竞赛不等式

一些著名不等式及应用
一、平均值不等式及应用 一、相关定义
设a 1，a 2，…，a n 是n 个正实数，记an
a a n
H n 11121+++=
，n
n an a a G 21=
，
n a a a A n
n +++=
21，n
a a a Q n
n 2
2
22
1+++=
，分别称H n ，G n ，A n ，Q n 为这n 个
正数的调和平均、几何平均、算术平均数、平方平均．
二、相关定理
定理 H n ≤G n ≤A n ≤Q n , ,等号成立当且仅当a 1=a 2=…=a n 引理 若10(2,3,,)k k k x x x k n -≥≥= 且，则
[]
123121)1()23)(2(-----≥n n n
n x n nx x x x x x x ，等号成立当且仅当x 1=x 2=…=x n ．
三、例题
例1．设+
∈R z y x ,,，求证：
9
3
3)
)(()(222222+≥
+++++++++xy zx yz z y x z y x z y x xyz 例2．设x+y+z=0, R z y x ∈,,，（1）求证：3
22
2
2
33
3
)()(6z y x z y x ++≤++ （2）试求出最佳的常数μλ,，使不等式
)()()(6
663222666z y x z y x z y x ++≤++≤++μλ
例3．设复数满足1≤-i z ，求)1)(Re(2
--=i z z A 的最大值与最小值． 四、练习题
1．设θβα,,为锐角，且1cos cos cos 22
2
=++θβα，求证：对任意实数x,y,z 有
xy zx yz z y x ⋅+⋅+⋅≥++βααθθβcot cot cot cot cot cot )(2
1222
2．设+
∈R z y x ,,，且x+y+z =1，试求：)
1()1()1(2
4
2424x x z z z y y y x f -+-+-=的最小值 二、柯西不等式及应用
一、相关定理
柯西不等式是指下面的定理 定理 设),,,2,1(,n i R b a i i =∈则))(()
(
2
1
2
1
2
1
∑∑∑===≤n
i i n
i i n
i i i b a b a
当数组a 1，a 2，…，a n ,b 1，b 2，…，b n 不全为0时，等号成立当且仅当)1(n i a b i i ≤≤=λ. 柯西不等式有两个很好的变式：
变式1 设),,,2,1(0,n i bi R a i =>∈∑∑∑≥=i i n
i i
i
b a b a 212
)( , 等号成立当且仅当)1(n i a b i i ≤≤=λ
变式2 设a i ,b i 同号且不为0（i=1，2，…，n ）则∑∑∑≥=i
i i n
i i i b a a b a 2
1)(, 等号成立当且仅当n b b b === 21
二、例题
例1.设x 1，x 2，…，x n >0, 则
1
11
1
-≥
-∑
∑
==n x x x n
i i
n
i i
i
例2.设+
∈R x i （i=1，2，…，n ）且111=+∑=n
i i
i
x x 求证: ∑∑≤≤≤=≥n
j i j
i
n
i i
x
x x
11
2
．
例3.设a 为实常数,试求函数)cos (sin )(x a x x f += (x ∈R )的最大值． 例4.求函数x b x a x f cos sin )(+⋅=在)2
,0(π
上的最大值,其中a ，b 为正常数．
三. 练习
1. １）设三个正实数a,b,c 满足)(2)(4
4
4
2
22
2
c b a c b a ++>++
求证： a,b,c 一定是某三角形的三边长； ２）设)3(≥n n 个正实数a 1，a 2，…，a n
满足))(1()(4
4
24
12
22
22
1n n a a a n a a a +++->+++
2.已知+
∈R z y x ,,,且12=+∑x x 求证:
1222222≥+++++z z y y x x 3.设+
∈R z y x ,,, 求证: 12
22
22222
2≥++++++++xy
y x z zx x z y yz z y x 4.设+
∈R z y x ,,,且x+2y+3z =36,求z
y x 321++的最小值．
三、排序不等式及应用 一、相关定义及定理
1）考虑如下2*(n+1)个实数摆成的矩阵：
