新人教高考数学专题复习充要条件》测试题
新人教高考数学专题复习《充要条件》测试题

第6课时 充要条件一.课题:充要条件二.教学目标:掌握充分必要条件的意义,能够判定给定的两个命题的充要关系.三.教学重点:充要条件关系的判定.四.教学过程:(一)主要知识:1.充要条件的概念及关系的判定; 2.充要条件关系的证明.(二)主要方法:1.判断充要关系的关键是分清条件和结论;2.判断p q ⇒是否正确的本质是判断命题“若p ,则q ”的真假;3.判断充要条件关系的三种方法:①定义法;②利用原命题和逆否命题的等价性;③用数形结合法(或图解法).4.说明不充分或不必要时,常构造反例.(三)例题分析:例1.指出下列各组命题中,p 是q 的什么条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答)(1)在ABC ∆中,:p A B >,:sin sin q A B >(2)对于实数,x y ,:8p x y +≠,:2q x ≠或6y ≠(3)在ABC ∆中,:sin sin p A B >,:tan tan q A B >(4)已知,x y R ∈,22:(1)(2)0p x y -+-=,:(1)(2)0q x y --=解:(1)在ABC ∆中,有正弦定理知道:sin sin a b A B= ∴sin sin A B a b >⇔> 又由a b A B >⇔>所以,sin sin A B A B >⇔> 即p 是q 的的充要条件.(2)因为命题“若2x =且6y =,则8x y +=”是真命题,故p q ⇒,命题“若8x y +=,则2x =且6y =”是假命题,故q 不能推出p ,所以p 是q 的充分不必要条件.(3)取120,30A B ==,p 不能推导出q ;取30,120A B ==,q 不能推导出p所以,p 是q 的既不充分也不必要条件.(4)因为{(1,2)}P =,{(,)|1Q x y x ==或2}y =,P Q ≠⊂, 所以,p 是q 的充分非必要条件.例2.设,x y R ∈,则222x y +<是||||x y +≤ )、是||||2x y +<的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解:由图形可以知道选择B ,D .(图略)例3.若命题甲是命题乙的充分非必要条件,命题丙是命题乙的必要非充分条件,命题丁是命题丙的充要条件,则命题丁是命题甲的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解:因为甲是乙的充分非必要条件,故甲能推出乙,乙不能推出甲,因为丙是乙的必要非充分条件,故乙能推出丙,丙不能推出乙,因为丁是丙的充要条件,故丁能推出丙,丙也能推出丁,由此可知,甲能推出丁,丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件,选B .例4.设,x y R ∈,求证:||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥.证明:充分性:如果0xy =,那么,①0,0x y =≠②0,0x y ≠= ③0,0x y ==于是||||||x y x y +=+如果0xy >即0,0x y >>或0,0x y <<,当0,0x y >>时,||||||x y x y x y +=+=+,当0,0x y <<时,||()()||||x y x y x y x y +=--=-+-=+,总之,当0xy ≥时,||||||x y x y +=+.必要性:由||||||x y x y +=+及,x y R ∈得22()(||||)x y x y +=+即222222||x xy y x xy y ++=++得||xy xy =所以0xy ≥故必要性成立,综上,原命题成立.例5.已知数列{}n a 的通项1113423n a n n n =++++++,为了使不等式22(1)11log (1)log 20n t t a t t ->--对任意*n N ∈恒成立的充要条件.解:∵11111111()()02425324262526n n a a n n n n n n n +-=+-=-+->+++++++, 则1221n n n a a a a a -->>>>>,欲使得题设中的不等式对任意*n N ∈恒成立,只须{}n a 的最小项221(1)11log (1)log 20t t a t t ->--即可,又因为11194520a =+=, 即只须11t -≠且22911log (1)log (1)02020t t t t ----<,解得1log (1)(1)t t t t -<-<>,即101(2)t t t t<<-<≠,解得实数t 应满足的关系为12t +>且2t ≠. 例6.(1)是否存在实数m ,使得20x m +<是2230x x -->的充分条件?(2)是否存在实数m ,使得20x m +<是2230x x -->的必要条件?解:欲使得20x m +<是2230x x -->的充分条件,则只要{|}{|12m x x x x <-⊆<-或3}x >,则只要12m -≤-即2m ≥, 故存在实数2m ≥时,使20x m +<是2230x x -->的充分条件.(2)欲使20x m +<是2230x x -->的必要条件,则只要{|}{|12m x x x x <-⊇<-或3}x >,则这是不可能的,故不存在实数m 时,使20x m +<是2230x x -->的必要条件.(四)巩固练习:1.若非空集合M N ≠⊂,则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈”的 条件. 2.05x <<是|2|3x -<的 条件.3.直线,a b 和平面,αβ,//a b 的一个充分条件是( )A.//,//a b ααB.//,//,//a b αβαβC. ,,//a b αβαβ⊥⊥D. ,,a b αβαβ⊥⊥⊥。
高考数学专题《全称量词与存在量词、充要条件》习题含答案解析

专题1.2 全称量词与存在量词、充要条件1.(全国高考真题(理))设命题2:,2n P n N n ∃∈>,则P ⌝为( )A .2,2n n N n ∀∈>B .2,2n n N n ∃∈≤C .2,2n n N n ∀∈≤D .2,2nn N n ∃∈=【答案】C 【解析】特称命题的否定为全称命题,所以命题的否命题应该为2,2n n N n ∀∈≤,即本题的正确选项为C.2.(2021·四川高三三模(理))命题p “(0,)x ∀∈+∞,sin x x >”的否定p ⌝为( )A .0(0,)x ∃∈+∞,00sin x x >B .0(0,)x ∃∈+∞,00sin x x ≤C .00],(x ∃∈-∞,00sin x x >D .00],(x ∃∈-∞,00sin x x ≥【答案】B 【解析】由含有一个量词的命题的否定的定义判断.【详解】因为命题p “(0,)x ∀∈+∞,sin x x >”是全称量词命题,所以其否定是存在量词命题,即0:(0,)p x ⌝∃∈+∞,00sin x x ≤.故选:B3.(2021·上海高三二模)设α:x >1且y >2,β:x +y >3,则α是β成立的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解:若“1x >且2y >”则“3x y +>”成立,练基础当5x =,1y =时,满足3x y +>,但1x >且2y >不成立,故1x >且2y >”是“3x y +>”的充分非必要条件.故选:A .4.(2021·江西高三三模(理))设x ∈R ,则"22x -<<"是"12x <<"的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】用集合法判断即可.【详解】因为集合{|12}x x <<是集合{|22}x x -<<的真子集,所以“22x -<<”是“12x <<”的必要不充分条件.故选:B.5.(2021·浙江绍兴市·高三三模)已知z 是复数,i 是虚数单位,则“z i =-”是“21z =-”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据复数的运算及充分必要条件的判断即可求得结果.【详解】∵z i =-,∴()221z i =-=-;∵21z =-,∴z i =±.故“z i =-”是“21z =-”的充分而非必要条件.故选:A.6.(2021·四川高三二模(文))若l ,m 是平面α外的两条不同直线,且//m α,则“//l m ”是“//l α”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据线线、线面的平行关系,结合条件间的推出关系,判断“//l m ”、“//l α”之间的充分、必要关系.【详解】∵l ,m 是平面α外的两条不同的直线,//m α,∴若//l m ,则推出“//l α”;若//l α,则//l m 或l 与m 相交;∴若l ,m 是平面α外的两条不同直线,且//m α,则“//l m ”是“//l α”的充分不必要条件.故选:A.7.(2021·北京高三二模)“0a ≤是”“函数ln ,0()2,0xx x f x a x >⎧=⎨-+≤⎩有且只有一个零点”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据函数零点的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】当0x >时,令()0f x =,则ln 0x =,1x ∴=,当0x >时,()f x 有一个零点为1,函数()f x 只有一个零点,∴当0x ≤时,()2x f x a =-+无零点,即2x a >或2x a <,∴当0x ≤时,(]20,1x ∈,1a ∴>或0a ≤,0a ∴≤是函数()f x 只有一个零点的充分不必要条件,故选:A.8.(2021·四川泸州市·高三三模(理))“5m =”是“双曲线C :2214x y m m+=-的虚轴长为2”的( )A .充分但不必要条件B .必要但不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据双曲线C :2214x y m m+=-的虚轴长为2求出对应的m 值即可判断.【详解】若双曲线C :2214x y m m+=-的虚轴长为2,则当0m >且40m -<时,即4m >时,2=,解得5m =,当0m <且40m ->时,即0m <时,2=,解得1m =-,所以“双曲线C :2214x y m m +=-的虚轴长为2”对应的m 值为5m =或1m =-,故“5m =”是“双曲线C :2214x y m m+=-的虚轴长为2”的充分但不必要条件.故选:A.9.(2021·上海高三二模)已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+,则“2ϕπ=”是“()f x 为偶函数”的( )条件A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】当2ϕπ=时,()2cos 2f x x =,根据奇偶性的定义判断为偶函数,反之当()f x 为偶函数时,2k πϕπ=+,k Z ∈,从而可得结果.【详解】当2ϕπ=时,()2sin 22cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,∵()()()2cos 22cos 2f x x x f x -=-==,∴()f x 为偶函数.当()f x 为偶函数时,2k πϕπ=+,k Z ∈,综上所述2ϕπ=是()f x 为偶函数的充分不必要条件,故选:A.10.