第二课时 子集、全集、补集
第一章 1.1.3 第2课时 集合的全集、补集
第2课时 集合的全集、补集学习目标 1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn 图.3.会求补集，并能解决一些集合的综合运算问题.知识点一 全 集定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集. 记法：全集通常记作U .思考1 为了研究集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{1,2,3}，C ＝{1,3,5}之间的关系，要从中选一个集合作为全集，这个集合应该是________. 答案 A思考2 全集一定包含任何一个元素吗？若全集是数集，则一定是实数集R 吗？ 答案 不一定；不一定. 知识点二 补 集1.根据研究问题的不同，可以指定不同的全集.( √ )2.存在x 0∈U ，x 0∉A ，且x 0∉∁U A .( × )3.设全集U ＝R ，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1x >1，则∁U A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x ≤1.( × ) 4.设全集U ＝{}(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，A ＝{}(x ，y )|x >0且y >0，则∁U A ＝{}(x ，y )|x ≤0且y ≤0.( × )题型一 补集的运算例1 (1)已知全集U ＝{a ，b ，c }，集合A ＝{a }，则∁U A 等于( ) A.{a ，b } B.{a ，c } C.{b ，c } D.{a ，b ，c } 考点 补集的概念及运算 题点 有限集合的补集 答案 C解析 ∁U A ＝{}x |x ∈U 且x ∉A ＝{}b ，c .(2)若全集U ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R |－2≤x ≤0}，则∁U A 等于( ) A.{x |0<x <2} B.{x |0≤x <2} C.{x |0<x ≤2}D.{x |0≤x ≤2}考点 补集的概念及运算 题点 无限集合的补集 答案 C解析 ∵U ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}， A ＝{x ∈R |－2≤x ≤0}， ∴∁U A ＝{x |0<x ≤2}，故选C.反思感悟 求集合的补集，需关注两处：一是确认全集的范围；二是善于利用数形结合求其补集，如借助Venn 图、数轴、坐标系来求解.跟踪训练1 (1)设集合U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则∁U A ＝________. 考点 补集的概念及运算 题点 有限集合的补集 答案 {3,4,5}(2)已知全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e }，集合A ＝{b ，c ，d }，B ＝{c ，e }，则(∁U A )∪B 等于( ) A.{b ，c ，e } B.{c ，d ，e } C.{a ，c ，e } D.{a ，c ，d ，e } 答案 C解析 ∁U A ＝{a ，e }，(∁U A )∪B ＝{a ，c ，e }.(3)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |1<x ≤3}，则∁U A 等于( ) A.{x |x <1或x ≥3} B.{x |x ≤1或x >3} C.{x |x <1或x >3} D.{x |x ≤1或x ≥3} 答案 B解析 U ＝R ，∁U A ＝{x |x ≤1或x >3}. 题型二 补集的应用例2 (1)设全集U ＝{1,3,5,7}，集合M ＝{1，|a －5|}，∁U M ＝{5,7}，则a 的值为________.答案 2或8解析 由U ＝{1,3,5,7}，M ＝{1，|a －5|}，∁U M ＝{5,7}知M ＝{1,3}. ∴|a －5|＝3，∴a ＝8或2.(2)已知A ＝{0,2,4,6}，∁U A ＝{－1，－3,1,3}，∁U B ＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B . 考点 补集的概念及运算 题点 有限集合的补集解 ∵A ＝{0,2,4,6}，∁U A ＝{－1，－3,1,3}， ∴U ＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}. 而∁U B ＝{－1,0,2}，∴B ＝∁U (∁U B )＝{－3,1,3,4,6}.反思感悟 从Venn 图的角度讲，A 与∁U A 就是圈内和圈外的问题，由于(∁U A )∩A ＝∅，(∁U A )∪A ＝U ，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推.跟踪训练2 (1)已知集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |x >2a ＋1}，若A ∩(∁R B )＝∅，则实数a 的取值范围是________________________________________________________________________. 答案 {a |a <0}解析 ∁R B ＝{x |x ≤2a ＋1}. 由A ∩(∁R B )＝∅， ∴2a ＋1<1，∴a <0.(2)设全集U ＝{0,1,2,3}，集合A ＝{x |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________. 答案 －3解析 ∵U ＝{0,1,2,3}，∁U A ＝{1,2}， ∴A ＝{0,3}.∴0,3是x 2＋mx ＝0的两个根，∴m ＝－3. 题型三 集合的综合运算例3 (1)已知全集U ＝{}1，2，3，4，5，6，集合P ＝{}1，3，5，Q ＝{}1，2，4，则(∁U P )∪Q等于( )A.{}1B.{}3，5C.{}1，2，4，6D.{}1，2，3，4，5考点 交并补集的综合问题 题点 有限集合的交并补运算 答案 C解析 ∵∁U P ＝{}2，4，6， ∴(∁U P )∪Q ＝{}1，2，4，6.(2)已知集合A ＝{x |x ≤a }，B ＝{x |1≤x ≤2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是________.考点 交并补集的综合问题题点 与交并补集运算有关的参数问题 答案 {a |a ≥2}解析 ∵∁R B ＝{x |x <1或x >2}且A ∪(∁R B )＝R ， ∴{x |1≤x ≤2}⊆A ，∴a ≥2.反思感悟 解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分.有限集合混合运算可借助Venn 图，与不等式有关的可借助数轴.跟踪训练3 (1)已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ≠N ，若N ∩(∁I M )＝∅，则M ∪N 等于( )A.MB.NC.ID.∅ 答案 A解析 如图所示，因为N ∩(∁I M )＝∅，所以N ⊆M ，所以M ∪N ＝M .(2)设集合A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，A ∩B ＝{2}. ①求a 的值及A ，B ；②设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )；③设全集U ＝A ∪B ，写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集.解 ①因为A ∩B ＝{2}，所以2∈A ，且2∈B ，代入可求得a ＝－5，所以A ＝{x |2x 2－5x ＋2＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ＝{x |x 2＋3x －10＝0}＝{－5,2}.②由①可知U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2，所以∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12.③由②可知(∁U A )∪(∁U B )的所有子集为∅，{－5}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12.根据补集的运算求参数典例 (1)设全集U ＝{3,6，m 2－m －1}，A ＝{|3－2m |,6}，∁U A ＝{5}，求实数m . 解 ∵∁U A ＝{5}， ∴5∈U 且5∉A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝5，|3－2m |≠5， 由m 2－m －1＝5，得m 2－m －6＝0，∴m ＝－2或m ＝3.①当m ＝－2时，|3－2m |＝7≠5， 此时U ＝{3,5,6}，A ＝{6,7}， 不符合要求，舍去； ②当m ＝3时，|3－2m |＝3，此时，U ＝{3,5,6}，A ＝{3,6}满足∁U A ＝{5}. 综上所述m ＝3.(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |a ＋1≤x ≤2a －1}，且A ⊆(∁U B )，求实数a 的取值范围.解 若B ＝∅，则a ＋1>2a －1，即a <2，此时∁U B ＝R ，所以A ⊆(∁U B ). 若B ≠∅，则a ＋1≤2a －1，即a ≥2，此时∁U B ＝{x |x <a ＋1或x >2a －1}， 又A ⊆(∁U B )，所以a ＋1>5或2a －1<－2，所以a >4或a <－12(舍去).所以实数a 的取值范围为{a |a <2或a >4}. [素养评析] (1)由集合的补集求解参数的方法①有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解.②无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解.(2)理解运算对象，掌握运算法则，选择运算方法，求得运算结果，充分体现了数学运算的数学核心素养.1.设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，则∁U M 等于( ) A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6} 考点 补集的概念及运算 题点 有限集合的补集 答案 C2.已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )等于( ) A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4} 考点 交并补集的综合问题 题点 有限集合的交并补运算 答案 D3.设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，则(∁R S )∪T 等于( )A.{x|－2<x≤1}B.{x|x≤－4}C.{x|x≤1}D.{x|x≥1}考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算答案 C4.设集合U＝{0,1,2,3,4}，M＝{1,2,4}，N＝{2,3}，则(∁U M)∪N＝________.答案{0,2,3}5.设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则∁U A与∁U B的关系是________.答案∁U A∁U B解析∁U A＝{4,5,6，…}，∁U B＝{3,4,5,6，…}，∴∁U A∁U B.1.全集与补集的互相依存关系(1)补集是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.(2)∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系.2.补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A，求A.一、选择题1.已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为()A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{0,2,4}D.{0,2,3,4}考点交并补集的综合问题题点有限集合的交并补运算答案 C解析∁U A＝{0,4}，所以(∁U A)∪B＝{0,2,4}，故选C.2.