《24.2 点、直线和圆的位置关系》练习
24.2点、直线、圆与圆的位置关系 知识点+例题+练习(精品)
1.点和圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d=r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法(了解)（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．10.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．11.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．12.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．13.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（2）两圆的公切线性质：两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=34，D是线段BC的中点.（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP是半圆O的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例 2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；•当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足O O2O1为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15B. 30C. 45D. 604. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长.6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（ ）A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 长63，以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）．9.如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．O D C B A第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第8题图 第9题图 第11题图 第10题图 第12题图10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是______cm ．12.如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF=2，则HE 的长为_________．13. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若直径AC=12cm ，∠P=60°．求弦AB 的长．【中考连接】一、选择题1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.32.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为 （ ）A. 335B. 635 C. 10 D. 5 4. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26，PA ＝4，则⊙O 的半径等于（ ）A. 1B. 2C. 23D. 26 5.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（ ）①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题6. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________度．B P A OC 第3题图 第6题图 第7题图 第8题图7. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，，，的度数比为3∶2∶4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为________． 8．如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．9．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ．10．如图6，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．11.如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．12.如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm.13.如图，⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x=图象上，则阴影部分面积等于 ． 14. Rt △ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．则△ABC的内切圆半径r =______． 15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．16.已知：⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB 、BC 、CA 分别为 ．17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．三、解答题18. 如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由．19.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=．（1）求∠AOC 的度数；（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的第10题图 第11题图 第12题图 第13题图 第18题图长；（3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S △△时，求动点M 所经过的弧长．。
人教版九年级数学上册一课一练 24.2点和圆、直线和圆的位置关系
24.2点和圆、直线和圆的位置关系一、单选题1.若直线l与半径r为5的O相离，则圆心O与直线l的距离d为( )A.5d= D.5d≤d> C.5d< B.52.下列说法不正确的是( )A.经过一个点的圆有无数个B.经过两个点的圆有无数个C.经过不在同一条直线上的三个点可确定一个圆D.过四个点一定能作一个圆3.下列可以用来证明命题“任何偶数都是4的整数倍”是假命题的反例为( )A.3B.4C.8D.64.如图，已知PA切O于点A，O的半径为3，5OP=，则切线PA长为( )B.8C.4D.25.在平面直角坐标系中，P的圆心是点(1,0)，半径为2，则下面各点在P上的是( )A.(2,0)B.(0,2)C.D.6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径是多少？则半径是( )A.3步B.5步C.6步D.8步7.如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则O 的半径为( )A. B.3 C.4 D.48.如图，不等边三角形ABC内接于O，下列结论不成立的是( )A.12∠=∠ C.2∠=∠ B.14∠=∠+∠ACB∠=∠ D.23AOB ACB9.如图，点B在A上，点C在A外，以下条件不能判定BC是A的切线的是( )A.50∠=︒ B.B C AC∠-∠=∠∠=︒，40AC.222+= D.A与AC的交点是AC中点AB BC AC二、填空题10.如图，已知点O是ABC的内切圆的圆心，若124∠=__________.∠=︒，则ABOC11.如图，直线a bPH=cm，O为直线b上一动点，若以1cm ⊥，垂足为H，点P在直线b上，4为半径的O与直线a相切，则OP的长为____________.12.如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出3AB=cm，则此光盘的直径是____________cm.三、解答题13.如图，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作//CD AB交AF于点D，连接BC.（1）如图（1），连接DO，若//BC OD，求证：CD是半圆的切线.（2）如图（2），当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断AED∠和ACD∠的数量关系，并证明你的结论.参考答案1.答案：B解析：直线l与O的位置关系是相离，.55，.故选B.∴>=∴>d r r d2.答案：D解析：由作圆的方法可知，选项A，B，C均不符合题意，而过四个点不一定能作圆，如这四个点在同一条直线上，所以选项D符合题意.故选D.3.答案：D解析：A项，3不是偶数；B项，4是偶数，且能被4整除；C项，8是偶数，且是4的2倍；D 项，6是偶数，但不能被4整除.故选D.4.答案：CPA==.故解析：连接OA.PA切O于点A，OA AP∴⊥.在Rt OAP中，4选C.5.答案：C解析：A选项，点(2,0)到P的圆心(1,0)的距离为2112-=<，所以点(2,0)在P内，不合题意B 选项，点(0,2)到P 的圆心(1,0)2，所以点(0,2)在P 外，不合题意C选项，点到P 的圆心(1,0)2=，所以点在P 上，符合题意D选项，点到P 的圆心(1,0)12<所以点在P 内，不合题意.故选C.6.答案：A17，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径18152311(81517)(81517)22S r ⨯⨯===⨯++⨯++三角形.故选A.7.答案：A解析：设O 与AB ，AC 的切点分别为D ，E ，连接AO ，OD ，OE .等边三角形ABC 的边长为8，8AC ∴=，60C BAC ∠=∠=︒.O 分别与边AB ，AC 相切，OD AB ∴⊥，OE AC ⊥.OD OE =，1302BAO CAO BAC ∴∠=∠=∠=︒，90AOC ∴∠=︒，90AOC ∴∠=︒，142OC AC ∴==.OE AC ⊥，OE ∴==O ∴的半径为.故选A.8.答案：B解析：OB OC =，12∴∠=∠，∴A 选项的结论成立；OA OB =，4OBA ∴∠=∠，180418024AOB OBA ∴∠=︒-∠-∠=︒-∠.ABC 为不等边三角形，AB BC ∴≠，BOC AOB ∴∠≠∠，而1801218021BOC ∠=︒-∠-∠=︒-∠，14∴∠≠∠，∴B 选项的结论不成立；延长AO 交BC 于点E .则22(1)21AOB OEB COE ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+232(23)2ACB ∠=∠+∠=∠.所以C 选项的结论成立；OA OC =，3OCA ∴∠=∠，123ACB OCA ∴∠=∠+∠=∠+∠，∴D 选项的结论成立.故选B.9.答案：D解析：A 选项，50A ∠=︒，40C ∠=︒，18090B A C ∴∠=︒-∠-∠=︒，BC AB ∴⊥.点B 在A 上，∴AB 是A 的半径，∴BC 是A 的切线.B 选项，B C A ∠-∠=∠，B AC ∴∠=∠+∠.180A B C ∠+∠+∠=︒，90B ∴∠=︒，BC AB ∴⊥.点B 在A 上，∴AB 是A的半径，∴BC 是A 的切线.C 选项，222AB BC AC +=，ABC ∴是直角三角形，且90B ∠=︒，BC AB ∴⊥.点B 在A 上，∴AB 是A 的半径，∴BC 是A 的切线.D 选项，A 与AC 的交点是AC 中点，12AB AC ∴=，但不能证出90B ∠=︒，∴不能判定BC 是A 的切线.故选D. 10.答案：68︒解析：O 是ABC 的内切圆，12OBC ABC ∴∠=∠， 1,180()2OCB ACB BOC OBC OCB ∠∠∠∠∠=∴=-+=()111180()180********ABC ACB A A ∠∠∠∠-+=--=+. 又124,68BOC A ∠∠=∴=.11.答案：3 cm 或5 cm解析：直线a b ⊥，O 为直线b 上一动点，O ∴与直线a 相切时，切点为H ，1OH ∴=cm.当点O 在点H 的左侧，O 与直线a 相切时，413OP PH OH =-=-=（cm ） 当点O 在点H 的右侧，O 与直线a 相切时，415OP PH OH =+=+=（cm ）. O ∴与直线a 相切，OP 的长为3cm 或5cm.故答案为3cm 或5cm.12.答案：解析：设光盘的圆心为O ，连接OA ，OB ，OC .由题可得120CAB ∠=︒.AB 和AC 与O 相切，∴AO 平分BAC ∠，OC AC ⊥，OB AB ⊥，1602OAB OAC CAB ∴∠=∠=∠=︒，30AOB ∴∠=︒.3AB =cm ，6OA ∴=cm.由勾股定理得OB =，∴光盘的直径是cm.故答案为.13.答案：（1）证明：如答图（1），连接OC .AF 为半圆的切线，AB 为半圆的直径，AB AD ∴⊥.//CD AB ，//BC OD ，∴四边形BODC 是平行四边形，OB CD ∴=.OA OB =，CD OA ∴=.又//CD OA ，∴四边形ADCO 是平行四边形，又90BAD ∠=︒，∴四边形ADCO 是矩形，90OCD ∴∠=︒，即OC CD ⊥.又OC 为O 的半径，∴CD 是半圆的切线.（2）解：90∠+∠=︒.证明如下：AED ACD如答图（2），连接BE.AB为半圆的直径，90AEB∴∠=︒，∴∠+∠=︒.90ABE BAE∠+∠=︒，DAE BAE90∴∠=∠.ABE DAE∠=∠，ACE ABE∴∠=∠.ACE DAE由（1）知90∠=︒，ADE∴∠+∠=∠+∠=︒.90 AED ACD AED DAE。
24.2点、直线、圆和圆的位置关系2
H
弧AC所对的弦切角 EAC等于弧AC所对的圆周角 ABC
８.小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的 直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm 的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方 法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴 墙面量得MA的长,即可求出墙的直径,请你利用图乙,说 明她这样做的道理.
小结：切线的性质
1.定理 圆的切直线垂直于过切点的半径. 2.定理：过切点且垂直于切线的直线必过圆心
即：若直线与圆的一个公共点已指明，则连接这点和圆心，说明 直线垂直于经过这点的半径；若直线与圆的公共点未指明，则过 圆心作直线的垂线段，然后说明这条线段的长等于圆的半径．
１、切线和圆只有一个公共点。
牛道口中学 崔淑花 2012、10、22
相离
H.
d.B .A
.Or r
直线与圆的位置关系 (数量特征)
L
1、直线与圆相离
d>r d=r d<r
相切
d
.O r r 2、直线与圆相切
.D
. C
L
O r r
相交
3、直线与圆相交
.F
d.
E
L
知识回顾
新知讲解
在⊙O中,经过半径OT 的外端点T作直线 AB⊥OT,则圆心O到直 线AB的距离是多 OT 直线AB和 少?______, ⊙O有什么位置关系? 相切 _________.
探索切线性质
一条直线满足 ①过圆心 ③过切点 ②垂直于切线
C
如图,直线CT与⊙O相切于点T, 直径CT与直线AB有怎样的位置关系?.
• 直径CT垂直于直线AB. 1.定理
A
24.2点、直线、圆和圆的位置关系
3.以P(3，2√2 ）为圆心的圆与x轴相切，则这个圆与 y轴的关系是（ A） A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定
4.在等腰△ABC中,AB=AC=2cm,若以A为圆心,1cm 为半径的圆与BC相切,则∠ABC的度数为,（ A） A、30° B、60° C、90° D、120°
d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm . 相交 3.直线和圆有2个交点,则直线和圆_________; 相切 直线和圆有1个交点,则直线和圆_________; 相离 直线和圆有没有交点,则直线和圆_________;
4.已知⊙O的半径为3，点A在直线l上，点A 到⊙O的圆心O的距离为3，则l与⊙O的位置关 系为 D 。 A.相离
归纳与小结 1.直线与圆的位置关系表:
直线和圆 的位置关 系
图形
公共 点个 数
公共点 名称
圆心到直线的 距离d与半径r 的关系
直线 名称
相 交
相 切 相 离
2个
交点 切 点
d<r d=r d>r
割 线 切线
1个 0个
.O
.
A
.O
.
B l
.
切点 A
l
.O
l
1、看图判断直线l与 ⊙O的位置关系
（1） （2）
· O
（3） l
· O
l
· O
l 相离 （4） 相交 （5） 相切
· O
相交
l
？
l
· O
（5）
？
· O
l
如果，公共点的个数不好判断， 该怎么办？ “直线和圆的位置关系”能否像 “点和圆的位置关系”一样进行数 量分析？
(含答案)九年级数学人教版上册课时练第24章《24.2.2 直线和圆的位置关系》(2)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！课时练第24章圆24.2.2直线和圆的位置关系一、单选题1．已知⊙O 的半径为6，点O 到直线l 的距离为6，则直线l 与⊙O （）A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法确定2．若O 的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与O 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定3．如图，AB 是⊙O 的弦，PO ⊥OA 交AB 于点P ，过点B 的切线交OP 的延长线于点C ，若⊙O OP ＝1，则BC 的长为（）A ．2BC ．52D 4．如图，点B ，D ，E 为⊙O 上的三个点，OC ⊥OB ，过点D 作⊙O 的切线，交OE 的延长线于点C ，连接BE ，DE ．若∠OCD ＝30°，则∠BED 的度数为（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°5．如图，O 内切于Rt ABC △，点P 、点Q 分别在直角边BC 、斜边AB 上，PQ AB ^，且PQ 与O 相切，若2AC PQ =，则sin B Ð的值为（）A ．12B ．35C ．34D ．456．如图，等腰ABC 内接于,O AB BC =，直线MN 是O 的切线，点C 是切点，OB 是半径，若36ACN Ð=°，则OBA Ð的度数为（）A ．14°B ．18°C ．36°D ．54°7．如图，AB 是O 的切线，A 为切点，OB 交O 于点C ，若O 的半径长为1，AB =，则线段BC 的长是（）A ．1BC ．2D 8．如图，在⊙O 中，AB 切⊙O 于点A ，连接OB 交⊙O 于点C ，过点A 作AD ∥OB 交⊙O 于点D ，连接CD ．若∠OCD ＝20°，则∠B 为（）A ．30°B ．40°C ．45°D ．50°二、填空题9．设⊙O 的半径为4cm ，直线L 上一点A 到圆心的距离为4cm ，则直线L 与⊙O 的位置关系是______．10．如图，直线AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于E ，F ，G ，且AB ∥CD ，若OB =6cm ，OC =8cm ，则BE +CG 的长等于_____________11．如图，已知⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 外一点，且OP ＝2．若PT 是⊙O 的切线，T 为切点，连接OT ，则PT ＝___．12．如图，BA 为O 的切线，切点为点A ，BO 交O 于点C ，点D 在O 上，连接CD ，36ABO Ð=°，则ADC Ð=______．13．如图，ABC 中，90BAC Ð=°，M 是BC 的中点，ABM 的内切圆与AB ，BM 分别相切于点D ，E ，连接DE ．若∥DE AM ，则C Ð的大小为______．14．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，点D 是AC 与⊙O 的交点，若36BAC Ð=°，则DBC Ð等于_________15．如图，AD ，AE ，BC 分别切⊙O 于点D ，E ，F ，若△ABC 的周长为48，则AD 的长是_______．16．如图，在⊙O 中，AB 切⊙O 于点A ，连接OB 交⊙O 于点C ，过点A 作AD ∥OB 交⊙O 于点D ，连接CD ．若∠B =50°，则∠OCD 的度数等于___________．三、解答题17．如图，以ABC 的边BC 的长为直径作O ，交AC 于点D ，若A DBC Ð=Ð，求证：AB是O 的切线．18．如图，AB 、BC 、CD 分别与⊙O 切于E 、F 、G ，且AB ∥CD ，连接OB 、OC ，延长CO 交⊙O 于点M ，过点M 作MN ∥OB 交CD 于N ．(1)求证：MN 是⊙O 的切线；(2)当6cm OB =，8cm OC =时，求⊙O 的半径．19．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点C ．BD PD ^，垂足为D ，连接BC ．(1)求证：BC 平分∠PBD ；(2)若4cm PA =，PC =，求⊙O 的半径．20．如图，AB为⊙O的直径，点C是AB右侧半圆上的一个动点，点D是AB左侧半圆的中点，DE是⊙O的切线，切点为D，连接CD交AB于点P，点Q为射线DE上一动点，连接AD，AC，BQ，PQ．(1)当PQ∥AD时，求证：△DPQ≌△PDA．(2)若⊙O的半径为2，请填空：①当四边形BPDQ为正方形时，DQ＝；②当∠BAC＝时，四边形ADQP为菱形．参考答案1．C2．A3．A4．B5．B6．B7．A8．D9．相切或相交10．10cm1112．27°13．30°14．36°15．2416．20°18．4.8cm19．2cm20．(2)①2；②22.5°。
人教版数学九年级上册 24.2---24.4练习题含答案