(2021·四川高三三模(理))已知数列{}n a 为等比数列,“650a a >>”是“数列{}n a 为递增数列”的()A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】根据等比数列的通项公式、数列的单调性,结合充分必要条件的定义分析可得答案.【详解】当650a a >>,则651a q a =>,且5140a a q=>,则数列{}n a 为递增数列;反之,当数列{}n a 为递增数列时,也有可能出现650a a >>,故为充分不必要条件.故选:B1.(2021·陕西汉中市·高三二模(文))直线:0l x y a -+=,圆C :222x y +=,则“2a =”是“l 与圆C 相切”的()A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】根据充分条件和必要条件的判断方法,分别判断充分性和必要性,即可的到答案.【详解】圆C 的方程222x y +=,其圆心坐标为()0,0,半径为r =当2a =时,直线20l x y -+=:,圆心到直线的距离d r ===,此时,直线l 与圆C 相切,故充分性成立;当直线l 与圆C 相切时,圆心到直线的距离d ==所以2a =±,故必要性不成立,所以,“2a =”是“直线l 与圆C 相切”的充分不必要条件.故选:B .2.(2021·江西高三其他模拟(文))“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的()练提升A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】先求出方程221x ny +=表示焦点在x 轴 上的圆锥曲线对应的n 的范围,再结合两者的关系可得两者之间的条件关系.【详解】当0n <时,方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的双曲线;当0n >时,221x ny +=可化为2211y x n+=,因为椭圆的焦点在x 轴上,所以11n>即1n >,故方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线时,0n <或1n >,故“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件,故选:A.3.(2021·湖南高三三模)设a ,b ,m 为实数,给出下列三个条件:①33a b >:②22am bm >;③11a b<,其中使a b >成立的充分不必要条件是( )A .①B .②C .③D .①②③【答案】B 【解析】利用充分条件和必要条件的定义逐个分析判断即可【详解】解:对于①,当33a b >时,a b >成立,而当a b >时,33a b >成立,所以33a b >是a b >的充要条件,所以①不合题意;对于②,当22am bm >时,由不等式的性质可知a b >成立,而当a b >,0m =时,22am bm >不成立,所以22am bm >是a b >的充分不必要条件,所以②符合题意;对于③,当1,1a b =-=时,11a b <成立,而a b >不成立,当1,1a b ==-时,a b >成立,而11a b<不成立,所以11a b<是a b >的既不充分也不必要条件,所以③不合题意,故选:B4.(2021·浙江高三月考)在ABC V 中,“ABC V 为钝角三角形”是“cos cos A B +>的( ).A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】考虑两个条件之间的推出关系后可判断两者之间的条件关系.【详解】取2,63A C B ππ===,则21cos cos 2A B -+=<<,故“ABC V 为钝角三角形”推不出“cos cos A B +>若cos cos A B +>若A 为钝角或直角,则cos cos B A >-≥A 为锐角,同理B 为锐角.若2A B π+≥,则022B A ππ<-≤<,故cos cos sin 2A B B π⎛⎫≤-=⎪⎝⎭,所以sin cos cos cos B B A B +≥+>4B π⎛⎫+> ⎪⎝⎭,矛盾.故2A B π+<即C 为钝角.故“cos cos A B +>能推出“ABC V 为钝角三角形”,故选:B.5.(2021·江西上饶市·高三其他模拟(理))将函数()cos(2)6f x x π=-向左平移()0ϕϕ>个单位长度,所得图像的对应函数为()g x ,则“3πϕ=”是“()g x 为奇函数”的()A .充分不必要B .必要不充分C .充要条件D .既不充分也不必要【答案】A 【解析】分别从3πϕ=及()g x 为奇函数出发,证明对方是否成立,从而验证二者的关系.【详解】当3πϕ=时,()cos[2()sin 236g x x x ππ=+-=-,易知()g x 为奇函数,则“3πϕ=”是“()g x 为奇函数”的充分条件;当 “()g x 为奇函数”时,()cos[2()]cos(22)66g x x x ππϕϕ=+-=+-,则必有26232k k ππππϕπϕ-=+⇒=+,k Z ∈,故3πϕ=只是其中一个值,则“3πϕ=”是“()g x 为奇函数”的不必要条件;故选:A6.【多选题】(2020·全国高一课时练习)下列命题是真命题的为( )A .2,10x R x ∀∈--<B .,,n Z m Z nm m∀∈∃∈=C .所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径D .存在实数x ,使得213234x x =-+【答案】ABC 【解析】根据题意,依次分析各选项即可得答案.【详解】对于A ,2,0x R x ∀∈-≤,所以210x --<,故A 选项是真命题;对于B ,当0m =时,nm m =恒成立,故B 选项是真命题;对于C ,任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径,故C 选项是真命题.对于D ,因为()2223122-+=-+≥x x x ,所以21132324x x ≤<-+.故D 选项是假命题. 故选:ABC.7.【多选题】(2021·湖南常德市·高三一模)下列说法正确的是( )A .命题:0,1∃<->x p x e x 的否定¬:0,1x p x e x ∀<-…B .二项式5(12)x +的展开式的各项的系数和为32C .已知直线a ⊂平面α,则“l a //”是//l α”的必要不充分条件D .函数1sin sin y x x=+的图象关于直线2x π=对称【答案】AD 【解析】根据特称命题的否定求解方法可判断A ;令1x =代入二项式即可求得各项的系数和,可判断B ;由于直线l 与α的关系不确定故能判断C ;判断()f x π-是否等于()f x ,就能判断D 是否正确.【详解】解:对于A :命题:0,1∃<->x p x e x 的否定¬:0,1x p x e x ∀<-≤,故A 正确;对于B :二项式5(12)x +的展开式的各项的系数和为55(12)3+=,故B 错误;对于C :已知直线a ⊂平面α,由于直线l 与α的关系不确定,故“l a //”是//l α”的既不必要不充分条件,故C 错误;对于D :由于x 关于2x π=的对称点为x π-,故1()sin sin f x x x=+,满足11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x πππ-=-+=+=-,故函数1sin sin y x x=+的图象关于直线2x π=对称,故D 正确.故选:AD .8.【多选题】(2021·湖南高三月考)下列“若p ,则q ”形式的命题中,p 是q 的必要条件的是( )A .若两直线的斜率相等,则两直线平行B .若5x >,则10x >C .已知a →是直线a 的方向向量,n →是平面α的法向量,若a α⊥,则a n →→⊥D .已知可导函数()f x ,若0()0f x '=,则()f x 在0x x =处取得极值【答案】BD 【解析】只需判断必要性是否成立即可.【详解】对于A ,两直线平行时,两直线的斜率相等或斜率都不存在,所以必要性不成立;对于B ,x > 10时,x > 5,所以必要性成立;对于C ,若a n →→⊥,则a //a 或a ⊂a ,所以必要性不成立;对于D ,f (x )在0x x =处取得极值时,必有0()0f x '=,必要性成立.故选: BD9.(2021·四川高三三模(文))已知函数2()2f x x ax b =-+,()x R ∈.下列四个命题:①a R ∃∈,使()f x 为偶函数;②若(0)(2)f f =,则()f x 的图象关于直线1x =对称;③若20a b -≤,则()f x 在区间[,)a +∞上是增函数;④若220a b -->,则函数()()2h x f x =-有两个零点.其中所有真命题的序号是___________.【答案】①③【解析】根据一元二次函数及绝对值函数的性质,结合奇偶性,对称性,单调性对每一项进行分析即可.【详解】若()f x 为偶函数,则22()2()2f x x ax b f x x ax b -=++==-+,则22222224()0x ax b x ax b ax x b ++=-+⇒+=对x R ∀∈恒成立,则0a =,故①正确;(0)f b =,(2)44f a b =-+,若(0)(2)f f =,即44b a b =-+,则441b a b a =-+⇔=或4422b a b a b -=-+⇔-=,若取0,2a b ==-,则2()2f x x =-关于0x =对称,②错误;若20a b -≤,函数22y x ax b =-+的判别式2440a b ∆=-≤,即220y x ax b =-+≥,22()22f x x ax b x ax b =-+=-+,由二次函数性质,知()f x 在区间[,)a +∞上是增函数,③正确;取0,4a b ==-,满足220a b -->,则22()4242f x x x =-=⇔-=或2-,解得x =,即()()2h x f x =-有4个零点,④错误;故答案为:①③10.(2021·浙江高一期末)命题“x R ∀∈,210x x ++>”的否定是_______________;设a ,b ,c 分别是ABC V 的三条边,且a b c ≤≤.我们知道ABC V 为直角三角形,那么222+=a b c .反过来,如果222+=a b c ,那么ABC V 为直角三角形.由此可知,ABC V 为直角三角形的充要条件是222+=a b c .请利用边长a ,b ,c 给出ABC V 为锐角三角形的一个充要条件是______________.【答案】x R ∃∈,210x x ++≤222a b c +> 【解析】根据全称量词命题的否定直接写出即可;根据勾股定理,充要条件及反证法得出ABC V 为锐角三角形的一个充要条件是222a b c +>.【详解】解:根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知,命题“x R ∀∈,210x x ++>”的否定是x R ∃∈,210x x ++≤;设a ,b ,c 是ABC V 的三条边,且a b c ≤≤,ABC V 为锐角三角形的一个充要条件是222a b c +>.证明如下:必要性:在ABC V 中,C ∠是锐角,过点A 作AD BC ⊥于点D ,如下图:根据图象可知()222222AB AD BD AC CD BC CD =+=-+-2222222222AC CD BC CD BC CD AC BC BC CD AC BC =-++-⋅=+-⋅<+,即222AB AC BC <+,222a b c +>可得证.