同济大学泰勒公式

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例2. 用近似公式
计算 cos x 的近似值,
使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.
解: 近似公式的误差
令
解得
x x R3 ( x) cos( x) 24 4! 4 x 0.005 24 x 0.588
4Leabharlann Baidu
4
即当 x 0.588 时, 由给定的近似公式计算的结果 能准确到 0.005 .
1 1 e 11 (0 1) 2! n ! (n 1) ! 由于 0 e e 3, 欲使 3 6 10 Rn (1) (n 1) !
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
1 1 e 1 1 2.718281 2! 9!
4 3x
1 9 x 2 o( x 2 ) ( 1) (16 n) n 1 x n 1 2 9 ( 1 x ) 原式 lim 2 32 (0 n 1) ! x x
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 可见
f ( ) ( x x0 ) 2 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2!
( 在 x0 与 x 之间)
df
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误差
( 在 x0 与 x 之间)
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在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有 f (0) 2 f ( n ) (0) n x x f (0) f (0) x 2! n!
第三节 泰勒 ( Taylor )公式
用多项式近似表示函数 — 应用
第三章
理论分析 近似计算
一、泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
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一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
(n) ( n 1) R ( x ) R ( ) n 0 n ( 在 x0 与 xn 之间) (n 1) 2( n x0 ) 0 (n 1) !
(n) Rn ( n )
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(n) ( x0 ) Rn Rn ( x0 ) Rn ( x0 ) 0
1 2!
n2
1 2!
1 p ( n) ( x ) 1 f ( n) ( x ) f ( x0 ) , , an n 0 0 ! n n!
故 pn ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
( n) n 1 n f ( x )( x x ) 0 0 !
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
(n) f (0) 2 f ( 0 ) n f ( x) f (0) f (0) x x x f ( x0 ) 2 2 ! n ! x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x ( x x0 ) ( n1) 2 ! , 则有误差估计式 若在公式成立的区间上 f ( x ) M ( n 1) f ( n ) ( x0 ) f ( ) n n 1 ( x x0 ) M n 1 ( x x0 ) n ! Rn ( x) (n x 1) ! ( 在 x0 与 x 之间) (n 1) !
麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束
由此得近似公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式
(k )
f
( x) e ,
x
f ( k ) (0) 1 (k 1, 2 ,)
2 3 n x x x ex 1 x Rn ( x) 2 ! 3! n!
其中
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f ( x0 )( x x0 ) 2
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2. 余项估计
令 Rn ( x) f ( x) pn ( x) (称为余项) , 则有
Rn ( x) ( x x0 ) n1 (1 ) Rn Rn ( x) Rn ( x0 ) (1 在 x0 与 x 之间) n n 1 (n 1)(1 x0 ) ( x x0 ) 0 (1 ) Rn ( 2 ) Rn Rn ( x0 ) ( 2 在 x0 与 n (n 1)(1 x0 ) 0 (n 1)n( 2 x0 ) n1 1 之间)
其中 Rn ( x)
( 1)( n)
(n 1) !
(1 x) n1 x n1
(0 1)
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已知 f 类似可得
(k )
( x) (1)
k 1
(k 1)! (k 1, 2 ,) k (1 x)
n x 2 x3 x ln(1 x) x (1) n 1 Rn ( x) 2 3 n
x 的一次多项式
y
y f ( x)
p1 ( x)
特点:
f ( x0 ) f ( x0 )
如何提高精度 ? 如何估计误差 ?
o
x0 x
以直代曲
x
需要解决的问题
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1. 求 n 次近似多项式 令 则
要求:
2 n
pn ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 ) an ( x x0 ) ( x) pn ( x) pn
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说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
1 1 本例 e 1 1 2! 9!
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过 7 0.5 10 , 总误差为 7 0.5 106 10 6 5 106 这时得到的近似值不能保证误差不超过 10 6. 因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .
④ 式成立
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( x0 ) f f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! ( n 1) f ( n ) ( x0 ) f ( ) n ( x x0 ) ( x x0 ) n1 n! (n 1) ! ( 在 x0 与 x 之间) 特例: 给出拉格朗日中值定理 (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) ( 在 x0 与 x 之间)
其中
(1) m1 cos( x) 2 m 2 R2m1 ( x) x (2m 2) !
(0 1)
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f ( k ) ( x) ( 1)( k 1)(1 x) k
(k 1, 2 ,) f ( k ) (0) ( 1)( k 1) ( 1) 2 (1 x) 1 x x 2! ( 1)( n 1) n x Rn ( x) n!
( n 1) ( x) 在包含 0 , x 的某区间上的上界. M为 f
需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
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例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 解: 已知 的麦克劳林公式为 x 2 x3 xn x e 1 x 2 ! 3! n! (0 1) 令x=1,得
f ( n1) ( ) (n 1) !
( x x0 ) n1 ( 在 x0 与 x 之间) ②
公式 ① 称为
的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
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注意到
Rn ( x) o[( x x0 ) n ]
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
n 1 n a ( x x ) a1 2a2 ( x x0 ) n 0
( n) pn ( x) a0 pn ( x0 ) f ( x0 ) ,
1 p ( x ) a2 2 ! n 0

2 !a2 n(n 1)an ( x x0 ) n!an ( x0 ) f ( x0 ) , a1 pn
其中 R2 m ( x)
m m 1 ) sin( x 2 (1) cos( 2 x) x 2 m1 (0 1) (2m 1) !
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类似可得
2m x2 x4 x cos x 1 (1) m R2m1 ( x) 2! 4! ( 2 m) !

Rn ( x) f ( x) pn ( x)
( 在 x0 与 x 之间)
( n1) ( n1) pn ( x) 0 , Rn ( x) f ( n1) ( x)
Rn ( x)
f ( n1) ( ) (n 1) !
( x x0 ) n1 ( 在 x0 与 x 之间)
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n o[( x x0 ) n ] ④ n!
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
* 可以证明:
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2. 利用泰勒公式求极限
例3. 求
用洛必塔法则 不方便 !
解: 用泰勒公式将分子展到 x 2 项, 由于
x 3x 4 2 1 3 4
2 1 1 ( 3 x) 1 1 ( 1 1) ( 3 x) 2 o( x 2 ) 4 2! 2 2 2 4 2 2 3 9 1 x x o ( x ) 2 4 4 16
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( x) sin( x k ) 2 k 2m 0, (k ) ( m 1 , 2 , ) f (0) sin k 2 (1) m1 , k 2m 1 f
(k )

2 m 1 x3 x5 x sin x x (1) m1 R2m ( x) 3! 5! (2m 1) !
其中
(1) n x n 1 Rn ( x) n 1 (1 x) n 1
(0 1)
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三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
f (0) 2 f ( n ) (0) n x f ( x) f (0) f (0) x x 2! n! M n 1 x 误差 Rn ( x) (n 1) !
当在 x0 的某邻域内 f ( n1) ( x) M 时 M n 1 Rn ( x) x x0 (n 1)! n Rn ( x) o(( x x0 ) ) ( x x0 )
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泰勒中值定理 :
时, 有 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! (n) f ( x0 ) n ( x x0 ) Rn ( x) ① n! 其中 Rn ( x) 阶的导数 , 则当