高中数学(选修1-1)单元测试-第三章导数及其应用(一)
高中数学选修第三章《导数及其应用》知识点归纳及单元测试
不合要求;综上, 为所求。
20.<1)解法1:∵ ,其定义域为 ,
∴ .
∵ 是函数 的极值点,∴ ,即 .
∵ ,∴ .
经检验当 时, 是函数 的极值点,
∴ .
解法2:∵ ,其定义域为 ,
∴ .
令 ,即 ,整理,得 .
∵ ,
∴ 的两个实根 <舍去), ,
当 变化时, , 的变化情况如下表:
<A) <B) <C) <D)
5.若曲线 的一条切线 与直线 垂直,则 的方程为< )
A. B. C. D.
6.曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为< )
A. B. C. D.
7.设 是函数 的导函数,将 和 的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是< )
8.已知二次函数 的导数为 , ,对于任意实数 都有 ,则 的最小值为< )A. B. C. D. b5E2RGbCAP
A
如图所示,切线BQ的倾斜角小于
直线AB的倾斜角小于 Q
切线AT的倾斜角
O 1 2 3 4 x
所以选B
11.
12.32
13.
14. (1>
三、解答题
15. 解:设长方体的宽为x<m),则长为2x(m>,高为
.
故长方体的体积为
从而
令V′<x)=0,解得x=0<舍去)或x=1,因此x=1.
当0<x<1时,V′<x)>0;当1<x< 时,V′<x)<0,
17.设函数 分别在 处取得极小值、极大值. 平面上点 的坐标分别为 、 ,该平面上动点 满足 ,点 是点 关于直线 的对称点,.求(Ⅰ>求点 的坐标; (Ⅱ>求动点 的轨迹方程. RTCrpUDGiT
高中数学人教A版选修1-1习题:第三章3.3-3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案
第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1.可导“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取得极值”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:对于f(x)=x3,f′(x)=3x2,f′(0)=0,不能推出f(x)在x=0处取极值,反之成立.答案:B2.已知可导函数f(x),x∈R,且仅在x=1处,f(x)存在极小值,则( )A.当x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0B.当x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0C.当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0D.当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0解析:因为f(x)在x=1处存在极小值,所以x<1时,f′(x)<0,x>1时,f′(x)>0.答案:C3.函数y=x3-3x2-9x(-2<x<2)有( )A.极大值5,极小值-27B.极大值5,极小值-11C.极大值5,无极小值D.极小值-27,无极大值解析:由y′=3x2-6x-9=0,得x=-1或x=3,当x<-1或x>3时,y′>0;当-1<x<3时,y′<0.故当x=-1时,函数有极大值5;x取不到3,故无极小值.答案:C4.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为( ) A.-1<a<2 B.-3<a<6C.a<-1或a>2 D.a<-3或a>6解析:f′(x)=3x2+2ax+(a+6),因为f(x)既有极大值又有极小值,那么Δ=(2a)2-4×3×(a+6)>0,解得a>6或a<-3.答案:D5.设a∈R,若函数y=e x+ax,x∈R有大于零的极值点,则( )A.a<-1 B.a>-1C.a>-1eD.a<-1e解析:y′=e x+a=0,e x=-a,因为x>0,所以 e x>1,即-a>1,所以a<-1.答案:A二、填空题6.函数f(x)=x3-6x+a的极大值为________,极小值为________.解析:f′(x)=x2-6令f′(x)=0,得x=-2或x=2,所以f(x)极大值=f(-2)=a+42,f(x)极小值=f(2)=a-4 2.答案:a+42,a-4 2.7.已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=-1处取极大值,在x=3处取极小值,则a=________,b=________.解析:y′=3x2+2ax+b,根据题意知,-1和3是方程3x2+2ax+b=0的两根,由根与系数的关系可求得a=-3,b=-9.经检验,符合题意.答案:-3 -98.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数y=f′(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示.则下列说法中不正确的是________.①当x =32时,函数取得极小值;②f (x )有两个极值点;③当x =2时,函数取得极小值; ④当x =1时,函数取得极大值.解析:由图象可知当x ∈(-∞,1)时,f ′(x )>0;当x ∈(1,2)时,f ′(x )<0;当x ∈(2,+∞)时,f ′(x )>0,所以f (x )有两个极值点1和2,且当x =2时,函数取得极小值,当x =1时,函数取得极大值.故只有①不正确.答案:① 三、解答题9.已知f (x )=13x 3-12x 2-2x ,求f (x )的极大值与极小值.解:由已知得f (x )的定义域为R.f ′(x )=x 2-x -2=(x +1)(x -2).令f ′(x )=0,得x =-1或x =2.当x 变化时,f ′(x )与f (x )的变化情况如下表:↗↘↗因此,当x =-1时,f (x )取得极大值,且极大值为f (-1)=3×(-1)3-2×(-1)2-2×(-1)=76;当x =2时,f (x )取得极小值,且极小值为f (2)=13×23-12×22-2×2=-103.从而f (x )的极大值为76,极小值为-103.10.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处取极值10,求f (2)的值. 解:f ′(x )=3x 2+2ax +b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)=10,f ′(1)=0,即⎩⎪⎨⎪⎧a 2+a +b +1=10,2a +b +3=0, 解得⎩⎪⎨⎪⎧a =4,b =-11或⎩⎪⎨⎪⎧a =-3,b =3. 当a =4,b =-11时,令f ′(x )=0,得x 1=1,x 2=-113.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:↗↘↗当a =-3,b =3时,f ′(x )=3x 2-6x +3=3(x -1)2≥0, 所以 f (x )在x =1处没有极值,不合题意. 综上可知f (2)=18.B 级 能力提升1.等差数列{a n }中的a 1,a 4 031是函数f (x )=13x 3-4x 2+6x -1的极值点,则log 2a 2 016的值为( )A .2B .3C .4D .5解析:因为f ′(x )=x 2-8x +6,且a 1,a 4 031是函数f (x )=13x 3-4x 2+6x -1的极值点,所以a 1,a 4 031是方程x 2-8x +6=0的两个实数根,则a 1+a 4 031=8.而{a n }为等差数列,所以a 1+a 4 031=2a 2 016,即a 2 016=4,从而log 2a 2 016=log 24=2.故选A.答案:A2.若函数f (x )=x 3+3ax 2+3(a +2)x +1有极大值和极小值,则实数a 的取值范围是________.解析:函数f (x )为三次函数,其导函数f ′(x )=3x 2+6ax +3(a +2)为二次函数,要使函数f (x )既有极大值又有极小值,需f ′(x )=0有两个不等的实数根,所以Δ=(6a )2-4×3×3(a +2)>0,解得a <-1或a >2.答案:(-∞,-1)∪(2,+∞)3.设a 为实数,函数f (x )=x 3-x 2-x +a . (1)求f (x )的极值;(2)当a 在什么范围内取值时,曲线y =f (x )与x 轴仅有一个交点? 解:(1)f ′(x )=3x 2-2x -1. 令f ′(x )=0,则x =-13或x =1.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:↗↘↗所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-3=27+a ,极小值是f (1)=a -1.(2)函数f (x )=x 3-x 2-x +a =(x -1)2(x +1)+a -1, 由此可知,x 取足够大的正数时, 有f (x )>0,x 取足够小的负数时, 有f (x )<0,所以曲线y =f (x )与x 轴至少有一个定点.由(1)知f (x )最大值=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-13=527+a ,f (x )极小值=f (1)=a -1.因为曲线y =f (x )与x 轴仅有一个交点, 所以f (x )极大值<0或f (x )极小值>0, 即527+a <0或a -1>0,所以a <-527或a >1, 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-527∪(1,+∞)时,曲线y =f (x )与x 轴仅有一个交点.。
人教A版高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》单元检测题(含答案).docx
第三章《导数及其应用》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1.已知曲线y = |x2-2上一点P(屈一$,则过点P切线的倾斜角为()乙乙A.30°B. 45°C. 60°D. 120°2.设P为曲线C: y = F+2x + 3上的点,且曲线c在点P处切线倾斜角的取值范围7T 7T为则点P横坐标的取值范围为()4 2( JiA. —co,—B. [—1,0]1D. , + 823.定义在(0, +8)上的函数f(x)的导函数为广(无),且对VxG (0,+oo)都有c. [0,1]/z(x)lnx<^/'(x),则(A. 4/(e) > e3/(e4) > 2e/(e2) C. e3/(e4) > 4/(e) > 2e/(e2) )(其中e«2. 7)B.e3/(e4) > 2e/(e2) > 4/(e) D. 4/(e) > 2e/(e2) > e3/(e4)4.曲线/(x) = (x + l)e x在点(0, f(0))处的切线方程为()A. y = % 4- 1B. y = 2x 4- 1C. y = + 1D.y 弓x+15.对于函数/(x)=—,下列说法正确的有()①f(兀)在x = €处取得极大值》②f(x)有两个不同的零点;③门4) < f (兀)< /(3); @7T4 < 4兀.A.4个B.3个C.2个D. 1个6.定义在R上的奇函数f (x)满足f (・1)=0,且当x>0时,f (x) >xf (x),则下列关系式中成立的是()A. 4f (i) >f (2)B. 4f (2) <f (2)C. f (i) >4f (2)D. f (i) f (2) > 2 2 2 27.定义在[0, +oo)的函数fO)的导函数为f(x),对于任意的%>0,恒有/Xx) </(%),m = n = 则m, zi的大小关系是()・e e zA. m > nB. m < nC. m = nD.无法确定&函数/(x) = e x + x3 - 2在区间(0,1)内的零点个数是().A. 0B. 1C. 2D. 39 .在平面直角坐标系xOy中,已知好一In%! - = 0 , x2 - y2 ~ 2 = 0 ,则(%i -x2)2 +(7i -y2)2的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知直线2是曲线y = e x与曲线y = e2x-2的一条公切线,2与曲线y =/x 一2切于点(a,b),且a是函数£仗)的零点,贝”仗)的解析式可能为()A. /(%) = e2x(2x + 21n2 -1)-1B. f(x) = e2x(2x + 21n2 -1)-2C.f(x) = e2x(2x一21n2 -1)-1D. /(x) = e2x(2x一21n2 -1)-2二、填空题设函数fd)的导数为f f (x),且f(x)=f‘(^sinx + cosx,则f' (? = _____________________ 12.如图,函数y = f(x)的图象在点P处的切线方程是y = -兀+ 5,则/'⑶+厂⑶=_. Array13._____ 函数y=f (x)的导函数y = f(jc)的图象如图所示,则函数y=f (x)的图象可能是_________ (填序号).(D ②③④14.已知函数/(x)=xlnx + i%2, %是函数f(x)的极值点,给出以下几个命题:乙@0 < %0 < -;②尢o>2;+ X o < 0;④fOo) + Xo>0;e e其中正确的命题是______________ •(填出所有正确命题的序号)、215 .已知函数/(X)= X3 +OT2 +/?JC+C在X =——与兀=1时都取得极值,若对xe[-l,2],不等式f(x)<c2恒成立,则c的取值范围为___________________________ o三、解答题16.求下列函数的导函数®y = X4—3x2—5x + 6 ③y = x2cos x ②y二x+古@y = tan x17.已知函数/'(兀)=|%2一(a + l)x + a\nx.(1)当a VI时,讨论函数f(x)的单调性;(2)若不等式f(X) + (a + l)x n牛+対+ 1 一对于任意x G [e~1,e]成立,求正实数a 的取值范围.18.已知函数f (尤)=^x3— ax1 2 + l(a 6 /?).(1)若曲线y = /(%)在(l,f(l))处的切线与直线x-y + l = 0垂直,求a的值.(2)若a>0,函数y = /(%)在区间(a,a2 - 3)±存在极值,求a的取值范圉.(3)若a >2,求证:函数y = f(x)在(0,2)上恰有一个零点.19.已知函数f^x) = a x^-x2-x\na (a>0,且aHl).(I )求函数/(兀)的单调区间;(II)求函数/(兀)在[-2,2]上的最大值.20.现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P~A\B\G从, 下部的形状是正四棱柱ABCD-A限Cd (如图所示),并要求正四棱柱的高"0是正以棱锥的高%的4倍.1 若AB=6 m, n =2 m,则仓库的容积是多少?2 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当〃为多少时,仓库的容积最大?参考答案I.C2. D3. D4・ B5. C6. A7. B8. B9. B10・ BII.- A/212. 113.④14.①③15.(-00,-1) U(2,4-oo)16.解析:(l)y z = 4x3— 6x — 5(2)y‘ = % 4- x~2(3)y‘ = (x2ycosx + x2(cosx)f = 2xcosx-x2sinx, sinx , (sinx),cosx — sinx(cosx)' cos2% + sin2% 1(4)-------------- y =( ----------------- )= ----- = = :—cos2%cosx cos2%cos2% cos2%17.(1)当a<0时,函数门切在(1,+8)上单调递增,在(0,1)上单调递减;当ova VI时, 函数f(x)在@,1)上单调递减,在(0卫)和(1,+8)上单调递增.(2) (0,1]解析:(1)函数/'仗)的定义域为(0,+s),广(%)=兀 _ @ + 1)+ 兰=*一@+1央+。
【三维设计】人教版高中数学选修1-1练习:阶段质量检测(三) 导数及其应用(含答案解析)
