不定方程的解法
不定方程的解法
二元一次不定方程的解法求a * x + b * y = n的整数解。
1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a' * x + b' * y = n'，此时Gcd(a',b')=1;2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则n' * x0,n' * y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解；3、根据数论中的相关定理，可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为：x = n' * x0 + b' * ty = n' * y0 - a' * t(t为整数)上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。
我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程 x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能．我们先看一个例子．例小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？解设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程3x+11y=50．这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组．但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个．若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意；若y=4，则x=2，符合题意．所以，这个方程有两组正整数解，即也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了．但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明．例求不定方程x-y=2的正整数解．解我们知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是其中n可以取一切自然数．因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的．上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦．那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理．定理如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①有一组整数解x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为其中t=0，±1，±2，±3，…．证因为x0，y0是方程①的整数解，当然满足ax0+by0=c，②因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c．这表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解．设x＇，y＇是方程①的任一整数解，则有ax＇+bx＇=c. ③③-②得a(x＇-x0)=b＇(y＇-y0)．④由于(a，b)=1，所以a｜y＇-y0，即y＇=y0+at，其中t是整数．将y＇=y0+at 代入④，即得x＇=x0-bt．因此x＇， y＇可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．例1求11x+15y=7的整数解．解法1将方程变形得因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=-1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为解法2先考察11x+15y=1，通过观察易得11×(-4)+15×(3)=1，所以11×(-4×7)+15×(3×7)=7，可取x0=-28，y0=21．从而可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．例2求方程6x+22y=90的非负整数解．解因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得3x+11y=45．①由观察知，x1=4，y1=-1是方程3x+11y=1 ②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能．当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．所以原方程的非负整数解是例3求方程7x+19y=213的所有正整数解．分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．解用方程7x+19y=213 ①的最小系数7除方程①的各项，并移项得因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．Ｔ儆*5除此式的两边得2u+5v=3．④由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得t只能取0，1．因此得原方程的正整数解为当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．例4求方程37x+107y=25的整数解．解 107=2×37+33，37=1×33+4，33=8×4+1．为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4=37-9×(37-33)=9×33-8×37＝9×(107-2×37)8×37＝9×107-26×37=37×(-26)+107×9．由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是x0=25×(-26)=-650，y0=25×9=225是方程37x+107y=25的一组整数解．所以原方程的一切整数解为例5某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？解设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是7x+5y=142. ①所以由于7x≤142，所以x≤20，并且由上式知5｜2(x-1)．因为(5，2)=1，所以5｜x-1，从而x=1，6，11，16，①的非负整数解为所以，共有4种不同的支付方式．说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．例6求方程9x+24y-5z=1000的整数解．解设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000．于是原方程可化为用前面的方法可以求得①的解为②的解为消去t，得大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．例7今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组①化简得 15x+9y+z=300．③③-②得 14x+8y=200，即 7x+4y=100．解7x+4y=1得于是7x+4y=100的一个特解为由定理知7x+4y=100的所有整数解为由题意知，0＜x，y，z＜100，所以由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x，y，z还应满足x+y+z=100．t x y z26 4 18 7827 8 11 8128 12 4 84即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．。
不定方程的基本解法 - 成长博客博客教育博客教师博客
不定方程的基本解法湖北省仙桃一中（433000） 林明祥不定方程是指末知数的个数多于方程的个数的方程，它形式多样，应用广泛，解法灵活，通常只求它的整数解。