充分性:在ABC V 中,222a b c +>,所以C ∠不是直角.假设C ∠是钝角,如下图:过点A 作AD BC ⊥,交BC 延长线于点D ,则()222222AB AD BD AC CD BC CD =+=-++2222222222AC CD BC CD BC CD AC BC BC CD AC BC =-+++⋅=++⋅>+,即222AB AC BC >+,222a b c +<,与222a b c +>矛盾.故C ∠为锐角,即ABC V 为锐角三角形.1.(2019年高考全国Ⅱ卷理)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是()A .α内有无数条直线与β平行B .α内有两条相交直线与β平行C .α,β平行于同一条直线D .α,β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知:内有两条相交直线都与平行是的充分条件;由面面平行的性质定理知,若,则内任意一条直线都与平行,所以内有两条相交直线都与平行是的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.故选B .2.(2019·天津高考真题(文))设x ∈R ,则“05x <<”是“11x -<”的()A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】11x -<等价于02x <<,故05x <<推不出11x -<;由11x -<能推出05x <<.故“05x <<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件.故选B .3.(2019年高考浙江)若a >0,b >0,则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的( )αβαβ∥αβ∥αβαβαβ∥练真题A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当时,,则当时,有,解得,充分性成立;当时,满足,但此时,必要性不成立,综上所述,“”是“”的充分不必要条件.故选A.4.(2020·北京高考真题)已知,R αβ∈,则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的( ).A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件,必要条件的定义,以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-时,若k 为偶数,则()sin sin sin k απββ=+=;若k 为奇数,则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦;(2)当sin sin αβ=时,2m αβπ=+或2m αβππ+=+,m Z ∈,即()()12kk k m απβ=+-=或()()121k k k m απβ=+-=+,亦即存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-.所以,“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选:C.5.(2018·浙江省高考真题)已知两条直线和平面,若,则是的( )A .充分但不必要条件B .必要但不充分条件0, 0a >b>a b +≥4a b +≤4a b ≤+≤4ab ≤=1, =4a b 4ab ≤=5>4a+b 4a b +≤4ab ≤,a b αb α⊂//a b //a αC .充要条件D .既不充分又不必要条件【答案】D【解析】当时,若时,与的关系可能是,也可能是,即不一定成立,故为假命题;若时,与的关系可能是,也可能是与异面,即不一定成立,故也为假命题;故是的既不充分又不必要条件故选:D6.(2020·全国高考真题(理))设有下列四个命题:p 1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.p 4:若直线l ⊂平面α,直线m ⊥平面α,则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【答案】①③④【解析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假;利用三点共线可判断命题2p 的真假;利用异面直线可判断命题3p 的真假,利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ,可设1l 与2l 相交,这两条直线确定的平面为α;若3l 与1l 相交,则交点A 在平面α内,同理,3l 与2l 的交点B 也在平面α内,b α⊂//a b a α//a αa α⊂//a α////a b a α⇒//a αa b //a b a b //a b ////a a b α⇒//a b //a α所以,AB α⊂,即3l α⊂,命题1p 为真命题;对于命题2p ,若三点共线,则过这三个点的平面有无数个,命题2p 为假命题;对于命题3p ,空间中两条直线相交、平行或异面,命题3p 为假命题;对于命题4p ,若直线m ⊥平面α,则m 垂直于平面α内所有直线,直线l ⊂平面α,∴直线m ⊥直线l ,命题4p 为真命题.综上可知,,为真命题,,为假命题,14p p ∧为真命题,12p p ∧为假命题,23p p ⌝∨为真命题,34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为:①③④.。
高考数学充要条件的判定测试及解析

高考数学充要条件的判定测试及解析充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念,主要用来区分命题的条件p 和结论q 之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义,让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.●难点磁场(★★★★★)已知关于x 的实系数二次方程x 2+ax +b =0有两个实数根α、β,证明:|α|<2且|β|<2是2|a |<4+b 且|b |<4的充要条件.●案例探究[例1]已知p :|1-31-x |≤2,q :x 2-2x +1-m 2≤0(m >0),若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件,求实数m 的取值范围.命题意图:本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象,同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用,强调了知识点的灵活性.知识依托:本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化,使考生对充要条件的难理解变得简单明了.错解分析:对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点,对否命题,学生本身存在着语言理解上的困难.技巧与方法:利用等价命题先进行命题的等价转化,搞清晰命题中条件与结论的关系,再去解不等式,找解集间的包含关系,进而使问题解决.解:由题意知:命题:若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为:p 是q 的充分不必要条件.p :|1-31-x |≤2⇒-2≤31-x -1≤2⇒-1≤31-x ≤3⇒-2≤x ≤10 q :x 2-2x +1-m 2≤0⇒[x -(1-m )][x -(1+m )]≤0 *∵p 是q 的充分不必要条件,∴不等式|1-31-x |≤2的解集是x 2-2x +1-m 2≤0(m >0)解集的子集. 又∵m >0∴不等式*的解集为1-m ≤x ≤1+m ∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ,∴m ≥9, ∴实数m 的取值范围是[9,+∞).[例2]已知数列{a n }的前n 项S n =p n +q (p ≠0,p ≠1),求数列{a n }是等比数列的充要条件. 命题意图:本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性. 知识依托:以等比数列的判定为主线,使本题的闪光点在于抓住数列前n 项和与通项之间的递推关系,严格利用定义去判定.错解分析:因为题目是求的充要条件,即有充分性和必要性两层含义,考生很容易忽视充分性的证明.技巧与方法:由a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n关系式去寻找a n 与a n +1的比值,但同时要注意充分性的证明.解:a 1=S 1=p +q .当n ≥2时,a n =S n -S n -1=p n -1(p -1)∵p ≠0,p ≠1,∴)1()1(1---p p p p n n =p 若{a n }为等比数列,则nn a a a a 112+==p ∴qp p p +-)1(=p , ∵p ≠0,∴p -1=p +q ,∴q =-1这是{a n }为等比数列的必要条件.下面证明q =-1是{a n }为等比数列的充分条件.当q =-1时,∴S n =p n -1(p ≠0,p ≠1),a 1=S 1=p -1当n ≥2时,a n =S n -S n -1=p n -p n -1=p n -1(p -1)∴a n =(p -1)p n -1 (p ≠0,p ≠1) 211)1()1(-----=n n n n p p p p a a =p 为常数 ∴q =-1时,数列{a n }为等比数列.即数列{a n }是等比数列的充要条件为q =-1.●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有:(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念:当“若p 则q ”形式的命题为真时,就记作p ⇒q ,称p 是q 的充分条件,同时称q 是p 的必要条件,因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的概念,对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词语:“等价于”,“当且仅当”,“必须并且只需”,“……,反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相称性,即数学概念的定义都可以看成是充要条件,既是概念的判断依据,又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看,若A ⊆B ,则A 是B 的充分条件,B 是A 的必要条件;若A =B ,则A 、B 互为充要条件.(5)证明命题条件的充要性时,既要证明原命题成立(即条件的充分性),又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)函数f (x )=x |x +a |+b 是奇函数的充要条件是( )A.ab =0B.a +b =0C.a =bD.a 2+b 2=02.(★★★★)“a =1”是函数y =cos 2ax -sin 2ax 的最小正周期为“π”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件二、填空题3.