24.2点和圆、直线和圆的位置关系一．选择题1．如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO＝30°，则∠C的度数是（）A．70°B．45°C．30°D．20°2．等边△ABC的三个顶点都在⊙O上，点P是圆上不与A、B、C重合的点，∠BPC的度数是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．无法确定3．在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角（）A．小于60°B．等于60°C．大于60°D．大于或等于60°4．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D．若AC＝5，BD＝3，则AB 的长是（）A．2B．4C．6D．85．如图，P A，PB分别与⊙O相切于点A，B、过圆上点C作⊙O的切线EF分别交P A，PB 于点E，F，若P A＝4，则△PEF的周长是（）A．4B．8C．10D．126．如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝15°，BC是⊙O的切线，点B为切点，OD的延长线交BC于点C，若BC的长为2，则DC的长是（）A．1B．4﹣2C．2D．4﹣47．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F，若AE＝5，AC＝4，则BE的长为（）A．B．C．D．8．如图，△ABC中，BC＝4，⊙P与△ABC的边或边的延长线相切．若⊙P半径为2，△ABC的面积为5，则△ABC的周长为（）A．8B．10C．13D．149．如图，⊙O的直径AB＝8cm，AM和BN是它的两条切线，切点分别为A、B，DE切⊙O 于E，交AM于D，交BN于C．设AD＝x，BC＝y，则y与x的函数图象是（）A．xy＝16B．y＝2x C．y＝2x2D．xy＝810．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，过点O作OD⊥AC交⊙O于点D，连接CD，若∠P＝30°，AP＝12，则CD的长为（）A．2B．3C．2D．4二．填空题11．如图，在平面直角坐标系xoy中，A（8，0），⊙O半径为3，B为⊙O上任意一点，P 是AB的中点，则OP的最小值是．12．为了测量一个光盘的半径，小周同学把直尺、光盘和三角板按图所示放置于桌面上，并测量出AB＝3cm，这张光盘的半径是．13．如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是．14．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝8cm，AB＝6cm，以O为圆心，4cm为半径作⊙O，点C为⊙O上一个动点，连接BC，D是BC的中点，连接AD，则线段AD的最大值是cm．15．如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M（，1）与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA＝MB，可求得△ABO的内切圆⊙O1的半径r1＝﹣1；若⊙O2与⊙O1、l、y 轴分别相切，⊙O3与⊙O2、l、y轴分别相切，…，按此规律，则⊙O2014的半径r2014＝．三．解答题16．如图，BC是半⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点A的切线交CB的延长线于点P，过点B的切线交CA的延长线于点E，AP与BE相交于点F．（1）求证：BF＝EF；（2）若AF＝，半⊙O的半径为2，求P A的长度．17．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．（1）求证：E为BC的中点；（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．18．在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．19．已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB同侧的两点，∠BAC＝25°（Ⅰ）如图①，若OD⊥AB，求∠ABC和∠ODC的大小；（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于点E，若OD∥EC，求∠ACD的大小．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，∴∠OBC＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO＝30°，∴∠BOC＝60°，∴∠C＝30°．故选：C．2．【解答】解：如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BPC＝∠A＝60°，∵∠A+∠P′＝180°，∴∠P′＝180°﹣60°＝120°，∴当P点在上时，∠BPC＝120°．故选：C．3．【解答】解：在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角小于60°．故选：A．4．【解答】解：∵AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D．∴AP＝AC，BD＝BP，∴AB＝AP+BP＝AC+BD，∵AC＝5，BD＝3，∴AB＝5+3＝8．故选：D．5．【解答】解：∵P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交P A、PB于点E、F，切点C在弧AB上，∴AE＝CE，FB＝CF，P A＝PB＝4，∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝P A+PB＝8．故选：B．6．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，点B为切点，∴OB⊥BC，∵∠A＝15°，∴∠BOC＝2∠A＝30°，∵BC＝2，∴OC＝2BC＝4，OB＝OD＝2，∴DC＝OC﹣OD＝4﹣2．故选：B．7．【解答】解：连接OD，如图，∵⊙O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，∵∠ACB＝90°，∴OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴＝，即＝，∴BE ＝．故选：B ．8．【解答】解：连接PE 、PF 、PG ，AP ，由题意可知：∠PEC ＝∠PF A ＝PGA ＝90°，∴S △PBC ＝BCPE ＝×4×2＝4，∴由切线长定理可知：S △PFC +S △PBG ＝S △PBC ＝4，∴S 四边形AFPG ＝S △ABC +S △PFC +S △PBG +S △PBC ＝5+4+4＝13，∴由切线长定理可知：S △APG ＝S 四边形AFPG ＝， ∴＝×AGPG ，∴AG ＝， 由切线长定理可知：CE ＝CF ，BE ＝BG ，∴△ABC 的周长为AC +AB +CE +BE＝AC +AB +CF +BG＝AF +AG＝2AG＝13，故选：C ．9．【解答】解：作DF ⊥BN 交BC 于F ，∵AM和BN是⊙O的两条切线，∴AB⊥AD，AB⊥BC，又∵DF⊥BN，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，∴四边形ABFD是矩形，∴BF＝AD＝x，DF＝AB＝8，∵BC＝y，∴FC＝BC﹣BF＝y﹣x；∵AM和BN是⊙O的两条切线，DE切⊙O于E，∴DE＝DA＝x，CE＝CB＝y，则DC＝DE+CE＝x+y，在Rt△DFC中，DC2＝DF2+CF2，∴（x+y）2＝64+（x﹣y）2，∴xy＝16故选：A．10．【解答】解：∵PC为切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO＝90°，∵∠P＝30°，∴OP＝2OC，∠POC＝90°﹣∠P＝60°，∵AP＝12，即OA+OP＝12，∴3OC＝12，解得OC＝4，∴∠AOC＝120°，∵OD⊥AC，∴＝，∴∠AOD＝∠COD＝60°，而OD＝OC，∴△OCD为等边三角形，∴CD＝OC＝4．故选：D．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：根据题意，当P在⊙O内，且OP+P A＝OA时，OP有最小值，如图，∵A（8，0），⊙O半径为3，∴OA＝8，OB＝3，∴AB＝8+3＝11，∵P是AB的中点，∴AP＝5，5，∴OP＝OA﹣AP＝8﹣5.5＝2.5，∴OP的最小值是2.5，故答案为2.5．12．【解答】解：作OB⊥AB，连接OA，∵∠CAD＝60°，∴∠CAB＝120°，∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠OAB＝∠CAB＝60°∵AB＝3cm，∴OA＝6cm，∴由勾股定理得OB＝3cm，∴光盘的半径是3cm．故答案为：3cm．13．【解答】解：如图1所示，S＝r（AB+BC+AC）＝r×42＝21r，△ABC过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图2，设CD＝x，由勾股定理得：在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝400﹣（7+x）2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣x2＝225﹣x2，∴400﹣（7+x）2＝225﹣x2，解得：x＝9，∴AD＝12，＝BC×AD＝×7×12＝42，∴S△ABC∴21r＝42，∴r＝2，该圆的最大面积为：S＝πr2＝π22＝4π（cm2），故答案为：4πcm2．14．【解答】解：由题意知OB＝10连接OC ，作直角△ABO 斜边中线OE ，连接ED ，则DE ＝OC ＝2，AE ＝OB ＝5． 因为AD ＜DE +AE ，所以当DE 、AE 共线时AD ＝AE +DE 最大为7cm ．故答案为：7．15．【解答】解：连接OO 1、AO 1、BO 1，作O 1 D ⊥OB 于D ，O 1 E ⊥AB 于E ，O 1 F ⊥OA 于F ，如图所示：则O 1 D ＝O 1 E ＝O 1 F ＝r 1，∵M 是AB 的中点，∴B （0，2），A （2，0），则S △OO 1B ＝×OB ×r 1＝r 1，S △AO 1O ＝×AO ×r 1＝r 1S △AO 1B ＝×AB ×r 1＝××r 1＝2r 1S △AOB ＝×2×2＝2；∵S △AOB ＝S △OO 1B +S △AO 1O +S △AO 1B ＝（3+）r 1＝2， ∴r 1＝＝﹣1；同理得：r 2＝，r 3＝…∴r n ＝，依此类推可得：⊙O 2014的半径r 2014＝；故答案为：．三．解答题（共4小题）16．【解答】（1）证明：连接OA，∵AF、BF为半⊙O的切线，∴AF＝BF，∠F AO＝∠EBC＝90°，∴∠E+∠C＝∠EAF+∠OAC＝90°，∵OA＝OC，∴∠C＝∠OAC，∴∠E＝∠EAF，∴AF＝EF，∴BF＝EF；（2）解：连接AB，∵AF、BF为半⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBE＝90°，且BF＝AF＝1.5，又∵tan∠P＝，即，∴PB＝，∵∠P AE+∠OAC＝∠AEB+∠OCA＝90°，且∠OAC＝∠OCA，∴∠P AE＝∠AEB，∠P＝∠P，∴△APB∽△CP A，∴，即P A2＝PBPC，∴，解得P A＝．17．【解答】解：（1）连接BD、OE，∵AB是直径，则∠ADB＝90°＝∠ADO+∠ODB，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°＝∠EDB+∠BDO，∴∠EDB＝∠ADO＝∠CAB，∵∠ABC＝90°，即BC是圆的切线，∴∠DBC＝∠CAB，∴∠EDB＝∠EBD，而∠BDC＝90°，∴E为BC的中点；（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM，∴AD：BM＝，而△ADH∽△MBH，∴DH：BH＝，则DH＝HM，∴HM：BH＝，∴∠BMH＝30°＝∠BAC，∴∠C＝60°，DE是直角三角形的中线，∴DE＝CE，∴△DEC为等边三角形，⊙O的面积：12π＝（AB）2π，则AB＝4，∠CAB＝30°，∴BD＝2，BC＝4，AC＝8，而OE＝AC＝4，四边形OBED的外接圆面积S2＝π（2）2＝4π，等边三角形△DEC边长为2，则其内切圆的半径为：，面积为，故△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比为：．18．【解答】（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∴图形G为△ABC的外接圆⊙O，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴＝，∴AD＝CD；（2）如图，∵AD＝CM，AD＝CD，∴CD＝CM，∵DM⊥BC，∴BC垂直平分DM，∴BC为直径，∴∠BAC＝90°，∵＝，∴OD⊥AC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线，∴直线DE与图形G的公共点个数为1．19．【解答】解：（Ⅰ）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠ABC＝65°，∵OD⊥AB，∴∠AOD＝90°，∴∠ACD＝∠AOD＝＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝25°，∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝70°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝70°；（Ⅱ）连接OC，∵EC是⊙O的切线，∴OC⊥EC，∴∠OCE＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠COE＝2∠BAC＝50°，∴∠OEC＝4024.3正多边形和圆一．选择题1．半径为R的圆内接正六边形边长为（）A．R B．R C．R D．2R2．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a等于（）A．cm B．2cm C．2cm D．cm3．如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（）A．2个B．4个C．6个D．8个4．正六边形具备而菱形不具备的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．每条对角线平分一组对边5．如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别交于点M，N，则下列结论正确的是（）A．EM：AE＝2：B．MN：EM＝：C．AM：MN＝：D．MN：DC＝：26．如图，用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是（）A．5B．6C．7D．87．正六边形的边心距为，这个正六边形的面积为（）A．B．C．D．128．第六届世界数学团体锦标赛于2015年11月25日至11月29日在北京举行，其会徽如图所示，它的内围与外围分别是由七个与四边形ABCD全等的四边形和七个与四边形BEFC 全等的四边形依次环绕而成的正七边形．设AD＝a，AB＝b，CF＝c，EF＝d，则该会徽内外两个正七边形的周长之和为（）A．7（a+b+c﹣d）B．7（a+b﹣c+d）C．7（a﹣b+c+d）D．7（b+c+d﹣a）9．用一枚直径为25mm的硬币完全覆盖一个正六边形，则这个正六边形的最大边长是（）A．mm B．mm C．mm D．mm 10．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（）A．△OAB是等边三角形B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长C．OC平分弦ABD．∠BAC＝30°二．填空题11．如图，⊙O的半径为1，作两条互相垂直的直径AB、CD，弦AC是⊙O的内接正四边形的一条边．若以A为圆心，以1为半径画弧，交⊙O于点E，F，连接AE、CE，弦EC 是该圆内接正n边形的一边，则该正n边形的面积为．12．如图，圆O的周长是1cm，正五边形ABCDE的边长是4cm，圆O从A点出发，沿A →B→C→D→E→A顺时针在正五边形的边上滚动，当回到出发点时，则圆O共滚动了周．13．如图，⊙O的半径为，以⊙O的内接正八边形的一边向⊙O内作正方形ABCD，则正方形ABCD的面积为．14．如图，A，B，C是⊙O上顺次三点，若AC，AB，BC分别是⊙O内接正三角形，正方形，正n边形的一边，则n＝．15．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE边长是6，则它的外接圆心P的坐标是．三．解答题16．已知正方形的面积为2平方厘米，求它的半径长、边心距和边长．17．如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧上任意一点，求证：为定值．18．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为10；求图中阴影部分的面积．19．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接BM，CM．（1）求证：BM＝CM；（2）求∠BOM的度数．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：如图，ABCDEF是⊙O的内接正六边形，连接OA，OB，则三角形AOB是等边三角形，所以AB＝OA＝R．故选：B．2．【解答】解：如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于D，由正六边形，得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，∴∠BCD＝∠BAC＝30°，由AC＝3，得CD＝1.5，Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，∴AB＝2BD＝a，∴AD＝＝a，即a＝1.5，∴a＝（cm），故选：A．3．【解答】解：如图，∵AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，∴OA＝OE＝AF＝EF，∴四边形AOEF是平行四边形，同理：四边形DEFO，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形F ABOD都是平行四边形，共6个，故选：C．4．【解答】解：A、正六边形和菱形均具有，故不正确；B、正六边形和菱形均具有，故不正确；C、正六边形具有，而菱形不具有，故正确；D、正六边形和菱形均具有，故不正确；故选：C．5．【解答】证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴DE＝AE＝AB，∠AED＝∠EAB＝108°，∴∠ADE＝∠AEM＝36°，∴△AME∽△AED，∴，∴AE2＝ADAM，∵AE＝DE＝DM，∴DM2＝ADAM，设AE＝DE＝DM＝2，∴22＝AM（AM+2），∴AM＝﹣1，（负值设去），∴EM＝BN＝AM＝﹣1，AD＝+1，∵BE＝AD，∴MN＝BE﹣ME﹣BN＝3﹣，∴MN：CD＝：2，故选：D．6．【解答】解：如图，圆心角为∠1，∵五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°，∴五边形的每一个内角为：540°÷5＝108°，∴∠1＝108°×2﹣180°＝216°﹣180°＝36°，∵360°÷36°＝10，∵360°÷36°＝10，∴他要完成这一圆环共需10个全等的五边形．∴要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是：10﹣3＝7．故选：C．7．【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．在Rt△AOG中，OG＝，∠AOG＝30°，∵OG＝OA cos 30°，∴OA＝＝＝2，∴这个正六边形的面积＝6S＝6××2×＝6．△OAB故选：C．8．【解答】解：如图，∵它的内围与外围分别是由七个与四边形ABCD全等的四边形和七个与四边形BEFC全等的四边形依次环绕而成的正七边形，∴AM＝BM﹣AB＝AD﹣AB＝a﹣b，FN＝EF+EN＝EF+CF＝c+d，∴内外两个正七边形的周长之和为7（a﹣b）+7（c+d）＝7（a﹣b+c+d），故选：C．9．【解答】解：根据题意得：圆内接半径r为mm，如图所示：则OB＝，∴BD＝OB sin30°＝×＝（mm），则BC＝2×＝（cm），完全覆盖住的正六边形的边长最大为mm．故选：A．10．【解答】解：∵OA＝AB＝OB，∴△OAB是等边三角形，选项A正确，∴∠AOB＝60°，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°，AC＝BC，弧AC＝弧BC，∴＝12，∠BAC＝∠BOC＝15°，∴选项B、C正确，选项D错误，故选：D．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：如图，连接OE，根据题意可知：AB⊥CD，AE＝AO＝EO，∴∠AOC＝90°，∠AOE＝60°，∴∠EOC＝30°，∴EC是该圆内接正12边形的一边，∵△COE是顶角为30度的等腰三角形，作EG⊥OC于点G，∴EG＝OE＝，＝12×OCEG＝12×1×＝3．∴正12边形的面积为：12S△COE故答案为：3．12．【解答】解：圆O从A点出发，沿A→B→C→D→E→A顺时针在正五边形的边上滚动，∵圆O的周长是1cm，正五边形ABCDE的边长是4cm，∴圆在边上转了4×5＝20圈，而圆从一边转到另一边时，圆心绕五边形的一个顶点旋转了五边形的一个外角的度数，∴圆绕五个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，∴圆回到原出发位置时，共转了21圈．故答案为：21．13．【解答】解：连接OA、OD，过A作AE⊥OD于E，如图所示：则∠AEO＝∠AED＝90°，∵∠AOD是正八边形的中心角，∴∠AOD＝＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OE＝OA＝1，∴DE＝OD﹣OE＝﹣1，∴AD2＝AE2+DE2＝1+（﹣1）2＝4﹣2，∴正方形ABCD的面积＝AD2＝4﹣2，故答案为：4﹣2．14．【解答】解：如图，连接OA，OC，OB．∵若AC、AB分别是⊙O内接正三角形、正方形的一边，∴∠AOC＝120°，∠AOB＝90°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝30°，由题意得30°＝，∴n＝12，故答案为：12．15．【解答】解：连接P A，P A，∵正六边形OABCDE的外接圆心是P，∴∠OP A＝＝60°，PO＝P A，∴△POA是等边三角形，∴PO＝P A＝OA＝6，过P作PH⊥OA于H，则∠OPH＝∠OP A＝30°，OH＝OA＝3，∴PH＝＝＝3，∴P的坐标是（3，3），故答案为：（3，3）．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：∵正方形的面积为2，∴正方形的边长为AB＝，边心距OC＝AB＝，对角线长为2，∴半径为1，∴正方形的半径为1，边心距为，边长为．17．【解答】解：延长P A到E，使AE＝PC，连接BE，∵∠BAE+∠BAP＝180°，∠BAP+∠PCB＝180°，∴∠BAE＝∠PCB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，在△ABE和△CBP中，，∴△ABE≌△CBP（SAS），∴∠ABE＝∠CBP，BE＝BP，∴∠ABE+∠ABP＝∠ABP+∠CBP＝90°，∴△BEP是等腰直角三角形，∴P A+PC＝PE＝PB．即：＝，∴为定值．18．【解答】解：连接CO、DO，∴S阴影部分＝6（S扇形OCD﹣S正三角形OCD）＝6（﹣25）＝100π﹣150．19．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴＝，∵M为的中点，∴＝，∴＝，∴BM＝CM；（2）解：连接OA、OB、OM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝90°，∵M为的中点，∴∠AOM＝45°，∴∠BOM＝∠AOB+∠AOM＝135°．24.4弧长和扇形面积一．选择题1．圆锥的母线长为9，底面圆的直径为8，则圆锥的侧面积为（）A．18πB．36πC．54πD．72π2．钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过长度（）cm A．πB．πC．πD．π3．一个圆锥的侧面积是6π，母线长为3，则此圆锥的底面半径为（）A．πB．2C．3D．44．已知扇形的圆心角为120°，半径为5cm，则此扇形的弧长为（）A．πcm B．πcm C．πcm D．πcm5．一个扇形的圆心角为120°，半径为，则这个扇形的面积是（）A．B．4πC．2πD．π6．如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以2cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为（）A．πcm2B．2πcm2C．4πcm2D．nπcm27．如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD，若AC＝10，∠BAC＝30°，则图中阴影部分的面积为（）A．5πB．7.5πC．D．π8．如图，正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形的边长2为半径画弧，形成树叶形（阴影）图案，则树叶形图案的面积为（）A．B．π﹣2C．2π﹣2D．2π﹣49．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝，分别以A、B为圆心，AC，BC为半径在△ABC的外侧构造扇形CAE，扇形CBD，且点E，C，D在同一条直线上，若BC＝2AC，且的长度恰好是的倍，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．π10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x 轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，若AO＝OB＝1，则阴影部分面积为（）A．πB．π﹣1C．+1D．二．填空题11．圆锥的底面半径为5，母线长为7，则圆锥的侧面积为．12．