常用的无穷级数
无穷级数知识点
⽆穷级数知识点⽆穷级数知识点⽆穷级数1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯⼀，即：1lim n k n k S u ∞→∞==∑存在，称级数收敛。
2.若任意项级数1n n u ∞=∑收敛，1n n u ∞=∑发散，则称1n n u ∞=∑条件收敛，若1n n u ∞=∑收敛，则称级数1nn u ∞=∑绝对收敛，绝对收敛的级数⼀定条件收敛。
. 2. 任何级数收敛的必要条件是lim 0n n u →∞=3.若有两个级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑，11,n n n n u s v σ∞∞====∑∑则①1()n n n u v s σ∞=±=±∑，11n n n n u v s σ∞∞===∑∑。
②1n n u ∞=∑收敛，1n n v ∞=∑发散，则1()n n n u v ∞=+∑发散。
③若⼆者都发散，则1()n n n u v ∞=+∑不确定，如()111, 1k k ∞∞==-∑∑发散，⽽()1110k ∞=-=∑收敛。
4．三个必须记住的常⽤于⽐较判敛的参考级数：a) 等⽐级数：0111n n ar ar r ∞=?-=??≥?∑,收敛，r 发散，b) P 级数： 11p n n ∞=>?=?≤?∑收敛，p 1发散，p 1c) 对数级数： 21ln pn n n ∞=>?=?≤?∑收敛，p 1发散，p 15.三个重要结论①11()n n n a a ∞-=-∑收敛lim n n a →∞存在②正项（不变号）级数n a ∑收2n a ?∑收，反之不成⽴，③2n a ∑和2n b ∑都收敛n n a b ?∑收，n na b n n∑∑或收6．常⽤收敛快慢正整数 ln (0)(1)!n n n n a a n n αα→>→>→→由慢到快连续型 ln (0)(1)x x x x a a x αα→>→>→由慢到快7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常⽤技巧1.达朗贝尔⽐值法 11,lim 1,lim 0)1,n n n n n n l u l l u l µµ+→∞→+∞=>≠??=??收发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时）2. 柯西根值法 1,1,1,n n n n l u l l n l µ=>??=?收发（当为某次⽅时）单独讨论3. ⽐阶法①代数式 1111n n n n n n n n n n u v v u u v ∞∞∞∞====≤∑∑∑∑收敛收敛，发散发散②极限式 lim nn nu A v →∞=，其中：1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数。
(完整版)无穷级数整理
无穷级数整理一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim >=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 （1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n nn x x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 （1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x ∈(-∞, +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，x ∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1]. ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x ∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，x ∈[-1, 1]. ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立） 若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（1）在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分： （1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；； （4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax +++=⎰)cos sin (1cos 22； （5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。
数学竞赛难点之无穷级数
第四章 无穷级数4.1.基本概念与内容提要级数11n n n n a ca ∞∞==∑∑与收敛性相同。
若级数11n n n n a b ∞∞==∑∑与都收敛，则级数1()n n n a b ∞=±∑也收敛，且111()n n n n n n n a b a b ∞∞∞===±=±∑∑∑。
若级数11n n n n a b ∞∞==∑∑与都发散，则级数1()n n n a b ∞=±∑不一定发散。
若级数11n n n n a b ∞∞==∑∑收敛，发散，则级数1()n n n a b ∞=±∑必发散。
由级数1()n n n a b ∞=+∑收敛不能得到级数11n n n n a b ∞∞==∑∑与收敛。
