第3章例题_刚体力学基础

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刚体力学基础
解 （1)选小球和棒作为系统 碰撞瞬间角动量守恒
mv0l mvl J
弹性碰撞, 系统碰撞前后动能不变
1 2 1 1 2 mv0 mv J 2 2 2 2
机械能守恒 解得
1 l l 2 J Mg ( cos 60) 2 2 2
3 30 30 1 v0 m s ,v m s 1 4 4
2
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刚体力学基础
例3-6 有一根长为 l , 质量为m 的均匀细直棒, 棒可绕上端光 滑水平轴在竖直平面内转动. 最初棒静止在水平位置, 求它 由此下摆θ 角时的角速度。
解 选细棒和地球作为系统,机械能守恒
1 1 1 2 Ek J ml 2 2 2 2 3
l E p mghc mg sin 2
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3g sin l
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例3-2 质量均为m 的两物体A 和B , A 放在倾角为α 的光滑斜 面上, 通过滑轮由不可伸长的轻绳与B 相连. 定滑轮是半径 为R 的圆盘, 其质量也为m . 物体运动时, 绳与滑轮无相对滑 动. 求绳中张力FT1 和FT2 及物体的加速度a(设轮轴光滑,滑 1 轮转动惯量为 J mR 2
2
' F 解 T 1 mgsin maA mg FT' 2 maB M FT 2 R FT 1R J a A aB R
FT'1 FT1 , FT' 2 FT 2
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2 3 sin FT 1 mg 5 3 2sin FT 2 mg 5 2(1 sin )
J R dm R
2 2

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m
0
d m mR 2
圆盘上取半径为r宽度dr的圆环作 为质 量元dm
J 环 mR 2 d J r 2 d m
dm d S
m 2 πr d r 2 πR
R 2 m 1 m 2 3 2 mR J r 2 2 πr d r 2 r d r 2 πR R 0
2
L

r 2 dm
2

J r dm x dm
x 2 dm
L
m x dx 0 L
L 2
m 1 L3 L3 1 2 m L L 3 8 8 12
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m1 3 L 1 2 x mL 0 3 L 3
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例3-4 求质量为m ,半径为R 的细圆环和均匀薄圆盘分别绕 通过各自中心并与圆面垂直的轴的转动惯量． 解圆环上取微元dm
a A aB 5
g
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例3-3 一长为 L的细杆 ,质量m均匀分布 ,求该杆对垂直于杆 , 分别过杆的中心和一端端点的轴的转动惯量. 解（1）轴过中心 (2) 轴过一端端点
dm
L 2
L
2
ox
J
x
dm
o
x
2 2
x
L
在杆上任取dm
m m1 3 2 x dx x L L 3 L 2 L 2

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例3-5 有一根长为 l , 质量为m 的均匀细直棒, 棒可绕上端光 滑水平轴在竖直平面内转动. 最初棒静止在水平位置.用刚 体定轴转动的动能定理求细棒下摆θ角时的角速度ω ． 解 重力集中作用于质心所产生的力矩 1 M mgl cos 2 重力矩做的功
1 1 W Md mgl cos d mgl sin 1 0 2 2 定轴转动的动能定理 W 1 J 2 1 J 2 0 2 2 1 1 1 3g sin 2 2 mgl sin J J 0 l 2 2 2
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例3-1有一根长为 l , 质量为m 的均匀细直棒, 棒可绕上端光 滑水平轴在竖直平面内转动. 最初棒静止在水平位置, 求它 由此下摆θ 角时的角加速度和角速度（细棒对转轴的转动 惯量为 J 1 ml 2 ）． 解：由刚体定轴转动定律
3
M J
1 1 2 重力集中于质心 mgl cos ml 2 3 d d d d 3g cos , dt d dt d 2l d 3 g cos 3 g cos d , 0 d 0 2l d 2l
(2）小球动量增量为
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p mv mv0 2 30 N S
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例3-8工程上, 两飞轮常用摩擦耦合器使它们以相同的转速 一起转动.A 和B 两飞轮的轴杆在同一中心线上,A轮的转动 惯量为JA = 10kg· m2, B 轮的转动惯量为JB = 20kg· m2.开始时 A 轮的转速为600r· min-1, B 轮静止.C 为摩擦耦合器.(1) 求两 轮耦合后的转速;(2) 在耦合前后两轮的机械能有何变化？ 解(1) A ,B ,C 一个系统 系统的角动量守恒
J AA J BB ( J A J B )
20.9rad s -1 或
n 200r min -1 (2) 在耦合过程中,摩擦力矩做功, 机械能不守恒,部分机械 能将转化为热量,损失的机械能为 1 1 1 1 2 2 E J AA J BB ( J A J B ) 2 1.32 104 J 2 2 2 2
l 1 2 2 mg sin ml 2 6 3g sin l
E水平p E k
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例3-7 质量为M = 6kg ,长为l =2m 的均匀细直棒,可绕垂直 于棒一端的水平轴O 点无摩擦地转动,它原来竖直地静止 在平衡位置上.现有一质量为m =4kg 的弹性小球以初速 度 v0 飞来,正好在棒的下端与棒垂直地相撞(设碰撞为弹 性碰撞), 相撞后,使棒从平衡位置处摆动到最大角度60° 1 处(棒对转轴的转动惯量为 J ml 2 , g 取10m s-2 ). 3 (1)试计算小球初速度 v0 . (2) 碰撞前后小球动量的增量为多大？