三角函数定义在三角化简、求值及证明中的应用
三角函数的定义及应用教学教案(优秀4篇)
三角函数的定义及应用教学教案（优秀4篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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三角函数与解三角形题型归纳及习题含详解
题型 53 终边相同的角的集合的表示与区别 思路提示
（1） 终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方 法解决.
（2） 注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也 可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标
4. 熟练运用同角三角函数函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值
和简单恒等式的证明.
命题趋势探究
1.一般以选择题或填空题的形式进行考查.
2.角的概念考查多结合函数的基础知识.
3.利用同角三角函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值是重要考点. 知识点精讲 一、基本概念
正角---逆时针旋转而成的角； （1）任意角 负角---顺时针旋转而成的角；
二、任意角的三角函数 1.定义 已 知 角 终 边 上 的 任 一 点 P(x, y) （ 非 原 点 O ）， 则 P 到 原 点 O 的 距 离
r OP x2 y2 0 . sin y , cos x , tan y .
r
r
x
此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比，对 y ，邻 x ，斜 r ， 如图 4-2 所示.
的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变.
注：弧度或 rad 可省略 （5）两制互化：一周角= 3600 2 r 2 （弧度），即 1800 .
r
1（弧度）
180
0
57.30
57018
故在进行两制互化时，只需记忆 1800 ，10 两个换算单位即可：如： 180
5 5 1800 1500 ； 360 36 .
C. 0, ，是第一、二象限角
(完整版)三角函数化简求值证明技巧
第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。
【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。
练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。
2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。
【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。
练习已知，求的值【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。
这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。
“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。
【例4】化简：（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。
这往往用到倍、半角公式。
三角函数公式推导和应用大全
三角函数公式推导和应用大全三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。
其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
三角函数看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在中文名三角函数公式外文名Formulas of trigonometric functions应用学科数学、物理、地理、天文等适用领域范围几何，代数变换，数学、物理、地理、天文等适用领域范围高考复习目录1 定义式2 函数关系3 诱导公式4 基本公式▪和差角公式▪和差化积▪积化和差▪倍角公式▪半角公式▪万能公式▪辅助角公式5 三角形定理▪正弦定理▪余弦定理三角函数公式定义式编辑直角三角形任意角三角函数））））表格参考资料来源：现代汉语词典．三角函数公式函数关系编辑倒数关系：；；商数关系：；．平方关系：；；．三角函数公式诱导公式编辑公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：公式三：任意角与的三角函数值之间的关系：公式四：与的三角函数值之间的关系：公式五：与的三角函数值之间的关系：公式六：及与的三角函数值之间的关系：记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。
形如2k×90°±α，则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
三角函数的图象、性质及应用(高中数学知识点讲解)
(5)不能认为y=tan
x在定义域上为增函数,应在区间
kπ-
π 2
,kπ
+
π 2
(k∈Z)内
为增函数.
知能拓展
考法一 关于三角函数图象的问题
例1 (1)(2018广东茂名化州二模,9)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<
φ<π)的部分图象如图所示,且f(α)=1,α∈
求φ及ω,从而
得到f(x)的解析式,由f(α)=1求α,进而得cos
2α
+
5π 6
.
A = 5,
(2)①根据已知表格中的数据可得方程组
π 3
ω
+
φ
=
π 2
,
解之可得函数f(x)的
5π 6
ω
+
φ
=
3π 2
,
解析式,进而可补全表格.
②由①并结合函数图象平移可得,g(x)=5sin
2
x
+
2θ -
π 3
-2x
实质上是y=tan
x与y=
π 3
-2x的复合,应
按复合函数单调性求解.
方法总结 三角函数的单调性问题的常见类型及解题策略
1.已知三角函数解析式求单调区间
(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式进行化简,并注意复合
函数单调性规律“同增异减”.