11111,1;11n n n n qq q q q∞∞--==<=≥-∑∑等比级数当时收敛且当时发散。
P 级数11p n n ∞=∑，当p>1时收敛，当01p <≤发散。
其中调和级数11n n ∞=∑发散。
级数11n n k ∞=+∑发散，其中k 为正常数。
级数11()n n n a a ∞+=-∑收敛lim n n a →∞⇔存在。
如果级数1n n a ∞=∑收敛，则lim 0n n a →∞=。
如果lim 0n n a →∞≠，则级数1n n a ∞=∑必发散。
改变一个级数的任意有限项，不改变其敛散性，但在收敛时原级数的和改变。
收敛级数加括号后仍收敛于原级数和。
若加括号后所得级数发散，则原级数也发散。
正项级数审敛法：()n 1n 11111.S 2.lim 0,n n nn n n n n n n n na Ma l lb a a b b ∞=∞∞∞∞→∞====⇔≤=>⇒⇒∑∑∑∑∑正项级数的收敛准则：收敛正项级数比较判别法：大收小必收，小散大必散。
若则收敛收敛；发散发散。
n n 1111111lim 0,lim ,13.0111n nn n n n n n n n n n n n p n n n n a a b a b a b b a p a n ρρρρρ∞∞∞∞→∞→∞====∞∞∞====⇒=+∞⇒=≤<>=∑∑∑∑∑∑∑若则收敛收敛。
无穷级数求和的方法及应用
无穷级数求和的方法及应用在数学领域中，无穷级数是一个十分重要而又有趣的概念。
无穷级数就是指一连串无穷多个数字的和。
比如1+2+3+4+5+……便是一个无穷级数。
然而，对于无穷级数的求和问题，一般而言是没有简单的方法可以直接求得。
因此，学者们为了求解无穷级数的和而不断尝试提出了各种不同的方法和技巧。
下面我们就来探讨一些无穷级数求和的方法及其实际应用。
1. 等比级数求和法等比级数的定义是一个级数的每一项都是前一项的某一常数倍数。
比如1+3+9+27+……就是一个等比级数，因为它的每一项都是前一项的3倍。
等比数列求和的通用公式便是：S = a1/(1-r)其中，S为等比数列的和，a1为初始项，r为公比。
例如1+3+9+27+……这个等比级数的公比为3，初始项为1，那么它的和值为：S = 1/(1-3) = -1/2从这个推论我们可以得出，对于任何一个公比值小于1的等比级数而言，它的和值均为有限值，而对于公比值大于等于1的等比级数来说，其和值会趋向于无限大或者无限小。
2. 泰勒级数求和法泰勒级数是一个函式在某一点的邻域内的幂级数展开式，通常来讲泰勒级数能够将一个函数近似地展开成一个无穷级数的和。
从这个角度出发，泰勒级数便成为了一种常用的工具。
例如，我们可以将sin(x)展开成下面的无穷级数：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...这个式子就是sin(x)的泰勒级数。
我们可以将其中的项数截断，在有限的项之下求出sin(x)的近似值，这便是泰勒级数的主要用途之一。
3. 二次收敛法二次收敛法又称为牛顿-黎曼收敛法，它同样是一种求解无穷级数和的有效方法。
通常来讲，对于大部分的收敛级数，利用这种方法能够得出较好的求和结果。
例如，我们可以使用二次收敛法求解1+1/4+1/9+1/16+……的和。
这个级数可以被写成：1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ...接着我们可以采取牛顿格式将其求和，先做差分运算得到：S1 = 1 - 1/4 + 1/9 - 1/16 + ...然后构造另外一个收敛级数：S2 = 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ...用二次收敛法将这个级数求和，得到：S2 = π^2 / 6接着利用上下式子相减的方法，我们可以得到：S1 + S2 = π^2 / 6进一步将S1、S2两个式子相加减，消去其中的奇数项、偶数项即可得到1+1/4+1/9+1/16+……的和值，即π^2/6。
无穷级数(全)
无穷级数1、无穷级数：表达式 +++++n u u u u 321 称为无穷级数,简称级数.记作∑∞=1n nu, 其中n u 称为级数的一般项.2、部分和: 级数∑∞=1n nu的前n 项和 ∑==nk kn uS 1称为级数∑∞=1n nu的部分和.3、收敛的定义: 如果级数∑∞=1n nu的部分和数列}{n S 有极限S ,即S S n n =∞→lim ,则称级数∑∞=1n nu收敛.S 称为级数∑∞=1n nu的和, 并写成： ++++=321u u u S ∑∞==1n nu.如果}{n S 没有极限, 则称级数∑∞=1n nu发散.4、常数项级数收敛的必要条件：若级数∑∞=1n nu收敛，则必有0lim =∞→n n u ，反之若0lim ≠∞→n n u ，则级数一定发散5常用级数敛散性判定方法： ①等比级数：∑∞=0n n aq ，当 1q < 收敛，且级数收敛于qa -111q ≥ 发散当然等比级数的敛散性也可以由等比级数的部分和数列来判断：若S 存在则收敛，反之则发散. ②P-级数：∑∞=1n P n 11p >收敛，1p ≤发散(p=1时为调和级数)；③常数级数：∑∞=0n C 当0≠C 时级数发散，0=C 时，级数收敛.6、级数收敛的性质 以下假设∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛于S 与T , 则①∑∑∞=∞==11n n n nu u λλ, (λ为常数). ②∑∑∑∞=∞=∞=±=±111)(n n n n n n nv u v u.③∑∞=1n nu收敛⇔对任意的非负整数m ,有∑∞+=1m n nu收敛.即: 在级数前面去掉或加上有限项不影响级数的敛散性. ④若S un n=∑∞=1,则将级数的项任意加括号后所成的级数S n n=∑∞=1σ. 