阶段质量检测(三) 导数及其应用(时间: 120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若f(x)=sin α-cos x ,则f′(x)等于( ) A .sin x B .cos xC .cos α+sin xD .2sin α+cos x解析:选A 函数是关于x 的函数,因此sin α是一个常数.2.以正弦曲线y =sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ,则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0,π4∪⎣⎡⎭⎫3π4,π B .[0,π) C.⎣⎡⎦⎤π4,3π4D.⎣⎡⎦⎤0,π4∪⎝⎛⎦⎤π2,3π4 解析:选A y ′=cos x ,∵cos x ∈[-1,1],∴切线的斜率范围是[-1,1],∴倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0,π4∪⎣⎡⎭⎫3π4,π. 3.函数f(x)的定义域为开区间(a ,b),导函数f′(x)在(a ,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a ,b)内有极小值点( )A .1个B .2个C .3个D .4个解析:选A 设极值点依次为x 1,x 2,x 3且a <x 1<x 2<x 3<b ,则f(x)在(a ,x 1),(x 2,x 3)上递增,在(x 1,x 2),(x 3,b)上递减,因此,x 1,x 3是极大值点,只有x 2是极小值点.4.函数f(x)=x 2-ln x 的单调递减区间是( ) A. ⎝⎛⎦⎤0,22 B.⎣⎡⎭⎫22,+∞ C. ⎝⎛⎦⎤-∞,-22,⎝⎛⎭⎫0, 22 D.⎣⎡⎭⎫-22, 0,⎝⎛⎦⎤0,22 解析:选A ∵f′(x)=2x -1x =2x 2-1x ,当0<x≤22时,f′(x)≤0,故f(x)的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤0,22. 5.函数f(x)=3x -4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A .1 B.12 C .0D .-1解析:选A f′(x)=3-12x 2,令f′(x)=0, 则x =-12(舍去)或x =12,f(0)=0,f(1)=-1,f ⎝⎛⎭⎫12=32-12=1,∴f(x)在[0,1]上的最大值为1.6.函数f(x)=x 3+ax 2+3x -9,已知f(x)在x =-3处取得极值,则a =( ) A .2 B .3 C .4D .5解析:选D f′(x)=3x 2+2ax +3,∵f′(-3)=0. ∴3×(-3)2+2a×(-3)+3=0,∴a =5.7.函数f(x)=13ax 3+12ax 2-2ax +1的图象经过四个象限,则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫-310,67 B.⎝⎛⎭⎫-85,-316 C.⎝⎛⎭⎫-83,-116 D.⎝⎛⎭⎫-∞,-310∪⎝⎛⎭⎫67,+∞ 解析:选D f′(x)=ax 2+ax -2a =a(x +2)(x -1),要使函数f(x)的图象经过四个象限,则f(-2)f(1)<0,即⎝⎛⎭⎫103a +1⎝⎛⎭⎫-76a +1<0,解得a<-310或a>67. 故选D.8.已知函数f(x)的导函数f′(x)=a(x -b)2+c 的图象如图所示,则函数f(x)的图象可能是( )解析:选D 由导函数图象可知,当x<0时,函数f(x)递减,排除A 、B ;当0<x<x 1时,f′(x)>0,函数f(x)递增.因此,当x =0时,f(x)取得极小值,故选D.9.定义域为R 的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f′(x)>12,则满足2f(x)<x +1的x 的集合为( )A .{x|-1<x<1}B .{x|x<1}C .{x|x<-1或x>1}D .{x|x>1}解析:选B 令g(x)=2f(x)-x -1,∵f′(x)>12,∴g′(x)=2f′(x)-1>0,∴g(x)为单调增函数, ∵f(1)=1,∴g(1)=2f(1)-1-1=0,∴当x<1时, g(x)<0,即2f(x)<x +1,故选B.10.某产品的销售收入y 1(万元)是产量x(千台)的函数:y 1=17x 2,生产成本y 2(万元)是产量x(千台)的函数:y 2=2x 3-x 2(x >0),为使利润最大,应生产( )A .6千台B .7千台C .8千台D .9千台解析:选A 设利润为y ,则y =y 1-y 2=17x 2-(2x 3-x 2)=18x 2-2x 3,y′=36x -6x 2,令y′=0得x =6或x =0(舍),f(x)在(0,6)上是增函数,在(6,+∞)上是减函数,∴x =6时y 取得最大值.11.已知定义在R 上的函数f(x),f(x)+x·f′(x)<0,若a <b ,则一定有( ) A .af(a)<bf(b) B .af(b)<bf(a) C .af(a)>bf(b)D .af(b)>bf(a)解析:选C [x·f(x)]′=x′f(x)+x·f′(x)=f(x)+x·f′(x)<0, ∴函数x·f(x)是R 上的减函数, ∵a <b ,∴af(a)>bf(b).12.若函数f(x)=sin x x ,且0<x 1<x 2<1,设a =sin x 1x 1,b =sin x 2x 2,则a ,b 的大小关系是( )A .a>bB .a<bC .a =bD .a ,b 的大小不能确定解析:选A f′(x)=xcos x -sin xx 2,令g(x)=xcos x -sin x ,则g′(x)=-xsin x +cos x -cos x =-xsin x.∵0<x<1,∴g′(x )<0,即函数g(x)在(0,1)上是减函数,得g(x)<g(0)=0,故f′(x)<0,函数f(x)在(0,1)上是减函数,得a>b ,故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分.把答案填在题中的横线上) 13.若f(x)=13x 3-f′(1)x 2+x +5,则f′(1)=________.解析:f′(x)=x 2-2f′(1)x +1,令x =1,得f′(1)=23.答案:2314.曲线C :y =ln xx在点(1,0)处的切线的方程为________________. 解析:由y =ln xx ,得y′=1-ln x x 2,所以y′| x =1=1,即切线l 的斜率为1.又切线l 过点(1,0),所以切线l 的方程为y =x -1,即x -y -1=0.答案:x -y -1=015.已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x ∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2时,f(x)=x +sin x ,设a =f(1),b =f(2),c =f(3),则a ,b ,c 的大小关系是________.解析:f(2)=f(π-2),f(3)=f(π-3), 因为f′(x)=1+cos x≥0, 故f(x)在⎝⎛⎭⎫-π2,π2上是增函数, ∵π2>π-2>1>π-3>0, ∴f(π-2)>f(1)>f(π-3),即c<a<b. 答案:c<a<b 16.若函数f(x)=4xx 2+1在区间(m,2m +1)上单调递增,则实数m 的取值范围是__________.解析:f′(x)=4-4x 22+2,令f′(x)>0,得-1<x <1,即函数f(x)的增区间为(-1,1). 又f(x)在(m,2m +1)上单调递增, 所以⎩⎪⎨⎪⎧m≥-1,m <2m +1,2m +1≤1.解得-1<m≤0.答案:(-1,0]三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)若函数y =f(x)在x =x 0处取得极大值或极小值,则称x 0为函数y =f(x)的极值点.已知a ,b 是实数,1和-1是函数f(x)=x 3+ax 2+bx 的两个极值点.(1)求a 和b 的值;(2)设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点. 解:(1)由题设知f′(x)=3x 2+2ax +b ,且f′(-1)=3-2a +b =0,f′(1)=3+2a +b =0, 解得a =0,b =-3. (2)由(1)知f(x)=x 3-3x. 因为f(x)+2=(x -1)2(x +2),所以g′(x)=0的根为x 1=x 2=1,x 3=-2, 于是函数g(x)的极值点只可能是1或-2. 当x <-2时,g′(x)<0;当-2<x <1时, g′(x)>0,故-2是g(x)的极值点. 当-2<x <1或x >1时,g′(x)>0, 故1不是g(x)的极值点. 所以g(x)的极值点为-2.18. (本小题满分12分)(北京高考)设函数f(x)=x 22-kln x ,k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1, e ]上仅有一个零点. 解:(1)由f(x)=x 22-kln x(k>0),得x>0且f′(x)=x -k x =x 2-kx.由f′(x)=0,解得x =k(负值舍去). f(x)与f′(x)在区间(0,+∞)上的情况如下:所以,f(x)f(x)在x =k 处取得极小值f(k)=k(1-ln k)2. (2)证明:由(1)知,f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为f(k)=k(1-ln k)2.因为f(x)存在零点,所以k(1-ln k)2≤0,从而k≥e.当k =e 时,f(x)在区间(1,e)上单调递减,且f(e)=0, 所以x =e 是f(x)在区间(1, e ]上的唯一零点.当k>e 时,f(x)在区间(1, e ]上单调递减,且f(1)=12>0,f(e)=e -k 2<0,所以f(x)在区间(1, e ]上仅有一个零点.综上可知,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1, e ]上仅有一个零点.19.(本小题满分12分)某公园准备建一个摩天轮,摩天轮的外围是一个周长为k 米的圆.在这个圆上安装座位,且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连.经预算,摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k 元/根,且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时,相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1 024x +20)x 100+2k 元.假设座位等距离分布,且至少有两个座位,所以座位都视为点,且不考虑其他因素,记摩天轮的总造价为y 元.(1)试写出y 关于x 的函数关系式,并写出定义域. (2)当k =100米时,试确定座位的个数,使得总造价最低. 解:(1)设摩天轮上总共有n 个座位,则x =kn ,则n =k x,y =8k k x +k x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1 024x +20)x 100+2k =k 2⎝ ⎛⎪⎫10x +1 024x +20100, 定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x≤k 2,kx ∈Z . (2)当k =100时,则y =100⎝⎛⎭⎫1 000x +1 024x +20, 令f(x)=1 000x+1 024x ,则f′(x)=-1 000x 2+512×1x =-1 000+512x32x 2, 令f′(x)=0,所以x 32=12564⇒x =⎝⎛⎭⎫1256423=2516, 当x ∈⎝⎛⎭⎫0,2516时,f′(x)<0, 即f(x)在x ∈⎝⎛⎭⎫0,2516上单调递减, 当x ∈⎝⎛⎭⎫2516,50时,f′(x)>0, 即f(x)在x ∈⎝⎛⎭⎫2516,50上单调递增,所以总造价y 的最小值在x =2516时取到,此时座位个数为1002516=64个.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln x +ax (a>0).(1)若a =1,求函数f(x)的单调区间.(2)若以函数y =f(x)(x ∈(0,3])图象上任意一点P(x 0,y 0)为切点的切线的斜率k≤12恒成立,求实数a 的最小值.解:(1)当a =1时,f(x)=ln x +1x ,定义域为(0,+∞), f′(x)=1x -1x 2=x -1x2,当x ∈(0,1)时,f′(x)<0,当x ∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 所以f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞). (2)由(1)知f′(x)=x -ax 2(0<x≤3), 则k =f′(x 0)=x 0-a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立, 即a≥⎝⎛⎭⎫-12x 20+x 0max . 当x 0=1时,-12x 20+x 0取得最大值12,所以a≥12,所以a 的最小值为12.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x 2-mln x ,h(x)=x 2-x +a. (1)当a =0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m 的取值范围;(2)当m =2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点,求实数a 的取值范围.解:(1)由f(x)≥h(x),得m≤xln x 在(1,+∞)上恒成立.令g(x)=xln x,则g′(x)=ln x -12, 当x ∈(1,e)时,g′(x)<0; 当x ∈(e ,+∞)时,g′(x)>0,所以g(x)在(1,e)上递减,在(e ,+∞)上递增. 故当x =e 时,g(x)的最小值为g(e)=e. 所以m≤e.即m 的取值范围是(-∞,e]. (2)由已知可得k(x)=x -2ln x -a.函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点,相当于函数φ(x)=x -2ln x 与直线y =a 有两个不同的交点. φ′(x)=1-2x =x -2x,当x ∈(1,2)时,φ′(x)<0,φ(x)递减, 当x ∈(2,3)时,φ′(x)>0,φ(x)递增.又φ(1)=1,φ(2)=2-2ln 2,φ(3)=3-2ln 3, 要使直线y =a 与函数φ(x)=x -2ln x 有两个交点, 则2-2ln 2<a <3-2ln 3.即实数a 的取值范围是(2-2ln 2,3-2ln 3).22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x -2)e x +a(x -1)2有两个零点. (1)求a 的取值范围;(2)设x 1,x 2是f(x)的两个零点,证明:x 1+x 2<2. 解:(1)f′(x)=(x -1)e x +2a(x -1)=(x -1)(e x +2a). ①设a =0,则f(x)=(x -2)e x ,f(x)只有一个零点. ②设a>0,则当x ∈(-∞,1)时,f′(x)<0; 当x ∈(1,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. 又f(1)=-e ,f(2)=a ,取b 满足b<0且b<ln a2,则f(b)>a2(b -2)+a(b -1)2=a ⎝⎛⎭⎫b 2-32b >0, 故f(x)存在两个零点.③设a<0,由f′(x)=0得x =1或x =ln(-2a). 若a≥-e2,则ln(-2a)≤1,故当x ∈(1,+∞)时,f′(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)内单调递增. 又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点. 若a<-e2,则ln(-2a)>1,故当x ∈(1,ln(-2a))时,f′(x)<0; 当x ∈(ln(-2a),+∞)时,f′(x)>0.因此f(x)在(1,ln(-2a))内单调递减,在(ln(-2a),+∞)内单调递增. 又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点. 综上,a 的取值范围为(0,+∞).(2)证明:不妨设x1<x2,由(1)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),又f(x)在(-∞,1)内单调递减,所以x1+x2<2等价于f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0.由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2.设g(x)=-xe2-x-(x-2)e x,则g′(x)=(x-1)(e2-x-e x).所以当x>1时,g′(x)<0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)<0.从而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.。
高中数学选修1-1(人教B版)第三章导数及其应用3.3知识点总结含同步练习题及答案
三、知识讲解
1.利用导数研究函数的单调性 描述: 一般地,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间 (a, b) 内,如果 f ′ (x) > 0 ,那么函数 y = f (x) 在这个区间内单调递增;如果 f ′ (x) < 0 ,那么函数 y = f (x) 在这个区间内单调递减. 注:在 (a, b) 内可导的函数 f (x) 在 (a, b) 上递增(或递减)的充要条件是 f ′ (x) ⩾ 0 (或 f ′ (x) ⩽ 0 ),x ∈ (a, b) 恒成立,且 f ′ (x) 在 (a, b) 的任意子区间内都不恒等于 0 . 例题: 求下列函数的单调区间: (1)f (x) = x 3 − 3x 2 − 9x + 5 ;(2)f (x) = x 函数的极值定义 已知函数 y = f (x) ,设 x 0 是定义域 (a, b) 内任一点,如果对 x0 附近的所有点 x,都有 f (x) < f (x0 ) 成立,则称函数 f (x) 在点 x0 处取得极大值,记作
y 极大 = f (x0 ).