(2)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx
2π ω
=4×
7π 12
-
π 3
=π,得ω=2,故f(x)=3sin(2x+φ),将
三角函数中三角变换常用的方法和技巧
三角函数中三角变换常用的方法和技巧三角函数公式两角和公式sinA+B=sinAcosB+cosAsinBsinA-B=sinAcosB-sinBcosAcosA+B=cosAcosB-sinAsinBcosA-B=cosAcosB+sinAsinBtanA+B=tanA+tanB/1-tanAtanBtanA-B=tanA-tanB/1+tanAtanB倍角公式tan2A=2tanA/1-tanA^2cos2a=cosa^2-sina^2=2cosa^2 -1=1-2sina^2sin2A=2sinAcosA半角公式sin^2α/2=1-cosα/2cos^2α/2=1+cosα/2tan^2α/2=1-cosα/1+cosα万能公式sina= 2tana/2/1+tan^2a/2cosa= 1-tan^2a/2/1+tan^2a/2tana= 2tana/2/1-tan^2a/2一、角的变换在三角函数的求值、化简与证明题中,表达式往往出现较多的相异角,此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解;常见角的变换方式有：ββαα-+=)(；)()(2βαβαα-++=；αβαβα+-=-)(2；22αα=等等;例1 函数ππ2sin cos ()36y x x x ⎛⎫⎛⎫=--+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 的最小值等于 ． A 3- B 2-C 1-D 解析：注意到题中所涉及的两个角的关系：πππ362x x ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以将函数()f x 的表达式转化为πππ()2cos cos cos 666f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故()f x 的最小值为1-．故选C ．评注：常见的角的变换有：()ααββ=+-,2()()ααβαβ=++-,2()αβααβ-=+-,22αβαββ+-=-,3πππ()442βααβ⎛⎫⎛⎫+--=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,ππ44αβαβ⎛⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察,往往会发现角之间的关系． 例2、已知 βαβαα,,1411)cos(,71cos -=+=均是锐角,求βcos ; 解：。
三角函数恒等变换知识点总结
三角函数 三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。
若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”= ；“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2α所在的象限。
来判断3α所在的象限 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl =||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。
注意钟表指针所转过的角是负角。
（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ；如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。
注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；比较)2,0(π∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。
【高考风向标】高考数学一轮复习 第六章 第6讲 三角函数的求值、化简与证明课件 文
设 φ(t)＝t＋4t ，由(1)知 t∈[1， 2]， ∴φ′(t)＝1－t42<0， 即函数 φ(t)在区间[1， 2]上是减函数， 其最小值为 φ( 2)＝ 2＋ 42＝3 2. 即 x＝π4时，函数 f(x)的最小值为 3 2. 【失误与防范】认清二次函数问题是解决问题的关键，例如： 若 sinα＋cosα 是“一次”，则 sinαcosα 是“二次”；若 1＋k是“一 次”，则 2k＋1 是“二次”等．
∵x∈0，2π，∴x＋π4∈π4，34π. ∴ 2sinx＋π4∈[1， 2]． ∴sinx＋cosx 的取值范围是[1， 2]． (2)设 t＝sinx＋cosx，则 t2＝(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx,2sinxcosx＝t2－1. 则 f(x)＝2ssiinnxxc＋oscxo＋sx5＝t2＋t 4＝t＋4t .
＝－2sicno2s05°0s°in70°＝－2sicno2s05°0c°os20°
＝－cossin5400°°＝－cocso5s05°0°＝－1.
切化弦和边角统一都是基本方法．关于三角形中的 三角函数问题，边角的统一是问题的切入点，等式右边的分子分 母均为 a，b，c 的二次齐次式，所以考虑使用余弦定理．
易错、易混、易漏 11．三角函数中的二次函数问题，忽视了自变量范围的研究 例题：已知函数 f(x)＝2ssiinnxxc＋oscxo＋sx5，x∈0，2π.
(1)求 sinx＋cosx 的取值范围； (2)求函数 f(x)的最小值．
正解：(1)sinx＋cosx＝
2
22sinx＋
2
2
cosx
＝ 2cos4πsinx＋sinπ4cosx＝ 2sinx＋π4.