(★★★★)a =3是直线ax +2y +3a =0和直线3x +(a -1)y =a -7平行且不重合的_________.4.(★★★★)命题A :两曲线F (x ,y )=0和G (x ,y )=0相交于点P (x 0,y 0),命题B :曲线F (x ,y )+λG (x ,y )=0(λ为常数)过点P (x 0,y 0),则A 是B 的__________条件.三、解答题5.(★★★★★)设α,β是方程x 2-ax +b =0的两个实根,试分析a >2且b >1是两根α、β均大于1的什么条件?6.(★★★★★)已知数列{a n }、{b n }满足:b n =nna a a n +++++++ 321221,求证:数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.(★★★★★)已知抛物线C :y =-x 2+mx -1和点A (3,0),B (0,3),求抛物线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件.8.(★★★★★)p :-2<m <0,0<n <1;q :关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根,试分析p 是q 的什么条件.(充要条件)参考答案难点磁场证明:(1)充分性:由韦达定理,得|b |=|α·β|=|α|·|β|<2×2=4.设f (x )=x 2+ax +b ,则f (x )的图象是开口向上的抛物线.又|α|<2,|β|<2,∴f (±2)>0.即有⇒⎩⎨⎧>+->++024024b a b a 4+b >2a >-(4+b ) 又|b |<4⇒4+b >0⇒2|a |<4+b(2)必要性:由2|a |<4+b ⇒f (±2)>0且f (x )的图象是开口向上的抛物线.∴方程f (x )=0的两根α,β同在(-2,2)内或无实根.∵α,β是方程f (x )=0的实根,∴α,β同在(-2,2)内,即|α|<2且|β|<2.歼灭难点训练一、1.解析:若a 2+b 2=0,即a =b =0,此时f (-x )=(-x )|x +0|+0=-x ·|x |=-(x |x +0|+b ) =-(x |x +a |+b )=-f (x ).∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的充分条件,又若f (x )=x |x +a |+b 是奇函数,即f (-x )=(-x )|(-x )+a |+b =-f (x ),则必有a =b =0,即a 2+b 2=0.∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的必要条件.答案:D2.解析:若a =1,则y =cos 2x -sin 2x =cos2x ,此时y 的最小正周期为π.故a =1是充分条件,反过来,由y =cos 2ax -sin 2ax =cos2ax .故函数y 的最小正周期为π,则a =±1,故a =1不是必要条件.答案:A二、3.解析:当a =3时,直线l 1:3x +2y +9=0;直线l 2:3x +2y +4=0.∵l 1与l 2的A 1∶A 2=B 1∶B 2=1∶1,而C 1∶C 2=9∶4≠1,即C 1≠C 2,∴a =3⇔l 1∥l 2.答案:充要条件4.解析:若P (x 0,y 0)是F (x ,y )=0和G (x ,y )=0的交点,则F (x 0,y 0)+λG (x 0,y 0)=0,即F (x ,y )+λG (x ,y )=0,过P (x 0,y 0);反之不成立.答案:充分不必要三、5.解:根据韦达定理得a =α+β,b =αβ.判定的条件是p :⎩⎨⎧>>12b a 结论是q :⎩⎨⎧>>11βα(注意p 中a 、b 满足的前提是Δ=a 2-4b ≥0)(1)由⎩⎨⎧>>11βα,得a =α+β>2,b =αβ>1,∴q ⇒p (2)为证明p q ,可以举出反例:取α=4,β=21,它满足a =α+β=4+21>2,b =αβ=4×21=2>1,但q 不成立. 综上讨论可知a >2,b >1是α>1,β>1的必要但不充分条件.6.证明:①必要性:设{a n }成等差数列,公差为d ,∵{a n }成等差数列.d n a n n n n d n a n na a a b n n 32)1(1])1(3221[)21(32121121⋅-+=+++-++⋅+⋅++++=+++++++=∴ 从而b n +1-b n =a 1+n ·32d -a 1-(n -1) 32d =32d 为常数. 故{b n }是等差数列,公差为32d . ②充分性:设{b n }是等差数列,公差为d ′,则b n =(n -1)d ′∵b n (1+2+…+n )=a 1+2a 2+…+na n ① b n -1(1+2+…+n -1)=a 1+2a 2+…+(n -1)a n② ①-②得:na n =2)1(2)1(--+n n b n n n b n -1 ∴a n =d n b d n b n d n b n b n b n n n '⋅-+='-+--'-++=--+-23)1(])2([21])1([2121211111,从而得a n +1-a n =23d ′为常数,故{a n }是等差数列. 综上所述,数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.解:①必要性:由已知得,线段AB 的方程为y =-x +3(0≤x ≤3)由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点,所以方程组⎩⎨⎧≤≤+-=-+-=)30(312x x y mx x y *有两个不同的实数解. 消元得:x 2-(m +1)x +4=0(0≤x ≤3)设f (x )=x 2-(m +1)x +4,则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<≤<⇒≥++-=≥=>⨯-+=∆3210310304)1(39)3(04)0(044)1(2m m m f f m ②充分性:当3<x ≤310时, x 1=2)1(1216)1(122+-+>-+-+m m m m >0 3216)1310(1310216)1(1222=-+++≤-+-+=m m x ∴方程x 2-(m +1)x +4=0有两个不等的实根x 1,x 2,且0<x 1<x 2≤3,方程组*有两组不同的实数解.因此,抛物线y =-x 2+mx -1和线段AB 有两个不同交点的充要条件3<m ≤310. 8.解:若关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根,设为x 1,x 2.则0<x 1<1,0<x 2<1,有0<x 1+x 2<2且0<x 1x 2<1, 根据韦达定理:⎩⎨⎧<<<-<⎩⎨⎧=-=+10202121n m n x x m x x 得 有-2<m <0;0<n <1即有q ⇒p .反之,取m =-21491,02131,21,312⨯-=∆=+-=x x n <0 方程x 2+mx +n =0无实根,所以p q综上所述,p 是q 的必要不充分条件.。
高中数学命题与充要条件练习题附答案精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版1.已知x∈R,命题“若x2>0,则x>0”的逆命题、否命题和逆否命题中,正确命题的个数是()A.0B.1C.2 D.3解析:选C.命题“若x2>0,则x>0”的逆命题是“若x>0,则x2>0”,是真命题;否命题是“若x2≤0,则x≤0”,是真命题;逆否命题是“若x≤0,则x2≤0”,是假命题.综上,以上3个命题中真命题的个数是2.故选C.2.已知命题p:“正数a的平方不等于0”,命题q:“若a不是正数,则它的平方等于0”,则q是p的()A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定解析:选B.命题p:“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数,则它的平方不等于0”,从而q是p的否命题.3.(2018·陕西质量检测(一))设a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是“a<b”的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:选A.由(a-b)a2<0可知a2≠0,则一定有a-b<0,即a<b;但是a<b即a -b<0时,有可能a=0,所以(a-b)a2<0不一定成立,故“(a-b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件,选A.4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“sin A>sin B”是“a>b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选C.设△ABC外接圆的半径为R,若sin A>sin B,则2R sin A>2R sin B,即a>b;若a>b,则a2R>b2R,即sin A>sin B,所以在△ABC中,“sin A>sin B”是“a>b”的充要条件,故选C.5.有下列命题:①“若x+y>0,则x>0且y>0”的否命题;②“矩形的对角线相等”的否命题;③“若m ≥1,则mx 2-2(m +1)x +m +3>0的解集是R ”的逆命题; ④“若a +7是无理数,则a 是无理数”的逆否命题. 其中正确的是( ) A .①②③ B .②③④ C .①③④D .①④解析:选C .①的逆命题为“若x >0且y >0,则x +y >0”为真,故否命题为真; ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”,为假命题; ③的逆命题为“若mx 2-2(m +1)x +m +3>0的解集为R ,则m ≥1”. 因为当m =0时,解集不是R ,所以应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0,Δ<0,即m >1.所以③是真命题;④原命题为真,逆否命题也为真.6.(2018·石家庄模拟)“log 2(2x -3)<1”是“4x >8”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A .由log 2(2x -3)<1⇒0<2x -3<2⇒32<x <52,4x >8⇒2x >3⇒x >32,所以“log 2(2x -3)<1”是“4x >8”的充分不必要条件,故选A .7.已知直线l ,m ,其中只有m 在平面α内,则“l ∥α”是“l ∥m ”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析:选B .当l ∥α时,直线l 与平面α内的直线m 平行、异面都有可能,所以l ∥m 不一定成立;当l ∥m 时,根据直线与平面平行的判定定理知直线l ∥α,即“l ∥α”是“l ∥m ”的必要不充分条件,故选B .8.命题“对任意x ∈[1,2),x 2-a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A .a ≥4 B .a >4 C .a ≥1D .a >1解析:选B .要使“对任意x ∈[1,2),x 2-a ≤0”为真命题,只需要a ≥4,所以a >4是命题为真的充分不必要条件.9.