下面介绍不定方程的基本解法，以期从中找到解不定方程的钥匙。
一、运用公式和辗转相除法例1 求方程15x+52y=6的所有整数解。
解一 观察得x 0=42,y 0=-12,原方程的整数解为X=42-52t,Y=-12+15t. （t 为整数 ）解二 原方程变为x=-4y +1586y + , 令1586y +=t 1 得y=2t 1-86-t , 令86+t =t 2 得 t 1=8t 2-6， 故 X=42-52t 2Y=-12+15 t 2 （t 2为整数 ）【注】上述两种解法是求不定方程通解的一般方法。
二、运用配方法例2 求方程x 2 +y 2+2x-4y+4=0的整数解解：把原方程配方，得（x+1）2+(y-2)2＝1由x 、y 是整数，得 （x+1）2=0, 或 （x+1）2=1,(y-2)2=1; (y-2)2=0. 解得 x=-1 , x=-1, x=0 , x=2 , Y=3 ; y=1 ; y=2 ;y=2 . 【注】解此类不定方程的依据是整数的性质。
例3 已知a+b-21-a －42-b = 33-c -21c - 5,求a+b+c. （2000年武汉市选拔赛试题）解：把原方程配方，得 （1-a －1）2 ＋（2-b －2）2 ＋（3-c －3）2＝ 0 ⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧∴1-a －1＝0 ，2-b －2 ＝0 ，3-c －3 ＝0解得 a ＝2 ，b ＝6 ， c ＝12。
∴a+b+c ＝20。
【注】解此类方程的依据是非负数的性质。
三、运用奇偶性分析法例4 若质数m 、n 满足5m ＋7n=129,则m ＋n= .（河北省竞赛题）解：若m 、n 都是奇数，则和必为偶数，故m 、n 中必有一个为偶质数。
不定方程非负整数解
不定方程非负整数解不定方程是指含有未知数的方程，其中未知数可以取非负整数解。
解决不定方程的方法有很多，如试探法、代数法、递归法等。
本文将围绕不定方程的非负整数解展开讨论，介绍一些常见的不定方程以及它们的解法。
一、二元一次不定方程的非负整数解二元一次不定方程是指含有两个未知数的一次方程，形如ax + by = c，其中a、b、c为已知系数，x、y为未知数。
对于非负整数解，我们可以采用试探法来解决。
例如，对于方程3x + 4y = 10，我们可以从x=0,1,2,…开始，依次试探每个非负整数值，计算对应的y值，看是否满足方程。
在这个例子中，我们可以得到一组非负整数解x=2，y=1。
二、二元二次不定方程的非负整数解二元二次不定方程是指含有两个未知数的二次方程，形如ax² + by² = c，其中a、b、c为已知系数，x、y为未知数。
解决二元二次不定方程的方法较为复杂，需要运用数论中的一些知识。
例如，对于方程5x² + 2y² = 17，我们可以利用模4的性质来解决。
首先观察方程左边的二次项，我们可以发现5x²和2y²模4的结果分别只有0和2两种情况。
而17模4的结果为1，由于0+0≠1，0+2≠1，2+0≠1，2+2=1，所以这个方程没有非负整数解。
三、三元一次不定方程的非负整数解三元一次不定方程是指含有三个未知数的一次方程，形如ax + by + cz = d，其中a、b、c、d为已知系数，x、y、z为未知数。
解决三元一次不定方程的方法可以借助于数学软件或者线性代数的知识。
例如，对于方程2x + 3y + 4z = 10，我们可以通过列主元素消去法来求解。
将方程转化为增广矩阵形式，然后通过行变换将矩阵化为行最简形式，得到一个特解。
再通过线性组合得到方程的所有非负整数解。
四、三元二次不定方程的非负整数解三元二次不定方程是指含有三个未知数的二次方程，形如ax² + by² + cz² = d，其中a、b、c、d为已知系数，x、y、z为未知数。
不定方程的所有解法
不定方程的所有解法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：不定方程是指含有未知数的方程，且未知数的值不受限制，可以是整数、分数、无理数等。
解不定方程的方法有很多种，根据方程的形式和要求选择不同的解法。
本文将介绍不定方程的所有解法，包括质因数分解法、辗转相除法、模运算法、裴蜀定理、试错法等各种方法。
1. 质因数分解法对于形如ax+by=c的不定方程，可以通过质因数分解的方法来求解。
首先分别对a和b进行质因数分解，得到a=p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an，b=q1^b1 * q2^b2 * ... * qm^bm。
然后利用质因数分解的特性，可知如果c不能被a和b的所有质因数整除，那么方程就无整数解；如果c能被a和b的所有质因数整除，那么方程就有整数解。
这个方法在求解一些简单的不定方程时很有效。
2. 辗转相除法辗转相除法又称为欧几里德算法，用于求两个整数的最大公约数。
对于形如ax+by=c的不定方程，可以先利用辗转相除法求出a和b的最大公约数d，然后如果c能被d整除，就存在整数解；如果不能被d整除，那么方程就无解。
这个方法比较简单，但只适用于求解一次不定方程。
3. 模运算法模运算法是一种基于模运算的解法，对于形如ax≡b(mod m)的不定方程，可以通过求解同余方程得到解。
将方程转化为标准形式ax-my=b，然后求解同余方程ax≡b(mod m)，如果方程有解，则可以通过一些变换得到原方程的解。
这个方法适用于求解模运算的不定方程。
4. 裴蜀定理裴蜀定理也称为贝祖定理，是解一元不定方程的重要方法。
对于形如ax+by=c的不定方程，根据裴蜀定理，当且仅当c是a和b的最大公约数的倍数时，方程有整数解。
此时可以通过扩展欧几里德算法求出一组解，然后通过变换得到所有解。
这个方法适用于求解一元不定方程的情况。
5. 试错法试错法是一种通过列举所有可能解，然后逐一验证的方法。
对于一些简单的不定方程，可以通过试错法找到所有整数解。
不定方程的解法与应用
摘要不定方程是初等数论的一个重要内容，在相关学科和实际生活中也有着广泛的应用．本文首先归纳了整数分离法、系数逐渐减小法和辗转相除法等几种常用的二元一次不定方程的解法；其次进一步讨论了求n元一次不定方程和二次不定方程整数解的方法；最后论述了不定方程在中学数学竞赛题、公务员行测试题和其他学科中的应用，并举例说明．关键词：不定方程；二元一次不定方程；数学竞赛；公务员试题AbstractThe integral solutions of indeterminate equation solving method is an important content of elementary number theory, has been widely used in related disciplines and in real life. This paper summarizes the integer separation method, coefficient decreases and the Euclidean algorithm and several commonly used two element indefinite equation solution, secondly is further discussed. For n linear indeterminate equation and the method of two time indefinite equation integer solution, and finally discusses the indeterminate equation applied in secondary school mathematics, civil servants for test and other subjects, and illustrated with examples.Key words: i ndeterminate equation; two element indefinite equation;Mathematics contest; civil service examination.目录1 引言 (1)2 不定方程的若干解法 (1)2.1 二元一次不定方程的若干解法 (1)2.2 n元一次不定方程 (4)2.3 二次不定方程 (5)3 不定方程的应用 (7)3.1 在初高中竞赛题中的应用 (7)3.2 在公务员考试题中的应用 (8)3.3 在其他学科中的应用 (9)4 结论 (11)致谢.......................................... 错误!未定义书签。
