积分变换第2讲
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复变函数与积分变换第二章
u ux v uy 0 ,
v
ux
u
uy
0,
(A)
①若
u v
v u
0,
u v 0,
f ( x, y) 0(常数)；
②若
u v
v u
0,
求解得 A 2, B 1, C 1, D 2.
证 (1) 由 f (z) u i v 解析， ux vy , uy vx , 由 f (z) u i v 解析， ux (v)y , uy (v)x , ux uy vx vy 0 , u, v 为常数， 即得 f ( x, y) c(常数)。
二、解析函数概念
定义 (1) 如果函数 f (z) 在 z0点以及 z0点的邻域内处处可导，
P25 定义
则称 f (z)在 z0点解析；
2.2
(2) 如果函数 f (z) 在区域 D内的每一点解析，则称 f (z)
在区域 D 内解析，或者称 f (z) 是 D 内的解析函数。
(3) 如果存在区域G :闭区域D G,且 f (z) A(G), 则称 f (z)在闭区域 D上解析.记作f (z) A(D)
2.2
且满足柯西黎曼(Cauchy-Riemann )方程：
u v , x y
u v . y x
(简称 C R方程)
三、柯西-黎曼方程
1. 点可导的充要条件 求导公式 若 f (z) 在 z x i y 处可导，则
f (z) u i v . u i u x x x y
(1) 四则运算法则
[ f (z) g(z)] f (z) g(z) ;
积分变换 ppt课件
16
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,
这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数
的强度.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
d d (t)f(t)dtf(0)及 (tt0)f(t)dtf(t0).
（ ft为 连 续 函 数 ）
可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个
函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电
流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记
成d-函数:
d
t
0
t 0 t 0
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量,
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技
பைடு நூலகம்
术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的
F() f(t)eitdt 1 eitdt eit 1
1
i
1
1 eiei 2sin
i
f(t)21
F()eitd1
F()costd
0
102s incostd20sin costd
9
例 2求 指 数 衰 减 函 数 f(t) e 0 ,t,
t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
如果成立
F(w) f(t)ejwdt t
f(t)1 F(w)ejwdt w
2
并称F(ω)为f (t)的象函数
或付里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或付里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
8
例1
求矩形脉冲函数
傅里叶积分变换
1 j j 2 2
通过傅氏逆变换，可求得指数衰减函数的积分表达 式。由（3）式，并利用奇偶数的积分性质，可得
f (t) F 1 F ()
1
F (
)e
j
t
d
2
1 j e j td
2 2 2
1
(
j )(cost j sin t)d
2 2 2 2 2
0
2 2
由傅氏积分定理，可得到一个含参量广义积分的 结果：
0,
t 0;
cos t sin t
0
2 2
d
2
,
t 0;
e t , t 0
4．单位脉冲函数（狄拉克--Dirac函数）
设
0 ,
(t)
1
t 0或 t , 0t
定义单位脉冲函数为
(t
)
lim
0
(t)
单位脉冲函数的一些性质：
() 的傅氏逆变换为u(t) 。
f (t) F-1 F()
1
2
1
j
()e jt d
1
()ejt d
1
sin td
2
2
1 1 sin td
20
由于
0
sin
td
0,2
,t t
0; 0
2
,
t0
故
f (t) 1 1
2
sin 0
td
1
2 1 2
1
j ( 0 ) t
2 j
1 2
2j
( 0 ) 2
( 0 )
j ( 0 ) ( 0 )
我们可以看出引入δ-函数后，一些在普 通意义下不存在的积分，有了确定的数 值。工程技术上许多重要函数的傅氏变 换都可以利用δ-函数及其傅氏变换很方 便地表示出来，并且使许多变换的推导 大大地简化。
积分变换-2 拉普拉斯变换
f (t + T ) = f (t) t > 0
且 f (t)在一个周期内分段连续，则有 T 1 st F(s) = f (t)e dt (Re s > 0) sT ∫ 0 1 e
2-2 Laplace变换的基本性质 Laplace变换的基本性质
1、线性性质 2、相似性质 3、延迟性质 4、位移性质 5、微分性质 6、积分性质 7、卷积与卷积定理
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
（1）Laplace变换实际上就是一种单边的广 Laplace变换实际上就是一种单边的广 义的Fourier变换。 义的Fourier变换。 （2）Laplace变换的复反演积分公式： Laplace变换的复反演积分公式 复反演积分公式：
1[F(s)] = 1 β + j∞F(s)est ds (t > 0) f (t) = L 2πj ∫β j∞
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
如何克服上述两个缺点？ （1）单位阶跃函数
1, t ≥ 0 H(t) = 0, t < 0 用H(t)乘以 f (t)，这样得到的 f (t)H(t)，在
t < 0时就等于零，在 t ≥ 0 时仍为 f (t) ， 就有可能使其积分区间由 ( ∞,+∞) 变为 [0,+∞)
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
Fourier变换的局限： Fourier变换的局限： （1）绝对可积的条件较强，许多简单的常见函数 （如单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数以及线 性函数等）都不满足这个条件，都不能作古典的 Fourier变换。 Fourier变换。 （2）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 ）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 上有定义，但在物理和无线电技术等实际应用中， 许多以时间t 许多以时间t作为自变量的函数往往在 t <0 时是无意义的或是不需要考虑的，像这样的函数 都不能取Fourier变换。 都不能取Fourier变换。
积分变换第2讲x
说明：凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变 换存在定理的条件，并且把这些函数的增长指数 都统一地取为C.