(2017·高考浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析:选C .因为{a n }为等差数列,所以S 4+S 6=4a 1+6d +6a 1+15d =10a 1+21d ,2S 5=10a 1+20d ,S 4+S 6-2S 5=d ,所以d >0⇔S 4+S 6>2S 5,故选C .10.(2018·惠州第三次调研)设函数y =f (x ),x ∈R ,“y =|f (x )|是偶函数”是“y =f (x )的图象关于原点对称”的( )A .充分不必要条件B .充要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件解析:选C .设f (x )=x 2,y =|f (x )|是偶函数,但是不能推出y =f (x )的图象关于原点对称.反之,若y =f (x )的图象关于原点对称,则y =f (x )是奇函数,这时y =|f (x )|是偶函数,故选C .11.(2018·贵阳检测)设向量a =(1,x -1),b =(x +1,3),则“x =2”是“a ∥b ”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A .依题意,注意到a ∥b 的充要条件是1×3=(x -1)(x +1),即x =±2.因此,由x =2可得a ∥b ,“x =2”是“a ∥b ”的充分条件;由a ∥b 不能得到x =2,“x =2”不是“a ∥b ”的必要条件,故“x =2”是“a ∥b ”的充分不必要条件,选A .12.(2018·郑州第一次质量预测)已知命题p :1a >14,命题q :∀x ∈R ,ax 2+ax +1>0,则p 成立是q 成立的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A .命题p 等价于0<a <4.命题q ,对∀x ∈R ,ax 2+ax +1>0,必有⎩⎪⎨⎪⎧a =01>0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0a 2-4a <0,则0≤a <4,所以命题p 成立是命题q 成立的充分不必要条件,故选A . 13.下列命题中为真命题的是________. ①命题“若x >1,则x 2>1”的否命题; ②命题“若x >y ,则x >|y |”的逆命题; ③命题“若x =1,则x 2+x -2=0”的否命题; ④命题“若x 2>1,则x >1”的逆否命题.解析:对于①,命题“若x >1,则x 2>1”的否命题为“若x ≤1,则x 2≤1”,易知当x =-2时,x 2=4>1,故①为假命题;对于②,命题“若x >y ,则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |,则x >y ”,分析可知②为真命题;对于③,命题“若x =1,则x 2+x -2=0”的否命题为“若x ≠1,则x 2+x -2≠0”,易知当x =-2时,x 2+x -2=0,故③为假命题;对于④,命题“若x 2>1,则x >1”的逆否命题为“若x ≤1,则x 2≤1”,易知当x =-2时,x 2=4>1,故④为假命题.答案:②14.给出命题:若函数y =f (x )是幂函数,则函数y =f (x )的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中,真命题的个数是________.解析:原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题;它的逆命题为“若函数y =f (x )的图象不过第四象限,则函数y =f (x )是幂函数”,显然逆命题为假命题,故原命题的否命题也为假命题.因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个.答案:115.若命题“ax 2-2ax -3>0不成立”是真命题,则实数a 的取值范围是________. 解析:由题意知ax 2-2ax -3≤0恒成立,当a =0时,-3≤0成立;当a ≠0时,得⎩⎪⎨⎪⎧a <0,Δ=4a 2+12a ≤0,解得-3≤a <0,故-3≤a ≤0. 答案:[-3,0]16.(2018·长沙模拟)给出下列命题:①已知集合A ={1,a },B ={1,2,3},则“a =3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件; ②“x <0”是“ln(x +1)<0”的必要不充分条件;③“函数f (x )=cos 2ax -sin 2ax 的最小正周期为π”是“a =1”的充要条件;④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b <0”.其中正确命题的序号是________.(把所有正确命题的序号都写上)解析:①因为“a =3”可以推出“A ⊆B ”,但“A ⊆B ”不能推出“a =3”,所以“a =3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件,故①正确;②“x <0”不能推出“ln(x +1)<0”,但“ln(x +1)<0”可以推出“x <0”,所以“x <0”是“ln(x +1)<0”的必要不充分条件,故②正确;③f (x )=cos 2ax -sin 2ax =cos 2ax ,若其最小正周期为π,则2π2|a |=π⇒a =±1,因此“函数f (x )=cos 2ax -sin 2ax 的最小正周期为π”是“a =1”的必要不充分条件,故③错误;④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”可以推出“a·b <0”,但由“a·b <0”,得“平面向量a 与b 的夹角是钝角或平角”,所以“a·b <0”是“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的必要不充分条件,故④错误.正确命题的序号是①②.答案:①②1.(2017·高考天津卷)设θ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12”是“sin θ<12”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A .因为⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12⇔-π12<θ-π12<π12⇔0<θ<π6, sin θ<12⇔θ∈⎝⎛⎭⎫2k π-7π6,2k π+π6,k ∈Z ,⎝⎛⎭⎫0,π6⎝⎛⎭⎫2k π-7π6,2k π+π6,k ∈Z ,所以“⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件. 2.下列选项中,p 是q 的必要不充分条件的是( ) A .p :x =1,q :x 2=x B .p :|a |>|b |,q :a 2>b 2 C .p :x >a 2+b 2,q :x >2ab D .p :a +c >b +d ,q :a >b 且c >d解析:选D.A 中,x =1⇒x 2=x ,x 2=x ⇒x =0或x =1⇒/ x =1,故p 是q 的充分不必要条件;B 中,因为|a |>|b |,根据不等式的性质可得a 2>b 2,反之也成立,故p 是q 的充要条件;C 中,因为a 2+b 2≥2ab ,由x >a 2+b 2,得x >2ab ,反之不成立,故p 是q 的充分不必要条件;D 中,取a =-1,b =1,c =0,d =-3,满足a +c >b +d ,但是a <b ,c >d ,反之,由同向不等式可加性得a >b ,c >d ⇒a +c >b +d ,故p 是q 的必要不充分条件.综上所述,故选D.3.已知p :x ≥k ,q :(x +1)(2-x )<0,如果p 是q 的充分不必要条件,则实数k 的取值范围是( )A .[2,+∞)B .(2,+∞)C .[1,+∞)D .(-∞,-1]解析:选B .由q :(x +1)(2-x )<0,得x <-1或x >2,又p 是q 的充分不必要条件,所以k >2,即实数k 的取值范围是(2,+∞),故选B .4.已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8,x ∈R ,B ={x |-1<x <m +1,x ∈R },若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ,则实数m 的取值范围是________.解析:因为A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8,x ∈R ={x |-1<x <3},x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ,所以A B ,所以m +1>3,即m >2.答案:m >25.已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y =x 2-32x +1,x ∈⎣⎡⎦⎤34,2,B ={x |x +m 2≥1}.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件,求实数m 的取值范围.解:y =x 2-32x +1=⎝⎛⎭⎫x -342+716,因为x ∈⎣⎡⎦⎤34,2,所以716≤y ≤2, 所以A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |716≤y ≤2.由x +m 2≥1,得x ≥1-m 2, 所以B ={x |x ≥1-m 2}.因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件,所以A ⊆B ,所以1-m 2≤716,解得m ≥34或m ≤-34,故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,-34∪⎣⎡⎭⎫34,+∞. 6.已知两个关于x 的一元二次方程mx 2-4x +4=0和x 2-4mx +4m 2-4m -5=0,求两方程的根都是整数的充要条件.解:因为mx 2-4x +4=0是一元二次方程,所以m ≠0.又另一方程为x 2-4mx +4m 2-4m -5=0,且两方程都要有实根,所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1=16(1-m )≥0,Δ2=16m 2-4(4m 2-4m -5)≥0,解得m ∈⎣⎡⎦⎤-54,1. 因为两方程的根都是整数, 故其根的和与积也为整数,所以⎩⎪⎨⎪⎧4m∈Z ,4m ∈Z ,4m 2-4m -5∈Z .所以m 为4的约数. 又因为m ∈⎣⎡⎦⎤-54,1, 所以m =-1或1.当m =-1时,第一个方程x 2+4x -4=0的根为非整数; 而当m =1时,两方程的根均为整数, 所以两方程的根均为整数的充要条件是m =1.。
高考数学基础知识专题提升训练27---充要条件