2020国家公务员考试行测数量关系：不定方程的解法
2020国家公务员考试行测数量关系：不定方程的解法2020年国家公务员考试已经到了倒计时的阶段了，现在考生要抓紧时间查缺补漏，尽量能多学一点就不要放弃，在这段时间更是要保持一个良好的心态去迎接即将到来的国考笔试。
今天云南中公教育给大家带来了2020国家公务员考试行测数量关系：不定方程的解法。
一、不定方程的定义不定方程指的是方程中未知数的个数多于独立方程的个数。
例如：。
这个方程中含有两个未知数，所以它的解不固定，是不定方程。
二、不定方程的解法1. 整除法-某一未知数前面系数与常数项有公约数，已知x,y为正整数，则x=( )。
A.4B.7C.9D.11【中公解析】答案：B。
这题很多同学的的思路是把选项往题目中代，这样固然可以求得答案，但是运气不好可能需要代入3个选项才能得出答案，会耗费一定时间。
其实这题可以根据7y和49都可以7整除得出，3x也可以被7整除，推出x可以被7整除，结合选项判断选择B选项。
2. 奇偶法-未知数前面系数一奇一偶，已知x,y为正整数且x为质数，则x=( )。
A.2B.3C.6D.7【中公解析】答案：A。
这题根据6y和42都为偶数，可以推出3x也为偶数，结合x为质数，判断x=2，选择A选项。
3. 尾数法-某一未知数系数为5的倍数，已知x,y为正整数，则x=( )。
A.2B.3C.5D.7【中公解析】B。
这题10y的尾数确定为0，42的尾数确定为2，所以4x尾数一定为2，则x尾数为3，可以选择B选项。
三、不定方程的灵活运用熟悉了不定方程的解法之后，在考试题中我们需要先根据题意列出方程，再进行求解。
在求解过程中，如果发现不能直接代入选项，那么需要通过之前学过的方法把不定方程的解全部求出来，再选择选项。
例：现有441个同样大小的橘子装入大小两种篮子中，已知大篮子每个装20个，小篮子每个装17个。
每个篮子必须装满，问需要的大篮子和小篮子的个数差：A.2B.3C.4D.5【中公解析】A。
求不定方程整数解的常用方法
求不定方程整数解的常用方法一、分情形讨论法分情形讨论法根据不同的系数情况进行分类，找出整数解的条件。
1.一次齐次不定方程Ax+By=C的整数解求法当A和B不互质时，可通过A和B的最大公约数（gcd(A,B)）来判断是否存在整数解。
如果C是gcd(A,B)的倍数，则有整数解，否则无整数解。
当A和B互质时，可通过贝祖等式（Bézout's identity）来求解。
贝祖等式表示为gcd(A,B) = Ax + By，其中x和y是整数解。
由贝祖等式可得到一组整数解。
然后根据一组特殊解，得到通解（general solution）。
2. 二次齐次不定方程Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 0的整数解求法当A、B和C不全为0时，可通过判别式（discriminant）来判断是否存在整数解。
当判别式为完全平方数时，存在整数解；否则不存在整数解。
3.一次非齐次不定方程Ax+By=C的整数解求法当A和B不互质时，可通过A和B的最大公约数（gcd(A,B)）来判断是否存在整数解。
如果C是gcd(A,B)的倍数，则有整数解，否则无整数解。
当A和B互质时，可通过扩展的欧几里得算法（extended Euclidean algorithm）求解。
首先利用一次齐次方程的解法得到一组特殊解，然后根据一组特殊解，得到通解。
二、裴蜀定理裴蜀定理是数论中的一个重要定理，也是求不定方程整数解的常用方法。
裴蜀定理的全称是裴蜀等式（Bézout's identity），它表明对任意两个整数a和b，存在整数x和y，使得ax + by = gcd(a,b)。
1.判断是否存在整数解的条件当C是gcd(A,B)的倍数时，一次齐次不定方程Ax + By = C存在整数解；否则不存在整数解。
2.求解整数解的方法通过扩展的欧几里得算法（extended Euclidean algorithm），可以求出一组特殊解x0和y0。
3.2 不定方程的常用解法
3．2 不定方程的常用解法对于高次不定方程，求出其通解然后再讨论有时是不现实的，因为我们甚至还没有找到判别一个高次不定方程是否有解的统一方法，当然要求出通解就更难了．或许正是因为没有统一的方法来处理高次不定方程，对具体的问题往往有许多方法来处理，并且每一种方法都表现出一定的创造性，所以，高次不定方程的问题频繁在数学竞赛中出现．当然，结合整除与同余的一些理论，求解高次不定方程也有一些常见的处理思路和解决办法． 一、因式分解法将方程的一边变为常数，而含字母的一边可以进行因式分解，这样对常数进行素因数分解后，对比方程两边，考察各因式的每种取值情况就可将不定方程变为若干个方程组去求解．这就是因式分解法处理不定方程的基本思路．例1 求方程()101xy x y －＋＝ ① 的整数解．解：利用十字相乘，可将①变形为()()1010101x y －－＝ 而101为素数，故()1010x y －，－＝（1，101），（101，1），（－1，－101），（－101，－1）． 分别求解，得方程的整数解为()x y ，＝（11，111），（111，11），（9，－91），（－91，9）． 例2 是否存在整数x 、y 、z ，使得44422222222224x y z x y y z z x ＋＋＝＋＋＋？解：若存在整数x 、y 、z 满足条件，则()22222244424222x y y z z x x y z －＝＋＋－＋＋ ＝()()22222242224x yx y z z x y－＋＋＋－＋＝()2222224x y zxy －＋－＋＝()()22222222xy x y z xy x y z ＋＋－－－＋＝()()()()2222x y z z x y ＋－－－＝()()()()x y z x y z z x y y z x ＋＋＋－＋－＋－，这要求－24能表示为4个整数x y z ＋＋，x y z ＋－，z x y ＋－，y z x ＋－的乘积的形式，而这4个数中任意两个数之差都为偶数，故这4个数具有相同的奇偶性，由－24为偶数，知它们都是偶数，但这要求42|24，矛盾． 所以，不存在符合要求的整数．说明 熟悉海伦公式的读者可以一眼看穿问题的本质．事实上，ABC S ∆a 、b 、c 为△ABC的三边长，这就是海伦公式．根号里面的式子展开后就是222a b ＋222b c ＋222c a －4a －4b －4c ．例3 求所有的正整数对（m ，n ），使得5471mn n ＋＝－． ①解：将①移项后作因式分解，得()545433711m n n n n n n ＝＋＋＝＋＋－－ ＝()()()322111n n n n n n ＋＋－－＋＋＝()()3211n n n n －＋＋＋ ② 由①知n ＞1，而n ＝2时，可得m ＝2．下面考虑n ＞2的情形，我们先看②式右边两个式子的最大公因数．()()()()32322111111n n n n n n n n n n n －＋，＋＋＝－＋－＋＋＋－，＋＝()()()()22212123n n n n n n n n －＋，＋＋＝－＋＋＋＋－＋，＋ ＝()27n －＋，．故()3211|7n n n n －＋，＋＋．结合②式知31n n －＋与21n n ＋＋都是7的幂次，而它们在n ≥3时，都大于7，这导致 ()()2327|11n n n n －＋＋＋，与前所得矛盾．综上可知，只有（m ，n ）＝（2，2）符合要求．说明 对①式变形后，所得②式两边符合因式分解方法解不定方程的套路，但7m并不是一个常数，这里需要有另外的方法来处理才能继续下去．活学活用方能攻城拔寨．二、配方法配方是代数变形中的常见方法，在处理不定方程的问题时还可综合利用完全平方数的特性，因此配方法在求解不定方程时大有用武之地．例4 求不定方程2234335x xy y －＋＝的全部整数解． 解：对方程两边都乘以3，配方后即得()22325105x y y －＋＝． ①由①式得 25105y ≤， 所以 4y ≤．当4y ＝时，325x y －＝，此时原方程的解为（x ，y ）＝（1，4），（―1，―4）． 当1y ＝时，3210x y －＝，此时原方程的解为（x ，y ）＝（4，1），（―4，―1）．当023y ＝，，时，()232x y －分别为105，85，60 ．此时，所得的方程组显然无整数解． 上面的讨论表明，原方程有4组解：（x ，y ）＝（4，1），（1，4），（―4，―1），（―1，―4）． 