信号与系统第1张

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《信号与系统》第一章知识要点+典型例题

y() 表示系统的输出。
1、线性系统与非线性系统若系统满足下列线性性质：（1）可分解性全响应 y () 可分解为零输入响应 y zi () 与零状态响应 y zs () 之和，即
y() y zi () y zs ()
（2）齐次性零输入响应 y zi () 满足齐次性，零状态响应 y zs () 满足齐次性，即
( t ) 、 ( t ) 的重要性质

1

( t )dt 1 ，
t

( t )dt 0 ， ( t )dt ( t ) ( k ) (k )
f ( k ) ( k ) f (0) ( k ) f ( k ) ( k k 0 ) f ( k 0 ) ( k k 0 )
f ( t ) ( t a )dt f (a )
k

f ( k ) ( k ) f (0)
(at )
5
1 (t ) a
1 b (at b) ( t ) a a f ( t ) ( t ) f (0) ( t ) f (0) ( t ) f ( t ) ( t ) f (0) ( t ) f (0) ( t )
2

。
而对离散的正弦（或余弦）序列 sin( k ) [或 cos( k ) ]( 称为数字角频率，单位为 rad )，只有当
2

为有理数时才是周期序列，其周期 N M
2

， M 取使 N 为整数的最小整数。
如对信号 cos(6 k ) ，由于
2

2 1 为有理数，因此它是周期序列，其周期 N 1 。 6 3

(完整版)信号与系统第一章答案

1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。

（2）∞<<-∞=-t et f t,)( （3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f kε= （10）)(])1(1[)(k k f kε-+=解：各信号波形为（2）∞<<-∞=-t et f t,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε=（5）)f=rt)(sin(t（7）)t=(kf kε(2)（10）)f kεk=(k+-((])11[)1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。

（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε解：各信号波形为（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。

1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。

1-5 判别下列各序列是否为周期性的。

如果是，确定其周期。

（2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f（5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+=解：1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。

精品课件-信号与系统-第1章

“系统”是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。在信息科学与技术领域中，常常利用通信系统、控制系统和计算机系统进行信号的传输、交换与处理。实际上，往往需要将多种系统共同组成一个综合性的复杂整体，例如宇宙航行系统。
第章信号与系统的基本概念
信号与系统之间有着十分密切的联系。离开了信号，系统将失去意义。信号作为待传输消息的表现形式，可以看做运载消息的工具，而系统则是为传送信号或对信号进行加工处理而构成的某种组合。研究系统所关心的问题是，对于给定信号形式与传输、处理的要求，系统能否与其相匹配，它应具有怎样的功能和特性。
第章信号与系统的基本概念
图1.1 电路中电容两端的电压变化
第章信号与系统的基本概念
如果我们只能得到某些采样点的值，则信号便不是连续曲线了，自变量也不是在时间上连续的，而是一个个离散的点，通常用x［n］表示， n=…－3, －2, －1, 0, 1, 2, 3, …。 x［n］可以表示自变量本来就是离散的现象，例如有关人口统计学中的一些数据、股票市场的指数等。图1.2给出了近94年的道琼斯工业平均（Doe Jones Industrial Average）指数值。也有一些离散信号是由本来连续的时间信号经过采样而得到的，这时离散信号x［n］则代表了一个自变量是连续变化的连续时间信号在一系列离散时刻点上的样本值。
第章信号与系统的基本概念
随着信号传输、信号交换理论与应用的发展，出现了所谓“信号处理”的新课题。信号处理可以理解为对信号进行某种加工或变换。信号处理的应用已遍及许多科学技术领域，例如，从月球探测器发来的信号可能被淹没在噪声之中，但是，利用信号处理技术进行增强，就可以在地球上得到清晰的月球图像。石油勘探、地震测量以及核试验监测仪所得数据的分析都依赖于信号处理技术的应用。此外，在心电图、脑电图分析，语音识别与合成，图像数据压缩以及经济形势预测(如股票市场分析)等各种领域中都广泛采用了信号处理技术。