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛≤≤≤≤≤≤=n n b b b a a a A 1010，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤≤≤≤=n i i i n b b b a a a B 1
010，⎪⎪⎭⎫
⎝⎛≥≥≥≤≤≤=-0110b b b a a a C n n n 其中n i i i ,,,10 是0,1,2,…,n 的一个排列.矩阵A 称为同序矩阵,矩阵B 称为矩阵A 的乱序矩阵,矩阵C 称为矩阵A 的反序矩阵．
若矩阵A 的乱序M 可经列列交换变出A ，则称矩阵M 为A 的可同序矩阵．显然，A 的列积和或列和积均与A 的列交换无关． 记S （A ），T （A ）分别表示矩阵A 的列积和与列和积，则S （M ）=S （A ），T （M ）=T （A ） 2）排序不等式
排序不等式1 设A 为2*（n+1）同序实数矩阵，B 为A 的乱序阵，C 为A 的反序阵， 则)()()(C S B S A S ≥≥，即
∑∑∑=-==≥≥n
k k
n k n k i k
n k k
k b
a b a b a k
，左边等号成立当且仅当B 中
任意两列同序，右边等号成立当且仅当B 中任意两列反序．
排序不等式2 设A 为2*（n +1）同序非负实数矩阵，B 为A 的乱序阵，C 为A 的反序阵， 则)()()(C T B T A T ≤≤，即
∏∏∏=-==+≤+≤+n
k k n k n k i k n
k k k
b a b a b a
k 0
)()()(，左（右）边等
号成立当且仅当B 中任意两列同（反）序．
排序不等式3
设A 为m*n 同序非负实数矩阵，A ＇为A 的乱序阵，则有 （1）S （A ）≥S
（A ＇），即∑∏∑∏====≥m j n
i m j n i ij ij
a ＇a
11
11
；
（2）T （A ）≤T （B ），即∏∑∏∑====≤m j n
i ij m j n i ij a ＇a 11
11
． 二、例题 例1、在△ABC 中，ha , hb ,hc 为边长a,b,c 上的高，求证：asinA +bsinB +csinC ≥h a + h b +h c ．
例2、A —G 不等式：a i >0 (i =1,2,…，n )，则 G a a a a n A n n n
i i =≥=∑= 211
1．
例3、柯西不等式：))(()
(2
1
2
1
2
1
∑∑∑===≤n
i i n
i i n
i i i b a b a ．
三、练习题
1．若a >0,b >0，则2
2223
32266b a b a b a b a +⋅
+⋅+≥+． 2．在△ABC 中，求证：abc c b a c b a c b a c b a 3)()()(2
2
2
≤-++-++-+．（IMO ）
3．若a 1，a 2，…，a n 为两两不等的正整数，求证：∑∑==≥n
k n
k k k
k a 1121
．
4．若x 1，x 2，…，x n ≥0，x 1+x 2+…+x n ≤
21，则2
1)1()1)(1(21≥---n x x x ． 四、复数模不等式及应用
一、相关概念 关于复数模不等式，它包括两方面的内容：
定理 设z 1，z 2，…，z n 为任意复数，则（1）212121Z Z Z Z Z Z +≤+≤- 当021≠⋅Z Z 时，左边（右边）等号成立当且仅当)0(0,21><=λλλZ Z ； （2）
∑∑==≤n
k k n
k k
Z Z
1
1
，式中等号成立当且仅当n Z Z Z arg arg arg 21=== ．
二、例题
例1、设a i ,b i ∈C (i=1,2,…，n),则))(()
(
2
1
2
1
2
1
∑∑∑===≤n
i i n
i i n
i i i b a b a
例2、设x 1 ,x 2 ,z 是复数，则不等式1212x x Z x x -≤≤+成立的充要条件是z=c 1x 1 +c 2x 2, 这里121c c ==． 三、练习题
1、设,,αβθ是模均大于1的复数，求使不等式：
1()αβθθααββθαβθλαβθ+++++++≥++，恒成立的λ的最大值．
2、设A,B,C,D 为平面上任意四点，求证：AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅≥⋅．。