反之不然.7、正项级数敛散性的判定方法： ①充要条件：部分和数列有界②比较法：对级数的缩放，利用已知的级数来判断未知级数的敛散性；适用于含有P(型)-级数、、多项式和正余弦的级数.其中P(型)-级数、对数、多项式主要是删减低次项和常数项，而正余弦主要是利用其小于1的性质.③比阶法：找到一个已知敛散性的级数，通过其与需求级数作商曲极限，来判断需求级数的敛散性.适用于P(型)-级数，等比级数、多项式等.定义如下：设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 均为正项级数,若L v u nnn =∞→lim，则(1)当L=0时,若∑∞=1n nv收敛,则∑∞=1n nu也收敛；(2)当L=+∞时,若∑∞=1n nv发散,则∑∞=1n nu也发散.(3)当0<L<+∞时,∑∞=1n nv与∑∞=1n nu有相同敛散性.④比值法：通过对级数通向第n+1项与第n 项作商取极限来判断级数敛散性.不适用含有对数、多项式和正余弦的级数.定义如下：设∑∞=1n n u 为正项级数,若ρ=+∞→nn n u u 1lim,则(1)1<ρ时, 级数∑∞=1n nu收敛；(2) 1>ρ或+∞=ρ时, 级数∑∞=1n nu发散；(3)1=ρ时, 级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.⑤其他常用方法(1)关于级数中带有多项式的分式方程的：ⅰ分子最高次≥分母最高次则级数一定发散； ⅱ分子最高次＜分母最高次，则用比阶法来判断. 设sn n V 1=（s 为分子最高项-分母最高项的差值） (2)关于级数中带有对数的：用比阶法题目中()c n U tn +=ln ，就设tn n V 1=作商取极限，需要用L ，hospital 定理8、交错级数的审敛法：（莱布尼茨定理) 设∑∞=--11)1(n n n u 为交错级数, 若满足(1) n n u u ≤+1, ,2,1=n ； (2) 0lim =∞→n n u , 则 ∑∞=--11)1(n n n u 收敛,9、任意项级数的绝对收敛和条件收敛 ①绝对收敛的级数∑∞=1n nu ：∑∞=1||n nu 收敛；②条件收敛的级数∑∞=1n n u：∑∞=1||n nu发散, 但∑∞=1n n u 收敛.③∑∞=1||n nu收敛 ⇒ ∑∞=1n n u 收敛. 反之不然.④此类级数多用比值法来判断绝对值级数是否发散 ⑤若任意项级数∑∞=1n nu条件收敛，则其所有正项或者负项构成的级数均为发散的.10、函数项级数①定义: 设 ),(,),(),(21x u x u x u n 是定义在I 上的函数,则++++=∑∞=)()()()(211x u x u x u x u nn n称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.②收敛域(1) 收敛点I x ∈0—— ∑∞=10)(n nx u 收敛；(2) 发散点I x ∈0——∑∞=10)(n nx u 发散；(3) 收敛域D —— ∑∞=1)(n nx u 的所有收敛点的全体D ；(4) 发散域G ——∑∞=1)(n n x u 的所有发散点的全体G .（5）解题方法：已知级数∑∞=1)(n nx u，求其收敛域.ⅰ用比值法算出大致收敛域：）（的式子关于x 1Q x lim==+∞→nn n u u ρ，令）（x Q <1，算出x 收敛大范围（a ，b ），收敛半径R=2b-a （()∞++∞∞-∈可以为R R ,,） ⅱ将端点值带入级数∑∞=1)(n nx u中，算出∑∞=1)(n n a u 与∑∞=1)(n n b u 的敛散性，判断端点值是否可以取到，过程可以略过. ⅲ综上所述，写出级数∑∞=1)(n nx u的收敛域③和函数)(x S —— ∑∞==1)()(n nx u x S , D x ∈.解题方法：已知级数∑∞=1)(n nx u，求其和函数.ⅰ求出其收敛域；ⅱ将级数经过求导或者积分，得到一个等比级数 ⅲ用等比级数收敛公式qa -11算出和函数的导数或者原函数的表达式；ⅳ将求出的表达式积分或求导，写成)(x S 的形式，并注明收敛域.【注】已知级数∑∞=1)(n nx u，求∑∞=1n n V 的和ⅰ-ⅳ步骤同上ⅴ将n n V x u 与)(建立起联系，想当x 为何值时n n V x u =)(，然后将x 带入)(x S 中.11、函数项级数的展开式.(1) f (x ) = e x= ∑∞=0!n nn x , x ∈(-∞, +∞);(2) f (x ) = sin x = ∑∞=++-012!)12()1(n n n xn ,x ∈(-∞, + ∞);(3) f (x ) = cos x = ∑∞=-02!)2()1(n nn x n ,x ∈(-∞, + ∞);(4) 11()1n n f x x x ∞===-∑ ,x ∈(-1, 1);(5) 11()()1n n f x x x ∞===-+∑ ,x ∈(-1, 1);(6) f (x ) = ln (1 + x ) = ∑∞=+-11)1(n nn x n , x ∈(-1, 1]。
8个常用泰勒展开式
8个常用泰勒展开式
1.正弦函数泰勒展开式：将正弦函数展开为无穷级数，可以用于计算近似值。
公式为：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
2. 指数函数泰勒展开式：将指数函数展开为无穷级数，可以用
于计算近似值。
公式为：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...
3. 对数函数泰勒展开式：将对数函数展开为无穷级数，可以用
于计算近似值。
公式为：ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...