信号与系统基础-第1章

单位阶跃信号是从实际应用中抽象出来的。比如，图1-14中S 的在开t关 0 时刻闭合，则理想情况下电阻R 上的电压uR (t) (t)
(t) 1
0
t
图1-12 单位阶跃信号
K
E 1V uR (t) (t) R
图1-13 单位阶跃信号实例
(t)
def
0, 1,
(t 0) (t 0)
确知信号虽然不用于通信，但可以作为基本信号对系统的特性进行分析研究，其研究方法和结果可以直接推广或借鉴到随机信号的分析中去，这就是研究确知信号的意义所在。
23
1.3 基本连续信号
现实生活中，信号的种类繁多，要想逐个研究是不可能的。因此，人们从各种信号中挑选出一些基本信号加以研究。主要原因是
（1）基本信号可以通过数学手段去精确或近似表征其他信号，比如傅里叶级数的基本形式是正弦和余弦信号，但它们可以表示绝大多数不同形式的周期信号（详见第4章）。
11
1.2 信号的分类
S
f (t)
yS (t)
p(t)
0
t
0 Ts
t
0
t
（a）抽样概念示意图
F ( / f ) 低通型信号频谱
F ( / f ) 带通型信号频谱
0
fL
fH
/ f 0
fL fH
/ f
（b）低通、带通信号示意图
图1-4 抽样及低通、带通信号概念示意图
12
1.2 信号的分类
离散信号有以下主要特点：（1）虽然自变量取离散值，但因变量（幅值）的取值可以是连续的（即有无穷个可能的取值），也可以是离散的。（2）其图形是出现在离散自变量点上的一系列垂直线段。
1 2

《信号与系统》课件第1章 (3)

41
4. 指数信号指数信号的一般数学表达式为
f(t)=Aest
根据式中s的不同取值，可以分下列两种情况讨论： (1) s=σ时，此时为实指数信号，即
(1-23)
f(t)=Aeσt
(1-24)
当σ>0时，信号呈指数规律增长；当σ<0时，信号随指数规律
衰减；当σ=0时，指数信号变成恒定不变的直流信号，如图1-
16所示。
42
图1-16 实指数信号
43
(2) s=σ+jω，此时为复指数信号。利用欧拉公式，可以进一步表示为
(1-25) 可见，复指数信号的实部和虚部都是振幅按指数规律变化的正弦振荡，当σ>0(σ<0)时，其实部和虚部的振幅按指数规律增长(衰减)；当σ=0时，复指数信号变为虚指数信号
(1-26) 此时信号的实部和虚部都是等幅振荡的正弦波。复指数信号虚部的波形如图1-17所示。
f(t)δ(t)=f(0)δ(t)
若f(t)在t=t0时连续，则有
f(t)δ(t－t0)=f(t0)δ(t－t0)
(1-16) (1-17)
36
对上面两式取积分，可得到下面两个重要的积分结果: (1-18) (1-19)
式(1-19)说明，δ(t)函数可以把信号f(t)在某时刻的值采样(筛选) 出来，这就是δ(t)的筛选性。
11
图1-4 非周期能量信号
12
图1-5 非周期功率信号
13
图1-6 非功率非能量信号
14
1.2.2 几种常用的基本信号 1. 单位斜变信号斜变信号是指从某一时刻开始随时间成正比例增加的信
号。斜变信号也称斜坡信号。若斜变信号增长的变化率为1，斜变的起始点发生在t=0时刻，就称其为单位斜变信号(如图 1-7所示)，其数学表达式为

信号与系统第一章第二节

例子
0 (当t 2 ) 1 vc (t ) (t ) (当 t ) 2 2 2 1 (当t ) 2 电流ic(t)为
：
从物理方面理解函数的意义。电路图如下：电压源vc(t)接向电容元件Ｃ，假定vc(t)是斜变信号。
vc (t )

ic (t )
c
vc (t )
ic (t )
dvc (t ) ic (t ) c dt c [u (t ) u (t )] 2 2
1
1 2
c
2
0 2
t

0 2
t 0 2
t
如果0的极限情况，则vc(t)成为阶跃信号，它的微分— —电流ic(t)是冲激函数其表达式为： vc (t ) u (t ) v (t )
信号与系统
孔艳岩
495239861
1.4 阶跃信号和冲激信号 1.单位斜变信号
斜变信号也称斜升信号。它是从某一时刻开始随时间正比例增长的信号。如果增长的变化率是1，就称为单位斜变信号。

(1)单位斜变信号
f (t )
如果将起始点移至t0,则可写成
0 t 0 f (t ) t t 0
1
0
1
t
与阶跃函数类似，对于符号函数在跳变点也可不予定义，或规定sgn(0)=0. 显然，阶跃信号来表示符号函数
sgn( t ) 2u (t ) 1
2、阶跃函数的性质：
（1）可以方便地表示某些信号
f(t) = 2u(t)- 3u(t-1) +u(t-2)
（2）用阶跃函数表示信号的作用区间