例5 求方程2432x x y y y y ＋＝＋＋＋的整数解．解：同上例，对方程两边同乘以4，并对左边进行配方，得()()24322141x y y y y ＋＝＋＋＋＋． ①下面对①式右端进行估计．由于()43241y y y y ＋＋＋＋ ()222212y y y y ＝＋＋－＋ ()2222341y y y y ＝＋＋＋＋， 从而，当y ＞2或y ＜－1时，有()()()2222222121y y x y y ＋＜＋＜＋＋．由于22y y ＋与22y y ＋＋1是两个连续的整数，它们的平方之间不会含有完全平方数，故上式不成立． 因此只需考虑当－1≤y ≤2时方程的解，这是平凡的，容易得到原方程的全部整数解是 （x ，y ）＝（0，－1），（－1，－1），（0，0）（－1，0），（－6，2），（5，2）． 例6 求所有的正整数n ≥2，使得不定方程组22121222232322112211501612501612501612501612n nn n nn x x x x x x x x x x x xx x x x ⎧⎪⎪⎪⋯⎨⎪⎪⎪⎩－－＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋ 有整数解．解：移项后配方，方程组变形为()()()()()()()()122122223221221850850850850n n n n x x x x x x n x x ⎧⎪⎪⎪⎪⋯⎨⎪⎪⎪⎪⎩－－－＋－6＝， ①－＋－6＝， ②－＋－6＝， －＋－6＝．由于50表示为两个正整数的平方和只有两种：2222501755＝＋＝＋，所以，由①知261x －＝、5或7，而由②知281x －＝、5或7，从而21x ＝、7、13．进一步，可知对每个1≤i ≤n ，都有1i x ＝，7或13，依11x ＝、7、13 ，分三种情况讨论． 若11x ＝，则由①知27x ＝，再由②知313x ＝，依次往下递推，可知当()1mod3k ≡时，1k x ＝；当()2mod3k ≡时，7k x ＝；当()0mod3k ≡时，13k x ＝．所以，由第n 式，知当且仅当()11mod3n ≡＋时，原方程组有整数解，即当且仅当3|n 时，n 符合要求．对另外两种情况17x ＝和113x ＝同样讨论，得到的条件是一样的． 综上可知，满足条件的n 是所有3的倍数．说明 进一步讨论可知，当3|n 时，方程组恰有3组整数解．三、不等式估计利用不等式的知识，先确定不定方程中的某个字母的范围，然后逐个枚举得到所有解，这个方法称为不等式估计，它也是我们处理不定方程的常见方法．当然，如果能够恰当地利用字母的对称性等，那么作不等式估计时会简洁很多．例7 求不定方程3361x y xy －＝＋的正整数解．解：设（x ，y ）为方程的正整数解，则x ＞y ．设x ＝y ＋d ，则d 为正整数，且()()3361y d y y d y ＋＋＝＋－22333dy yd d ＝＋＋，即有 ()()23313161d y d d y d －＋－＋＝．故 361d ＜， 于是 3d ≤． 分别令1d ＝、2、3代入，得222161y y ＋＋＝， 2510861y y ＋＋＝， 28242761y y ＋＋＝．只有第一个方程有整数解，并由y 为正整数知y ＝5，进而x ＝6．所以，原方程只有一组正整数解（x ，y ）＝（6，5）． 例8 求所有的正整数a 、b ，使得22444aa b ＋＋＝． ①解：若（a ，b ）是满足①的正整数数对，则2b 为偶数，且24ab ＞，从而b 为偶数，且2ab ＞，故22ab ≥＋．于是()22244422a aa b ＋＋＝≥＋4a ＝＋4·2a ＋4，知22aa ≥，可得4a ≤（对a 归纳可证：当5a ≥时，有22aa ＜）．分别就a ＝1，2，3，4代入①式，可得方程的所有正整数解为（a ，b ）＝（2，6）或（4，18）．例9 求所有的正整数数组（a ，b ，c ，x ，y ，z ），使得a b c xyz x y z abc ⎧⎨⎩＋＋＝，＋＋＝，这里a b c ≥≥，x y z ≥≥．解：由对称性，我们只需考虑x a ≥的情形．这时 33xyz a b c a x ＝＋＋≤≤， 故 3yz ≤，于是 （y ，z ）＝（1，1），（2，1），（3，1）．当（y ，z ）＝（1，1）时，a b c x ＋＋＝且2x abc ＋＝，于是 2abc a b c ＝＋＋＋． 若2c ≥，则2324a b c a a abc ＋＋＋≤＋≤≤， 等号当且仅当2a b c ＝＝＝时成立．若1c ＝，则3ab a b ＝＋＋， 即 ()()114a b －－＝，得 （a ，b ）＝（5，2），（3，3）．当（y ，z ）＝（2，1）时，2266abc x a b c ＝＋＝＋＋＋，与上述类似讨论可知c ＝1，进而()()212115a b －－＝，得 （a ，b ）＝（3，2）． 当（y ，z ）＝（3，1）时，331212abc x a b c ＝＋＝＋＋＋，类似可知，此时无解．综上所述，可知（a ，b ，c ，x ，y ，z ） ＝（2，2，2，6，1，1），（5，2，1，8，1，1），（3，3，1，7，1，1）， （3，2，1，3，2，1），（6，1，1，2，2，2），（8，1，1，5，2，1）， （7，1，1，3，3，1）．说明 此题中如果没有条件a ≥b ≥c 和x ≥y ≥z ，也需要利用对称性作出这样的假设后再处理，解题中利用对称性假设x ≥a 是巧妙的，这样问题就转化为只有3种情况而便于处理了．四、同余方法若不定方程()120n F x x x ，，…，＝有整数解，则对任意的*m N ∈，其整数解（1x ，2x ，…，n x ）均满足()()120mod n F x x x m ≡，，…，．运用这一条件，同余可以作为不定方程是否有整数解的一块试金石． 例10 证明：不定方程22386x y z ＋－＝ ①没有整数解．证明 若（x ，y ，z ）是方程①的整数解，对①的两边模2，可知x 、y 同奇偶；再对①两边模4可知x 、y 都为奇数，于是()221mod8x y ≡≡，这要求6()22382mod8x y z ≡＝＋－，矛盾．故方程①没有整数解．说明 利用同余方法解不定方程问题时，选择恰当的数作为模是十分重要的，它不仅涉及问题解决的繁简程度，重要的是能否卡住字母的范围或导出矛盾． 例11 求所有的非负整数x 、y 、z ，使得223xyz ＋＝． ①解：（1）当y ＝0时，有()()22111xz z z ＝－＝－＋，于是可设 2z α－1＝，2z β＋1＝，0αβ≤≤，因此 222βα－＝．此时，若2α≥，则4|22βα－，与42矛盾，故1α≤．而0α＝导致23β＝，矛盾，故1α＝，2β＝，所以 z ＝3，x ＝3，得 （x ，y ，z ）＝（3，0，3）（2）当y ＞0时，由于323xy＋，故3z ，所以 ()21mod3z ≡．对①两边模3，知()()11mod3x≡－， 故x 为偶数，现在设x ＝2m ，则 ()()223mmyz z －＋＝，所以可设 23mz α－＝，23m z β＋＝，0αβ≤≤，y αβ＋＝， 于是 1332m βα＋－＝，若α≥1，则3|33βα－，但132m ＋，矛盾，故α＝0，因此1312m β＋－＝． 当m ＝0时，β＝1，得（x ，y ，z ）＝（0，1，2）； 当m ＞0时，()120mod4m ＋＝，故 ()31mod4β＝， 这要求β位偶数，设β＝2n ，则()()122313131m n n n ＋＝－＝－＋， 同y ＝0时的讨论，可知 312n－＝，即n ＝1，进而m ＝2，得 （x ，y ，z ）＝（4，2，5）． 所以（x ，y ，z ）＝（3，0，3），（0，1，2），（4，2，5）．例12 设m 、n 为正整数，且n ＞1，求25m n －的最小值．解：由于25m n －为奇数，而m ＝7，n ＝3时，253m n －＝，故若能证明n ＞1时，251m n －≠，则所求的最小值为3．若存在正整数m 、n ，使得n ＞1，且251m n －＝，则251m n －＝或251m n－＝－． 如果251mn－＝，那么m ≥3，两边模8，要求()57mod8n ≡， 但对任意正整数n ，51n≡或()5mod8，矛盾，故251mn－＝不成立． 如果251m n－＝－，那么由n ＞1，知m ≥3．两边模8，得 ()51mod8n≡，可知n 为偶数．设n ＝2x ，x 为正整数，则 ()()25151m x x ＝－＋， 由于51x－与51x＋是两个相邻偶数，这要求512x －＝，514x＋＝， 不可能．