圆锥的高为3cm，底面半径为2cm，则圆锥的侧面积是cm2．13．如图，圆锥的母线长l为10cm，侧面积为50πcm2，则圆锥的底面圆半径r＝cm．14．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE＝36°，则图中阴影部分的面积为．15．如图，在扇形OAB中，点C在上，∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，连接AC，若OA＝2，则图中阴影部分的面积为．三．解答题16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝2，⊙A与BC相切于点D，且交AB、AC于M、N两点，求图中阴影部分的面积．（保留π）17．已知：如图，C为半圆O上一点，AC＝CE，过点C作直径AB的垂线CP，弦AE分别交PC、CB于点D、F．（1）求证：AD＝CD；（2）若DF＝，∠CAE＝30°，求阴影部分的面积．18．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，O为对角线BD的中点，分别以OB，OD为直径作⊙O1，⊙O2．（1）求⊙O1的半径；（2）求图中阴影部分的面积．19．如图1，正方形ABCD是一个6×6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1．位于AD中点处的光点P按图2的程序移动．（1）请在图1中画出光点P经过的路径；（2）求光点P经过的路径总长（结果保留π）．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：∵底面圆的直径为8，∴底面圆的半径为4，∴圆锥的侧面积＝×4×2π×9＝36π．故选：B．2．【解答】解：分针40分钟转过的度数为：360°×＝240°，分针针端转过长度＝＝cm，故选：B．3．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，根据题意得2πr3＝6π，解得r＝2，即圆锥的底面半径为2．故选：B．4．【解答】解：l＝＝π（cm）．故选：B．5．【解答】解：由扇形面积公式得：，故选：A．6．【解答】解：∵n边形的外角和为360°，半径为2cm，＝＝4πcm2，∴S阴影故选：C．7．【解答】解：∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵∠BAC＝30°，AC＝10，∴BC＝AC＝5，AB＝BC＝5，∠ACB＝60°，∵OC＝OB，∴△OBC 是等边三角形，∴∠BOC ＝∠AOD ＝60°，∵S △AOD ＝S △DOC ＝S △BOC ＝S △AOB ，∴S 阴＝2S 扇形OAD＝2×＝ 故选：C ．8．【解答】解：观察图形可知：S 树叶形图案＝2S 扇形﹣S 正方形＝2×﹣22＝2π﹣4故选：D ．9．【解答】解：如图，连接ED ，作AM ⊥EC 于M ，BN ⊥CD 于N ．∵BC ＝2AC ，∴设AC ＝x ，BC ＝2x ，∵∠C ＝90°，∴x 2+（2x ）2＝5，∴x ＝1，2x ＝2，AC ＝1，BC ＝2，∵∠AMC ＝∠BNC ＝∠ACB ＝90°，∴∠ACM +∠CAM ＝90°，∠ACM +∠BCN ＝90°，∴∠BCN ＝∠CAM ，∵∠CBN +∠BCN ＝90°，∴∠CAM +∠CBN ＝90°，∵AE ＝AC ，AM ⊥EC ，BC ＝BD ，BN ⊥CD ，∴∠CAE ＝2∠CAM ，∠CBD ＝2∠CBN ，∴∠CAE +∠CBD ＝180°， ∵的长度恰好是的倍，设∠CBD ＝m ，∠CAE ＝n ，∴＝×，∴4m ＝5n ，∵m +n ＝180°，∴m ＝100°，n ＝80°，∴S 阴＝+＝，故选：B ．10．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，OA ＝OB ＝1，∴AC ＝BC ＝， ∴△ABC 是等腰直角三角形，∴AB ＝2OA ＝2，∵△ABC 绕点B 顺时针旋转点A 在A ′处，∴BA ′＝AB ＝2，∴BA ′＝2OB ，∴∠OA ′B ＝30°，∴∠A ′BA ＝60°，即旋转角为60°，S 阴影＝S 扇形BAA ′+S △A ′BC ′﹣S △ABC ﹣S 扇形BCC ′，＝S 扇形ABA ′﹣S 扇形CBC ′， ＝﹣， ＝﹣＝．故选：D ．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：根据题意得，圆锥的侧面积＝×2π×5×7＝35π． 故答案为35π．12．【解答】解：∵圆锥的底面半径为2cm ，高为3cm ， ∴圆锥的母线长为cm ，∴圆锥的侧面积为π×2×＝2π（cm ）．故答案为：2π．13．【解答】解：∵圆锥的母线长是10cm，侧面积是50πcm2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l＝＝＝10π（cm），∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r＝＝＝5（cm），故答案为：5．14．【解答】解：连接OC，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴四边形CDOE是矩形，∴CD∥OE，∴∠DEO＝∠CDE＝36°，由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，∴∠COB＝∠DEO＝36°∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，∵S＝＝10π扇形OBC∴图中阴影部分的面积＝10π，故答案为10π．15．【解答】解：连接OC，作CM⊥OB于M，∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，AB＝2，∵∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，∴AD＝＝，BD＝AB＝，∵∠ABO＝45°，∠ABC＝30°，∴∠OBC＝75°，∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝75°，∴∠BOC ＝30°，∴∠AOC ＝60°，CM ＝OC ＝＝1，∴S 阴影＝S △ABD +S △AOB ﹣S 扇形OAB +（S 扇形OBC ﹣S △BOC ）＝S △ABD +S △AOB ﹣S 扇形OAC ﹣S △BOC ＝+×﹣﹣ ＝1+﹣π．故答案为1+﹣π．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：连接AD ，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，BC ＝2，⊙A 与BC 相切于点D ，则AD ⊥BC ，，，∴∠B ＝30°，，∴S △ABC ﹣S 扇形AMN ＝．17．【解答】（1）证明：∵AC＝CE，∴弧AC＝弧CE，∴∠CAE＝∠B．∵CP⊥AB，∴∠CPB＝90°∴∠B+∠BCP＝90°．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°．∴∠ACP+∠BCP＝90°．∴∠B＝∠ACP．∴∠CAE＝∠ACP．（2）解：连接OC，∵∠CAE＝30°，∴∠ACD＝30°，∠COA＝60°．∴∠CDF＝60°．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°．∴∠BCP＝60°．∴∠BCP＝∠DCF＝∠CFD＝60°．∴AD＝CD＝DF＝．∴DP＝AD sin30°＝．∴CP＝CD+DP＝2．（5分）∴S阴影＝S扇形﹣S△AOC＝﹣＝．（6分）18．【解答】解：（1）在正方形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝90°，∴BD＝＝4∴BO1＝BD＝∴⊙O1的半径＝．（2）设线段AB与圆O1的另一个交点是E，连接O1E ∵BD为正方形ABCD的对角线∴∠ABO＝45°∵O1E＝O1B∴∠BEO1＝∠EBO1＝45°∴∠BO1E＝90°∴S1＝S扇形O1BE ﹣S△O1BE＝＝﹣1根据图形的对称性得：S1＝S2＝S3＝S4∴S阴影＝4S1＝2π﹣4．19．【解答】解：（1）如图；（2）∵，∴点P经过的路径总长为6π．。
人教版九年级数学上册24.2.1： 点和圆的位置关系 精练题(含答案)
点和圆的位置关系精练题1．在平面内，⊙O 的半径为5cm ，点P 到圆心O 的距离为3cm ，则点P 与⊙O 的位置关系是 ．答案：点P 在⊙O 内．2．⊙O 的半径为5，圆心的坐标为（0，0），点P 的坐标为（4，2），则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点P 在圆内B ．点P 在圆外C ．点P 在圆上D ．点P 在⊙O 内或在⊙O 外答案：A ．3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，AB =10，CD 是斜边AB 上的中线，以AC 为直径作⊙O ，设线段CD 的中点为P ，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 外C ．点P 在⊙O 上D ．无法确定BA答案：A ．4．下列条件：①已知半径；②过矩形四边的中点；③过已知直线l 上两点和直线l 外一点；④过双曲线6y x=第一象限图像上三点，其中只能确定一个圆的是 （ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④答案：C ．5．下列命题是假命题的是 （ ）A ．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B ．三角形的外心到三边的距离相等C ．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D ．三角形任意两边的中垂线的交点是这个三角形的外心答案：B ．6．若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a >b ），则此圆的半径为（ ）A ．2a b +B ．2a b -C ．2a b +或2a b - D ．a b +或a b - 答案：C ．7．已知矩形ABCD 的边AB =15，BC =20，以B 为圆心作圆，使A 、C 、D 三点至少有一点在⊙B 内，且至少有一点在⊙B 外，则⊙B 的半径r 的取值范围是（ ）A ．r >15B ．15<r <20C ．15<r <25D ．20<r <25 答案：C ．8．用反证法证明一个命题时，第一步很重要，请写出下列命题证明时的第一步假设：⑴三角形中至少有一个角不小于60°.第一步假设为 .⑵梯形的对角线不能互相平分.第一步假设为 .⑶三角形中至多只有一个角为钝角.第一步假设为 .答案⑴三角形中三个角都小于60° ⑵梯形的对角线互相平分 ⑶三角形中至少有两个角为钝角9．若O 为△ABC 的外心，且 ∠BOC =60°，则∠BAC = ．分析：本题没有给出图形，根据题意可画出符合题意的图形，可以看出，三角形的顶点A 可能在优弧BC 上，此时∠BAC =12BOC ∠=30°；也可能在劣弧BC 上，此时∠BAC =11(360)(36060)15022BOC ︒-∠=︒-︒=︒．答案：30°或150°10．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面，请你补全这个输水管道的圆形截面．答案：略11．如图，△ABC 中，BD ，CE 是△ABC 的高，试说明B ，C ，D ，E 四点在同一个圆上．ABC D E解：如图，取BC 的中点O ，连接OD ，OE ， O ED C BA则OB =OC =12BC ． 又因为BD ，CE 是△ABC 的高，所以OE =OD =12BC =OB =OC ． 所以B ，C ，D ，E 四点在以O 为圆心，OB 为半径的圆上．12．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，∠A =30°，AC =3，以C为圆心，为半径画⊙C ，指出点A ，B ，D 与⊙C 的位置关系．若要使⊙C 经过点D ，则这个圆的半径应为多长？D CBA解：由∠ACB =90°，∠A =30°，AC =3，可求得BCAB=CD =32，由已知得r BC =r ，CA >r ，CD <r ．所以点A在⊙C外，点B在⊙C上，点D在⊙C内．因为要使⊙C经过点D，所以当r=CD=1.5时，⊙C经过点D．13．已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD与点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．ED CBA解答：因为点D在∠BAC的平分线上，所以∠1=∠2，A32 1BCDE又因为DE∥AC，所以∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以AE=DE．又因为BD⊥AD于点D，所以∠ADB=90°．所以∠EBD+∠1=∠EDB+∠3=90°．所以∠EBD=∠EDB．所以BE=DE．所以AE=BE=DE．因为过A，B，D三点确定一个圆，又∠ADB=90°，所以AB是A，B，D所在圆的直径．所以点E是A，B，D所在圆的圆心．14．如图，直线AB⊥CD于点O，线段PQ=a（定值），现在让线段PQ的两个端点Q、P分别在直线AB、CD上任意滑动，试探求线段PQ的中点M一定在什么图形上移动，写出你探求的结果，并在图上画出来．解：因为AB⊥CD，M为PQ的中点，所以OM=12 PQ．又因为PQ=a为定值，所以OM=12a为定值．线段PQ的中点M在以O为圆心，12a为半径的圆上．15．如图，公路MN和公路PQ在P点交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；若受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少？解：如图，过A作AB⊥MN于B，因为AP=160，∠APB=30°所以AB=80．因为80<100，所以学校会受到影响．DC B A QP NM设MN 上有点C 、D ，且AC =AD =100，则拖拉机在CD 之间时学校受到影响，在R t △ABC 中，AC =100，AB =80，则BC =60．同理BD =60，所以CD =120．180km/h=5m/s120÷5=24（秒）答：学校会受到影响，影响时间为24秒16．在等腰△ABC 中，B 、C 为定点，且AC =AB ，D 为BC 的中点，以BC 为直径作⊙D ．问：⑴∠A 等于多少度时，点A 在⊙D 上？⑵∠A 等于多少度时，点A 在⊙D 内部？⑶∠A 等于多少度时，点A 在⊙D 外部？解：A 2A 1D CB A⑴因为点A 在⊙D 上，且AD 为BC 的中线，AB =AC ，所以AD ⊥BC ，所以BD =DC =AD ，所以∠BAD =12∠BAC =45°．所以∠BAC =90°．即∠BAC=90°时，点A在⊙D上．⑵因为点A1在⊙D内，所以∠B A1D>∠BAD．所以∠B A1C>∠BAC，即∠B A1C>90°．所以当∠B A1C的度数大于90°且小于180°时，点A在⊙D内部．⑶与⑵类似，当顶点A的度数大于0°且小于90°时，点A在⊙D外部．。
点和圆、直线和圆的位置关系(同步练习题)( 含答案)
２4．2点和圆、直线和圆的位置关系24．２．1 点和圆的位置关系1.如图,⊙O的半径为r.(1)点Ａ在⊙O外,则OＡ__＞_＿_r；点Ｂ在⊙Ｏ上,则OB_＿＝___r;点Ｃ在⊙Ｏ内,则ＯC＿_＜___ｒ.（２)若OA＞r,则点A在⊙Ｏ＿＿外_＿_;若OB＝r,则点Ｂ在⊙O__上___；若OC<r,则点Ｃ在⊙O＿_内＿_＿．２．在同一平面内，经过一个点能作_＿无数_＿_个圆；经过两个点可作＿_无数___个圆;经过__不在同一直线上＿__的三个点只能作一个圆.３.三角形的外心是三角形外接圆的圆心，此点是_＿三边垂直平分线的交点_＿＿．４.反证法首先假设命题的__结论__＿不成立，经过推理得出矛盾，由此判定假设＿_错误___，从而得到原命题成立．知识点1：点与圆的位置关系1．已知点Ａ在直径为8 ｃm的⊙O内,则OA的长可能是( D)A.８cｍＢ.6 cｍC．4 ｃｍD．2 cm２.已知圆的半径为6 cm，点Ｐ在圆外,则线段OP的长度的取值范围是__OP＞６_cｍ___．3.已知⊙Ｏ的半径为７cｍ，点A为线段OP的中点,当OP满足下列条件时,分别指出点A与⊙Ｏ的位置关系:(1)OP=8cm;（２)OＰ＝1４cｍ;（3)ＯP=16cm.解：(1）在圆内（２)在圆上(3)在圆外知识点２:三角形的外接圆４.如图,点O是△ABC的外心,∠ＢＡＣ＝5５°，则∠BOC=__1１0°_＿_．5.直角三角形外接圆的圆心在_＿斜边的中点__＿上.若直角三角形两直角边长为6和8，则该直角三角形外接圆的面积为__２5π＿_＿.6．一个三角形的外心在其内部,则这个三角形是( C)A．任意三角形B.直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形7．如图,一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口A，B,C，这三个洞口不在同一条直线上,请问这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾及三个洞口？作出这个位置.解：图略.连接AB,ＢC，分别作线段AＢ,BＣ的垂直平分线,且相交于点Ｏ，点O 即为所求知识点3:反证法8．用反证法证明:“垂直于同一条直线的两条直线平行”第一步先假设( D)A.相交Ｂ.两条直线不垂直C．两条直线不垂直于同一条直线D.垂直于同一条直线的两条直线相交9.用反证法证明:“△ABC中至少有两个锐角”，第一步假设为__△ABC中至多有一个锐角___．10．用反证法证明:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．已知：如图，直线l1，l２被l3所截,∠１＋∠2=1８0°，求证：l1＿＿∥___ｌ2.证明：假设l1__不平行＿_＿l２，即l1与l2相交于一点P,则∠1+∠2+∠Ｐ__=___180°（__三角形内角和定理__＿),所以∠1+∠２__<___18０°，这与＿_已知___矛盾,故__假设＿＿_不成立，所以__ｌ1∥l２___．11.在数轴上，点A所表示的实数为3,点B所表示的实数为a,⊙A的半径为2.下列说法中,不正确的是(A)A.当a＜５时,点B在⊙A内Ｂ.当１＜a＜5时,点B在⊙A内Ｃ．当a<1时,点B在⊙A外D．当a>5时,点B在⊙A外12.如图,△AＢＣ的外接圆圆心的坐标是_＿(－2，-1)___．1３.在平面直角坐标系中,⊙A的半径是４，圆心Ａ的坐标是(2，0)，则点P(-2,1)与⊙A 的位置关系是_＿点P在⊙A外___.1４.若O为△ABC的外心，且∠BOC＝60°,则∠ＢAＣ=__30°或150°_＿＿.15.如图，△AＢＣ中,AC=３，ＢC=4,∠C=90°，以点C为圆心作⊙C,半径为r.(1)当ｒ在什么范围时，点A,B在⊙C外?(２)当r在什么范围时,点A在⊙C内,点B在⊙C外？解:(1)0<r＜3 (2)3＜r<416．如图,⊙O′过坐标原点，点O′的坐标为（１，1)，试判断点P(-1,1),Ｑ（１,0),R(2，2)与⊙O′的位置关系.解：点P在⊙O′外，点Q在⊙O′内，点R在⊙O′上1７.小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A,B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.(1)请你帮小明把花坛的位置画出来;（尺规作图,不写作法,保留作图痕迹）(2）若在△ＡBC中，AB＝8米,AC=6米,∠BAC=9０°，试求小明家圆形花坛的面积．解:（1）用尺规作出两边的垂直平分线，交于O点，以O为圆心，OA长为半径作出⊙O,⊙O即为所求作的花坛的位置(图略)(2）２５π平方米18．如图①，在△ABC中,BＡ＝BＣ，Ｄ是平面内不与点A，B,Ｃ重合的任意一点，∠ABＣ＝∠DBE，ＢD=BE.(1)求证:△ＡBD≌△CBE;（2）如图②，当点D是△AＢＣ的外接圆圆心时,请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．解:(1)由SAS可证（２)四边形ＢECＤ是菱形.证明:∵△ＡBD≌△ＣBE,∴CE＝ＡD.∵点D是△ＡBC的外接圆圆心，∴DA=ＤB=ＤC.又∵BD=BE,∴BD=BE=EＣ=ＣＤ，∴四边形BECD是菱形ﻬ２4．2.２直线和圆的位置关系第1课时直线和圆的位置关系１.直线和圆有＿_相交___、＿_相切___、__相离＿__三种位置关系.2.直线a与⊙O＿_有唯一_＿＿公共点，则直线a与⊙O相切；直线b与⊙O__有两个___公共点,则直线b与⊙Ｏ相交；直线c与⊙O__没有___公共点,则直线c与⊙Ｏ相离．3．设⊙O的半径为r，直线到圆心的距离为ｄ，则:（1）直线ｌ1与⊙O__相离___,则d__＞__＿ｒ； (2)直线l 2与⊙O__相切_＿_，则d__=＿__r; (３）直线ｌ3与⊙O__相交___,则d_＿＜___ｒ.知识点１:直线与圆的位置关系的判定 1.(2０14·白银)已知⊙Ｏ的半径是６ ｃｍ,点O 到同一平面内直线ｌ的距离为５ cm ,则直线ｌ与⊙O 的位置关系是( A )A .相交B ．相切C ．相离 Ｄ.无法判断2.已知一条直线与圆有公共点，则这条直线与圆的位置关系是( D ) Ａ．相离 Ｂ．相切 C .相交 Ｄ．相切或相交3．在平面直角坐标系xO ｙ中,以点(－3，4)为圆心,4为半径的圆( C ) A ．与x 轴相交,与y 轴相切 B .与x 轴相离,与ｙ轴相交 Ｃ.与x 轴相切,与ｙ轴相交 D ．与x 轴相切,与y 轴相离4.在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AB ＝４ c ｍ,ＢC ＝2 cm ，以C 为圆心,r 为半径的圆与AB 有何种位置关系？请你写出判断过程.(1)r ＝1.5 ｃm ；(2)r ＝错误! ｃm ;（3)r=2 cm .解:过点C 作CD ⊥AB,垂足为D,可求CD ＝＼r （3).(１)r ＝1.5 cm 时，相离;(2）r ＝错误! c ｍ时，相切；(3)r=2 ｃｍ时，相交知识点２:直线与圆的位置关系的性质5.直线l 与半径为r 的⊙O 相交，且点O 到直线l 的距离为5,则半径r 的取值范围是( Ａ )Ａ．r>5 B ．ｒ＝5 C .0＜r<5 D ．0＜r ≤56．如图,⊙O 的半径ＯC=5 cm ,直线l ⊥ＯC,垂足为H ，且l 交⊙O 于Ａ,B 两点,AB=8 cm ，则l 沿O Ｃ所在的直线向下平移,当l 与⊙Ｏ相切时,平移的距离为（ Ｂ )Ａ.1 cm B ．2 cm Ｃ．3 cm D ．4 cm７.已知⊙O 的圆心O 到直线ｌ的距离为d ，⊙O 的半径为r,若d ，ｒ是方程x 2-4x ＋ｍ=0的两个根,且直线l 与⊙O 相切，则m 的值为＿_４_＿_.8．在Ｒｔ△ABC 中,∠Ａ＝90°，∠C ＝６0°,ＢO ＝ｘ，⊙O 的半径为2，求当x 在什么范围内取值时,A Ｂ所在的直线与⊙O 相交、相切、相离?解:过点O 作OD ⊥AB 于D,可得OD ＝12ＯB ＝错误!x.当AB 所在的直线与⊙O 相切时,OＤ=r=2，∴B Ｏ=4,∴0<ｘ<4时,相交；x=4时,相切；x ＞4时,相离9．已知⊙O的面积为9πcm2，若点Ｏ到直线l的距离为πcm,则直线l与⊙O的位置关系是( C）A.相交Ｂ．相切Ｃ．相离Ｄ.无法确定1０.已知⊙O的半径为３,直线ｌ上有一点Ｐ满足PＯ=３，则直线ｌ与⊙O的位置关系是（D)A.相切B．相离Ｃ.相离或相切D.相切或相交11.已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为ｄ．若直线l与⊙O相切，则以d,r 为根的一元二次方程可能为( B）A．x2－3ｘ＝０Ｂ．x2－6x＋9＝0C．x2－5ｘ＋4＝0Ｄ.ｘ2＋4ｘ+4=012．如图,在矩形ABＣＤ中,AＢ=6，ＢC＝３，⊙O是以AB为直径的圆,则直线DC与⊙O的位置关系是__相切___.13．已知⊙O的半径是５，圆心O到直线ＡB的距离为２，则⊙O上有且只有＿＿3__＿个点到直线AＢ的距离为３．１４．如图，⊙Ｐ的圆心P（-３,2)，半径为3，直线MＮ过点Ｍ(５,0)且平行于y轴，点N在点M的上方.(1）在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′，根据作图直接写出⊙P′与直线MＮ的位置关系；（2)若点N在(1)中的⊙Ｐ′上,求PN的长.解:(1)图略,⊙P′与直线ＭＮ相交（2）连接PＰ′并延长交ＭN于点Q，连接PN,Ｐ′N.由题意可知:在Rｔ△P′QN中，P′Q=2,P′N=3，由勾股定理可求出QN＝＼r(5）；在R ｔ△PＱN中，PQ＝3+5=8,ＱN＝错误!,由勾股定理可求出PN＝错误!＝错误!１5．如图，半径为2的⊙P的圆心在直线y=2ｘ－1上运动.(1)当⊙Ｐ和ｘ轴相切时，写出点P的坐标，并判断此时y轴与⊙Ｐ的位置关系;(2）当⊙P和ｙ轴相切时,写出点P的坐标，并判断此时x轴与⊙P的位置关系;(３)⊙Ｐ是否能同时与x轴和y轴相切？