信号与系统第一章课件

系统的传递函数
传递函数是描述线性时不变系统的复数域数学模型，它包含了系统的频率响应信息。
复数域分析的优势与应用
复数域分析方法可以方便地处理具有非线性特性的系统和信号，广泛应用于控制工程、电路分析等领域。
04 线性时不变系统
线性时不变系统的定义与性质
线性
系统的输出与输入成正比关系，比例系数为常数。
系统的频率响应
系统的频率响应是描述系统对不同频率信号的响应特性，通过频率响应曲线可以了解系统的性能。
3
频域分析的优势与应用
频域分析方法可以方便地处理复杂信号和系统，广泛应用于信号处理、通信、雷达等领域。
系统的复数域分析
拉普拉斯变换与复频域分析
拉普拉斯变换将信号从时域转换到复频域，通过复频域分析可以了解系统的动态特性和稳定性。
系统的定义与分类
定义
系统是指一组相互关联的元素或组成部分，它们共同完成某为线性系统和非线性系统；根据系统的动态行为，可以分为时不变系统和时变系统。
信号与系统的重要性及应用领域
重要性
信号与系统是通信工程、电子工程、自动控制工程等领域的核心基础，是实现信息传输、处理、控制和应用的关键。
要点三
信号与系统的重要意义
信号与系统作为现代工程和科学研究的重要基础，其发展对于推动科技进步和产业升级具有重要意义。未来，信号与系统的理论和技术将继续发挥重要作用，为人类社会的进步和发展做出贡献。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
因果性
系统的输出只与过去的输入有关，与未来的输入无关。
时不变
系统的特性不随时间变化。
稳定性
系统在受到外部激励时，其输出不会无限增长。

第1章-信号与系统(陈生潭)

1 2 3 4 5
k
图 1 3 2 离散信号的相加和相乘
. -
1 2 3 4 5
k
第 1 章信号与系统的基本概念
1.3.2 翻转、平移和展缩
将信号 f(t)( 或 f(k)) 的自变量 t( 或 k) 换成 -t( 或 -k) ，得到另一个信号f(-t)(或f(-k))，称这种变换为信号的翻转。它的几何意义是将自变量轴“倒置”，取其原信号自变量轴的负方向作为变换后信号自变量轴的正方向。或者按照习惯，自变量轴不“倒置”时，可将f(t)或f(k)的波形绕纵坐标轴翻转180°，即为f(-t)或f(-k)的波形，如图1.3-3所示。
能量E=∞)，则称此信号为功率有限信号，简称功率信号
离散信号f(k)的能量定义为
E f (k )
k

2
第 1 章信号与系统的基本概念
1.2 信号的基本特性
信号的基本特性包括时间特性、频率特性、能量特性和
信息特性。
在一定条件下，一个复杂信号可以分解成众多不同频率的
正弦分量的线性组合，其中每个分量都具有各自的振幅和相位。
2
4 k
t) 第 1 章f ( 信号与系统的基本概念
f (k )
－2
0
2
t
－3
0
3
k
f (t －2)
f (k －2)
0
2
4
t
－2 0
2
4
6 k
f (t ＋2)
f (k ＋2)
－4
－2
0 (a )
t
－6 －4 －2 0 (b )
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

信号与系统-第1章信号与系统的基本概念

f ( t ) = f ( t + n T ) n = 0, 1, 2, …
满足此关系式的最小T 值称为信号的周期。
只要给出此信号在任一周期内的变化过程，便可确知它在任一时刻的数值。
非周期信号（aperiodic signal）在时间上不具有周而复始的特性。
非周期信号也可以看作为一个周期T趋于无穷大时的周期信号。
信号与系统
第1章信号与系统的基本概念
1.1
信号的描述及分类
1.2
信号的运算
1.3
系统的数学模型及其分类
1.4
系统的模拟
1.5 线性时不变系统分析方法概述
1.1 信号的描述及其分类
1.1.1 信号及其描述
什么是信号（signal）？广义地说，信号是随时间变化的某种物理量。
在通信技术中，一般将语言、文字、图像或数据等统称为消息（message）。
1.1.2 信号的分类
对于各种信号，可以从不同的角度进行分类。
1．确定信号和随机信号
按时间函数的确定性划分，信号可分为确定信号和随机信号两类。
确定信号（determinate signal）是指一个可以表示为确定的时间函数的信号。
对于指定的某一时刻，信号有确定的值。
如我们熟知的正弦信号、周期脉冲信号等。
T T
其平均功率定义为：
P lim 1
T
2
f (t) dt
（1.1-2）
T 2T T
上两式中，被积函数都是f ( t )的绝对值平方，所以信号能量E 和信号功率P 都是非负实数。
若信号f (t)的能量0 < E < , 此时P =
0，则称此信号为能量有限信号，简称能量信号（energy signal）。

