竞赛中一类计数问题的求解策略

例5 （2012年全国高中数学联赛福建初赛）已知集 合P是由不超过2012的正整数组成的集合，即P={1，2，3， …，2012}，集合A是集合P的子集，符号 A 表示集合A中 元素的个数.
（1）若集合A中任意两个数的差都不是101的倍数， 求 A 的最大值；
参考文献： 1. 单 墫 ， 李 善 良 . 苏 教 版 普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 实 验 教科书（选修2-3）［M］.南京：江苏教育出版社，2012. 2.邵光华.作为教 育 任 务 的 数 学 思 想 与 方 法 ［M］.上
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2014 年 6 月
值可确定，易知2x<2010，x有1004个值可取，即方程的解 共计1004个.
（3）若三数全不相等，即x<y<z，设满足x<y<z的解共 有k个，则1+C23×1003+6k=C22009，解出k=335671.
从而满足x≤y≤z的正 整 数 解 的 个 数 为 1 +1004 + 335671=336675.
即满足10≤k≤18的“好数”共有285个. 故所有的“好数”共有330+285=615个. 评注：按数字和的构成分类.一般可分两类：一是数
字和是定值，而构成该和的数字不同；二是各数字的和 及 构 成 和 的 数 字 都 变 化.当 和 是 定 值 时 ，借 助 模 型 “x1+ x2+…+xr=n（n∈N*，n>r，r≥2）的整数解个数为Crn--11”，同时 要 注 意 数 字 只 能 取 0~9 这 10 个 数 字 . 当 数 字 的 和 变 化 时 ， 首先按数字和分类，数字和取定时再根据数字和的构成 分类，将问题转化为数字和是定值的情况.
二、按数字的位数分类
例2 （2011年全国高中数学联赛江西初赛）用S（n）
2011
表示正整数n的各位数字之和，则∑S（n）=_________. n=1 分析：从个位数入手，容易得出其和为45，再依次考
虑 二 位 数 、三 位 数 、四 位 数 各 位 数 字 和 ，最 终 求 出
2011
∑S（n）的值. n=1
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●江苏省无锡市王华民名师工作室●
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竞赛中一类计数问题的求解策略
筅无锡市立人高级中学 周德明 筅江苏省太湖高级中学 蒋孝国
计数问题是数学的重要研究对象之一，是组合数学 的基础，这种以计数为特征的内容在中学数学中较为突 出，它不仅应用广泛，更是发展学生抽象能力和逻辑思 维能力的好素材.与数字有关的计数问题由于它自身所 具有的复杂性、趣味性，近年来在全国各级各类考试尤 其是竞赛中层出不穷.如何解决这类问题，便成为我们 研究的热点，本文试图从数码出现的次数、数字的位数、 数字和的构成情况和余数等四个视角，分析解题思路， 探寻解题方法，评点解题技巧.
一、按数码出现的次数分类
例1 （2010年全国高中数学联赛山西初赛）如果四 位数n的四位数码中至多含有两个不同的数码，则称n为 “简单四位数”，例如5555和3313等，那么，简单四位数的 个数是____________.
分析：简单四位数是指四位数中只有一个数码或两 个数码，按其数码可分为两类.
解：（1）有一个数码：共C19种. （2）有两个数码： ①含有0，首位数字从1，2，3，…9个数字中任选一个 a，共C19种，其余三位数字可由a和0两个数码组成，共23-1 种排法，计C（19 23-1）. ②不含0，先选两个数码其中一个放首位，其余三位 数字共23-1种排法，共C29C（12 23-1）. 故所有的简单四位数个数为576. 评注：当题中对某一个（或两个）数码出现的次数有 特殊要求时，按数码出现的次数分类.一般方法是确定 哪个数码在解题中起决定作用，然后按其出现的次数进 行分类，注意分类要做到不重不漏.
a1b1c1d1一一对应.上式中a1，c1皆可取{1，2，3，…，k1-1}中 的任意值，a1，c1的值取定后，则b1，d1的值也随之确定，因 此满足k1=a1+b1=c1+d1的四位数a1b1c1d1共有 （k1-1）2个，从
10
∑ 而对2≤k1≤10的四位数a1b1c1d1共有 （k1-1）2=285个， k1=2
（2）构 造 集 合 Qi ={x |x ≡i（mod101）或 x ≡101 （i mod101），且 x∈P（} i=0，1，2，…，50）.
这样的集合51个，对Qi中任意两个数的和或差是 101的倍数.若 A ≥52，由抽屉原理知A中的元素必有两 个来自于同一个Qi，其和或其差是101的倍数，矛盾.所以 A <52，在每一个Qi中取一个元素作为A的元素，比如取 A={1，2，3，…，50，101}，其任意两数的和或差都不是101 的倍数，所以 A max=51.