若能，写出点P的坐标;若不能,说明理由．解：∵⊙Ｐ的圆心在直线y=2x－1上,∴圆心坐标可设为(x，2x－１)．(１)当⊙P和ｘ轴相切时，2x-1=2或２ｘ-１=－2，解得x＝1.5或x＝-0.５,∴P1（１.5,2），P2(-０.5,-2).∵1.5<２，|－0．5|<2，∴y轴与⊙Ｐ相交(2)当⊙P和y轴相切时，x＝2或－2,得2x-１=3或２ｘ－1=-5,∴P1（2,３),P2(-2,-5)．∵|－5|>2，且｜3|>2，∴x轴与⊙P相离(3)不能．∵当x＝2时,y=３,当x＝－2时,ｙ=－5，|－5｜≠2，３≠2，∴⊙P不能同时与x轴和y轴相切16.已知∠MＡN＝30°,Ｏ为边ＡN上一点，以Ｏ为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D,E 两点，设AD＝x．(1）如图①,当x取何值时,⊙O与AM相切？(2)如图②,当x取何值时，⊙O与AM相交于B,C两点，且∠BOＣ＝90°？解：（1)过O点作OＦ⊥ＡM于F,当OＦ＝r＝２时,⊙O与AM相切，此时OA＝4，故x＝ＡＤ=２(2)过O点作ＯG⊥AM于G,∵OB=OC=２，∠BＯＣ＝90°，∴BC=2＼r(２)，∴ＢG=CG ＝＼ｒ(２),∴OG＝错误!．∵∠A=３０°，∴ＯA=2错误!,∴ｘ=AＤ=2错误!－２第2课时切线的判定与性质1．经过半径的__外端___，并且＿_垂直＿__于这条半径的直线是圆的切线．2．圆的切线必＿_垂直_＿＿于过＿_切点___的半径.知识点1:切线的判定1.下列说法中，正确的是( D)Ａ.AB垂直于⊙O的半径,则AB是⊙O的切线Ｂ.经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线D.圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线２．如图,△ＡＢＣ的一边AB是⊙O的直径,请你添加一个条件,使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为＿_∠AＢＣ=90°＿__.3.如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上，点Ｃ在⊙O上,AＣ＝ＣD,∠D=30°．求证:CD 是⊙O的切线．解：连接OC.∵AC=CＤ,∠Ｄ=30°,∴∠Ａ＝∠D＝3０°.∵OＡ＝OC,∴∠ＯCA＝∠A=30°，∴∠COD＝60°，∴∠ＯCD＝90°,∴OC⊥CＤ,∴CD是⊙Ｏ的切线4．(2014·孝感)如图,在Rt△ABC中，∠ACＢ=90°.(1）先作∠ＡＢC的平分线交AC边于点Ｏ,再以点O为圆心，OC为半径作⊙O；(要求:尺规作图,保留作图痕迹，不写作法)(2）请你判断（1)中AB与⊙O的位置关系,并证明你的结论.解:(1)如图（２）ＡB与⊙Ｏ相切．证明:作OＤ⊥AB于点D,∵BO平分∠AＢC，∠ACB=９0°，OD⊥ＡＢ，∴OD＝OC,∴ＡＢ与⊙Ｏ相切知识点2:切线的性质5.(2014·邵阳）如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C,D两点,且经过圆心O，边ＡB与⊙O相切,切点为Ｂ.已知∠A＝30°,则∠C的大小是(A）Ａ.３0°B．45°C．60°Ｄ．40°，第5题图),第6题图),第7题图)6.如图,⊙O的半径为3，Ｐ是CB延长线上一点,ＰO＝５，PA切⊙O于Ａ点,则PA＝__4__＿.7.如图，已知△ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,MN与⊙O相切于点A.若∠ＭAＢ＝30°，则∠Ｂ＝_＿60°＿__.8.如图,等腰△OＡB中,OA＝OB,以点O为圆心作圆与底边ＡB相切于点Ｃ.求证:AC=BC.解:∵ＡB切⊙O于点Ｃ，∴OＣ⊥ＡB.∵OA=ＯＢ，∴AC＝BＣ9.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C,交AB的延长线于点D,且CＯ＝CD，则∠PCA=(D）Ａ．30°B．４5°C.60°D.67．5°,第９题图）,第1０题图),第１1题图)１０．如图,已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AＢ，点Ｐ是⊙O上的一个动点，那么∠ＯAP的最大值是(A)A．３0°B.45°C.60°D．90°11．如图,已知AB是⊙O的直径,ＡＤ切⊙O于点A,点Ｃ是错误!的中点，则下列结论不成立的是(D)A．OC∥ＡE B．EC＝ＢCC．∠DAE＝∠ABE D．ＡC⊥OE12．(20１4·自贡)如图，一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等.⊙Ｏ与ＢC相切于点Ｃ,与AC相交于点E，则CE的长为＿＿３___cm.,第1２题图) ,第13题图) 1３.如图,直线ＰA过半圆的圆心O，交半圆于Ａ，B两点,ＰC切半圆于点C,已知PＣ＝3，PB＝1,则该半圆的半径为__4＿＿_.14.(2０1４·毕节)如图，在Rt△ABC中，∠AＣB=９0°，以AC为直径作⊙Ｏ交AB于点D，连接CD．（1)求证:∠A=∠ＢCＤ.(2)若M为线段BC上一点，试问当点Ｍ在什么位置时,直线ＤＭ与⊙O相切?并说明理由．解:(1)∵ＡC为直径，∴∠ＡDC＝９0°，∴∠A＋∠ACＤ＝90°.∵∠ACB＝90°,∴∠BCD+∠ACD＝90°,∴∠A=∠BＣD（２)当点M是BC的中点时,直线DＭ与⊙O相切．理由：如图，连接DO．∵DＯ＝ＣO,∴∠1＝∠2.∵∠BDＣ＝90°，点M是BC的中点，∴DM=ＣＭ,∴∠4=∠３.∵∠２+∠4=９0°，∴∠1＋∠3=90°,∴直线DM与⊙Ｏ相切１5.如图,已知AB是⊙O的直径,点P是AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线,切点为C,∠ＡPC的平分线交AＣ于点D，求∠CＤP的度数．解:∵PC是⊙O的切线,∴OC⊥OＰ,即∠OCP＝9０°.∵AB是⊙O的直径,∴∠ＡCB＝９0°,∴∠AＣB-∠ＯCB＝∠OＣP－∠OCB,即∠ACO=∠BCP.又ＯA＝OC,∴∠A=∠ACO，∴∠BCP＝∠BＡC．∵PD是∠APＣ的平分线,∴∠ＣPD=∠APD.∵∠AＢC=∠CPＤ+∠AＰＤ+∠BＣP,∠BAC＋∠ＡＢC=９０°,∴∠BＡＣ+∠ＣＰD+∠APD+∠BCＰ＝９0°,∴∠CDP＝∠APD+∠BAC＝45°16.(2０14·德州)如图,⊙O的直径AB为10 cm,弦BC为６cm,D,E分别是∠ＡＣB的平分线与⊙O,AＢ的交点，P为AB延长线上一点,且PＣ=PE.（1）求AC,AD的长;(2)试判断直线PC与⊙Ｏ的位置关系，并说明理由.解：（1)连接BD．∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ＡBC中,AC=错误!＝＼r（102-62)=8(cm)．∵CD平分∠AＣB，∴错误!＝错误!，∴AD＝BD．在Rｔ△ABD中,A Ｄ2+BＤ２=AB２,∴AD＝＼ｆ(＼ｒ(２),2)ＡB=错误!×１０＝5错误!(cｍ）（2)直线ＰＣ与⊙O相切．理由：连接OC.∵OC＝OA，∴∠CAＯ＝∠OCA.∵PC＝PE,∴∠ＰCＥ＝∠ＰＥC.∵∠ＰEC＝∠CAE＋∠ACE，∴∠PＣB+∠ECＢ＝∠ＣAE+∠AＣE.∵CＤ平分∠ACB，∴∠AＣＥ=∠ECB,∴∠PＣB=∠CAE,∴∠ＰCＢ=∠AＣO.∵∠ＡCＢ=90°,∴∠OCP=∠OCB+∠PCB＝∠ACＯ＋∠ＯCB=∠ACB＝9０°,∴ＯC⊥ＰＣ，∴直线PＣ与⊙Ｏ相切ﻬ第3课时切线长定理1．经过__圆外_＿＿一点作圆的切线，这点与切点之间_＿线段___的长,叫做这点到圆的切线长.2．圆的切线长定理：从圆外一点可以引圆的＿＿两__＿条切线,它们的切线长__相等＿__，这一点和圆心的连线__平分＿__两条切线的夹角.3．与三角形各边都__相切___的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的__内＿＿_心,它是三角形__三条角平分线＿_＿的交点.知识点1：切线长定理1．如图,从⊙Ｏ外一点P引⊙O的两条切线PA，ＰB，切点分别为A,Ｂ.如果∠APＢ＝6０°，PA=8，那么弦AB的长是（B)A．4 B．8C.４＼r(３）D．８错误!，第１题图) ,第２题图) ２．如图,半圆O与等腰直角三角形两腰CA，CB分别切于D,E两点,直径FG在AB上，若BG＝＼r（２）－1,则△ABC的周长为(A)A.4+2＼r（2)B.6C.2＋2 2 D．43.(2014·天水)如图,PA，PB分别切⊙O于点A,B,点C在⊙O上，且∠ACB=50°,则∠P=__80°__＿.４.如图,PA，PＢ是⊙Ｏ的两条切线,Ａ,B为切点,∠ＯAB＝３0°.(1)求∠APB的度数；(2)当OA=3时，求AP的长.解：(1)∠AＰB＝6０°(2）AP=3错误!知识点2：三角形的内切圆5．如图，点O是△ＡＢC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=(A)Ａ．130°B．1２0°Ｃ．100°D．90°6.已知△ＡBＣ的周长为24，若△ABC的内切圆半径为2,则△ABＣ的面积为__2４___.7．在Rt△ＡBC中,∠C=9０°,AC＝6，BC＝８，则△ABC的内切圆的半径为__2_＿_.8.如图，△AＢＣ的内切圆⊙O与ＢＣ，CA，AB分别相切于点D，E,Ｆ,且AB=18 cm,ＢC=２8 cｍ,CＡ=26 cm，求AF,BＤ，CE的长.解：根据切线长定理得ＡE=AF，ＢF=ＢD,ＣＥ＝CD.设ＡＥ＝AF＝x cm,则CＥ＝CD=(26－x) ｃm,BF=BD=(１8－x) cｍ.∵BC＝２8 cｍ，∴(1８-x)＋(２6－ｘ）=２8,解得x=８，∴ＡF=8 ｃｍ,BD＝１0 cm,CE＝１8 cmﻬ９.正三角形的内切圆半径为1,那么三角形的边长为( B)A.2 Ｂ．2＼r(3）Ｃ.错误!D.310.如图,AB，AC与⊙O相切于点B，Ｃ,∠A=5０°，点P是圆上异于B，C的一动点，则∠ＢPC的度数是(C)A．65°B．11５°C.６5°或115°D.130°或5０°,第1０题图) ,第11题图)11.(2０14·泰安)如图,Ｐ为⊙O的直径ＢＡ延长线上的一点，PC与⊙O相切,切点为C,点D是⊙O上一点,连接ＰＤ．已知PC＝PＤ=ＢC．下列结论：(1）PＤ与⊙O相切；(2)四边形PＣＢD是菱形;（3)PO＝AＢ;(４)∠PDB=１20°．其中正确的个数为（A）Ａ．4 Ｂ.3C．2 Ｄ.112.如图，已知PA,ＰB分别切⊙O于点A,B,点C在⊙O上,∠BCＡ=65°，则∠P＝＿_５0°＿_＿.，第1２题图) ,第1３题图)13.如图,PA,PB分别与⊙O相切于点Ａ,Ｂ，⊙Ｏ的切线EF分别交PA,PＢ于点Ｅ,F，切点C在错误!上,若PＡ长为2，则△PEF的周长是＿＿4__＿．１4．如图,点I为△ABC的内心,点O为△ＡBC的外心,若∠ＢOC＝140°，求∠BＩＣ的度数．解：∵点Ｏ为△ABC 的外心,∠BOC ＝1４0°，∴∠Ａ＝70°.又∵点I 为△AB Ｃ的内心，∴∠ＢIC=180°－错误!(1８0°－∠Ａ)=9０°+错误!∠Ａ＝125°15.如图，ＰA,PB 是⊙O 的切线,A,B 为切点,AC 是⊙O 的直径，ＡＣ,PB 的延长线相交于点D ．(1）若∠1=２０°，求∠AP Ｂ的度数；(2)当∠1为多少度时，ＯＰ＝O Ｄ？并说明理由.解:（1）∵ＰＡ是⊙O 的切线，∴∠BAP=90°-∠1=７0°.又∵PA ，ＰB 是⊙O 的切线，∴PA=PB,∴∠B ＡＰ＝∠ABP=70°，∴∠AP Ｂ=1８０°-７0°×２=40° (2）当∠1＝30°时，OP ＝ＯD.理由:当∠1＝30°时，由(1）知∠BA Ｐ＝∠ABP=60°，∴∠ＡP Ｂ＝1８0°-6０°×２＝60°.∵P Ａ,ＰＢ是⊙Ｏ的切线,∴∠OPB ＝＼f(1,2）∠APB ＝30°.又∵∠D ＝∠A ＢP －∠１=６０°-3０°=3０°，∴∠OPB=∠D,∴OP=OD１６.如图，A Ｂ是⊙O 的直径,AM 和BN 是它的两条切线,ＤＥ切⊙Ｏ于点E ，交AM 于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF.(1)求证:ＯD ∥BE ；(2)猜想:OF 与ＣD 有何数量关系？并说明理由．解：（１)连接OE ，∵AM ，DE 是⊙O 的切线，ＯA ，O Ｅ是⊙O 的半径，∴∠AD Ｏ＝∠ED Ｏ，∠DA Ｏ=∠DEO ＝90°，∴∠AOD=∠ＥOD ＝错误!∠ＡOE.∵∠ＡＢE ＝∠ＯEＢ,∠AB Ｅ＋∠O ＥＢ＝∠AOE,∴∠A ＢE=12∠A ＯE ，∴∠AOD ＝∠ＡBE ，∴ＯD ∥ＢE（2)O Ｆ=＼ｆ（1,2）C Ｄ，理由:连接ＯC,∵BC,C Ｅ是⊙O 的切线,∴∠O ＣB ＝∠O ＣＥ.同理：∠ADO=∠EDO.∵AM ∥BN ，∴∠A ＤO+∠E ＤＯ+∠OCB+∠OCE=180°，∴∠EDO＋∠ＯCE＝９0°，∴∠ＤＯC=９０°.在Rt△DOC中,∵F是ＤC的中点，∴OＦ＝错误!CD ﻬ专题训练(七) 切线证明的方法一、有交点,连半径，证垂直(一)利用角度转换证垂直１.如图,AB是⊙O的弦，OD⊥ＯB，交AＢ于E，且ＡD=ED.求证：AＤ是⊙O的切线．解:连接OA.∵OA=ＯB,∴∠B=∠ＯAＢ.又∵AD=ＤＥ，∴∠DAE＝∠DEA，而∠DEＡ＝∠ＢEO,∠Ｂ+∠ＢEO＝90°，∴∠DＡE+∠ＯAＢ=90°,∴OA⊥AD,∴AD是⊙O的切线2．如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,CＤ是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AＰ=AＣ.求证:ＰＡ是⊙Ｏ的切线.解:连接ＯA．∵∠B＝60°，∴∠AOC＝120°,∴∠AＯP=60°,∵OＡ=OＣ,∴∠OAＣ＝∠ACP=＼f(1,2)∠ＡOP＝３0°,又∵AP=AＣ,∴∠P=∠ＡCP＝30°,∴∠PAＯ=90°，∴O Ａ⊥AP，∴PA是⊙O的切线(二)利用全等证垂直3．如图,AB是⊙O的直径,BC⊥ＡB于点B，连接ＯＣ,弦AD∥OC.求证：CD是⊙Ｏ的切线.解:连接ＯD．由SAS证△CBO≌△CDＯ，得∠CDＯ＝∠CBO=90°,∴CD⊥OＤ，∴CD是⊙Ｏ的切线(三）利用勾股定理逆定理证垂直4．如图，AB为⊙O的直径，点Ｐ为AＢ延长线上一点，点Ｃ为⊙O上一点，ＰＣ=8,ＰB=4，AＢ＝1２.求证:PC是⊙O的切线．解:连接OC.根据题意，可得OC＝6，PO=10,PC＝8，∴OC２+ＰC2=PO2，∴△POC为直角三角形且∠PCO＝９0°,∴ＯＣ⊥CＰ，∴PＣ是⊙O的切线二、无交点,作垂直，证半径5.如图，在△ＡBC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为圆心的圆与AB相切于点Ｅ.求证:AC与⊙D相切.解:连接DE,过D作ＤF⊥ＡC于F，易证△BDE≌△CＤＦ，∴DF=DE,∴AC与⊙O相切6.如图，同心圆O,大圆的弦AB＝CD，且AB是小圆的切线，切点为E.求证:CD是小圆的切线.解:连接OE，过Ｏ作ＯF⊥CD于F.∵AB与小⊙O切于点E,∴OＥ⊥AB，∵AB＝ＣD,∴ＯＥ=OF,∴ＣD与小⊙O相切７.如图，AB是⊙Ｏ的直径，AM，BN分别切⊙O于点A,Ｂ，CＤ交AM,BN于点D,C,ＤＯ平分∠AＤC.(1）求证:CＤ是⊙O的切线；(２）若AD=4,ＢC=9，求⊙O的半径R．解:(１)过O作OE⊥CD于点E.∵AM切⊙O于点A，∴OＡ⊥ＡＤ,又∵DO平分∠ＡDC,∴ＯE＝OA,∴CD是⊙O的切线（2)过D点作ＤＦ⊥BC于点F，易证四边形ＡBFD是矩形,∴ＡＤ=BF，AB＝ＤF，又∵AＤ＝4,BＣ＝9，∴FC=9-4=5.又∵ＡM，BN,CD分别切⊙O于点A，B，Ｅ,∴ＤA＝DE，CB＝ＣE，∴DC=AＤ+BＣ＝４＋9＝13.在Ｒt△DＦC中,ＤC２＝DF２＋FC2，∴DF＝12,∴AB=1２，∴⊙O的半径R是6三、与切线证明方法有关的综合问题8．(20１4·江西）如图①,ＡB是⊙Ｏ的直径，点Ｃ在ＡB的延长线上,AB=4,BC＝2,P是⊙Ｏ上半部分的一个动点,连接OP,CＰ．（1)求△OＰC的最大面积;(２)求∠OCＰ的最大度数;(3)如图②,延长PO交⊙O于点Ｄ,连接DB，当ＣＰ＝DB 时,求证：CP是⊙Ｏ的切线.解:(1)△OPC的边长OC是定值,∴当OP⊥OＣ时，ＯC边上的高为最大值,此时△OPC 的面积最大．∵ＡB＝4，BＣ＝２,∴ＯＰ=OB=2，OC＝ＯB＋BC=4，∴S△OPC＝错误!·OC·ＯP=错误!×4×2=４,即△ＯＰC的最大面积为4(2）当ＰＣ与⊙O相切,即ＯP⊥PC时，∠OCP的度数最大，可求∠OＣP=30°(3)连接AP，BP．∵∠ＡＯP＝∠DOB,∴AＰ=ＤB.∵ＣP=ＤB，∴AＰ=PC,∴∠A=∠Ｃ.∵∠A=∠Ｄ，∴∠C=∠D.∵ＯC=PD＝４，PC=DB，∴△OPC≌△ＰBＤ,∴∠OPＣ=∠PBD．∵PD是⊙O的直径,∴∠ＰＢD＝90°，∴∠OＰＣ＝9０°,∴OP⊥PＣ．又∵OP是⊙Ｏ的半径,∴ＣP是⊙O的切线。
24.2直线和圆的位置关系习题精选(含答案详解)
直线和圆的位置关系习题精选一．选择题（共13小题）1．（2014•广安）如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2=6．若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（）A．3次B．4次C．5次D．6次1题图2题图4题图5题图2．（2014•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1B．1或5 C．3D．53．（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（﹣3，0），点B（0，），点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左平移，平移后得到⊙P′（点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2014•余姚市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为1，动直线AB与x轴交于点P（x，0），直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是（）A．﹣1≤x≤1 B．C．D．5．（2013•盘锦）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定6．（2013•宝应县二模）在平面直角坐标系中，以点（3，﹣5）为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1，则圆的半径r的取值范围是（）A．r＞4 B．0＜r＜6 C．4≤r＜6 D．4＜r＜67．（2013•下城区二模）在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C 为圆心r为半径画⊙C，使⊙C与线段AB有且只有两个公共点，则r的取值范围是（）A．6≤r≤8 B．6≤r＜8 C．≤6 D．≤88．（2013•廊坊一模）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB=8cm，要使直线l与⊙O 相切，则需要将直线l向下平移（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm8题图10题图11题图12题图9．（2013•徐汇区二模）在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定10．（2013•保康县二模）如图：已知点P（3，4），以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴有四个交点，则r的取值范围是（）A．r＞4 B．r＞4且r≠5 C．r＞3 D．r＞3且r≠511．（2012•广西）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．（2012•北海）如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了（）A．2周B．3周C．4周D．5周13．（2011•温岭市模拟）如图，在△ABC中，AB=13，AC=5，BC=12，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）A．B．C．5D．无法确定13题图14题图15题图17提图二．填空题（共7小题）14．（2014•定州市一模）如图，线段OA垂直射线OB于点O，OA=4，⊙A的半径是2，将OB绕点O沿顺时针方向旋转，当OB与⊙A相切时，OB旋转的角度为_________．15．（2014•吉林二模）如图，∠APB=30°，点O是射线PB上的一点，OP=5cm，若以点O为圆心，半径为1.5cm 的⊙O沿BP方向移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为_________cm．16．（2014•松江区三模）已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D、E分别是AB、AC的中点，那么以点D为圆心，DE为半径的圆与直线BC的位置关系是_________．17．（2012•兰州）如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB 的取值范围是_________．18．（2012•兰州）如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB=45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是_________．18题图20题图19．（2010•武昌区模拟）已知点A（3，1），⊙A与坐标轴共有三个公共点，则半径为_________．20．（2005•乌兰察布）如图：半径为2的圆心P在直线y=2x﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时圆心P的坐标为_________．三．解答题（共2小题）21．（2014•攀枝花）如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与圆交于点D，D为BC的中点，过D作DE⊥AC 于E．（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE为⊙O的切线；22．（2014•天水）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．直线和圆的位置关系习题精选参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2014•广安）如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2=6．若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（）A．3次B．4次C．5次D．6次考点：直线与圆的位置关系．专题：分类讨论．分析：根据题意作出图形，直接写出答案即可．解答：解：如图，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现4次，故选：B．点评：本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．2．（2014•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1B．1或5 C．3D．5考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．分析：平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．解答：解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故选：B．点评：本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．3．（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（﹣3，0），点B（0，），点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左平移，平移后得到⊙P′（点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：直线与圆的位置关系；一次函数的性质．专题：几何图形问题．分析：在解答本题时要先求出⊙P的半径，继而求得相切时P′点的坐标，根据A（﹣3，0），可以确定对应的横坐标为整数时对应的数值．解答：解：如图所示，∵点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O，∴⊙P的半径是1，若⊙P与AB相切时，设切点为D，由点A（﹣3，0），点B（0，），∴OA=3，OB=，由勾股定理得：AB=2，∠DAM=30°，设平移后圆与直线AB第一次相切时圆心为M（即对应的P′），∴MD⊥AB，MD=1，又因为∠DAM=30°，∴AM=2，M点的坐标为（﹣1，0），即对应的P′点的坐标为（﹣1，0），同理可得圆与直线第二次相切时圆心N的坐标为（﹣5，0），所以当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′的横坐标可以是﹣2，﹣3，﹣4共三个．