1、线性性质 若, 为常数，则
L L L [f 1 ( t ) f 2 ( t ) ][ f 1 ( t ) ][ f 2 ( t )]
证明：根据定义和积分的性质即可证明.
拉氏逆变换也有类似的性质，请自己写出来.
于是
0
s titn dt0 s21 1d sarc|0 t2 a.n
思考题： sint etdt ?
0t 22
4、位移性质 若 L[f(t)]F(s)则 ,
L [ e s 0 tf(t) ] F (s s 0 ),R s s e 0 ) ( c .
或者
L 1 [F (s s 0 ) ] e s 0 tL 1 [F (s ) ] e s 0 tf(t).
若 L[f(t)]F(s)则 ,
L[f(t)]
F(s)d.s
(*)
t
s
特别地，在*式中令s=0，则
f(t)
0 t dt0 F(s)d.s
21
例4 求 f (t) sint 的拉氏变换. t
解：因为
L[sint]
1
s2
, 1
所以
L [stit]n s s21 1d sarc | s t2 a a nrc s.tan
解：因为 f(m)(t)m!, 所以
L [f(m )(t) ]s m F (s ) s m 1 f(0 ) s m 2f'(0 ) f(m 1 )(0 )
s m F (s ),
于是 sm L[f(t) ]L[m !]m !L[1 ]m !1,
s
L[tm]
m! sm1
1、线性性质 若, 为常数，则
L L L [f 1 ( t ) f 2 ( t ) ][ f 1 ( t ) ][ f 2 ( t )]
证明：根据定义和积分的性质即可证明.
拉氏逆变换也有类似的性质，请自己写出来.
于是
0
s titn dt0 s21 1d sarc|0 t2 a.n
思考题： sint etdt ?
0t 22
4、位移性质 若 L[f(t)]F(s)则 ,
L [ e s 0 tf(t) ] F (s s 0 ),R s s e 0 ) ( c .
或者
L 1 [F (s s 0 ) ] e s 0 tL 1 [F (s ) ] e s 0 tf(t).
若 L[f(t)]F(s)则 ,
L[f(t)]
F(s)d.s
(*)
t
s
特别地，在*式中令s=0，则
f(t)
0 t dt0 F(s)d.s
21
例4 求 f (t) sint 的拉氏变换. t
解：因为
L[sint]
1
s2
, 1
所以
L [stit]n s s21 1d sarc | s t2 a a nrc s.tan
解：因为 f(m)(t)m!, 所以
L [f(m )(t) ]s m F (s ) s m 1 f(0 ) s m 2f'(0 ) f(m 1 )(0 )
s m F (s ),
于是 sm L[f(t) ]L[m !]m !L[1 ]m !1,
s
L[tm]
m! sm1
数理方法-第一章-积分变换
−l −1 i kπx f (x) = e l , 1 + k2 π2 k=−∞
2.1. 傅立叶级数
41
2.1.3 有限区间上函数的傅立叶级数展开
在很多物理问题中，物理量f (x) 是被限制在物理系统之内的，即f (x) 是定义在一个有 限区间[0, l] 上的， 它并不是周期函数。为了运用上一节所讨论过的傅立叶级数方法来研究问 题，我们需要对此有限区间上的函数进行拓展，人为地构造出一个新的周期函数，而这个新 的周期函数在我们所讨论关心的区间[0, l]上与原来所要研究的函数f (x)完全一致。 以上这段话给出了用傅里叶级数方法来研究有限区间函数的一般性和方法。 单从这段话 看，似乎对于有限区间函数的延拓有许多不同的途径和方法。但，一个限定在有限区间上的 函数必然有其相应的边界条件， 这个边界条就极大地限制了我们进行周期函数延拓的途径并 最终确定了函数延拓的方案。 最常用最基本的函数的延拓有奇延拓和偶延拓两种， 分别对应于函数f (x) 的两中不同的 边界条件。 我们首先来讨论奇延拓的情形。对函数f (x)进行奇延拓所需满足的边界条件： f (x) 为定 义在区间[0, l] 上的函数， 如满足
f (x) =
∞ ∑ k=1
bk sin
kπx , x ∈ [0, l] l kπx dx. l (2.18)
bk
=
2 l
ˆl F (x) sin
0
另一种基本的也是常见的延拓是偶延拓， 而进行偶延拓的条件为： f (x) 为定义在区间[0, l] 上的函数， 如满足
f ′ (0) = f ′ (l) = 0
0
bk =
] kπx πA [ 1 − (−1)k , dx = l k
于是， 我们就得：
2.1. 傅立叶级数
41
2.1.3 有限区间上函数的傅立叶级数展开
在很多物理问题中，物理量f (x) 是被限制在物理系统之内的，即f (x) 是定义在一个有 限区间[0, l] 上的， 它并不是周期函数。为了运用上一节所讨论过的傅立叶级数方法来研究问 题，我们需要对此有限区间上的函数进行拓展，人为地构造出一个新的周期函数，而这个新 的周期函数在我们所讨论关心的区间[0, l]上与原来所要研究的函数f (x)完全一致。 以上这段话给出了用傅里叶级数方法来研究有限区间函数的一般性和方法。 单从这段话 看，似乎对于有限区间函数的延拓有许多不同的途径和方法。但，一个限定在有限区间上的 函数必然有其相应的边界条件， 这个边界条就极大地限制了我们进行周期函数延拓的途径并 最终确定了函数延拓的方案。 最常用最基本的函数的延拓有奇延拓和偶延拓两种， 分别对应于函数f (x) 的两中不同的 边界条件。 我们首先来讨论奇延拓的情形。对函数f (x)进行奇延拓所需满足的边界条件： f (x) 为定 义在区间[0, l] 上的函数， 如满足
f (x) =
∞ ∑ k=1
bk sin
kπx , x ∈ [0, l] l kπx dx. l (2.18)
bk
=
2 l
ˆl F (x) sin
0
另一种基本的也是常见的延拓是偶延拓， 而进行偶延拓的条件为： f (x) 为定义在区间[0, l] 上的函数， 如满足
f ′ (0) = f ′ (l) = 0
0
bk =
] kπx πA [ 1 − (−1)k , dx = l k
于是， 我们就得：
积分变换.ppt
L [ekt ] 1 (P145) sk
1
f (t ) L 1[F (s)]
t
24
有
f
(t
)
1 t
L
1
1[
s1
1] s1
1 (et et ) 1 (et et )
t
t