设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,5}，B＝{2,5}，则A∪(∁U B)等于()A.{2}B.{1,3}C.{3}D.{1,3,4,5}答案 D3.已知U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>2}，则∁U A等于()A.{x |－2<x <2}B.{x |x <－2或x >2}C.{x |－2≤x ≤2}D.{x |x ≤－2或x ≥2}考点 补集的的概念及运算 题点 无限集合的补集 答案 C解析 ∁U A 为数轴上去掉集合A 的剩余部分.4.设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{2,4}，B ＝{1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A.{4}B.{2,4}C.{4,5}D.{1,3,4}答案 A解析 (∁U B )∩A ＝{4,5}∩{2,4}＝{4}.5.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x >1}，则A ∩(∁U B )等于( ) A.{x |0≤x <1} B.{x |0<x ≤1} C.{x |x <0} D.{x |x >1}答案 B解析 ∵∁U B ＝{x |x ≤1}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |0<x ≤1}.6.若全集U ＝{0,1,2,3,4,5}，且∁U A ＝{x ∈N *|1≤x ≤3}，则集合A 的真子集共有( ) A.3个 B.4个 C.7个 D.8个 答案 C解析 ∁U A ＝{x ∈N *|1≤x ≤3}＝{1,2,3}，∴A ＝{0,4,5}，∴集合A 的真子集共有23－1＝7(个).7.已知全集U ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，∁U A ＝{3}，则实数a 等于( ) A.0或2 B.0 C.1或2 D.2 考点 补集的概念及运算 题点 由补集运算结果求参数的值 答案 D解析 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，则a ＝2.8.已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，A ∩(∁U B )＝{9}，则A 等于( ) A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} D.{3,9} 答案 D解析画Venn图，由图可知A＝{3,9}.二、填空题9.设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∩B)＝________.答案{1,2,4,5}10.已知全集U＝{x|－3≤x<2}，集合M＝{x|－1<x<1}，∁U N＝{x|0<x<2}，则M∪N＝________. 答案{x|－3≤x<1}解析∵U＝{x|－3≤x<2}，∁U N＝{x|0<x<2}，∴N＝∁U(∁U N)＝{x|－3≤x≤0}.∴M∪N＝{x|－3≤x<1}.11.若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x<0或x>1}，则图中阴影部分所表示的集合为________________.考点Venn图表达的集合关系及运用题点Venn图表达的集合关系答案{x|x≤1或x>2}解析如图，设U＝A∪B＝R，A∩B＝{x|1<x≤2}，∴阴影部分为∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}.三、解答题12.已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪(∁U A)＝R，B∩(∁U A)＝{x|0<x<1或2<x<3}，求集合B.考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算解∵A＝{x|1≤x≤2}，∴∁U A＝{x|x<1或x>2}.又B∪(∁U A)＝R，A∪(∁U A)＝R，可得A⊆B.而B∩(∁U A)＝{x|0<x<1或2<x<3}，∴{x |0<x <1或2<x <3}⊆B . 借助于数轴可得B ＝A ∪{x |0<x <1或2<x <3}＝{x |0<x <3}. 13.已知A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }. (1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围. 考点 交并补集的综合问题题点 与交并补集运算有关的参数问题 解 (1)m ＝1，B ＝{x |1≤x ＜4}， A ∪B ＝{x |－1＜x ＜4}. (2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x ＞3}. 当B ＝∅时，即m ≥1＋3m 得m ≤－12，满足B ⊆∁R A ，当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1＋3m ，m ＞3，解得m ＞3. 综上可知，实数m 的取值范围是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ＞3或m ≤－12.14.如图，已知I 是全集，A ，B ，C 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A.(∁I A ∩B )∩CB.(∁I B ∪A )∩CC.(A ∩B )∩(∁I C )D.(A ∩∁I B )∩C考点 Venn 图表达的集合关系及运用 题点 Venn 图表达的集合关系 答案 D解析 由题图可知阴影部分中的元素属于A ，不属于B ，属于C ，则阴影部分表示的集合是(A ∩∁I B )∩C .15.已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}满足(∁R A )∩B ＝{2}，A ∩(∁R B )＝{4}，求实数a ，b 的值.解 由(∁R A )∩B ＝{2}和A ∩(∁R B )＝{4}， 知2∈B ，但2∉A ；4∈A ，但4∉B .将x ＝2和x ＝4分别代入集合B ，A 中的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧22－2a ＋b ＝0， 42＋4a ＋12b ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧4－2a ＋b ＝0，4＋a ＋3b ＝0， 解得a ＝87，b ＝－127.经检验，a ＝87，b ＝－127符合题意.。
子集,全集和补集
第二课 子集 全集 补集一.概念（1）子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A 记作:A B B A ⊇⊆或 ，A ⊂B 或B ⊃A ， 当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/A（2）集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何．．一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B（3）真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A（4）子集与真子集符号的方向不同与同义；与B A B A A B B A ⊇⊆⊇⊆（5）空集是任何集合的子集Φ⊆A 空集是任何非空集合的真子集ΦA 若A ≠Φ，则Φ A 任何一个集合是它本身的子集A A ⊆ （6）易混符号①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合（7） 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A的补集（或余集），记作A C S ，即C S A=},|{A x S x x ∉∈且（8）、性质：C S （C S A ）=A ，C S S=φ，C S φ=S（9）、全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示二、讲解范例：例1（1） 写出N ，Z ，Q ，R 的包含关系，并用文氏图表示 （2） 判断下列写法是否正确 ①Φ⊆A ②Φ A ③A A ⊆ ④A A例2 （1）填空：N___Z, N___Q, R___Z, R___Q ， Φ___{0}（2）若A={x∈R|x2-3x-4=0},B={x∈Z||x|<10},则A⊆B正确吗？⊆A，为什么？（3）是否对任意一个集合A，都有A（4）集合{a,b}的子集有那些？（5）高一（1）班同学组成的集合A，高一年级同学组成的集合B，则A、B的关系为. 例3 解不等式x+3<2，并把结果用集合表示出来.例4（1）若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，求C S A（2）若A={0}，求证：C N A=N*（3）求证：C R Q是无理数集A例5已知全集U＝R，集合A＝｛x｜1≤2x＋1＜9｝，求CU例6 已知S＝｛x｜－1≤x＋2＜8｝，A＝｛x｜－2＜1－x≤1｝，B＝｛x｜5＜2x－1＜11｝，讨论A与CB的关系S三、练习：1.写出集合{1，2，3}的所有子集1、已知全集U＝｛x｜－1＜x＜9｝，A＝｛x｜1＜x＜a｝，若A≠φ，则a的取值范围是（）（A）a＜9（B）a≤9（C）a≥9（D）1＜a≤92、已知全集U，A是U的子集，φ是空集，B＝C U A，求C U B，C Uφ，C U U3、设U=｛梯形｝,A=｛等腰梯形｝,求C U A.4、已知U=R，A=｛x|x2+3x+2<0｝, 求C U A.5、集合Ｕ=｛（x ，y ）|x ∈｛1,2｝,y ∈｛1,2｝｝ , Ａ=｛（x ，y ）|x ∈N*,y ∈N*,x+y=3｝，求C U A .6、设全集U （U ≠Φ），已知集合M ，N ，P ，且M=C U N ，N=C U P ，则M 与P 的关系是（ ）(A)M=C U P ， （B ）M=P ， （C ）M ⊇P ， （D ）M ⊆P .7、设全集U={2,3,322-+a a },A={b,2},A C U ={2b},求实数a 和b 的值.8、⑴写出集合{}1,2的所有子集：⑵写出集合{},,a b c 的所有真子集． (3)猜想若集合A 的元素有n 个，则A 的子集个数为多少？9、给出下面四个关系：①{}10,1,2∈；②{}{}10,1,2∈；③{}{}0,1,20,1,2⊆； ④{}0,1,2⊂∅≠；⑤{}{}2,0,10,1,2=，其中错误关系的序号是 。
第2课时子集全集补集
第2课时 子集、全集、补集一．教学课题子集、全集、补集 二．教学目标1．了解集合之间的包含关系； 2．理解子集、真子集的概念； 3．理解两个集合相等的意义；4．了解全集的意义，理解补集的概念。
三．教学重点1．子集、真子集的概念； 2．两个集合相等的意义； 3．补集的概念。
四．教学难点 子集的概念 五．教学过程 （一）引例观察下列各组集合中B A ,两集合之间的关系：1．{}{}4,3,2,1,2,1==B A2．{}{}为中国人，为北京人x x B x x A ||== 3．R B N A ==，上述三个例子中，每组中的B A ,两个集合之间的关系都是：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素。
（二）新课1．子集： （文字语言）如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称集合A 为集合B 的子集。
记作：B A ⊆或A B ⊇；读作：集合A 包含于集合B 或集合B 包含集合A 。
（符号语言）∀A x ∈⇒ B x ∈，则 B A ⊆。
（图形语言）注意：（1）若集合A 不是集合B 的子集，则可记作或（2）注意：集合与集合之间是包含关系，而元素与集合之间是从属关系。
（3）A A ⊆（4）规定：空集是任何集合的子集，即A ⊆φ。
注意：★研究与子集有关的问题勿忘φ。
（5）若C B B A ⊆⊆,，则C A ⊆。
（简单证明一下） （6）若A B B A ⊆⊆,，则B A =，反之，也成立。
（先提问：A B B A ⊆⊆与能同时成立吗？）练习1：（1）写出集合{}b a ,的所有子集。
解：集合{}b a ,的所有子集为：{}{}{}b a b a ,,,,φ（2）写出集合{}3,2,1的所有子集。
解：集合{}3,2,1的所有子集为：{}{}{}{}{}{}{}3,2,1,2,1,3,1,3,2,3,2,1,φ （3）写出集合{}4321,,,a a a a 的所有子集。
