从一道课本习题谈起
从基础到能力的跨越——从一道教材习题的评讲谈起
集 思广益 ， 充分体 现 出 学生 的创 造性 思维． 测 量它 的长 和宽 ， 后分 别折 成 两个 正三棱 柱 然 型 的“ 塔筒” 利 用相 似 原理 计算 塔高， 望 ， 该方 案 设 计 新颖 ， 思巧妙 ，充分 显示 了 构
学生 的数 学 创造性 思维．
从 小 孔被 打 开算 起 ， 复 多 次 并找 出 ｈ ＝ １ ， 重 ０ ９ ８ ７ － ， ｌ ０Ｃ ， ， ， ， － ２ ， Ｉ 时所用 的平 均 时 间，在 Ｔ
匐在 Ｇ点， 甲在 Ｆ点时， 当 塔顶 与头顶 重台 ． 丙 测量 Ｃ 之 长， Ｄ ＢＣ之 长 最后 计算 塔 高． 这 一方案 仅用皮 尺这 一测量工具 就 完成 这
一
活动， 妙地 利 用人 的 身高 ， 巧 三人通 力 合作 ，
报 告之 三： 学 生用一张 长方 形硬纸 板 ， 一 先
维普资讯
』 』 一疗
数 学 教 学
２０ 年 第 ｌ ０２ 期
拍 了一张纵幅 照片， 然后 ， 沿着塔 的方 向前进 他 了 ｃ 在第 二拍 摄点用 焦距 ｂ 了一张 横幅 照 米， 拍 片， 让塔 顶 和塔底 正 好 与照 片的 上下 底边 吻 他
孔 处 的水 流速度 ； 而数 据处 理 能力 较弱 的学生 ，
就 不能 突破 这一关 ．
从 基 础 到 能 力 的跨 越
一
从 一 道 教 材 习题 的 评 讲 谈 起
５９０ 广东省珠海市第二中学 李原驰 １００
人教版 ｕｒ 几何》（ 体 必修） ． ８ Ｐ １ 有这 样一 ０
道 习题 ： 一个 正方 体 中 如 图 ｌ那 样截 去 四 从 个三 棱锥 后、 到 一个 正三棱 锥 —ＢＧ 求 得 Ｄ， 它的体 积是 正 方体 体积 的几分 之 几？ 这道 题并 不难， 多数 同学 是 这样 思考 的： 大 设 正方 体 的棱 长 为 ～２ ，。 它的体 积可 通过 求 任 图１ 一
一道教材习题引发的深度学习
教材点击２０２３年１２月下半月㊀㊀㊀一道教材习题引发的深度学习◉湖北省武汉市杨园学校㊀熊㊀利１深度学习深度学习是课程改革以来对课程理解和课堂实践的深化,它既是一种理念也是一种实践指导策略．深度学习是指在教师引领下,学生围绕着具有挑战性的学习主题,全身心积极参与,体验成功,获得发展的有意义的学习过程．数学学习过程是学生围绕学习内容展开的活动过程,初中数学深度学习的特点是学生能够全身心投入具有挑战性的富有思维含量的学习活动．笔者在一节习题课中设计了三个具有挑战性的学习活动:一是发现习题的多个不同的证明方法;二是通过不同证明方法的对比,发现并确认题中多余的条件;三是将多余条件结论化,进而探求习题的结构．三个学习活动衔接自然,过程流畅,思维含量一个比一个高,逐步将课堂学习活动推向高潮．整节课学生自主㊁自发地参与到课堂学习活动中来,不断体验到发现和证明出结论带来的快乐,这也正是深度学习理念指导下的课堂实践的最好展现．２教学纪实２．１展示习题,指明目标教师:很多时候我们只顾埋头做题,一题做完紧接下一题,很少停下脚步去深入研究一道题,今天老师带领大家对课本上一道习题进行深入探究,希望大家从中能有所收获．(展示习题)本节课我们只研究这一道题,请大家开动脑筋积极思考．图１题目㊀(人民教育出版社八年级数学上册第２５页习题第１０题)如图１,六边形A B C D E F 的内角都相等,øD A B ＝６０ʎ,A B 与D E有怎样的位置关系?B C 与E F 有这种位置关系吗?这些结论是怎样得出的?教师:做完的同学写一下过程,然后再看看整道题,你有没有什么发现?没做出来的同学,尽可能地算出图中所有的角,并给出证明．过程回顾:首先指明这节课的目标是对一道题进行深入研究．让学生用不同的方法解答,激发学生的探究欲,同时,希望学生通过各种不同方法的对比,发现 øD A B ＝６０ʎ是多余条件,让接下来的学习过程衔接更自然．２．２一题多解,拓宽思路教师:老师已经看到了不同的证明方法,大家开动脑筋,用尽可能多的方法来证明你的结论．教师:会做这道题的同学请举手．好,有超过一半的同学举手了．请一位同学说一下你的证明过程．学生１:A B ʊD E ,且B C ʊE F ．证明:由øD A B ＝６０ʎ,得øF A D ＝øD A B ＝６０ʎ．由øE ＋øF ＋øF A D ＋øE D A ＝３６０ʎ,且øE ＝øF ＝１２０ʎ,可知øE D A ＝６０ʎ,所以øE D A ＝øD A B ,故A B ʊD E ．又øF ＋øF A D ＝øB ＋øD A B ＝１８０ʎ,所以E F ʊA D ,B C ʊA D ,于是B C ʊE F ．教师:对于D E ʊA B ,同学们还有其他证明方法吗?学生２:如图２,过点F 作F H ʊE D ．由ø１＋øE ＝１８０ʎ,得ø１＝６０ʎ,则ø２＝１２０ʎ－ø１＝６０ʎ,所以ø２＋øF A B ＝１８０ʎ,所以F H ʊA B ．故D E ʊA B ．图２㊀㊀图３学生３:如图３,延长E F ,和B A 的延长线交于点H ．由ø１＝１８０ʎ－øE F A ＝６０ʎ,ø２＝１８０ʎ－øF A B ＝６０ʎ,又øH ＋ø１＋ø２＝１８０ʎ,得øH ＝６０ʎ,所以øE ＋øH ＝１８０ʎ,故D E ʊA B ．图４学生４:如图４,连接A E ．由ø１＋ø２＋øF ＋ø３＋ø４＝３６０ʎ,ø１＋øF ＋ø３＝１８０ʎ,可知ø２＋ø４＝１８０ʎ,所以D E ʊA B ．教师:对于D E ʊA B ,同学们给出了四种不同的证明方法,大家再观察一下,看你有没有什么发现?学生５:除了第一种方法,其余三种都作了辅助线．学生６:后三种方法都没有用到 øD A B ＝６０ʎ这个条件．８２０２３年１２月下半月㊀教材点击㊀㊀㊀㊀教师:这两个同学的证明方法都很好!请问条件 øD A B ＝６０ʎ能否去掉?过程回顾:让学生尽情展示,在一个个证明方法中逐渐打开思路,过程自然流畅,学生都沉浸在思维的海洋里．２．３导向深入,抓住关键学生７:从做题过程来看,条件 øD A B ＝６０ʎ可以去掉．D A 这条线段也可以去掉．教师:那为什么题目要多给条件呢?