积分性质 1
设Ff(s()t )=L[ tf(Lt)],1则[F有(s)]
t
2t
解 L [ sht ] =L [1 et 1 et ] 22
1 ( 1 1 ) F(s) 2 s1 s1
由像函数的积分性质, 有 L [ekt ] 1
f (t)
sk
L [ t ] s F (s)ds
27
sht 1 1 1
L
[
t
]
2 s
( s1
但在工程实际应用中, 许多以时间t 作为自 变量的函数往往在 t 0时是无意义的或者 是不需要考虑的. 这样的函数都不能取傅 氏变换. 因此, 傅氏变换的应用范围受到相 当大的限制.
对这些函数f(t)能否经过适当地改造, 使其 进行傅氏变换时克服上述两个缺点呢？ 答案是可以的, 就是拉普拉斯变换.
L [ t f (t)dt] 1F (s)
0
s
此外, 我们还有象函数的积分性质
L [ f (t)]
f (t ) est dt
F (s)ds
t
0t
s
26
或
f(t) = tL 1[ F (s)ds] s
例 求 f (t ) sht et et 的拉氏变换
2积分变换
1、解析函数的概念 定义2.2 如果f ( z )在z0及z0的某邻域内处处可导，
则称f ( z )在z0处解析.如果f ( z )在z0不解析，则 称z0为f ( z )的奇点。 如果f ( z )在区域D内处处解析，则称f ( z )
在D内解析，我们也说f z 是D内解析函数. 如果f ( z )在区域G内解析，而闭区域D上每
18
黎曼资料
Riemann
Born: 17 Sept 1826 in Breselenz, Hanover (now Germany) Died: 20 July 1866 in Selasca, Italy
19
.
定理2.2 函数 f ( z ) u( x , y ) iv( x , y )区域D内
u x
v y
u y
v x
证明（必要性）
设f ( z )在z x iy处可导 ，记作 f ' ( z ) a ib， 则有 f ( z z ) f ( z ) (a ib)z o(| z |)
(a ib)(x iy ) o(| z |)
（2）C-R条件是复变函数可导的必要条件 而非充分条件.
xy x2 y2 例2 取u( x , y ) v ( x , y ) 0
x2 y2 0 x2 y2 0
令f ( z ) u( x , y ) iv( x , y )，则u( x , y ), v( x , y )在点(0,0)满足 C R方程：
0 , 0
0；
z 0，f ( z )不 可 导 。 因 此 ， 在 整 z 个 平面上 f ( z )不 解 析 。
复变函数与积分变换讲义详细讲课文档
3.指数形式与三角形式
利用直角坐标与极坐标的关系: x = r cos, y = r sin,
可以将z表示成三角表示式: zr(co issin )
利用欧拉公式 e i = cos + i sin 得指数表示式:
z rei (rz,Arzg)
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.
pp
1 )z 1 2 2 i; 2 )z sin ic o s . 55
建立和发展。
复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术
第五页，共21页。
中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，
热学弹性理论中平面问题的有力工具。
复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复
数领域的推广和发展。
第六页，共21页。
第一讲 复数的代数运算及几何表示
教学重点：1.复习复数的基本概念 2.计算有关复数的典型题
数之间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.17451818)和R.Argand (法国.1768-1822） 将复数用平面 向量或点来表示，以及 K. F.Gauss(德国1777-1855)
与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)定义复数 a ib
为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久 疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到
yy 12
x 2
i
xy 21 x2
x y 12
x 2
(z 2
0)
2
1
2
1
2
复数运算满足交换律,结合律和分配律:
z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3
积分变换_(Laplace)课件与习题
2
当函数f (t)在t<0时没有定义或者不需 要知道时, 可以认为当t<0时, f (t)0. 这时, Fourier变换的表达式为
[ f (t )] f (t )eitdt. 0
但是仍然需要f (t)在[0, )上绝对可积的条件，
这个要求限制了它的应用.
对定义在 [0,) 上的函数 f (t), 如果考虑
L[sin kt] sin kt estd t 0 1 (e jkt e jkt ) estd t 2j 0
j e(sjk)td t e(sjk)td t
20
0
j
2
s
1 jk
s
1 jk
s2
k
k2
,（Re(s)>0）
k L[sin kt] s2 k 2
5
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
0
0
这个积分在Re(s)>k时收敛, 而且有
e(sk )td t 1 e (sk )t 1
0
sk
0 sk
所以 L[ekt ] 1 (Re(s) k). sk
其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为
Re(s)>Re(k)
10
练习: 求单位斜坡函数
当函数f (t)在t<0时没有定义或者不需 要知道时, 可以认为当t<0时, f (t)0. 这时, Fourier变换的表达式为
[ f (t )] f (t )eitdt. 0
但是仍然需要f (t)在[0, )上绝对可积的条件，
这个要求限制了它的应用.