故选：C．点评：本题考查了圆的切线的性质的综合应用，解答本题的关键在于找到圆与直线相切时对应的圆心的坐标，然后结合A点的坐标求出对应的圆心的横坐标的整数解．4．（2014•余姚市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为1，动直线AB与x轴交于点P（x，0），直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是（）A．﹣1≤x≤1 B．C．D．考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．专题：探究型．分析：设直线AB的解析式为y=x+b，当直线与圆相切时切点为C，连接OC，则OC=1，由于直线AB与x轴正方向夹角为45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根据勾股定理求出OA的长即可．解答：解：∵直线AB与x轴正方向夹角为45°，∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC，∵⊙O的半径为1，∴△AOC是等腰直角三角形，∴OC=PC=1，∴OA==，∴P（，0），同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（﹣，0），∴﹣≤x≤．故选D．点评：本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键．5．（2013•盘锦）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：首先根据三角形面积求出AM的长，进而得出直线BC与DE的距离，进而得出直线与圆的位置关系．解答：解：过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N，∴AM×BC=AC×AB，∴AM==4.8，∵D、E分别是AC、AB的中点，∴DE∥BC，DE=BC=5，∴AN=MN=AM，∴MN=2.4，∵以DE为直径的圆半径为2.5，∴r=2.5＞2.4，∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是：相交．故选：A．点评：本题考查了直线和圆的位置关系，利用中位线定理比较出BC到圆心的距离与半径的关系是解题的关键．6．（2013•宝应县二模）在平面直角坐标系中，以点（3，﹣5）为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1，则圆的半径r的取值范围是（）A．r＞4 B．0＜r＜6 C．4≤r＜6 D．4＜r＜6考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：根据题意可知，本题其实是利用圆与直线y=1和直线y=﹣1之间的位置关系来求得半径r的取值范围，根据相离时半径小于圆心到直线的距离，相交时半径大于圆心到直线的距离即可求得r的范围．解答：解：根据题意可知到x轴所在直线的距离等于1的点的集合分别是直线y=1和直线y=﹣1，若以点（3，﹣5）为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1，那么该圆与直线y=﹣1必须是相交的关系，与直线y=1必须是相离的关系，所以r的取值范围是|﹣5|﹣|﹣1|＜r＜|﹣5|+1，即4＜r＜6．故选D．点评：解决本题要认真分析题意，理清其中的数量关系．看似求半径与x轴之间的关系，其实是利用圆与直线y=1和直线y=﹣1之间的位置关系来求得半径r的取值范围．7．（2013•下城区二模）在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C 为圆心r为半径画⊙C，使⊙C与线段AB有且只有两个公共点，则r的取值范围是（）A．6≤r≤8 B．6≤r＜8 C．≤6 D．≤8考点：直线与圆的位置关系；三角形的面积；勾股定理．分析：根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．解答：解：如图，∵BC＞AC，∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．根据勾股定理求得AB=10．圆与AB相切时，即r=CD=6×8÷5=；∵⊙C与线段AB有且只有两个公共点，∴＜r≤6．故选C．点评：本题利用的知识点：勾股定理和垂线段最短的定理；直角三角形的面积公式求解；直线与圆的位置关系与数量之间的联系．8．（2013•廊坊一模）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB=8cm，要使直线l与⊙O 相切，则需要将直线l向下平移（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm考点：直线与圆的位置关系．分析：作出OC⊥AB，利用垂径定理求出BC=4，再利用勾股定理求出OC=3，即可求出要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移的长度．解答：解：作OC⊥AB，∵半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB=8cm∴BO=5，BC=4，∴OC=3cm，∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm．故选：B．点评：此题主要考查了切线的性质定理与垂径定理，根据图形求出OC的长度是解决问题的关键．9．（2013•徐汇区二模）在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定考点：直线与圆的位置关系．分析：过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD，和⊙B的半径比较，即可得出答案．解答：解：过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，∵∠BAC=150°，∴∠DAB=30°，∴BD=AB=×2=1，即B到直线AC的距离等于⊙B的半径，∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切，故选B．点评：本题考查了直线与圆的位置关系的应用，主要考查学生的推理能力．10．（2013•保康县二模）如图：已知点P（3，4），以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴有四个交点，则r的取值范围是（）A．r＞4 B．r＞4且r≠5 C．r＞3 D．r＞3且r≠5考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．专题：计算题．分析：作PA⊥x轴，连结OP，根据勾股定理计算出OP=5，然后根据直线与圆的位置关系即可得到满足条件的r 的取值范围为r＞4且r≠5．解答：解：作PA⊥x轴，连结OP，如图，∵点P的坐标为（3，4），∴OA=3，PA=4，∴OP==5，∴当以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴有四个交点时，r的取值范围为r＞4且r≠5．故选B．点评：本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d=r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了坐标与图形性质．11．（2012•广西）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（）A．30°B．45°C．60°D．90°考点：直线与圆的位置关系；切线的性质．专题：压轴题．分析：根据题意找出当OP⊥AP时，∠OAP取得最大值．所以在Rt△AOP中，利用直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得此时∠OAP的值．解答：解：根据题意知，当∠OAP的取最大值时，OP⊥AP；在Rt△AOP中，∵OP=OB，OB=AB，∴OA=2OP，∴∠OAP=30°．故选A．点评：本题考查了直线与圆的位置关系、切线的性质．此题属于操作题，在点P的运动过程中，∠OAP取最大值时，AP正好是⊙O的切线．12．（2012•北海）如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了（）A．2周B．3周C．4周D．5周考点：直线与圆的位置关系；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：该圆运动可分为两部分：在三角形的三边运动以及绕过三角形的三个角，分别计算即可得到圆的自传周数．解答：解：圆在三边运动自转周数：=3，圆绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360°，即一周；可见，⊙O自转了3+1=4周．故选C．点评：本题考查了圆的旋转与三角形的关系，要充分利用等边三角形的性质及圆的周长公式解答．13．（2011•温岭市模拟）如图，在△ABC中，AB=13，AC=5，BC=12，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）A．B．C．5D．无法确定考点：直线与圆的位置关系．分析：首先由题意可知△ABC是直角三角形，再根据题意分析出符合条件的圆的直径的最小值即为该直角三角形的斜边上的高，即可求解．解答：解：∵在△ABC中，AB=13，AC=5，BC=12，∴AB2=AC2+BC2．∴∠ACB=90°，∴PQ一定是直径．要使过点C且与边AB相切的动圆的直径最小，则PQ即为斜边上的高，则PQ==．故选B．点评：本题解题的关键是：要使直径最小，那么C与AB上切点的连线过圆心，即为斜边上的高．二．填空题（共7小题）14．（2014•定州市一模）如图，线段OA垂直射线OB于点O，OA=4，⊙A的半径是2，将OB绕点O沿顺时针方向旋转，当OB与⊙A相切时，OB旋转的角度为60°或120°．考点：直线与圆的位置关系．专题：分类讨论．分析：分类讨论：当OB与⊙A相切于C点时，连结AC，根据切线的定义得到AC⊥OC，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠AOC=30°，则∠BOC=∠BOA﹣AOC=60°；当OB与⊙A相切于D点时，同样可得到∠AOD=30°，则∠BOC=∠BOA+AOC=120°．解答：解：当OB与⊙A相切于C点时，如图，连结AC，则AC⊥OC，∵OA=4，AC=2，∴∠AOC=30°，∴∠BOC=∠BOA﹣AOC=60°；当OB与⊙A相切于D点时，如图，同样可得到∠AOD=30°，∴∠BOC=∠BOA+AOC=120°，∴当OB与⊙A相切时，OB旋转的角度为60°或120°．故答案为60°或120°．点评：本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交⇔d ＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．15．（2014•吉林二模）如图，∠APB=30°，点O是射线PB上的一点，OP=5cm，若以点O为圆心，半径为1.5cm 的⊙O沿BP方向移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为2或8cm．考点：直线与圆的位置关系．分析：首先根据题意画出图形，然后由切线的性质，可得∠O′CP=90°，又由∠APB=30°，O′C=1cm，即可求得O′P 的长，继而求得答案．解答：解：①如图1，当⊙O平移到⊙O′位置时，⊙O与PA相切时，且切点为C，连接O′C，则O′C⊥PA，即∠O′CP=90°，∵∠APB=30°，O′C=1.5cm，∴O′P=2O′C=3cm，∵OP=5cm，∴OO′=OP﹣O′P=2（cm）；②如图2：同理可得：O′P=3cm，∴O′O=8cm．故答案为：2或8．点评：此题考查了切线的性质与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．16．（2014•松江区三模）已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D、E分别是AB、AC的中点，那么以点D 为圆心，DE为半径的圆与直线BC的位置关系是相离．考点：直线与圆的位置关系．分析：过点A作AF⊥BC于点F，根据勾股定理求出AF的长，再由点D、E分别是AB、AC的中点得出DE是△ABC的中位线，故可得出DE即GF的长，由此可得出结论．解答：解：过点A作AF⊥BC于点F，∵AB=AC=13，BC=10，∴BF=BC=5，∴AF===12．∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=5，GF=AF=6，∵5＜6，∴⊙D与直线BC的位置关系是相离．故答案为：相离．点评：考查了等腰三角形的性质和勾股定理，三角形的面积，解题的关键是得到点D到直线AC的距离．17．（2012•兰州）如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB 的取值范围是8＜AB≤10．考点：直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．专题：计算题．分析：解决此题首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当AB与小圆相切时有一个公共点，此时可知AB最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围．解答：解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点D，连接OA，OD，可得OD⊥AB，∴D为AB的中点，即AD=BD，在Rt△ADO中，OD=3，OA=5，∴AD=4，∴AB=2AD=8；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB=10，所以AB的取值范围是8＜AB≤10．故答案为：8＜AB≤10点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，以及切线的性质，其中解题的关键是抓住两个关键点：1、当弦AB与小圆相切时最短；2、当AB过圆心O时最长．18．（2012•兰州）如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB=45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是﹣≤x≤且x≠0．考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．专题：压轴题；数形结合．分析：由题意得x有两个极值点，过点P与⊙O相切时，x取得极值，作出切线，利用切线的性质求解即可．解答：解：将OA平移至P'D的位置，使P'D与圆相切，连接OD，由题意得，OD=1，∠DOP'=45°，∠ODP'=90°，故可得OP'=，即x的极大值为，同理当点P在y轴左边时也有一个极值点，此时x取得极小值，x=﹣，综上可得x的范围为：﹣≤x≤．又∵DP'与OA平行，∴x≠0，故答案为：﹣≤x≤且x≠0．点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系，分别得出两圆与圆相切时求出OP的长是解决问题的关键，难度一般，注意两个极值点的寻找．19．（2010•武昌区模拟）已知点A（3，1），⊙A与坐标轴共有三个公共点，则半径为，3．考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．专题：推理填空题．分析：由已知A（3，1），可以知道圆心A到X轴的距离为1，到Y轴的距离为3，到原点的距离为=，由此可以确定），⊙A与坐标轴共有三个公共点时圆的半径是和3．解答：解：当半径小于3时，⊙A与坐标轴共有2个公共点，当半径等于3时，⊙A与y轴相切且与x轴有2个交点，共有3个公共点，当半径等于A到原点的距离=时，共有3个公共点，当半径大于时，⊙A与坐标轴共有4个公共点．故答案为：，3．点评：此题考查的知识点是直线与圆的位置关系及坐标与图形性质，关键是能够正确分析出圆与坐标轴有3个公共点时的位置关系．20．（2005•乌兰察布）如图：半径为2的圆心P在直线y=2x﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时圆心P的坐标为（1.5，2）或（﹣0.5，﹣2）．考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．专题：压轴题；动点型．分析：根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是2或﹣2．当y=2时，则x=1.5；当y=﹣2时，则x=﹣0.5．解答：解：∵P的圆心在直线y=2x﹣1上∴设P（x，2x﹣1）（1）当圆与x正半轴相切时，则2x﹣1=2，x=1.5，∴P（1.5，2）；（2）当圆与x负半轴相切时，则2x﹣1=﹣2，x=﹣0.5∴P（﹣0.5，﹣2），∴由（1）（2）可知P的坐标为：（1.5，2）或（﹣0.5，﹣2）．点评：此题注意应考虑两种情况．熟悉直线和圆的位置关系应满足的数量关系是解题的关键．三．解答题（共2小题）21．（2014•攀枝花）如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与圆交于点D，D为BC的中点，过D作DE⊥AC 于E．（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE为⊙O的切线；（3）若AB=13，sinB=，求CE的长．考点：切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）连接AD，利用直径所对的圆周角是直角和等腰三角形的三线合一可以得到AB=AC；（2）连接OD，利用平行线的判定定理可以得到∠ODE=∠DEC=90°，从而判断DE是圆的切线；（3）根据AB=13，sinB=，可求得AD和BD，再由∠B=∠C，即可得出DE，根据勾股定理得出CE．解答：（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°∴AD⊥BC，又D是BC的中点，∴AB=AC；（2）证明：连接OD，∵O、D分别是AB、BC的中点，∴OD∥AC，∴∠ODE=∠DEC=90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（3）解：∵AB=13，sinB=，∴=，∴AD=12，∴由勾股定理得BD=5，∴CD=5，∵∠B=∠C，∴=，∴DE=，∴根据勾股定理得CE=．点评：本题目考查了切线的判定以及等腰三角形的判定及性质、圆周角定理及切线的性质，涉及的知识点比较多且碎，解题时候应该注意．22．（2014•天水）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．考点：切线的判定与性质．专题：几何图形问题．分析：（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，求出∠CDA+∠ADO=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据勾股定理求出DC，根据切线长定理求出DE=EB，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．解答：解：（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，理由是：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∵∠CDA=∠CBD，∴∠DAB+∠CDA=90°，∵OD=OA，∴∠DAB=∠ADO，∴∠CDA+∠ADO=90°，即OD⊥CE，∴直线CD是⊙O的切线，即直线CD和⊙O的位置关系是相切；（2）∵AC=2，⊙O的半径是3，∴OC=2+3=5，OD=3，在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4，∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，∴DE=EB，∠CBE=90°，设DE=EB=x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2，则（4+x）2=x2+（5+3）2，解得：x=6，即BE=6．点评：本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定的应用，题目比较典型，综合性比较强，难度适中．。
人教版 九年级上册数学 24.2---24.3复习题(含答案)
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系一、选择题（本大题共10道小题）1. 下列直线中，一定是圆的切线的是()A．与圆有公共点的直线B．垂直于圆的半径的直线C．到圆心的距离等于半径的直线D．经过圆的直径一端的直线2. 下列说法中，正确的是()A．垂直于半径的直线是圆的切线B．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线C．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线3. 如图，P是⊙O外一点，OP交⊙O于点A，OA＝AP.甲、乙两人想作一条经过点P且与⊙O相切的直线，其作法如下：甲：以点A为圆心，AP长为半径画弧，交⊙O于点B，则直线BP即为所求．乙：过点A作直线MN⊥OP，以点O为圆心，OP长为半径画弧，交射线AM于点B，连接OB，交⊙O于点C，直线CP即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是()A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误C．两人都正确D．两人都错误4. 已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．无法确定5. 如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO，BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD.若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为()A．54°B．36°C．32°D．27°6. 如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是()A．DE＝DO B．AB＝ACC．CD＝DB D．AC∥OD7.如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠A OD的度数为( )A. 70°B. 35°C．20°D. 40°8. 2020·黄石模拟如图，在平面直角坐标系中，A(－2，2)，B(8，2)，C(6，6)，点P为△ABC的外接圆的圆心，将△ABC绕点O逆时针旋转90°，点P的对应点P′的坐标为()A．(－2，3) B．(－3，2)C．(2，－3) D．(3，－2)9. 如图，数轴上有A，B，C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在⊙O外、⊙O内、⊙O上，则原点O的位置应该在()图A．点A与点B之间靠近点AB．点A与点B之间靠近点BC．点B与点C之间靠近点BD．点B与点C之间靠近点C10. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为()A．5 B．4 2 C．4.75 D．4.8二、填空题（本大题共7道小题）11. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________.12. 如图，∠APB＝30°，⊙O的半径为1 cm，圆心O在直线PB上，OP＝3 cm，若⊙O沿BP方向移动，当⊙O与直线PA相切时，圆心O移动的距离为__________．13. 如图，半圆的圆心O 与坐标原点重合，半圆的半径为1，直线l 的解析式为y ＝x ＋t .若直线l 与半圆只有一个公共点，则t 的取值范围是________．14. 如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 的对角线长为6，OA ＝4.