高考数学基础知识专题提升训练充要条件1.“(2x-1)x=0”是“x=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2x-1)x=0⇔x=0或x=1,所以“(2x-1)x=0”是“x=0”的必要不充分条件.22.设x∈R,则“2-x≥0”是“|x+1|≤1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2-x≥0,得x≤2;由|x+1|≤1,得-1≤x+1≤1,得-2≤x≤0.则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要不充分条件.3.王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”,请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪,非常之观”的() A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件,意思是“能至”一定“有志”,但“有志”也不一定“能至”,故“有志”是“能至”的必要不充分条件.4.一次函数y=-m n x+1n 的图象同时经过第一、第三、第四象限的充要条件是()A.m>1,且n<1B.mn<0C.m>0,且n<0D.m<0,且n<0y=-m n x+1n 经过第一、第三、第四象限,所以-m n >0,1n <0,所以m>0,n<0,此为充要条件.5.有下述说法:①a>b>0是a 2>b 2的充要条件;②a>b>0是1a <1b 的充要条件;③a>b>0是a 3>b 3的充要条件.其中正确的说法有()A.0个B.1个C.2个D.3个 解析:a>b>0⇒a 2>b 2,a 2>b 2⇒|a|>|b|a>b>0,故①错.a>b>0⇒1a <1b ,但1a <1b a>b>0,故②错.a>b>0⇒a 3>b 3,但a 3>b 3a>b>0,故③错.答案:A6.在平面直角坐标系中,点(x+5,1-x )在第一象限的充要条件是.(x+5,1-x )在第一象限⇔{x +5>0,1-x >0,解得-5<x<1.5<x<17.已知p :x>a 是q :2<x<3的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是.,可得{x|2<x<3}⫋{x|x>a },故a ≤2.a|a ≤2}8.设n ∈N *,一元二次方程x 2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=.Δ=16-4n ≥0,得n ≤4,又n ∈N *,则n=1,2,3,4.当n=1,2时,方程没有整数根;当n=3时,方程有整数根1,3,当n=4时,方程有整数根2.综上可知,n=3或4.或49.已知集合P={x|-2≤x ≤10},非空集合S={x|1-m ≤x ≤1+m }.(1)若x ∈P 是x ∈S 的必要条件,求实数m 的取值范围;(2)是否存在实数m ,使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.由x ∈P 是x ∈S 的必要条件,知S ⊆P.则{1-m ≤1+m ,1-m ≥-2,1+m ≤10,解得0≤m ≤3.故当0≤m ≤3时,x ∈P 是x ∈S 的必要条件,即所求m 的取值范围是{m|0≤m ≤3}.(2)若x ∈P 是x ∈S 的充要条件,则P=S ,得{1-m =-2,1+m =10,方程组无解, 即不存在实数m ,使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.10.设x ,y ∈R ,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy ≥0.:若xy ≥0,则有xy=0和xy>0两种情况.当xy=0时,不妨设x=0,则|x+y|=|y|,|x|+|y|=|y|,等式成立.当xy>0时,即x>0,y>0或x<0,y<0,又当x>0,y>0时,|x+y|=x+y ,|x|+|y|=x+y ,等式成立.当x<0,y<0时,|x+y|=-(x+y),|x|+|y|=-x-y,等式成立.总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|成立.②必要性:若|x+y|=|x|+|y|,且x,y∈R,则|x+y|2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x||y|,则|xy|=xy,所以xy≥0.综上可知,xy≥0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件.。
充要条件的测试题及答案

充要条件的测试题及答案1. 判断下列命题是否为充要条件,并说明理由。
(1) 若a > 0,则a² > 0。
(2) 若a² > 0,则a > 0。
2. 已知命题p:"若x > 2,则x² > 4",命题q:"若x² > 4,则x > 2",判断p和q是否互为充要条件。
3. 判断以下命题是否为充要条件。
(1) 若x² - 4x + 4 = 0,则x = 2。
(2) 若x = 2,则x² - 4x + 4 = 0。
4. 判断以下命题是否为充要条件。
(1) 若x² + y² = 0,则x = 0且y = 0。
(2) 若x = 0且y = 0,则x² + y² = 0。
5. 已知命题p:"若x > 0,则x² > 0",命题q:"若x² > 0,则x > 0",判断p和q是否互为充要条件。
6. 判断以下命题是否为充要条件。
(1) 若x² - 2x + 1 = 0,则x = 1。
(2) 若x = 1,则x² - 2x + 1 = 0。
7. 已知命题p:"若x > 1,则x² > 1",命题q:"若x² > 1,则x > 1",判断p和q是否互为充要条件。
8. 判断以下命题是否为充要条件。
(1) 若x³ = 8,则x = 2。
(2) 若x = 2,则x³ = 8。
9. 判断以下命题是否为充要条件。
(1) 若x² - 6x + 9 = 0,则x = 3。
(2) 若x = 3,则x² - 6x + 9 = 0。
高考数学专项: 充分条件与必要条件(习题作业)解析版

1.4充分条件与必要条件一、单选题1.已知:02p x ,:13q x ,则p 是q 的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【分析】将,p q 相互推导,根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.【详解】由:02p x ,可得出:13q x ,故p q ,由:13q x ,得不出:02p x ,所以p 是q 的充分而不必要条件,故选:A.2.设R a ,则“1a ”是“21a ”的()A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分也非必要条件【答案】A【分析】根据给定条件,利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】由21a 得1a 或1a ,因此“若1a ,则21a ”是真命题,“若21a ,则1a ”是假命题,所以“1a ”是“21a ”的充分不必要条件.故选:A3.“2x 且3y ”是“5x y ”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断结果.【详解】2x 且3y 能够推出5x y ,反之5x y 不能推出2x 且3y ,所以“2x 且3y ”是“5x y ”的充分不必要条件.故选:A .4.已知a 、b 、R c ,则“a b ”是“22ac bc ”的().A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分也非必要条件【答案】B【分析】当0c =时,代入验证不充分,根据不等式性质得到必要性,得到答案.【详解】若a b ,当0c =时,220ac bc ,故不充分;若22ac bc ,则0c ,故a b ,必要性.故“a b ”是“22ac bc ”的必要非充分条件.故选:B5.设,R x y ,则“0x y ”是“0xy ”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】D【分析】先判断充分性是否满足,再判断必要性是否满足,即可得答案.【详解】解:充分性:若0x y ,则可得,x y 有三种可能:①两个都为正;②一个为正、一个为零;③一个为正、一个为负且正数的绝对值大于负数的绝对值,所以0xy 或0xy 或0xy ,故0x y 不是0xy 的充分条件;必要性:若0xy ,则0,0x y 或0,0x y ,故0x y 或0x y ,故“0x y ”不是“0xy ”的必要条件.综上,“0x y ”是“0xy ”的既不充分也不必要条件.故选:D.6.已知集合M ,P ,则“x M 或x P ”是“ x M P ”的()A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【分析】x M 或x P 即()x M P ,再利用 x M P 与()x M P 之间的关系即可判断出结论.【详解】由x M 或x P 得()x M P ,又 ()M P M P ∩ ,∴x M 或x P 不能推出 x M P , x M P 能推出x M 或x P .则“x M 或x P ”是“ x M P ”的必要不充分条件.故选:A.7.设x R ,则“2x ”是“24x ”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当2x 时24x ,故充分性成立,由24x 可得2x 或2x ,故必要性不成立,所以“2x ”是“24x ”的充分不必要条件.故选:A8.若,R a b ,则“2()0a b a ”是“a b ”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式的性质,结合充分条件、必要条件的判定方法,即可求解.【详解】由不等式2()0a b a ,可得0a b ,可得a b ,即充分性成立;反之:由a b ,可得0a b ,又因为20a ,所以2()0a b a ,所以必要性不成立,所以2()0a b a 是a b 的充分不必要条件.故选:A.9.若,,R a b c ,则“ac bc ”是“a b ”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】若0c =,令2,1a b ,满足ac bc ,但a b ¹;若a b ,则ac bc 一定成立,所以“ac bc ”是“a b ”的必要不充分条件.故选:B10)A .0,0a bB .0,0a bC .0,0a bD .0,0a b 【答案】BA中,0b ,根据充分条件的定义知,选项A不是充分条件;选项C、D中,由0a 可知,C、D不是充分条件;选项B,由0,0a bB是充分条件.【详解】对于选项A,因为0b项A不是充分条件;对于选项B,当0,0a ba≥0,b>0.根据充分条件的定义知,选项B是充分条件;对于选项C、D,由0a没意义,所以选项C、D不是充分条件;故选:B.11.已知a,b为非零实数,则“1ba”是“b a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】由222222111||||b b b b a b aa a a,即b a成立,故充分性成立;取2b ,1a ,则b a成立,但1ba不成立,故必要性不成立.因此,“1ba”是“b a”的充分不必要条件.故选:A12.设命题121,:1.xpx命题12122,:1.x xqx x则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】判断p ,q 间关系可得答案.【详解】当1211x x ,则121221x x x x ,故p 是q 的充分条件;当121221x x x x ,则可令1250.3x x ,不能得到1211x x ,则p 不是q 的必要条件.