4. 三角函数余弦泰勒展开式：将余弦函数展开为无穷级数，可
以用于计算近似值。
公式为：cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...
5. 三角函数正切泰勒展开式：将正切函数展开为无穷级数，可
以用于计算近似值。
公式为：tan(x) = x + x^3/3 + 2x^5/15 +
17x^7/315 + ...
6. 反三角函数arctan泰勒展开式：将反正切函数展开为无穷级数，可以用于计算近似值。
公式为：arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ...
7. 双曲函数sinh泰勒展开式：将双曲正弦函数展开为无穷级数，可以用于计算近似值。
公式为：sinh(x) = x + x^3/3! + x^5/5! + x^7/7! + ...
8. 双曲函数cosh泰勒展开式：将双曲余弦函数展开为无穷级数，可以用于计算近似值。
- 1 -。
常用的等价无穷小及泰勒公式
常用的等价无穷小及泰勒公式等价无穷小定义为当自变量趋于其中一点时，与给定无穷小具有相同数量级的无穷小。
1.当x趋于0时，常用的等价无穷小有：-x、x^2、x^3、x^4、..：它们具有相同数量级的无穷小。
- sin(x)：当x趋于0时，sin(x)也趋于0，并具有相同数量级的无穷小。
2.当x趋于无穷大时，常用的等价无穷小有：-x、x^2、x^3、x^4、..：它们具有相同数量级的无穷小。
-e^x：当x趋于无穷大时，e^x也趋于无穷大，并具有相同数量级的无穷小。
泰勒公式是用无穷级数来逼近函数的方法，其公式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f(x)为函数，a为给定点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)分别为f(x)在a点的一阶、二阶、三阶导数。
泰勒公式的应用：1.近似计算：通过泰勒公式可以将复杂的函数转化为无穷级数，从而进行近似计算。
例如，对于e^x函数，可以利用泰勒公式展开为e^a+e^a(x-a)+e^a(x-a)^2/2!+...进行近似计算。
2.极值判断：通过泰勒公式展开函数，可以利用一阶导数和二阶导数的符号来判断函数的极值。
3.曲线绘制：通过泰勒公式可以对函数进行局部展开，从而绘制出函数的曲线。
需要注意的是，泰勒公式只有在给定点附近的局部区域内才有效，因此在使用泰勒公式进行近似计算时，要选择合适的给定点和展开阶数，以使得近似结果更加准确。
总之，等价无穷小是在自变量趋于一些特定点时与给定无穷小具有相同数量级的无穷小，而泰勒公式是用无穷级数来逼近函数的方法，可以用来进行函数的近似计算、极值判断和曲线绘制。
无穷级数复习
x 2 x3 x n+1 n + ⋯ (−1 < x < 1) 4、 ln(1 + x) = x − + − ⋯ + (−1) 2 3 n +1
5、等比级数： 等比级数：
1 = 1 + x + x 2 + ⋯⋯ + x n + ⋯ (−1 < x < 1) 1− x
1 2 4 6 2n = 1 + x + x + x + ⋯ + x + ⋯ (−1 < x < 1) 2 1− x
∑a
n= n =0
∞
n
x
n
逐项求导或求积分
∑a
n =0
∞
∗ n
x
n
难
求和 对和式积分或求导
S ( x)
S ( x)
∗
直接求和: 直接变换, 直接求和 直接变换 求部分和等 数项级数求和 间接求和: 转化成幂级数求和, 间接求和 转化成幂级数求和 再代值
熟悉常用函数的幂级展开式： 熟悉常用函数的幂级展开式：
∞
例如
1 1 ∑ 2n 收敛 (q = 2 < 1); n =0
∞
(−1) n 1 ∑ 3n 收敛 ( q = 3 < 1); n =0
∞
∑1 发散(q = 1)；
n =0
∞
3 n 3 （ ∑ (− 2 ) 发散 q = 2 > 1). n =0
∞
是两个正项级数， 极限形式的比较审敛法 设 ∑ an 与∑ bn 是两个正项级数，且
∞ n
因
un +1 = un
n+2 1 1 = ( ⋅ ) n→∞ n + 1 (1 + 1 )n (1 + 1 ) n n
无穷级数总结
无穷级数总结一、概念与性质1.定义：对数列U1,U2^|,U^| , U n称为无穷级数，U n 称为一般项；若部分和数列｛S n｝有极限S，即lim S n S，称级数收敛，否则称为发散•n2•性质①设常数C 0,贝U U n与CU n有相同的敛散性；n 1 n 1②设有两个级数U n与V n，若U n S，V* ，则（U n V n） S ；n 1 n 1 n 1 n 1 n 1若U n收敛，V n发散，则（片V n ）发散；n 1 n 1 n 1若U n，V n均发散，则（U n冷）敛散性不确定；n 1 n 1 n 1③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④设级数U n收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和.n 1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定.⑤级数U n收敛的必要条件：lim U n 0 ；n 1 n注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；②若lim U n 0，则U n未必收敛；n n 1③若U n发散，则lim U n 0未必成立. nn 1二、常数项级数审敛法1.正项级数及其审敛法①定义：若U n 0，则U n称为正项级数•n 1②审敛法：（ii ） 比较审敛法：设 U n ①与 V n ②都是正项级数，且U n %（n 1,2,），n 1n 1川则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散•A. 若②收敛，且存在自然数N ，使得当n N 时有U n k%（k 0）成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数 N ，使得当n N 时有U n kv n （k 0）成立，则 ①发散；1B. 设 U n 为正项级数，若有 p 1使得U n 帀（n 1,2,川），则U n 收敛；若n 11（ U n （n nC. 极限形式：U n 与 V n 有相同的敛散性.n 1n 1注：常用的比较级数：①几何级数：n 1 arr 1 1 r ・n 1发散r 1②p 级数：1收敛P 1时n 1n p发散P 1时， ③调和级数:11 1 1发散.n 1 n2n（iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设 a n 是正项级数，若n 11，或iim; a n 1，推不出级数的敛散.例丄与2，虽然nn 1 n n 1 n充要条件：正项级数U n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界），贝U Un 发散.n 11,2, U n ①与 V n ②都是正项级数，若lim 也1（0丨 ），则1 nV n①limna n 1 anr 1，则 a n 收敛；②lim 也 n 1nan r 1，则 a n 发散.n 1注：若limna n 1 anlim a n^ 1, lim n a n 1，但丄发散，而g收敛.n a n n■'n 1 n n 1 n2n ___(iv)根值判别法(柯西判别法)设a n是正项级数，』m ■, a n，若 1 ,n 1 n级数收敛，若1则级数发散.(v)极限审敛法：设u n o，且lim n p u n l，则①lim n p U n l 0且p 1，则级n n数U n发散；②如果p 1，而lim n p U n l(0 l ),则其收n 1 n敛.(书上P317-2- (1))注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法•正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件.2.交错级数及其审敛法①定义：设U n 0(n 1,2J||)，则(1)n 1U n称为交错级数.n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数(1)n 1u n，若u n u n 1且lim u n0，n 1 n贝U ( 1)n1u n收敛.n 1注：比较u n与u n 1的大小的方法有三种：①比值法，即考察也是否小于1；u n②差值法，即考察u n u n 1是否大于0;③由u n找出一个连续可导函数f(x)，使u n f(n) ,(n 1,2,)考察f (x)是否小于0.3.一般项级数的判别法：①若u n绝对收敛，则u n收敛.n 1 n 1②若用比值法或根值法判定|u n |发散，则u n必发散.n 1 n 1、幕级数1. 定义： a n X n称为幕级数.n 02. 收敛性有X 处绝对收敛.反之，若幕级数 a n X n在X !处发散，则其在满足x X !n 0的所有X 处发散. ②收敛半径(i) 定义：若幕级数在X X 0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数R ，使得①当X X 0 R 时，幕级数收敛；②当XX 。