并把 x 0 称为函数 f (x) 的一个极大值点. 如果在 x 0 附近都有 f (x) > f (x0 ) 成立,则称函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值,记作
1 3 x − x2 + 2x + 1 . 3 解:(1)函数的定义域为 R.
(3)f (x) =
f ′ (x) = 3x2 − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1),
令 f ′ (x) > 0 ,解得
x < −1或x > 3,
令 f ′ (x) < 0 ,解得
−1 < x < 3.
【数学】第三章《导数及其应用》测试(1)(新人教B版选修1-1)
第三章 导数及其应用 单元测试一、选择题 1 函数()323922y x x x x =---<<有( ) A 极大值5,极小值27- B 极大值5,极小值11- C 极大值5,无极小值 D 极小值27-,无极大值 2 若'0()3f x =-,则000()(3)lim h f x h f x h h→+--=( ) A 3- B 6- C 9- D 12- 3 曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-,则0p 点的坐标为( ) A (1,0) B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)-- 4 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数,若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足( ) A ()f x =()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 5 函数xx y 142+=单调递增区间是( ) A ),0(+∞ B )1,(-∞ C ),21(+∞ D ),1(+∞ 6 函数xx y ln =的最大值为( ) A 1-e B e C 2e D 310 二、填空题 1 函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是 2 函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为________________ 3 函数32x x y -=的单调增区间为 ,单调减区间为___________________4 若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数,则,,a b c 的关系式为是5 函数322(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10,那么b a ,的值分别为________三、解答题1. 已知曲线12-=x y 与31x y +=在0x x =处的切线互相垂直,求0x 的值2 如图,一矩形铁皮的长为8cm ,宽为5cm ,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长为多少时,盒子容积最大?3 已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1),且在1x =处的切线方程是2y x =-(1)求)(x f y =的解析式;(2)求)(x f y =的单调递增区间4 平面向量13(3,1),(,)22a b =-= ,若存在不同时为0的实数k 和t ,使 2(3),,x a t b y ka tb =+-=-+ 且x y ⊥ ,试确定函数()k f t =的单调区间参考答案[综合训练B 组]一、选择题 1 C '23690,1,3y x x x x =--==-=得,当1x <-时,'0y >;当1x >-时,'0y < 当1x =-时,5y =极大值;x 取不到3,无极小值 2 D '0000000()(3)()(3)lim 4lim 4()124h h f x h f x h f x h f x h f x h h→→+--+--===- 3 C 设切点为0(,)P a b ,'2'2()31,()314,1f x x k f a a a =+==+==±, 把1a =-,代入到3()2f x x x =+-得4b =-;把1a =,代入到3()2f x x x =+-得0b =,所以0(1,0)P 和(1,4)-- 4 B ()f x ,()g x 的常数项可以任意 5 C 令3'222181180,(21)(421)0,2x y x x x x x x x -=-=>-++>> 6 A 令'''22(ln )ln 1ln 0,x x x x x y x e x x -⋅-====,当x e >时,'0y <;当x e <时,'0y >,1()y f e e ==极大值,在定义域内只有一个极值,所以max 1y e= 二、填空题 1 36+π '12s i n 0,6y x x π=-==,比较0,,62ππ处的函数值,得max 36y π=+ 2 37- '2'3()34,(1)7,(1)10,107(1),0,7f x x f f y x y x =+==-=-==-时 3 2(0,)3 2(,0),(,)3-∞+∞ '22320,0,3y x x x x =-+===或 4 20,3a b a c >≤且 '2()320f x ax bx c =++>恒成立, 则220,0,34120a a b ac b ac >⎧><⎨∆=-<⎩且 5 4,11- '2'2()32,(1)230,(1)110f x x a x b f a b f a a b =++=++==+++= 22334,,3119a b a a b b a a b +=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨==-++=⎩⎩⎩或,当3a =-时,1x =不是极值点 三、解答题 1 解:00'''2'210202,|2;3,|3x x x x y x k y x y x k y x ========331200361,61,6k k x x =-=-=- 2 解:设小正方形的边长为x 厘米,则盒子底面长为82x -,宽为52x - 32(82)(52)42640V x x x x x x =--=-+'2'10125240,0,1,3V x x V x x =-+===令得或,103x =(舍去) (1)18V V ==极大值,在定义域内仅有一个极大值,18V ∴=最大值 3 解:(1)c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1),则1c =,'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=切点为(1,1)-,则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)- 得591,,22a b c a b ++=-==-得 4259()122f x x x =-+ (2)'3310310()1090,0,1010f x x x x x =->-<<>或 单调递增区间为310310(,0),(,)1010-+∞ 4 解:由13(3,1),(,)22a b =-= 得0,2,1a b a b === 22222[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +--+=-+--+-=33311430,(3),()(3)44k t t k t t f t t t -+-==-=- '233()0,1,144f t t t t =-><->得或;2330,1144t t -<-<<得 所以增区间为(,1),(1,)-∞-+∞;减区间为(1,1)-。
高中数学人教版选修1-1 第三章 导数及其应用 导数的计算
3.2导数的计算[教材研读]预习课本P81~85,思考以下问题1.幂函数f(x)=x2,f(x)=x 12的导数是什么?2.根据导数的运算法则,积f(x)g(x)的导数与f′(x),g′(x)有何关系?[要点梳理]1.基本初等函数的导数公式2.导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x );(2)[f (x )·g (x )]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x );当g (x )=c 时,[cf (x )]′=cf ′(x ).(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′=f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0). [自我诊断]判断(正确的打“√”,错误的打“×”)1.y =1x ,y =x ,y =x 2等求导函数,都可以看成y =x α(α∈Q *),并用其导数公式求导.( )2.y =ln x 在x =2处的切线的斜率为12.( )3.f (x )=e x 在点(0,1)处的切线的方程为x -y +1=0.( )[答案] 1.√ 2.√ 3.√题型一 利用导数公式求函数的导数思考:如何充分利用基本初等函数的导数公式?提示:若函数解析式不能直接使用导数公式,则化成能应用导数公式的形式.求下列函数的导数:(1)y =10x ;(2)y =lg x ;(4)y =4x 3;(5)y =⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2+cos x 22-1. [思路导引] 把解析式化简成能应用公式的形式.[解] (1)y ′=(10x )′=10x ln10.(2)y ′=(lg x )′=1x ln10.(5)∵y =⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2+cos x 22-1 =sin 2x 2+2sin x 2cos x 2+cos 2x 2-1=sin x ,∴y ′=(sin x )′=cos x .(1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式,则直接利用公式求导.(2)若给出的函数解析式不符合导数公式,则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导,如根式要化成指数幂的形式求导.[跟踪训练]求下列函数的导数:(1)y =⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ; (2)y =⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ; (3)y =lg5;(4)y =3lg 3x ;(5)y =2cos 2x 2-1.[解] (1)y ′=⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ln 1e =-1e x =-e -x . (2)y ′=⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ln 110=-ln1010x =-10-x ln10. (3)∵y =lg5是常数函数,∴y ′=(lg5)′=0.(4)∵y =3lg 3x =lg x ,∴y ′=(lg x )′=1x ln10.(5)∵y =2cos 2x 2-1=cos x ,∴y ′=(cos x )′=-sin x .题型二 利用导数的运算法则求导数(链接教材P 84例2)求下列函数的导数:(1)y =x 3·e x ;(2)y =x -sin x 2cos x 2;(3)y =x 2+log 3x ;(4)y =e x +1e x -1.[思路导引] 尽量把解析式转化为能用和差的求导法则,减少求导法则的应用的烦索性.[解] (1)y ′=(x 3)′e x +x 3(e x )′=3x 2e x +x 3e x =x 2(3+x )e x .(2)∵y =x -12sin x ,∴y ′=x ′-12(sin x )′=1-12cos x .(3)y ′=(x 2+log 3x )′=(x 2)′+(log 3x )′=2x +1x ln3. (4)y ′=(e x +1)′(e x -1)-(e x +1)(e x -1)′(e x -1)2=e x (e x -1)-(e x +1)e x(e x -1)2=-2e x(e x -1)2.(1)分析求导式符合哪种求导法则,每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的,确定求导法则,基本公式.(2)如果求导式比较复杂,则需要对式子先变形再求导,常用的变形有乘积展开变为和式求导,商式变乘积式求导,三角函数恒等变换后求导等.(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差,利用和、差的求导法则求导,尽量少用积、商的求导法则求导.[跟踪训练]求下列函数的导数:(1)y =cos x x ;(2)y =x sin x +x ;(3)y =1+x 1-x +1-x 1+x ; (4)y =lg x -1x 2.[解] (1)y ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′=(cos x )′·x -cos x ·(x )′x 2=-x ·sin x -cos x x 2=-x sin x +cos x x 2. (2)y ′=(x sin x )′+(x )′=sin x +x cos x +12x .(3)∵y =(1+x )21-x +(1-x )21-x =2+2x 1-x =41-x-2, ∴y ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫41-x -2′=-4(1-x )′(1-x )2=4(1-x )2.(4)y ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x -1x 2′=(lg x )′-⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′=1x ln10+2x 3. 题型三 利用导数公式研究曲线的切线问题点P 是曲线y =e x 上任意一点,求点P 到直线y =x 的最小距离.[思路导引] 分析知,与曲线相切且与y =x 平行的直线与曲线的切点到直线y =x 的距离最小.[解]如图,当曲线y =e x 在点P (x 0,y 0)处的切线与直线y =x 平行时,点P 到直线y =x 的距离最近.则曲线y =e x 在点P (x 0,y 0)处的切线斜率为1,又y ′=(e x )′=e x ,∴e x 0=1,得x 0=0,代入y =e x ,得y 0=1,即P (0,1).利用点到直线的距离公式得最小距离为22.(1)本例中的问题涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系.(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确.(3)分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上,则要设出切点,这是解题时的易错点.[跟踪训练]求过曲线y =cos x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程.[解] ∵y =cos x ,∴y ′=(cos x )′=-sin x ,1.本节课的重点是基本初等函数的导数公式及导数运算法则,难点是灵活运用导数公式和运算法则解决相关问题.2.本节课要重点掌握的规律方法 (1)利用导数公式求导数. (2)利用导数运算法则求导数. (3)利用导数运算研究曲线的切线问题.3.本节课的易错点是导数公式(a x )′=a x ln a 和(log a x )′=1x ln a 以及运算法则[f (x )·g (x )]′与⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′的区别.1.已知f (x )=1x ,则f ′(3)=( ) A .-13 B .-19 C.19D.13[解析] ∵f (x )=1x ,∴f ′(x )=-1x 2,∴f ′(3)=-132=-19,故选B.[答案] B2.函数y =3x 2的导数为( ) A .y ′=3x2B .y ′=32xC .y ′=23x3D .y ′=233x[解析][答案] D3.已知直线y =kx 是曲线y =e x 的切线,则实数k 的值为( ) A.1e B .-1e C .-e D .e[解析][答案] D4.已知f (x )=e x ln x ,则f ′(x )=( ) A.e x x B .e x+1xC.e x (x ln x +1)xD.1x +ln x[解析] f ′(x )=(e x)′·ln x +e x·(ln x )′=e x·ln x +e x·1x =e x (x ln x +1)x,所以选C.[答案] C5.已知使函数y =x 3+ax 2-43a 的导数为0的x 值也使y 值为0,则常数a 的值为( )A .0或±3B .0C .±3D .非以上答案[解析] y ′=3x 2+2ax ,令y ′=0,即3x 2+2ax =0,∴x =0或x =-2a 3.分别代入y =x 3+ax 2-43a ,得0=-43a ,即a =0;-8a 327+4a 39-43a =0,即a =±3,∴a =0或a =±3.[答案] A6.曲线y =ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是__________,切线的方程为__________________.[解析] y ′=1x ,则k =y ′|x =e =1e ,切线方程y -1=1e (x -e),即x -e y =0.[答案] 1e x -e y =0。
高中数学选修1-1第三章复习小结
1 ②当x0=- 时,所求的切线方程为: 2
1 y-2= - (x-1),即x+4y-9=0 4
针对训练: 求曲线 f
x x3 3x2 2x 过原点的切线方程.
注:导数等于零的点不一定是极值点.