解：集合{}4321,,,a a a a 的所有子集为：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,,,4342324131214321a a a a a a a a a a a a a a a a φ{}432,,a a a ，{}431,,a a a ，{}421,,a a a ，{}321,,a a a ，{}4321,,,a a a a2．真子集：如果B A ⊆，且B A ≠，那么集合A 称为集合B 的真子集。
1.2-子集、全集、补集讲义教学
1.2 子集、全集、补集要点一子集、真子集[重点]在上一节中，我们用约定的字母标记了一些特殊的集合，在这些特殊的集合中，我们会发现这样一个现象：正整数集中的所有元素都在自然数集中；自然数集中的所有元素都在整数集中；整数集中的所有元素都在有理数集中；有利数集中的所有元素都在实数集中.其实，上述各集合之间是一种集合见得包含关系；可以用子集的概念来表示这种关系.1．子集(1)定义：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A成为集合B的子集，记作A B或B A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含于集合A”.(2)举例：例如，{4，5} Z，{4，5} Q，Z Q，1-2-1来表示.(3)理解子集的定义要注意以下四点：①“A是B的子集”的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，既由x∈A，能推出x∈B，例如{-1，1} {-1，0，1，2}.②任何一个集合是它本身的子集，即对于任何一个集合A，它的任何一个元素都是属于集合A本身，记作A A.③我们规定，空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A，有 A.④在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A= ，则A中不含任何元素；若A=B，则A中含有B中的所有元素，但此时都说集合A 是集合B的子集.以上②③点告诉我们，在邱某一个集合时，不要漏掉空集和它的本身两种特殊情况.(4)例题：例1设集合A={1，3，a }，B={1，a 2-a +1}，且A B，求a的值.解：∵A B，∴a 2-a +1=3或a 2-a +1=a，由a 2-a +1=3，得a =2或a =-1；由a 2-a +1=a，得a =1.经检验，当a =1时，集合A、B中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a 的值为-1，2.2．真子集 (1)定义：如果A B ，并且A≠B ，那么集合A 称为集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作 “A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(2)举例：{1，2} {1，2，3}.(3)理解子集的定义要注意以下四点： ①空集是任何非空集合的真子集.②对于集合A 、B 、C ，如果A B ，B C ，那么A C . ③若A B ，则⎩⎪⎨⎪⎧A=B A B 且B AA ≠B A B.④元素与集合的关系是属于于不属于的关系，分别用符号“∈”和“ ”表示；集合 与集合之间的关系是包含于、不包含于、真包含于、相等的关系，分别用符号“ ”“ ”“ ”和“=”.(4)例题：例2 写出集合{a ,b ,c }的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空真子集. 解：{a ,b ,c }的所有子集是： ，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }.其中除了{a ，b ，c }外，其余7个集合都是它的真子集.除了 ，{a ，b ，c }外，其余6个都是它的非空真子集.练习：1．判断下列命题的正误：(1){2，4，6} {2，3，4，5，6}； (2){菱形} {矩形}； (3){x |x 2+1=0} {0}； (4){(0，1)} {0，1}.根据子集的定义，判断所给的两集合中前一个集合的任何一个元素是否都是后一个集合的元素.解：根据子集的定义，(1)显然正确；(2)中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他 的菱形不是矩形；(3)中集合{ x | x 2+1= 0 }是 ，而 是任何集合的子集；(4)中{(0，1)} 是点集，而{0，1}是数集，元素不同，因此正确的是(1)(3)，错误的是(2)(4). 判断两集合之间的子集关系时，主要是看其中一个集合的元素是不是都在另一个集合评点中.2．写出集合A ={p ，q ，r ，s }的所有子集.根据集合A 的子集中所含有元素的个数进行分类，分别写出，不要漏掉.解：集合A 的子集分为5类，即 (1) ；(2)含有一个元素的子集：{p }，{q }，{r }，{s }；(3)含有两个元素的子集：{p ，q }，{q ，r }，{r ，s }，{s ，p }，{p ，r }，{q ，s }； (4)含有三个元素的子集有：{p ，q ，r }，{p ，q ，s }，{q ，r ，s }，{p ，r ，s }； (5)含有四个元素的子集有：{p ，q ，r ，s }．综上所述：集合A 的子集有 ，{p }，{q }，{r }，{s }，{p ，q }，{q ，r }，{r ，s }，{s ，p }，{p ，r }，{q ，s }，{p ，q ，r }，{p ，q ，s }，{q ，r ，s }，{p ，r ，s }，{p ，q ，r ，s }，共16个．给定一个含有具体元素的集合，写其子集时，应根据子集所含元素的个数进行分类.以下结论可以帮助检验所写子集数的正确性：若一个集合含有m 个元素，则其子集有2m 个，真子集有(2m -1)个，非空真子集有(2m -2)个.3．给出下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若 A ，则A≠ ．其中正确的序号有____④______．从子集、真子集的概念以及空集的特点入手，逐一进行判断.解析：①错误，空集是任何集合的子集， ；②错误，如空集的子集只有1个；③错误， 不是 的真子集；④正确，∵ 是任何非空集合的真子集. 求解与子集、真子集概念有关的题目时，应记住以下结论：(1)空集是任何集合的子 集，即对于任意一个集合A ，有 A .(2)任何一个集合是它本身的子集，即对任何一个集合A ，有A A .4．满足集合{1，2，3} M {1，2，3，4，5}的集合M 的个数是 __2____ ．评点 评点根据所给关系式，利用{1，2，3}是M 的真子集，且M 真包含于{1，2，3，4，5}的关系判断集合M 中的元素个数.解析：依题意，集合M 中除含有1，2，3外至少含有4，5中的一个元素，又M {1，2，3，4，5}，∴M={1，2，3，4}或{1，2，3，5}．(1)解答此题应首先根据子集与真子集的概念判断出集合M 中含有元素的可能情况，然后根据集合M 中含有元素的多少进行分类讨论，防止遗漏.(2)若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n } ，则A 的个数为2n －m .若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n }，则A 的个数为2n －m -1. 若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n }，则A 的个数为2n －m -2. 要点二 补集、全集[重点] 1．补集设A S ，由S 中不属于A 的所有 元素组成的集合称为S 的子集A 的补集， 记作 S A(读作“A 在S 中的补集”)，即S A={ x | x ∈S ，且x A}.C S A 可用图1-2-2.2．全集. (1)定义：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常记作U .(2)举例：例如，在实数范围内讨论集合时，R 便可看做一个全集U ，在自然数范围内讨论集合时，N 便可看做一个全集U .3．理解补集、全集要注意以下两点：(1)对全集概念的理解：全集是相对于所研究的问题而言的一个相对概念，它含有与所研究的问题有关的各个集合的全部元素，因此，全集因研究问题而异.例如在研究数集时，常常把实数集R 看做全集；在立体几何中，三维空间是全集，这是平面是全集的一个评点子集；而在平面几何中，整个平面可以看做一个全集.(2)求子集A 在全集U 中的补集的方法：从全集U 中去掉所有属于A 的元素，剩下的元素组成的集合即为A 在U 中的补集.如已知U= a ，b ，c ，d ，e ，f ，A= b ，f ，求C U A .该题中显然A U ，从U 中除去子集A 的元素b 、f ，乘下的a 、c 、d 、e 组成的集合即为 U A= a ，c ，d ，e .求补集，我们则可以充分利用数轴的直观性来求解.如已知U=R ，A= x x > 3 ，求 U A .用数轴表示如图1-2-3，可知 U A= x x > 3 .4．例题 例2不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x -1>0，3x -6≤0 的解集为A ，U=R .试求A 及C U A ，并把它们分别表示在数轴上.解：A= x 2 x -1 > 0且3 x –6 ≤ 0 =122<x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，在数轴上表示如图1-2-4(1).C U A=1,22x x x ⎧⎫≤>⎨⎬⎩⎭或，在数轴上表示如图1-2-4(2).练习5．已知全集U=R ，集合A={ x |1< x ≤6}，求C U A . 在数轴上标出集合A ，结合补集的定义求解.解：根据补集的定义，在实数集R 中，由所有不属于A 的实数组成的集合，就是C U A ，如图1-2-5，结合数轴可知，C U A={ x |1< x ≤6}.涉足与数集有关的补集，求解时一般要利用数轴只管求解，求解时要注意端点值的取舍.6．已知全集U={不大于5的自然数}，A={0，1}，B={x |x ∈A ，且x <1}，C={x |x -1 A ，且x ∈U}.(1)判断A 、B 的关系；(2)求C U B 、C U C ，并判断其关系.1212评 点根据题意，先写出全集U ，按所给集合B 、C 的含义，写出B 、C ，并求其补集后求解第(2)题.解：由题意知U={0，1，2，3，4，5}，B={0}，又集合C 中的元素必须满足以下两 个条件：x ∈U ，x -1 A .若x =0，此时0-1=-1 A ，∴0是C 中的元素； 若x =1，此时1-1=0∈A ，∴1不是C 中的元素； 若x =2，此时2-1=1∈A ，∴2不是C 中的元素；同理可知3，4，5是集合C 中的元素，∴C={0，3，4，5}. (1)∵A={0，1}，B={0}，∴B A ；(2)C U B={1，2，3，4，5}，C U C={1，2}，∴C U C C U B . 若给定具体的数的集合，判断其两个子集的补集之间的关系时，应先求集合的补集. 7．设全集U={1，2，x 2-2}，A={1，x }，求C U A .要求C U A ，必须先确定集合A ，实际上就是确定x 的值，从而需要分类讨论.解：由条件知A U ，∴x ∈U={1，2，x 2-2}，又x ≠1，∴x =2或x = x 2-2. 若x =2，则x 2-2=2，此时U={1，2，2}，这是与互异性矛盾，舍去. 由x =x 2-2得x 2-x -2=0，解得x =-1或x =2(舍去). 此时U={-1，1，2}，A={1，-1}，∴C U A={2}.求解此题首先确定参数x 的值，然后确定出U 和A 的具体结果.在求解集合问题时必须密切关注集合元素的特征，并且特别注意互异性，以免产生增根.8．已知A={x |x <5}，B={x |x <a }，分别求满足下列条件的a 的取值范围：(1)B A ；(2)A B .紧扣子集、全集、补集的定义，利用数轴，数形结合求出a 范围. 解：(1)因为B A ，B 是A 的子集，如图1-2-6(1)，故a ≤5.评点 评点 (2)(1)(2)因为A B，B是A的子集，如图1-2-6(2)，故a≥5．9．已知M={x|x=a2+1，a∈N*}，P={y|y=b2-6b+10，b∈N}，判断集合M与P之间的关系.解法一：集合P中，y=b2-6b+10=(b-3)2+1当b=4，5，6，…时，与集合M中a=1，2，3，…时的值相同，而当b=3时，y=1∈P，1 M，∴M P.解法二：对任意的x0∈M，有x0=a2 0+1=(a0+3)2-6(a0+3)+10∈P(∵a0∈N*，∴a0+3∈N)，∴M P，又b=3时，y=1，∴1∈P.