信号与系统第一章信号与系统概述

t 0 : f (t) 0 t 0 : y(t) 0
小结简单介绍了常用的信号分类，引入了对系统分析非常重要的两类信号：冲激信号和阶跃信号，并详细介绍了冲激信号的性质。本章还介绍了几个重要的系统的性质，包括线性、因果性、稳定性、时不变性等性质。
1 信号
一信号的定义
信号是信息的一种物理体现，信息则是信号的具体内容
二信号的分类
信号的分类
模
确
连
周
拟
定
续
期
信
信
信
信
号
号
号
号
与
与
与
与
数
随
离
非
字
机
散
周
信
信
信
期
号
号
号
信
号
2 基本信号及时域特性
1.指数信号指数信号的表达式为
ƒ(t)=Aeat 指数信号波形如图1-1所示
图1-1 指数信号波形
2.正弦信号正弦信号和余弦信号二者仅在相位上相差1800，统称为正弦信号，表达式为
图1-11 信号的反转
2.平移（移位）
以变量t-b代替信号ƒ(t)中的独立变量t，得信号ƒ(t-b)，它是信号ƒ(t)沿时间轴平移ｂ的波形。如图1-12所示，ƒ(t)与 ƒ(t-b)的波形形状完全一样，只是在位置上移动了ｂ。当 b>0时, ƒ(t)右移b；当b<0时, ƒ(t)左移∣b∣。
图1-12 信号的平移
df (t) dy(t)
dt
dt
称为系统的微分性质。
4.积分性质
一个连续时间系统对激励ƒ（t）的响应为y (t)，则
t
t

信号与系统第一章信号 (1)

01
信号与系统
02
信号的描述分类与典型示例
03
信号的运算
04
阶跃信号与冲激信号
05
信号的分解
不连续点（跳变点） • [定义1]：函数本身有不连续点（跳变点）或其导数与积分有不连奇异信号续点的情况，这类函数统称为奇异函数或奇异信号。 • （一）单位斜变：Unit Ramp Function
0 t 0 f (t ) t t 0
f (t)
画出 f (2 – t)。
o
1 1 t
注意：是对t 的变换！
法一：①先平移f (t) → f (t +2) ②再反转 f (t +2) → f (– t +2)
左移
f (t +2) 1 -2 -1 o t
法二：①先反转 f (t) → f (– t)
f (t) 1 o 1 t
1 -1
f (- t )

连续时间信号→离散时间信号
在离散时间信号携带了连续时间所有的信息量时，两者就等价了—— 采样定理
Page 13
时幅度间连续离散
连续
Analog
t
t
Digital
离散
t t
第14页
（一）指数信号 – 表现形式 f t Ke st
t
都是实数
s j
f (t) 1 o 1 t
右移t → t – 1
f (t-1) 1 o 1 2 t
左移t → t + 1
-1
f (t+1) 1 o t
Page 19
（一）移位、反褶与尺度（自变量变换） ② 反褶

第一章第4讲信号与系统

(2)采用其他过程， (2)采用其他过程，最后结果一采用其他过程尽管中间过程有可能不同中间过程有可能不同。样;尽管中间过程有可能不同。 0 2
t
的波形，的波形。的波形例3：已知的波形，试画出：已知f(t)的波形试画出f(1-2t)的波形。
f(t) 1 0 1 2 3 t -1
翻转
绕 t=0 时移时移
翻转
u(t+1)
左1
u(t)
u(-t+1) =u[-(t-1)] u(-t) 1
右1
u(-t) u(t)
绕 t=0
u(t)
u(-t+1) 1 0 1 t 0
1 t 0 t
注意：一切变换都是基于t而变换！注意：一切变换都是基于t而变换！
3.信号的展缩信号的展缩
f (t)=sint 2π t 0
t
0
2
4
t
注意：信号的展缩是以原点为参考点！注意：信号的展缩是以原点为参考点！
f 例1：已知 (t ) ： f (t )
t f ,画出 2 画出
的波形图。的波形图。
f (t / 2 )
1 0
(1) 1 2 t
1 0
(2) 2 4 t
f ( t ) = δ ( t − 1);
t t t − 2 f = δ − 1 = δ = 2δ (t − 2 ) 2 2 2 1 单位冲击函数的尺度特性 δ (at ) = δ (t ) a
b 将其右移 a
反褶：反褶：
b f [a (t + )] a
,得到得到f(at) 得到反褶为
f ( at + b)