若将⊙O 绕点A 按顺时针方向旋转360°，则在旋转的过程中，⊙O 与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现( )A ．3次B ．4次C ．5次D ．6次15. 如图所示，在半圆O 中，AB 是直径，D是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，CE ⊥AB 于点E ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE ，CB 于点P ，Q ，连接AC ，有下列结论：①∠BAD ＝∠ABC ；②GP ＝GD ；③点P 是△ACQ 的外心．其中正确的结论是________(只需填写序号)．16.如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连接PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P .当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，BP 的长为________．17. 如图，⊙M的圆心为M(－2，2)，半径为2，直线AB过点A(0，－2)，B(2，0)，则⊙M关于y轴对称的⊙M′与直线AB的位置关系是________．三、解答题（本大题共4道小题）18. 如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与P A相切于点C.求证：直线PB与⊙O相切．19.如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，P是CD的延长线上一点，且AP＝AC.(1)求证：P A是⊙O的切线；(2)若PD＝5，求⊙O的直径．20. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5.(1)以点A为圆心，4为半径的⊙A与直线BC的位置关系是________；(2)以点B为圆心的⊙B与直线AC相交，求⊙B的半径r的取值范围；(3)以点C为圆心，R为半径的⊙C与直线AB相切，求R的值．21. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.求证：直线DM是⊙O的切线．人教版九年级数学24.2 点和圆、直线和圆的位置关系同步训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C2. 【答案】B3. 【答案】C[解析] 对于甲的作法：连接OB，如图①.∵OA＝AP，∴OP为⊙A的直径，∴∠OBP＝90°，即OB⊥PB，∴PB为⊙O的切线，∴甲的作法正确．对于乙的作法：如图②，∵MN ⊥OP ，∴∠OAB ＝90°.在△OAB 和△OCP 中，⎩⎨⎧OA ＝OC ，∠AOB ＝∠COP ，OB ＝OP ，∴△OAB ≌△OCP ，∴∠OAB ＝∠OCP ＝90°，即OC ⊥PC ， ∴PC 为⊙O 的切线， ∴乙的作法正确．4. 【答案】B5. 【答案】D[解析] ∵AB 为⊙O 的切线，∴∠OAB ＝90°.∵∠ABO ＝36°，∴∠AOB ＝90°－∠ABO ＝54°. ∴∠ADC ＝12∠AOB ＝27°.故选D.6. 【答案】A7.【答案】D 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A ，∴∠BAC ＝90°，∵∠C ＝70°，∴∠B ＝20°，∴∠AOD ＝∠B ＋∠BDO ＝2∠B ＝2×20°＝40°.8. 【答案】A9. 【答案】C[解析] 如图．10. 【答案】D[解析] 如图，设PQ的中点为F，⊙F与AB 的切点为D，连接FD，FC，CD.∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴∠ACB＝90°，∴PQ为⊙F的直径．∵⊙F与AB相切，∴FD⊥AB，FC＋FD＝PQ，而FC＋FD≥CD，∴当CD为Rt△ABC的斜边AB上的高且点F在CD上时，PQ有最小值，为CD 的长，即CD为⊙F的直径．∵S△ABC ＝12BC·AC＝12CD·AB，∴CD＝4.8.故PQ的最小值为4.8.二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】3＜r＜5[解析] 连接BD.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3，则BD＝32＋42＝5.由题图可知3＜r＜5.12. 【答案】1 cm或5 cm[解析] 当⊙O与直线PA相切时，点O到直线PA的距离为1 cm.∵∠APB＝30°，∴PO＝2 cm，∴圆心O移动的距离为3－2＝1(cm)或3＋2＝5(cm)．13. 【答案】t＝2或－1≤t＜1[解析] 若直线与半圆只有一个公共点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束(不包括直线过点A)．直线y＝x＋t与x轴所形成的锐角是45°.当点O到直线l的距离OC＝1时，直线l与半圆O相切，设直线l与y轴交于点D，则OD＝2，即t＝ 2.当直线过点A时，把A(－1，0)代入直线l的解析式，得t＝y－x＝1.当直线过点B时，把B(1，0)代入直线l的解析式，得t＝y－x＝－1.即当t ＝2或－1≤t ＜1时，直线和半圆只有一个公共点． 故答案为t ＝2或－1≤t ＜1.14. 【答案】B[解析] ∵正方形ABCD 的对角线长为6，∴它的边长为3 2.如图，⊙O 与正方形ABCD 的边AB ，AD 只有一个公共点的情况各有1次，与边BC ，CD 只有一个公共点的情况各有1次，∴在旋转的过程中，⊙O 与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现4次．15. 【答案】②③[解析] ∵在半圆O 中，AB 是直径，D 是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，∴AC ︵＝DC ︵，但不一定等于DB ︵，∴∠BAD 与∠ABC 不一定相等，故①错误． 如图，连接OD ，则OD ⊥GD ，∠OAD ＝∠ODA .∵∠ODA ＋∠GDP ＝90°，∠OAD ＋∠GPD ＝∠OAD ＋∠APE ＝90°，∴∠GPD ＝∠GDP ，∴GP ＝GD ，故②正确． 补全⊙O ，延长CE 交⊙O 于点F . ∵CE ⊥AB ，∴A 为FC ︵的中点，即AF ︵＝AC ︵. 又∵C 为AD ︵的中点，∴CD ︵＝AC ︵，∴AF ︵＝CD ︵， ∴∠CAP ＝∠ACP ，∴AP ＝CP . ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACQ ＝90°，∴∠ACP ＋∠PCQ ＝90°，∠CAP ＋∠PQC ＝90°， ∴∠PCQ ＝∠PQC ，∴PC ＝PQ ，∴AP ＝PQ ，即P 为Rt △ACQ 的斜边AQ 的中点， ∴点P 为Rt △ACQ 的外心，故③正确．16. 【答案】3或4 3 [解析] 如图①，当⊙P 与CD 边相切时，设PC ＝PM ＝x .在Rt △PBM 中，∵PM2＝BM2＋BP2，∴x2＝42＋(8－x)2，∴x＝5，∴PC＝5，∴BP＝BC－PC＝8－5＝3.如图②，当⊙P与AD边相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形，∴PM＝PK＝CD＝2BM，∴BM＝4，PM＝8，在Rt△PBM中，BP＝82－42＝4 3.综上所述，BP的长为3或4 3.17. 【答案】相交[解析] ∵⊙M的圆心为M(－2，2)，则⊙M关于y轴对称的⊙M′的圆心为M′(2，2)．因为M′B＝2>点M′到直线AB的距离，所以直线AB与⊙M′相交．三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】证明：如图，连接OC，过点O作OD⊥PB于点D.∵⊙O与P A相切于点C，∴OC⊥P A.∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥P A，OD⊥PB，∴OD＝OC，∴直线PB与⊙O相切．19. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OA.∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°.又∵AP＝AC，∴∠P＝∠OCA＝30°，∴∠OAP＝∠AOC－∠P＝90°，∴OA⊥P A.又∵OA是⊙O的半径，∴P A是⊙O的切线．(2)在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴PO＝2OA＝OD＋PD.又∵OA＝OD，∴PD＝OD＝OA.∵PD＝5，∴2OA＝2PD＝2 5，∴⊙O的直径为2 5.20. 【答案】解：(1)∵AC⊥BC，而AC＞4，∴以点A为圆心，4为半径的⊙A与直线BC相离．故答案为相离．(2)BC＝AB2－AC2＝12.∵BC⊥AC，∴当⊙B 的半径大于BC 的长时，以点B 为圆心的⊙B 与直线AC 相交，即r ＞12.(3)如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D . ∵12CD ·AB ＝12AC ·BC ，∴CD ＝5×1213＝6013.即当R ＝6013时，以点C 为圆心，R 为半径的⊙C 与直线AB 相切．21. 【答案】证明：如图，作直径DG ，连接BG .∵点E 是△ABC 的内心，∴AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC.∵∠G ＝∠BAD ，∠BDM ＝∠DAC ，∴∠BDM ＝∠G .∵DG 为⊙O 的直径，∴∠GBD ＝90°，∴∠G ＋∠BDG ＝90°，∴∠BDM ＋∠BDG ＝90°，即∠MDG ＝90°.又∵OD 是⊙O 的半径，∴直线DM 是⊙O 的切线．24.3正多边形和圆一、选择题1．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 为⊙0直径，点C 为劣弧BD 的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC=（ ）．A ．140°B ．40°C ．70°D ．50° 2．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，连接OA 、OC ，∠OAC ＝20°，则∠ABC 的度数为（ ）A ．140°B ．110°C ．70°D ．40° 3．如图，已知△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB ＞AC ．E 为BAC 的中点，过E 作EF ⊥AB 于F ．若AF ＝1，AC ＝4，∠C ＝60°，则⊙O 的面积是（ ）A ．8πB ．10πC ．12πD ．18π4．如图，四边形ABCD 内接于O ，9AB =，15AD =，120BCD ∠=︒，弦AC 平分BAD ∠，则AC 的长是（ ）A ．73B ．83C ．12D ．135．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为圆上一点，∠BAC ＝20°，将劣弧AC 沿弦AC 所在的直线翻折，交AB 于点D ，则弧AD 的度数等于（ ）A ．40°B ．50C ．80°D ．1006．如图，等边△ABD与等边△ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，下列结论：（1）BE=CD ；（2）AF平分∠EAC ；（3）∠BFD=60°；（4）AF+FD=BF 其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，Q为CD上任意一点，AQ交BD于M，过M作MN⊥AM交BC于N，连AN、QN．下列结论：①MA=MN；②∠AQD=∠AQN；③S△AQN=1 2 S五边形ABNQD；④QN是以A为圆心，以AB为半径的圆的切线．其中正确的结论有（）A．①②③④B．只有①③④C．只有②③④D．只有①②8．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，连结AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是( )A．变大B．先变大后变小C．先变小后变大D．不变9．如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB＝2，BC＝3，点E为BC上一点，且BE＝1，延长AE交⊙O于点F，则线段AF的长为（）A．755B．5C5D35210．在四边形ABCD 中，M 、N 分别是CD 、BC 的中点， 且AM ⊥CD ，AN ⊥BC ，已知∠MAN=74°，∠DBC=41°，则∠ADB 度数为（ ）．A ．15°B ．17°C ．16°D ．32°二、填空题11．如图，C 为半圆O 上一点，AB 为直径，且AB 2a =，COA 60∠=．延长AB 到P ，使1BP AB 2=，连CP 交半圆于D ，过P 作AP 的垂线交AD 的延长线于H ，则PH 的长度为________．12．如图，边长为4的正方形ABCD 内接于⊙O，点E 是弧AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），点F 是弧BC 上的一点，连接OE ，OF ，分别与交AB ，BC 于点G ，H ，且∠EOF=90°，连接GH ，有下列结论：①弧AE=弧BF ；②△OGH 是等腰直角三角形；③四边形OGBH 的面积随着点E 位置的变化而变化；④△GBH 周长的最小值为4+22．其中正确的是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）13．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，BC ＝5，AB ＝3，点D 是线段BC 上一动点，连接AD ，以AD 为边作△ADE ∽△ABC ，点N 是AC 的中点，连接NE ，当线段NE 最短时，线段CD 的长为_____．14．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠1+∠2=64°，∠3+∠4=__________°.15．如图，边长一定的正方形ABCD ，Q 为CD 上一个动点，AQ 交BD 于点M ，过M 作MN ⊥AQ 交BC 于点N ，作NP ⊥BD 于点P ，连接NQ ，下列结论：①AM ＝MN ；②MP ＝12BD ；③BN ＋DQ ＝NQ ；④+AB BN BM为定值2．一定成立的是_____．三、解答题16．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，42BC =，45BAC ∠=，75ABC ∠=，求AB 的长．17．如图，已知∠MON=120°，点A ，B 分别在OM ，ON 上，且OA =OB =a ，将射线OM 绕点O 逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0120α≤<︒︒且60α≠︒），作点A 关于直线OM′的对称点C ，画直线BC 交于OM′与点D ，连接AC ，AD ．有下列结论：有下列结论：①∠BDO + ∠ACD = 90°；②∠ACB 的大小不会随着a 的变化而变化；③当 30︒=α时，四边形OADC 为正方形；④ACD ∆面积的最大值为23a ．其中正确的是________________．(把你认为正确结论的序号都填上） 18．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形 （1）概念理解①根据上述定义举一个等补四边形的例子：②如图1，四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，∠A +∠C ＝180°，求证：四边形ABCD 是等补四边形（2）性质探究：③小明在探究时发现，由于等补四边形有一组对角互补，可得等补四边形的四个顶点共圆，如图2，等补四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝AD ，则∠ACD ∠ACB （填“＞”“＜”或“＝“）；④若将两条相等的邻边叫做等补四边形的“等边”，等边所夹的角叫做“等边角”，它所对的角叫做“等边补角”连接它们顶点的对角线叫做“等补对角线”，请用语言表述③中结论：（3）问题解决在等补四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝2，等边角∠ABC ＝120°，等补对角线BD 与等边垂直，求CD 的长．19． 定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”（1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是______．（2）如图1，在△ABC 中，AB=2，BC=52，AC=3，D 为平面内一点，以A 、B 、C 、D 四点为顶点构成的四边形为“完美四边形”，若DA ，DC 的长是关于x 的一元二次方程x 2-(m+3)x+14(5m 2-2m+13)=0(其中m 为常数)的两个根，求线段BD 的长度．（3）如图2，在“完美四边形”EFGH 中，∠F=90°，EF=6，FG=8，求“完美四边形”EFGH 面积的最大值．20．如图，O 是ABC 的外接圆，ABC 的外角DAC ∠的平分线交O 于点E ，连接CE 、BE .（1）求证：BE CE =；（2）若60CAB ∠=︒，23BC =，求劣弧BC 的长度.21．（1）已知：如图1，AB 是O 的直径，点P 为O 上一点（且点P 不与A 、B 重合）连接PA ，PB ，APB ∠的角平分线PC 交O 于点C ．①若86PA PB ==，，求AB 的长②求证：2PA PB PC +=（2）如图2，在正方形ABCD 中，2AB 2=，若点P 满足3PC =，且90APC ∠=︒，请直接写出点B 到AP 的距离.22．如图(1) ，折叠平行四边形ABCD ，使得,B D 分别落在,BC CD 边上的,B D ''点，,AE AF 为折痕(1)若AE AF =，证明:平行四边形ABCD 是菱形;(2)若110BCD ︒∠= ，求B AD ''∠的大小;(3)如图(2) ，以,AE AF 为邻边作平行四边形AEGF ，若AE EC =，求CGE ∠的大小23．在平面直角坐标系xOy 中，已知(0,2)A ，动点P 在3y x =的图像上运动（不与O 重合），连接AP ，过点P 作PQ AP ⊥，交x 轴于点Q ，连接AQ ．（1）求线段AP 长度的取值范围；（2）试问：点P 运动过程中，QAP ∠是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当OPQ ∆为等腰三角形时，求点Q 的坐标．【参考答案】1．C 2．B 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．D 9．A 10．C 11312．①②④13．411014．6415．①②③④16．17．①②④18．（1）①正方形；②略；（2）③＝；④等补四边形的“等补对角线”平分“等边补角”；（3）CD 的值为2或4．19．（1）正方形、矩形；（2）3；（3）49．20．（1）略；（2）43π 21．（1）①10AB =，②略；（2）72或12 22．（1）略；（2）30°；（3）45°.23．（1）AP ≥（2）QAP ∠为定值，QAP ∠=30°；（3）14,0)Q ，24,0)Q ，3(0)Q -，4,0)Q。
人教版 九年级数学上册 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系(含答案)
人教版九年级数学24.2 点和圆、直线和圆的位置关系一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则☉O的半径为()A.2B.3C.4D.4-2. 已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．无法确定3.如图，AP为⊙O的切线，P为切点，若∠A＝20°，C、D为圆周上两点，且∠PD C＝60°，则∠OBC等于( )A. 55°B. 65°C. 70°D. 75°4.如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°.过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是( )A. 25°B. 40°C. 50°D. 65°5. 如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是()A．△ABE B．△ACFC．△ABD D．△ADE6. 已知⊙O的面积为9π cm2，若点O到直线l的距离为π cm，则直线l与⊙O 的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．无法确定7. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与图中7×4方格中的格点相连，连线能够与该圆弧相切的格点有()A．1个B．2个C．3个D．4个8. 如图，一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为()A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1.5 cm9. 如图，在正三角形网格中，△ABC的顶点都在格点上，点P，Q，M是AB与网格线的交点，则△ABC的外心是()A．点P B．点Q C．点M D．点N10. 如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为()A．2 3 B．3 C．4 D．4－ 3二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图，P A，PB是☉O的切线，A，B为切点，点C，D在☉O上.若∠P=102°，则∠A+∠C=.12. 如图，⊙M的圆心在一次函数y＝12x＋2的图象上运动，半径为1.当⊙M与y轴相切时，点M的坐标为__________．13. 如图，点P在⊙O外，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝50°，则∠AOB＝________°.14. 如图0，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，PA ＝6，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA ，PB 于C ，D 两点，则△PCD 的周长是________.15. 2019·兴化期中已知等边三角形ABC 的边长为2，D 为BC 的中点，连接AD .点O 在线段AD 上运动(不与端点A ，D 重合)，以点O 为圆心，33为半径作圆，当⊙O 与△ABC 的边有且只有两个公共点时，DO 的取值范围为________．16. 如图所示，在半圆O 中，AB 是直径，D是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，CE ⊥AB 于点E ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE ，CB 于点P ，Q ，连接AC ，有下列结论：①∠BAD ＝∠ABC ；②GP ＝GD ；③点P 是△ACQ 的外心．其中正确的结论是________(只需填写序号)．17. 如图，AB 是⊙O的直径，OA ＝1，AC 是⊙O 的弦，过点C 的切线交AB 的延长线于点D.若BD ＝2－1，则∠ACD ＝________°.18. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8.若以C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则R 的取值范围是______________．三、解答题（本大题共4道小题）19.如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CD 是⊙O 的切线，AD ⊥CD 于点D .E 是AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于点F ，连接OC ，AC .(1)求证：AC 平分∠DAO . (2)若∠DAO ＝105°，∠E ＝30°. ①求∠OCE 的度数．②若⊙O 的半径为22，求线段EF 的长．20. 在平面直角坐标系中，圆心P 的坐标为(－3，4)，以r 为半径在坐标平面内作圆：(1)当r 为何值时，⊙P 与坐标轴有1个公共点？ (2)当r 为何值时，⊙P 与坐标轴有2个公共点？ (3)当r 为何值时，⊙P 与坐标轴有3个公共点？ (4)当r 为何值时，⊙P 与坐标轴有4个公共点？21. 