一次不定方程的解法

一次不定方程的解法

我们现在就这个问题，先给出一个定理．

定理如果,a b 是互质的正整数，c 是整数，且方程

ax by c +=①

有一组整数解00,x y 则此方程的一切整数解可以表示为

其中0,1,2,3,t =±±±…

证因为00,x y 是方程①的整数解，当然满足

00ax by c +=②

因此

0000()()a x bt b y at ax by c -++=+=．

这表明0x x bt =-，0y y at =+也是方程①的解．

设,x y ''是方程①的任一整数解，则有

ax by c ''+=③

③-②得00()()a x x b y y ''-=--④

由于(,)1a b =，所以0a y y '-，即0y y at '=+，其中t 是整数．将0y y at '=+代入④，即得0x x bt '=-．因此,x y ''可以表示成0x x bt =-，0y y at =+的形式，所以0x x bt =-，0y y at =+表示方程①的一切整数解，命题得证．

有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解.

例1求11157x y +=的整数解．

解法1将方程变形得

因为x 是整数，所以715y -应是11的倍数．由观察得002,1x y ==-是这个方程的一组整数解，所以方程的解为

解法2先考察11151x y +=，通过观察易得

11(4)1531⨯-+⨯=，

所以

11(47)15(37)7⨯-⨯+⨯⨯=，

可取0028,21x y =-=，从而

可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t 做适当代换，就可化为同一形式．

例2求方程62290x y +=的非负整数解．

解因为(6,22)2=，所以方程两边同除以2得

31145x y +=①

由观察知，114,1x y ==-是方程

3111x y +=②

的一组整数解，从而方程①的一组整数解为

由定理，可得方程①的一切整数解为

因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有

1801104530t t -≥⎧⎨-+≥⎩

③ 由于t 是整数，由③得1516t ≤≤，所以只有15,16t t ==两种可能．

当15,15,0t x y ===；当16,4,3t x y ===．所以原方程的非负整数解是

150x y =⎧⎨=⎩

，43x y =⎧⎨=⎩ 例3求方程719213x y +=的所有正整数解．

分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．

解用方程

719213x y +=①

的最小系数7除方程①的各项，并移项得

213193530277

y y x y --=

=-+② 因为,x y 是整数，故357y u -=也是整数，于是573y u +=．化简得到 573y u +=③ 令325

u v -=（整数），由此得 253u v +=④

由观察知11u v =-⎧⎨=⎩是方程④的一组解．将11

u v =-⎧⎨=⎩代入③得2y =，再将2y =代入②得25x =．于是方程①有一组解00252x y =⎧⎨=⎩，所以它的一切解为251927x t y t =-⎧⎨=+⎩

t 为整数 由于要求方程的正整数解，所以

解不等式，得t 只能取0,1．因此得原方程的正整数解为

252x y =⎧⎨=⎩，69x y =⎧⎨=⎩

当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．

例4求方程3710725x y +=的整数解．

解

为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得

由此可知1126,9x y =-=是方程371071x y +=的一组整数解．于是

025(26)650x =⨯-=-，0259225y =⨯=

是方程3710725x y +=的一组整数解．

所以原方程的一切整数解为

例5某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同

的方法？

解设需x 枚7分，y 枚5分恰好支付142分，于是

75142x y +=①

所以

由于7142x ≤，所以20x ≤，并且由上式知52(1)x -．因为(5,2)1=，所以51x -，从而1,6,11,16x =，所以①的非负整数解为

127x y =⎧⎨=⎩，620x y =⎧⎨=⎩，1113x y =⎧⎨=⎩，166x y =⎧⎨=⎩

所以，共有4种不同的支付方式．

说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程． 多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．

例6求方程92451000x y z +-=的整数解．

解设9243x y t +=，即38x y t +=，于是351000t z -=．于是原方程可化为

38351000

x y t t z +=⎧⎨-=⎩① 用前面的方法可以求得①的解为

383x t y t u

=-⎧⎨=-+⎩（u 是整数）② ②的解为

2000510003t v z v =+⎧⎨=+⎩

（v 是整数）③ 消去t ，得

600081520003510003x u v y u v z v =-+⎧⎪=-+-⎨⎪=+⎩

（,u v 都是整数）

大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经