2.数字和变化 例4 （2011年全国高中数学联赛山西初赛）如果四 位数abcd的四个数码满足a+b=c+d，就称其为“好数”，例 如2011就是一个“好数”，那么“好数”的个数为________. 分 析 ：不妨记k=a+b=c+d，由1≤a≤9，0≤b≤9，知 1≤k≤18，再对k的值进行讨论即可. 解：（1）若1≤k≤9，则a可取{1，2，3，…，k}中任一值， c可取{0，1，2，3，…，k}中的任一值，由k=a+b=c+d知，若a 和c的值确定，则b和d的值即确定.因此满足k=a+b=c+d
999各数的各位数字和加上1000，而2000~2011之间各数
的各位数字和为12×2+（1+2+…+9）+3=72.
2011
所 以 ∑ S （n）=（45 +855 +12600）×2 +1000 +72 = n=1
28072.
评注：当题中对整数的个位、十位、百位等某个位置
（或某些位置）数字出现何数有特殊要求时，按数字的位
9
9
解：（1）个位数记 i ：∑S（n）=∑i=45.
n=1
i=1
99
99
（2）二位数记ij：∑S（n）=∑∑（i+j）=855.
n=10
i=1 j=0
999
999
（3）三 位 数 记 ijk ：∑ S（n）= ∑ ∑ ∑（i +j +k）=
n = 100
i=1 j=0 k=0
12600.
（4）四位数先考虑1000~1999，其各位数字之和为0~
数分类.一般方法是注意各位数之间的联系，这些联系
可以帮助我们看清解题方向，优化解题过程，得出正确
结果.
三、按数字和构成情况分类源自1.数字和不变 例3 （2010年全国高中数学联赛）方程x+y+z=2010 满足x≤y≤z的正整数（x，y，z）的个数是____________. 分 析 ：看到本题，可联想到模型：x1+x2+…+xr=n（n∈ N*，n>r，r≥2）的正整数解的个数为Crn--11.本题还需满足条 件x≤y≤z，三数和为定值，但需讨论各数的大小，x+y+z= 2010的正整数解的构成情况有三类：三数相等，两数相 等，三数互不相等. 解：首先由x+y+z=2010，知所有的正整数解有C22009个 满足x+y+z=2010，且满足x≤y≤z的正整数解分成三类： （1）三数全相等，即x=y=z，此时正整数解只有1个. （2）有两数相等，即x=y<z，此时当x的值确定，则z的
海：上海教育出版社，2009. FH
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已知Pi都是P的子集，且Pi中任意两个数的差都是 101的倍数.若 A ≥102，由抽屉原理知A中的元素必有 两个来自于同一个Pi，其差是101的倍数，矛盾.所以 A < 102.
在每个Pi中各取一个元素作为A的元素，比如A= {1，2，3，…，101}，其任意两数的差都不是101的倍数，所 以 A max=101.
四、按余数分类
（2）若集合A中任意两个数的差都不是101的倍数， 且任意两个数的和也不是101的倍数，求 A 的最大值.
分 析 ：先考虑任意两数的差是 101的倍数，则被101 除的余数相同，若两数的和是101的倍数，则两数被101 除的余数的和为101.
解：（1）这2012个数被101除的余数有0，1，2，…，100， 则构造101个集合：Pi={x|x ≡i（mod101），且x∈P}（i=0， 1，2，…，100）.
评注：当题中对某两个数（或几个数）的和与差是否 为指定数的倍数等有特殊要求时，按余数分类.一般的 方法是：首先要明确按被谁除所得的余数进行分类，将 数字按余数分成不同的部分，再利用各个部分内或不同 的两个部分间数字的特征，结合抽屉原理对问题加以解 决.
与数字有关的一类计数问题，其数码出现的次数、 数字位数、数字和以及余数等情形不是孤立出现的，而 是相伴而生，相互交融，你中有我，我中有你.怎么确定 分类标准，并按照标准将它们分成几类子问题.再针对 某个（些）子问题，根据不同的情况寻找不同的处理规 则 ，采 用 不 同 方 法 予 以 解 决 是 处 理 这 类 问 题 的 关 键 . 俗 话说，世上没有万能的钥匙，最理想的状态是好问题与 探索者相遇.何以做到？让我们一同思考.
的四位数abcd共有k（k+1）个，从而满足1≤k≤9的“好
9
数”共有∑k（k+1）=330个. k=1
（2）若10≤k≤18，由k=a+b=c+d，知a，c，b，d都不为 0，令a1=10-a，b1=10-b，c1=10-c，d1=10-d，则1≤a1，b1，c1，
d1≤9，记 k1=a1+b1=c1+d1，则 2 ≤k1≤10，且 四 位 数 abcd 与