3-3泰勒公式98992

则余项
Rn(x)
f ( (n1) x)xn1
(n1)!
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（3）x0 0 （麦克劳林公式）
f(x ) f(0 ) f(0 )x f(0 )x 2 f(n )(0 )x n
2 !
n !
f (n1) ( ) xn1 (n 1)!
(0,1)
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则 由 上 式 得
R n(x)fn (n 1)1 (!)(xx 0)n 1(在 x 0 与 x 之 )间
Pn(x)k n0f(kk)(!x0)(xx0)k
称为f(x)按(xx0)的幂展开的n次近似多项式
f(x)k n 0f(kk)(!x0)(xx0)k Rn(x)
称为f(x)按(xx0)的幂展开的n阶泰勒公式
及xl ixm 0(xRn(xx0))n 0 即 R n (x ) o [x ( x 0 )n ].
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几点说明：
1. 当 n0时 ,泰 勒 公 式 变 成 拉 氏 中 值 公 式
f(x)f(x0)f()x (x0) (在 x0与 x之)间
2.取x0 0,
在0与x之间,令x (01)
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二P n 和 R n 的 确 定
分析:
1.若在 x 0 点相交
y
近
似 程
P n (x 0)f(x 0)
度 越
2.若有相同的切线
来 越
P n (x 0)f(x 0)
好 3.若弯曲方向相同
P n (x 0)f(x 0) o
3! 5!
( 2 n 1)!
cos x 1 x 2 x 4 x 6 ( 1 ) n x 2 n o ( x 2 n )
2! 4! 6!
( 2 n )!
ln( 1 x ) x x 2 x 3 ( 1 ) n x n1 o ( x ) n1
23
n1
1 1 x x2 xn o(xn ) 1 x
例3 求 f(x)x3lnx在x=1点的四阶泰勒公式
f(1 ) 0 ,f(x ) 3 x 2 lx n x 2 ,f(1 ) 1 ;
f(x)6xlnx5x, f(1)5;
f(x)6lnx11, f(1)11;
f(4)(x)6, x
f(4)(1)6;
f(5)(x)x62
f(x)f(1)f(1)(x1)f(1)(x1)2 2!
代 入 P n ( x ) 中 得
Pn(x)f(x0)f(x0)x (x0)f2 (!x0)(xx0)2
f(nn )(!x0)(xx0)n
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三 泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数f(x)在含有 x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n1)阶的导数, 则当x在(a,b)内时, f(x)可以表示为(xx0)的 一个 n次多项式与一个余项Rn(x)之和: f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f2(!x0)(xx0)2
n (n 1 R )n (( 22 )x 0)n 1
(2 在 x 0 与 1 之 ) 间
如 此 下 去 , 经 过 ( n 1 ) 次 后 , 得
Rn(x) (xx0)n1
Rn n (n1)1(!)
(在x0与n之间 ,也在x0 与x之间)
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P n (n 1 )(x ) 0 , R n (n 1 )(x ) f(n 1 )(x )
Rn
e (n 1)!
(n
3. 1)!
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例 2 求 f(x)sinx 的 n 阶 麦 克 劳 林 公 式 .
解f： (n)(x)s in x(n)
2
f(0)0,f(0)1,f(0)0,f(0)1
f(n)
n
(0)s in()
2
R sixn xx 3x 5x 7 x 2 m 1 3 ! 5 ! 7 ! (2 m 1 )! 2 m
四 常用n阶泰勒公式及其简单应用
例 1 求 f ( x ) e x 的 n 阶 麦 克 劳 林 公 式 .
解 f ( x ) f ( x ) f ( n ) ( x ) e x ,
f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( n ) ( 0 ) 1
拉格朗日形式的余项
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定理2 （带peano余项的泰勒定理）
如果f(x)在 x 0 点邻域内有n+1 阶导数，则
f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f2 (!x0)(xx0)2 f(nn )(!x0)(xx0)no((xx0)n)
皮亚诺形式的余项
R n(x)fn (n 1)1 (!)(xx0)n1 nM 1!(xx0)n1
(1 x ) m 1 mx m ( m 1) x 2 2!
m (m 1) (m n 1) x n o( x n ) n!
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思考判断题 按(x 4)的乘幂展开多项式 x4 5x3 x2 3x 4
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谢谢捧场
(n1 R )n ((11 )x0)n
(在 x0与 x之)间
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两函数Rn (x)及(n 1)(x x0 )n在以x0 及1 为端点
的区间上满足柯西中值定理的条件,得
(n 1 R )n (1 (1 )x 0 )n (n R n 1 ()1 )1 ( R x n 0 ()x n 0 )0
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定理1 （带lagrange余项的泰勒定理）
如果f(x)在x 0 点邻域内有n+1 阶导数，
则
f(x)f(x0)f(x0)(xx0)
f2(!x0)(xx0)2
f(nn)(!x0)(xx0)nRn(x)
其 中 R n(x)f(n (n 1)1 ())!(xx 0)n 1( 在 x0与 x之 间 ) .
注意 f(n 1)(x 到 )ex
e x 1 x x 2 x ne x x n 1 ( 0 1 ). 2 ! n !(n 1 )!
R n(x)(n e x 1)!(n e x1)!xn1(01).
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ex1xx2 xn
2!
n!
取 x1 , e111 1 2 ! n !
lim 2 ! 3 !
x x3 x3 o(x3)
lim2! x
3! x3
Leabharlann Baidu
x 3
1
6
3 !
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五 小结与思考判断题
罗尔定理
条
件
，
结
Lagrange 定理
柯西定理
论
泰勒公式
罗必塔法则
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其它函数的麦克劳林公式
sin x x x 3 x 5 ( 1 ) n x 2 n 1 o ( x 2 n 2 )
R n ( x 0 ) R n ( x 0 ) R n ( x 0 ) R n ( n ) ( x 0 ) 0
两函数Rn(x)及(xx0)n1在以x0 及 x 为端点的
区间上满足柯西中值定理的条件,得
(xR nx (x 0))n1R (x n( x)x 0)R n n 1( x0 0)
f(nn)(!x0)(xx0)nRn(x)
其 中 R n (x )f(n (n 1 )1 ())! (xx 0)n 1(在 x 0与 x之 间 ) .
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证明: 由 假 设 , R n ( x )在 ( a ,b )内 具 有 直 到 ( n 1 ) 阶
导 数 , 且
f(4)(1)(x1)4f(5)()(x1)5
4!
5!
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例4：求极限 lx i m exsix nx 3x(1x)
ex1xx2x3o(x3) sin xxx3o(x3)
2! 3!
3!
lx i m exsix nx 3x(1x)
1 xx 2x 3 o (x 3) xx 3 o (x 3) x (1 x )
x0
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yf(x)
x
假 设 P n ( k ) ( x 0 ) f ( k ) ( x 0 )k 1 , 2 , , n
a 0 f(x 0 ),1a1f(x0),
2 !af(x)
2
0
,n !af(n)(x)
n
0
得 a k k 1 !f( k )(x 0 ) ( k 0 ,1 ,2 , ,n )
sinx[(2m1)]
R2m
2 x2m1 (2m1)!
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01
m1,six nx m2,sinxx1x3
3! m3,sixnx1x31x5
3! 5!
yx
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1 sin ( x ) 0. 5
yx31!x351!x5
0 0
x y sinx 1
y
x 2
x
1
33
4
3! 湖北tra经c济e 1学院数学教研室