而1<1+ a2+1=(a0∈N*)，∴1 M，从而M P.10．已知全集U，集合A={1，3，5，7，9}，C U A={2，4，6，8}，C U B={1，4，6，8，9}，求集合B.求集合B，需根据题意先求全集U，由于集合A及C用Venn图来表示所给集合，将A及C U A填入即可得U解：借助Veen图，如图1-2-7.由题意知U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}.∵C U B={1，4，6，8，9}∴B={2，3，5，7}.求本题中的全集，用Veen较直观，本题的求解实际上应用了补集的性质C U (C U B)=B.E 教材问题探究1.教材第8页“思考”对于集合A、B，如果A B，同时B A，那么A=B.这是因为由A B可知，集合A的元素都是集合B的元素，又由B A知，集合B的元素也都是集合A的元素，这就是说，集合A和集合B的元素是完全相同的，因而说集合A与集合B是相等的.当A=B时，集合A中的每一个元素都在集合B中，集合B中的元素也都在集合A 中，即A B与B A同时成立.综上所述，A B与B A同时成立的等价条件是A=B.例判断下列两个集合的关系：(1)A={x |(x-1)(x+1)= 0}，B={x | x2=1}；(2)C={x |x=2n，n∈Z }，D={x | x=2(n-1)，n∈Z }.解：∵(1)A={-1，1}，B={-1，1}，∴A=B.评点(2)易知集合C 为偶数，∵n ∈Z ，n -1∈Z ，∴集合D 也为偶数集，∴C=D .2.教材第9页“思考”在(1)(2)(3)中除有A S ，B S 外，不难看出在S 中属于A 的所有元素均不属于B ，即x i∈S ，x i∈A ，但x iB ，在S 中属于B 的所有元素均不属于A ，即x i∈S ，xi ∈A ，但x iA ，也就是说，A 、B 两个集合没有公共元素，且它们的元素合在一起，恰好是集合S 的全部元素.探究学习1．教材第8页“?”集合{a 1，a 2，a 3，a 4}的子集有： ，{a 1}，{a 2}，{a 3}，{a 4}，{a 1，a 2}，{a 2，a 3}，{a 3，a 4}，{a 1，a 4}，{a 1，a 3}，{a 2，a 4}，{a 1，a 2，a 3}，{a 1，a 2，a 4}，{a 2，a 3，a 4}，{a 1，a 3，a 4}，{a1，a 2，a 3，a 4}.拓展：集合{a 1，a 2，a 3，a 4}有多少个真子集？有多少个非空真子集？由上可知，集合{a 1，a 2，a 3，a 4}有15个真子集，有14个非空真子集.一个集合含有n 个元素，则它的所有自己有2n 个，真子集有(2n -1)个(去掉集合本身)，非空真子集有(2n -2)个(去掉集合本身及空集).典型例题解析例1 设A={x | ( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0}，写出集合A 的子集，并指出其中哪些是它的真子集？要确定集合A 的子集、真子集，首先必须清楚集合A 中的元素，由于集合A 中的元素是方程( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0的根，所以要先解该方程.解：将方程( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0变形，得( x -4)( x +1)( x +4)2=0，则可得方程的根为x =-4 或x =-1或x =4.故集合A={-4，-1，4}，真子集有 ，{-4}，{-1}，{4}，{-4，-1}，{-4， 4}，{-1，4}，{-4，-1，4}，真子集有 ，{-4}，{-1}，{4}，{-4，-1}，{-4，4}，{-1，4} 写出一个集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集— 和自身；其次，依次按含评点有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集等一一写处，就可避免重复和遗漏现象的发生.例2 设全集U={1，4，a 2+4a -2}，A={| 3a -2 |，4}，C U A={3}，求实数a 的值.∵C U A={3}，∴3∈U ，且3 A ，由补集的定义知A={1,4}. 解：∵C U A={3}，说明3∈U ，且3 A ，∴a 2+4a -2=3，∴a =-5或a =1. ①当a =1时，| 3a -2 |=1≠3，此时A={1，4}，满足题意. ②当a =-5时，| 3a -2 |=17，此时A={17，4} U ，不满足题意. ∴a 的值为1.例3 已知{1，2} M {1，2，3，4，5}，则这样的集合M 有 8 .根据题目给出的条件可知，集合M 中至少含有元素1、2，至多含有元素1、2、3、4、5，故可按M 中所含元素的个数分类写出集合M ，解析：(1)当M 中含有两个元素时，M 为{1，2}；(2)当M 中含有三个元素时，M 可能为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； (3)当M 中含有两个元素时，M 可能为{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； (4)当M 中含有两个元素时，M 为{1，2，3，4，5}；所有满足条件的M 为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共8个.首先根据子集的概念判断出集合M 中含有元素的可能情况，然后根据集合M 中含有例4 已知集合A={x |- 2 ≤ x ≤ 5}，B={x | m +1≤ x ≤ 2m -1}，若B A ，求实数m 的取 值范围.对B 要进行讨论，分B 为空集和非空集合两种情况.解：(1)若B ≠ ，则由B A (如图1-2-5)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤ 2m -1，m +1≥ -2，2m -1≤ 5，解的2 ≤ m ≤ 3. (2)若B= ，则m +1>2m -1，m <2，此时B A 也成立. 由(1)和(2)，得m ≤ 3，所以实数m 的取值范围是{ m | m ≤ 3}.在处理含有参数的子集问题市场借助数轴，数形结合，理清条件，使关系明朗，易于求解.例5 已知集合A={x | 1 ≤ a x ≤ 2}，B={x | | x | < 1}，求满足A B 的实数a 的取 值范围.对参数进行讨论，写出集合A 、B ，使其满足，求a 的值. 解：(1)当a = 0时，A= ，满足A B .(2)当a > 0时，{}21A=.B=11,A B xx x x a a ⎧⎫⊂<<-<<=⎨⎬⎩⎭又.∴11 2.21a a a⎧≥-⎪⎪∴∴≥⎨⎪≤⎪⎩ (3)当a < 0时，{}2121A= B=11 2.1 1.axx x x a a a a⎧≥-⎪⎧⎫⎪<<-<<⊆∴∴≤-⎨⎬⎨⎭⎩⎪≤⎪⎩，，又，A B.综上所述，a = 0，或a ≥2，或a ≤-2.根据子集的定义，把形如A B 的问题转化为不等式组问题，使问题得以解决.在解决 问题的过程中，应首先考虑A= 的情况.在建立不等式的过程中，借助数轴，是解决本题 重要一环，若不等式中含有参数，一般需对参数进行讨论，进而正确解出不等式.例6 已知全集S = { 1，3，x 3 + 3 x2 + 2 x }，集合A = {1，| 2 x - 1 | }，如果C S A ={0}，那么这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由.由C S A ={0}可知0∈S ，但0 A ，所以x 3 + 3 x2 + 2 x = 0，且| 2 x - 1 | =3，从中求出x 即可.评点 评点解法一：∵S = { 1，3，x 3 + 3 x2 + 2 x }，A = {1，| 2 x - 1 | }，C S A ={0}，∴0∈S ，但0 A ，∴32320 1.213x x x x x ++=⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，解的 ， 综上知，实数x 存在，且x =-1.由C S A ={0}可知0∈S ，但0 A ，由0∈S 可求x ，然后结合0 A 来验证是否有A S 及是否符合集合中元素的互异性，从而得出结论.解法二：∵C S A ={0}，∴0∈S ，但0 A ，∴ x 3 + 3 x2 + 2 x = 0，即x (x +1)(x +3)=0，∴x =0或x =-1或x =-2.当x =0时，| 2 x - 1 | =1，A 中已有元素1，故不符合互异性，舍去； 当x =-1时，| 2 x - 1 | =3，而3∈S ，符合题意； 当x =-2时，| 2 x - 1 | =5，而5 S ，舍去.例7 已知A={ x | x <-1或x > 5 }，B={ x ∈R | a<x <a + 4 }，若AB ，求实数a 的取值范围.注意到B≠ ，将A 在数轴上保释出来，再将B 在数轴上表示出来，使得A B ，即可得a 的取值范围.解：如图-2-6，∵A B ，∴a + 4 ≤-1或a ≥5，∴a ≤-5或a ≥5.本题利用数轴处理一些实数集之间的关系，以形助数直观、形象，体现了数形结合的思想，这在以后的学习中会经常用到，但一定要检验端点值是否能取到，此题的易错点是各端点的取值情况,方法一 数形结合思想 评点例8 设{}{}2A=8150B=10,x x x x ax -+=-=，若B A ，求实数a 的值.集合B 是方程ax -1=0的解集，该方程不一定是一次方程，当a =0时，B= ，此时符合B A .解：集合A={3，5}，当a =0时，B= ，满足B A .∴a =0符合题意. 当a ≠0时，B≠ ，1.x a = ∵B A ，∴综上，a 的值为0或13或15 . 当B A 时，B 中含有参数，而A 是一个确定的非空集合，要特别注意B= 的情况， 考点点击：高考中对子集、真子集、补集以及集合相等的概念考察较多，但难度不大，命题多为填空题.例1 (2010·重庆高考)设，若，则实数.{}{}{}2 U U=0123.A=U 0A=12x x mx ∈+=，，，，若，，ð }{} U 0A=12 mx =，若，，ð则实数m = -3 .解析：{}{}2 U A=12A=030 30 3.x mx m ∴∴+-∴=-，，，，，是方程的根，ð例2 (2010·天津高考)设集合{}{}A=1R B=2R A Bx x a x x x b x -<∈->∈⊆，，，，若， }2R A B x >∈⊆，，若，则实数a ，b 满足 3 a b -≥ .解析：{}{}A=11B=22x a x a x x b x b -<<+>+<-，或，由A B ⊆得12a b +-≤或12a b +-≥，即3a b -≥或3a b --≤，即 3.a b -≥ 例3 (2007·北京高考)记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q .(1)若a =3，求P ；(2)若Q P ，求整数a 的取值范围.方法二 分类讨论思想评点解：{}3(1)0P=13.1x x x x -<-<<+由得 {}{}(2)Q=11,02x x x x -≤=≤≤{}0P=1.Q P 2a x x a a >-<<⊆>由，得又，所以，即a 的取值范围是( 2，+ ∞). 学考相联判断两个集合之间的关系是集合中的重要题型，且是高考热点之一.下面举两例介绍几种常用的方法，帮助你开拓思想.1.对比集合的元素例1 {}{}*A =N8B =2N05,x x x x k k k ∈≤=∈<<已知，，，且那么集合A 与B 的关系为( B A ).解析：因为A={1，2，3，4，5，6，7，8}，B={2，4，6，8}，集合B 中的元素2，4， 6，8都是集合A 中的元素，而集合A 中的元素1，3，5，7不是集合B 中的元素，所以 B A .2.数形结合比较范围例2 已知{}{}2A=y y=26R B=475x x x x x --∈->，，，那么集合A 与B 的关系为( B A ) .解析：对于二次函数{}{}2A=y y=26R B=475x x x x x --∈->，，，，{}4(6)47A=y y 7.4y ⨯---==-∴≥最小，又{}B=3x x >，由图1-2-7知，B A . 3.利用传递性判断例3 已知集合11A B B=Z C=Z 4284k k x x k x x k ⎧⎫⎧⎫⊆=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，，那么集合A 与C 的关系为( A C ).解析：将B 、C 变形得242B=Z C=Z 88k k x x k x x k ⎧+⎫⎧+⎫=∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，可知B C .又A B C ，即A C .例4 已知集合(){}{}22A=4640B=0 6x x m x m -++=，，，若A B ，求实数m 的取值范围.解：{}{}{}{}A B B=0 6 A=A=0A=6A=0 6.⊆∴∅，，，或或或， (1)当A= 时，Δ=(4m +6)2-4×4m 2<0，解得m <－ 34 .(2)当A={0}时，由根与系数的关系得20+0=46004m m +⎧⎨⎩⨯=，，此方程组无解.(3)当A={6}时，由根与系数的关系得26+6=46664m m +⎧⎨⎩⨯=，，此方程组无解.(4)当A={0，6}时，由根与系数的关系得20+6=4606=4m m +⎧⎨⎩⨯，，解得m =0.综上知实数m 的取值范围为m <－34或m =0解决子集问题时，往往易溢漏“ ”和它“本身” ，所以杂解决有关子集的问题时，一定要考虑到两个特殊的子集：“ ”和它“本身” ，并注意单独验证它们是否符合题意.。