则p 是q 的充分不必要条件.故选:A二、多选题13.有以下四种说法,其中说法正确的是()A .“m 是实数”是“m 是有理数”的必要不充分条件B .“0a b ”是“22a b ”的充要条件C .“3x ”是“2230x x ”的充分不必要条件D .“1a ”是“11a”的必要不充分条件【答案】AC【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐个分析即可.【详解】当m 是实数时,m 可能为有理数,可能为无理数,而当m 为有理数时,m 一定为实数,所以“m 是实数”是“m ”的必要不充分条件,A 正确;当0a b 时,22a b 成立,而当22a b 时,有可能0a b ,所以“0a b ”是“22a b ”的充分不必要条件,B 错误;当3x 时,2230x x 成立,而当2230x x 时,3x 或=1x ,所以“3x ”是“2230x x ”的充分不必要条件,C 正确;当1a 时,11a 成立,而当11a 时,有可能a<0,所以“1a ”是“11a”的充分不必要条件,D 错误;故选:AC14.设全集为U ,在下列选项中,是B A 的充要条件的是()A .AB B B .()U A B Ç=ÆðC .()()U U A B Í痧D .()U A B UÈ=ð【答案】BCD【分析】利用维恩图解决集合运算问题.【详解】由维恩图可知,A 不是B A 的充要条件,B ,C ,D 都是B A 的充要条件,故选:BCD .15.下列命题中叙述不正确...的是()A .“关于x 的方程 200ax bx c a 有实数根”的充要条件是“240b ac ”B .“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件C .“4x ”的一个充分不必要条件可以是“3x ”D .若集合A B ,则“x A ”是“x B ”的充分而不必要条件【答案】BCD【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐项判断各选项即可.【详解】由关于x 的方程 200ax bx c a 有实数根可得240b ac ,由240b ac 可得关于x 的方程 200ax bx c a 有实数根,所以“关于x 的方程 200ax bx c a 有实数根”的充要条件是“240b ac ”,A正确;由三角形为正三角形可得该三角形为等腰三角形,所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分条件,B 错误;由3x 不能推出>4x ,所以“3x ”不是“4x ”的充分条件,C 错误;当A B 时,若x A ,则x B ,若x B ,则x A ,所以“x A ”是“x B ”的充要条件,所以若集合A B ,则“x A ”可能是“x B ”的充要条件,D 错误;故选:BCD.16.下列说法正确的是()A .a P Q 是a P 的必要不充分条件B .U UP Q痧(U 是全集)是P Q 的充分不必要条件C .a b 是22a b 的充分不必要条件D .a b 是33a b 的充要条件【答案】AD【分析】根据充分条件与必要条件的定义逐项分析即可.【详解】对于A ,若a P Q ,则可能a Q 且a P ,不能推出a P ,若a P ,则必有a P Q ,故a P Q 是a P 的必要不充分条件,故A 正确;对于B ,若U UP Q 痧,则Q P ,故U UP Q痧(U 是全集)是P Q 的既不充分也不必要条件,故B 错误;对于C ,若a b ,取2,1a b ,则22a b ,若22a b ,取1,2a b ,则a b ,故a b 是22a b 的既不充分也不必要条件,故C 错误;对于D ,因为33a b a b ,所以a b 是33a b 的充要条件,故D 正确.故选:AD.17.对任意实数,,a b c ,给出下列命题,其中假命题是()A .“a b ”是“ac bc ”的充要条件B .“5a ”是“3a ”的必要条件C .“a b ”是“22a b ”的充分条件D .“5a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件【答案】AC【分析】根据充分必有条件的定义逐项分析.【详解】对于A ,如果a b ,则必定有ac bc ,是充分条件,如果ac bc ,则 0c a b ,得0c =或a b ,不是必要条件,所以“a b ”是“ac bc ”的充分不必要条件,错误;对于B ,如果3a <,必定有5a <,是必要条件,正确;对于C ,如果a b >,比如1,2a b , 2212 <,不能推出22a b >,不是充分条件,错误;对于D ,因为有理数+无理数=无理数,有理数+有理数=有理数,5是有理数,所以“a +5是无理数”必定有a 是无理数,是充分条件,如果“a 是无理数”则“a +5也是无理数”,是必要条件,所以“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件,正确;故选:AC.18.若关于x 的方程 2110x m x 至多有一个实数根,则它成立的必要条件可以是()A .13mB .24m C .4m D .12m 【答案】BC【分析】利用 2110x m x 的判别式0 ,求出m 的范围,再利用必要条件的定义即可求得.【详解】因为方程 2110x m x 至多有一个实数根,所以方程 2110x m x 的判别式0 ,即:2(1)40m ,解得13m ≤≤,利用必要条件的定义,结合选项可知,13m ≤≤成立的必要条件可以是选项B 和选项C.故选:BC.19.已知集合 |123|{ ,2A x a x a B x x 或7}x ,则A B 的必要不充分条件可能是()A .7a B .6a C .5a D .4a 【答案】AB【分析】分别在A 、A 的情况下,根据A B ∩求得a 的范围,即为A B ∩的充要条件,再根据选项即可得解.【详解】解:因为集合 |123|{ ,2A x a x a B x x 或7}x ,当A 时,123a a ,解得4a ,此时A B ∩,当A时,123a a ,解得4a ,若A B ∩,则12237a a,解得15a ,又4a ,则45a ,则A B ∩的充要条件为5a ,所以A B ∩的必要不充分条件可能是7a ,6a ,故选:AB .三、填空题20.已知集合 3A x x ,集合 B x x a ,若命题“x A ”是命题“x B ”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是______.【答案】3a 【分析】根据充分不必要条件转化为集合的真包含关系,即可得解.【详解】因为命题“x A ”是命题“x B ”的充分不必要条件,所以集合A 真包含于集合B ,又集合 3A x x ,集合 B x x a ,所以3a .故答案为:3a 21.设 :14x , :x >m , 是 的充分条件,则实数m 的取值范围是________.【答案】,1 【分析】设 14,A x x B x x m ,根据充分条件的定义结合包含关系得出实数m 的取值范围.【详解】设 14,A x x B x x m ,因为 是 的充分条件,所以集合A 是集合B 的子集,所以1m £.故答案为:,1 22.已知:p x a ,:3q x ,p 是q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围为___________.【答案】3, 【分析】由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】因为:p x a ,:3q x ,因为p 是q 的必要不充分条件,所以3a .所以实数a 的取值范围为 3, .故答案为: 3, .23.:x 是2的倍数,:x 是6的倍数,则 是 的______条件.【答案】必要非充分【分析】利用充要条件的定义判定即可.【详解】当4x 时,满足x 是2的倍数,但不满足x 是6的倍数, 充分性不成立;若x 是6的倍数,则x 一定是2的倍数, 必要性成立.则 是 的必要非充分条件.故答案为:必要非充分.24.设甲、乙、丙、丁是四个命题,甲是乙的充分不必要条件,丙是乙的充要条件,丁是丙的必要不充分条件,那么丁是甲的______条件.【答案】必要不充分【分析】利用充分条件,必要条件的概念即可得解.【详解】因为甲是乙的充分不必要条件,所以甲 乙,乙推不出甲;因为丙是乙的充要条件,即乙⇔丙;因为丁是丙的必要不充分条件,所以丙 丁,丁推不出丙.故甲 丁,丁推不出甲,即丁是甲的必要不充分条件.故答案为:必要不充分四、解答题25.已知集合2126A x a x a , 04B x x ,全集U R .(1)当1a 时,求 U A B ∩ð;(2)若“x B ”是“x A ”的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.【答案】(1) 48U A B x x ð(2)1,1 【分析】(1)化简集合A ,根据补集运算、交集运算求解;(2)由题意转化为BA ,列出不等式组求解即可.【详解】(1)当1a 时,集合 08A x x ,{0U B x x ð或4}x ,故 48U A B x x ð(2)由题知:BA ,即BA 且B A ,当B A 时,210264a a ,解得11a ,当B A 时,210264a a,解得1a ,由B A 得,1a ;综上所述:实数a 的取值范围为 1,1 .26.已知集合 310A x x ,29140B x x x , 32C x x m ,(1)求A B ,A B , A B R ∩ð;(2)若x C 是 x A B ∩的充分而不必要条件,求实数m 的取值范围.【答案】(1) |37x x ; 210x x ;23x x (2)7,2【分析】(1)先解出集合B ,再由集合间的运算性质求解即可;(2)由题意可得C A B ∩,分C 和C 两种情况讨论即可.【详解】(1)2|9140|270|27B x x x x x x x x ∵, |37A B x x , 210A B x x ,又 R =3A x x ð或 10x ,R 23A B x x ð.(2)x C ∵是 x A B ∩的充分而不必要条件,C A B ∩,当C 时,有23m ,即32m;当C 时,有2327m m ,即3722 m ,综上所述,实数m 的取值范围为7,2.27.已知集合 121,P x a x a a R , 25Q x x .(1)若3a ,求 P Q R ð;(2)若“x P ”是“x Q ”的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.【答案】(1)[2,4)(2) 2 ,【分析】(1)由交集,补集的概念求解;(2)转化为集合间关系后分情况列式求解.【详解】(1)当3a 时,[4,7]P ,{|25}Q x x ,则,47,P R ð, 2,4P Q R ð,(2)由题意得P 是Q 的真子集,当P 是空集时,121a a ,解得a<0;当P 是非空集合时,则012215a a a且12a 与215a 不同时成立,解得02a ,故a 的取值范围是 2 ,28.已知集合 114A x x , 23B x x , 2121C x a x a .(1)若x C 是“x A ”的充分条件,求实数a 的取值范围.(2)若 A B C ∩,求实数a 的取值范围.【答案】(1)3,22a (2)31,2【分析】(1)解不等式得到集合A x C 是x A 的充分条件列不等式求解即可;(2)根据交集的定义得到 23A B x x ,然后根据集合的包含关系列不等式求解即可.