信号与系统概论第一章

持续时间无限短、取值无限大、对时间积分有限。
2）冲激函数定义（多种方式演变） ①单位冲激函数（狄拉克函数）
（ ※ 0时刻取不定值，面积为1。为广义函数）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
◆ t=t0时刻的单位冲激函数：
②矩形脉冲定义的单位冲激函数
（ ※ 面积为冲激强度，强度为1时为单位冲激）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
※ 对于冲激偶函数可继续二次求导。（如双边指数脉冲等）
冲激函数
冲激偶函数
强度无穷大
（单向面积：1/τ）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
2）冲激偶函数的性质 ①
推导：
0
性质
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
②面积为零：
③冲激偶函数与普通函数乘积的性质：（证：两边取积分）
-f’(0)
0
-f’(0)
1.4 信号的基本运算及波形变换（续）
② 若以变量 at+b 代替 t，可得沿时间轴伸缩平移的新信号 f(at+b)。 a>0时：信号沿时间轴伸缩、平移。
（a>1, a<1)
a<0时：信号沿时间轴伸缩、平移、反褶。（a>-1,a<-1) ◆特点：
所有运算都是自变量t的变换，且变换前后端点函数值不变。
③其他函数形式定义的单位冲激函数
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
3）冲激函数的性质 ①抽样性质（筛选特性）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
冲激函数与普通函数乘积的积分可将普通函数在冲激出现时刻的函数值抽取出来！
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
②偶函数性质： ③与阶跃函数的关系： ◆冲激函数的积分是阶跃函数： δ(t) = δ(-t)

信号与系统第1章-信号与系统的基本概念

1 0 1 2 t
1 0
1
t
1 0
2
一半语速信号
4 t
正常语速信号
2倍语速信号
若
a 1 ，波形在t 轴上扩展 1 a 倍。
若 a 1 ，波形在t 轴上压缩1/
a 倍。
信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
第一章信号与系统的基本概念
前言
§1.1 信号的描述与分类 §1.2 连续时间信号的基本运算与变换 §1.3 系统的描述与分类 §1.4 系统分析方法
♣ 连续时间信号的基本运算主要包括
相加（减）、相乘（除）、微分、积分
♣ 信号波形变换主要指
波形的翻转、平移和展缩通常是通过对自变量的代换实现
信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
一．信号的相加减
f1(t) 1 0 1
1
f ( t )=f1 ( t )+f2 ( t )
2 1
1
f2 (t)
f1 (t ) f2 (t )
信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
六．信号的时移（波形平移）
连续时间信号的时移定义为
y(t ) f (t t0 )
f (t )
f (t b)
t0为时移量
t t t0
f (t b)
-1
b1
t
(-1+b)
1 (1+b) t
(-1-b)
(1-b)
t
t0＞0时右移
t0＜0时左移
出现冲激，其冲激强度为该处的跳变量
0
1 2 3
t
0 1
-2
3 (2)
t

信号与系统第一章_绪论(青岛大学)小白发布

（1）偶函数；）偶函数；（2））
∫
∞
−∞ ∞
Sa (t )dt = π Sa 2 (t )dt = π
∫
−∞
另外一个类似的函数：
sin π t sinc( t ) = πt
§1.3 信号的运算
（一）对自变量进行的运算：移位、反褶与尺度对自变量进行的运算：移位、 1. 移位： f (t ) → f (t ± t0 ) 移位：
t
t
t
sin (Ωt ) + sin (8 Ωt )
× sin ( Ωt ) sin (8 Ωt )
t
t
反相点
§1.4 阶跃信号与冲激信号奇异信号：奇异信号：
（一）单位斜变信号tu(t) （二）单位阶跃信号 u(t) （三）单位冲激信号δ (t) （四）冲激偶信号δ ' (t)
（一）单位斜变信号tu(t)
（3） cos(3n − )
当当
2π
2π
π
ω0
为有理数时，为周期序列；为有理数时，sin(ω0n) 为周期序列；为无理数时，为非周期序列。为无理数时，sin(ω0n) 为非周期序列。
2π 为无理数，为无理数， 3
非周期序列
4
ω0
4．能量（有限）信号与功率（有限）信号能量（有限）信号与功率（有限）
2.信号的传输、 2.信号的传输、交换和处理信号的传输
信号传输（Transmission）
——古代烽火传送边疆警报 ——击鼓、信鸽、旗语等击鼓、信鸽、 ——电信号传输（19世纪开始）：电信号传输（世纪开始世纪开始）：
1837年莫尔斯发明了电报年莫尔斯发明了电报 1876年贝尔发明了电话年

