不定方程的解法

基本介绍编辑本段

不定方程是数论的一个分支，它有着悠

久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。

古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。1969 年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。

2 发展历史编辑本段

希腊的丢番图早在公元3 世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。Diophantus ，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus 方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189 个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。

研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5 世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何”。设x，y，z 分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。

3 常见类型编辑本段

⑴求不定方程的解；

⑵判定不定方程是否有解；

⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。

4 方程相关编辑本段

一次不定方程

二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。其中a ，b，c 是整数，ab ≠ 0 。此方程有整数解的充分必要条件是a、b 的最大公约数整除c。若a、b 互质，即它们的最大公约数为1，（x0，y0）是所给方程的一个解，则此方程的解可表为｛（x=x0-bt ，y=y0+at ）|t 为任意整数｝。

S（≥2）元一次不定方程的一般形式为a1x1+a2x2+⋯+asxs=n0a1，⋯，as，n 为整数，且a1⋯as≠0。此方程有整数解的充分必要条件是a1，⋯，as 的最大公约数整除n。

埃拉托塞尼筛法产生的素数普遍公式是一次不定方程公元前300年，古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数，他自己证明了有无穷多个素数，公元前250 年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法：一“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N 中将不大于√ N 的素数的倍数全部划去即可”。

二后来人们将上面的内容等价转换：“如果N 是合数，则它有一个因子

d满足1

三再将二的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于（根号）√N的任何素数整除，则N是一个素数”。见（代数学辞典[ 上海教育出版社]1985 年。屉部贞世朗编。259 页）。

四上面这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式：

N=p1m1+a1=p2m2+a2= .= pkmk+ak。⑴

其中p1，p2，，pk 表示顺序素数2，3，5，，，，，。a ≠ 0。即N 不能是2m+0，3m+0，5m+0，... ，pkm+0形。若N

五可以把（1）等价转换成为用同余式组表示：

N≡a1（modp1），N≡a2（modp2），，N≡ ak（modpk）。⑵例如，29，29不能够被根号29以下的任何素数2，3，5 整除，

29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。29≡1(mod2)，29≡2(mod3)，29

≡4(mod5)。29小于7的平方49，所以29是一个素数。

以后平方用“ * ”表示，即：㎡=m*。

由于⑵的模p1，p2，，pk 两两互素，根据孙子定理 (中国剩余定理)

知，⑵在p1p2 ................................ p k 范围内有唯一解。

例如k=1时，N=2m+，1解得N=3，5，7。求得了( 3，3*)区间的全部素数。

k=2时，N=2m+1=3m+，1解得N=7，13，19；N=2m+1=3m+，2解得N=5，11，17，23。求得了( 5，5* )区间的全部素数。

k=3 时，

------------- | 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.|

--|

n=2m+1=3m+1= |--31 - |--7,37-|-13,43|--19 |

n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---|

求得了（7，7* ）区间的全部素数。仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数。

多元一次不定方程

关于整数多元一次不定方程，可以有矩阵解法、程序设计等相关方法辅助求解。

二次不定方程

二元二次不定方程本质上可以归结为求二次曲线（即圆锥曲线）的有理点或整点问题。

一类特殊的二次不定方程是x^2+y^2=z^2 ，其正整数解称商高数或勾股数或毕达哥拉斯数，中国《周髀算经》中有“勾广三，股修四，经隅五”之说，已经知道（3 ，4，5）是一个解。刘徽在注《九章算术》中又给出了（5，12，13），（8，15，17），（7 ，24，25），（20，21，29）几组勾股数。它的全部正整数解已在16 世纪前得到。这类方程本质上就是求椭圆上的有理点。

另一类特殊的二次不定方程是所谓佩尔方程x2－Dy2=1，D是非平方的正整数。利用连分数理论知此方程永远有解。这类方程就是求双曲线上的有理点。

最后一类就是平方剩余问题，即求x^2-py=q 的整数解，用高斯的同余理论来描述，就是求x^2≡q(mod p) 的剩余类解。高斯发现的著名二次互反律给出了次方程是否有解的判定方法。这类方程就相当于求抛物线上的整点。

圆锥曲线对应的不定方程求解可以看做椭圆曲线算术性质的一种特例。

高次不定方程

对高于二次的不定方程，相当复杂。当n>2时，x^n+y^n=z^n 没有非