对定义在 [0,) 上的函数 f (t), 如果考虑
L[sin kt] sin kt estd t 0 1 (e jkt e jkt ) estd t 2j 0
j e(sjk)td t e(sjk)td t
20
0
j
2
s
1 jk
s
1 jk
s2
k
k2
,（Re(s)>0）
k L[sin kt] s2 k 2
5
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
0
0
这个积分在Re(s)>k时收敛, 而且有
e(sk )td t 1 e (sk )t 1
0
sk
0 sk
所以 L[ekt ] 1 (Re(s) k). sk
其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为
Re(s)>Re(k)
10
练习: 求单位斜坡函数
积分变换第2讲
同前面一样,此时 仍然可以这样说: 象函数 F(w) 仍然可以这样说: w 亦构成一个傅氏变换对. 和象原函数 f (t) 亦构成一个傅氏变换对.
例2
1, u(t ) = 0,
t > 0, 称为单位跃阶函数. 称为单位跃阶函数 t <0
1 u 证明 (t )的傅氏变换为 + πδ (ω). iω
证：首先注意，这里的变换显然指的是广义变换 首先注意，这里的变换显然指的是广义变换. 我们用考察逆变换的方法证明. 我们用考察逆变换的方法证明. 逆变换的方法证明
事实上， 事实上，设 F ( ω ) = 1 iω + πδ ( ω ), 则
1 f (t ) = 2π
1 [ + πδ (ω )]e iω t d ω ∫− ∞ iω
由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即
dq(t ) q(t + ∆t ) − q(t ) i(t ) = . = lim ∆t → 0 dt ∆t
所以, 由于q(t)不连续 不连续, 所以 当t≠0时, i(t)=0, 由于 不连续 从而在普 ≠ 时 通导数意义下, 在这一点是不能求导数的. 通导数意义下 q(t)在这一点是不能求导数的 在这一点是不能求导数的
设F[ f (t )] = F(ω) ，则对于实常数0 ,ω0 , 有 t
F[ f (t ± t0 )] = e±iωt0 F(ω)] .
证明：根据定义， 证明：根据定义，得
F[ f (t ± t0 )] = ∫
t ±t0 =u
+∞
−∞
f (t ± t0 )e−iωt dt
du
=
∫
+∞
复变函数与积分变换课堂PPT第二章
由加法定理, 可以推出exp z的周期性。 它的周期是 ,即
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，
积分变换(Fourier)课件与习题
的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的
线性组合来逼近.---- Fourier级数
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
4
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周 期内的情况即可, 通常研究在闭区间[T/2,T/2]内 函数变化的情况.
T T fT (t )为T 周期函数，在 , 上满足 2 2 Dirichlet条件： fT (t )连续或仅有有限个第一类间断点； fT (t )仅有有限个极值点 则fT (t )可展开为Fourier级数，且在连续点t处成立： a0 fT (t ) an cos nt bn sin nt 2 n1
18
一般地, 对于周期T
1 T2 j n t cn T fT (t )e dt T 2 1 1 j n t e dt T 1 1 1 1 j n t j n j n e e e Tj n Tj n 1 2 sin n 2 sinc( n ) (n 0,1,2, ) T n T
cos nt
e
int
e 2
int
, sin nt
e
int
e 2i
int
6
级数化为： a0 e int e int e int e int an bn 2 n 1 2 2i a0 a n ibn int a n ibn int e e 2 n 1 2 2
1 从 而f (t ) f ( )cos (t )d d 2 1 可得 f (t ) f ( )cos (t )d d ， 0 这就是f (t )的Fourier积分公式的三角形式。
积分变换第二章拉氏变换
L [ f ( t )] = F ( s )
则：
∞ f (t ) L = ∫s F ( s )d s . t
∞ ∞ ∞ f (t ) 一般地 , 有L n = ∫ d s ∫ d s⋯ ∫ F ( s )d s s s s t n次
17
例9 求函数
sht f (t ) = t
d L [ f ( t )] = −L [ tf ( t )] Re( s ) > c ds
推论
d n n L [ f ( t )] = ( −1) L[t f ( t )] Re( s ) > c n ds
n
10
f ( t ) = t 2 cos kt (k为实数 的拉氏变换 为实数) 例4 求 为实数 的拉氏变换.