信号与系统第一章总结

信号与系统第一章总结1、信号的分类（1）周期信号和非周期信号两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。

（2）连续信号和离散信号连续时间信号：信号存在的时间范围内，任意时刻都有定义。

用t 表示连续时间变量。

离散时间信号：在时间上是离散的，只在某些不连续的规定瞬时给出函数值，用n 表示。

（3）模拟信号，抽样信号，数字信号模拟信号：时间和幅值均为连续的信号。

抽样信号：时间离散，幅值连续的信号。

数字信号：时间和幅值均为离散的信号。

（4）按照信号能量特点分类：能量受限信号：若信号f (t)的能量有界，即E<∞ ,则称其为能量有限信号，简称能量信号，此时P = 0。

功率受限信号：若信号f(t)的功率有界，即P<∞ ,则称为功率有限信号，简称功率信号，此时E = ∞。

PS ：时限信号为能量信号；周期信号属于功率信号。

2、典型的确定性信号（1）指数信号：， α=0 直流（常数）；α<0 指数衰减；α>0指数增长。

通常把称为指数信号的时间常数，记作τ ,代表信号衰减速度，具有时间的量纲。

对时间的微分和积分仍然是指数形式（2）正弦信号：，振幅K ，周期T=ωπ2 ,初相衰减正弦信号：对时间的微分和积分仍然是同频率的正弦信号（3）复指数信号：α1θdt t f E 2)(⎰∞∞-∆=⎰-∞→=222|)(|1lim T T T dt t f T P t K t f αe )(=)sin()(θω+=t K t f ()0sin e )(>⎩⎨⎧<≥=-αωαt t t K t f t()()t K t K t K t f t t stωωσσsin e j cos e )( e )(+=∞<<-∞=为复数，称为复频率j ωσ+=s rad/s的量纲为，/s 1 的量纲为 ωσ振荡衰减增幅等幅⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠<≠>≠= 0 ,0 0 ,0 0 ,0ωσωσωσ⎪⎩⎪⎨⎧=<=>==衰减指数信号升指数信号直流 0 ,0 0 ,0 0 ,0ωσωσωσ（4）抽样信号（重点）：性质：1. 偶函数2. 3. 4.5. 6.（5）钟形信号（高斯函数）：3、信号的平移，反褶，展缩（1）平移：左加右减（注意符号）（2）反褶：关于y 轴对称（3）展缩：f(t)到f(at)，图形变换(1/a)倍变换方法： 1. 先展缩：a>1，压缩a 倍； a<1，扩展1/a 倍 2. 后平移：+，左移b/a 单位；－，右移b/a 单位 3. 加上倒置：4、阶跃信号和冲激信号（1）单位阶跃信号（通常以u （t ）表示）门函数：符号函数：ttt sin )Sa(=)Sa(lim ，即1)Sa(,00===→t t t t 3,2,1π,0)Sa(=±==n n t t ，⎰⎰∞∞-∞==πd sin ,2πd sin 0t t t t t t 0)Sa(lim=±∞→t t ()()t t t ππsin )sinc(=2e )(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=τt E tf ()()()[]()0 >±=±→a a b t a f b at f t f 设()()[]a b t a f b at f -=±-()[(/)]f t f a t b a →±()()f t f at →210 0100)(点无定义或⎩⎨⎧><=t t t u ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22ττt u t u t f ⎩⎨⎧<->=0101)sgn(t t t（2）单位冲激信号：①定义：狄拉克函数只在t=0时，函数值不为0；积分面积为1；t =0 时，为无界函数。