导数与函数的级数展开解析
导数与函数的级数展开解析在微积分中，导数和级数展开是两个基本且重要的概念。
导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，而级数展开则是将函数表达为无穷级数的形式。
本文将对导数与函数的级数展开进行详细解析。
一、导数的定义及计算导数是函数在某一点的变化率，可以用极限的概念进行定义。
设函数y=f(x)，则在点x处的导数为：f'(x) = lim┬(h→0) (f(x+h) - f(x))/h这个公式表示了函数在点x处的瞬时变化率。
我们可以通过这个公式来计算函数在某一点的导数。
例如，对于多项式函数f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x，可以通过求导得到导函数：f'(x) = 6x^2 - 8x + 3二、级数展开的概念及应用级数展开是将函数表达为无穷级数的形式，可以用于近似计算和函数性质研究。
级数展开的基本思想是使用一组基函数来逼近原函数，通过不断增加基函数的项数，逐渐接近原函数。
常用的级数展开包括泰勒级数和傅里叶级数。
泰勒级数是一种将函数表达为无穷多项式的展开形式，通常用于近似计算。
而傅里叶级数是将周期函数表达为正弦函数和余弦函数的无穷级数，可以用于信号处理和振动分析等领域。
三、泰勒级数展开泰勒级数是将函数在某个点处展开成无穷多项式的形式。
设函数f(x)在点a处具有各阶导数，其泰勒级数展开为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...在实际计算中，我们通常只考虑前几项的展开，并且使用函数在某个特定点的导数来进行计算。
四、傅里叶级数展开傅里叶级数将周期函数展开为正弦函数和余弦函数的无穷级数。
设函数f(x)的周期为2π，则其傅里叶级数展开为：f(x) = a₀/2 + Σ[┬(n=1)ⁿ⁺⁽⁺⁾](aₙcos(nx) + bₙsin(nx))其中，a₀、aₙ和bₙ为系数，可以通过函数的积分计算得到。
常用的等价无穷小及泰勒公式
常用的等价无穷小及泰勒公式在高等数学的学习中，等价无穷小和泰勒公式是两个非常重要的概念和工具。
它们在极限的计算、函数的近似表达以及解决各种数学问题中都发挥着关键作用。
首先，我们来聊聊等价无穷小。
等价无穷小简单来说就是在某个极限过程中，两个函数的比值趋近于1 。
当我们遇到复杂的极限计算时，如果能够找到合适的等价无穷小进行替换，往往可以大大简化计算过程。
常见的等价无穷小有很多。
比如当 x 趋近于 0 时，sin x 等价于 x ，tan x 等价于 x ，arcsin x 等价于 x ，arctan x 等价于 x 。
还有 1 cos x 等价于 x²/2 ，ln(1 ＋ x) 等价于 x ，e^x 1 等价于 x 等等。
为了更好地理解和运用这些等价无穷小，我们来看几个例子。
假设要求极限lim(x→0) （sin x)／x ，由于 sin x 等价于 x （当 x 趋近于 0 时），所以这个极限就等于 1 。
再比如求极限lim(x→0) （tan x x)／（x³) ，这里我们可以将 tan x 展开为 x ＋ x³/3 ＋ o(x³) （o(x³) 表示 x³的高阶无穷小），然后代入原式进行计算。
接下来，我们说一说泰勒公式。
泰勒公式是用一个多项式函数来逼近一个给定的函数。
它可以将一个复杂的函数在某个点附近展开成一个无穷级数的形式。
对于一个在 x ＝ a 处具有 n 阶导数的函数 f(x) ，它在 x ＝ a 处的泰勒展开式为：f(x) ＝ f(a) ＋ f'（a)（x a) ＋ f'＇（a)（x a)²/2! ＋ f'＇＇（a)（x a)³/3! ＋＋ f⁽ⁿ⁾（a)（x a)ⁿ/n! ＋ Rₙ(x)其中 Rₙ(x) 是余项，表示展开式与原函数之间的误差。
常见函数的泰勒展开式也有很多。
比如 e^x 在 x ＝ 0 处的泰勒展开式为：e^x ＝ 1 ＋ x ＋ x²/2! ＋ x³/3! ＋＋xⁿ/n! ＋sin x 在 x ＝ 0 处的泰勒展开式为：sin x ＝ x x³/3! ＋ x⁵/5! x⁷/7! ＋cos x 在 x ＝ 0 处的泰勒展开式为：cos x ＝ 1 x²/2! ＋ x⁴/4! x⁶/6! ＋泰勒公式的应用非常广泛。
数学考研微积分常用公式速记
数学考研微积分常用公式速记微积分是数学的重要分支，广泛应用于各个领域。
无论是在学术研究还是在实际问题求解中，熟练掌握微积分的基本公式是非常重要的。
本文将为大家介绍一些常用的微积分公式，并提供一些速记技巧，帮助大家更好地记忆和运用这些公式。
1. 极限和导数1.1 极限(1) 当 x 趋于 a 时，有以下常用极限：- $\lim_{x\to a}x=a$- $\lim_{x\to a}c=c$，其中 c 为常数- $\lim_{x\to a}(x^n-a^n)=(n\cdot a^{n-1})$，其中 n 为自然数- $\lim_{x\to a}(a^x-a^a)=(a^a\cdot \ln a)$- $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$(2) 夹逼定理：如果有两个函数 g(x) 和 h(x)，满足 $g(x)\leq f(x)\leqh(x)$，且 $\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L$，那么 $\lim_{x\toa}f(x)=L$。
1.2 导数(1) 常用函数的导数：- $(c)'=0$，c 为常数- $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$，其中 n 为自然数- $(a^x)'=a^x\cdot \ln a$，其中 a>0 且a≠1- $(\ln x)'=\frac{1}{x}$- $(e^x)'=e^x$- $(\sin x)'=\cos x$- $(\cos x)'=-\sin x$(2) 导数的四则运算：- $(c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x)$，其中 c 为常数- $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$- $(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)$- $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$- $(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$，其中g(x)≠02. 