2
2.拉氏变换的存在定理 若函数 (t)满足 拉氏变换的存在定理 若函数f 满足 满足: (1) 在t ≥ 0的任一有限区间上分段连续 的任一有限区间上分段连续; 的任一有限区间上分段连续 (2) 当t→+∞时, f (t)的增长速度不超过某一指数函数 即存 →+∞时 的增长速度不超过某一指数函数, →+∞ 的增长速度不超过某一指数函数 在常数 M > 0及c ≥ 0, 使得 及 |f (t)|≤ M e ct, 0≤ t <+∞ ≤ ≤ +∞ (t)的拉氏变换 则 f (t)的拉氏变换
f ( n) ( t ) = s n F ( s ) L
( Re s > c ) ( n = 1,2,⋯)
此性质可以使我们有可能将f 的微分方程 此性质可以使我们有可能将 (t)的微分方程 转化为F(s)的代数方程 的代数方程. 转化为 的代数方程
则：
∞ f (t ) L = ∫s F ( s )d s . t
∞ ∞ ∞ f (t ) 一般地 , 有L n = ∫ d s ∫ d s⋯ ∫ F ( s )d s s s s t n次
17
例9 求函数
sht f (t ) = t
d L [ f ( t )] = −L [ tf ( t )] Re( s ) > c ds
推论
d n n L [ f ( t )] = ( −1) L[t f ( t )] Re( s ) > c n ds
n
10
f ( t ) = t 2 cos kt (k为实数 的拉氏变换 为实数) 例4 求 为实数 的拉氏变换.
2
2.拉氏变换的存在定理 若函数 (t)满足 拉氏变换的存在定理 若函数f 满足 满足: (1) 在t ≥ 0的任一有限区间上分段连续 的任一有限区间上分段连续; 的任一有限区间上分段连续 (2) 当t→+∞时, f (t)的增长速度不超过某一指数函数 即存 →+∞时 的增长速度不超过某一指数函数, →+∞ 的增长速度不超过某一指数函数 在常数 M > 0及c ≥ 0, 使得 及 |f (t)|≤ M e ct, 0≤ t <+∞ ≤ ≤ +∞ (t)的拉氏变换 则 f (t)的拉氏变换
f ( n) ( t ) = s n F ( s ) L
( Re s > c ) ( n = 1,2,⋯)
此性质可以使我们有可能将f 的微分方程 此性质可以使我们有可能将 (t)的微分方程 转化为F(s)的代数方程 的代数方程. 转化为 的代数方程
复变函数课件-积分变换2-Laplace变换
优势
Laplace变换可以处理具有初始值的 问题，能够更好地揭示函数的整体性 质；傅里叶变换可以分析信号的频率 成分，便于频域分析和滤波器设计。
05 Laplace变换的进一步研 究
Laplace变换的扩展和推广
广义Laplace变换
在更广泛的函数空间中定义Laplace变换，包括允许有间断点的函 数。
边值问题
Laplace变换在求解某些微分方程的 边值问题时也很有用，可以将复杂的 微分方程简化为更易处理的代数方程 。
在控制系统中的应用
01
02
03
系统稳定性分析
通过Laplace变换，可以 分析控制系统的稳定性， 确定系统是否能够保持稳 定状态。
系统响应分析
利用Laplace变换，可以 计算系统在输入信号下的 响应，从而了解系统的动 态行为。
02
其中，F(s)是f(t)的Laplace变换， f'(t)表示f(t)的导数。
02 Laplace变换的逆变换
定义和性质
定义
Laplace逆变换是通过对Laplace 变换后的函数进行反演，得到原 函数的过程。
性质
Laplace逆变换具有线性性、时移 性、微分性等性质，这些性质在 求解逆变换时具有重要作用。
系统设计
在控制系统设计中， Laplace变换可以帮助设 计者分析系统的性能指标 ，优化系统设计。
在信号处理中的应用
信号的频域分析
通过Laplace变换，可以将 信号从时域转换到频域， 从而分析信号的频率成分 。
信号滤波和降噪
利用Laplace变换，可以对 信号进行滤波和降噪处理 ，提高信号的纯净度。
离散Laplace变换
将Laplace变换的概念扩展到离散时间序列，用于分析离散数据。
Laplace变换可以处理具有初始值的 问题，能够更好地揭示函数的整体性 质；傅里叶变换可以分析信号的频率 成分，便于频域分析和滤波器设计。
05 Laplace变换的进一步研 究
Laplace变换的扩展和推广
广义Laplace变换
在更广泛的函数空间中定义Laplace变换，包括允许有间断点的函 数。
边值问题
Laplace变换在求解某些微分方程的 边值问题时也很有用，可以将复杂的 微分方程简化为更易处理的代数方程 。
在控制系统中的应用
01
02
03
系统稳定性分析
通过Laplace变换，可以 分析控制系统的稳定性， 确定系统是否能够保持稳 定状态。
系统响应分析
利用Laplace变换，可以 计算系统在输入信号下的 响应，从而了解系统的动 态行为。
02
其中，F(s)是f(t)的Laplace变换， f'(t)表示f(t)的导数。
02 Laplace变换的逆变换
定义和性质
定义
Laplace逆变换是通过对Laplace 变换后的函数进行反演，得到原 函数的过程。
性质
Laplace逆变换具有线性性、时移 性、微分性等性质，这些性质在 求解逆变换时具有重要作用。
系统设计
在控制系统设计中， Laplace变换可以帮助设 计者分析系统的性能指标 ，优化系统设计。
在信号处理中的应用
信号的频域分析
通过Laplace变换，可以将 信号从时域转换到频域， 从而分析信号的频率成分 。
信号滤波和降噪
利用Laplace变换，可以对 信号进行滤波和降噪处理 ，提高信号的纯净度。
离散Laplace变换
将Laplace变换的概念扩展到离散时间序列，用于分析离散数据。
积分变换第2讲傅氏变换
证明F (1）= 2d()，因为
F 1 2d () 1 2d () ejtd 1
2
所以1和2d() 构成傅氏变换对.