信号与系统燕庆眀第一章

第一章将介绍信号与系统的基础概念，包括信号的分类、系统的描述方式等。
还将概述信号与系统在各个领域的应用，以及后续章节的主要内容。
02 信号的分类与表示
连续信号与离散信号
连续信号
在时间或空间上连续变化的信号，例如声音、温度等。
离散信号
在时间或空间上取离散值的信号，例如数字信号、计算机生成的图像等。
微分方程描述
总结词
微分方程是描述动态系统输入输出关系的一种常用方法。
详细描述
通过建立输入信号和输出信号之间的微分方程，可以描述系统的动态行为。微分方程通常表示为y'(t) = f(t, y(t))，其中y'(t)表示y(t)的导数，f(t, y(t))是关于时间t和输出y(t) 的函数。
差分方程描述
非线性系统
非线性系统
系统的输出信号与输入信号不成正比，或者比例系数不恒定。
非线性性
系统的响应与输入信号的关系是非线性的。
状态方程描述
非线性系统通常用状态方程描述，如x(n+1) = f(x(n), u(n), a)，y(n) = g(x(n), u(n), a)。
04 系统的输入输出描述方法
状态变量图是一种图形化描述方式，通过图形的形式表示系统内部状态变量之间的关系。
通过状态变量Βιβλιοθήκη ，可以直观地了解系统内部状态变量的动态变化过程，以及输入变
量对状态变量的影响。
状态变量图通常使用箭头表示状态变量的变化方向，以及使用有向线段表示状态变量之间
的传递关系。
状态方程的解法
求解状态方程是系统分析的重要步骤，通过求解状态方程可以得到系统的动态响应。
传递函数描述
总结词