如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC.以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E. (1)求证：DE 是⊙O 的切线．(2)若DE ＝3，∠C ＝30°，求AD ︵的长．22. 如图，已知⊙P的圆心P 在直线y ＝2x －1上运动．(1)若⊙P 的半径为2，当⊙P 与x 轴相切时，求点P 的坐标；(2)若⊙P 的半径为2，当⊙P 与y 轴相切时，求点P 的坐标； (3)若⊙P 与x 轴和y 轴都相切，则⊙P 的半径是多少？人教版 九年级数学 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A [解析]设☉O 与AC 的切点为E ，连接AO ，OE ，∵等边三角形ABC 的边长为8，∴AC=8，∠C=∠BAC=60°.∵圆分别与边AB ，AC 相切，∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=30°，∴∠AOC=90°，∴OC=AC=4.∵OE ⊥AC ，∴OE=OC=2，∴☉O 的半径为2.故选A .2. 【答案】B3.【答案】B【解析】连接OP ，如解图，则OP ⊥AP .∵∠D ＝60°，∴∠COP ＝120°，∵∠A ＝20°，∠APO ＝90°，∴∠AOP ＝70°，∴∠AOC ＝50°，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝180°－50°2＝65°.解图4.【答案】B【解析】∵∠A ＝25°，∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＝65°.如解图，连接OC .∵OB ＝O C ，∴∠ABC ＝∠BCO ＝65°.∵CD 是⊙的切线，∴OC ⊥CD ，∴∠OCD ＝90°，∴∠BCD＝90°－∠BCO＝25°，∴∠D＝∠ABC－∠BCD＝65°－25°＝40°.解图5. 【答案】B6. 【答案】C[解析] 由题意可知，圆的半径为3 cm.∵圆心到直线l的距离为π cm ＞圆的半径3 cm，∴直线l与⊙O相离．故选C.7. 【答案】C[解析] 如图，连接AB，BC，作AB，BC的垂直平分线，可得点A，B，C所在的圆的圆心为O′(2，0)．只有当∠O′BF＝∠O′BD＋∠DBF＝90°时，BF与圆相切，此时△BO′D≌△FBE，EF＝DB＝2，此时点F的坐标为(5，1)．作过点B，F的直线，直线BF经过格点(1，3)，(7，0)，此两点亦符合要求．即与点B的连线，能够与该圆弧相切的格点是(5，1)或(1，3)或(7，0)，共3个．8. 【答案】B[解析] 如图，连接OC，并过点O作OF⊥CE于点F.∵△ABC为等边三角形，边长为4 cm，∴△ABC的高为2 3 cm，∴OC＝ 3 cm.又∵⊙O与BC相切于点C，∠ACB＝60°，∴∠OCF＝30°.在Rt△OFC中，可得FC＝32cm，∴CE＝2FC＝3 cm.9. 【答案】B[解析] 由题意可知∠BCN＝60°，∠ACN＝30°，∴∠ACB＝∠ACN＋∠BCN＝90°，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的外心是斜边AB的中点．∵Q是AB的中点，∴△ABC的外心是点Q.10. 【答案】A[解析] 如图，设⊙O与AC的切点为E，连接AO，OE.∵等边三角形ABC的边长为8，∴AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°.∵⊙O分别与边AB，AC相切，∴∠OEC＝90°，∠BAO＝∠CAO＝12∠BAC＝30°，∴∠AOC＝90°，∴OC＝12AC＝4.在Rt△OCE中，∠OEC＝90°，∠C＝60°，∴∠COE＝30°，∴CE＝12OC＝2，∴OE＝2 3，∴⊙O的半径为2 3.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】219°[解析]连接AB，∵P A，PB是☉O的切线，∴P A=PB.∵∠P=102°，∴∠P AB=∠PBA=(180°-102°)=39°.∵∠DAB+∠C=180°，∴∠P AD+∠C=∠P AB+∠DAB+∠C=180°+39°=219°.12. 【答案】(1，52)或(－1，32) [解析] ∵⊙M 的圆心在一次函数y ＝12x ＋2的图象上运动，∴设当⊙M 与y 轴相切时圆心M 的坐标为(x ，12x ＋2)．∵⊙M 的半径为1，∴x ＝1或x ＝－1，当x ＝1时，y ＝52，当x ＝－1时，y ＝32.∴点M 的坐标为(1，52)或(－1，32)．13. 【答案】13014. 【答案】12[解析] ∵PA ，PB 分别切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，∴PB ＝PA ＝6，CA ＝CE ，DB ＝DE ，∴△PCD 的周长＝PC ＋CD ＋PD ＝PC ＋CE ＋DE ＋PD ＝PC ＋CA ＋DB ＋PD ＝PA ＋PB ＝12.15. 【答案】0<DO <33或2 33<DO <3 [解析] ∵等边三角形ABC 的边长为2，D为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，BD ＝1，AD ＝ 3. 分四种情况讨论：(1)如图①所示，当0<DO <33时，⊙O 与△ABC 的BC 边有且只有两个公共点，(2)如图②所示，当DO ＝33时， ⊙O 与△ABC 的边有三个公共点；(3)如图③所示，当⊙O 经过△ABC 的顶点A 时，⊙O 与△ABC 的边有三个公共点，则当33<DO ≤2 33时，⊙O 与△ABC 的边有四个或三个公共点．(4)如图④所示，当2 33<DO <3时，⊙O 与△ABC 的边有两个公共点．综上，当0<DO <33或2 33<DO <3时，⊙O 与△ABC 的边只有两个公共点． 故答案为0<DO <33或2 33<DO < 3.16. 【答案】②③[解析] ∵在半圆O 中，AB 是直径，D 是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，∴AC ︵＝DC ︵，但不一定等于DB ︵，∴∠BAD 与∠ABC 不一定相等，故①错误． 如图，连接OD ，则OD ⊥GD ，∠OAD ＝∠ODA .∵∠ODA ＋∠GDP ＝90°，∠OAD ＋∠GPD ＝∠OAD ＋∠APE＝90°，∴∠GPD ＝∠GDP ，∴GP ＝GD ，故②正确．补全⊙O ，延长CE 交⊙O 于点F .∵CE ⊥AB ，∴A 为FC ︵的中点，即AF ︵＝AC ︵.又∵C 为AD ︵的中点，∴CD ︵＝AC ︵，∴AF ︵＝CD ︵，∴∠CAP ＝∠ACP ，∴AP ＝CP .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACQ ＝90°，∴∠ACP ＋∠PCQ ＝90°，∠CAP ＋∠PQC ＝90°，∴∠PCQ ＝∠PQC ，∴PC ＝PQ ，∴AP ＝PQ ，即P 为Rt △ACQ 的斜边AQ 的中点，∴点P 为Rt △ACQ 的外心，故③正确．17. 【答案】112.5 [解析] 如图，连接OC.∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD.∵BD ＝2－1，OA ＝OB ＝OC ＝1，∴OD ＝2，∴CD ＝OD2－OC2＝（2）2－12＝1，∴OC ＝CD ，∴∠DOC ＝45°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OCA ＝12∠DOC ＝22.5°，∴∠ACD ＝∠OCA ＋∠OCD ＝22.5°＋90°＝112.5°.18. 【答案】R ＝4.8或6<R ≤8 [解析] 当⊙C 与AB 相切时，如图①，过点C 作CD ⊥AB 于点D .根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10.根据三角形的面积公式，得12AB ·CD ＝12AC ·BC ，解得CD ＝4.8，所以R ＝4.8；当⊙C 与AB相交时，如图②，此时R 大于AC 的长，而小于或等于BC 的长，即6<R ≤8.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】【思维教练】(1)证明AC是∠DAO的角平分线即证明∠DAC＝∠OAC，由圆的性质知OA＝OC，得∠OCA＝∠OAC，由切线性质得OC⊥CD，即OC∥AD，得∠OCA＝∠CAD，即可得证；(2)①△OCE内角和为180°，∠E已知，由(1)OC ∥AD得∠COE＝∠DAO，即可求解；②EF＝GE－FG，由∠OCE＝45°，OC＝22，考虑构造直角三角形OGC，求出CG，即FG，GE在Rt△OGE中，OG＝CG,∠E＝30°，得出GE，从而求出EF.(1)证明：∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD.∴AD∥OC.∴∠DAC＝∠OCA.又∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC.∴AC平分∠DAO.(3分)(2)解：①∵AD∥OC，∴∠EOC＝∠DAO＝105°.∵∠E＝30°，∴∠OCE＝45°.(6分)②作OG⊥CE于点G，可得FG＝CG.∵OC＝22，∠OCE＝45°，∴OG＝2，∴FG＝2.∵在Rt△OGE中，∠E＝30°，∴GE＝2 3.∴EF＝GE－FG＝23－2.(10分)20. 【答案】解：(1)根据题意，知⊙P和y轴相切，则r＝3.(2)根据题意，知⊙P和y轴相交，和x轴相离，则3＜r＜4.(3)根据题意，知⊙P和x轴相切或经过坐标原点，则r＝4或r＝5.(4)根据题意，知⊙P和x轴相交且不经过坐标原点，则r＞4且r≠5.21. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OD.∵OC ＝OD ，AB ＝AC ，∴∠1＝∠C ，∠C ＝∠B ，∴∠1＝∠B ，∴OD ∥AB.∵DE ⊥AB ，∴OD ⊥DE.又∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线．(2)连接AD.∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°.∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝30°，BD ＝CD.∴∠AOD ＝60°.∵DE ＝3，∴CD ＝BD ＝2DE ＝2 3，∴AD ＝2，AC ＝4，∴OC ＝2，∴AD ︵的长＝120180π×2＝23π.22. 【答案】解：(1)当⊙P 与x 轴相切时，点P 的纵坐标为2或－2，∴2＝2x －1或－2＝2x －1，解得x ＝32或x ＝－12，∴点P 的坐标为(32，2)或(－12，－2)．(2)当⊙P 与y 轴相切时，点P 的横坐标为2或－2，∴y ＝2×2－1＝3或y ＝2×(－2)－1＝－5，∴点P 的坐标为(2，3)或(－2，－5)．(3)当⊙P 与x 轴和y 轴都相切时，点P 的横坐标与纵坐标的绝对值相等， 即x ＝y 或y ＝－x ，∴x ＝2x －1，解得x ＝1，y ＝1；或－x ＝2x －1，解得x ＝13，y ＝－13.∴点P 的坐标为(1，1)或(13，－13)，即⊙P 的半径是1或13.。
2020年人教版九年级数学上册24.2.2《直线和圆的位置关系》课后练习(含答案)
2020年人教版九年级数学上册24.2.2《直线和圆的位置关系》课后练习知识点 1 直线与圆的位置关系的判定1．如图，直线l与⊙O有三种位置关系：(1)图①中直线l与⊙O________，有________个公共点，这条直线叫做圆的________；(2)图②中直线l与⊙O________，有________个公共点，这条直线叫做圆的________；(3)图③中直线l与⊙O________，________公共点．2．已知半径为5的圆，其圆心到一条直线的距离是3，则此直线和圆的位置关系为( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定3．如图，已知点A，B在半径为1的⊙O上，∠AOB=60°，延长OB至点C，过点C作直线OA的垂线，记为l，则下列说法正确的是( )A．当BC=0.5时，l与⊙O相离B．当BC=2时，l与⊙O相切C．当BC=1时，l与⊙O相交D．当BC≠1时，l与⊙O不相切4．在平面直角坐标系中，以点(3，2)为圆心，3为半径的圆，一定( )A．与x轴相切，与y轴相切B．与x轴相切，与y轴相交C．与x轴相交，与y轴相切D．与x轴相交，与y轴相交5．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是________．6．在Rt△ABC中，∠A=30°，直角边AC=6 cm，以点C为圆心，3 cm为半径作圆，则⊙C 与AB的位置关系是________．知识点 2 直线与圆的位置关系的应用7．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是( ) A．r＜6 B．r=6 C．r＞6 D．r≥68．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是关于x的方程x2－4x＋m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为________．9．如图所示，已知Rt△ABC的斜边AB=8 cm，AC=4 cm.(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？(2)分别以点C为圆心，2 cm和4 cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？10．已知⊙O 的半径为7 cm ，圆心O 到直线l 的距离为6.5 cm ，则直线l 与⊙O 的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．无法确定11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为(－3，0)，将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为( )A ．1B ．1或5C ．3D ．512．如图，⊙O 的半径OC=5 cm ，直线l ⊥OC ，垂足为H ，且l 交⊙O 于A ，B 两点，AB=8 cm ，若l 沿OC 所在直线平移后与⊙O 相切，则平移的距离是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．8 cmD ．2 cm 或8 cm13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，若以点C 为圆心，r 为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是______________________________．14．如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y=12x 2－1上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为______________．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，若AO=x cm ，⊙O 的半径为1 cm ，当x 在什么范围内取值时，直线AC 与⊙O 相离、相切、相交？16．如图所示，P 为正比例函数y=32x 的图象上的一个动点，⊙P 的半径为3，设点P 的坐标为(x ，y)．(1)求当⊙P 与直线x=2相切时，点P 的坐标；(2)请直接写出当⊙P 与直线x=2相交、相离时，x 的取值范围．17．如图，有两条公路OM ，ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点80米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿公路ON 方向行驶时，在以点P 为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大．已知重型运输卡车P 沿公路ON 方向行驶的速度为18千米/时．(1)求对学校A 的噪声影响最大时，卡车P 与学校A 的距离；(2)求卡车P 沿公路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间．参考答案1．(1)相交 两 割线 (2)相切 一 切线(3)相离 没有2．C3．D [解析] 若BC ≠1，则OC=OB ＋BC ≠2.∵∠AOB=60°，∴∠ACO=30°，∴点O 到直线l 的距离=12OC ≠1， ∴l 与⊙O 不相切，故D 正确．4．C 5.相离6．相切 [解析] 如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D.∵∠A=30°，AC=6 cm ，∴CD=3 cm. ∵CD=3 cm=r ，∴⊙C 与AB 相切．7．C [解析] ∵直线l 与⊙O 相交，∴圆心O 到直线l 的距离d ＜r ，即r ＞d=6.故选C.8．4 [解析] ∵R ，d 是关于x 的方程x 2－4x ＋m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切，∴d=R ，∴方程有两个相等的实数根，∴Δ=b 2－4ac=16－4m=0，解得m=4.故答案为4.9．解：(1)如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D.在Rt △ABC 中，BC=82－42=4 3(cm)，所以CD=4 3×48=2 3(cm)． 因此，当半径为2 3 cm 时，直线AB 与⊙C 相切．(2)由(1)可知，圆心C 到直线AB 的距离d=2 3 cm ，所以当r=2 cm 时，d ＞r ，⊙C 与直线AB 相离；当r=4 cm 时，d ＜r ，⊙C 与直线AB 相交．10．C [解析] ∵⊙O 的半径为7 cm ，圆心O 到直线l 的距离为6.5 cm ，7 cm ＞6.5 cm ，∴直线l 与⊙O 相交，∴直线l 与⊙O 有两个交点．故选C.11．B [解析] 根据题意和图形可判断出⊙P 与x 轴的两个交点坐标，如图所示．∵点P 的坐标为(－3，0)，⊙P 的半径为2，∴点A 的坐标为(－5，0)，点C 的坐标为(－1，0)．当圆心到y 轴的距离为2时，⊙P 与y 轴相切，也就是当点A 或点C 与点O 重合时，⊙P 与y 轴相切．当点C 与点O 重合时，点P 的坐标为(－2，0)，此时点P 沿x 轴正方向平移了1个单位长度；当点A 与点O 重合时，点P 的坐标为(2，0)，此时点P 沿x 轴正方向平移了5个单位长度．故选B.12．D [解析] 连接OB.∵AB ⊥OC ，∴AH=BH ，∴BH=12AB=12×8=4(cm)．在Rt △BOH 中，OB=OC=5 cm ，∴OH=OB 2－BH 2=52－42=3(cm)．∵直线l 通过平移与⊙O 相切，∴直线l 垂直于过点C 的直径，垂足为直径的两个端点，∴当直线l 向下平移时，平移的距离=5－3=2(cm)；当直线l 向上平移时，平移的距离=5＋3=8(cm)．13．5＜r ≤12或r=6013[解析] 根据勾股定理求得直角三角形的斜边长=52＋122=13.当圆和斜边相切时，半径即为斜边上的高，等于6013； 当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而不大于长直角边，即5＜r ≤12.14．(6，2)或(－6，2) [解析] 依题意，可设P(x ，2)或P(x ，－2)．①当点P 的坐标是(x ，2)时，将其代入y=12x 2－1，得2=12x 2－1，解得x=±6， 此时P(6，2)或(－6，2)；②当点P 的坐标是(x ，－2)时，将其代入y=12x 2－1，得－2=12x 2－1，即－1=12x 2， 此时方程无实数根．综上所述，符合条件的点P 的坐标是(6，2)或(－6，2)．15．解：作OD ⊥AC 于点D.∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=30°.∵AO=x cm ，∴OD=12x cm. (1)若⊙O 与直线AC 相离，则有OD>r ，即12x ＞1，解得x ＞2； (2)若⊙O 与直线AC 相切，则有OD=r ，即12x=1，解得x=2； (3)若⊙O 与直线AC 相交，则有OD<r ，即12x ＜1，解得x ＜2，∴0<x<2. 综上可知：当x ＞2时，直线AC 与⊙O 相离；当x=2时，直线AC 与⊙O 相切；当0＜x ＜2时，直线AC 与⊙O 相交．16．解：(1)过点P 作直线x=2的垂线，垂足为A.当点P 在直线x=2的右侧时，AP=x －2=3，∴x=5，此时y=32×5=152，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫5，152； 当点P 在直线x=2的左侧时，AP=2－x=3，∴x=－1，此时y=32×(－1)=－32， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32. 综上所述，当⊙P 与直线x=2相切时，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5，152或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32. (2)当－1＜x ＜5时，⊙P 与直线x=2相交；当x ＜－1或x ＞5时，⊙P 与直线x=2相离．17．解：(1)过点A 作ON 的垂线段，交ON 于点P ，如图①.在Rt △AOP 中，∠APO=90°，∠POA=30°，OA=80米，所以AP=12OA=80×12=40(米)，即对学校A 的噪声影响最大时，卡车P 与学校A 的距离是40米．(2)以点A 为圆心，50米长为半径画弧，交ON 于点D ，E ，连接AD ，AE ，如图②.在Rt △ADP 中，∠APD=90°，AP=40米，AD=50米，所以DP=AD 2－AP 2=502－402=30(米)．同理可得EP=30米，所以DE=60米．又因为18千米/时=5米/秒，605=12(秒)， 所以卡车P 沿公路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为12秒．。
24.2.2直线和圆的位置关系(3)(17张)
C
A
B
I
D
M
N
r
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，
．
o
外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。 外接圆的半径：交点到三角形任意一个定点的距离。
三角形外接圆
三角形内切圆
．
o
内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。 内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。
A
A
B
B
C
C
例3 如图 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.
A
O
P
P
A
B
A
O
P
P
A
切 线 长
经过圆外一点作圆的切线， 这点和切点之间的线段的 长叫做切线长.
A
O
P
切线与切线长的区别与联系：
（1）切线是一条与圆相切的直线；
（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。
A
O
P
B
如何证明 PA=PB, ∠APO=∠ BPO ？
证明： ∵PA、PB是 ⊙O的两条切线
B
三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等，因此，如图，分别作出∠B、∠C的平分线BM和CN，设他们相交于点I，那么点I到AB、BC、CA的距离都相等，以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径做圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切.
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
练 习``
解 ：∠BOC=180°－ （∠ABC + ∠ACB）
=117.5°
=180°－ （50°+75°）0
人教版九年级数学上册《直线和圆的位置关系》同步练习
积相等，得 AB·CD=AC·BC.
∴CD= 6 8 =4.8. 10
答案：D 4.⊙O 内最长弦长为 m，直线 l 与⊙O 相离，设点 O 到 l 的距离为 d，则 d 与 m 的关系
是()
A.d=m
B.d＞m
C.d＞ m 2
D.d＜ m 2
思路解析：最长弦即为直径，所以⊙O 的半径为 m ，故 d＞ m .