2．三角公式的三大作用 (1)三角函数式的化简． (2)三角函数式的求值． (3)三角函数式的证明． 3．求三角函数最值的常用方法 (1)配方法． (2)化为一个角的三角函数． (3)数形结合法． (4)换元法． (5)基本不等式法等．
三角函数解题技巧和公式(已整理)技巧归纳以及练习题
浅论关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。
下面尝试进行探讨一下：一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。
分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。
解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：31cos sin 31)33(cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=⨯=⨯+=2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用：由于tg θ+ctg θ=θθθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。
例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。
第七章--三角函数知识点归纳总结
第七章--三角函数知识点归纳总结三角函数任意角的概念与弧度制角是沿x轴正向的射线围绕原点旋转所形成的图形，逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角。
同终边的角可以表示为：计算与化简证明恒等式已知三角函数值求角度：当 $\alpha=\beta+k\cdot360^{\circ}(k\in Z)$ 时，$\alpha$ 与$\beta$ 为同一角。
当 $\alpha=k\cdot180^{\circ}(k\in Z)$ 时，$\alpha$ 与$x$ 轴正方向的角度相同。
当 $\alpha=90^{\circ}+k\cdot180^{\circ}(k\in Z)$ 时，$\alpha$ 与 $y$ 轴正方向的角度相同。
第一象限角、第二象限角、第三象限角和第四象限角分别为：区分第一象限角、锐角以及小于90度的角：第一象限角：$\alpha+k\cdot360^{\circ}<\alpha<90^{\circ}+k\cdot360^{\circ}( k\in Z)$。
锐角：$0<\alpha<90^{\circ}$。
小于90度的角：$\alpha<90^{\circ}$。
如果 $\alpha$ 是第二象限角，则它是第二象限角。
弧度制弧度制是指当弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad。
角度与弧度的转换公式为：$1^{\circ}\approx0.\text{rad}\approx57.30^{\circ}=57^{\circ}18'$。
角度与弧度对应表：弧长与面积计算公式弧长公式为：$l=\alpha\cdot R$，面积公式为：$S=\frac{1}{2}\alpha R^2$。
注意，这里的 $\alpha$ 均为弧度制。
任意角的三角函数正弦、余弦和正切分别表示为：$\sin\alpha=\frac{y}{r}$，$\cos\alpha=\frac{x}{r}$，$\tan\alpha=\frac{y}{x}$，其中$(x,y)$ 是角 $\alpha$ 终边上任意一点的坐标，$r=\sqrt{x^2+y^2}$。
三角函数的定义及应用教学教案【优秀4篇】
三角函数的定义及应用教学教案【优秀4篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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三角函数常用公式公式及用法
三角函数常用公式及用法珠海市金海岸中学 唐云辉1、终边相同的角及其本身在内的角的表示法：S=},360|{0Z k k ∈⋅+=αββ，或者},2|{Z k k S ∈+==παββ用法：用来将任意角转化到0～π2的范围以便于计算。
公式中k 的求法：如是正角就直接除以；的，剩余的角就是公式中要求的，得到的整数就是我们或απk 23600如果是负角，就先取绝对值然后再去除以后再取相反数，得到的整数加或者123600π就是上述公式中的k,减去剩余的角的值。
或者等于πα236002、L 弧长=αR=nπR180 S 扇=21L R=21R 2α=3602R n ⋅π 用法：前者是弧长公式，用以计算圆弧的长度；后者为扇形的面积公式，用以计算扇形的面积。
3.三角形面积公式：S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc4=2R 2A sin B sin C sin=A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=CBA c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4．同角关系：（1）、商的关系：①θtan =x y =θθcos sin 用法：一般用来计算三角函数的值。
（2）、平方关系：1cos sin 22=+θθ用法：凡是见了m =±ααcos sin 或者αααα22cos sin cos sin ±±的形式题目都可以用上述平方关系进行运算，遇到m =±ααcos sin 就先平方而后再运算，遇到αααα22cos sin cos sin ±±这类题目就联想到分母为“1”=αα22cos sin +进行运算即可。
（3）、辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕθθθ±+=±b a b a （其中a>0,b>0，且ab=ϕtan ） 用法：用以将两个异名三角函数转化成同名三角函数，以便于求取相关的三角函数。
三角函数知识点归纳总结