六、函数的最大值与最小值:
1.定义:最值是一个整体性概念,是指函数在给定区间(或定义域) 内所有函数值中最大的值或最小的值,最大数值叫最大值,最 小的值叫最小值,通常最大值记为M,最小值记为m. 2.存在性:在闭区间[a,b]上连续函数f(x)在[a,b]上必有最大值与
x 0
x
3.导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意 义,就是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即曲线 y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率为k=f ’(x0).所以曲线 y= f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线方程为 yy0=f ’(x0)· (x-x0). 4.导数的物理意义:物体作直线运动时,路程s关于时间t
x以增量△x,函数y相应有增量△y=f(x0+△ x)-f(x0), 若极限 lim y lim f ( x0 x) f ( x0 ) 存在,则此极限称为
x 0
x
x 0
x
f(x)在点x=x0处的导数,记为f ’(x0),或y|x x ;
0
2.导函数:如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点都可导, 就说y=f(x)在区间(a,b)内可导.即对于开区间(a,b)内每一个 确定的x0值,都相对应着一个确定的导数f ’(x0),这样在开区 间(a,b)内构成一个新函数,把这一新函数叫做f(x)在(a,b)内 的导函数.简称导数.记作f ’(x)或y’. 即f ’(x)=y’= lim f ( x x) f ( x)
选修1-1-第三章-《导数及其应用》教案
第三章 导数及其应用备课人 周志英3.1 导数的概念教学目的1.了解导数形成的背景、思想和方法;正确理解导数的定义、几何意义;2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率,建立导数的概念;掌握用导数的定义求导数的一般方法3.在教师指导下,让学生积极主动地探索导数概念的形成过程,锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。
教学重点和难点导数的概念是本节的重点和难点 教学过程一、前置检测(导数定义的引入)1.什么叫瞬时速度?(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2.怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度?在高台跳水运动中,如果我们知道运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在关系()105.69.42++-=t t t h ,那么我们就会计算任意一段的平均速度v ,通过平均速度v 来描述其运动状态,但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度,那么如何求运动员的瞬时速度呢?问题:2秒时的瞬时速度是多少?我们现在会算任意一段的平均速度,先来观察一下2秒附近的情况。
先计算2秒之前的t ∆时间段内的平均速度v ,请同学们完成表格1左边部分,(事先准备好的),再完成表格的右边部分〉表格1 格 20<∆t 时,在[]2,2t ∆+这段时间内0>∆t 时,在[]t ∆+2,2这段时间内()()()1.139.41.139.422222-∆-=∆-∆+∆=∆+-∆+-=t tt t t t h h v ()()()1.139.41.139.422222-∆-=∆∆-∆-=-∆+-∆+=t tt t t h t h v 当-=∆t 0.01时,-=v 13.051; 当=∆t 0.01时,-=v 13.149; 当-=∆t 0.001时,-=v 13.095 1; 当=∆t 0.001时,-=v 13.104 9; 当-=∆t 0.000 1时,-=v 13.099 51;当=∆t 0.000 1时,-=v 13.100 49;当-=∆t 0.000 01时,-=v 1 3.099 951;当=∆t 0.000 01时,-=v 13.100 049; 当-=∆t 0.000 001时,-=v 13.099 995 1;当=∆t 0.000 001时,-=v 13.100 004 9;。
高中新课程数学(新课标人教A版)选修1-1《第三章 导数及其应用》归纳整合
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2.曲线的切线方程 利用导数求曲线过点 P 的切线方程时应注意: (1)判断 P 点是否在曲线上; (2)如果曲线 y=f(x)在 P(x0, f(x0))处的切线平行于 y 轴(此时导数 不存在),可得方程为 x=x0;P 点坐标适合切线方程,P 点处的 切线斜率为 f′(x0). 3. 利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数, 熟记 基本求导公式,熟练运用法则是关键,有时先化简再求导,会 给解题带来方便.因此观察式子的特点,对式子进行适当的变 形是优化解题过程的关键.
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(2)由 f(x)=x3-3x2+2 得,f′(x)=3x2-6x. 由 f′(x)=0 得,x=0 或 x=2. ①当 0<t≤2 时, 在区间(0, t)上 f′(x)<0, f(x)在[0, t]上是减函数, 所以 f(x)max=f(0)=2, f(x)min=f(t)=t3-3t2+2. ②当 2<t<3 时,当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
(x1,x2) -
x2 0 极小值
(x2,+∞) +
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此时
a- f(x)在0,
a2-8 上单调递增, 2
a- 在 a+ 在
a2-8 a+ a2-8 , 上单调递减, 2 2
a2-8 ,+∞ 上单调递增. 2
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4.判断函数的单调性 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义 域,解决问题的过程只能在函数的定义域内进行,通过讨论导 数的符号,来判断函数的单调区间; (2)注意在某一区间内 f′(x)>0(或 f′(x)<0)是函数 f(x)在该区间上 为增(或减)函数的充分条件.
(易错题)高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试题(答案解析)(1)
一、选择题1.已知函数()()xx af x e a R e=+∈,若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为( ) A .2y x =- B .y x =-C .2y x =D .y x =2.已知过点P 作曲线y =x 3的切线有且仅有两条,则点P 的坐标可能是( )A .(0,1)B .(0,0)C .(1,1)D .(-2,-1)3.已知函数()2ln f x x x =+,则函数()f x 在1x =处的切线方程是( ) A .320x y --= B .320x y +-= C .320x y -+= D .320x y ++=4.已知函数34(x)sin 1xf x x e =+++,其导函数为'()f x ,则(2020)'(2020)(2020)'(2020)f f f f ++---的值为( )A .4040B .4C .2D .05.函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=,若()()g x xf x =,则()'1g =( )A .3B .2C .1D .326.已知函数()f x 为奇函数,当0x <时,()()3ln f x x a x =+-,且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率是1,则实数a =( )A .1B .1-C .2D .2-7.已知函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点,则m 的取值范围是( ) A .()0,eB .()0,2eC .(,)e +∞D .(2,)e +∞8.若过点(1,)P n 可作两条不同直线与曲线()2212y x x x -+=≤≤相切,则n ( ) A .既有最大值又有最小值 B .有最大值无最小值 C .有最小值无最大值D .既无最大值也无最小值9.设函数的定义域为D ,若满足条件:存在[],a b D ⊆,使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则称()f x 为“倍缩函数”.若函数()2xt f x e =+为“倍缩函数”,则实数t 的取值范围是( ) A .(],1ln 2-∞--B .(),1ln2-∞--C .[)1ln 2,++∞D .()1ln 2,++∞10.某种新产品的社会需求量y 是时间t 的函数,记作:y =f (t ).若f (0)=y 0,社会需求量y 的市场饱和水平估计为500万件,经研究可得,f (t )的导函数f '(t )满足:f '(t )=kf (t )(500﹣f (t ))(k 为正的常数),则函数f (t )的图象可能为( )③ ④① ②A .①②B .①③C .②④D .①②③11.若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++,则0123452345a a a a a a +++++为() A .-233B .10C .20D .23312.已知函数()f x 的导函数为()()()2,232ln f x f x x xf x ''=-+,则()2f '=( ) A .92B .94C .174D .178二、填空题13.曲线2x y ae +=的切线方程为260x y -+=,则实数a 的值为_______. 14.已知函数()()1,1ln ,1x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩,若方程()=f x ekx 恰有两个实数解,其中e 是自然对数的底数,则实数k 的取值范围为________. 15.在1x =附近,取0.3x ∆=,在四个函数①y x =;②2y x ;③3y x =;④1y x=中,平均变化率最大的是__________.16.已知函数()f x 的导函数为(x)f ',若32()(1)2f x x f x '=+-,则(1)f '的值为___.17.设曲线1cosx y sinx +=在点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线x ay 10-+=平行,则实数a =______.18.过点()0,1且与曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线垂直的直线的方程为______. 19.已知函数()11,03ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若函数()0f x ax -=恰有3个零点,则实数a 的取值范围为________.20.已知直线l 与曲线()sin f x x =切于点(,sin )A αα,且直线l 与曲线()sin f x x =交于点(,sin )B ββ ,若-αβπ=,则tan α的值为________.三、解答题21.设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+.(1)求导函数()'f x ;(2)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)2y e x =-+,求a ,b 的值. 22.已知函数f (x )=x 3﹣3x 2+a (a ∈R ).(1)若f (x )的图象在(1,f (1))处的切线经过点(0,2),求a 的值;(2)若对任意x 1∈[0,2],都存在x 2∈[2,3]使得f (x 1)+f (x 2)≤2,求实数a 的范围. 23.已知曲线32:32C y x x x =-+,直线:l y kx =,且直线l 与曲线C 相切于点()()000,0x y x ≠,求直线l 的方程及切点的坐标.24.函数在点处的切线方程为,若在区间上,恒成立,求的取值范围.25.已知函数()sin xxf x e =(1)求函数()f x 在点()()0,0M f 处的切线方程;(2)若()0f x k -≤在[]0,x π∈时恒成立,求k 的取值范围. 26.已知函数()2e 2xf x ax x x =--.(1)当1a =时,求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;(2)当0x >时,若曲线()y f x =在直线y x =-的上方,求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.C 解析:C 【分析】由函数()f x 为奇函数,解得1a =-,得到1()xx f x e e=-,求得(0)f ',得到切线的斜率,进而可求解切线的方程. 【详解】由题意,因为函数()()xxa f x e a R e=+∈为奇函数,则()0000a f e e =+=,解得1a =-,即1()xx f x e e =-,则1()x x f x e e +'=,所以01(0)2f e e'=+=,即2k =, 且当0x =时,001(0)0f e e=-=,即切点的坐标为(0,0), 所以切线的方程为2y x =,故选C. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解在某点处的切线方程,其中熟记导数的几何意义求解切线的斜率,再利用直线的点斜式求解切线的方程是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.2.C解析:C 【分析】求出函数的导数,设切点为3(,)m m ,求得切线的斜率,以及切线的方程,运用代入法,将选项代入切线的方程,解方程即可得到结论. 【详解】3y x =的导数为23y x '=,设切点为3(,)m m ,可得切线的斜率为23m ,切线的方程为323y m m x m -=-(),若(0,0)P ,则3230)(m m m -=-,解得0m =,只有一解;若(01)P ,,则32130)(m m m -=-,可得312m =-,只有一解; 若(1,1)P ,则32131m m m -=-(),可得322310m m -+=, 即为2(1)20(1)m m -+=,解得1m =或12-,有两解; 若(2,1)P --,则32132)m m m --=-(-, 可得322610m m +-=,由322()261()612f m m m f m m m '=-=++,,当20m -<<时,()f m 递减;当0m >或2m <-时,()f m 递增. 可得(0)1f =-为极小值,(2)7f -=为极大值, 则322610m m +-=有3个不等实数解. 故选:C . 【点睛】本题考查导数的运用:求切线的方程,考查导数的几何意义,正确求导和设出切点是解题的关键,注意运用排除法,属于中档题.3.A解析:A 【分析】求出导数,求得切线的斜率,切点坐标,由斜截式方程,即可得到切线的方程. 【详解】()2ln f x x x =+, 1()2(0)f x x x x'∴=+>(1)3f '∴=,又(1)1f =,∴函数()f x 在1x =处的切线方程13(1)y x -=-,即320x y --=. 故选:A 【点睛】本题主要考查导数的几何意义,求切线的方程,正确求导是解题的关键,属于基础题.4.B解析:B 【分析】计算得到()()4f x f x +-=,()()''0f x f x --=,代入数据得到答案. 【详解】函数34(x)sin 1x f x x e =++⇒+()()44411x x x e f x f x e e +-=+=++, ()()224'3cos 1xxe f x x x e=-+++,()()''0f x f x --=,(2020)'(2020)(2020)'(2020)=4f f f f ++---,故答案选B . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性,计算出()()4f x f x +-=是解题的关键.5.D解析:D 【解析】分析:先求出()'g x 和(1)g ',再求(1)(1)f f '和即得()'1g . 详解:由题得()()(),(1)(1)(1),g x f x xf x g f f =+∴'=+'''因为函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=, 所以1(1),(1)1,2f f =='所以13(1)(1)(1)1.22g f f =+'='=+ 故答案为D.点睛:(1)本题主要考查求导和导数的几何意义,意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处的切线的斜率,相应的切线方程是000()()y y f x x x '-=-6.C解析:C 【分析】利用奇偶性可求得0x >时()f x 的解析式,根据切线斜率为()1f '可构造方程求得结果. 【详解】当0x >时,0x -<,()3ln f x x a x ∴-=-+,()f x 为奇函数,()()()3ln 0f x f x x a x x ∴=--=->, ()23af x x x'∴=-,()131f a '∴=-=,解得:2a =. 故选:C . 【点睛】本题考查导数几何意义的应用,涉及到利用函数奇偶性求解函数解析式的问题7.D解析:D 【分析】原问题等价于函数()x h x xe =与函数1()()2g x m x =-有两个不同的交点,求出两函数相切时的切线斜率,再结合函数特征,求出m 的取值范围即可. 【详解】解:函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点,等价于()x h x xe =与1()()2g x m x =-有两个不同的交点,()g x 恒过点1(,0)2,设()g x 与()h x 相切时切点为(,)a a ae ,因为'()(1)x h x e x =+,所以切线斜率为(1)a e a +,则切线方程为(1)()a a y ae a e x a -=+-,当切线经过点1(,0)2时,解得1a =或12a =-(舍),此时切线斜率为2e ,由函数图像特征可知:函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点,则实数m 的取值范围是(2,)e +∞. 故选:D. 【点睛】本题考查导数的综合应用,由函数零点求参数的取值范围,难度中等.8.C解析:C 【分析】数形结合分析临界条件再判断即可. 【详解】对()2212y x x x -+=≤≤求导有'22y x =+()12x -≤≤,当2x =时'6y =,此时切线方程为()()22226264y x y x -+⨯=-⇒=-,此时642n =-=.此时刚好能够作出两条切线,为临界条件,画出图像有:又当1x =时 3y =为另一临界条件,故[)2,3n ∈.故n 有最小值无最大值. 故选:C 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要数形结合分析临界条件进行求解.属于中档题.9.B解析:B 【分析】判处出()2xt f x e =+单调递增,可得2222a b t a e t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,进而可得a ,b 为方程2x x t e -=的两个实根,进一步转化为函数1xy e =与22x t y -=有两个交点,求出斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,切线在y 轴上的截距为1ln 22+,只需1ln 222t +->即可. 【详解】因为函数()2xtf x e =+为“倍缩函数”, 所以存在[],a b D ⊆,使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,由于()2xt f x e =+单调递增,所以2222a b t ae t be ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,即a ,b 为方程2xx te -=的两个实根, 进一步转化为函数1xy e =与22x ty -=有两个交点, 不妨先求出与函数1xy e =相切且斜率为12的直线方程. 