一元二次方程与实际问题(小节复习)

化简得， x －60x＋500＝0． 解得 x1＝10，x2＝50． 当 x1＝10 时， 60－x1＝50；
2
当 x2＝50 时， 60－x2＝10．
答：长为 120 cm 的绳子能围成面积是 500 cm2 的矩形．
（2）如果矩形的面积是 1000 cm ，那么 根据题意得：x（60－x）＝1000． 2 化简得，x －60x＋1000＝0． 2 2 ∵b －4ac＝（－60） －4× 1× 1000
1.用22厘米长的铁丝围成面积为31平方 厘米的矩形.应如何设计？ 2. 用长为100米的金属制成一个长方形 框，框的面积为下列数据时，求矿的各 边长。 1. 576平方米 （1） 长为32米 宽为18米 2. 625平方米 （2）长宽都是25米 3. 700平方米 （3）不能制成700平方米的框
（五）排列组合问题
解后反思
1. 列一元二次方程解应用题的一般步骤与列一元一 次方程解应用题一样，所以列一元二次方程解应用题 的一般步骤也归纳为：审、设、列、解、检验、答这 六个步骤． 2.关键步骤 ①审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是
已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系；②列：这是 非常重要的关键步骤,列代数式表示相等关系中的各个量，就 得到含有未知数的等式，即方程；③检验：检验的目的有两个： 其一，检验求出来的未知数的值是否满足方程；其二，检验求 出的未知数的值是不是满足实际问题的要求，对于适合方程而 不适合实际问题的未知数的值应舍去；④答：就是写出答案， 注意不要漏写单位名称．
（1）填表（不需化简）：
时间 第一个月 第二个月 清仓
单价（元）
销售量（件）
80
200
80－x
40
（2）如果批发商希望通过销售这批T 恤获利9000元，那么第二个月的单价应 是多少元？
800-200200＋10x （200＋10x）
解：设为了获利9000元，第二个月每件 T恤的售价应定为（80－x）元，即每件 T恤降价x元，根据题意得： 80×200 +(80-x)(800+10x)+[800-200(200+10x)] ×40-50×800=9000．
第二十一章 一元二次方程
第14课时 一元二次方程与实际问 题（小结与复习）
列一元二次方程解决实际问题的常见 类型有以下几种 （1）增长率问题 （2）几何中面积、长度问题 （3）销售问题 （4）假设存在问题 （5）排列组合问题
（一）增长率问题
例1 某市为了解决市民看病难的问题， 决定下调药品的价格．某种药品经过连 续两次降价后，由每盒200元下调至128 元，求这种药品平均每次降价的百分率 是多少？ 解析：设平均每次降价的百分率为x 由题意得 200(1-x)2=128 解得 x1=0.2，x2=1.8（不合题意，舍去） 故平均每次降价的百分率为20﹪
化简整理得：x2-20x+100=0 解得 x1=x2=10 当x=10时，80-x=80-10=70>50
答:第二个月的单价应是70元.
2.在长方形钢片上冲去一个长方形，制成 一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片 的长为30cm，宽为20cm,要使制成的长方形框 2 的面积为400cm ，求这个长方形框的框边宽。
分析：在解决这一类存在问题时，一 般先假设面积是500 cm2和1000 cm2的 矩形存在，再根据题意列出方程求 解．如果方程有解，就说明符合条件 的矩形存在；如果方程无解，则说明 符合条件的矩形不存在．
解：设这根绳子围成的矩形的长是 xcm，则宽是 （60－x）cm．
（1）如果矩形的面积是 500 cm2，那么 根据题意得：x（60－x）＝500．
方法总结
1．列方程解实际问题，一般分为审题、设未知数、 列方程、解方程、检验、写出答案这六步进行 . 2.在列一元二次方程解实际问题时还要注意一些关键 的词语，如“多”、“倍”、“差”、“提前”、 “同时”、“早到”、“迟到”、“增加几倍”等．
3.在解决复杂问题时,我们可以借助于列表格等 辅助方式弄清题目中的数量关系,列出方程．
解:设长方形框的边宽为xcm, 依题意,得
30×20–(30–2x)(20–2x)=400
X X 30cm
整理得 x2– 25x+100=0 解得 x1=20, x2=5 当x=20时,20-2x= -20(舍去); 当x=5时,20-2x=10 答:这个长方形框的框边每台冰箱的销售利润 平均每天销售冰箱的数量 5000元.