积分和微分2.1 不定积分(1) 基本积分表：- $\int x^n \mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}+C$，其中 n 为自然数，C 为常数- $\int \frac{1}{x} \mathrm{d}x=\ln |x|+C$- $\int e^x \mathrm{d}x=e^x+C$- $\int \sin x \mathrm{d}x=-\cos x+C$- $\int \cos x \mathrm{d}x=\sin x+C$(2) 分部积分公式：$\int u \mathrm{d}v=uv-\int v \mathrm{d}u$2.2 定积分(1) 基本定积分表：- $\int_a^b k \mathrm{d}x=k(b-a)$，其中 k 为常数- $\int_a^b x^n \mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}\cdot (b^{n+1}-a^{n+1})$，其中 n 为自然数- $\int_a^b e^x \mathrm{d}x=e^x|_a^b=e^b-e^a$- $\int_a^b \sin x \mathrm{d}x=-\cos x|_a^b=\cos a-\cos b$- $\int_a^b \cos x \mathrm{d}x=\sin x|_a^b=\sin a-\sin b$(2) 牛顿-莱布尼兹公式：若函数 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x=F(b)-F(a)$。
常用的级数展开公式
常用的级数展开公式在数学和物理学中，级数展开是一种重要的技术，用于将一个函数表示为一系列项的和，从而可以更好地理解和计算函数的行为。
以下是一些常用的级数展开公式。
1.泰勒级数展开公式：泰勒级数展开公式是一种常见的用于展开函数的公式。
给定一个可无限次可微的函数f(x)在特定点a处的值和各阶导数，泰勒级数展开公式可以将函数f(x)表示为一个无穷级数的形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...2.欧拉公式展开：欧拉公式展开是一个非常重要和有趣的级数展开公式，它将复数的指数形式表示为三角函数的形式：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)3.幂级数展开公式：幂级数展开公式是一种特殊的级数展开形式，将函数f(x)表示为幂函数的和，具有以下形式：f(x)=a0+a1*x+a2*x^2+a3*x^3+...4.二项式展开公式：二项式展开公式是将一个二项式的幂展开为一系列项的和，具有以下形式：(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+C(n,2)*a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)*a^0*b^n其中C(n,k)表示从n个不同元素中选择k个的组合数。
5.对数级数展开公式：对数级数展开公式用于展开一个函数的自然对数形式，具有以下形式：ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...6.正弦级数展开公式：正弦级数展开公式将一个周期为2π的周期性函数展开为正弦函数的级数：f(x) = a0 + a1*sin(x) + a2*sin(2x) + a3*sin(3x) + ...其中a0,a1,a2,...是待定系数。
7.傅里叶级数展开公式：傅里叶级数展开是将一个周期为T的函数表示为基本频率为1/T的正弦和余弦函数的线性组合，具有以下形式：f(x) = a0/2 + Σ (an*cos(nω0x) + bn*sin(nω0x))其中 a0, an, bn 是待定系数，ω0 = 2π/T 是基本角频率。
无穷级数整理
无穷级数整理一、数项级数〔一〕数项级数的根本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件〔柯西收敛原理〕：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .〔即局部和数列收敛〕3.收敛级数具有线性性〔即收敛级数进展线性运算得到的级数仍然收敛〕，而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. 〔二〕数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法〔1〕正项级数根本定理：如果正项级数的局部和数列有上界，则正项级数收敛. 〔2〕比拟判别法〔放缩法〕：假设两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自*项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，则 〔i 〕当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；〔ii 〕当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自*项以后有nn n n v v u u 11++≤，则 〔i 〕当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；〔ii 〕当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.〔3〕比拟判别法的极限形式〔比阶法〕：给定两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv，假设0lim>=∞→l v u nnn ，则这两个级数敛散性一样.〔注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容〕另外，假设0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；假设∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n pn，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)；③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交织p -级数：∑∞=--111)1(n p n n，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. 〔4〕达朗贝尔判别法的极限形式〔商值法〕：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u n n n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. 〔5〕柯西判别法的极限形式〔根值法〕：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，则1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. 〔6〕柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自*项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质〔1〕绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保存而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，则假设级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；假设级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数〔将其项重新排列后得到的级数〕仍绝对收敛，且其和一样. ④假设级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .〔2〕交织级数的敛散性判断〔莱布尼兹判别法〕:假设交织级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少〔即1+≥n n u u 〕，则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号一样，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数〔一〕幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 〔1〕柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. 〔2〕阿贝尔第一定理：假设幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又假设∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：假设幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又假设幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：假设幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，假设又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.〔3〕收敛域的求法：令1)()(lim 1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质〔1〕幂级数进展加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进展乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. 〔2〕幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且假设幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又假设幂级数∑∞=-00)(n n n x x a 在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.〔3〕幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 〔1〕常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，*∈(-∞, +∞).②=11x -1+*+*2+···+*n+··· =∑∞=0n n x ，*∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，*∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，*∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，*∈(-1, 1].⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，*∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，*∈[-1, 1].⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，*∈[-1,1]. 〔2〕常用的求和经历规律：①级数符号里的局部x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中假设含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. 〔二〕傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理〔本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立〕 假设)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类连续点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2.傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系： 3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：〔1〕在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；〔2〕正弦级数与余弦级数：①奇函数〔或在非对称区间上作奇延拓〕展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数〔或在非对称区间上作偶延拓〕展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分： 〔1〕;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n〔2〕2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；〔3〕2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；； 〔4〕C nx n nx a e na nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax+++=⎰)cos sin (1cos 22； 〔5〕C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和连续点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。
无穷级数知识点汇总
无穷级数知识点汇总一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim >=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 （1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n nn x x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 （1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x ∈(-∞, +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，x ∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1]. ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x ∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，x ∈[-1, 1]. ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立） 若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（1）在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分： （1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；； （4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax +++=⎰)cos sin (1cos 22； （5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。
常见级数
② 等比数列和的性质：
A.