对于数1x y e =,求导得1x y e '=,令12xe =,解得1ln 2x =,112y =, 所以斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,该直线在y 轴上的截距为1ln 22+, 要使函数1xy e =与22x t y -=有两个交点,则1ln 222t +->,所以1ln 2t <--,故选:B . 【点睛】本题是函数的新定义题目,考查了函数的单调性求值域、导数的几何意义求切线方程,属于中档题.10.B解析:B 【分析】令()0f t '=,则()0f t =或500,即当()0f t =或500时,曲线的切线斜率接近0,从而得到答案. 【详解】因为()()()()500f t kf t f t '=﹣, 令()0f t '=,则()0f t =或500,即当()0f t =或500时,曲线的切线斜率接近0, 由选项可知,只有①③符合题意, 故选:B. 【点睛】本题考查函数的实际应用,考查导数的几何意义,根据导数的值求函数图像切线的斜率,属于中档题.11.A解析:A 【解析】 【分析】对等式两边进行求导,当x =1时,求出a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值,再求出a 0的值,即可得出答案. 【详解】对等式两边进行求导,得:2×5(2x ﹣3)4=a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4, 令x =1,得10=a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5; 又a 0=(﹣3)5=﹣243,∴a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5=﹣243+10=﹣233. 故选A . 【点睛】本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题,考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法,利用导数得出式子a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5是解题的关键.12.D解析:D 【分析】求导数,将2x =代入导函数解得()2f ' 【详解】()()()()21232ln '432f x x xf x f x x f x''=-+⇒=-+将2x =代入导函数()()()117'2832'228f f f '=-+⇒= 故答案选D 【点睛】本题考查了导数的计算,把握函数里面()2f '是一个常数是解题的关键.二、填空题13.2【分析】根据题意设直线与曲线的切点坐标为利用导数求出切线的方程与比较分析可得且解可得即可得切点的坐标将切点坐标代入曲线方程分析可得答案【详解】根据题意设曲线与的切点的坐标为其导数则切线的斜率又由切解析:2 【分析】根据题意,设直线与曲线的切点坐标为2m m ae +(,),利用导数求出切线的方程,与260x y -+=比较分析可得22m ae +=且226m -+=,解可得2m =-,即可得切点的坐标,将切点坐标代入曲线方程,分析可得答案. 【详解】根据题意,设曲线2x y ae +=与260x y -+=的切点的坐标为2m m ae +(,),其导数2x y ae+'=,则切线的斜率2m k ae += ,又由切线方程为260x y -+=,即26y x =+,则22m k ae +==, 则切线的方程为22m m y aeae x m ++-=-(),又由22m ae +=,则切线方程为22y x m -=-(),即222y x m =-+,则有226m -+=,解可得2m =- ,则切点的坐标为22-(,) ,则有(2)22a e -+=⨯ , 2a ∴=. 故答案为:2. 【点睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程,关键是求出切点的坐标.14.【分析】方程恰有两个实数解即曲线与直线有两个不同的交点利用导数求切线方程的斜率运用数形结合思想结合图象进行求解即可【详解】方程恰有两个实数解即曲线与直线有两个不同的交点设则设过原点的直线与相切的切点解析:1[e -,21]e【分析】方程()f x ekx =恰有两个实数解,即曲线()y f x =与直线y ekx =有两个不同的交点,利用导数求切线方程的斜率,运用数形结合思想结合图象进行求解即可. 【详解】方程()f x ekx =恰有两个实数解, 即曲线()y f x =与直线y ekx = 有两个不同的交点,设()ln g x x =,则1()g x x'=, 设过原点的直线与()ln g x x =相切的切点坐标为:(,)x y '',则切线方程为:1()y y x x x ''-=-', 又此切线过点(0,0),求得:1y '=,即ln 1x '=,即x e '=,即1()g x e''=, 由图可知:曲线()y f x =与直线y ekx =有两个不同的交点时有:11eke-, 即实数k 的取值范围为:1[e -,21]e, 故答案为:1[e -,21]e【点睛】本题考查了分段函数的性质、考查了利用导数求切线方程的斜率,考查了数形结合的思想,考查了数学运算能力.15.③【分析】先根据平均变化率的定义求得再分别计算各选项对应的平均变化率即可求解【详解】根据平均变化率的计算公式可得所以在附近取则平均变化率的公式为则要比较平均变化率的大小只需比较的大小下面逐项判定:①解析:③ 【分析】先根据平均变化率的定义,求得00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆,再分别计算各选项对应的平均变化率,即可求解. 【详解】根据平均变化率的计算公式,可得00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆, 所以在1x =附近取0.3x ∆=,则平均变化率的公式为(1.3)(1)0.3y f f x ∆-=∆, 则要比较平均变化率的大小,只需比较(1.3)(1)y f f ∆=-的大小,下面逐项判定:①中,函数y x =,则(1.3)(1)0.3y f f ∆=-=; ②中,函数2yx ,则(1.3)(1)0.69y f f ∆=-=;③中,函数3y x =,则(1.3)(1) 1.197y f f ∆=-=; ④中,函数1y x=中, 则(1.3)(1)0.23y f f ∆=-≈, 所以,平均变化率最大的是③. 【点睛】本题主要考查了平均变化率的应用,其中解答中熟记平均变化率的计算公式,正准确计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.16.【解析】【分析】求函数的导函数令即可求出的值【详解】因为令则所以【点睛】本题主要考查了函数的导数及导函数求值属于中档题 解析:3-【解析】 【分析】求函数的导函数,令1x =即可求出()1f '的值. 【详解】因为 2()32(1)f x x f x ''=+令1x =则(1)32(1)f f ''=+ 所以(1)3f '=- 【点睛】本题主要考查了函数的导数,及导函数求值,属于中档题.17.【解析】【分析】对函数求导求得得到a 的方程求解即可【详解】切线与直线平行斜率为又所以切线斜率所以的斜率为即解得故答案为【点睛】本题考查根据切线的斜率求参数熟记基本初等函数的求导公式准确计算是关键是基 解析:1-【解析】【分析】 对函数1cosx y sinx +=求导,求得πf 2⎛⎫⎪⎝⎭',得到a 的方程求解即可. 【详解】切线与直线x ay 10-+=平行,斜率为1a, 又21cosxy sin x--=', 所以切线斜率πk f'12⎛⎫==- ⎪⎝⎭,所以x ay 10-+=的斜率为1-, 即11a=-,解得a 1=-. 故答案为1-. 【点睛】本题考查根据切线的斜率求参数,熟记基本初等函数的求导公式,准确计算是关键,是基础题.18.【解析】【分析】求导函数确定切线的斜率可得所求直线的斜率再利用点斜式可得直线方程【详解】当时即曲线在点处的切线斜率为与曲线在点处的切线垂直的直线的斜率为2直线过点所求直线方程为即故答案为【点睛】本题 解析:210x y -+=【解析】 【分析】求导函数,确定切线的斜率,可得所求直线的斜率,再利用点斜式可得直线方程. 【详解】11x y x +=-, 22'(1)y x ∴=--,当3x =时,1'2y =-,即曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线斜率为12-, ∴与曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线垂直的直线的斜率为2, 直线过点()0,1,∴所求直线方程为12y x -=,即210x y -+=.故答案为210x y -+=. 【点睛】本题考查导数的几何意义,考查直线方程,解题的关键是理解导数的几何意义.19.【分析】画出的图像再分析与的交点个数即可【详解】画出函数的图像如图所示:先求与相切时的情况由图可得此时设切点为则解得此时斜率又当时与平行也为临界条件故故答案为:【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数解析:11 , 3e⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】画出()11,03ln,0x xf xx x⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩的图像,再分析()f x与y ax=的交点个数即可.【详解】画出函数()f x的图像,如图所示:先求y ax=与lny x=相切时的情况,由图可得此时lny x=,1'yx=设切点为()00,lnx x,则001lnaxx ax⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得0x e=,1ae=.此时xye=.斜率113e>.又当13a=时13y x=与11,03x x+≤平行也为临界条件.故11,3ae⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为:11,3e⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据题意画出图像,再分析临界条件分析.属于中档题.20.【分析】由导数的几何意义求出切线方程代入点坐标由代入后可求得【详解】由题意∴直线的方程为又直线过∴由得∴整理得∴故答案为:【点睛】本题考查导数的几何意义考查同角间的三角函数关系与诱导公式解题时只要由解析:2π 【分析】 由导数的几何意义求出切线方程,代入B 点坐标,由βαπ=-代入后可求得tan α. 【详解】由题意()cos f x x '=,∴直线l 的方程为sin cos ()y x ααα-=-,又直线l 过(,sin )B ββ,∴sin sin cos ()βααβα-=-,由得βαπ=-,∴sin()sin cos ()απααπ--=-,整理得2sin cos απα=,∴tan 2πα=.故答案为:2π. 【点睛】本题考查导数的几何意义,考查同角间的三角函数关系与诱导公式.解题时只要由导数几何意义写出切线方程,代入已知条件即可求解.三、解答题21.(1)()f x '=112ln ---++x x x xae be x beae x x x;(2)1a =,2b =. 【分析】(1)根据导数的运算法则求导; (2)求出(1)f ',由(1)e f ,(1)2f =可求得,a b .【详解】(1)由1e ()e ln x xb f x a x x-=+,得()1()ln x xbe f x ae x x -'⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭' 112ln x x x xae be x be ae x x x---=++. (2)由题意得,切点既在曲线()y f x =上,又在切线(1)2y e x =-+上,将1x =代入切线方程,得2y =, 将1x =代入函数()y f x =,得(1)f b =, 所以2b =.将1x =代入导函数()'f x 中 得(1)f ae e ==', 所以1a =. 【点睛】关键点点睛:本题考查导数的运算法则,考查导数的几何意义.函数()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程是000()()()y f x f x x x '-=-,若求过点()00,x y 的切线方程,则切点坐标为11(,)x y ,写出切线方程111()()y y f x x x '---,代入00(,)x y 求出11,x y 即可得切线方程.22.(1)a =1;(2)a ≤3 【分析】(1)出导数,求出切线的斜率和切点,再由两点斜率公式,即可得到a ;(2)运用导数判断()f x 在[0,2],在[2,3]的单调性,求出最值,由题意得,()()12max min 2f x f x +≤得到不等式,解出即可. 【详解】(1)2()36f x x x '=-,(1)3f '∴=-,又(1)2f a =-,∴切点坐标(1,2)a -, 又∵切线经过点(0,2), ∴由两点的斜率公式,得431a -=-, 解得1a =;(2)2()363(2)f x x x x x '=-=-,当[0,2]x ∈时,()0,()f x f x '≤单调递减; 当[2,3]x ∈时,()0f x '≥,()f x 单调递增,1[0,2]x ∈,()1f x ∴的最大值为(0)f a =,又2[2,3]x ∈,()2f x ∴的最小值为(2)4f a =-,对任意1[0,2]x ∈,都存在2[2,3]x ∈使得()()122f x f x +≤,()()12max min 2f x f x +≤,即有42a a +-≤, 解得3a ≤. 【点睛】本题主要考查的是导数的运用:求切线方程和求单调区间,最值,考查恒成立和存在思想,注意转化为求最值,考查运算能力,属于中档题和易错题. 23.14y x =-,33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】切点(x 0,y 0)既在曲线上,又在切线上,由导数可得切线的斜率,构造方程,求解即可. 【详解】∵直线过原点,∴()0000y k x x =≠. 由点()00,x y 在曲线C 上,得32000032y x x x =-+,∴2000032y x x x =-+. 又∵2362y x x =-+',∴在点()00,x y 处曲线C 的切线的斜率()2000362k f x x x =-'=+,∴22000032362x x x x -+=-+,整理得200230x x -=,解得()00302x x =≠. 这时,038y =-,14k =-. 因此,直线l 的方程为14y x =-,切点的坐标是33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、求函数的导数;“已知”曲线的切点时,包含以下三方面信息:①切点在切线上,②切点在曲线上,③切点横坐标处的导数等于切线的斜率.24.【解析】 【分析】先求出切线方程为,设,则,再对分类讨论,利用导数分析解答得解. 【详解】 解:,在处切线的斜率为,所以切线方程为,即.设,则. 依题意,当时,恒成立.①当时,在区间上,,是增函数,所以;②当时,在区间上,,是减函数,所以.综上所述,的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数的几何意义,考查利用导数研究不等式的恒成立问题,考查函数的单调性、最值的综合应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力,属于中档题.25.(1)y x =(2)4,π-⎫+∞⎪⎪⎣⎭【分析】(1)求得函数的导数cos sin ()xx xf x e'-=,得到'(0)1f =,(0)0f =,利用直线的点斜式方程,即可求解其切线的方程;(2)利用导数求得函数()sin xf x e x -=在0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增,在4ππ⎛⎤⎥⎝⎦单调递减,求得函数4max ()2f x e π=,进而由max ()k f x >,即可求解k 的取值范围.【详解】(1)由题意,函数sin ()x x f x e =,则cos sin ()xx x f x e '-=,可得'(0)1f =,又(0)0f =,所以函数()f x 在点(0,(0))M f 处的切线方程为y x =.(2)因为[0,]x π∈,令cos sin ()0x x xf x e '-==,解得4x π=,当x [0,)4π∈时,'()0f x >,当4x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,'()0f x <, 所以函数()sin xf x e x -=在0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增,在4ππ⎛⎤⎥⎝⎦单调递减,所以4max ()42f x f e ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭,若()0f x k -≤,在[0,]x π∈恒成立,即max ()k f x >恒成立,所以42k e π-≥,所以k 的取值范围是4,π-⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程,以及利用导数求解函数的恒成立问题,其中解答中熟记导数的几何意义,以及准确利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键,着重考查了转化思想,以及推理与运算能力,属于基础题. 26.(1)y x =-;(2)[)1,+∞ 【分析】(1)根据题意,求出函数的导数,由导数的几何意义可得切线的斜率,求出切点的坐标,由直线的点斜式方程分析可得答案;(2)根据题意,原问题可以转化为1e xx a +>恒成立,设()1x x g x e+=,求出()g x 的导数,由函数的导数与函数单调性的关系分析可得其最大值,分析可得答案. 【详解】(1)当1a =时,()22xf x xe x x =--,其导数()()122xf x ex x =+--',()01f '=-.又因为()00f =,所以曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y x =-; (2)根据题意,当0x >时,“曲线y=f (x )在直线y x =-的上方”等价于“2e 2x ax x x x -->-恒成立”, 又由x >0,则2e 2x ax x x x -->-10x ae x ⇒-->⇒1ex x a +>, 则原问题等价于1ex x a +>恒成立; 设()1x x g x e +=,则()xxg x e '=-, 又由0x >,则()0g x '<,则函数()g x 在区间()0,∞+上递减, 又由()0101g e ==,则有11x x e+<, 若1e xx a +>恒成立,必有1a ≥, 即a 的取值范围为[)1,+∞. 【点睛】本题考查利用导数分析函数的切线方程以及最值,考查恒成立问题,正确分离参数是关键,也是常用的一种手段.通过分离参数可转化为()a h x >或()a h x <恒成立,即()max a h x >或()min a h x <即可,利用导数知识结合单调性求出()max h x 或()min h x 即得解,属于中档题.。
高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.1知识点总结含同步练习及答案
当点 Pn 趋近于点 P (x 0 , f (x 0 )) 时,割线 P Pn 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线 P T 称为点 P 处的切线(tangent line). 割线 P Pn 的斜率是
kn =
f (x n ) − f (x 0 ) . xn − x0
当点 Pn 无限趋近于点 P 时, kn 无限趋近于切线 P T 的斜率. 函数 f (x) 在 x0 处的导数 f ′ (x0 ) 的几何意义,就是曲线 y = f (x) 在点 (x0 , f (x 0 ) 处的导数就是切线 P T 的斜率 k ,即
y ′ ,即 f ′ (x) = y ′ = lim
Δx→0
f (x + Δx) − f (x) . Δx
例题: 求函数 y = 2 2 + 5 在区间 [2, 2 + Δx] 上的平均变化率,并计算当 Δx = 1 时,平均变化率的值. x 解:因为
2
Δy = 2 × (2 + Δx)2 + 5 − (2 × 2 2 + 5) = 8Δx + 2(Δx)2 ,
高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数
一、学习任务 1. 2.