(2900 x) 元 如果设每台冰箱降价x元, 那么每台冰箱的定价就是 _______
(2900 x 2500) 元.平均每天销售冰箱的 每台冰箱的销售利润为 ____________ x (8 4 ) 50 数量为_____________ 台.
2．要注意与寄信等问题相区别， 前者需要乘以，而后者不需 要．
（五）销售问题
问题：某批发商以每件50元的价格购进 800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出 了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可 售出200件，批发商为增加销售量，决定降价 销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多 售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第 二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一性清 仓，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低 x元．
解：设小道的宽为x 米。 根据题意得: (40－2x)(26－x) = 864
26 40
小道
x 46 x 88 0
2
解得 x1=2, x2=44>40 （不合题意，舍去） 答：小道的宽为2米。
( x 2)( x 44) 0
小道
26
40
3.如图,已知A、B、C、D为矩 A D 形的四个顶点,AB=16㎝,AD=6 P ㎝,动点P、Q分别从点A、C同 Q 时出发,点P以3㎝/s的速度向点 C B移动,一直到点B为止,点Q以2 B ㎝/s的速度向点D移动. 问(1)P、Q两点从出发开始几秒时,四 边形PBCQ的面积是33c㎡ (2)P、Q两点从出发开始几秒时,点P 点Q间的距离是10㎝
解：设鸡场的宽为x m. 那么长是（35-2x）m 根据题意得 x(35-2x)=150 即 2x2-35x+150=0 解得 x1=7.5， x2=10
当 x=7.5时，35-2x=20>18(不合题意舍去). 当x=10时，35-2x=15 故鸡场的长为15m,宽为10m.
2.学校课外生物小组的实验园地是一块长40 米，宽 26 米的矩形，为便于管理，现要在中 间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面 积为 864 平方米，求小道的宽？
方法归纳
我们利用“图形经过移动， 它的面积大小不会改变”的道 理，把纵、横两条路移动一下， 使列方程容易些（目的是求出 路面的宽，至于实际施工，仍 可按原图的位置修路）
练习 1.有一个面积为150m2的长方形鸡
场,鸡场的一边靠墙(墙长18m,)另三边用 竹篱笆围城,如果竹篱笆的长为35m,求鸡 18m 场的长和宽各为多少?
• 例2 新华商场销售某种冰箱,每台进价为250元.市场 调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台; 而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想 使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱 的定价应为多少元?
解 : 设每台冰箱降价x元, 根据题意, 得 x (2900 x 2500)(8 4 ) 5000. 50 整理得 : x 2 300 x 22500 0. 解这个方程, 得 x1 x2 150.
20米
32米
解法一:设道路的宽为x m,则横向的路面面积为 32x m2,纵向的路面面积 为20x m2,道路的面积为 (32x+20x-x2) m2.
20米
32米
依题意,得： 32×20-(32x+20x-x2)=540.
化简整理得 x2– 52x+100=0 解得 x1=2, x2=50>32(不合题意，舍去）
2
＝3600－4000＝－400＜0， ∴此方程没有实数解． 答： 长为 120 cm 的绳子不能围成面积 是 1000 cm 的矩形．
2
归纳小结
解决存在性问题的一般步 骤是：先假设问题存在或成 立，然后根据题意列出方程 求解．如果方程有解，就说 明假设成立；如果方程无解， 则说明假设不成立．
练习
例5 在一次聚会中，每两个参加聚会的人 都相互握了一次手，一共握了45次手，问 参加这次聚会的人数是多少？
解：设参加这次聚会的有x人 1 根据题意得：2x（x－1）=45． 化简得 x2–x-90=0 解得 x1=10, x2=-9（不合题意，舍去）
答:参加这次聚会的有10人
课堂小结
1．与此相类似的问题还有： 多边形的对角线、两人互通电 话、下棋比赛等等．
A
D
问(1)P、Q两点从出发开 P 始几秒时,四边形PBCQ的 16 面积是33c㎡ 分析:四边形PBCQ的形状 是梯形,上下底,高各是多少?
B
6
Q C
(2)P、Q两点从出发开始几秒时,点 P点Q间的距离是10㎝ 分析:PQ的长度如何求?如图过Q点作垂 线,构造直角三角形
• （三）销售问题
• 例2、新华商场销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场 调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台; 而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想 使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱 的定价应为多少元?
解 : 设每张贺年片应降价x元, 根据题意, 得 x (0.3 x)(500 100 ) 120. 0 .1 2 整理得 : 100 x 20 x 3 0. 解这个方程, 得 x1 0.1, x2 0.3(不合题意, 舍去).