(学生７沉默不语,课堂陷入沉默．)教师:此题是 １１．３多边形及其内角和 的一道习题,主要考查灵活运用多边形内角和公式解决问题的能力．题目多给条件,一是为了让大家往计算角这个方向思考,二是给大家留出探索发现的空间,这也是此题放在 拓广探索 栏目中的原因．教师:经过大家的思考探索,可以把题目简化为 凸六边形A B C D E F 的内角都相等,求证:D E ʊA B ．学生８:老师,我又发现了新的证明方法．不用 øD A B ＝６０ʎ 这个条件,连D A 就可以证明．教师:好的,你先不说过程,让大家思考一下,这样可不可以证明?图５学生８:如图５,因为ø２＋ø３＋øE ＋øF ＝３６０ʎ,所以ø２＋ø３＝１２０ʎ．又ø１＋ø２＝１２０ʎ,所以ø１＝ø３．故D E ʊA B ．教师:非常好,过程清楚,思路明确．要证明平行,但没有截线,连D A 后就有了截线,产生内错角,证内错角相等．大家回顾一下,以上几种证明方法有没有共同点?解答这题的关键是什么?学生９:课本原题除学生１的证法外,其余证明方法都作了辅助线,作辅助线后才产生了截线,所以这道题的关键是要有截线．教师:学生９总结得很好．大家能否归纳一下作截线的方法学生１０:作截线有三种方式,即连接㊁延长和作平行线．过程回顾:通过教师的引导㊁学生的积极参与,证明思路越来越清晰,最后点出了证明平行的关键是找截线,并归纳了作截线的三种方法．２．４抛出问题,探索结构教师:既然条件 øD A B ＝６０ʎ是多余的,老师有一个想法,能否把它放到结论中,也就是由每个内角都相等能否得到øD A B ＝６０ʎ．题目改编如下:如图６,六边形A B C D E F 的内角都相等,øD A B是否等于６０ʎ给出你的判断并说明理由．教师:要解决上面这个问题,我们先解决另外一个问题,题中的六边形是否是正六边形?图６(课堂陷入沉默,一分钟后有学生举手．)学生１１:不一定是正六边形,可以将B C 边向上平移,如图７,如果原图是正六边形,则平移后的图形就不是．教师:学生１１举出的反例很图７好地解释了原图不一定是正六边形,通过平移边,在不改变角度大小的情况下,改变了边长．下面回到øD A B 是否等于６０ʎ这个问题上来,大家还同意øD A B ＝６０ʎ吗?学生１２:不一定是６０ʎ,将B A向上平移,øD A B 的度数会变小．教师:你是如何判断øD A B 变小的?学生１２沉默,学生１３举手．图８学生１３:如图８,由A B ʊG H ,得øD A B ＝ø２．又ø２＞ø１,所以øD A B ＞ø１．故向上平移øD A B 会变小．教师:非常好!通过两位同学的分析,我们可以看到øD A B 的度数不是一个确定的值,那 六个内角都相等 这个条件能确定什么?不能确定什么?学生１４:可以确定D E ʊA B ,不能确定øD A B ．学生１５:还可以确定E F ʊB C ,还有C D ʊA F ．教师:也就是可以确定六边形正对着的三组边平行,但不能确定六边形的边长,如果大家能够看到这一层,那这个图形在你眼里就是可以变化的,很多问题就可迎刃而解．过程回顾:通过将多余的条件结论化,来探索试题的结构,将此题的研究进一步推向深入．抛出问题 六个角相等的六边形是否为正六边形 ,为问题的解决指明了方向．３教学感悟课本的一道普通习题,如果不去深入研究,可能十分钟就讲完了,但沉下心来研究一番,结果发现它是一座思维的宝库．笔者并不想直接将这里的宝藏呈现给学生,而是一步步引领学生看到发现宝藏的过程,在这个过程中,让学生逐步体会到解完题后,我们还能怎样去思考,教会学生思考问题的方法,一同经历一堂思维的盛宴．教师能设计出具有挑战性㊁富有思维含量的学习活动是学生在课堂上开展深度学习的必要条件．这就需要教师多研究试题,而研究试题中最有意义的事情是研究教材习题．只有教师的深度学习和研究才有可能促成学生深度学习的产生．Z９。
由一道教材习题谈起
由一道教材习题谈起习题是数学教材的重要组成部分：一方面，习题可以起到复习、巩固知识，加深学生对知识理解和记忆的作用；另一方面，习题是培养学生能力的重要载体。
高中数学新教材无一例外地配备了大量的例题和习题，而数列通常又是高考的压轴大题，特别是近几年考查的递推数列。
一个重大的发现可以解决一道重大的题，但是在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现，而且直接影响到学生学习质量的高低，本文将以一道习题探究待定系数法求递推数列的通项公式的求法。
人教版高中数学必修5p69复习参考题b组第6题：已知数列an中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3）.求数列an的通项公式.解：设an+xan-1=（x+2）an-1+3an-2?圯an+xan-1=（x+2）［an-1+an-2］令x=，解得x=-3或1，即an+an-1=3（an-1+an-2）①an-3an-1=-（an-1+an-2）②由①得an+an-1=3（an-1+an-2）＝32（an-2+an-3）=…=3n-2（a2+a1）=3n-2×7 ③由②得an-3an-1=-（an-1+an-2）=（-1）2（an-2-3an-3）=…（-1）n-2（a2-3a1）=（-1）n-1×13 ④由③×3＋④得4an=3n-1×7+（-1）n-1×13?圯an=［3n-1×7+（-1）n-1×13］∴数列an的通项公式为an=［3n-1×7+（-1）n-1×13］探究1.已知数列an中，a1=5，an=2an-1+3n+1（n≥2），求数列an的通项公式.解：设an+xn+y=2［an-1+x（n-1）+y］，整理得an=2an-1+xn-2x+y 比较an=2an-1+3n+1（n≥2）得x=3y-2x=1，解得x=3y=7，从而an+3n+7=2［an-1+3（n-1）+7］，即数列an+3n+7是以a1+3×1+7为首项，以2为公比的等比数列.∴an+3n+7=15×2n-1?圯an=15×2n-1-3n-7，即数列an的通项公式an=15×2n-1-3n-7探究2.