了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义. 了解导数概念的实际背景,体会导数的思想及其内涵.
二、知识清单
数列极限与函数极限 变化率与导数
三、知识讲解
1.数列极限与函数极限 描述: 数列极限 设 {xn } 为实数数列,a 为常数.若对任意给定的正数 ε ,总存在正整数 N ,使得当 n > N 时,有 |x n − a| < ε ,则称 数列 {x n }收敛于 a ,常数 a 称为数列 {x n } 的极限.并记作
人教新课标版(A)高二选修1-1 第三章导数及其应用综合例题
人教新课标版(A )高二选修1-1 第三章 导数及其应用综合例题例1. 求下列函数的导数:(1)32x 3x 2y +=;(2)()()2x 33x 2y 2-+=;(3)2xcos 2x sinx y ⋅-=。
解:由函数的和(或差)与积的求导法则,可得(1)()()43433232x 9x 4x 9x 4x 3x 2x 3x 2y --=--='+'='⎪⎭⎫⎝⎛+'⎪⎭⎫ ⎝⎛='----。
(2)方法1:()()()()'-++-'+='2x 33x 22x 33x 2y 22()()33x 22x 3x 42⋅++-=9x 8x 182+-=。
方法2:∵()()6x 9x 4x 62x 33x 2y 232-+-=-+=, ∴9x 8x 18y 2+-='。
(3)∵x sin 21x 2x cos 2x sin x y -=⋅-=, ∴x cos 211y -='。
点拨:在可能的情况下,求导时应尽量少用甚至不用乘法的求导法则,所以,在求导之前,应利用代数、三角恒等变形对函数进行化简,然后再求导,这样可减少运算量。
例2. 求函数()11x y 32+-=的单调区间。
分析:先化成基本初等函数后再利用求导法则求导。
解:()24632x 3x 3x 11x y +-=+-=,所以()()2224351x x 61x 2x x 6x 6x 12x 6y -=+-=+-=',令0y =',则0x =或1x ±=。
由上表可得函数()11x y 32+-=的递减区间为()0,∞-;递增区间为(0,∞+)。
点拨:有多个极值时,可用列表的方法求极值或单调区间。
例3. (2005·湖北)在函数x 8x y 3-=的图象上,其切线的倾斜角小于4π的点中,坐标为整数的点的个数是 A. 3 B. 2C. 1D. 0解:由1y 0<'<得,18x 302<-<,即3x 362<<。
高中数学选修1_1全册习题(答案详解)
目录:数学选修1-1第一章常用逻辑用语 [基础训练A组]第一章常用逻辑用语 [综合训练B组]第一章常用逻辑用语 [提高训练C组]第二章圆锥曲线 [基础训练A组]第二章圆锥曲线 [综合训练B组]第二章圆锥曲线 [提高训练C组]第三章导数及其应用 [基础训练A组]第三章导数及其应用 [综合训练B组]第三章导数及其应用 [提高训练C组](数学选修1-1)第一章 常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1.下列语句中是命题的是( )A .周期函数的和是周期函数吗?B .0sin 451=C .2210x x +->D .梯形是不是平面图形呢?2.在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下,则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A .都真B .都假C .否命题真D .逆否命题真3.有下述说法:①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有( )A .0个B .1个C .2个D .3个 4.下列说法中正确的是( )A .一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真B .“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C .“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D .一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真5.若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6.已知条件:12p x +>,条件2:56q x x ->,则p ⌝是q ⌝的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件二、填空题1.命题:“若a b ⋅不为零,则,a b 都不为零”的逆否命题是 。
高中数学人教版选修1-1 第三章 导数及其应用 函数的最大(小)值与导数
3.3.3函数的最大(小)值与导数[教材研读],思考以下问题预习课本P96~98如图为函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象1.由图找出f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的取值位置.2.根据图象找出在闭区间[a,b]上,函数f(x)的最大(小)值与极大(小)值的关系.[要点梳理]1.函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则该函数在[a,b]上一定能够取得最大值与最小值,函数的最值必在端点处或极值点处取得.2.求函数y=f(x)在[a,b]上的最值的步骤(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值.(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.3.最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义区间的整体而言.(2)在函数的定义区间内,极大(小)值可能有多个,但最大(小)值只有一个(或者没有).(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点,而最值点可以是区间的端点.(4)对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得.如图是y=f(x)在区间[a,b]上的函数图象.显然f(x1),f(x3),f(x5)为极大值,f(x2),f(x4),f(x6)为极小值.最大值y=M=f(x3)=f(b)分别在x=x3及x=b处取得,最小值y=m=f(x4)在x=x4处取得.[自我诊断]判断(正确的打“√”,错误的打“×”)1.函数y=f(x)在闭区间的极值就是在该区间的最值.()2.函数的最小值至多有一个,但函数的极小值可能有多个.()3.若函数在开区间只有一个极大值,则该极大值就是最大值.()[答案] 1.× 2.√ 3.√题型一 利用导数求最值 思考:最值与极值的联系与区别?提示:最值是函数在整个定义域上的最大最小值,而极值是局部最大最小值.求下列各函数的最值:(1)f (x )=-x 3+3x ,x ∈[-3,3]; (2)f (x )=x 2-54x (x <0).[思路导引] 在闭区间求函数的极值以及端点值,再比较大小. [解] (1)f ′(x )=3-3x 2=3(1-x )(1+x ). 令f ′(x )=0,得x =1或x =-1, 当x 变化时,f ′(x ),f (x )变化情况如下表:=2,f(-1)=-2.又因为f(x)在区间端点处的取值为f(-3)=0,f(3)=-18,所以f(x)max=2,f(x)min=-18.(2)f′(x)=2x+54x2,令f′(x)=0得x=-3.当x变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表:故f(x)的最小值为f(-3)=27,无最大值.(1)求函数最值时,若函数f(x)的定义域是闭区间,则需比较极值点处函数值与端点处函数值的大小才能确定函数的最值;(2)若f (x )的定义域是开区间且只有一个极值点,则该极值点就是最值点.[跟踪训练]已知函数f (x )=1-x x +ln x ,求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上的最大值和最小值.[解] 易知f (x )的定义域为(0,+∞). ∵f (x )=1-x x +ln x =1x -1+ln x , ∴f ′(x )=1x -1x 2=x -1x 2. 令f ′(x )=0,得x =1.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上,当x 变化时,f ′(x )与f (x )的变化情况如下表:∴在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上,当x =1时,f (x )取得极小值,也是最小值,且f (1)=0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=1+ln 12=1-ln2,f (2)=-12+ln2, ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12-f (2)=32-2ln2=12×(3-4ln2)=12ln e 316>0, ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f (2), ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=1-ln2,最小值为f (1)=0.题型二 含参数的函数最值问题 思考:怎样求解析式中的参数?提示:利用极值与导数的关系,即在某点有极值,则在某点的导数为0.已知k 为实数,f (x )=(x 2-4)(x +k ).(1)求导函数f ′(x );(2)若x =-1是函数f (x )的极值点,求f (x )在区间[-2,2]上的最大值和最小值.[思路导引] 因为在x =-1处取得极值,所以f ′(-1)=0,则求出参数k .[解] (1)∵f (x )=x 3+kx 2-4x -4k ,∴f ′(x )=3x 2+2kx -4. (2)由f ′(-1)=0,得k =-12.∴f (x )=x 3-12x 2-4x +2,f ′(x )=3x 2-x -4. 由f ′(x )=0,得x =-1或x =43.又f (-2)=0,f (-1)=92,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43=-5027,f (2)=0,∴f (x )在区间[-2,2]上的最大值为92,最小值为-5027.已知函数最值求参数,可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值,通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值,结合已知求出参数,进而使问题得以解决.[跟踪训练]若f (x )=ax 3-6ax 2+b ,x ∈[-1,2]的最大值是3,最小值是-29,求a,b的值.[解]f′(x)=3ax2-12ax=3a(x2-4x).令f′(x)=0,得x=0,x=4.∵x∈[-1,2],∴x=0.由题意知a≠0.①若a>0,则f′(x),f(x)随x变化的情况如下表:又f(2)=8a-24a+3=-16a+3,f(-1)=-7a+3>f(2),∴当x=2时,f(x)取最小值,-16a+3=-29,∴a=2.②若a<0,则f′(x),f(x)随x变化的情况如下表:又f (2)=-16a -29,f (-1)=-7a -29<f (2), ∴当x =2时,f (x )取最大值,即-16a -29=3, ∴a =-2.综上:⎩⎪⎨⎪⎧ a =2,b =3或⎩⎪⎨⎪⎧a =-2,b =-29.题型三 与函数最值有关的恒成立问题 思考:有关恒成立问题怎样解决?提示:与恒成立有关的问题,就是转化为求最值问题.设函数f (x )=tx 2+2t 2x +t -1(x ∈R ,t >0).(1)求f (x )的最小值h (t );(2)若h (t )<-2t +m 对t ∈(0,2)恒成立,求实数m 的取值范围.[思路导引]恒成立问题,即y=h(t)+2t,若t∈(0,2)的最大值小于m,所以恒成立问题即求函数的最值问题.[解](1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),∴当x=-t时,f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g′(t)=-3t2+3=0得t=1或t=-1(不符合题意,舍去).当t变化时,g′(t),g(t)的变化情况如下表:h(t)<-2t+m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立,即等价于1-m<0.∴m的取值范围为(1,+∞).有关恒成立问题,一般是转化为求函数的最值问题.求解时首先要确定函数,看哪一个变量的范围已知,以已知范围的变量为自变量确定函数.一般地,λ≥f (x )恒成立⇔λ≥[f (x )]max ;λ≤f (x )恒成立⇔λ≤[f (x )]min . [跟踪训练]设函数f (x )=2x 3+3ax 2+3bx +8c 在x =1及x =2时取得极值. (1)求a ,b 的值;(2)若对于任意的x ∈[0,3],都有f (x )<c 2成立,求c 的取值范围. [解] (1)f ′(x )=6x 2+6ax +3b ,因为函数f (x )在x =1及x =2时取得极值, 所以f ′(1)=0,f ′(2)=0,即⎩⎪⎨⎪⎧ 6+6a +3b =0,24+12a +3b =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-3,b =4.(2)由(1)可知,f (x )=2x 3-9x 2+12x +8c , f ′(x )=6x 2-18x +12=6(x -1)(x -2). 当x ∈(0,1)时,f ′(x )>0; 当x ∈(1,2)时,f ′(x )<0;当x∈(2,3)时,f′(x)>0.所以,当x=1时,f(x)取极大值f(1)=5+8c,又f(0)=8c,f(3)=9+8c.所以当x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.因为对于任意的x∈[0,3],有f(x)<c2恒成立,所以9+8c<c2,解得c<-1或c>9.因此c的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞).1.求函数的最值时,应注意以下几点(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).2.求含参数的函数最值,可分类讨论求解. 3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.1.连续函数f (x )在[a ,b ]上有最大值是f (x )有极大值的( ) A .充分条件 B .必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件[解析] 因为在[a ,b ]有最大值时函数可以是单调函数,所以有最大值不一定有极大值,反之亦不成立,所以选D.[答案] D2.设函数f (x )=2x +1x -1(x <0),则f (x )( ) A .有最大值 B .有最小值 C .是增函数 D .是减函数[解析] 因为f ′(x )=2-1x 2(x <0),当x =-2时,f ′(x )=0,当x ∈(-∞,-2)时,f ′(x )>0,当x ∈(-2,0)时,f ′(x )<0,所以当x =-2时,f (x )有极大值即最大值,所以选A.[答案] A3.下列说法正确的是( )A .函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值B .闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值C .若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值D .若函数在给定区间上有最值,则有且仅有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可有多个极值[解析] 由极值与最值的定义知选D. [答案] D4.函数f (x )=2x +1x ,x ∈(0,5]的最小值为( ) A .2 B .3 C.174D .22+12[解析] 由f ′(x )=1x-1x 2==0,得x =1,且x ∈(0,1)时,f ′(x )<0;x ∈(1,5]时,f ′(x )>0,∴x =1时f (x )最小,最小值为f (1)=3.[答案] B5.函数f (x )=1x +1+x (x ∈[1,3]的值域为__________.[解析] f ′(x )=-1(x +1)2+1=x 2+2x (x +1)2,所以在[1,3]上f ′(x )>0恒成立,即f (x )在[1,3]上单调递增,所以f (x )的最大值是f (3)=134,最小值是f (1)=32.故函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32,134.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32,1346.已知f (x )=13x 3-12x 2-2x ,求f (x )的极大值__________,极小值__________.[解析] f ′(x )=x 2-x -2=0,解得x =-1或x =2,且(-∞,-1)和(2,+∞)时f ′(x )>0,在(-1,2),f ′(x )<0,所以f (-1)=76是极大值,f (2)=-103是极小值.[答案] 76 -1037.已知函数f (x )=x 3+ax 2+2,且f (x )的导函数f ′(x )的图象关于直线x =1对称.(1)求导函数f ′(x )及实数a 的值;(2)求函数y =f (x )在[-1,2]上的最大值和最小值. [解] (1)由f (x )=x 3+ax 2+2得: f ′(x )=3x 2+2ax .∵f ′(x )的图象关于直线x =1对称, ∴-a 3=1.∴a =-3,f ′(x )=3x 2-6x . (2)由(1)知f (x )=x 3-3x 2+2, f ′(x )=3x 2-6x .令f ′(x )=0得x 1=0,x 2=2.当x在[-1,2]上变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x=0时,函数有最大值2.。
人教新课标版(A)高二选修1-1 第三章导数及其应用单元测试
人教新课标版(A )高二选修1-1 第三章 导数及其应用单元测试(时间:120分钟 分值:150分)一、选择题(每小题5分,共60分) 1. 已知()x f 在0x x =处可导,()[]()[]0202x x x x x f x f lim 0--→等于A. ()0x f 'B. ()0x fC. ()()00x f x f '⋅D. ()()00x f x f 2'⋅2. 物体运动的方程为3t 41s 4-=,则5t =的瞬时速度为 A. 5 B. 25 C. 125 D. 6253. 设()x f 为可导函数,且满足()()x2x 1f 1f lim 0x --→1-=,则过曲线()x f y =上点()()1f ,1处的切线斜率为 A. 2 B. –1 C. 1 D. –24. 抛物线2x 41y =在Q (2,1)处的切线方程为A. 01y x =++-B. 03y x =-+C. 01y x =+-D. 01y x =-+5. 函数()x ax x g 3-=在(∞+∞-,)内是减函数,则A. 0a <B. 1a <C. 2a <D. 31a <6. 函数()b 3bx 6x x f 3+-=在(0,1)内有极小值,则实数b 的取值范围是A. ()1,0B. (1,∝-)C. ()∝+,0D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,07. 设()x f 、()x g 在[]b ,a 上可导,且()()x g x f '>',则当b x a <<时,有A. ()()x g x f >B. ()()x g x f <C. ()()()()a f x g a g x f +>+D. ()()()()b f x g b g x f +>+8. 已知函数()()1xf 2x x f 2'+=,则()1f -与()1f 的大小关系是A. ()()1f 1f =-B. ()()1f 1f <-C. ()()1f 1f >-D. 无法确定9. 函数4x x 4y -=在[]2,1x -∈上的最大值、最小值分别是A. ()1f 与()1f -B. ()1f 与()2fC. ()1f -与()2fD. ()2f 与()1f -10. ()x f 与()x g 是定义在R 上的两个可导函数,若()x f 、()x g 满足()()x g x f '=',则()x f 与()x g 满足A. ()()x g x f =B. ()()x g x f -为常数函数C. ()()0x g x f ==D. ()()x g x f +为常数函数 11. 已知()x lg x x f =,那么()x fA. 在()e ,0上单调递增B. 在(0,10)上单调递增C. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛101,0上减,⎪⎭⎫⎝⎛∞+,101上增D. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上减,⎪⎭⎫⎝⎛∞+,e 1上增12. (2006·四川)曲线3x x 4y -=在点(-1,-3)处的切线方程是A. 4x 7y +=B. 2x 7y +=C. 4x y -=D. 2x y -=二、填空题(每小题4分,共16分)13. 曲线10x 6x 3x y 23-++=的切线中,斜率最小的切线方程为__________。
