) x i k 0
2 ( a k bk )
k 0,1, , m
a j xi
i 1 j 0
N
m
j k
yi x i ,
k i 1
N
k 0,1, , m
因此有，
a 0 N a 1 x i a m x im y i i a 0 x i a 1 x i2 a m x im 1 y i x i m m 1 2m m a 0 x i a1 x i am xi yi xi
解得：b c a 1 14 1 35
1 10
( 2 y 2 y 1 y1 2 y 2 )
( 2 y 2 y 1 2 y 0 y1 2 y 2 ) ( 3 y 2 1 2 y 1 1 7 y 0 1 2 y1 3 y 2 )
ti yi
-2 y-2
-1 y-1
0 y0
1 y1
2 y2
设用二项式作拟合 y a b t ct
N
i 1
yi
a
j0
m
j
xi
j
k xi
=0
N
i 1
yi
a
j0
m
j
xi
j
2
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i 1
yi
b
j0
m
j
xi
j
2
利用正则方程组求解曲线拟合问题是一个古老的方法， 在实际计算中，当m较大时，正则方程组往往是病态 的，其求解方法有待于进一步改进
则 在 节 点 x 0处 ( t = 0 ) 的 五 点 二 次 修 匀 公 式 为 ˆ y0 1 35 ( 3 y 2 1 2 y 1 1 7 y 0 1 2 y1 3 y 2 )
ˆ y0 y( x 0) a
三.曲线拟合
直线拟合 多项式拟合 可化为线性拟合的非线性拟合
j
2
m
N
i 1
yi
j
a
j0 m
m
j
xi
j
j
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i 1
yi
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j
xi
a
j0
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N
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yi
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m
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j
2
N
i 1 N
2 yi yi
j j 0 m m
j Q yi a j x i i 1 j 0
N
2
为最小
解：Q可以看作是关于a j ( j 0,1, , m )的多元函数，因此 拟合多项式的构造转化为多元函数的极值问题，令 Q ak
N
0,
k 0,1, , m
m k j 2 yi a j xi xi 0, i 1 j 0
j
j0
定理8 设 a j(j=0,1, ,m)是 正 则 方 程 组 的 解 ，
则y
m
a j x 必 为 问 题 11的 解
j
j0
证 明 ： 对 于 任 意 的 一 组 b j ( j 0 , 1, , m ) 有
N
i 1
yi
N
b
j0 m
m
j
xi
j
1) y ax
b
ln y ln a b ln x Y A B X
y ax
2) y
c Y aX c
x 1 y ax b x a b x
ax b
3) y
1 ax b
x
1 y
ax b
4) y
ax bx c
一.直线拟合
问题10.对于给定的数据点( xi , yi )( i 1, 2, , N ), 求作一次式 y a bx使得总误差 Q yi (a bxi )
i 1 N 2
为最小
解：使Q达到极值的参数a,b满足 Q a 0, Q b 0,
有
N N aN b xi yi i 1 i 1 N N N 2 a xi b xi xi yi i 1 i 1 i 1
纤维强度随拉伸
9
倍数增加而增加 并且24个点大致分
8 7 6 5
布在一条直线附近
因此可以认为强度 y 与拉伸倍数 x 的主
4 3 2 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
要关系应是线性关 系
y ( x ) a bx
9 8 7 6 5 4
2 4 a 1 2 7 .5 b 1 3 1 .1 1 2 7 . 5 a 8 2 9 . 6 1 b 7 3 1 . 6
关 于 系 数 a j的 线 性 方 程 组
正则方程组
上方程组解是否存在唯一？
定理7 正则方程组有唯一解
证明：即对应的齐次方程组 只有零解。
a
i 1 j 0
N
m
j
xi
jk
0
反证法：若不然，则对应的齐次线性方程组
a
i 1 j 0
N
m
j
xi
jk
0
有非零解，因此有
N 0 ak k 0 i 1
三.观察数据的修匀
提高拟合多项式的次数不一定能改善逼近效果， 实际计算时常用不同的低次多项式去拟合不同的 分段----分段拟合 设已给一批实测数据(xi,yi)(i=1,2, … ,N)，由于测 量方法和实验环境的影响，不可避免地会产生随机 干扰和误差，希望根据数据的分布的总的趋势去剔 除观察数据中的偶然误差----数据修匀(数据平滑)问题
只需要ei=f(xi)-yi（残差）总体上尽可能的小
构造拟合曲线的准则
(1)使残差的绝对值为最小 ( 2)使残差的绝对值之和为最小 (3)使残差的平方和为最小 max | ei | min
i
| e
i
i
| min min
e
i
2 i
基于准则3来选取拟合曲线的方法，称为曲线拟合的 最小二乘法
m
2
因此有
a
j0 m
m
j
x i 0 , ( i 1, 2 , , N ), 即 拟 合 的 m 次 多 项 式
j
有 N 个 零 点 ,当 N>m时 ， 拟 合 多 项 式 恒 为 零 ， 即
a j x 0， 因 此 a j 0 ( j 0 , 1, , m ), 矛 盾
曲线拟合与最小二乘法
直线拟合
多项式拟合
数据修匀
实际问题中，通过一组观测数据，找出描述这些 数据的规律，即构造一条拟合曲线，反映所给数 据点总的趋势，以消除所给数据的局部误差。
问题特点
（xi,yi）,i=1,2,…,N,N很大 yi本身为测量值，不准确 拟合函数f(x)没有必要完全通过所给的空间点，
m
m
a j xi
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N
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i 1 j 0 k 0
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j a j xi j0
相 邻 的 5个 节 点 x 2 x 1 x 0 x1 x 2 , 设 节 点 之 间 是 等 距 的 ， 记 节 点 间 距 为 h， 作 变 换 t=(x x 0 )/h， 即 x x 0 h t , t i ( x i x 0 ) / h i ( i 2 , 1, 0 , 1, 2 ), 现 考 虑 对 变 量 t进 行 讨 论
C1 x
0.40 7.00
x
0.50 6.00 作最小二乘曲线拟合, 确
试用函数 y
C2
定参数C1和C2, 结果取3位有效数字.
求解二元一次方程，得到取定拟合直线的参数a,b
实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下 表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍 数是记录:
编 号 拉伸倍数 x i 1 1.9 2 2 3 2.1 4 2.5 5 2.7 6 2.7 7 3.5 8 3.5 9 4 10 4 11 4.5 12 4.6 强 度 y i 编 号 拉伸倍数 x i 1.4 13 5 1.3 14 5.2 1.8 15 6 2.5 16 6.3 2.8 17 6.5 2.5 18 7.1 3 19 8 2.7 20 8 4 21 8.9 3.5 22 9 4.2 23 9.5 3.5 24 10 强 度 yi 5.5 5 5.5 6.4 6 5.3 6.5 7 8.5 8 8.1 8.1
a
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j
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j
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N
k 0,1, , m
因此有，
a 0 N a 1 x i a m x im y i i a 0 x i a 1 x i2 a m x im 1 y i x i m m 1 2m m a 0 x i a1 x i am xi yi xi
解得：b c a 1 14 1 35
1 10
( 2 y 2 y 1 y1 2 y 2 )
( 2 y 2 y 1 2 y 0 y1 2 y 2 ) ( 3 y 2 1 2 y 1 1 7 y 0 1 2 y1 3 y 2 )
ti yi
-2 y-2
-1 y-1
0 y0
1 y1
2 y2
设用二项式作拟合 y a b t ct