同理, 因为
F 1 2d ( 0 )
1
2
2d
(
0 ) ejtd
e j0t
所以，F（ej0t）= 2d ( 0 )
F
1
1[F()]= 2
F () ejtd f t
付氏积分定理即为:
F -1 [F [f(t)] =1/2*( f(t+0)+f(t-0))
例1
求函数f
(t)
0, et ,
t 0的傅氏变换及 t0
其积分表达式,其中 0.这个f (t)叫做指数
O
(即：d
(
f
)
lim
0
d
(
f
))
即 f C
d f
d (t) f (t)d t @lim
0
d (t) f (t) d t
则 可得 d f f 0
可证
lim
0
d (t) f (t)d t
f (0)
0
1 cost
Fc ( f (t))
f
(t ) cost
d
t
sint
0
2. 单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函 数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在 电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电 势作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械 系统受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类 问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.
积分变换第02讲
5
例2 求指数函数 f (t)=e kt 的拉氏变换(k为实数). 根据拉氏变换的定义, 有
L[ f (t)] = ∫ e e dt = ∫ e−(s−k)tdt
0 0 +∞ kt −st +∞
这个积分在Re(s)>k时收敛, 而且有
∫
+∞
0
e
−(s−k)t
1 −(s−k)t +∞ 1 dt =− e = 0 s −k s −k
F(s) = ∫ f (t)e−stdt 0 在半平面Re(s)>c上一定存在, 并且在Re(s) > c的
半平面内, F(s)为解析函数.
7
+∞
Mect f (t) M O t
8
说明：由条件2可知, 对于任何t值(0≤t<+∞), 有 | f (t)e st |=| f (t)|e−βt ≤ Me−(β−c)t, Re(s)=β, 若令β−c ≥ ε >0 (即β ≥ c+ε = c1>c), 则 | f (t)e−st| ≤ Me−εt. 所以 ∫
1
§1 Laplace变换的概念 t<0 0, 设指数衰减函数ϕ (t ) = − β t ( β > 0). e , t ≥ 0
考虑 f ( t ) t ∈ ( −∞, +∞ ) ,有 f ( t ) u ( t ) =f ( t ) t ≥ 0. 若存在 β > 0, 使 lim e
t →∞ −βt −βt
解 : 根据(2,1)式, 有
+∞ 0
= 1.
例7 : 求函数f (t ) = e − βtδ (t ) − βe − βt u (t ) ( β > 0)的拉氏变换.
例2 求指数函数 f (t)=e kt 的拉氏变换(k为实数). 根据拉氏变换的定义, 有
L[ f (t)] = ∫ e e dt = ∫ e−(s−k)tdt
0 0 +∞ kt −st +∞
这个积分在Re(s)>k时收敛, 而且有
∫
+∞
0
e
−(s−k)t
1 −(s−k)t +∞ 1 dt =− e = 0 s −k s −k
F(s) = ∫ f (t)e−stdt 0 在半平面Re(s)>c上一定存在, 并且在Re(s) > c的
半平面内, F(s)为解析函数.
7
+∞
Mect f (t) M O t
8
说明：由条件2可知, 对于任何t值(0≤t<+∞), 有 | f (t)e st |=| f (t)|e−βt ≤ Me−(β−c)t, Re(s)=β, 若令β−c ≥ ε >0 (即β ≥ c+ε = c1>c), 则 | f (t)e−st| ≤ Me−εt. 所以 ∫
1
§1 Laplace变换的概念 t<0 0, 设指数衰减函数ϕ (t ) = − β t ( β > 0). e , t ≥ 0
考虑 f ( t ) t ∈ ( −∞, +∞ ) ,有 f ( t ) u ( t ) =f ( t ) t ≥ 0. 若存在 β > 0, 使 lim e
t →∞ −βt −βt
解 : 根据(2,1)式, 有
+∞ 0
= 1.
例7 : 求函数f (t ) = e − βtδ (t ) − βe − βt u (t ) ( β > 0)的拉氏变换.
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பைடு நூலகம்
e
(t ) lim e (t )
e 0
则有
(t ) f (t ) d t lim
e 0
e (t ) f (t ) d t f (0)
工程上将-函数称为单位脉冲函数, 可将-函数用 一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表 示-函数的积分值, 称为-函数的强度.
个时间函数的频谱函数.
§3.Fourier变换的性质
1、线性性质 设F1(w)=F [f1(t)], F2(w)=F [f2(t)],
a,b是常数, 则 F [af1(t)+bf2(t)]=aF1(w)+bF2(w) 同样, 傅氏逆变换亦具有类似的线性性质, 即 F -1[aF1(w)+bF2(w)]=af1(t)+bf2(t)
则称函数 (t t0 )为 函数.
ii） (t t0 )dt 1.