所以，25mn－的最小值为3．说明 上面的两个例子都用到了一个结论：两个差为2的正整数之积为2的幂次，则这两个数只能为2和4．该结论在例11的前半段解答中已予以证明．五、构造法有些不定方程的问题只需证明该方程有解或有无穷多个解，这时经常采用构造法来处理． 例13 证明：方程253x y z ＋＝有无穷多组满足0xyz ≠的整数解．证明 取15102k x ＋＝，642k y ＋＝，1072k z ＋＝，k 为非负整数，则这样的x 、y 、z 满足253x y z ＋＝，所以方程有无穷多组满足0xyz ≠的整数解．另证 先求方程的一组特解，易知x ＝10，y ＝3，z ＝7 是方程253x y z ＋＝的一组解．因而1510k x a ＝，63k y a ＝，107k z a ＝（a ，k 为非负整数）是方程的解．例14 证明：对任意整数n ，方程222x y z n ＋－＝ ①证明 现有命题“当m 为奇数或4的倍数时，方程22a b m －＝有整数解（a ，b ）”，它对解决本题是有用的．这个命题基于下面2个恒等式：()22121k k k ＋－＝＋，()()2214k k k ＋－－1＝．对于方程①，只需取x ，使x 与n 的奇偶性相反（这样的x 有无穷多个），从而利用上述命题，方程 222y z n x －＝－ 有整数解，可知方程①有无穷多组整数解．例15 是否存在两两不同的正整数m 、n 、p 、q ，使得m n p q ＋＝＋2012都成立？解：存在满足条件的正整数．由方程的结构，我们寻找形如2m a ＝，3n b ＝，2p c ＝，3q d ＝的正整数．这里a 、b 、c 、d 为正整数． 此时，条件转化为2012a b c d ＋＝＋＞，2323a b c d ＋＝＋，即 a c d b －＝－，()()()()22a c a c d b d bd b －＋＝－＋＋．令1d b －＝，即1b d ＝－，且使2012b ＞，则b 、d 的奇偶性不同，现令2212b bd d a ＋＋＋＝，2212b bd dc ＋＋－＝，那么a 、c 为正整数，且由a 、b 、c 、d 确定的m 、n 、p 、q 满足条件．例16 证明：存在无穷多组正整数组()x y z ，，，使得x 、y 、z 两两不同，并且 33xx y z ＝＋．证明 一个想法是：将x 取为3k ＋1形式的数，这时()3131k x x k ＋＝＋()()33131kk k ＝＋＋ ()()3333131k kk k k ＝＋＋＋因此，如果使3k 为一个完全立方数，那么符合要求的正整数x 、y 、z 就找到了．为此，令323m k ＋＝，这里m 为正整数，那么令31x k ＝＋，()1331km x k ＋＝＋，()31kz k ＝＋，则x 、y 、z 两两不同，且满足33xx y z ＝＋．命题获证．说明 如果不要求x 、y 、z 两两不同，我们还可以这样来构造：取2m y z ＝＝，2x α＝，则当231m αα•＝＋时，就有33xx y z ＝＋．容易看出满足231m αα•＝＋的正整数对()m α，有无穷多对．。
不定方程的整数解
不定方程的整数解不定方程形如ax+by=c（a，b，c均为常数，且a，b均不为0），一般情况下，每一个x的值都有一个y值和它相对应，有无穷多组解。
如果方程（组）中，解的数值不能唯一确定，这样的方程（组）称为不定方程。
对于不定方程，我们常常限定于只求整数解，甚至只求正整数解，在加上这些限定条件后，解可能只有有限个或唯一确定。
不定方程有整数解的条件整系数二元不定方程ax+by=c中的系数a，b的最大公约数能整除c。
不定方程的基本解法解不定方程主要根据一个未知数的取值进行讨论，如果抓住方程自身的特点，可以大大减少讨论的次数，节省解题时间。
1、尾数法例、求方程4x+5y=76的所有正整数解。
分析：由题意知5y的尾数只能是0或5，因为4x、76是偶数，所以5y只能是偶数，故其尾数只能是0，那么4x的尾数就只能是6，因此x的尾是4或9，又4x<76，所以整数x<19，故x可取4，9，14。
当x=4时，y=12；当x=9时，y=8；当x=14时，y=4。
所以原方程的正整数解为：x=4，x=9，x=14，y=12；y=8；y=4。
2、枚举法例、求方程3x+11y=53的所有正整数解。
分析：因为y前面的系数较大，且x、y均为正整数，故11y≤53，所以y可取1、2、3、4，四个数值，分别将y=1，2，3，4代入原方程，可以发现y=2、3时方程无整数解。
当y=1时，x=14；当y=4时，x=3。
所以原方程的解为：x=3，x=14，y=4；y=1。
3、奇偶判断例、求方程5x+4y=43的所有正整数解。
分析：因为4y是偶数，43是奇数，所以5x应该是奇数，所以x可取1，3，5，7四个数值。
将x=1、3、5、7分别代入原方程，可以发现x=1、5时方程无整数解。
当x=3时，y=7；当x=7时，y=2。
所以原方程的解为：x=3，x=7，y=7；y=2。
4、余数分析余数的和等于和的余数。
例、求4x+5y=102的整数解。
不定方程的求解技巧例题
不定方程的求解技巧例题求解不定方程是数学中的重要内容之一，在数学的应用中经常会出现各种各样的不定方程，因此掌握不定方程的求解技巧是非常必要的。
下面以一些例题来介绍不定方程的求解技巧。
例题1：求解不定方程x + y = 10，其中x和y都是正整数。
解法：首先我们可以观察到，当x = 1时，y = 10 - 1 = 9；当x = 2时，y = 10 - 2 = 8；当x = 3时，y = 10 - 3 = 7……因此我们可以得到一组解：{1, 9}，{2, 8}，{3, 7}，{4, 6}，{5, 5}。
但这并不是唯一的解，我们可以继续观察，当x = 6时，y = 10 - 6 = 4；当x = 7时，y = 10 - 7 = 3；当x = 8时，y = 10 - 8 = 2；当x = 9时，y = 10 - 9 = 1。
因此我们可以得到另一组解：{6, 4}，{7, 3}，{8, 2}，{9, 1}。
所以这个不定方程的解是：{1, 9}，{2, 8}，{3, 7}，{4, 6}，{5, 5}，{6, 4}，{7, 3}，{8, 2}，{9, 1}。
例题2：求解不定方程x^2 + y^2 = 25，其中x和y 都是正整数。
解法：对于这个问题，我们可以采用穷举法来求解。
我们可以从0开始往上穷举，看看哪些正整数满足方程。
当x = 0时，y = ±5；当x = 1时，y = ±√(25 - 1) = ±4；当x = 2时，y = ±√(25 - 4) = ±3；当x = 3时，y = ±√(25 - 9) = ±√16 = ±4；当x = 4时，y = ±√(25 - 16) = ±√9 = ±3；当x = 5时，y = ±√(25 - 25) = 0。
综上所述，满足条件的正整数解有：{(0，5)，(0，-5)，(1，4)，(1，-4)，(2，3)，(2，-3)，(3，4)，(3，-4)，(4，3)，(4，-3)，(5，0)}。
不定方程的解法
数论的方法和技巧之一不定方程的解法一． 几种特殊的不定方程1. 二元一次不定方程c by ax =+ ，形如c by ax =+（b a Z c b a ,,,,∈不同时为零）的方程称为二元一次不定方程．有以下结论：(1)不定方程c by ax =+有整数解的充要条件是.|),(c b a(2)若,1),(=b a 设),(00y x 是方程c by ax =+的一组整数解，则此方程的一切整数解可表示为⎩⎨⎧-=+=,,00at y y bt x x .Z t ∈例l 将属于[0，1]之间分母不超过99的最简分数从小到大排列，求与7617相邻的两个数．解：设,1),(*,,=∈y x N y x 且y x 是上述排列中7617左边的数，则 .07676177617>-=-yxy y x 注意到x y 1617-为整数，所以.17617≥-x y 下面先求不定方程 17617=-x y ① 满足991≤≤y 的正整数解(x ，y)．,17184Z x x y ∈++= 试算可知)9,2(),(=y x 是一个特解．所以①的全部整数解为⎩⎨⎧∈+=+=.,,769172Z t t y t x满足①的正整数解中)85,19(),(=y x 是符合991≤≤y 且y 最大的解，而此时,29985>=y 所以，与7617相邻的两个数中左边那个是⋅8519 类似可知，所求的右边那个数为⋅6715评注：对一次不定方程求解可以用辗转相除法、同余及试验等方法来寻找其特解．2. 勾股方程222z y x =+设勾股方程222z y x =+ ①的一组正整数解是(x ，y ，z)，如果,),(d y x =则,|22z d 即.|z d 这样仅需在1),(=y x 时讨论，此时x ，y ，z 实际上是两两互质的．这种两两互质的勾股数(x ，y ，z)，称为①的本原解或本原勾股数．定理 不定方程①满足 y z y x z x |2,0,0,0,1),(>>>= ② 的全部整数解(x ，y ，z )可表示成 ,,2,2222b a z ab y b a x +==-= ③ 其中a ，b 为满足b a b a ,,0>>一奇一偶，且(a ，b )=1的任意整数．例2 证明方程 222221y x x x n =+++ 有无穷多组整数解。