子集全集补集教案
子集补集全集教案教案章节：一、子集与补集的概念教学目标：1. 理解子集的概念，能够判断一个集合是否为另一个集合的子集。
2. 理解补集的概念，能够求出一个集合的补集。
教学内容：1. 子集的定义：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，这个集合就是另一个集合的子集。
2. 补集的定义：如果一个元素不属于某个集合，它属于这个集合的补集。
教学步骤：1. 引入子集的概念，通过举例让学生理解子集的定义。
3. 引入补集的概念，通过举例让学生理解补集的定义。
教学评价：1. 通过练习题，检查学生对子集概念的理解程度。
2. 通过练习题，检查学生对补集概念的理解程度。
教案章节：二、子集与补集的性质教学目标：1. 掌握子集与补集的性质，能够运用性质解决问题。
2. 能够判断一个集合是否为另一个集合的真子集。
教学内容：1. 子集的性质：a. 任何集合都是它自己的子集。
b. 空集是任何集合的子集。
c. 如果A是B的子集，A的任意子集也是B的子集。
2. 补集的性质：a. 一个集合的补集与它本身是互斥的。
b. 任何集合的补集都是它超集的子集。
教学步骤：1. 通过举例和引导学生思考，让学生理解子集与补集的性质。
教学评价：1. 通过练习题，检查学生对子集与补集性质的理解程度。
2. 通过练习题，检查学生对判断真子集的方法的理解程度。
教案章节：三、子集与补集的应用教学目标：1. 能够运用子集与补集的概念和性质解决实际问题。
教学内容：1. 子集与补集在实际问题中的应用，如集合的包含关系、集合的交集和并集等。
教学步骤：1. 通过举例和引导学生思考，让学生理解子集与补集在实际问题中的应用。
2. 引导学生运用子集与补集的概念和性质解决实际问题。
教学评价：1. 通过练习题，检查学生对子集与补集在实际问题中的应用的理解程度。
教案章节：四、子集与补集的综合应用教学目标：1. 能够综合运用子集与补集的概念和性质解决复杂问题。
教学内容：1. 子集与补集的综合应用，如解决集合的包含关系、集合的交集和并集等问题。
第2讲 子集、全集、补集
BAU子集、全集、补集知识归纳和梳理：子集的定义：如果集合A 中的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆,读作A 包含于B;或者记作A B ⊇,读作B 包含A. 子集的性质：（1）A ⊆∅, A A ⊆（2）若一个集合中含有n 个元素，则它的子集个数有n 2个真子集的定义：如果A 是B 的子集，并且集合B 中至少有一个元素不属于集合A,则称A 是B 的真子集，记作A ⊂≠B,读作A 真包含于B. 真子集的性质： （1）∅⊂≠A (其中A 是任意的非空集), （2）若一个集合中含有n 个元素，则它的真子集个数有12-n个子集、真子集（B A ⊆, A ⊂≠B ）关系用韦恩图表示为：全集的定义：在研究集合间的关系时，如果有一个集合包含了我们研究范围内所有集合的全部元素，此时可以把它看成全集，全集一般用字母U 表示。
补集的定义：由全集U 中的元素，去掉它的一个子集A 中的元素，剩下的元素构成的集合叫做全集U 中子集A 的补集，记作A C U .补集性质：（1）U C U =φ (2) φ=U C U (3) A A C C U U =)( （4）B A ⊆，则B C A C U U ⊇【经典例题】例1. （1）{}a A ,3,1=，{}1,12+-=a a B ，B A ⊇，求a 。
（2）已知{}01|=+=ax x A ，{}056|2=--=x x x B ，B A ⊆，求a 。
（3）已知{}04|2=+=x x x A ，{}01)1(2|22=-+++=a x a x x B ，若A B ⊆，求a 。
经典练习：已知{}52|≤≤-=x x A ，{}121|-≤≤+=m x m x B ，若A B ⊆，求m 的范围例2.设全集{}32,3,22-+=a a U ，{}2,12-=a A 。
（1） 若{}5=A C U ，求实数a 的值（2） 若A B ⊆，集合{}3=B C A ，求集合B 与集合U 。
1.2 子集、全集、补集
2.全集与补集 全集与补集
设S是一个集合, A是S的一个子集(即A ⊆ S ), 由S中所有不属于A的元素组成的集合, 叫做 S中子集A的补集(或余集), 记作Cs A, 即
CS A = {x x ∈ S , 且x ∉ A}.
用图形表示为: 用图形表示为 S CSA A
例如,如果 例如 如果S={1,2,3,4,5,6}, A={1,3,5}, 那么 如果 CSA= {2,4,6}
规定:空集是任何集合的子集 规定 空集是任何集合的子集. 空集是任何集合的子集 即对于任何一个集合A 有 即对于任何一个集合 ,有 对于两个集合A与 如果集合 如果集合A的任何一个元 对于两个集合 与B,如果集合 的任何一个元 素都是集合B的元素 同时集合B的任何一个 的元素,同时集合 素都是集合 的元素 同时集合 的任何一个 的元素,就说集合 等于集合 元素都是集合 A的元素 就说集合 等于集合 的元素 就说集合A等于 B,记作 = B. 记作A 记作 (1)对于任何一个集合 , A⊆ A 对于任何一个集合A 对于任何一个集合 . 任何一个集合是它本身的子集. 即任何一个集合是它本身的子集 (2)对于集合A, B, 如果A ⊆ B,同时B ⊆ A,
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的 如果集合 含有我们所要研究的各个集合的 全部元素,这个集合就可以看作一个全集,全集 这个集合就可以看作一个全集 全部元素 这个集合就可以看作一个全集 全集 通常用U表示 表示. 通常用 表示 例如,在实数范围内讨论问题时 可以把实数集 例如 在实数范围内讨论问题时,可以把实数集 在实数范围内讨论问题时 R看作全集 那么 有理数集 的补集 UQ是 看作全集U,那么 有理数集Q的补集 看作全集 那么,有理数集 的补集C 是 全体无理数的集合. 全体无理数的集合
1.2 子集、全集、补集
1.2 子集、全集、补集▲双基梳理＋自主探究一、双基梳理1．子集的概念（1）子集：如果集合A中的__________元素都是集合B中的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A_____B（或B_____A）；读作“集合A包含于B”或“集合B包含A”。
任何一个集合都是他本身的__________.（2）真子集：如果集合A⊆B，并且_______，我们称集合A是集合B的真子集，记作_______或_________.读作“集合A真包含于集合B”或“集合B真包含集合A”。
A ⊆B包含两层含义：_______，_______；2．全集和补集(1) 全集:如果集合S包含我们所要研究的各个集合，那么S就可以看做为一个全集，全集通常记作U。
(2)补集:设A S⊆，由S中____________________元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作_________，其定义式为：_______________，用Venn图表示为：3．空集：对于空集，我们规定A∅⊆，即空集是任何集合的_________.二、自主探究1．能否把“A B⊆”理解成“A是B中部分元素组成的集合”？2．如何区分符号,,∈⊆？3．{}{}0,0,,∅∅的区别与联系．4．怎样用子集的定义理解集合相等的概念？▲师生互动+典例精析类型一：子集个数问题【例1】已知{,}a b A⊆{,,,,}a b c d e，写出所有满足条件的A.【变式训练】1．求满足条件｛ｘ｜ｘ２＋１＝０｝Ｍ⊆｛ｘ｜ｘ２－１＝０｝的集合Ｍ的个数。
类型二：集合的包含关系【例2】设集合2{|40}A x x x=+=，22{|2(1)10,}B x x a x a a R=+++-=∈，若B A⊆，求实数a的取值范围.12【变式训练】2．已知集合2{|230}A x x x =--=，{|10}B x ax =-=，若BA ，求实数a 的值为 .类型三：集合的相等【例3】已知集合A=｛2x,2,y 2｝，B=｛2,x,y ｝,且A=B ，求x,y 的值。
子集、全集、补集二
A {5}
U
，所以
a2
此时 5 （舍去）4Fra bibliotek由上知a=－4
课堂练习 P10 1，2
补 A=充{|m练+习1|：，设2}，全C集UUA={=2{，5}3，，求mm2的 2值m 3 }， 解：由已知可知：5∈U但5 A
m2 2m 3 =5
∴ { |m+1|≠5
m=2或－4
课堂小结
求B=——————
例2、已知全集 U
{2,
a2
4
,
a
2
2a
3}
C 若A={a ，2}， UA {5} 求实数a
a a 2
解：由题意可知a 或
a
2 2a 3
a2
4
当 a
时，a=0（不合题意，舍去），
4
a=－4（合题意）
a C 当 a
2 2a 3时，由于
一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集
（即 A S ），由S中所有不属于A 的元
素组成的集合，叫做S中集合A的补集（或
余集），记作 C SA ，
C 即 A {x | xS, 且 S
x A}
SA
CSA
二、全集的概念 如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全 部元素，这个集合就可以看作一个全集，全 集通常用U表示。
———{钝角三角形或直角三角形}
4) 若S={1，2，4，8}，A= ，则 C SA=—{1—，—2，—4—，8}
—————
5) 若U {1,3, a2 2a 1}, A {1,3},CUA {5}则a=——5 1
—
CUA
CUB
第2课时 子集、全集、补集配套练习
第2课时子集、全集、补集作业1.集合A＝{0,1,2}的真子集个数是________2.设M满足{1，2，3}⊆M{1，2，3，4，5，6}，则集合M的个数为_________3.设S＝{x∈N|0≤x≤4}；A＝{x∈N|0＜x＜4}，则∁S A＝________4.设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁U A＝{x|x<3或x>4}，则a＋b＝________5.设x，y∈R,A={(x,y)|32yx--=1}，B={(x,y)|y-3=x-2}，则集合A与B的关系是__________6.已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝4k，k∈Z}，则A与B的关系为________7.设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A B，则实数a的取值范围是__________8.已知全集U＝{x|－1≤x≤1}，A＝{x|0<x<a}．若∁U A≠U，则实数a的取值范围是__________9.已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________10.设全集S＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}，∁S A＝{x|ax－1＝0}，则由实数a组成的集合为________11.集合M={x|x∈Z且121Nx∈+}，则M的非空真子集的个数是_________12.设全集U={2，4，3-x}，M={2，x2-x+2}，UC M={1}，求x．13.已知M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{x|x2－2x＋a＝0}，若N⊆M，求实数a的取值范围．14.全集U＝R，A＝{x|3≤x＜10}，B＝{x|2＜x≤7}，(1)求∁U A，∁U B；(2)若集合C＝{x|x>a}，A⊆C，求a的取值范围．15.设集合A ＝{x |a －2＜x ＜a ＋2}，B ＝{x |－2＜x ＜3}，(1)若AB ，求实数a 的取值范围； (2)是否存在实数a 使B ⊆A?16.已知集合{}260P x x x =+-=，{}10Q x ax =-=满足：Q P ⊆，求a 的所有取值组成的集合．提高1.集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-（1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围．（2）当x R ∈时，没有元素x 使x A ∈与x B ∈同时成立，求实数m 的取值范围．提高2.设集合A={x|x 2+4x=0，x ∈R}，B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0，x ∈R}，若B ⊆A ， 求实数a 的取值范围．。