已知数列an中，a1=5，an=2an-1+3n2+2n+1（n≥2），求数列an的通项公式.解：设an+xn2+yn+z=2［an-1+x（n-1）2+y（n-1）+z］，整理得an=2an-1+xn2+（y-4x）n+2x-2y+z，比较an=2an-1+3n2+2n+1（n≥2）得x=3y-4x=22x-2y+z=1，解得x=3y=14z=23从而an+3n2+14n+23=2［an-1+3（n-1）2+7（n-1）+23）］，即数列an+3n2+14n+23是以a1+3×12+14×1+23为首项，以2为公比的等比数列.∴an+3n2+14n+23=45×2n-1?圯an=45×2n-1-3n2-14n-23，即数列an的通项公式为an=45×2n-1-3n2-14n-23.探究3.已知数列an中，a1=5，an=2an-1+3n+n+1（n≥2），求数列an的通项公式.解：设an+x×3n+yn+z=2［an-1+x×3n-1+y（n-1）+z］，整理得an=2an-1-×3n+yn-2y+z，比较得-x=1y=1z-2y=1，解得x=-3y=1z=3从而an-3×3n+n+3=2［an-1-3×3n-1+（n-1）+3］，即数列an-3×3n+n+3是以a1-3×31+1+3为首项，以2为公比的等比数列.∴an-3×3n+n+3=2×2n-1?圯an=2n+3n+1-n-3，即数列an的通项公式为an=2n+3n+1-n-3.作者单位：湖北省黄石二中数学组。
一道课本习题的教学探讨
扣教材出新题， 是高考命题方向之一， 而
对提高学生思维和对问题的进 ： 教材的丰富内涵是高考命题的源泉，命题者常 想方法进行提炼 ，从而丧失习题潜在的教育功 方法进行提升，
（） ２写出（ ） １中命题 的逆命题 ， 并判断真假 ，
课堂问题 的变式是熟练技能 ， 促进理解的
说明理 由。 已知 ： 直线 ｙ ｘ ２与抛物线 ｙ＝ｘ交 于点 必要步骤 ，数学教学应让学生体验有限变异这 ： ＝一 ￣２ 过程 ， 这些 问题的变异 ， 看似简单重复 ， 实 ： 其 六、 再思考 Ａ。 Ｂ。
： 自己的一些观点：选择课本上一道习题作为教
那么， ．Ｏ Ｚ Ｂ是锐角 ， ， Ａ 直角 还是钝角？ ： 为 效地进行习题课教学？ 在这篇文章中 ， 我给出了 新课程标准要求，学生应尝试从不同角度 两点 ，
思考 问题 ， 一题多解 ， 不仅可沟通各部分 知识 的 什么？
联系 ， 拓宽解题思路 ，Байду номын сангаас少胜多” 并且能够激 “ ， 发学生对数学研究的兴趣。
０
・－—
—！－ —－
通过多角度思考， 提炼方法 ， 变式训练。 编拟开
放性 习题 ， 以此来呈现课本习题的教学功能 ： 巩
义・ ‘ ‘ ’ ｏ Ａ
・ ． ．
固知识， 技能。 拓宽思维， 培养创新与探究能力。
倡导在 以后的教学 中 要重视课本习题 ， 充分挖掘
０ ｉｏ ７＂ － ｆ ． 二、 方法提炼 。 并提升到“ 思想” 层面
位似中心,究竟有几何？——从一道习题教学谈起
定义 在直角三角 形 Ａ Ｃ中求 出 Ａ Ｂ Ｃ和 Ｂ Ｃ的长 ， 再利用 三角函数定义和 Ｂ Ｃ的长求出 Ｂ Ｄ和 Ｃ Ｄ的长 ， 那么这个 题 目的答案就找到了．
２４ 归纳总结 。 ． 区分 异 同
一
数． 学习函数时都是从 特殊 到一般 ， 图象 到性质 ， 从 从 再
性 质到应用． ２ ６ 运用概念 ． ． 形成 系统 概念的形成是—个 由个别到一般的过程 ， 而概念 的运 用则是一个由一般到个别 的过程 ， 它们是学生掌握概念的
“ 比较才有鉴别 ” 数学 的各种 知识 要让学生在 比 有 ， 较 中去思考、 去认识 数学的一些概念和规律 ， 理论性较强 而且 比较抽象， 如果把它与学生熟悉 的（ 已知 的） 相关实
两个阶段． 通过运用概念解决实际问题 ， 可以加深 、 丰富和 体（ 事物 ） 进行 比较， 中理解概念 、 从 掌握规律 ， 学生就会 巩 固学生对数学概念的掌握 ， 并且在概念运用过程 中也有 对它产生极大兴趣 ， 就会主动思考． 如关于“ 轴对称图形 ” 利于培养学生思维的深刻性、 灵活性 、 敏捷性、 批判性和独
比” 得 Ｑ Ｑ １：． 口作 上 ， ｏ： ｃ＝ ２ 过 轴 ， 足为 且 则 垂 图１
；
题 ， 给出的答案为（一 ，） 对此答案 ， 者也没多想． 所 ２０ ． 笔
可学生却给出两个答案．
等 ÷ Ｂ ２ ＝￣ ＝，＝， ＝， ｃ ， ４ ＩＨ了鲫 ÷ 而 ＝∞ ，： ２ Ａ Ｑ
Ｐ， Ｐ就为位似 中心． 对应 点 由“
Ｄ
Ｃ
笔者思考是 “ 标准” 的缺失 ， 还是生： 有误 时 ， 面就有 同 下 学们议论 纷纷 ， 疑位似 中心 Ｑ的存在性． 的质疑 其 质 有 存在 ， 的说如何证明？ 有
关于一道课本习题的探讨
普 通 高 中物 理 教 材 （ 人 民 教 育 出 版社 ） 选修 ３ —１第 ９ ４
页第 ３ 题， 笔者认为 教师用 书 的解释 存在 疑 问， 以致 我 们 在平 时 的 测试 中 ， 对 一些 问题形 成不 同 的理解 ， 希 望 和 大
家共同探讨． 原题 ． 图 １所 示 为 电 流 天 平 ，
对于教师用书 ， 既可 以帮 助教 师 解 决 在 教 学 时 候 遇 到 的 困难 ， 也 对 高 中 物 理教 学具 有 导 向性 ， 应体 现着严谨 、 科 学、 细致、 合理的教学思想． 但 笔者认 为， 对这 道试题 ， 教 师 用 书 中 的解 法 值 得 商 榷 ， 里 面有 些问题 欠妥 ， 在 这 里 和 大
况下 ， 有 游码 的 天 平 为 不 等 臂 天 平 ， 没 有 游 码 的 天 平 为 等
臂 天平 ． 而本 试题 中 的 天平 ， 只能为 等臂天平． 该 试 题 只能
用等臂天平原理来解释． （ ２ ）既 然 是对 电流 的测 量 ， 匝数 小 时 ， 线 框 的重 力 小 ， 但
磁感 应 强 度是 多 少 ？
学 物 理 实 验 室 的线 圈进 行 了测 量 ， 对直 径 ０ ． ０ ３ ５ ｍｍ 的 铜 线 圈， 匝数 为 ５ Ｏ匝 ， 质量 范围在 ０ ． ０ ２ ５ —０ ． ０ ３ ０ ｋ ｇ之 间 ， 而 本