不定方程的解法
基本介绍编辑本段不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。
所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。
古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。
2发展历史编辑本段不定方程是数论中最古老的分支之一。
古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。
Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。
今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。
他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。
丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。
研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。
②有解时决定解的个数。
③求出所有的解。
中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。
秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。
百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。
百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。
设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。
3常见类型编辑本段⑴求不定方程的解；⑵判定不定方程是否有解；⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
4方程相关编辑本段4.1一次不定方程二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。
不定式方程的四种解法
不定式方程的四种解法一、什么是不定式方程？不定式方程是一类形式为a1·f1(x) + a2·f2(x) + … + an·fn(x) = 0的方程，其中fi(x)是关于未知量x的不同函数，ai是常数系数。
该方程中未知量的次数可以是正整数、负整数、零甚至有理数。
不定式方程求解的目标是找出所有满足该方程的x值。
二、解法一：图像法使用图像法求解不定式方程时，可以根据函数的图像来确定方程的解。
1.将不同函数fi(x)分别绘制出来，并确定它们与x轴的交点。
这些交点将有可能是方程的解。
2.将方程转化为f1(x) + f2(x) + … + fn(x) = 0的形式，即所有函数画在同一坐标系中。
3.根据图像的交点来确定方程的解。
交点的横坐标即为方程的解。
三、解法二：代数法代数法是通过代数运算来求解不定式方程的一种方法。
1.根据方程的形式，可以对方程进行合并和分解，使得方程具有相同的指数。
2.对方程采用因式分解、配方法、换元等代数运算，将方程转化为较简单的形式。
3.根据简化后的方程，可以直接求解得到方程的解。
四、解法三：迭代法迭代法是通过迭代计算来逼近方程解的方法。
1.将方程化为f(x) = 0的形式。
2.选取一个初始解x0，代入方程，计算出f(x0)的值。
3.根据f(x)的性质，使用迭代公式xn+1 = g(xn)来逼近方程的解，直到满足精度要求为止。
4.最终得到的逼近解xn就是方程的解。
五、解法四：数值法数值法是使用数值计算的方法来求解不定式方程的一种方法。
1.将方程化为f(x) = 0的形式。
2.选取一个初始解x0，代入方程，计算出f(x0)的值。
3.根据f(x)的性质，使用数值迭代公式xn+1 = xn - f(xn)/f’(xn)来逼近方程的解，直到满足精度要求为止。
4.最终得到的逼近解xn就是方程的解。
六、总结不定式方程是一类形式为a1·f1(x) + a2·f2(x) + … + an·fn(x) = 0的方程，其求解可以通过图像法、代数法、迭代法和数值法。
不定方程的解法
基本介绍编辑本段不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。
所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。
古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。
2发展历史编辑本段不定方程是数论中最古老的分支之一。
古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。
Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。
今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。
他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。
丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。
研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。
②有解时决定解的个数。
③求出所有的解。
中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。
秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。
百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。
百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何”。
设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。
3常见类型编辑本段⑴求不定方程的解；⑵判定不定方程是否有解；⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
4方程相关编辑本段二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。
其中 a，b，c 是整数，ab ≠ 0。
不定方程的所有解法
不定方程的所有解法
不定方程是指含有未知数的方程，但未知数的个数多于方程的个数，因此方程无法唯一确定未知数的值。
不定方程的所有解法取决于方程的具体形式和条件。
以下是解决不定方程的常见方法：
一、列举法：对于简单的不定方程，可以通过列举所有可能的解来确定方程的解。
例如，对于一元一次方程ax = b，其中a和b为已知常数，可以通过计算x = b/a 来确定方程的解。
二、参数法：对于形如ax + by = c的不定方程，可以引入参数t，将方程转化为x = at + x0，y = bt + y0的形式，其中x0和y0为常数，然后通过选择合适的t值来确定方程的解。
三、降维法：对于高维的不定方程，可以通过将方程进行降维处理，转化为更简单的形式来求解。
例如，对于二元二次方程ax^2 + by^2 = c，可以通过代换u = x^2 和v = y^2来将方程转化为线性方程的形式，然后求解。
四、递归法：对于某些特殊形式的不定方程，可以通过递归的方式求解。
例如，对于费马大定理中的不定方程x^n + y^n = z^n，可以利用递归方法求解。