子集、全集、补集知识点总结及练习
1.2 子集全集补集学习目标：1．理解集合之间包含的含义，能识别给定集合是否具有包含关系；2．理解全集与空集的含义．重点难点：能通过分析元素的特点判断集合间的关系．授课内容：一、知识要点1．子集、真子集(1)子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集．即：对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A ____B (或B ⊇A )．(2)真子集：若A ⊆B ，且A ≠B ，那么集合A 称为集合B 的真子集，记作A ___B (或B _____A )．(3)空集：空集是任意一个集合的______，是任何非空集合的____．即∅⊆A ，∅____B (B ≠∅)．(4)若A 含有n 个元素，则A 的子集有 个，A 的非空子集有 个．(5)集合相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B ．2．全集与补集：全集：包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ．补集：若S 是一个集合，A ⊆S ，则，S C =}|{A x S x x ∉∈且称S 中子集A 的补集． 简单性质：（1）S C (S C )=A ；（2）S C S=Φ，ΦS C =S ．二、典型例题子集、真子集1．（1）写出集合{a ，b }的所有子集及其真子集；（2）写出集合{a ，b ，c }的所有子集及其真子集．2．设M 满足{1，2，3}⊆M ≠⊂{1，2，3，4，5，6}，则集合M 的个数为 ． 3．设{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围是 ．4．若集合A ={1，3，x }，B ={x 2，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数为 ．5．设集合M ={(x,y )|x+y <0，xy >0}和N ={(x,y )|x <0，y <0}，那么M 与N 的关系为______________．6．集合A ={x |x =a 2-4a +5，a ∈R }，B ={y |y =4b 2+4b +3，b ∈R } 则集合A 与集合B 的关系是________．7．设x ，y ∈R ，B ={(x,y )|y -3=x -2}，A ={(x,y )|32y x --=1}，则集合A 与B 的关系是_______ ____． 8．已知集合{}{}|21,,|41,,A x x n n Z B x x n n Z ==+∈==±∈则,A B 的关系是 ．9．设集合{}{}21,3,,1,,1,A a B a a a ==-+,A B =若则________=a ．10．已知非空集合P 满足：(){}11,2,3,4;P ⊆()2,5a P a P ∈-∈若则，符合上述要求的集合P 有 个．11．已知A={2，4，x 2-5x+9}，B={3，x 2+ax+a }，C={x 2+(a+1)x-3，1}．求：（1）当A ={2，3，4}时，求x 的值；（2）使2∈B ，B A ，求x a ,的值；（3）使B=C 的x a ,的值．【拓展提高】12．已知集合{}{},121|,52|-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A 满足,A B ⊆求实数m 的取值范围．⊂ ≠全集、补集1．设集合{}{}R b b y y B R a a x x A ∈+-==∈+-==,3|,,4|22，则A ，B 间的关系为 ．2．若U ={x|x 是三角形}，P ={x|x 是直角三角形}，则U C P = ．3．已知全集+=R U ，集合{}|015,,A x x x R =<-≤∈则_______.U C A =4．已知全集}{非零整数=U ，集合}},42{U x x x A ∈>+=，则=A C U ．5．设},61{},,5{N x x x B N x x x A ∈<<=∈≤=，则=B C A ．6．设全集U={1，2，3，4，5}，M ={1，4}，则U C M 的所有子集的个数是 ．7．已知全集},21{*N n x x U n ∈==，集合}*,21{2N n x x A n ∈==，则=A C U ．8．已知A A y ax y x A Z a ∉-∈≤-=∈)4,1(,)1,2(}3),{(,且，则满足条件a 的值为 ．9．设U =R ，}1{},31{+≤≤=≥≤=m x m x B x x x P 或，记所有满足P C B U ⊆的m 组成的集合为M ，求M C U ．10．（1）设全集{}{},1|,1|,+>=≤==a x x B x x A R U 且U C A B ⊆，求a 的范围．（2）已知全集{}{}{}22,3,23,2,,5,U U a a A b C A =+-==求实数b a 和的值．【拓展提高】10．已知全集}5{的自然数不大于=U ，集合}1,0{=A ，}1{<∈=x A x x B 且，}1{U x A x x C ∈∉-=且．求B C U 、C C U三、巩固练习《子集、全集、补集》1一、填空题1．已知全集U，M、N是U的非空子集，若∁U M⊇N，则下列关系正确的是________．①M⊆∁U N ②M∁U N ③∁U M＝∁U N ④M＝N2．设全集U和集合A、B、P，满足A＝∁U B，B＝∁U P，则A________P(填“”、“”或“＝”)．3．设全集U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁U A＝{x|x>4或x<3}，则a＝________，b＝________．4．给出下列命题：①∁U A＝{x|x/∈A}；②∁U∅＝U；③若S＝{三角形}，A＝{钝角三角形}，则∁S A＝{锐角三角形}；④若U＝{1,2,3}，A＝{2,3,4}，则∁U A＝{1}．其中正确命题的序号是________．5．已知全集U＝{x|－2011≤x≤2011}，A＝{x|0<x<a}，若∁U A≠U，则实数a的取值范围是________．6．设U为全集，且M U，N U，N⊆M，则①∁U M⊇∁U N；②M⊆∁U N；③∁U M⊆∁U N；④M⊇∁U N．其中不正确的是________(填序号)．7．设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9}，∁U A＝{5,7}，则a的值为________．8．设全集U＝{2,4,1－a}，A＝{2，a2－a＋2}．若∁U A＝{－1}，则a＝______．9．设I＝{1,2,3,4,5,6,7}，M＝{1,3,5,7}，则∁I M＝________．10．若全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，则由∁U A与∁U B的所有元素组成的集合为________．11．已知全集U＝{非负实数}，集合A＝{x|0<x－1≤5}，则∁U A＝________．12．已知全集U＝{0,1,2}，且∁U Q＝{2}，则集合Q的真子集共有________个．二、解答题13．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁U A＝{2,4,6,8}，∁U B＝{1,4,6,8,9}，求集合B．14．设全集I＝{2,3，x2＋2x－3}，A＝{5}，∁I A＝{2，y}，求x，y的值15．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|0<ax ＋1≤5}，集合B ＝{x|x ≤－12或x>2}． (1)若A ⊆∁U B ，求实数a 的取值范围；(2)集合A 、∁U B 能否相等？若能，求出a 的值；否则，请说明理由．《子集、全集、补集》2一、填空题1．已知M ＝{x|x≥22，x ∈R}，a ＝π，给定下列关系：①a ∈M ；②{a}M ；③a M ；④{a}∈M ，其中正确的是________(填序号)．2．已知集合A ⊆{2,3,7}，且A 中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．3．设集合A ＝{2,x,y}，B ＝{2x,y 2,2}，且A ＝B ，则x ＋y 的值为________．4．已知非空集合P 满足：①P ⊆{1,2,3,4,5}，②若a ∈P ，则6－a ∈P ，符合上述条件的集合P 的个数是________．5．集合M ＝{x|x ＝6－2n ，n ∈N ＋，x ∈N}的子集有________个．6．已知集合A ＝{x|ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则实数a 的取值是________．7．已知集合A ＝{x|0<x<2，x ∈Z}，B ＝{x|x 2＋4x ＋4＝0}，C ＝{x|ax 2＋bx ＋c ＝0}，若A ⊆C ，B ⊆C ，则a ∶b ∶c 等于________．8．已知集合A ＝{－1,2}，B ＝{x|x 2－2ax ＋b ＝0}，若B≠∅，且B A ，则实数a ，b 的值分别是________．9．以下表示正确的有________(填序号)．①{0}∈N ；②{0}⊆Z ；③∅⊆{1,2}；④Q R ．10．集合A ＝{x|0≤x<3且x ∈Z}的真子集的个数是________．11．设集合M ＝{x|－1≤x<2}，N ＝{x|x －k≤0}，若M ⊆N ，则k 的取值范围是________．12．已知集合A ＝{－1,3，m}，B ＝{3,4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________．二、解答题13．已知集合M ＝{x|x ＝m ＋16，m ∈Z}，N ＝{x|x ＝n 2－13，n ∈Z}，P ＝{x|x ＝p 2＋16，p ∈Z}．试确定M ，N ，P 之间满足的关系．14．集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；(2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数；(3)当x∈R时，不存在元素x，使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．15．已知集合A＝{1,3，－x3}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．。
第一章 第二节 子集、全集、补集 人教版名师课件
用数学语言来表示就是：若x∈A，则 x∈B，我们就说A是B的子集。记作AB， 或BA。
AB可以用Venn图来表示：
当集合A不包含
于集合B，或集
合B不包含集合A
B
时，记作A B，
A
或B A。如
A={1，2，3}， 规定：空集是任何集合的
B={2，3，4}，则 A B，当然，B
，都有Φ A。
一般地，若集合A中有n个元素，则集合A
2 2 有 n个子集，2n-1个非空子集， n-1个
真子集，2n -2个非空真子集。
例2、已知{a，b}A {a，b，c，d}，求 所有满足条件的集合A。
解：∵{a，b}A，∴A中必有元素a，b。
分析又：∵本A题考{察a，的b是，子c，集d与}，真子集的概 念然。后∴首考A先虑中要A的里弄元面清素含楚有有A2个其里或他面3哪必个些须。元含素有，a和按b规， 律去因找此。满足条件的集合A有：
例2：设U =Z，A ={X|X =2k,k Z},B ={X|X =2K +1, k Z},
求 Cu A
Cu B
练习题：
1.设集合A ={-1，1}，B ={x| x 2 -2ax +b =0},
《子集、全集、补集》教案(2)
