竞赛中的组合计数问题和概率

组合计数问题和概率

组合计数问题是教学竞赛中常见的一类问题，也是数学竞赛中与实际生活联系最为直接的内容。计数问题的顺利解决会给其他排列组合问题的解决打下竖实的基础。概率作为新增内容，拓展了排列组合的研究和应用的领域。实则是以排列组合为基础的内容，所以概率的考查通常与计数问题联系在一起，既要用到排列组合的知识来解答，也要用到排列、组合的解题思路。解组合计数问题的基本方法有枚举法和利用基本计数原理及基本公式、映射方法、算二次方法、递推方法、容斥原理等，其中蕴含的数学思想有分类讨论的思想、化纳和转化的思想、函数与方程的思想等重要的数学思想。

例1． （2004年全国高中联赛题）设三位数为abc n =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有

A ．45个

B ．81个

C ．165个

D ．216个

解：选C 。理由：a , b , c 要构成三角形边长，显然不为零，即a , b , c ∈{1, 2, 3, …, 9}。 （1）若构成等边三角形，则c b a ==可取{1, 2, …, 9}中任何一个值，所以这样的三位数的个数为

91

91==C n 。

（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三角形个数为n 2，且等腰三角形的三边长为a 1, b 1=c 1。当111c b a =<时，即腰大于底边时，等腰（非等边）三角形由数组(a 1, b 1)惟一确定，有29C 个；当111c b a =>时，即腰小于底边时，这时数组(a 1, b 1)有29C 个，但必须1112b a b <<才能构成三角形。而不能构成三角形的组数(a 1, b 1)是

共20种情况，故这时等腰（非等边）三角形只有2039-C 个。

同时，每个数组(a 1, b 1)可形成23C 个三位abc ，故156)20(2929232=-+=C C C n 。 综上，16521=+=n n n ，故选C 。

评注：本题综合运用了枚举法和基本计数原理。列表枚举和树图枚举看似复杂，但在很多题中能起到意想不到的作用，有时不防一试。

例2．设p ，q 为给定的正整数，q p n 32⋅=，求2n 的正约数中小于n 且不是n 的约数的正整数的个数（当31=p ，19=q 时，本题为美国第13届邀请赛题）。

解：因为2n 的正约数都具有形式：p d 21(32≤≤⋅=αβα，)20q ≤≤β，要求从中找出使得p ≤≤α0，

q ≤≤β0不同时成立，并且小于

n 的所有d 的个数。

令p p X 2|32{≤<⋅=αβα，}0q <≤β，p Y ≤<⋅=αβα0|32{，}2q q ≤<β。

于是所求的Y X d ∈。因为φ=Y X ，我们建立如下的映射：Y X f →:，使对任意X x ∈⋅=βα32，有

Y

x f y q p ∈⋅==--β

α

223

2

)(，易证此映射是双射，并且对此f 当X x ∈时，q p x nf xy 2232)(⋅==且x ，y 都

不等于n ，从而x , y 中恰有一个属于n 。从上述讨论得所求正整数d 的个数为

pq

p q q p Y X Y X =⨯+⨯=

+=

)(2

1|)||(|2

1||2

1 。

评注：本题还可推广到“p 、q 为给定的正整数”的情形。本题中建立的是双射，可以得到||||Y X =。如果建立的映射只是单射或满射，那么我们只能得到不等式||||Y X ≤或||||Y X ≥，从而得到||X 的上界或下

界。

例3． 凸n 边形的任意3条对角线不相交于形内一点，问： （1）这些对角线将凸n 边形分成了多少个区域？

（2）这些对角线被交点分成了多少条线段？（1990年中国国家集训队试题，1991年加拿大数学奥林匹克试题）

解：（1）设凸n 边形被对角线分割成的区域中，边数最多的为m 边形。其中三角形有n 3个，四边形有

n 4个，…，m 边形有n m 个，于是凸n 边形被分成的区域个数m

n n n S

+++= 43。

一方面，各区域的顶点数的总和为m n m n n ⋅+++ 4343。

另一方面，对角线在形内有4n C 个交点，每个交点是4个区域的公共顶点（因无3条对角线交于形内一点）。又凸n 边形共有n 个顶点，每个顶点是2-n 个区域的公共顶点，所以

)2(4434

43-+=⋅+++n n C n m n n n m 。

其次，各区域的各内角之总和为︒⋅-⋅++︒⋅+︒⋅180)2(36018043m n n n m 。

另一方面，原凸多边形的n 个顶点处的内角和为︒⋅-180)2(n ，又4n C 个对角线交点处的内角的和为

︒⋅3604

n C ，所以)2(180360180)2(3601804

43-︒+⋅︒=︒⋅-⋅++︒⋅+︒⋅n C m n n n n m ，即 )2(2)2(24

43-+⋅=-+++n C n m n n n m 。[①－②]÷2，得

2

144

43)2)(1(2

12-+=--+

=+++=n n n m C C n n C n n n S )123)(2)(1(24

12

+---=

n n n n 。

（2）从形内每一交点处出发有4条对角线上的线段，形内一共有4n C 个交点，共有44n C ⋅条线段。又从正n 边形每个顶点出发有3-n 条对角线上的线段，故从n 个顶点出发共有)3(-n n 条线段。但以上计数时，每条线段计算了2次，故对角线被交点分成的线段数为

)83)(3(12

1)3(2

12)]3(4[2

12

4

4

+--=

-+

=-+n n n n n n C n n C n n 。

评注：本题（1）还可借鉴欧拉公式的证明思路考虑逐步去掉对角线与区域减少的个数之间的关系，计算如下：每去掉一条对角线，则区域的个数减少1+i a 个，这里a i 是该对角线与还没有去掉的其他对角

线的在形内的交点数，逐步将n C n -2条对角线去掉，剩下1个区域，故所求区域数为∑-=++

=n

C i i

n a

S 2

1

)

1(1，且

4

1

2

n

n

C i i

C a

n =∑-=恰是对角线在形内的交点数，所以

)

123)(2)(1(24

112

2

1424+---=

+=-++=-n n n n C C n C C S n n n n 。

例4．（1991年全国高中联赛题）设a n 为下述正整数N 的个数：N 的各位数字之和为n ，且每位数字只能是1，3或4。求证：a 2n 是完全平方数。

解：（1）求初始值。用枚举法易知a 1=1，a 2=1，a 3=2，a 4=4。

（2）求递推关系，设k x x x N 21=，其中x 1, x 2, …, ∈k x {1, 3, 4}且n x x x +++ 21n =。当5≥n 时，

x 1依次取1, 3, 4时，k x x x +++ 32依次取1-n ，3-n ，4-n ，故有)5(431≥++=---n a a a an n n n 。 ①

（3）寻求新的递推关系。