试题 中， 将 求 解 的磁 感 应 强度 Ｂ 反 代 人 ， 所 产 生 的 安 培 力 为 ０ ． ０ ４ ３ ２ Ｎ， 对线 圈为 ９匝 ， 边长 １ ０ ． ０ ｃ ｍ， 重 力 大 概为 ０ ． ０ ２ ５ Ｎ
得 Ｂ－ －０ ． ４ ８ Ｔ．
内砝 码 的 质 量 为 ｍ ， 右盘 内 的质量 为 ｍ ， 线 框 的 质 量 为 ｍ ， 则 由等 臂 天 平 的 平 衡 条 件 ， 有
一道课本习题所引起的思考
、
题 目分 析
变的过程中 ，原 图形上所有点都沿同一个
此 时 四边 形 ＡＢ 为平 行 四边 形 ， ＢＡ 即 与
（） １ Ａ、Ｂ两 点 的纵 坐标 均 为 ｌ ，可 方 向运 动 ，且 运 动 相 等 的 距 离 ，这 样 的 图 考 查 平 行 四边 形 相 对 顶 点 与 ，
一
点 Ａ 与 日 横 坐 标之 和 为 ０＋ｃ＋ ＝
与 日横 坐标 之 和 ，
点 Ａ与 曰 纵坐 标之 和 为 ｂ＋ｄ＋ ＝
来 ，需 指 出 的是 参 考 书 所 提 供 的答 案是 不 对 边 平 行 且 相 等 的 四边 形 是 平 行 四 边 形 ，
条 直 线 上） 而且 相等 ． 一 方 面 ，一 组 Ａ 与 Ｂ纵 坐标 之 和 ． 另 从 而得 出结 论 ：坐 标 平 面 内 ，平 行 四
（ ＞０时 向 右 平 移 ， 当 ＜０时 向左 平 当
Байду номын сангаас
是 平 行 四边 形 ” ．并 会 用 判 定 定 理 判 断 一 坐标问题时 ，可以借助这一方法进行思考． ｎ＋ ） 学 目标 ，学生能用本节所学判定定理或定 平 移 到 Ａ ， 则 Ａ 坐 标 为 （ ，ｂ Ｙ
题 目 （ 教 版 课 标 教 材 数 学 八 年 级 趋 势 来 看 ，我 们 有 必要 对 “ 行 四边 形 与 浙 平 下册 第 ｌ４页作 业 第 ６题 ） 已 知 直 角坐 标 顶 点 坐 标 之 间 的联 系 ” 的问 题 作 进 一 步 探 １ 系内 四个 点 Ａ（， １ ， ｂ ） Ｃ ｃ １ ， 索 与 思 考 ． Ⅱ ） ８（ ，１ ， （ ，一 ） Ｄ（ ，一 ） 四边 形 Ａ Ｃ 一 定 是 平 行 四 ｄ １， ＢＤ
变出课本习题的精彩——对一道课本习题的多角度探究
Ｄ
￣
Ｉ
Ｂ Ｄ ， ＭＤ ： Ｂ Ｄ ． 坼以Ｆ Ｍ： Ｂ Ｄ 听 以
２ ６
３
Ｆ ：Ｆ Ｍ ：Ｊ ） ｌ ＝２ ：１ ：３ ．
（ ２ ） 由Ｂ Ｆ： Ｆ Ｍ ： ＭＤ ＝ ２：１： ３ 可 得
Ｓ △ Ａ ，： Ｊ Ｓ △ ＾ 删 ： Ｓ △ ＾ 肼 Ｄ ＝ ２ ：１ ： ３， 故 可 设
图５
Ｃ
Ｓ △ Ａ 日 Ｆ ＝ ２ ｋ ， Ｓ Ａ Ａ Ｆ Ｍ ＝ ｋ ， Ｓ Ａ Ａ Ｉ Ｍ ｏ ＝ ３ ｋ （ ＞ Ｏ ） ， 则
图３
（ ４ ） 如 果Ｃ Ｅ： Ｂ Ｃ ＝ ｍ， 求 Ｆ： Ｆ Ｎ： Ｎ Ｅ 的值（ 用含ｍ的代数式表示 ） ．
解析 （ １ ） ６ 对． （ ２ ） 由题 意 可得 Ａ Ｆ ￣ ＿ ＝ Ｆ Ｎ ｘ Ｆ Ｅ． 教
ＤＨ ＥＮ
导 学生总 结 出处理 三 角形 面积 关系的
两个 基 本 策 略 ． 即 看 两 个 三 角形 是 否 相
：
，
ＡＤ ＤＨ ＢＥ ＥＮ １
一
故
＋
： １ 。 即
。
似或 两个三 角形是否是 同底 、同高、 等 底、 等高．
探 究３ 如 图 ３ ，在Ｅ Ｙ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中 ． Ｅ 是
上 却是值得 细细 品味 的一 道有研 究价 值 和开发价值的好题．
…
＋ 一 — ＝—— ． ～ 一 一十— 帆 ７ 从 而 可十 得 一
：
．
１
＋ 十
Ｄ Ｈ
１
Ｅ Ｎ
１
Ｆ Ｍ
Ｓ △ ＾ Ｂ ９
Ｂ Ｃ 上一点 ． Ａ Ｅ 与Ｂ Ｄ相交 于点Ｆ ． 延长』 ４ Ｅ 交Ｄ Ｃ 的延长线于点
一道课本习题的联想与拓展
一 －
．
．
Ｂ Ｃ一÷ Ａ Ｏ
１
３ 拓 展
拓展 １ 三角形 两 内等分线 所成 的角 与第 三个 角 ： 的大小关系．
Ｃ
图 ２
Ｚ Ａ）
Ｃ
・ ． ．
Ｂ０ｃ一 ９ 。 ０ ＋
Ａ
联 想 ２ 三 角 形 两 外 角 平 分 线 所 成 的 角 与 其 不 相 ： 邻 的一 个 内角 的大 小 关 系． 图 ３ＡＢ 的 外 角 Ｃ Ｄ 如 ， Ｃ Ｂ 和 Ｂ Ｅ 的 平 分 线 交 于 点 Ｃ ｏ， 探 求 Ｂ Ｃ 与 Ａ 的 试 Ｏ
生 的创 新 意 识 ．
半 分 ＢＣ Ｅ
・
ｃ ＢＯ＋ Ｂｃ 一 Ｉ （ ＣＢＤ ＋ ￣ ＢＣ 。 Ａ Ｅ）一 ９ 。 ０
．
．
＋
‘
Ａ
．
‘
ＢＯＣ＋ Ｃ ＢＯ＋ ＢＣＯ＝ １ ０ ８。 ＢＯＣ 一 １ ０ 一 （ ＣＢＯ ＋ ＢＣ ８。 Ｏ）一 １ ０ 一 ８。
． ．
Ｏ １ ０ 一 （ Ｏｔ 一 ８。 ＢＣ＋ ０ ＣＢ）
。
拓 展 ２ 从 而 还 可 以 拓 展 出 凹 四边 形 ＡＢ Ｃ（ 图 ： ｏ 如 １ 的 一 个 重 要 性 质 ： 。一 Ａ＋ ＡＢ Ａ Ｏ ） Ｏ＋ Ｃ
证 明 ：‘ ＡＢＯ ＋ ＡＣＯ ＋ Ａ ＋ ／ ＯＢＣ ＋
‘ ．
．
ＢＣＥ一 Ａ＋ ＡＢＣ
．
ＡＢＣ４ ＡＣ － Ｂ＝ １ ０ ～ Ａ ８。
‘
ＣＢＤ ＋ ＡＣＢ ＋
Ｂ ＣＥ 一 Ａ ＋
０
．
。 Ａ Ｂｆ 一 ０２ ） ２ Ｂ 一
数学探究从“小”抓起——从一道习题的探究谈起
数 学 探 究 从 ， 起 ‘ ， ‘ 抓
— —
从 一 道 习题 的探 究谈起
厦 门市新店 中学 洪金铃
证法 ２ 同证法 】得方 程 Ｌ６＋ ＝ ． ： ４０ 由一元二 次方程根与 系数的关系， 可知 ｘ ｘ＝ ，ｌ ２ ． ｌ ２ Ｘ＊ ＝ ＋ ６ ｘ４
。
【 摘
． ． ．
０： ・ ＝ ＝ 一 － ｉ 址 丝 ｎ ＝ １
．
ｌ
Ｘ２
Ｉ Ｘ２
学教科书 （ 试验修订本・ 必修） 数 学第二册 （ （ 上） 人教版） 。 例 ２ Ｐ。 。 ）