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式中, f(0-)是f(t)在t=0-时的值。可以将式(4.2-6)推广到高阶导数
(4.2-6)
d n f (t ) ↔ s n F ( s ) − s n −1 f (0 _) − s n −2 f (0 _) − L − f n −1 (0 _) dt n = s n F ( s ) − ∑ s n − r −1 f ( r ) (0 _)
∞ s − x a
令 at = x, t =
1 L[ f (at )] = ∫ f ( x )e a −∞
1 s dx = F a a
第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析章
5. 时域微分若f(t) F(s)，则 ↔
df (t ) ↔ sF ( s ) − f (0 _) dt
第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析章
4.1.3 常用函数的单边拉普拉斯变换我们通过求常用函数的象函数，掌握单边拉氏变换的基本方法。 1. 单位阶跃函数u(t)
∞
u (t ) ↔ F ( s ) = ∫
0
1 − st ∞ 1 = 1e dt = − e 0 s s
− st
第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析章
2. t的指数函数e-atu(t)（a为任意常数）
e u (t ) ↔ F ( s ) = ∫ e e dt = ∫ e
0 0
− at
∞
− at − st
∞
−( s + a )t
dt
1 −( s + a )t ∞ 1 =− e |0 = s+a s+a
第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析章
n
第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析章
特别地，
n =1 n=2 n=3
1 tu (t ) ↔ 2 s 2 2 t u (t ) ↔ 3 s 6 3 t u (t ) ↔ 4 s
第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析章
４. 冲激函数
δ (t )
∞ 0− 0+
δ (t ) ↔ F ( s ) = ∫ δ (t )e − st dt = 1 δ (t ) ↔ F ( s ) = ∫ δ (t )e − st dt = 0
r =0 n −1
(4.2-7)
第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析章
式中, f(0-)以及f(r)(0-)分别为t=0-时f(t)以及
第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析章
jω
jω
jω
σ0＝－a
收收区
σ
σ0＝0
0
收收区
σ
σ0＝a
0 a
收收区
σ
－a
0
(a)
(b)
(c)
图 4.1-2 收敛区示意图
第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析章
当σ0<0时，收敛区包含虚轴jω，函数的傅氏变换存在；当σ0>0时收敛区不包含虚轴jω，函数的傅氏变换不存在；当σ0=0时，收敛区虽不包含虚轴jω，但函数的傅氏变换存在，不过有冲激项。因为指数阶函数的单边拉氏变换一定存在，所以一般可以不标明收敛区。
F ( s ) = ∫ f (t )e − st dt
0
∞
1 f (t ) = j 2π
∫σ
σ + j∞
− j∞
st F ( s )e ds
(4.1-6)
式中称s=σ+jω为复频率， F(s)为象函数， f(t)为原函数。
第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析章
jω
− sx
− st0
第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析章
3. 频率平移（s域）若f(t) F(s), ↔ 则
s0t
f (t )e ↔ F ( s − s0 )
(4.2-4)
∫
∞
0
f (t )e e dt = ∫ f (t )e
0
s0t − st
∞
− j ( s − s0 ) t
1 f (t ) = j 2π
∫σ
σ + j∞
− j∞
F ( s )ds
(4.1-5)
第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析章
因为e-σt的作用，式(4.1-2)与 (4.1-5)是适合指数阶函数的变换。又由于式(4.1-2)中的f(t)是t<0时为零的因果信号，故称“单边”变换。将两式重新表示在一起，单边拉氏变换定义为
F1 ( jω ) = ∫ f (t )e e
0
∞
− at − jωt
dt = ∫ f (t )e −(σ + jω ) t dt = F (σ + jω )
0ห้องสมุดไป่ตู้
∞
(4.1-1)
第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析章
令σ+jω=s，式（4.1-1）可表示为
F ( s ) = ∫ f (t )e dt
0
σ
图 4.1-1 复平面
第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析章
象函数与原函数的关系还可以表示为
L{ f (t )} = F ( s ) L−1{ f (t )} = f (t )
f (t ) ↔ F ( s )
(4.1-7)
s=σ+jω可以用直角坐标的复平面（s平面）表示， σ是实轴， jω是虚轴，如图4.1-1所示。
第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析章
以f(t)随时间变化的趋势，收敛区的大致范围为: 若f(t)是随时间衰减的， σ0<0，例如单边指数信号 e-atu(t)（a>0）的σ0=-a，其拉氏变换的收敛区如图4.12(a)所示； f(t)是随时间不变的， σ0=0，例如u(t)、 sinω0tu(t)，其拉氏变换的收敛区如图4.1-2(b)所示； f(t) 是随时间增长的， σ0>0，例如eatu(t)（a>0）的σ0=a， >0 e u(t) a>0 σ =a 其拉氏变换的收敛区如图 4.1-2(c)所示。
n n − st ∞
第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析章
依此类推，
n n n − 1 n −2 n −1 L{t u (t )} = L{t u (t )} = ⋅ L{t u(t )} s s s n n −1 2 1 = ⋅ L ⋅ L{t n −n u (t )} s s s s n n −1 2 1 1 = ⋅ L ⋅ ⋅ s s s s s n! = n +1 s
第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析章
由以上分析，并比较式(4.1-6)与傅里叶变换对关系式，以及式（4.1-2）的推导，可见拉氏变换的基本信号元为est。虽然单边拉普拉斯变换存在条件比傅氏变换宽，不需要信号满足绝对可积，但对具体函数也有变换是否存在及在什么范围内变换存在的问题，这些问题可由单边拉氏变换收敛区解决。
第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析章
傅氏变换对于一些指数函数处理不方便, 主要原因是这类函数不收敛, 例如阶跃函数u(t)。为了使函数收敛，我们在进行变换时让原函数f(t)乘以e-σt ，使得 f(t)e-σt是一个收敛速度足够快的函数。即有 f1(t)=f(t)e-σt 式中, e-σt为收敛（衰减）因子，且f1(t)满足绝对可积条件。则
0
∞
− st
(4.1-2)
F1(ω)的傅氏反变换为
f1 ( t ) = f ( t ) e
−σt
1 = 2π
∫
∞
−∞
F1 ( jω )e jωt dω
(4.1-3)
第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析章
式（4.1-3）两边同乘eσt， eσt不是ω的函数，可放入积分号里，由此得到
t →∞
(σ > σ 0 )
(4.1-8)
第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析章
式中, σ0叫做收敛坐标，是实轴上的一个点。穿过σ0并与虚轴jω平行的直线叫做收敛边界。收敛轴的右边为收敛区，收敛区不包括收敛轴。一旦σ0确定， f(t)的拉氏变换的收敛区就确定了。满足式(4.1-8)的函数，称为指数阶函数。这类函数若发散，借助指数函数的衰减可以被压下去。指数阶函数的单边拉氏变换一定存在，其收敛区由收敛坐标σ0确定。 σ0的取值与f(t)有关，具体数值由式(4.1-8) 计算。
第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析章
4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换
4.1.1 单边拉普拉斯变换 1. 单边拉氏变换定义因果信号的傅氏正、反变换为
F ( jω ) = ∞ f (t )e − jωt dt ∫0 1 ∞ f (t ) = F ( jω )e jωt dt 2π ∫−∞
dt = F ( s − s0 )
第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析章
4. 尺度变换
↔ 若f(t) F(s), 则
1 f ( at ) ↔ F ( s / a ) a
证
∞ 0
其中a>0 (4.2-5)
L[ f ( at )] = ∫ f ( at )e − st dt
x 1 , dt = dx ，代入上式得 a a
∞ ∞
1 f (t ) = 2π
∫
−∞
F1 ( jω )e
(σ + jω ) t
1 dω = 2π
∫