高中数学选修1-1第三章课后习题解答
新课程标准数学选修1—1第三章课后习题解答第三章 导数及其应用 3.1变化率与导数 练习(P76)在第3 h 和5 h 时,原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近,原油温度大约以1 ℃/h 的速度下降;在第5 h 时,原油温度大约以3 ℃/h 的速率上升. 练习(P78)函数()h t 在3t t =附近单调递增,在4t t =附近单调递增. 并且,函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明:体会“以直代曲”的思想. 练习(P79)函数()r V =(05)V ≤≤的图象为根据图象,估算出(0.6)0.3r '≈,(1.2)0.2r '≈.说明:如果没有信息技术,教师可以将此图直接提供给学生,然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题3.1 A 组(P79)1、在0t 处,虽然1020()()W t W t =,然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆. 所以,单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大,因此企业甲比企业乙略好一筹. 说明:平均变化率的应用,体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆,所以,(1) 3.3h '=-.这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m /s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆,所以,(5)10s '=. 因此,物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m /s ,它在第5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J. 4、设车轮转动的角度为θ,时间为t ,则2(0)kt t θ=>.由题意可知,当0.8t =时,2θπ=. 所以258k π=,于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆,所以(3.2)20θπ'=. 因此,车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π弧度/秒. 说明:第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固. 5、由图可知,函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于0,所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得,函数()f x 在4x =-,2-,0,2附近分别单调递增,几乎没有变化,单调递减,单调递减. 说明:“以直代曲”思想的应用.6、函数(1)是一条直线,其斜率是一个小于0的常数;函数(2)的()f x '均大于0,并且随着x 的增加,()f x '的值也在增加;对于函数(3),当x 小于0时,()f x '小于0,当x 大于0时,()f x '大于0,并且随着x 的增加,()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明:本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组(P80)1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢,即速度;速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢,根据物理知识,这个量就是加速度.2、说明:由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息,并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解,以及数与形之间的相互转换.3、由题意可知,函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-,所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象,然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得(2)(3)某点处函数图象的大致形状.说明:这是一个综合性问题,包含了对导数内涵、导数几何意义的了解,以及对以直代曲思3.2导数的计算 练习(P85)1、()27f x x '=-,所以,(2)3f '=-,(6)5f '=.2、(1)1ln 2y x '=; (2)2x y e '=; (3)41065y x x '=-+; (4)3sin 4cos y x x '=--习题3.2 A 组(P85)1、()()2S S r r S r r r r r π∆+∆-==+∆∆∆,所以,0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=.2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、()r V '=.4、(1)213ln 2y x x '=+; (2)1n x n x y nx e x e -'=+; (3)21sin y x'=-.5、()8f x '=-+. 由0()4f x '=有 048=-+,解得0x =.6、(1)ln 1y x '=+; (2)1y x =-.7、1xy π=-+.8、(1)氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.(2)(7)25.5A '=-,它表示氨气在第7天左右时,以25.5克/天的速率减少. 习题3.2 B 组(P86)1、当0y =时,0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-,所以01x y ='=-.所以,曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以,上午6:00时潮水的速度为0.42-m /h ;上午9:00时潮水的速度为0.63-m /h ;中午12:00时潮水的速度为0.83-m /h ;下午6:00时潮水的速度为 1.24-m /h.3.3导数在研究函数中的应用 练习(P93)当()0f x '>,即1x >时,函数2()24f x x x =-+单调递增; 当()0f x '<,即1x <时,函数2()24f x x x =-+单调递减. (2)因为()x f x e x =-,所以()1x f x e '=-.当()0f x '>,即0x >时,函数()x f x e x =-单调递增; 当()0f x '<,即0x <时,函数()x f x e x =-单调递减. (3)因为3()3f x x x =-,所以2()33f x x '=-.当()0f x '>,即11x -<<时,函数3()3f x x x =-单调递增; 当()0f x '<,即1x <-或1x >时,函数3()3f x x x =-单调递减. (4)因为32()f x x x x =--,所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>,即13x <-或1x >时,函数32()f x x x x =--单调递增;当()0f x '<,即113x -<<时,函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠,所以()2f x ax b '=+. (1)当0a >时,()0f x '>,即2bx a >-时,函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增; ()0f x '<,即2bx a<-时,函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.(2)当0a <时,()0f x '>,即2bx a <-时,函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增;()0f x '<,即2bx a>-时,函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.4、证明:因为32()267f x x x =-+,所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时,2()6120f x x x '=-<,因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习(P96)注:图象形状不唯一.令()1210f x x '=-=,得112x =. 当112x >时,()0f x '>,()f x 单调递增;当112x <时,()0f x '<,()f x 单调递减. 所以,当112x =时,()f x 有极小值,并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-.(2)因为3()27f x x x =-,所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=,得3x =±. 下面分两种情况讨论:①当()0f x '>,即3x <-或3x >时;②当()0f x '<,即33x -<<时. 当x 变化时,()f x ',()f x 变化情况如下表:因此,当3x =时,()f x 有极小值,并且极小值为54-;当3x =-时,()f x 有极大值,并且极大值为54.(3)因为3()612f x x x =+-,所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=,得2x =±. 下面分两种情况讨论:①当()0f x '>,即22x -<<时;②当()0f x '<,即2x <-或2x >时. 当x 变化时,()f x ',()f x 变化情况如下表:因此,当2x =-时,()f x 有极小值,并且极小值为10-;当2x =时,()f x 有极大值,并且极大值为22(4)因为3()3f x x x =-,所以2()33f x x '=-.令2()330f x x '=-=,得1x =±. 下面分两种情况讨论:①当()0f x '>,即11x -<<时;②当()0f x '<,即1x <-或1x >时. 当x 变化时,()f x ',()f x 变化情况如下表:因此,当1x =-时,()f x 有极小值,并且极小值为2-;当1x =时,()f x 有极大值,并且极大值为22、2x ,4x 是函数()y f x =的极值点,其中2x x =是函数()y f x =的极大值点,其中4x x =是函数()y f x =的极小值点. 练习(P98)(1)在[0,2]上,当112x =时,2()62f x x x =--有极小值,并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-,(2)20f =.因此,函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. (2)在[4,4]-上,当3x =-时,3()27f x x x =-有极大值,并且极大值为(3)54f -=;当3x =时,3()27f x x x =-有极小值,并且极小值为(3)54f =-;又由于(4)44f -=,(4)44f =-.因此,函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.(3)在1[,3]3-上,当2x =时,3()612f x x x =+-有极大值,并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=,(3)15f =.因此,函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.(4)在[2,3]上,函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-,(3)18f =-.因此,函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题3.3 A 组(P98)1、(1)因为()21f x x =-+,所以()20f x '=-<. 因此,函数()21f x x =-+是单调递减函数.(2)因为()cos f x x x =+,(0,)2x π∈,所以()1sin 0f x x '=->,(0,)2x π∈.因此,函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. (3)因为()24f x x =-,所以()20f x '=>. 因此,函数()24f x x =-是单调递增函数. (4)因为3()24f x x x =+,所以2()640f x x '=+>. 因此,函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、(1)因为2()24f x x x =+-,所以()22f x x '=+.当()0f x '>,即1x >-时,函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<,即1x <-时,函数2()24f x x x =+-单调递减. (2)因为2()233f x x x =-+,所以()43f x x '=-.当()0f x '>,即34x >时,函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<,即34x <时,函数2()233f x x x =-+单调递减.(3)因为3()3f x x x =+,所以2()330f x x '=+>. 因此,函数3()3f x x x =+是单调递增函数. (4)因为32()f x x x x =+-,所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>,即1x <-或13x >时,函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<,即113x -<<时,函数32()f x x x x =+-单调递减.3、(1)图略. (2)加速度等于0.4、(1)在2x x =处,导函数()y f x '=有极大值; (2)在1x x =和4x x =处,导函数()y f x '=有极小值;(3)在3x x =处,函数()y f x =有极大值; (4)在5x x =处,函数()y f x =有极小值. 5、(1)因为2()62f x x x =++,所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=,得112x =-. 当112x >-时,()0f x '>,()f x 单调递增; 当112x <-时,()0f x '<,()f x 单调递减.所以,112x =-时,()f x 有极小值,并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-. (2)因为3()12f x x x =-,所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=,得2x =±. 下面分两种情况讨论:①当()0f x '>,即2x <-或2x >时;②当()0f x '<,即22x -<<时. 当x 变化时,()f x ',()f x 变化情况如下表:因此,当2x =-时,()f x 有极大值,并且极大值为16;当2x =时,()f x 有极小值,并且极小值为16-.(3)因为3()612f x x x =-+,所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=,得2x =±. 下面分两种情况讨论:①当()0f x '>,即2x <-或2x >时;②当()0f x '<,即22x -<<时. 当x 变化时,()f x ',()f x 变化情况如下表:因此,当2x =-时,()f x 有极大值,并且极大值为22;当2x =时,()f x 有极小值,并且极小值为10-.(4)因为3()48f x x x =-,所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=,得4x =±. 下面分两种情况讨论:①当()0f x '>,即2x <-或2x >时;②当()0f x '<,即22x -<<时. 当x 变化时,()f x ',()f x 变化情况如下表:因此,当4x =-时,()f x 有极小值,并且极小值为128-;当4x =时,()f x 有极大值,并且极大值为128.6、(1)当112x =-时,()f x 有极小值,并且极小值为4924-. 由于(1)7f -=,(1)9f =,所以,函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9,4924-. (2)在[3,3]-上,当2x =-时,函数3()12f x x x =-有极大值,并且极大值为16; 当2x =时,函数3()12f x x x =-有极小值,并且极小值为16-. 由于(3)9f -=,(3)9f =-,所以,函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16,16-.(3)函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.因为3()612f x x x =-+在1[,1]3-上单调递减,且1269()327f -=,(1)5f =-,所以,函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927,5-.(4)当4x =时,()f x 有极大值,并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-,(5)115f =,所以,函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128,128-. 习题3.3 B 组(P99)(1)证明:设()sin f x x x =-,(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<,(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=,(0,)x π∈,即sin x x <,(0,)x π∈. 