：ｏ ． Ａ ＬｏＢ ．
证法 ５ 设过交点与原点的直线方程为 ｙ ｋ ≠１ 将 ｙ ｋ ： ＝ｘ ） ＝ｘ
‘ ｌ ｚ一１ ｋｋ＝
： ｏ ＬｏＢ 。Ａ
｜ ｊ ｝
。
＝ｌ － —ｘ￣ ＋ ／ －× １ － ｖ￣－ １ 一
．
。
３、 ５ ＋ ／
’
． ．
３、 ５ － ／
证法 ６ ：设过交点与原点的直线方程为 ｙ ｋ ，将 ｙｋ ＝ｘ ＝ｘ与
联立，
（ 上０ Ｍ
回 塑堡 堕 墼童 塑竺 堡笙！塑 璺
与 ｙ ２ 立， 一 联
一
如 图， 直线 仰 一 ２与抛物线
．
口 ／
相 交 于 点 Ａ Ｂ 求证 ０ Ｊ０ 。 、， Ａ ．Ｂ
一
—
２ １ｋ －一 —
证法 １ ：将 中 ， 得
Ｌ 。鼠 ＋ ＝ ， ４ ０
２ 入 代
解 得
：
一 ） ２． 化 简 得 ２２ ｘ － ＝
助 于学 生 初 步 了解 数学 概念 和 结 论 产生 的过 程 ， 步 理 解 直 观 初
由一道课本习题引发的探究
＋
而 解 出 的ａ的表 达 式 叫 做 （． １ 的特 解 ， ｎ １ ．） ２
ｒ
ｎ ４ ｌ ＿ ｎ ｌ ４－ ｎ＿ｌ ４ ｌ＝５ ． Ｉ ￣ ＋ － ａ
＿
１
．
数学 归纳法
叫线 性 递 推关 系 的 阶．
证 明 因 ａ＝ｐ为ａ＋ｐ ￣ 通解 ， ：ｋ ｎ－ ａ ｌ
，
４１ ＋￣ ｌ ． ． ４ｌ： ４ 一 － ＿ ａ三
３ ６
从 方 程 的 角 度 出 发 ，ｎ４ ￣ ＋ … … ａ－ ａ一 １ ｌ
．
３
（ ． ２ 是关 于％， ｌ 个 二元 非 齐 次 线 １ ．） ２ 的一 性 方 程 ．它 的 解 与对 应 的二 元 齐 次 方 程 ａ ４ ．… … （ － ３ 有 联 系 ， 据 线 性空 间 ． ａ。 － ＿ １ ） ２ 根 有关 知识 ， １ ．） 的 通 解 ： １ ． ）的 通 （．２ ２ （．３ ２ 解＋ １ ．） 特解 ． 然 （ ． ３ 的 通解 为 ： （． ２ 的 ２ 显 １ ） ２
证 明 略．
的 特 解 ， 有 则
（） 代法 ２迭
解 析 ％＝ ％一 １ ４ ＿ ４ ： ３ ４ ｌ － ２ ＋１ ４％－ ＋ ＋ ＋
４＋ ２ ４＋１ ＝… ＝４ 一ａ＋４ －＋４ －＋… ＋ ｎ‘ｌ ｎ２ ｎ３ ４＋ｌ １ ＝—
，
能 ． 自然 会 想 到 如 何 求 该 数 列 通 项 公式 这 一 问 题．笔 者 围 绕 通 项 公 式 求 法 这 一
核 心 问题 ． 试 题 进 行 了解 法 探 究 、 绎 对 演
ａ １（ （ ＋ ＋ ４ １＋ｌ÷ － １ ： 一）４ ４ …＋ ＋ ）ａ ） Ｉ ＝
一道课本习题教学的实践与思考——关于例、习题教学有效性的探讨
（ １ ） 求 一个小 弓形 的面积． 分析： 每个 花瓣 由２ 个 小 弓形
课本 一 习题 的教学 设计为 例 ，谈 点
组成 ， 把 阴影部 分看成 ８ 个小 弓形 的和． 可以计算 一个 小 弓形 的面积 ， 然后乘 以８ ， 而一个小 弓形 的面积等于一个
扇形减一个三角形的面积 解 法１ ： 如 图３ ， 曰 的中点Ｅ Ａ … … …… … 一
面积减 去一个花瓣 的面积 ｓ ７ ， 从 而 得到一个空 白的面积＆ 解 法６ ： 如 图８ ， 由前 面 知 可
通过直接 求小 弓形 、 间接求 空 白 、 割补 、 覆盖、 设 元 等手段 ， 归 纳出求 阴影部 分面积 的基 本方法 ， 即将组 合
计算两个小弓形的面积ｓ 。 ＋ ｓ ２ ， 然后乘以４ ． 解法２ ： 如图４ ， Ｓ ｌ ＋ ｓ 半 圆 一 ． ｓ △ ＾ 棚
１ ｆ ０＼ ２ ｌ ０
＿ 芝 － 耵 ｌ
‘ ’
（ ｓ ・ ＋ ｓ ２ ） － （ 詈 一 ｌ
求 空 白 的面 积
到 的不少题 目都有一定 的难度 ， 要 求学生有 较强 的观察 能力 ， 所 以不少 学生 难免有 畏难 情绪 ， 不愿 意作 深人 思
Ｃ
． ｓ ・ 形
丽 ９ ０竹
２ ＿
一
、
习题 分 析
本 题是人 教版九 年级上册 第 １ １ ４ 页习题２ ４ ． ４ 第３ 题，
是在学生 已学 习了三角形 、 矩形 、 正方形 、 圆、 扇形 、 弓形
引号 ） ２ ．
ｓ ＝ ８ Ｓ １ ）
（ ２ ） 求两个小 弓形 的面积 的和．
扇形 ） ？ ｉ求 ， 然后 乘 以８ ， 得 到所
由一道课本习题引发的探究教学
，
（ 故 了（ ＿ ． ２＿ ＋ ２ ） ×２ ≥ ）
评 注 对 于 形 如 。 ＝ ％ 型 的数 列 ， 待定 系数 法 转 化 为 用
例 已 在 列 ｝，２ 。 导求 １ 知 数 ｛中 ｌ ２ ， ｎ ，＝ ＝
‰ ＋ Ａ・
（ Ａ ） 其 中Ａ 待定 系数 ， ・ ， 为 与 。
得Ａ 了 一 １
，
所 了 一（÷ ）数 ｛了 以． ２一 ， ％Ｉ ｒ Ｉ 故 一 ）
： ２×
，
是 首 项 为 。一 ： ２ 公 比ｑ 一 的等 比数 列．所 以０－ Ｉ ：２ ，
探 究
１ ．形 如 ｌ ＝ ％ （ ≠０， ａ＃Ｏ， １ 型 通项 的求 法． ≠ ）
２ 形 如‰ １ ＋ （ ． ＝ ％ ≠０ ａ ， ＃Ｏ ｄ ， ＃ｏ 型通 项％ 的求法 ． ， ≠１Ｂ ）
例２ 已知 在 数 列 ｛ｎ 中 ，１１ ａ． 一 ａ＋ 求 ａ ｝ ｎ： ，ｍ＝ ２ ．３ ， １ 解 析 令 ．Ａ・ ｎ＝ ２ ＋ ３ ） 与 ＋ ２ ，３ ＋ ３＊ 一 （ Ａ・ ， Ｊ ｌ ０＋ 对 比 系数 可 一
ｄ 的等 比数 列 ， 而 ：ｎ Ａ （）Ｏ－ Ａ （） 从 （． 厂１）ｎ＿ 厂ｎ． ＋ ｌｌ
那么 我 们是 否 也 可 以用 以 上 的配 凑结 构— — 待 定 系数 法 来
解决 课本 习题 呢？
求法 ．
由 ％ ２ 一 ３ ｎ ） 可设 ＋ ％＿ （ ，＋ ｑ ２， 比系 数 ＝ ｌ 珥 （ ≥３ ， ＋ Ａ ｌ ｎｌ 卜 对 卜Ａ ）
解 析 由 ％＝ ％一 ３ ２得 ％＋ ｌ３ ％ ｌ ２ ， 及 ａ－ ａ一 ２ ｌ ％＿ ＋ ， 一 （ ＋ ） 以 ＝ ＿ ．３ ． ＝ ｌ
关于一道课本习题的教学思考
第二 ， 改变原来复 习时常用 的“ 用条 件分析方 法” 为