五、数学工具：对于一些复杂的不定方程，可以利用数学工具如数值方法、图形法、线性规划等来求解。
需要注意的是，不定方程的解并不总是存在或唯一的，有时候可能存在无穷多个解，有时候可能不存在解。
因此，在求解不定方程时，需要根据具体的问题和条件来选择合适的解法和策略。
不定方程式
不定方程式
不定方程式是指含有未知数的方程式，其未知数的取值不受限制，因此有无穷多个解。
这种方程式通常涉及到多个未知数，且未知数之间存在关系，需要通过一定的方法解决。
解不定方程式的过程需要考虑到各个未知数之间的关系，以及方程式中的系数、常数等具体因素。
在解不定方程式的过程中，常用的方法包括代入法、消元法、降次法等。
代入法是指将一个未知数的表达式带入到另一个未知数的表达式中，从而得到一个只含有一个未知数的方程式，再通过求解这个方程式来得到未知数的值。
消元法是指通过逐步消去一些未知数，从而逐步减少方程式中未知数的个数，最终得到一个只含有一个未知数的方程式。
降次法是指通过将方程式中的高次项转化为低次项，从而简化方程式的求解过程。
解不定方程式的过程中，需要注意到可能存在多个解，且解的形式可能不止一种。
因此，在求解过程中需要考虑到所有可能的情况，并给出所有可能的解。
此外，解不定方程式的过程中还需要注意到方程组的一致性与矛盾性，即方程组是否有解以及解的个数等问题。
在数学中，不定方程式是一种常见的问题类型，其解决方法涉及到代数知识、方程式的性质等多个方面。
通过解不定方程式的过程，可以锻炼学生的逻辑思维能力、数学推理能力等方面的能力，有助于提高学生的数学素养。
总的来说，不定方程式是一类重要的数学问题，其解决方法多种多样，需要灵活运用代数知识、方程式的性质等多个方面的知识。
通过解不定方程式的过程，可以提高学生的数学能力，培养学生的逻辑思维能力，有助于学生在数学领域取得更好的成绩。
解不定方程的常用技法
p ( x , a , b)
2 2 2 = ( a + b) x + ( a + b - 9 ab + 1) x +
数解 . ( 第 12 届全俄数学奥林匹克) 讲解 : 注意到
( a + b) ( ab + 1) =0
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8
中 等 数 学
的一组解 ,且 x ≤a ≤b .
ab + 1 由韦达定 理 知 , y = > b 是方程 x p ( x , a , b) = 0 的另一个解 .
5 不等式估计
先通过对所考察的量的放缩得到未知数 取值条件的不等式 , 再解这些不等式得到未 知数的取值范围 , 这是解不定方程的一个常 用技巧 . 例6 试求出所有的正整数 a 、 b、 c ,其 中 1 < a < b < c , 使得 ( a - 1) ( b - 1 ) ( c - 1 ) 是 abc - 1 的约数 . ( 第 33 届 IMO) 讲解 : 首先估计
s= abc - 1 ( s ∈N+ ) ( a - 1 ) ( b - 1) ( c - 1)
设 a0 = a1 = a2 = 1 ,定义
an + 2 an an + 1 + 1 (n≥ = 1) . an - 1
下面证明 : ( 1) an - 1 | ( an an + 1 + 1) ;
( 2) an | ( an - 1 + a n + 1 ) ; ( 3) an + 1 | ( an - 1 a n + 1) .
解不定方程的方法大全
解不定方程的方法大全
解不定方程的方法大全：
1. 试错法：通过不断尝试不同的数值来解决方程，直至找到符合条件的解。
2. 消元法：将方程中的变量进行化简，化为具有唯一解的形式。
3. 借用复数方法：将方程中的变量引入到复数范围内，通过复数运算求解出方程的解。
4. 迭代法：通过不断迭代方程的解，直至找到符合条件的解。
5. 矩阵方法：将方程转化为矩阵的形式，通过矩阵运算求解出方程的解。
6. 贝祖定理：通过贝祖定理来判断方程的解的存在性和唯一性。
7. 二分法：通过不断二分解空间来逐步逼近方程的解。
8. 牛顿迭代法：通过牛顿迭代公式来求解方程的解。
9. 高斯消元法：通过高斯消元的方法，将方程的系数矩阵消元为上三角矩阵，从而求解出方程的解。
总之，解不定方程需要依据具体问题具体分析，选择合适的方法进行求解，才能得到正确的答案。
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基本介绍编辑本段不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。
所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。
古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
1969 年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。
2 发展历史编辑本段希腊的丢番图早在公元3 世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。
Diophantus ，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。
今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus 方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。
他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189 个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。
丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。
研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。
②有解时决定解的个数。
③求出所有的解。
中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5 世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。
秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。
百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。
百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何”。
设x，y，z 分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。
3 常见类型编辑本段⑴求不定方程的解；⑵判定不定方程是否有解；⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
4 方程相关编辑本段一次不定方程二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。
其中a ，b，c 是整数，ab ≠ 0 。
此方程有整数解的充分必要条件是a、b 的最大公约数整除c。
若a、b 互质，即它们的最大公约数为1，（x0，y0）是所给方程的一个解，则此方程的解可表为｛（x=x0-bt ，y=y0+at ）|t 为任意整数｝。
S（≥2）元一次不定方程的一般形式为a1x1+a2x2+⋯+asxs=n0a1，⋯，as，n 为整数，且a1⋯as≠0。
此方程有整数解的充分必要条件是a1，⋯，as 的最大公约数整除n。
埃拉托塞尼筛法产生的素数普遍公式是一次不定方程公元前300年，古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数，他自己证明了有无穷多个素数，公元前250 年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法：一“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N 中将不大于√ N 的素数的倍数全部划去即可”。
二后来人们将上面的内容等价转换：“如果N 是合数，则它有一个因子d满足1<d≤√ N”。