子集、全集、补集教学目标：了解全集的意义，理解补集的概念，能利用Venn 图表达集合间的关系；渗透相对的观点.教学重点：补集的概念. 教学难点：补集的有关运算. 课 型：新授课教学手段：发现式教学法，通过引入实例，进而对实例的分析，发现寻找其一般结果，归纳其普遍规律. 教学过程： 一、创设情境1．复习引入：两个集合之间的关系 （1）子集：若任意x A x B ∈⇒∈，则A B ⊆B A ⊆有两种可能情形：①A 是B 的一部分（真子集）；②A 与B 是同一集合（相等）当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/A （2）集合相等：若 A B ⊆，B A ⊆，则A=B（3）空集是任何集合的子集，∅⊆A ；空集是任何非空集合的真子集，若A ≠∅，则∅ A（4）任何一个集合是它本身的子集A A ⊆ （5）含n 个元素的集合{}12,,n a a a L 的所有子集的个数是2n ，所有真子集的个数是21n-，非空真子集数为22n-2．相对某个集合S ，其子集中的元素是S 中的一部分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于S 构成了相对的关系，这就验证了“事物都是对立和统一的关系”。
集合中的部分元素与集合之间关系就是部分与整体的关系.这就是本节课研究的话题全集和补集。
二、活动尝试请同学们由下面的例子回答问题：例2、指出下列各组的三个集合中，哪两个集合之间具有包含关系。
（1）{}{}{}2,1,1,2,1,1,2,2S A B =--=-=-（2）{}{},|0,,|0,S R A x x x R B x x x R ==≤∈=>∈（3）{}{}{}|||S x x A x x B x x ===是地球人，是中国人，是外国人答案：在（1）（2）（3）中都有A S ，B S思考：观察例2，A ，B ，S 三个集合，它们的元素之间还存在什么关系？A ，B 中的所有元素共同构成了集合S ，即S 中除去A 中元素，即为B 元素；反之亦然。
第一章 1.3 第二课时 补集
第二课时补集课标要求素养要求1.在具体情境中，了解全集与补集的含义.2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. 能够在现实情境或数学情境中概括出全集、补集、子集等数学对象的一般特征，并学会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达和转换，提升数学抽象和数学运算素养.教材知识探究某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}.问题没有获得金奖的学生有哪些？提示没有获得金奖的学生的集合为Q＝{赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}.补集的概念注意补集是相对于全集而言的，没有全集补集就不存在(1)全集：①定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.②记法：全集通常记作U.(2)补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A符号语言 ∁U A ＝{x |x ∈U ，且xA }图形语言[微判断]1.根据研究问题的不同，可以指定不同的全集.(√)2.存在x 0∈U ，x 0A ，且x 0∁U A .(×)提示 要么x 0∈A ，要么x 0∈∁U A ，且有且只有一个成立.3.设全集U ＝R ，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1x >1，则∁U A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1x ≤1.(×)提示 A ＝{x |0<x <1}，∁U A ＝{x |x ≤0或x ≥1}.4.设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|x >0且y >0}，则∁U A ＝{(x ，y )|x ≤0且y ≤0}.(×)提示 全集U 是由平面直角坐标系内的所有点构成的集合，而集合A 表示第一象限内的点构成的集合，显然所求的∁U A 是错误的. [微训练]1.若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，则∁U A ＝________. 解析 由补集的定义，结合数轴可得∁U A ＝{x |x <1}. 答案 {x |x <1}2.设集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则∁U (A ∪B )＝________. 解析 ∵A ∪B ＝{1，2，3，4}，∴∁U (A ∪B )＝{5}. 答案 {5} [微思考]全集是固定不变的吗？提示 全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z 是全集，而在实数范围内研究问题，R 是全集.只讨论大于0小于5的实数，可选{x |0<x <5}为全集.通常也把给定的集合作为全集.题型一 补集的基本运算 利用数轴解题是常见的解题思路 【例1】 (1)设集合U ＝R ，M ＝{x |x >2或x <－2}，则∁U M ＝( ) A.{x |－2≤x ≤2} B.{x |－2<x <2} C.{x |x <－2或x >2}D.{x |x ≤－2或x ≥2}(2)已知全集U ＝{1，2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，∁U A ＝{3}，则实数a ＝________. 解析 (1)如图，在数轴上表示出集合M ，可知∁U M ＝{x |－2≤x ≤2}.(2)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，解得a ＝2.答案 (1)A (2)2 规律方法 求补集的方法(1)列举法表示：从全集U 中去掉属于集合A 的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合.(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U 中集合A 以外的所有元素组成的集合.【训练1】 (1)已知全集U ＝{x |x ≥－3}，集合A ＝{x |－3<x ≤4}，则∁U A ＝________.(2)设U ＝{0，1，2，3}，A ＝{x |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1，2}，则实数m ＝________. 解析 (1)借助数轴得∁U A ＝{x |x ＝－3或x >4}.(2)∵∁U A ＝{1，2}，∴A ＝{0，3}，∴0，3是方程x 2＋mx ＝0的两个根， ∴m ＝－3.答案 (1){x |x ＝－3或x >4} (2)－3 题型二 集合交、并、补的综合运算【例2】已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B).解利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，如图.则∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3或2<x≤4}.所以A∩B＝{x|－2<x≤2}；(∁U A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}；A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}.规律方法 1.求解与不等式有关的集合问题的方法解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到.2.求解集合混合运算问题的一般顺序解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再计算其他部分.【训练2】已知集合S＝{x|1<x≤7}，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}.求：(1)(∁S A)∩(∁S B)；(2)∁S(A∪B)；(3)(∁S A)∪(∁S B)；(4)∁S(A∩B).通过运算可以得到如下性质吗？(1)(∁S A)∩(∁S B)＝∁S(A∪B)(2)(∁S A)∪(∁S B)＝∁S(A∩B)解(1)如图所示，可得A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}，∁S A＝{x|1<x<2或5≤x≤7}，∁S B ＝{x |1<x <3}∪{7}.由此可得：(1)(∁S A )∩(∁S B )＝{x |1<x <2}∪{7}. (2)∁S (A ∪B )＝{x |1<x <2}∪{7}.(3)(∁S A )∪(∁S B )＝{x |1<x <2或5≤x ≤7}∪{x |1<x <3}∪{7}＝{x |1<x <3或5≤x ≤7}. (4)∁S (A ∩B )＝{x |1<x <3或5≤x ≤7}. 题型三 根据补集的运算求参数的值或范围【探究1】 如果a ∈∁U B ，那么元素a 与集合B 有什么关系？“a ∈(A ∩(∁U B ))”意味着什么？解 如果a ∈∁U B ，那么aB ；“a ∈(A ∩(∁U B ))”意味着a ∈A 且aB .【探究2】 设全集U ＝R ，是否存在元素a ，使得a ∈A 且a ∈∁U A ？若集合A ＝{x |－2<x ≤3}，则∁R A 是什么？解 不存在a ，使得a ∈A 且a ∈∁U A ；若A ＝{x |－2<x ≤3}，则∁R A ＝{x |x ≤－2或x >3}.【探究3】 (1)已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足B ∩(∁U A )＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值； 符号语言转化为自然语言是解题的关键(2)已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1x <2}，且A ∁R B ，求a 的取值范围. 解 (1)∵B ∩(∁U A )＝{2}，∴2∈B ，但2A .∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A ，但4B .∴⎩⎪⎨⎪⎧42＋4a ＋12b ＝0，22－2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝87，b ＝－127.∴a ，b 的值分别为87，－127. (2)∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}≠.∵A ∁R B ，∴分A ＝和A ≠两种情况讨论.①若A ＝，此时有2a －2≥a ，∴a ≥2.②若A ≠，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ，a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ，2a －2≥2.∴a ≤1.综上所述，a 的取值范围为{a |a ≤1或a ≥2}. 规律方法 由集合的补集求解参数的方法(1)若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解. (2)若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解.【训练3】 设全集U ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|，2}，∁U A ＝{5}，求实数a 的值.解 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U ，且5A .∴a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，|2a －1|＝3≠5，此时A ＝{3，2}，U ＝{2，3，5}，符合题意. 当a ＝－4时，|2a －1|＝9，此时A ＝{9，2}，U ＝{2，3，5}， 不满足条件∁U A ＝{5}，故a ＝－4舍去. 综上知a ＝2.一、素养落地1.通过全集与补集概念的学习提升数学抽象素养；通过补集的运算提升数学运算素养.2.补集定义的理解(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R 当作全集. (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想.(3)从符号角度来看，若x∈U，A U，则x∈A和x∈∁U A二者必居其一.3.若集合中元素有无限个时，与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形.二、素养训练1.设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则∁U A＝()A.{1，2}B.{3，4，5}C.{1，2，3，4，5}D.解析∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，∴∁U A＝{3，4，5}.