“ 用关键词选择方法” ． 根据 已知推 结论也 是解决 问题 的
过程， 但 是 每个条 件都 可 以涵盖 多个方 向的结论 ， 哪个
２ ９
Ｅ — ｍ ｉ ｌ ： ｚ ｘ ｊ ｘ ｃ ｋ ｌ ｋ ＠１ ６ ３ ・ ｃ 。 ｍ
Ｚ ＨＯＮ ＧＸＵ Ｅ Ｊ ￣ ＯＸ ＵＥ Ｃ ＡＮＫＡ Ｏ
习题 研 究
关 于 一 道 课 本 习题 的 教 学 思 考
广 西 南宁 市第 十四 中学（ ５ ３ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ ） 邓 云锋
课本 习题 蕴藏着 丰 富 的内涵 ， 挖掘、 提高课 本 习题 的教 学价值 ， 是 教师应 承 担 的责任 ， 也 是完 成教 学任 务 的必 要环 节 ， 教 师应 高度 重视课 本 习题 的教学． 下 面就
式， 将 实际 问题转 化 为数学 问题． 对利 润 问题 的探 究有 利于学生巩 固二次 函数 图像与性 质 的相 关知识 ， 培养学
生 良好 的 思 维 习 惯 以 及 用 二 次 函 数 模 型 解 决 实 际 问题
入 住 的 房 间数
５ ０
收 入
利 润
１ ８ ０× ５ ０
熟悉 的 内容开 始 ， 逐 渐补 充完 整． 知 识 结 构 的梳 理 不 一
生亲身经历 的思考过程 ， 才能使 其掌握 相应方法． 例如 ， 《 切线 的判定 复 习课 》 其 关键 词是 “ 证 切线 ” ， 即“ 证垂直” ， 复 习就从 这个 关键 词 出发 ， 由此 列 出证垂 直的各种方法—— 知识结 构框架构建 ， 然后再考 查每种
中学 教 学 参 考
由一道课本习题演变出来的中考题赏析(2012.1)
由一道课本习题演变出来的中考题赏析宣威市热水镇一中 高体明 邮编 655415纵观近几年全国各省市的中考数学试题可以发现，有很多题目都源于课本，特别是一些由基础知识推广与拓展、培养学生理解问题和分析问题、解决问题的题目，大多是由课本中的例题（或习题）改编而成，都能在课本上找到原型。
这类试题紧扣课本和大纲，体现了基础性和学好课本知识的重要性，有着较好的导向作用，对于引导师生重视基础、重视教材、研究教材、用好用活教材，均大有好处。
现撷取一例分析鉴赏。
原题：（新人教版八年级上册第16页综合运用第9题）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB=DE ，AC=DF ，BE=CF 。
求证：∠A=∠D 。
评析：本习题主要训练学生运用“边边边”条件判定三角形全等，进而运用全等三角形的性质得出所求证的角相等。
由条件BE=CF 不难得出BC=EF ，又有已知条件AB=DE ，AC=DF 。
利用“边边边”条件可得△ABC ≌△DEF,从而∠A=∠D 得证。
就是这样的一道习题，却成了2010年几个省市中考命题的源泉，正所谓中考题是“源于课本又高于课本”的变式题。
一、保持原图不变，变换已知条件和结论。
例1、（2010年福建福州） 如图，点B 、E 、C 、F在一条直线上，BC ＝EF ，AB ∥DE ，∠A＝∠D。
求证：△ABC≌△DEF． C E B F DA C EB FDA评析：将原题条件和结论变化得本题，从另一个角度考查三角形全等的“角角边”判定。
由AB∥DE 可得∠B ＝∠DEF ，又有∠A＝∠D，BC ＝EF ，所以△ABC≌△DEF。
例2、（2010 重庆江津）已知：如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AC ∥DF ．求证：⑴ △ABC ≌△DEF ；⑵ BE ＝CF ． 评析：利用原题图，变化部分条件和结论得考题，考查学生对三角形全等的条件及全等三角形的性质的掌握情况，判定条件由“边边边”转化为“角边角”或“角角边”。
由一道课本习题引申出的一组变式题
由一道课本习题引申出的一组变式题文/袁秀青课本是知识与方法的重要载体，也是高考试题的主要来源，相当数量的基本题、创新题都源于课本，即使是综合题，也是由基础题组合与加工而成的，离开了课本的复习必将是无源之水，无本之木.下面通过对高中数学新教材第二册(上)第132页第6题的研究，来分析近几年的高考试题是如何对其进行改编的.原题 在椭圆2214520x y +=上求一点P ，使它与两个焦点的连线互相垂直.变式题1 椭圆22194x y +=的两个焦点是F 1、F 2，点P 为它上面的一动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是 .分析 受原题的启发，无论是钝角还是锐角，都是以直角为参照，该题的解法很多，但以几何法最为简捷.如下图所示，以坐标原点O 为圆心，以|F 1F 2|为直径画圆，与椭圆交于A 、B 、C 、D 四点.由“直径所对的圆周角是直角”可知，当点P 位于A 、B 、C 、D 四点时，∠F 1PF 2为直角，当点P 位于椭圆上的弧AB 或弧CD 上时，∠F 1PF 2为钝角，锐角的情况不言而喻，故点P 的横坐标的取值范围是(变式题2 双曲线221916x y-=的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为 .分析 该题将原题中的椭圆改为了双曲线，而点P 到x 轴的距离等于点P 的纵坐标的绝对值，点P 的坐标即为以|F 1F 2|为直径作圆与双曲线的交点的坐标.易求得点P 的纵坐标为165±，故点P 到x 轴的距离为165.变式题3 已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2为直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为A.95 B.3 C.94 分析 该题是将原题中的12FPF ∠为直角改为了△F 1PF 2为直角三角形，题中没确定哪个角为直角，从而使该题更具有开放性.