q
<1， Sn
a
=
1− q
这时级数收敛，其和为 a 1− q
B. q > 1 ， Sn = ∞ 这时级数发散。 C. q = 1 ， Sn 的值要视 n 的值为奇数还是偶数。
二、 P 级数
∑∞ 1
np
n =1
当 P>1,级数收敛。 当 P≤1,级数发散。
0 ，但是级数发散（对比与性质
5）
∑ 若调和级数变为：
∞
n
(−1)
1
即交错级数，按交错级数判别法----莱布尼茨公式
n =1
n
其为收敛级数。
∑ 三、
∞
1
n =1 n ln p n
当 P>1,级数收敛 当 P≤1，级数发散
四、 等差级数
1+ 2 + 3 + ⋅⋅⋅n + ⋅⋅⋅
① 部分和：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱSn
=1+
2+
3 + ⋅⋅⋅⋅ +n
=
(n
+ 1)n 2
显然，等差级数发散。
五、 调和级数：
1+
1
2
+
1 3
+
⋅
⋅⋅
1 n
+
⋅
⋅⋅
其
lim
n→∞
un
=
常见级数
一、 等比级数（几何级数）
无穷级数：
∞
∑ aqn = a + aq + aq2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + aqn + ⋅⋅⋅⋅⋅
级数符号的上下说明
级数符号的上下说明
级数符号（∑）是用来表示无穷级数的符号，它由一个大写的希腊字母Sigma（Σ）组成。
在使用级数符号时，通常需要在上下方添加说明，以便更清晰地表达其含义。
在级数符号的上方，常用的说明包括上限和下限。
上限表示级数中最后一项的序号，下限表示级数中第一项的序号。
例如，当我们写下∑n=1∞an时，其中n=1表示下限，∞表示上限，表示这个级数包含从第1项到无穷项的所有项。
在级数符号的下方，常用的说明包括被求和的数列和求和条件。
被求和的数列通常用字母表示，求和条件则是一个适用于数列的通用公式。
例如，当我们写下∑n=1∞(1/n)时，其中n=1表示下限，∞表示上限，(1/n)表示被求和的数列，表示将数列(1/1)+(1/2)+(1/3)+…的所有项相加。
除了上下方的说明外，级数符号还可以在右侧添加一些其他的修饰符号，如括号、箭头等。
这些符号可以用来表示级数的性质、收敛性等。
总之，级数符号的上下说明对于准确表达级数的含义非常重要，需要特别注意。
- 1 -。
无穷级数的收敛性与求和方法
无穷级数的收敛性与求和方法无穷级数是数学中重要的概念之一，它在各个领域都有着广泛的应用。
在研究无穷级数时，我们常常关注两个问题：一是该级数是否收敛，二是如何求得该级数的和。
下面将详细阐述无穷级数的收敛性以及常用的求和方法。
一、无穷级数的收敛性无穷级数由无数个（可能是实数、复数或者其他对象）项组成，记作：S = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ + …我们用数列的和来描述这个概念，即数列 {Sn}，其中 Sn = a₁ + a₂+ a₃ + … + aₙ 。
当数列 {Sn} 收敛于某个数S时，我们称这个级数S 收敛，或者说该级数是收敛的。
否则，当 {Sn} 发散时，我们称该级数S发散。
常用的判断级数收敛性的方法包括以下几种：1. 整数判别法：对于级数∑aₙ ，若极限lim(n→∞)aₙ=0，则该级数可能收敛。
这是一个充分条件，若满足该条件，则还需要使用其他方法进行进一步判断。
2. 正项级数判别法：只需要判断级数的每一项是否非负，若是非负数列且单调递减，则级数收敛。
3. 比较判别法：将给定级数与另一个已知收敛（发散）的级数进行比较，若两者同敛散，则可通过比较判断出原级数的性质。
4. 比值判别法：通过取级数的相邻项比值的极限来判断级数的收敛性。
5. 根值判别法：通过取级数的相邻项的根式表达式的极限来判断级数的收敛性。
以上是常用的判断无穷级数收敛性的方法，通过合理运用这些方法，我们可以判断出级数的收敛性，并进一步研究其性质。
二、无穷级数求和方法在确定一个级数是收敛的基础上，我们还需要找到一种方法来求出该级数的和。
常见的求和方法包括以下几种：1. 部分和法：通过计算级数部分和的极限来求得级数的和。
即求 Sn 的极限lim(n→∞)Sn。
2. 几何级数求和：几何级数是一种特殊的级数，形如∑(a⋅rⁿ₋¹)，其中 a 为首项，r 为公比。
当 |r| ＜ 1 时，几何级数收敛，其和可通过公式 S = a / (1 - r) 求得。