答案 B2.设全集U＝R，集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|2≤x<5}，则A∩(∁U B)＝()A.{x|1≤x<2}B.{x|x<2}C.{x|x≥5}D.{x|1<x<2}解析∁U B＝{x|x<2或x≥5}，A∩(∁U B)＝{x|1<x<2}.答案 D3.已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1，0，1}，则(∁R A)∩B＝()A.{－2，－1}B.{－2}C.{－1，0，1}D.{0，1}解析因为集合A＝{x|x>－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，则(∁R A)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1，0，1}＝{－2，－1}.答案 A4.已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x<a}，若∁U A＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.解析∵A＝{x|1≤x<a}，∁U A＝{x|2≤x≤5}，∴A∪(∁U A)＝U＝{x|1≤x≤5}，且A∩(∁U A)＝，因此a＝2.答案 25.已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求∁U A，∁U B，(∁U A)∩(∁U B).解将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示，则∁U A＝{x|－1≤x≤3}；∁U B＝{x|－5≤x<－1或1≤x≤3}；法一(∁U A)∩(∁U B)＝{x|1≤x≤3}.法二∵A∪B＝{x|－5≤x<1}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}.基础达标一、选择题1.若全集U＝{0，1，2，3}且∁U A＝{2}，则集合A的真子集共有()A.3个B.5个C.7个D.8个解析A＝{0，1，3}，真子集有23－1＝7(个).答案 C2.已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩(∁U B)＝()A.{2，5}B.{3，6}C.{2，5，6}D.{2，3，5，6，8}解析因为∁U B＝{2，5，8}，所以A∩(∁U B)＝{2，5}，故选A.答案 A3.设集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩(∁R B)等于()A.{x|1<x<4}B.{x|3<x<4}C.{x|1<x<3}D.{x|1<x<2}∪{x|3<x<4}解析∵B＝{x|－1≤x≤3}，∴∁R B＝{x|x<－1或x>3}，∴A∩(∁R B)＝{x|1<x<4}∩{x|x<－1或x>3}＝{x|3<x<4}.答案 B4.已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(∁I M)＝，则M∪N 等于()A.MB.NC.ID.解析如图，因为N∩(∁I M)＝，所以N M，所以M∪N＝M.答案 A5.设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且B∩(∁U A)≠，则()A.k<0或k>3B.2<k<3C.0<k<3D.－1<k<3解析∵A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁U A＝{x|1<x<3}.若B∩(∁U A)＝，则k＋1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3，∴若B∩(∁U A)≠，则0<k<3.答案 C二、填空题6.设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为________.解析全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，∵∁U A＝{4，6，7，8}，∴(∁U A)∩B＝{4，6}.答案{4，6}7.已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}，若全集U＝R，且A∁U B，则a的取值范围为________.解析∁U B＝{x|x<a}，如图所示.因为A∁U B，所以a>－2.答案{a|a>－2}8.已知全集U＝{2，3，a2－a－1}，A＝{2，3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________.解析∵U＝{2，3，a2－a－1}，A＝{2，3}，∁U A＝{1}，∴1∈U，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.答案－1或2三、解答题9.设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求：(1)A∩B；(2)∁R A；(3)∁R(A∪B).解(1)∵A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，∴A∩B＝{x|3≤x<7}.(2)∵全集为R，A＝{x|3≤x<7}，∴∁R A＝{x|x<3或x≥7}.(3)∵A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}.10.已知集合A＝{1，3，－x}，B＝{1，x＋2}，是否存在实数x，使得B∪(∁A B)＝A？若存在，求出集合A和B；若不存在，说明理由.解 假设存在x ，使B ∪(∁A B )＝A ，∴B A .(1)若x ＋2＝3，则x ＝1符合题意.(2)若x ＋2＝－x ，则x ＝－1不满足A 或B 中元素的互异性不符合题意.∴存在x ＝1，使B ∪(∁A B )＝A ，此时A ＝{1，3，－1}，B ＝{1，3}.能力提升11.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤－2或x ≥5}，B ＝{x |x ≤2}.求：(1)∁U (A ∪B )；(2)记∁U (A ∪B )＝D ，C ＝{x |2a －3≤x ≤－a }，且C ∩D ＝C ，求a 的取值范围. 解 (1)由题意知，A ＝{x |x ≤－2或x ≥5}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∪B ＝{x |x ≤2或x ≥5}，又全集U ＝R ，则∁U (A ∪B )＝{x |2<x <5}.(2)由(1)得D ＝{x |2<x <5}，由C ∩D ＝C 得CD . ①当C ＝时，有－a <2a －3，解得a >1；②当C ≠时，有⎩⎪⎨⎪⎧2a －3≤－a ，2a －3>2，－a <5，解得a ∈；综上，a 的取值范围为{a |a >1}.12.已知集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}.(1)若(∁R A )∪B ＝R ，求a 的取值范围；(2)是否存在实数a 使(∁R A )∪B ＝R 且A ∩B ＝？解 (1)因为A ＝{x |0≤x ≤2}，所以∁R A ＝{x |x <0或x >2}.因为(∁R A )∪B ＝R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋3≥2，解得－1≤a ≤0.所以a的取值范围为{a|－1≤a≤0}.(2)因为A∩B＝，所以a>2或a＋3<0，解得a>2或a<－3.由(1)知，若(∁R A)∪B＝R，则－1≤a≤0，故不存在实数a使(∁R A)∪B＝R且A∩B＝.。
子集、全集、补集-第二讲
集合A＝{x︱0≤x<3}且x∈N}的真子集个数是 （ A 16 B 8 C 7 D 4
C ）
全集
补集： A S,由S中不属于A的所有元素 设
组成的集合称为S的子集A的补集。
S
A
CSA={x︱x∈S,且x A}
若U＝{1,2,3,4}, A={1,3} {2,4} 则CUA=_________________ 若U＝{1,3}, A={1,3} φ 则CUA=_________________ 若U＝R, A={x︱x≤2，x∈R} {x︱x>2，x∈R} 则CUA=________________
（4）对于集合A, B, C，如果 A
B, B
C ，那 么A
C．
（5）对于集合A，B，如果 A B ，同时 B A ，那么A B ．
例1：
用适当的符号填空： （1） 0_____φ （2） N_____Q （3） {0}____φ
例2：
指出下列各组中集合之间的关系 （1） A＝{-1,1} B=Z A≠ B 2,3,5,7 （2） A={x︱x是小于10的质数} B＝{2,3,5,7} A＝B （3）S={x︱x为地球人} A={x︱x为中国人} S≠ A （4）S=R A={x︱x≥0，x∈R}
若U＝R, A={x︱x2＋1＝0，x∈R} 则CUA=_________________ R
0
2
R
Q
Z
N
N*
N* N Z Q R
子集： 如果集合A的任意一个元素都是
集合B的元素（若α∈A则α∈B） 则称集合为集合B的子集。 记作 A B 或 B A
B B A
A
真子集 A ≠ B
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第一章集合
§1.2.1 子集、全集、补集
教学目标：
使学生理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系；通过概念教学，提高学生逻辑思维能力，渗透等价转化思想；渗透问题相对论观点.
教学重点：子集的概念，真子集的概念.
教学难点：元素与子集，属于与包含间的区别；描述法给定集合的运算.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
1.集合的表示方法
2.集合的分类
由集合元素的多少对集合进行分类，由集合元素的有限、无限选取表示集合的方法.故问题解决的关键主要在于寻求集合中的元素，进而判断其多少.
Ⅱ.讲授新课
A B
从上可以看到，包含关系具有“传递性”.
(1)任何一个集合是它本身的子集
如果A⊆B，并且A≠B，则集合A是集合B的真子集.
这应理解为：若A⊆B，且存在b∈B，但b∉A，称A是B的真子集.
A是B的真子集，记作A B(或B A)真子集关系也具有传递性若A B，B C，则A C.
那么_______是任何非空集合的真子集.
2.例题解析
例1 写出{a、b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.
分析：寻求子集、真子集主要依据是定义.
例2 解不等式x－3＞2，并把结果用集合表示.
例3 （1）说出0，｛0｝和∅的区别；（2）｛∅｝的含义
Ⅲ.课堂练习
1．已知A＝{x｜x＜－2或x＞3}，B＝{x｜4x＋m＜0}，当A⊇B时，求实数m的取值范围.
分析：该题中集合运用描述法给出，集合的元素是无限的，要准确判断两集合间关系.需用数形结合.
2．填空：
｛a｝｛a｝， a ｛a｝，∅｛a｝，｛a，b｝｛a｝，
0 ∅，｛0｝∅， 1 ｛1,｛2｝｝，｛2｝｛1,｛2｝｝，∅｛∅｝Ⅳ.课时小结
1.能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集.
2.清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P10习题1.2 1，2
补充：
1.集合A＝{x｜－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集.
2.判断如下a与B之间有怎样的包含或相等关系：
(1)A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}
(2)A＝{x｜x＝2m，m∈Z}，B＝{x｜x＝4n，n∈Z}
3.已知集合P＝{x｜x2＋x－6＝0}，Q＝{x｜ax＋1＝0}满足Q P，求a所取的一切值.
4.集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，
(1)若B⊆A，求实数m的取值范围. (2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数.
(3)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围.
（二）1.预习内容：课本P9 Array
2.预习提纲：板书设计
(1)求一个集合补集应具备的条件.
(2)能正确表示一个集合的补集.
教学反思。