当∠F 1PF 2＝90o 时，只要找到以12FF 为直径的圆与椭圆的交点的纵坐标即可，显然以12FF 为直径的圆的方程227x y +=与椭圆221169x y +=无交点，故此时无解；当∠PF 1F 2=90°或∠PF 2F 1=90°时，易求得点P 到x 轴的距离为294b a =.选D.变式题4 F 1、F 2是椭圆C ：22184x y +=的两个焦点，在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为 .分析 该题只是将原题中的求点的坐标改为了判断点的个数，但解法是相同的，即求以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的交点个数.显然，以|F 1F 2|为直径的圆的方程为224x y +=，它与椭圆C ：22184x y +=相切于椭圆的短轴端点，故点P 的个数为2.变式题5 设椭圆2211x y m +=+的两个焦点是F 1(－c ，0)和F 2(c ，0)，c >0，且椭圆上存在点P ，使得PF 1与PF 2垂直，求实数m 的取值范围.分析 该题是在椭圆中引入参数，将求点的坐标改为了“求参数的取值范围”，但解法是相同的.要使椭圆上存在点P 使PF 1⊥PF 2，则只需以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆有交点，也就是椭圆的焦距要大于或等于椭圆的短轴长，即c ≥b ，易得.下面将上述问题推广到一般情况：结论1 已知F 1、F 2是椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的两个焦点.(1)若椭圆上存在点P ，使PF 1⊥PF 2e ≤＜1.(2)若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 22＜e ＜1.(3)若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2=θ，则椭圆的离心率的范围是sin 2e θ≤＜1.证明 (1)若存在点P ，使PF 1⊥PF 2，则表明，于是有－，解得2e≤＜1.(2)若存在点P ，使∠F 1PF 2为钝角，则表明c>b ，于是有，解得2＜e ＜1.(3)在△F 1PF 2中，由余弦定理得，222212121212122cos ()2(1cos )F F PF PF PF PF PF PF PF PF θθ=+-⋅=+-⋅+.∴122212(1cos )2(1cos )()2PF PF PF PF b θθ+⋅+=≤+. ∴222(1cos )b a θ≤+，即2222222(1cos )2cos 2a c a a θθ-≤+=.解得sin 2e θ≤＜1. 结论2 椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)上对两焦点张角为θ()的点P 的个数由θ与1022arctan c F P F b ∠=(P 0为椭圆短轴的一个端点)的大小确定.当θ＞2arctan cb时，满足条件的P 点的个数为0；当2a r c t n c b θ=时，满足条件的P 点的个数为2；当θ＜2arctancb时，满足条件的P 点的个数为4.分析 若点P 为椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)上的动点，则有22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=⋅∵122PF PF a +=，∴当12PF PF =，即点P 在短轴上时，12cos F PF ∠有最小值，从而12F PF ∠有最大值，于是可知结论2成立.。
对一道课本习题的探究与思考
专题 探 讨
’
OG ZH N XU
辩营
群 豁
甘 肃 会 宁 县 第二 中学 ( 7 3 0 7 0 0 )
基 础 教育 正 由 应 试 教 育 向 素 质 教 育 转 轨 在
．
董 力仁
，
“
”
“
”
不 同解 法 请 同学 们 尝 试 看 谁 解 得 快 解 得 好 然 后
．
，
．
这个 过 程 中 观 念 的 转 变 是
，
．
，
去 思 考 去 发 现 实践表 明 这 样 做 不 仅 能极 大 的 激 发
，
+ fP F 2 『 6
’ ． ．
瓶
2 lP F 】 1
一
学 生 学 习 数 学 的兴 趣 和 热 情 而 且 十 分有 助 于 学 生 素
，
。 。 IP F l } + 1P F 2 f + 。 。 {P F 】 + I P R l I
， ，
一
切 工 作 的前提 只有 在
．
放 手让 学 生 去 思 考讨论 去 发 现 创 造 问 题 提 出 后 犹
，
．
，
新 的教 育理 念 的指 导 下 才 会 有 新 的教 育 实 践 并 把
，
如
一
石 激 起 千层 浪 学 生 的 探 究 热 情 被 激 活 他 们 跃
，
．
这 种 教 育实践 由 自发 的 经 验 的 高 度 提 升 到 自觉 的
．
一
步思 考 这 个 问题 能 不 能运 用 其
，
一
不 知 学 到 了什 么 遇 到 新 问 题 不 知 如 何 处 理 只 知 做
“0度角”的陷阱——从一道课本习题的错解谈起
这两道题都是忽略 了 ０度角 的存 在 ， 而造成 了解 答
的不完善． 希望读者在今后的解题 中要 注意类似 的细节
处 理 ， 免 错 误 的发 生 ． 避 （ 责任 编 辑 金 铃）
② 当 ＭＢ Ａ一 ＭＡＢ一０时 ， 迹 方 程 为 Ｙ一０ 。 轨
３ ２
ｆ教参 １ 总。 学学考 旬。 。第期 中 ｏ
图 １
当点 Ｍ 在 ｚ轴上方时 ，
ｔ ｎｒ 一 ａ ｔ ，ａ ｔ ，
故动点 Ｍ 的轨迹 方程为 （ｚ ）＋１ 一９ ４ 一３ ６ ．
Ｊ
Ｂ
厂
所 以， 一
一
一＿ 丁＋ｌ ｘ
，
Ａ
；
１一
（ ＋ １ ）
即 ３ 一 一３ 。 ．
当点 Ｍ 在 ｚ轴下方 时 ， ｍ 一 ｔ ａ 仍可得上面方程．
又 ａ ２ 一 ，
． ．
， 一一 ｙ ｔ ａ ，
图２