图 24-2-2-9 思路分析：从圆外一点引圆的两条切线，可证切线长相等，则可将四边形 CDFP 的周长转化 为正方形边长的 3 倍. 解：∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠A=∠B=90°. ∴AF、BP 都是⊙O 的切线. 又∵PF 是⊙O 的切线, ∴FE=FA,PE=PB. ∴四边形 CDFP 的周长为 AD+DC+CB=2×3=6. 6.如图 24-2-2-10 所示，已知 AB 为半圆 O 的直径，直线 MN 切半圆于点 C，AD⊥MN 于点 D， BE⊥MN 于点 E，BE 交半圆于点 F，AD=3 cm，BE=7 cm， (1)求⊙O 的半径； (2)求线段 DE 的长.
2
2
答案：C
5.以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
思路解析：直径边必垂直于相切边.
答案：B
6.(北京模拟)如图 24-2-2-2，PA、PB 是⊙O 的两条切线，切点是 A、B.如
果 OP=4，PA=23，那么∠AOB 等于( )
图 24-2-2-3 观察上述图形，连结图 24-2-2-3(2)中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线
段 CE 相等；
连结
人教版九年级上《24.2.1点和圆的位置关系》同步练习(含答案
2021-2022度人教版数学九年级上册同步练习24.2.1 点和圆的位置关系一．选择题（共16小题）1．已知⊙O的半径为5，若OP=6，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．无法判断2．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定3．平面内有一点P到圆上最远的距离是6，最近的距离是2，则圆的半径是（）A．2B．4C．2 或4D．84．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是（）A．3＜r＜4B．3＜r＜5C．3≤r≤5D．r＞45．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB=2，AD=10，C是弧BD 上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（）A．5B．6C．7D．86．如图，在平面直角坐标系中，⊙A的半径为1，圆心A在函数y=x的图象上运动，下列各点不可能落入⊙A的内部的是（）A．（1，2）B．（2，3.2）C．（3，3﹣）D．（4，4+）7．下随有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂宜于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补．其中错误的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．下列有关圆的一些结论①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补．其中正确的结论是（）A．①B．②C．③D．④9．如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（）A．（6，8）B．（4，5）C．（4，）D．（4，）10．如图所示，△ABC内接于⊙O，C为弧AB的中点，D为⊙O上一点，∠ACB=100°，则∠ADC的度数等于（）A．40°B．39°C．38°D．36°11．三角形的外心是（）A．三条边中线的交点B．三条边高的交点C．三条边垂直平分线的交点D．三个内角平分线的交点12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，若∠ACD=40°，则∠BAD的大小为（）A．35°B．50°C．40°D．60°13．如图，已知⊙O的半径为3，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB的长为（）A．3B．C．D．414．利用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设（）A．四边形中至多有一个内角是钝角或直角B．四边形中所有内角都是锐角C．四边形的每一个内角都是钝角或直角D．四边形中所有内角都是直角15．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，应先假设（）A．有一个内角小于90°B．每一个内角都小于90°C．有一个内角小于或等于90°D．每一个内角都大于90°16．用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设（）A．至少有一个内角是直角B．至少有两个内角是直角C．至多有一个内角是直角D．至多有两个内角是直角二．填空题（共9小题）17．圆外一点到圆的最大距离为9cm，最小距离为4cm，则圆的半径是cm．18．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P 在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为．19．已知圆内一点P到圆上的最长距离为6cm，最短距离为2cm，则圆的半径为cm．20．如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为．21．已知直线l：y=x﹣4，点A（1，0），点B（0，2），设点P为直线l上一动点，当点P的坐标为时，过P、A、B不能作出一个圆．22．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，CD=6，OA交BC于点E，则AE的长度是．23．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若DE=2，则BC=．24．如图△ABC是坐标纸上的格点三角形，试写出△ABC外接圆的圆心坐标．25．用反证法证明：“三角形中至少有两个锐角”时，首先应假设这个三角形中．三．解答题（共7小题）26．如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C．（1）请完成以下操作：①以点O为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD；（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：⊙D的半径为；点（6，﹣2）在⊙D；（填“上”、“内”、“外”）∠ADC的度数为．27．已知AB是⊙O的直径，AB=2，点C，点D在⊙O上，CD=1，直线AD，BC交于点E．（Ⅰ）如图1，若点E在⊙O外，求∠AEB的度数．（Ⅱ）如图2，若点E在⊙O内，求∠AEB的度数．28．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．29．操作与探究我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件．（1）分别测量图1、2、3各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现．（2）如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图4、5的两个图说明其中的道理．（提示：考虑∠B+∠D与180°之间的关系）由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．30．问题：我们知道，过任意的一个三角形的三个顶点能做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，那么任意的一个四边形有外接圆吗？探索：如图给出了一些四边形，填写出你认为有外接圆的图形序号；发现：相对的内角之间满足什么关系时，四边形一定有外接圆？写出你的发现：；说理：如果四边形没有外接圆，那么相对的两个内角之间有上面的关系吗？请结合图④说明理由．31．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：∠DAC=∠DBA；（2）求证：PD=PF；（3）连接CD，若CD=3，BD=4，求⊙O的半径和DE的长．32．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．【解答】解：∵r=5，d=OP=6，∴d＞r，∴点P在⊙O外，故选：B．2．【解答】解：∵圆心P的坐标为（﹣3，4），∴OP==5．∵⊙O的半径为5，∴点P在⊙O上．故选：B．3．【解答】解：∵点P到⊙O的最近距离为2，最远距离为6，则：当点在圆外时，则⊙O的直径为6﹣2=4，半径是2；当点在圆内时，则⊙O的直径是6+2=8，半径为4，故选：C．4．【解答】解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，则BD==5．由图可知3＜r＜5．故选：B．5．【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD=90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴BD==12，BM===13，∴BH的最小值为BM﹣MH=13﹣5=8．故选：D．6．【解答】解：A、点（1，2）到直线y=x的距离为（2﹣1）=＜1，∴点（1，2）可能在⊙A的内部；B、点（2，3.2）到直线y=x的距离为（3.2﹣2）=＜1，∴点（2，3.2）可能在⊙A的内部；C、点（3，3﹣）到直线y=x的距离为 [3﹣（3﹣）]=＜1，∴点（3，3﹣）可能在⊙A的内部；D、点（4，4+）到直线y=x的距离为（4+﹣4）=1，∴点（4，4+）不可能在⊙A的内部．故选：D．7．【解答】解：：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；③平分弦的直径垂宜于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径；④圆内接四边形对角互补；正确；故选：C．8．【解答】解：①不共线的三点确定一个圆，故①表述不正确；①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②表述不正确；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故③表述不正确；⑤圆内接四边形对角互补，故④表述正确．故选：D．9．【解答】解：∵⊙P经过点A、B、C，∴点P在线段AB的垂直平分线上，∴点P的横坐标为4，设点P的坐标为（4，y），作PE⊥OB于E，PF⊥OC与F，由题意得，=，解得，y=，故选：C．10．【解答】解：∵C为弧AB的中点，∴=，∴AC=BC，∵∠ACB=100°，∴∠B=∠CAB=×（180°﹣100°）=40°，由圆周角定理得，∠ADC=∠B=40°，故选：A．11．【解答】解：三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故选：C．12．【解答】解：连接BD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ACD=∠ABD=40°，∴∠BAD=90°﹣40°=50°．故选：B．13．【解答】解：连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=3，∴AB=3，故选：B．14．【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中所有内角都是锐角．故选：B．15．【解答】解：用反证法证明：四边形中至少有一个内角大于或等于90°，应先假设：每一个内角都小于90°．故选：B．16．【解答】解：∵“最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的逆命题正确∴应假设：至少有两个内角是直角．故选：B．二．填空题（共9小题）17．【解答】解：∵圆外一点到圆的最大距离是9cm，到圆的最小距离是4cm，则圆的直径是9﹣4=5（cm），∴圆的半径是2.5cm．故答案为：2.5．18．【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．∵DE=4，四边形DEFG为矩形，∴GF=DE，MN=EF，∴MP=FN=DE=2，∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．故答案为：10．19．【解答】解：⊙O的直径=6cm+2cm=8cm，半径为4cm；故答案为：4．20．【解答】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，故答案为：5．21．【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（1，0），点B（0，2），∴，解得，∴y=﹣2x+2．解方程组，得，∴当P的坐标为（2，﹣2）时，过P，A，B三点不能作出一个圆．故答案为（2，﹣2）22．【解答】解：∵AB=C，∴=，∴OA⊥BC，∴∠BAE=∠CAE=60°，BE=EC，∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∵BE⊥OA，∴OE=AE，∵OB=OD，BE=EC，∴OE=AE=CD=3．故答案为3．23．【解答】解：∵OD⊥AB，∴AD=DB，∵OE⊥AC，∴AE=CE，∴DE为△ABC的中位线，∴DE=BC，∴BC=2DE=2×2=4．故答案为：424．【解答】解：由图象可知B（1，4），C（1，0），根据△ABC的外接圆的定义，圆心的纵坐标是y=2，设D（a，2），根据勾股定理得：DA=DC（1﹣a）2+22=42+（3﹣a）2解得：a=5，∴D（5，2）．故答案为：（5，2）．25．【解答】解：∵至少有两个”的反面为“最多有一个”，而反证法的假设即原命题的逆命题正确；∴应假设：三角形三个内角中最多有一个锐角．故答案为：三角形三个内角中最多有一个锐角三．解答题（共7小题）26．【解答】解：（1）①平面直角坐标系如图所示：②圆心点D，如图所示；（2）⊙D的半径=AD==2，∵点（6，﹣2）到圆心D的距离==2=半径，∴点（6，﹣2）在⊙D上．观察图象可知：∠ADC=90°，故答案为：2，上，90°．27．【解答】解：（Ⅰ）如图1，连接OC、OD，∵CD=1，OC=OD=1，∴△OCD为等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠CBD=∠COD=30°，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠AEB=90°﹣∠DBE=90°﹣30°=60°；（Ⅱ）如图2，连接OC、OD，同理可得∠CBD=30°，∠ADB=90°，∴∠AEB=90°+∠DBE=90°+30°=120°．28．【解答】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上．29．【解答】解：（1）对角互补（对角之和等于180°）；∵矩形、正方形的对角线相等且互相平分，∴四个顶点到对角线交点距离相等，∴矩形、正方形的四个顶点可在同一个圆上；四个顶点在同一个圆上的四边形的对角互补．（2）图4中，∠B+∠D＜180°．图5中，∠B+∠D＞180°．过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是：对角互补（对角之和等于180°）．30．【解答】解：探索：矩形有外接圆；故答案为②；发现：对角互补的四边形一定有外接圆；故答案为对角互补的四边形一定有外接圆；说理：如果四边形没有外接圆，那么相对的两个内角之间没有有上面的关系．图④左：连接BE，∵∠A+∠E=180°，∠BCD＞∠E，∴∠A+∠BCD＞180°；图④右：连接DE，∵∠A+∠BED=180°，∠BED＞∠C，∴∠A+∠C＜180°．31．【解答】（1）证明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA，∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC=∠CBD，∴∠DAC=∠DBA，∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB，∴∠ADB=∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，∴∠ADE=∠DBA，∴∠DAC=∠ADE，∴∠DAC=∠DBA；（2）证明：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB=90°，∴∠ADE+∠EDB=∠DFA+∠DAC=90°，又∵∠ADE=∠DAP，∴∠PDF=∠PFD，∴PD=PF；（3）解：连接CD，∵∠CBD=∠DBA，∴CD=AD，∵CD=3，∴AD=3，∵∠ADB=90°，∴AB=5，故⊙O的半径为2.5，∵DE×AB=AD×BD，∴5DE=3×4，∴DE=2.4．即DE的长为2.4．32．【解答】证明：假设PB≥PC．把△ABP绕点A逆时针旋转，使B与C重合，∵PB≥PC，PB=CD，∴CD≥PC，∴∠CPD≥∠CDP，又∵AP=AP，∴∠APD=∠ADP，∴∠APD+∠CPD≥∠ADP+∠CDP，即∠APC≥∠ADC，又∵∠APB=∠ADC，∴∠APC≥∠APB，与∠APB＞∠APC矛盾，∴PB≥PC不成立，综上所述，得：PB＜PC．。
人教版九年级数学上册《24-2-1 点和圆的位置关系》作业同步练习题及参考答案
24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系1.用反证法证明“已知平面内的三条直线a,b,c,若a∥b,c 与a 相交,则c 与b 也相交”时,第一步应假设( )A.c 与a 平行B.c 与b 相交C.c 与b 不相交D.以上都不对2.如图,在矩形ABCD 中,AB=4,AD=3,若以点A 为圆心,以4 为半径作☉A,则下列各点中在☉A 外的是( )A.点AB.点BC.点CD.点D3.如图,在5×5 正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C 三点,则这条圆弧所在圆的圆心是( )A.点PB.点QC.点RD.点M4.(2018·山东泰安中考)如图,☉O 是△ABC 的外接圆,∠A=45°,BC=4,则☉O 的直径为.ˆ�上,∠ABP=22°,则∠BCP的度数为.5.如图,☉O是等边三角形ABC的外接圆,点P在劣弧�6.如图,一只猫观察到某老鼠洞的三个出口A,B,C 不在同一条直线上,请问这只猫在什么地方,才能最省力的同时顾及三个洞口?并作出这个位置.7.如图,在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9 个格点(格线的交点称为格点),若以A 为圆心,r 为半径画圆,选取的格点中除点A 外恰好有3 个在圆内,则r 的取值范围为( )A.2 2<r< 17B. 17<r<3 2C. 17<r<5D.5<r< 298.若O 为△ABC 的外心,且∠BOC=60°,则∠BAC 的度数为.★9.已知线段AB 和直线l,过A,B 两点作圆,并且使圆心在直线l 上.(1)当AB∥l 时,这样的圆能作几个?(2)当AB 与直线l 斜交时,这样的圆能作几个?(3)当AB 与直线l 垂直,且直线l 不过线段AB 的中点时,这样的圆能作几个?(4)当直线l 是线段AB 的垂直平分线时,这样的圆能作几个?★10.P(x,y)是以坐标原点为圆心,5 为半径的圆周上的点,若x,y 都是整数,则这样的点有多少个?分别写出这些点的坐标.参考答案夯基达标1.C2.C3.B4. 4 2 如图,连接OB,OC,∵∠A=45°,∴∠BOC=90°.∴△BOC 是等腰直角三角形.又BC=4,∴BO=CO=2 2,∴☉O 的直径为4 2.5.38°6.分析最省力的同时顾及三个洞口,猫应在与三个洞口距离相等的地方,即△ABC 外接圆的圆心处,因此作出△ABC 的外心即可.解如图,连接AB,BC,分别作线段AB,BC 的垂直平分线且相交于点O,则点O 即为所求.培优促能7.B 给各点标上字母,如图所示.AB= 22 + 22=2 2,AC=AD= 42 + 12 = 17,AE= 32 + 32=3 2,AF= 52 + 22 = 29,AG=AM=AN= 42 + 32=5,所以当17<r<3 2时,以 A 为圆心,r 为半径画圆,选取的格点中除点A 外恰好有3 个在圆内.故选B.8.30°或150°9.解(1)当AB∥l 时,线段AB 的垂直平分线与直线l 有唯一的公共点,这样的圆可作一个.如图①.(2)当AB 与直线l 斜交时,线段AB 的垂直平分线与直线l 有唯一的公共点,这样的圆可作一个.如图②.(3)当AB 与直线l 垂直,且直线l 不过线段AB 的中点时,线段AB 的垂直平分线与直线l 没有公共点, 这样的圆不存在.如图③.(4)当直线l 是线段AB 的垂直平分线时,直线l 上的任一点都可作圆心,这样的圆有无数个.如图④.创新应用10.解由题意知x2+y2=52,∴x=0,y=±5;x=±3,y=±4;x=±4,y=±3;x=±5,y=0,∴这样的点有12 个,分别是(0,5);(0,-5);(3,4);(3,-4);(-3,4);(-3,-4);(4,3);(4,-3);(-4,3);(-4,-3);(5,0);(-5,0).。
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《24.2 点、直线和圆的位置关系》练习
一、选择题
1．下列说法中，正确的有（ ）
①三点可以确定一个圆； ②三角形的外心是三角形三边中线的交点；
第5题图 第7题图
第8题图 第9题图
下列结论正确的个数是（ ）
①AD ⊥BC ；②∠EDA=∠B ；③OA=AC ；④DE 是⊙O 的切线．
R
R
﹣12．已知在△ABC 中，∠C=90°，AC=4cm ，AB=5cm ，CD ⊥AB 于点D ，以点C 为圆心，3cm 为半径作⊙C ，则点A 在⊙C _________ ，点B 在⊙C _________ ，点D 在⊙C ______．（填“上“内”或“外”）
13．已知一点到圆周上点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的直径为 ___ 14．如图，一圆弧过方格的格点A 、B 、C ，在方格中建立平面直角坐标系， 使点A 的坐标为（﹣1，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是 _________ ．
15．三角形的三边长为5cm 、12cm 、13cm ，则它最长边上的高为 _________ ．
16．已知等腰△ABC 内接于半径为5cm 的⊙O ，若底边BC=8cm ，则△ABC 的面积为______cm 2
． 17．在矩形ABCD 中，AB=8，AD=6，以A 为圆心作圆，如果B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则圆A 的半径r 的取值范围是 _________ ． 18．（2011•徐州）已知⊙O 的半径是5，圆心O 到直线AB 的距离为2，则⊙O 上有且只有 _________ 个点到直线AB 的距离为3． 19．已知⊙O 的直径是10cm ，弦MN=8cm ，则以O 为圆心，r 为半径作⊙O 的同心圆．当r= _________ cm 时，作出的⊙O 的同心圆与弦MN 相切．
20．已知圆的半径为6.5cm ，直线l 上一点P 到圆心的距离为7cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系是 _________ ．
20．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOC=30°，半径为1cm 的⊙P 的圆心在直线AB 上，且与点O 的距离为6cm ．如果⊙P 以1cm ∕s 的速度，沿由A 向B 的方向移动，那么 _________ 秒种后⊙P 与直线CD 相切．
第20题图 第21题图 第22题图 第23题图 21．（2010•河南）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=6．点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），且DA=DE ，则AD 的取值范围是 _________ ．
22．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PM 切⊙O 于点M ．若OA=a ，PM=a ，PB=2﹣a ，则△PMB 的周长等于 _________ ．
第24题图 第29题图
23．（2009•新疆）如图，∠ACB=60°，半径为1cm 的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是 _________ cm ． 24．（2009•太原）如图AB 、AC 是⊙O 的两条弦，∠A=30°，过点C 的切线与OB 的延长线交于点D ，则∠D 的度数为 _________ 度．
25．若直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则它的外接圆半径为 _________ ，内切圆半径为 _________ ．
26．自圆外一点向圆引两条切线所形成的夹角为
60°
，若切线长为5cm
，则此圆的半径为 cm ． 27．在△ABC 中，I 为内心，若∠A=70°，则∠BIC= _________ ． 28．（2010•孝感）P 为⊙O 外一点，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，∠APB=50°，点C 为⊙O 上一点（不与A ，B 重合），则∠ACB 的度数为 _________ ． 29．（2003•重庆）如图：EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A 的度数是 _________ 度．
三、解答题
1．在等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，求等腰△ABC外接圆的半径．
2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∠A=30°，AC=3cm，以C 为圆心，为半径画⊙C，指出点A、B、D与⊙C的位置关系．若要⊙C经过点D，则这个圆的半径应有多长？
4、如图，是一块残破的圆轮片，A、B、C是圆弧上的三点．
（1）作出弧ACB所在的⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如果AC=BC=60cm，∠ACB=120°，求该残破圆轮片的半径．
5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D 三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC=AE；
（2）求AD的长．
6．（2010•济宁）如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
7．如图，AB为⊙O的直径，BE切⊙O于点C，连接AE交⊙O于点C，D是BE的中点．求证：CD是⊙O的切线．8．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O经过BC的中点D，过D作DE⊥AC于E．
（1）求证：AB=AC
（2）求证：DE是⊙O的切线
（3）若AB=10，∠ABC=30°，求DE的长．
9．（2011•芜湖）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD丄PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．
10．（2010•德州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点，交AD于点G，交AB于点F．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．
11．（2010•武汉）如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．。