上述 函数的定义引入是很自然的，但在实际应用中有 诸多不便.下面不加证明地引入与定义1等价的另一定义：
定义2
1 / e e (t ) 0
0t e 其它
e(t)
1/e
O 称e(t)的弱极限为-函数, 记为(t)
求f1(t)*f2(t)
t0 t0
f1()
1 O
1 O f2(t) t
由卷积的定义有
f1 (t ) f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t ) d
1 e
0 t
t
( t )
d e
t
e d
0
t
1 O
e (e 1) 1 e 1et
t 1 则 F f (t ) d t F [ f (t )]. j d t 证 因为 f (t ) d t f (t ), d t t F [ f (t )] j F f (t ) d t
§4卷积定理
一、卷积的概念
j
j
f 2 (t ) e
j ( t )
d d t
f1 ( ) e
f (t ) e j (t ) d t d 2
F1 ( ) F2 ( )
例2 求微分积分方程
ax(t ) bx(t ) c x(t ) d t h(t )
(t)
1 O t
-函数有性质:
(t ) d t 1 (t ) f (t ) d t f (0)
-函数的傅氏变换为:
及 (t t0 ) f (t ) d t f (t0 )
F ( ) F [ (t )] (t ) e
同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设 F[f(t)]=F(), 则
d F ( ) F [ j tf (t )]. d 一般地, 有 dn n n F ( ) ( j) F [t f (t )] n d
4. 积分性质
如果当t 时, g (t )
t
f (t ) d t 0
F [ f1 (t ) f 2 (t )] [ f1 (t ) f 2 (t )] e
jt
dt
jt f1 ( ) f 2 (t )d e d t
f1 ( ) e
如果我们形式地计算这个导数, 则得
q(0 t ) q(0) 1 i (0) lim lim t 0 t 0 t t
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函 数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的 电流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记成d-函数. 有了这种函数, 对于许多集 中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉 冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统 一的方式加以解决.
2. 位移性质
F[ f (t t0 )] e
jt0
F [ f (t )]
证 由傅氏变换的定义, 可知
F [ f (t t0 )]
f (t t0 ) e jt d t
(令t t0 u ) e
jt0
f (u ) e j ( u
jt
dt e
jt t 0
1
(t)
1 O t O
F()
1
可见, 单位脉冲函数(t)与常数1构成了一傅氏变 换对. 同理, (tt0)和 e jt0 亦构成了一个傅氏 变换对.
三、 非周期函数的频谱
在频谱分析中, 傅氏变换F()又称为f(t)的频谱 函数, 而它的模|F()|称为f(t)的振幅频谱(亦简 称为频谱). 由于是连续变化的, 我们称之为连 续频谱, 对一个时间函数作傅氏变换, 就是求这
t0 )
du
f (u ) e ju d u e jt0 F [ f (t )]
同理有 F 1[ F ( 0 )] f (t ) e j0t
3、微分性质 如果f(t)在(-, +)上连续或只有有
限个可去间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则 F [f '(t)]=jωF [f(t)].
定义1. 如果函数 (t ) 满足
0 t 0 (t ) ; i） t 0
则称函数 (t ) 为 函数.
ii）
(t )dt 1.
作一平移 定义 1，如果函数 (t t0 ) 满足
0 t t0 i i） ； (t t0 ) t t0
二、 单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函 数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在 电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电 势作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械 系统受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类 问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.
例1. 求脉冲电路中的电流强度问题
Fourier变换的应用
运用傅氏变换的线性性质, 微分性质以及积分性质, 可以把线性常系数微分方程转化为代数方程, 通过 解代数方程与求傅氏逆变换, 就可以得到此微分方 程的解. 另外, 傅氏变换还是求解数学物理方程的 方法之一.
f2()
O
f2(t)
O
t
任给函数f(t), 都有f(t)*(t)=f(t), 这是因为
f (t ) (t ) f (t ) ( ) d f (t )
因此, 单位脉冲函数(t)在卷积运算中起着类似数 的运算中的1的作用.
0 t 0 0 例1 若 f1 (t ) f 2 (t ) t 1 t 0 e
t
的解, 其中<t<+, a,b,c均为常数. 解：根据傅氏变换的微分性质和积分性质, 且记
F [x(t)]=X(), F [h(t)]=H().
在方程两边取傅氏变换, 可得 c ajX ( ) bX ( ) X ( ) H ( ) j H ( ) X ( ) c b j a
t
t
t
二、卷积定理
假定f1(t), f2(t)都满足傅氏积分定理中的条件, 如 f1(t) F1() f2(t) F2() 则 f1(t) * f2(t) F1()F2() 以及
f1 (t ) f 2 (t )
1 F1 ( ) F2 ( ) 2
证 按傅氏变换的定义, 有
证：由傅氏变换的定义, 并利用分部积分可得
F [ f (t )] f (t ) e
f (t ) e jt d t
jt
j
f (t ) e jt d t
jF [ f (t )]
推论： F[f(n)(t)]=(jω)nF[f(t)].
已知函数f1(t), f2(t), 则积分
f1 ( ) f 2 (t ) d
称为函数f1(t)与f2(t)的卷积, 记为f1(t)*f2(t)
f1 (t ) f 2 (t )
f1 ( ) f 2 (t ) d
卷积的图示
f1() O
f2()
在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进 入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流 i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则
0, t 0; q(t ) 1, t 0. 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即
d q(t ) q (t t ) q(t ) i (t ) lim t 0 dt t 所以, 当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而 在普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.
e
(t ) lim e (t )
e 0
则有
(t ) f (t ) d t lim
e 0
e (t ) f (t ) d t f (0)
工程上将-函数称为单位脉冲函数, 可将-函数用 一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表 示-函数的积分值, 称为-函数的强度.
个时间函数的频谱函数.
§3.Fourier变换的性质
1、线性性质 设F1(w)=F [f1(t)], F2(w)=F [f2(t)],
a,b是常数, 则 F [af1(t)+bf2(t)]=aF1(w)+bF2(w) 同样, 傅氏逆变换亦具有类似的线性性质, 即 F -1[aF1(w)+bF2(w)]=af1(t)+bf2(t)
则称函数 (t t0 )为 函数.
ii） (t t0 )dt 1.