图略 (2)证明:设2()f x x x =-,(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-,(0,1)x ∈所以,当1(0,)2x ∈时,()120f x x '=->,()f x 单调递增,2()(0)0f x x x f =->=;当1(,1)2x ∈时,()120f x x '=-<,()f x 单调递减,2()(1)0f x x x f =->=;又11()024f =>. 因此,20x x ->,(0,1)x ∈. 图略(3)证明:设()1x f x e x =--,0x ≠. 因为()1x f x e '=-,0x ≠所以,当0x >时,()10x f x e '=->,()f x 单调递增,()1(0)0x f x e x f =-->=;当0x <时,()10x f x e '=-<,()f x 单调递减,()1(0)0x f x e x f =-->=;综上,1x e x ->,0x ≠. 图略 (4)证明:设()ln f x x x =-,0x >.因为1()1f x x'=-,0x ≠ 所以,当01x <<时,1()10f x x'=->,()f x 单调递增, ()ln (1)10f x x x f =-<=-<;当1x >时,1()10f x x'=-<,()f x 单调递减, ()ln (1)10f x x x f =-<=-<;当1x =时,显然ln11<. 因此,ln x x <. 由(3)可知,1x e x x >+>,0x >.. 综上,ln x x x e <<,0x > 图略 3.4生活中的优化问题举例 习题3.4 A 组(P104)1、设两段铁丝的长度分别为x ,l x -,则这两个正方形的边长分别为4x ,4l x -,两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+,0x l <<.令()0f x '=,即420x l -=,2lx =.当(0,)2l x ∈时,()0f x '<;当(,)2lx l ∈时,()0f x '>.因此,2lx =是函数()f x 的极小值点,也是最小值点.所以,当两段铁丝的长度分别是2l时,两个正方形的面积和最小.2、如图所示,由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为x 的小正方形,做成一个无盖方盒,所以无 盖方盒的底面为正方形,且边长为2a x -,高为x .(1)无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-,02ax <<.(2)因为322()44V x x ax a x =-+, 所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=,得2a x =(舍去),或6a x =. 当(0,)6a x ∈时,()0V x '>;当(,)62a ax ∈时,()0V x '<.因此,6ax =是函数()V x 的极大值点,也是最大值点.所以,当6ax =时,无盖方盒的容积最大.(第2题)3、如图,设圆柱的高为h ,底半径为R , 则表面积222S Rh R ππ=+由2V R h π=,得2V h R π=. 因此,2222()222V V S R R R R R R ππππ=+=+,0R >. 令2()40VS R R Rπ'=-+=,解得R =.当R ∈时,()0S R '<;当)R ∈+∞时,()0S R '>.因此,R =是函数()S R 的极小值点,也是最小值点.此时,22V h R R π===. 所以,当罐高与底面直径相等时,所用材料最省.4、证明:由于211()()n i i f x x a n ==-∑,所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=,得11ni i x a n ==∑,可知,11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点,也是最小值点.这个结果说明,用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的,这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ,则半圆的半径为2xm ,半圆的面积为28x π2m ,矩形的面积为28x a π-2m ,矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244xa x al x x x x xπππ=++-=++,0x <<令22()104al x x π'=+-=,得x =.(第3题)当x ∈时,()0l x '<;当x ∈时,()0l x '>.因此,x =()l x 的极小值点,也是最小值点.时,所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ,而收入R 等于产量乘价格. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式,再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-,利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-,0200q <<.1214L q '=-+令0L '=,即12104q -+=,84q =.当(0,84)q ∈时,0L '>;当(84,200)q ∈时,0L '<;因此,84q =是函数L 的极大值点,也是最大值点.所以,产量为84时,利润L 最大,习题3.4 B 组(P105)1、设每个房间每天的定价为x 元,那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-,180680x <<.令1()7005L x x '=-+=,解得350x =.因为()L x 只有一个极值,所以350x =为最大值点.因此,当每个房间每天的定价为350元时,宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元/件时,利润4()()(4)()(5)b x L x x a c c c x a x b b -=-+⨯=--,54ba x <<.令845()0c ac bc L x x b b +'=-+=,解得458a bx +=.当45(,)8a b x a +∈时,()0L x '>;当455(,)84a b bx +∈时,()0L x '<. 所以,销售价为458a b+元/件时,可获得最大利润.第三章 复习参考题A 组(P110)1、(1)3; (2)4y =-.2、(1)22sin cos 2cos x x x y x +'=; (3)ln x xe y e x x '=+. 3、32GMmF r'=-. 4、(1)()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.(2)(3)4f '=-表明在3℃附近时,红茶温度约以4℃/min 的速度下降. 图略. 5、因为()f x =()f x '=.当()0f x '=>,即0x >时,()f x 单调递增;当()0f x '=<,即0x <时,()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++,所以()2f x x p '=+. 当()20f x x p '=+=,即12px =-=时,()f x 有最小值. 由12p-=,得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=,所以5q =. 7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+, 所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--. 当()0f x '=,即3cx =,或x c =时,函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意当2x =时,函数2()()f x x x c =-有极大值,所以0c >. 由于所以,当3c x =时,函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时,23c=,6c =. 8、设当点A 的坐标为(,0)a 时,AOB ∆的面积最小. 因为直线AB 过点(,0)A a ,(1,1)P ,所以直线AB 的方程为001y x a x a --=--,即1()1y x a a =--.当0x =时,1a y a =-,即点B 的坐标是(0,)1aa -.因此,AOB ∆的面积21()212(1)AOBa a S S a a a a ∆===--.令()0S a '=,即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a =,或2a =时,()0S a '=,0a =不合题意舍去. 由于所以,当2a =,即直线AB 的倾斜角为135︒时,AOB ∆的面积最小,最小面积为2. 9、D .10、设底面一边的长为x m ,另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m. 所以,长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V ,则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++.令()0V x '=,即26 4.4 1.60x x -++=,0 1.6x <<. 所以,415x =-(舍去),或1x =. 1x =是函数()V x 在(0,1.6)内唯一极值点,且为极大值点,从而是最大值点. 所以,当长方体容器的高为1 m 时,容器最大,最大容器为1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100x +时,旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080,)x x N ≤≤∈. 令()0f x '=,即105000x -+=,50x =.又(0)100000f =,(80)108000f =,(50)112500f =. 所以,50x =是函数()f x 的最大值点.所以,当旅游团人数为150时,可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时,可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为623.7,长为x ,所以宽为623.7x, 打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x=-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x=--,5.0898.38x <<. 令()0S x '=,即23168.3966.340x -=,22.36x ≈(负值舍去),623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点,且为极大值,从而是最大值点. 所以,打印纸的长、宽分别约为27.89cm ,22.36cm 时,可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时,总利润为y 元.则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=,即3000q -+=,300q =.当300q =时,25000y =;当400q =时,20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点,且为极大值点,从而是最大值点. 所以,每年养300头猪时,可使总利润最大,最大总利润为25000元.第三章 复习参考题B 组(P111)1、(1)43()10210b t t '=-⨯. 所以,细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.(2)当05t ≤<时,细菌在增加;当55t <<+时,细菌在减少. 2、设扇形的半径为r ,中心角为α弧度时,扇形的面积为S .因为212S r α=,2l r r α-=,所以2lrα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-,02l r <<.令0S '=,即40l r -=,4lr =,此时α为2弧度.4l r =是函数()S r 在(0,)2l内唯一极值点,且是极大值点,从而是最大值点.所以,扇形的半径为4l、中心角为2弧度时,扇形的面积最大.3、设圆锥的底面半径为r ,高为h ,体积为V ,那么222r h R +=.因此,222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-,0h R <<.令22103V R h ππ'=-=,解得3h R =.h R =是函数()V h 在(0,)R 内唯一极值点,且是极大值点,从而是最大值点.把3h R =代入222r h R +=,得r =.由2R r απ=,得3α=.所以,圆心角为3α=时,容积最大. 4、由于28010k =⨯,所以45k =. 设船速为x km /h 时,总费用为y ,则2420204805y x x x=⨯+⨯ 960016x x=+,0x >令0y '=,即29600160x -=,24x ≈.24x =是函数y 在(0,)+∞上唯一极值点,且是极小值点,从而是最小值点.当24x =时,9600162478424⨯+=(元). 于是20780()940.824÷=(元/时) 所以,船速约为24km /h 时,总费用最少,此时每小时费用约为941元. 5、设汽车以x km /h 行驶时,行车的总费用2390130(3)14360x y x x =++⨯,50100x ≤≤ 令0y '=,解得53x ≈,114y ≈;当50x =,114y ≈;当100x =,138y ≈.因此,当53x ≈时,行车总费用最少.所以,最经济的车速约为53km /h ;如果不考虑其他费用,这次行车的总费用约是114元.。
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称点 ( x0, f ( x0)) 为函数 y f (x) 的“拐点”。现已知 f ( x) x3 3x2 2x 2 , 请解答
下列问题 :
( 1)求函数 f (x) 的“拐点” A 的坐标 ;
( 2)求证 f ( x) 的图象关于“拐点” A 对称 ; 并写出对于任意的三次函数都成立的有关
“拐点”的一个结论(此结论不要求证明) .
。
13. 设 P 为曲线 C: y x2 2x 3 上的点, 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围
为 0, ,则点 P 横坐标的取值范围为
- 1,-1
.
4
2
14.设函数 f ( x) 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数, 则曲线 y f (x) 在 x 5
处
的切线的斜率为
0
15. 已知直线 x+2y- 4=0 与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点, O 是坐标原点, P
f (x) , ) 上是增函数 . x1 0, x2 0 时,
y
y
y
y
y
O
xO
xO
x
O
xO
x
A
B
8、对于 R 上可导的任意函数
(C ) A、f (0)+ f ( 2) 2f ( 1) C、f (0)+ f ( 2) f ' (1) 0 若满足( x- 1) f ( x)>0,则必有
B
、f (0)+ f ( 2) 2f ( 1)
16、[解析 ](1) f ( x) 3x2 6x 2, f ( x) 6x 6.令 f ( x) 6x 6 0 得 x 1 , f (1) 13 3 2 2 2 . 拐点 A(1, 2)
( 2 )设 P( x0 , y0) 是 y f (x) 图象上任意一点,则
y0 x03 3x02 2x0 2 ,因为
是抛物线的弧
上求一点 P,当△ PAB面积最大时, P 点坐标为 P(4,-
4)
.
三、解答题(共 6 小题,,共 75 分)
16、(本题满分 12 分) 对于三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0) ,定义:
设 f (x) 是函数 y f ( x) 的导函数 y f ( x) 的导数,若 f ( x) 0 有实数解 x0 ,则
6、设函数 f(x) = kx 3+ 3(k -1)x 2
2
k
+1
在区间(
0,4)上是减函数,则
k 的取值范围
是
(D )
A、 k 1 3
B、 0 k 1 3
C、 0 k 1 3
D、 k 1 3
7、设函数 f(x) 在定义域内可导, y=f(x) 的图象如下图所示,则导函数 y=f (x)
可能为
(D )
2018-2019 学年鄂州市第二中学高二数学《导数及其应用》单元测试
一、选择题: ( 本大题共 10 小题 , 每小题 5 分 , 共 50 分)
1.设函数 f(x) 在 x0 处可导,则 lim f (x 0 x0
x) f (x0) 等于 x
( C)
A. f ' (x0)
B. f '( x0 )
则下 列关于函数 g( x)的叙述正确的是( B
)
A.若 a<0,则函数 g( x )的图象关于原点对称 .
3 D.
2
g( x )= af( x )+b ,
B.若 a=- 1,- 2<b<0,则方程 g( x ) =0 有大于 2 的实根 .
C.若 a≠ 0,b=2,则方程 g( x ) =0 有两个实根 .
D.若 a≥ 1,b<2,则方程 g( x ) =0 有三个实根 .
二、填空题 ( 共 5 小题,每小题 5 分 , 共 25 分 )
11.求 f x sin 3 1 的导数 x
y
3 x2 s i
n2
1 x
1 cos
x
12.曲线 S:y=3x-x 3的过点 A( 2,-2 )的切线的方程是 y=-9x+16 或 y=-2
f ( x2 ) .
f ( x)
xf (x) f ( x)
17. ( 1)由 g (x)
得 g ( x) x
x2
, 因为 xf ( x)
所以 g ( x) 0 在 x 0 时恒成立,所以函数 g( x)
f ( x) 在 ( 0,
x
(2)由( 1)知函数 g (x)
f (x) 在 (0,
x
) 上是增函数,所以当
D
、 f (0)+ f ( 2) 2f ( 1)
9、已知二次函数 f ( x) ax2 bx c 的导数为 f (x) , f (0) 0 ,对于任意实数 x ,有
f ( x) ≥ 0 ,则 f (1) 的最小值为 (C ) f (0)
A. 3
B. 5 2
C. 2
10、 f( x )是定义在区间 [ -c,c]上的奇函数,其图象如图所示:令
猜想:所有的三次函数图象都关于它的拐点对称。
17. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) 是 (0, ) 上的可导函数, 若 xf (x) f (x) 在 x 0
时恒成立 .
(1)求证:函数 g(x)
f (x) 在 ( 0,
x
) 上是增函数;
(2)求证:当 x1 0, x2 0 时,有 f (x1 x2) f ( x1)
C . - f ' ( x0 )
D.- f '( x0)
2.若函数 f(x) 的导数为 f′ (x)=-sinx ,则函数图像在点( 4, f( 4))处的切 线的倾斜角为( C )
A. 90 °
B. 0°
C .锐角
D .钝角
3. 函数 y=x3- 3x 在[ -1,2] 上的最小值为 ( B )
A、 2
P( x0, y0 ) 关于 A(1, 2) 的对称点为 P (2 x0 , 4 y0) ,把 P 代入 y f (x) 得
左边
4 y0
x03 3x02 2 x0 2 ,
右边 (2 x0) 3 3(2 x0) 2 2(2 x0 ) 2 x03 3x02 2 x0 2
右边 =右边 P (2 x0, 4 y0 ) 在 y f (x) 图象上 y f ( x) 关于 A 对称
B、- 2
C、0
D、- 4
4. 设函数 f x 的导函数为 f x ,且 f x x 2 2x f 1 ,则 f 0 等于 (B )
A、 0 B 、 4 C 、 2 D 、 2 5. 已知 f(x) =x 3+ax 2+ (a + 6)x + 1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为 ( D )
A 、- 1<a<2 B 、- 3<a<6 C 、a<- 1 或 a>2 D 、 a<- 3 或 a>6