（《基础数论》13页，U杜德利著，上海科技出版社）..三再将二的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于（根号）√N的任何素数整除，则N是一个素数”。
见（代数学辞典[ 上海教育出版社]1985 年。
屉部贞世朗编。
259 页）。
四上面这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式：N=p1m1+a1=p2m2+a2= .= pkmk+ak。
⑴其中p1，p2，，pk 表示顺序素数2，3，5，，，，，。
a ≠ 0。
即N 不能是2m+0，3m+0，5m+0，... ，pkm+0形。
若N<P（k+1）的平方[ 注：后面的1，2，3，，k，（k+1）是脚标，由于打印不出来，凡字母后面的数字或者i 与k 都是脚标] ，则N是一个素数。
五可以把（1）等价转换成为用同余式组表示：N≡a1（modp1），N≡a2（modp2），，N≡ ak（modpk）。
⑵例如，29，29不能够被根号29以下的任何素数2，3，5 整除，29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。
29≡1(mod2)，29≡2(mod3)，29≡4(mod5)。
29小于7的平方49，所以29是一个素数。
以后平方用“ * ”表示，即：㎡=m*。
由于⑵的模p1，p2，，pk 两两互素，根据孙子定理 (中国剩余定理)知，⑵在p1p2 ................................ p k 范围内有唯一解。
例如k=1时，N=2m+，1解得N=3，5，7。
求得了( 3，3*)区间的全部素数。
k=2时，N=2m+1=3m+，1解得N=7，13，19；N=2m+1=3m+，2解得N=5，11，17，23。
求得了( 5，5* )区间的全部素数。
k=3 时，------------- | 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.|--|n=2m+1=3m+1= |--31 - |--7,37-|-13,43|--19 |n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---|求得了（7，7* ）区间的全部素数。
仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数。
多元一次不定方程关于整数多元一次不定方程，可以有矩阵解法、程序设计等相关方法辅助求解。
二次不定方程二元二次不定方程本质上可以归结为求二次曲线（即圆锥曲线）的有理点或整点问题。
一类特殊的二次不定方程是x^2+y^2=z^2 ，其正整数解称商高数或勾股数或毕达哥拉斯数，中国《周髀算经》中有“勾广三，股修四，经隅五”之说，已经知道（3 ，4，5）是一个解。
刘徽在注《九章算术》中又给出了（5，12，13），（8，15，17），（7 ，24，25），（20，21，29）几组勾股数。
它的全部正整数解已在16 世纪前得到。
这类方程本质上就是求椭圆上的有理点。
另一类特殊的二次不定方程是所谓佩尔方程x2－Dy2=1，D是非平方的正整数。
利用连分数理论知此方程永远有解。
这类方程就是求双曲线上的有理点。
最后一类就是平方剩余问题，即求x^2-py=q 的整数解，用高斯的同余理论来描述，就是求x^2≡q(mod p) 的剩余类解。
高斯发现的著名二次互反律给出了次方程是否有解的判定方法。
这类方程就相当于求抛物线上的整点。
圆锥曲线对应的不定方程求解可以看做椭圆曲线算术性质的一种特例。
高次不定方程对高于二次的不定方程，相当复杂。
当n>2时，x^n+y^n=z^n 没有非平凡的整数解，即著名的费马大定理，历经3 个世纪，已由英国数学家安德鲁·维尔斯证明完全可以成立。
多元高次不定方程多元高次不定方程没有一般的解法，任何一种解法都只能解决一些特殊的不定方程，如利用二次域来讨论一些特殊的不定方程的整数解．常用的解法⑴代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；⑵不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；⑶同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；⑷构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；⑸无穷递推法。
特殊求解方法一二元一次不定方程（组）定义1. 形如ax + by = c （ a ，b，c∈Z，a，b 不同时为零）的方程称为二元一次不定方程。
定理1. 方程ax + by = c 有解的充要是（ a,b ） | c ；定理2. 若（a,b ） = 1 ，且x_0 ，y_0 为ax + by = c 的一个解，则方程的一切解都可以表示成|定理3. n 元一次不定方程a_1x_1 + a_2x_2 + ⋯+ a_nx_n = c ，（a_1 ，a_2，⋯a_n，c∈N ）有解的充要条件是：（a_1 ，a_2，⋯a_n ）| c.方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。
若有解，可先求ax + by = c 一个特解，从而写出通解。
当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2．解n 元一次不定方程a_1x_1 + a_2x_2 +⋯+ a_nx_n = c 时，可先顺次求出（ a_1，a_2 ） = d_2，（d_2 ，a_3 ） = d_3，⋯，（d_（n-1 ），a_n ） = d_n. 若c 不能被d_n 整除，则方程无解；若c 可以被d_n 整除，则方程有解，作方程组：|||||求出最后一个方程的一切解，然后把t_（n-1）的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。
3．m个n 元一次不定方程组成的方程组，其中m < n ，可以消去m-1 个未知数，从而消去了m-1 个不定方程，将方程组转化为一个n-m+1 元的一次不定方程。
二高次不定方程（组）及其解法1．因式分解法：对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式分解，然后对比两边，转而求解若干个方程组；2．同余法：如果不定方程F（ x_1 ，x_2，⋯，x_n ） = 0 有整数解，则对于任意m∈N，其整数解（ x_1 ，x_2，⋯，x_n ）满足F( x_1 ，x_2，⋯，x_n ) ≡ 0 ( modm )，利用这一条件，同余可以作为探究不定方程整数解的一块试金石；3．不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围，再分别求解；4．无限递降法：若关于正整数n 的命题P(n) 对某些正整数成立，设n_0 是使P(n) 成立的最小正整数，可以推出：存在正整数n，使得n_1 < n_0 成立，适合证明不定方程无正整数解。
方法与技巧：1．因式分解法是不定方程中最基本的方法，其理论基础是整数的唯一分解定理，分解法作为解题的一种手段，没有因定的程序可循，应具体的例子中才能有深刻地体会；2．同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必要条件，为进一步求解或求证作准备。
同余的关键是选择适当的模，它需要经过多次尝试；3．不等式估计法主要针对方程有整数解，则必然有实数解，当方程的实数解为一个有界集，则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个，逐一检验，求出全部解；若方程的实数解是无界的，则着眼于整数，利用整数的各种性质产生适用的不等式；4．无限递降法论证的核心是设法构造出方程的新解，使得它比已选择的解“严格地小”，由此产生矛盾。
三特殊的不定方程1．利用分解法求不定方程ax + by = cxy ( abc ≠ 0 )整数解的基本思路：将ax + by = cxy 转化为(x - a)(cy -b) = ab 后，若ab 可分解为ab = a_1b_1 = a_2b_2 = ⋯= a_ib_i ∈Z，则解的一般形式为，||||再取舍得其整数解；2．定义2：形如的x^2 + y^2 = z^2 的方程叫做勾股数方程，这里x，y，z 为正整数。