上述 函数的定义引入是很自然的，但在实际应用中有 诸多不便.下面不加证明地引入与定义1等价的另一定义：
定义2
1 / e e (t ) 0
0t e 其它
e(t)
1/e
O 称e(t)的弱极限为-函数, 记为(t)
求f1(t)*f2(t)
t0 t0
f1()
1 O
1 O f2(t) t
由卷积的定义有
f1 (t ) f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t ) d
1 e
0 t
t
( t )
d e
t
e d
0
t
1 O
e (e 1) 1 e 1et
t 1 则 F f (t ) d t F [ f (t )]. j d t 证 因为 f (t ) d t f (t ), d t t F [ f (t )] j F f (t ) d t
§4卷积定理
一、卷积的概念
j
j
f 2 (t ) e
j ( t )
d d t
f1 ( ) e
f (t ) e j (t ) d t d 2
F1 ( ) F2 ( )
例2 求微分积分方程
ax(t ) bx(t ) c x(t ) d t h(t )
(t)
1 O t
-函数有性质:
(t ) d t 1 (t ) f (t ) d t f (0)
-函数的傅氏变换为:
及 (t t0 ) f (t ) d t f (t0 )
F ( ) F [ (t )] (t ) e
同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设 F[f(t)]=F(), 则
d F ( ) F [ j tf (t )]. d 一般地, 有 dn n n F ( ) ( j) F [t f (t )] n d
4. 积分性质
如果当t 时, g (t )
t
f (t ) d t 0
F [ f1 (t ) f 2 (t )] [ f1 (t ) f 2 (t )] e
jt
dt
jt f1 ( ) f 2 (t )d e d t
f1 ( ) e
如果我们形式地计算这个导数, 则得
q(0 t ) q(0) 1 i (0) lim lim t 0 t 0 t t
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函 数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的 电流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记成d-函数. 有了这种函数, 对于许多集 中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉 冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统 一的方式加以解决.
2. 位移性质
F[ f (t t0 )] e
jt0
F [ f (t )]
证 由傅氏变换的定义, 可知
F [ f (t t0 )]
f (t t0 ) e jt d t
(令t t0 u ) e
jt0
f (u ) e j ( u
jt
dt e
jt t 0
1
(t)
1 O t O
F()
1
可见, 单位脉冲函数(t)与常数1构成了一傅氏变 换对. 同理, (tt0)和 e jt0 亦构成了一个傅氏 变换对.
三、 非周期函数的频谱
在频谱分析中, 傅氏变换F()又称为f(t)的频谱 函数, 而它的模|F()|称为f(t)的振幅频谱(亦简 称为频谱). 由于是连续变化的, 我们称之为连 续频谱, 对一个时间函数作傅氏变换, 就是求这
t0 )
du
f (u ) e ju d u e jt0 F [ f (t )]
同理有 F 1[ F ( 0 )] f (t ) e j0t
3、微分性质 如果f(t)在(-, +)上连续或只有有
限个可去间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则 F [f '(t)]=jωF [f(t)].
定义1. 如果函数 (t ) 满足
0 t 0 (t ) ; i） t 0
则称函数 (t ) 为 函数.
ii）
(t )dt 1.
作一平移 定义 1，如果函数 (t t0 ) 满足
0 t t0 i i） ； (t t0 ) t t0
二、 单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函 数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在 电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电 势作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械 系统受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类 问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.
例1. 求脉冲电路中的电流强度问题
Fourier变换的应用
运用傅氏变换的线性性质, 微分性质以及积分性质, 可以把线性常系数微分方程转化为代数方程, 通过 解代数方程与求傅氏逆变换, 就可以得到此微分方 程的解. 另外, 傅氏变换还是求解数学物理方程的 方法之一.
f2()
O
f2(t)
O
t
任给函数f(t), 都有f(t)*(t)=f(t), 这是因为
f (t ) (t ) f (t ) ( ) d f (t )
因此, 单位脉冲函数(t)在卷积运算中起着类似数 的运算中的1的作用.
0 t 0 0 例1 若 f1 (t ) f 2 (t ) t 1 t 0 e
t
的解, 其中<t<+, a,b,c均为常数. 解：根据傅氏变换的微分性质和积分性质, 且记
F [x(t)]=X(), F [h(t)]=H().
在方程两边取傅氏变换, 可得 c ajX ( ) bX ( ) X ( ) H ( ) j H ( ) X ( ) c b j a
t
t
t
二、卷积定理
假定f1(t), f2(t)都满足傅氏积分定理中的条件, 如 f1(t) F1() f2(t) F2() 则 f1(t) * f2(t) F1()F2() 以及
f1 (t ) f 2 (t )
1 F1 ( ) F2 ( ) 2
证 按傅氏变换的定义, 有
证：由傅氏变换的定义, 并利用分部积分可得
F [ f (t )] f (t ) e
f (t ) e jt d t
jt
j
f (t ) e jt d t
jF [ f (t )]
推论： F[f(n)(t)]=(jω)nF[f(t)].
已知函数f1(t), f2(t), 则积分
f1 ( ) f 2 (t ) d
称为函数f1(t)与f2(t)的卷积, 记为f1(t)*f2(t)
f1 (t ) f 2 (t )
f1 ( ) f 2 (t ) d
卷积的图示
f1() O
f2()
在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进 入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流 i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则
0, t 0; q(t ) 1, t 0. 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即
d q(t ) q (t t ) q(t ) i (t ) lim t 0 dt t 所以, 当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而 在普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.