分析 ： 此解答 是错误 的 ， 忽略 了 当点在 Ｂ（ ， ） ， １０ 时 ＡＯ Ｂ的平分 线 与线 段 ＡＢ 有无 数 个交 点 ， 即为线 段
Ａ Ｂ． ．
１ ＡＭＩ ｌ Ｍ １ ＞ Ｂ ．
所 以此题 的正确结果为 ：
① 当 ／Ａ Ｂ ０时 ， 点 Ｍ 的轨 迹 方 程 为 （ｚ ３ Ｏ ≠ 。 动 ４一 ）
０
因此点 Ｍ 一定在线段 Ａ Ｂ垂直平分线 的右侧 ， 所求 的轨迹方程为双曲线 ３ 一 一３的右支 ， 不包括 ｚ轴 且
由一道课本习题引出的解题策略及应用
成 等差数 列
设 ｏ ｉ ＝ ０一 ｄ， ｃｓ ＝ ０＋ ｄ ， ｓ ＝ 一旦 ， ｃ０ｓ ｓ ｎ ６ｏ 即 ｉ ｎ
ａ
．
【 ＋ｄ ：３ （ ６ ）
．所 求的 四个 数 为 １ ｄ６ ２ 、５或 ， １ 一 ２ 、０ ２ ８
．
．
，
１ ：一
雩 。 ，
例ｌ ＜ ＜ ｓ ＋。 ＝ 言求ｔ 的 。 ： ， ｃ 一 ， ｇ 值 若ｏ ｉ ｓ ｎ
思路 分析 ： 由题设 可构造 一个 等差数列 ｓ ， １ ｃｓ 则可将等差 中项 一１ ｉ 一面 。 ， ｎ Ｉ置换成 ：ｉ ＝ 面 ６ ｓ ｎ Ｉ
例 ４ 设 ， ： ，
Ｏ ｔ ＋ ＋ ＝ １ 求证 ： Ｊ ， ０
思 分 ： 设 构 一 等 数 ｛ ， 将 差 项 置 成 ， ｙ 吉 ｄ ＝ 路 析由 可 造 个 差 列 ＋，， 可 等 中 ｛ 换 ｛ ＋＝ ＋， 题 则
１
ｊ
一
ｄ 代 人后 再结 合基 本不 等式 可证得结 果 。 ， 解： 由对称 性不 妨设 ：
维普资讯
第 ２卷 第 １ ２ 期 ２０ ０ ２年 ５月
绍
兴
文
理
学
院
学
报
Ⅷ
２ １ ２ Ｎｏ
Ｊ Ｕ Ａ ＦＳ Ｏ ＲＮ Ｌ Ｏ ＨＡＯ Ｉ Ｇ Ｕ ｖ Ｒ ｒ Ｙ Ｘ Ｎ Ｎｒ Ｅ Ｓ ｒ
Ｍａ ２ ０２ ｖ． ０
由一 道 课 本 习题 引出 的解 题 策 略 及 应 用
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强 的 识 别
及 综合解 合人 教版
一
道 习 题
学们带来启示 与帮助． 题 目： 图 ｌ用长 为 ３ ｍ 的篱 笆 围一 个 如 ， ０
一
１． ５ 当 ＝ 时 ， Ｓ有最 大值 ， 大 １２５ 所 以 Ｓ虽 ＝ １ ．， 当宽 为 ７ ｍ， ． 长为 １ｍ 时 ， 同的面积最 大 ， ５ ５ 菜 最大值为 １２ ｍ ． ． ｚ １５
所 以 Ｓ ｔ ６ ７ ， 中 Ｏ ｔ６ ＝２ ｔ ２ 其 － ＋ ＜＜ ．
（ ） Ｓ ｔ ６＋ ２ ３ 由 ＝ － ｔ７ ， ２ 得 Ｓ （ ３２ ３ ＝ｔ ） ６． 一 ＋
２ｘ ２ ０ ０ ＋ ０ （一 ０ ２１０ １） ０ ＋ ８ — ８ ’
～
Байду номын сангаас
・ ． ．
当 ＝ 时， ） 最 值 １ （ ＋ ０ 寺）（ 小 有
二
解得 ｆ ２ ｔ ４ ｉ ，＝ ， ＝ ２
一
段 的长 度 为 （０ ｃ ． ２ 一 ）ｍ
叶
ｉ
即运动开始后第 ２ 秒或第 ４秒 ． Ｂ ＡＰ Ｑ的
面积等于 ８ 方厘米． 平
这两个正方形的面积之和为 （ ） 车 ＋
，２ 一 、 ０ ２ ４ 一
一 一
（） ２ 根据题意 ， Ｓ ６ １一 １（－）２， 得 ＝ ｘ ２ ６ ｔ・ｔ
米／ 的速度移动 ， 秒 如果 Ｐ Ｑ两点分别 到达 、 、 Ｃ两点后就停止移 动． 据此解答下列问题 ： （） １ 运动开始后第 几秒 ， Ｂ ＡＰ Ｑ的 面积等
｛则 的几何 图形 ， 我们可以直接利用面积公 式计
算 ； 于不 规则的几何 图形 ， 对 我们 需要将其转
ｊ化为几个规则 的几何图形 的面积 的和或差来
２１年１ ｏｏ ２月
于 ８ 方厘 米 ？ 平
（） ２设运动开始后第 ｔ 秒时 ， 五边形 Ａ Ｑ Ｄ ＰＣ 的面积 为 ｓ 平方厘米 ． 出 ｓ与 ｔ 写 的函数关系
式， 并指出 自变量的取值范 围； （） ３ 求出 的最小值及 ｆ 的对应值．
Ａ Ｄ
图 ３
思路点拨 ： 利用变量 表示 动点的运动路
程 。 而借助几何图形之 间的面积关系建立方 进
程或函数关 系式 ， 从而求 出方程 的解或函数 的
最值．
解析 ： 设运 动的时间为 ￡ ， Ａ 秒 则 Ｐ为 ｔ 厘 米 ， 为（ 一） ６ｆ 厘米 ， 口为 ２ 厘米 ， 曰 ｔ ｆ （） １根据题意 ， ２・６ ｆ・１ ８ 得 ｔ（一） ＝ ，
计算．
语数外 学习 （ 九年级 ）
用图形 的有关条件和性质 ，建立函数关系式 ，
‘ 同时还要考虑 自变量 的实际意义 ， 而利用二 进 次函数 的图象和性质确定最大或最小 面积． 值 得 注意的是 ， 计算几何 图形的面积时 ， 于规 对
为 ６厘米 ， Ｃ的长为 １ Ｂ ２厘米 ， Ｐ从 点 Ａ 出 点
发 ，沿边 Ａ Ｂ向点 Ｂ 以 Ｉ 米 厘 眇的速 度 移 动 ， 同 时 点 Ｑ从 点 出 发 沿 边 Ｂ Ｃ向点 Ｃ以 ２厘
１
一
ｌＯ １ ． ． Ｏ ２ ５
一
：
因为 Ｏ ｔ６ ＜＜ 。 所以， ｔ３秒时 ， 制、６ 平方厘米 ． 当 ＝ Ｓ ＝３ 总之 ，同学们要善于抓住 图形的特点 ， 利
所以 ， 这两个正方形 的面积之和的最小值
为 １ ．ｃ ２５ ｍ ．
变 式 ３ 如 图 ３ 矩 形 Ａ Ｃ 中 ， 的 长 ： ， 在 Ｂ Ｄ 曰
图 ２
（） １ 设矩 形 的一 边 为 ｍ， 积 为 Ｙｍ ， 面 求 Ｙ 于 的 甬数 关 系 式 ． 写 出 自变 量 的取 关 并 值范 同：
矩形 的长 和宽 ，借助面积 的表达式建 立 函数
关系式 。再结合 相关 函数 的性质求 出面积 的
（ ） 为何值时 ， ２当 所同苗圃的面积最大 ，
边 靠墙 的矩形 菜 同． 长 １ｍ． 墙 ８ 这个 矩形 的
长、 宽各 为多 少时 ， 园 的面积最 大 ， 菜 最大 面
积是多少？
Ｄ Ｃ
变 式 １ 如 图 ２ 用 长为 １ ： ， ８ｍ的篱 笆 （ 虚
线 部分 ） 围成两 面靠墙 的矩形苗 圃 ，
图 １
思路点 拨 ： 用长 为 ３ｍ 的篱笆 只 同 了矩 ０ 形菜 园的ｉ边 ，因此我们需 要用未 知数表示