三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．终边与角α相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα=④若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为(rr =，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）(2)商数关系：sin αcos α＝tan α. （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，απαtan )2tan(=+k 其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，()tan tan παα-=-．公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，()tan tan αα-=-.公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α.公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin_α.诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角．．．．时，根据k ·π2±α在哪个象限判断原．三角．．函数值的符号，最后作为结果符号．B.方法与要点 一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有： (1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦． (2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． （ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ= sin2π＝tan π4（4）齐次式化切法：已知k =αtan ，则nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin 三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如x y sin =与x y cos =的周期是π）。
高中三角函数常见题型与解法
三角函数的题型和方法令狐采学一、思想方法1、三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。
（3）降次与升次。
即倍角公式降次与半角公式升次。
（4）化弦（切）法。
将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
（5）引入辅助角。
asinθ+bcosθ=22ba+sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a、b的符号确定，ϕ角的值由tanϕ=ab确定。
（6）万能代换法。
巧用万能公式可将三角函数化成tan2θ的有理式。
2、证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4、解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
二、注意事项对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。
2、三角变换的一般思维与常用方法。
注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如ααββαββαα22122)()(⨯=⨯=+-=-+=．也要注意题目中所给的各角之间的关系。
三角函数综合应用
解 (1)m·n＝ 3sin x4·cos x4＋cos2x4
＝
3 2 sin
x2＋1＋c2os
x 2＝sinx2＋π6＋12，
∵m·n＝1，∴sinx2＋π6＝12. cosx＋π3＝1－2sin2x2＋π6＝12， cos23π－x＝－cosx＋π3＝－12. (2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，
[4 分]
(2)解 |b＋c|2＝(b＋c)2＝b2＋c2＋2b·c＝sin2β＋16cos2β＋cos2β＋
16sin2β＋2(sin βcos β－16sin βcos β)
＝17－30sin βcos β＝17－15sin 2β，
最大值为 32，所以|b＋c|的最大值为 4 2.
[9 分]
(3)证明 由 tan αtan β＝16，得 sin αsin β＝16cos αcos β，
答题模板
平面向量与三角函数的结合问题
(14 分)设向量 a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β， －4sin β)． (1)若 a 与 b－2c 垂直，求 tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； (3)若 tan αtan β＝16，求证：a∥b.
因为 α 是第一象限角，故 sin α＝1123.
所以，cossin4απ＋＋π42α＝sicnoαs ＋2απ4
＝2cos
2 α－sin
α＝－1134
2.
三角形中的三角恒等变换
例 2 设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，a＝2bsin A. (1)求 B 的大小； (2)求 cos A＋sin C 的取值范围．
变式训练 1
三角函数的综合应用
城东蜊市阳光实验学校三角函数的综合应用一、明确复习目的1.掌握三角函数的图象、性质和恒等变形，会用反三角函数表示角； 2．掌握正、余弦定理解斜三角形的方法；3．能解决三角函数与几何、向量综合的题目,能用三角知识解决简单的实际问题。
二．建构知识网络1. 三角函数的性质和图象变换;2. 三角函数的化简,求值,证明——恒等变形的策略与技巧.3. 正、余弦定理,斜三角形的可解类型;在应用题中要能抽象或者者构造出三角形;4．在应用与综合性题目中,当角不是特殊角,要“用反三角函数表示角〞: (1)arcsin [,],;22a a a ππ-∈表示上正弦值等于的角,[-1,1] (2)arccosa 表示[0，π]上余弦值等于a 的角,a∈[－1,1]; (3)arctan (,),;22aa a R ππ-∈表示上正切值等于的角,(4)对于不是上述范围内的角,可借助诱导公式和三角函数线,找出与上述反三角的关系进而求出.例如:sinα=0.3,α是钝角,那么α=π－arcsin0.3.三、双基题目练练手 1.tan 3x =-，那么x 等于〔〕2.假设A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，那么点P 〔cosB －sinA ，sinB －cosA 〕在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，那么(〕 A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形4.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为A.75°B.60°C.50°D.45°5．〔2021〕假设x=3π是方程2cos 〔x+α〕=1的解，其中α∈〔0，2π〕，那么α=_________. 6．〔2021西城二模〕函数y=sinx(sinx+3cosx 〕〔x∈R〕的最大值是_______. ◆答案:1-4.CBDC;2.A+B ＞2π.∴A＞2π－B ，B ＞2π－A. ∴sinA＞cosB ，sinB ＞cosA.,P 在第二象限.3.sinA2=cosA1,……A1、B1、C1是锐角。
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
化简为简单的形式。
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
复合三角函数化简技巧
PART 05
三角函数在数列和概率统 计中的应用
REPORTING
三角函数在数列求和中的应用
利用三角函数的周期 性，将数列求和转化 为定积分计算
结合三角函数的图像 和性质，分析数列的 收敛性和求和结果
通过三角函数的和差 化积公式，简化数列 求和过程
三角函数在概率统计中的应用
利用三角函数表示周期性随机 变量的概率密度函数
PART 03
三角函数的加减乘除运算
REPORTING
三角函数的加减运算规则
同角三角函数的基本关系
01
包括正弦、余弦、正切等三角函数间的基本关系式，是三角函
数加减运算的基础。
和差化积公式
02
通过和差化积公式，可以将两个不同角度的三角函数加减运算
转化为单个角度的三角函数运算。
辅助角公式
03
在特定情况下，通过辅助角公式可以将复杂的三角函数表达式
通过三角函数的正交性，求解 随机变量的数学期望和方差
结合三角函数的性质和概率统 计知识，分析随机过程的特性 和规律
相关数学模型的建立与求解
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
数学专题1-三角函数式的化简与求值
三角函数式的化简与求值知识网络三角函数式化简与求值的理论依据—三角公式体系，主要由两个系列组成：三角函数坐标定义的推论系列；公式的推论系列一、高考考点以三角求值为重点，同时对三角式的化简具有较高要求，主要考查：1、同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.运用诱导公式的“准确”；运用同角公式的“灵活”：正用、反用、变用。
2、两角和与差的三角函数与倍角公式的应用：正用、反用；有关公式的联合运用，主要应用于无附加条件的三角式的化简或求值（以选择题、填空题为主）；带有附加条件的三角式的求值问题（以解答题为主）；比较简单的三角恒等式的证明（多为解答题，不同某一小题）。
3、等价转化思想以及三角变换的基本技能。
二、知识要点（一）三角函数坐标定义的推论1、三角函数值的符号2、特殊角的三角函数值3、同角三角函数的基本关系式（同角公式）（1）课本中的公式：（2）同角公式“全家福”①平方关系： .②商数关系： .③倒数关系：4、诱导公式：（1）认知与记忆：对使三角函数有定义的任意角①k²360°＋（k∈Z），－，180°±，360°－（共性：偶数³90°±形式）的三角函数值，等于的同名函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号；②90°±，270°±（共性：奇数³90°±）的三角函数值，等于的相应余函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号。
①②两类诱导公式的记忆：奇变偶不变，符号看象限。
（2）诱导公式的引申；；.（二）两角和与差的三角函数1、两角和的三角函数两角差的三角函数令＝2、倍角公式；＝＝；3、倍角公式的推论推论1（降幂公式）：；；. 推论2（万能公式）：；. 推论3（半角公式）：；；.其中根号的符号由所在的象限决定.三、经典例题例1、填空：（1）已知的取值范围为（2）已知的取值范围为分析：（1）从已知条件分析与转化入手①又②∴由①、②得，∴应填（2）首先致力于左右两边的靠拢：左边＝①右边＝②∴由左边＝右边得，∴应填点评：解本题，极易出现的错解是由①、②得，这种由忽略分子而产生的错误很值得大家吸取经验教训.例2.化简或求值：（1）（2）分析：（1）注意到分母为单一的非特殊角的余弦，需设法在分子变换出cos20°.为此，将10°变为30°－20°后运用差角公式。
又一三倍角公式在化简求值中的妙用
又一三倍角公式在化简求值中的妙用
魏朝甫;惠国庆
【期刊名称】《陕西理工学院学报：自然科学版》
【年(卷),期】1996(000)002
【摘要】又一三倍角公式在化简求值中的妙用魏朝甫惠国庆（河南省禹州市文殊高中４５２５８４）我们知道，三角函数的化简求值是三角计算的一个重要组成部分，笔者在教学实践中探索出另一组三角倍三角函数公式，在常见的一类题目中使用非常简捷，公式如下：ｓｉｎ３α＝４ｓｉｎα...
【总页数】1页(P30-30)
【作者】魏朝甫;惠国庆
【作者单位】河南省禹州市文殊高中
【正文语种】中文
【中图分类】O124
【相关文献】
1.三角函数定义在三角化简、求值及证明中的应用 [J], 李永利
2.三角化简求值『三注意』 [J], 魏成年
3.例析三角函数求值与化简的三种常用方法 [J], 张红梅
4.三角函数求值与化简的三种常用方法 [J], 张子璇
5.三倍角公式的妙用 [J], 李双信
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