【详解】(1)因为 114A x x ,所以 25A x x .因为x C 是x A 的充分条件,所以221532122a a a a ,解得322a ,3,22a .(2)因为 23A B x x , A B C ∩,所以212213a a ,解得312a .故a 的取值范围为31,2.29.已知{|1A x x 或1}x ,{|21}B x a x a (B 为非空集合),记:p x A ,:q x B ,若p 是q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.【答案】1(,2][,1)2【分析】根据题意,转化为B 是A 的非空真子集,列出不等式组,即可求解.【详解】由题意知,{|1A x x 或1}x ,{|21}B x a x a (B 为非空集合),因为p 是q 的必要不充分条件,所以B 是A 的非空真子集,可得2121a a a 或2111a a a ,解得2a 或112a ,所以实数a 的取值范围是1(,2][,1)2.30.已知集合 121,24A xa x a B x x ∣∣.在①A B B ;②“x A ”是“x B ”的充分不必要条件;③A B 这三个条件中任选一个,补充到本题第②问的横线处,求解下列问题.(1)当3a 时,求 R A B ð;(2)若______,求实数a 的取值范围.【答案】(1) R {2A B xx ∩∣ð或4}x (2)答案见解析【分析】(1)利用集合的交并补运算即可得解;(2)选①③,利用集合的基本运算,结合数轴法即可得解;选②,由充分不必要条件.【详解】(1)当3a 时, 27A xx ∣,而 24B x x ∣,所以 24A B x x ∩∣,则 R {2A B xx ∩∣ð或4}x .(2)选①:因为A B B ,所以A B ,当A 时,则121a a ,即2a ,满足A B ,则2a ;当A 时,2a ,由A B 得12214a a ,解得312a ;综上:2a 或312a,即实数a 的取值范围为 3,21,2;选②:因为“x A ”是“x B ”的充分不必要条件,所以A 是B 的真子集,当A 时,则121a a ,即2a ,满足题意,则2a ;当A 时,2a ,则12214a a ,且不能同时取等号,解得312a ;综上:2a 或312a,即实数a 的取值范围为 3,21,2;选③:因为A B ,所以当A 时,则121a a ,即2a ,满足A B ,则2a ;当A 时,2a ,由A B 得212a 或14a ,解得32a 或5a ,又2a ,所以322a 或5a ;综上:32a 或5a ,实数a 的取值范围为 3,5,2.31.设U R ,已知集合 |25A x x , |121B x m x m .(1)当4B 时,求实数m 的范围;(2)设:p x A ;:q x B ,若p 是q 的必要不充分条件,求实数m 的范围.【答案】(1)532m (2)3m 【分析】(1)由题意知,4是集合B 的元素,代入可得答案;(2)由题可得B 是A 的真子集,分类讨论B 为空集和B 不为空集合两种情况,即可求得m 的取值范围.【详解】(1)由题可得1421m m ,则532m ;(2)由题可得B 是A 的真子集,当B ,则1212m m m ;当B ,2m ,则21512m m (等号不同时成立),解得23m 综上:3m .32.已知集合 13A x x ,集合 21B x m x m .(1)若A B ,求实数m 的取值范围;(2)命题:p x A ,命题:q x B ,若p 是q 成立的充分不必要条件,求实数m 的取值范围.【答案】(1) 0mm ∣(2) 2mm ∣【分析】(1)讨论B ,B 两种情况,结合交集运算的结果得出实数m 的取值范围;(2)由p 是q 成立的充分不必要条件,得出A 是B 的真子集,再由包含关系得出实数m 的取值范围.【详解】(1)由A B ,得①若21m m ³-,即13m 时,B ,符合题意;②若21m m <-,即13m 时,需1311m m 或1323m m,解得103m .综上,实数m 的取值范围为 0mm ∣.(2)由已知A 是B 的真子集,知122113m m m m两个端不同时取等号,解得2m .由实数m 的取值范围为 2mm ∣.33.已知集合 12A x x ,22B x m x m (1)当2m 时,求A B ;(2)若______,求实数m 的取值范围.请从①x A 且x B ;②“x B 是“x A ”的必要条件;这两个条件中选择一个填入(2)中横线处,并完成第(2)问的解答.(如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)【答案】(1)12A B x x (2)答案见解析【分析】(1)先求两个集合,再求交集;(2)若选择①,则A B ,再分集合B 和B ,两种情况,列式求解;若选择②,则A B ,列式求m 的取值范围.【详解】(1)当2m 时, 04B x x ,所以 12A B x x (2)若选择条件①,由x A 且x B 得:A B ,当B 时,22m m ,即2m ;当B 时,22m m ,即2m 22m 或21m ,即4m 或12m ,所以4m 或122m ,综上所述:m 的取值范围为:4m 或12m .若选择条件②,由“x B ”是“x A ”的必要条件得:A B ,即2122m m,所以13m .34.已知全集R U ,集合 |11A x m x m , |4B x x .(1)当4m 时,求A B 和 R A B ð;(2)若“x A ”是“x B ”成立的充分不必要条件,求实数m 的取值范围.【答案】(1) |5x x ,|45x x (2)3m 【分析】(1)根据集合并集、交集、补集运算求解即可;(2)根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可【详解】(1)当4m 时,集合 ||35A x x x ,因为 |4B x x ,所以 R |4B x x ð.所以 |5A B x x ,R |45A B x x ð(2)因为“x A ”是“x B ”所以A 是B 的真子集,而A 不为空集,所以14m ,因此3m .。
【高中数学】新人教A版高一1.4.2 充要条件(练习题)

新人教A版高一1.4.2 充要条件(2006)1.若a∈R,则“a2=1”是“|a|=1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.设p:−1<x<1;q:−2<x<1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.下面四个条件中,使a>b成立的充分不必要条件是()A.a>b+1B.a>b−1C.a2>b2D.a3>b34.p:x=1或x=2,q:x−1=√x−1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.“k>0”是“一次函数y=kx+b(k,b是常数)中,y随x的增大而增大”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.设集合A={x|x>−1},B={x|x⩾1},则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是()A.−1⩽x⩽1B.x⩽1C.x>−1D.−1<x<17.设x∈R,则“0<x<5”是“−1<x−1<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.已知集合A={x|−1<x<1},B={x|−a<x−b<a}.若“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件,则实数b的取值范围是()A.−1⩽b<0B.0<b⩽2C.−2<b<2D.−2⩽b⩽29.已知p:x>2,q:x>a,若p是q的充分条件,则a的取值范围是;若p是q的必要条件,则a的取值范围是.10.设n∈N∗,则关于x的方程x2−4x+n=0有整数根的充要条件是n=.11.下列结论,可作为“两条直线平行”的充要条件的是.(填序号)①同位角相等;②内错角相等;③同旁内角互补;④同旁内角相等.12.有下列说法:①“x>4且y>5”是“x+y>9”的充要条件;②当a≠0时,“b2−4ac<0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有解”的充要条件;③“x=1或x=−2”是“x2+x−2=0”的充要条件.其中正确说法的序号为.13.下列各题中,p是q的什么条件?(1)p:ax2+2x−1=0有两个不等的实数根,q:a>−1;(2)p:1−x<2x−8,q:x−3>2;(3)p:A∪B=A,q:A∩B=B;(4)p:x>2且y>2,q:x+y>4.14.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.15.有以下三个结论:①在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件;②若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b全不为零”的充要条件;③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为零”的充要条件.其中正确的结论是.(填序号)16.设条件p:|x|⩽m(m>0),q:−1⩽x⩽4,若p是q的充分条件,则m的最大值为,若p是q的必要条件,则m的最小值为.17.在△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,证明:△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2= ab+bc+ac.参考答案1.【答案】:C2.【答案】:A【解析】:由−1<x<1可得−2<x<1,反之不一定成立,因此p是q的充分不必要条件.故选A.3.【答案】:A4.【答案】:C【解析】:因为x=1或x=2⇒x−1=√x−1,x−1=√x−1⇒x=1或x=2,所以p是q的充要条件.故选C.5.【答案】:C6.【答案】:D7.【答案】:B【解析】:由“−1<x−1<1”可得“0<x<2”.由“0<x<5”不能推出“0<x<2”,但由“0<x<2”可以推出“0<x<5”,所以“0<x<5”是“−1<x−1<1”的必要不充分条件.8.【答案】:C【解析】:A={x|−1<x<1},B={x|−a<x−b<a}={x|b−a<x<b+a}.因为“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件,所以−1⩽b−1<1或−1<b+1⩽1,即−2<b<2.故选C.9.【答案】:a⩽2;a⩾2【解析】:因为p是q的充分条件,所以由p可以推出q,所以a⩽2;因为p是q的必要条件,所以由q可以推出p,所以a⩾2.10.【答案】:3或4【解析】:由关于x的方程x2−4x+n=0有实根,得判别式Δ=16−4n⩾0,解得n⩽4,又n∈N∗,逐个分析,当n=1,2时,方程没有整数根;而当n=3时,方程有整数根1,3;当n=4时,方程有整数根2.11.【答案】:①②③【解析】:由①②③均可推出“两条直线平行”的结论,由“两条直线平行”也可以推出①②③均成立;由④不能推出“两条直线平行”的结论.12.【答案】:③【解析】:①x>4且y>5时,x+y>9成立,反之不一定成立,如x=1,y=9,所以“x>4且y>5”是“x+y>9”的充分不必要条件,故①错误;②一元二次方程ax2+bx+c=0有解的充要条件是b2−4ac⩾0,故②错误;③当x=1或x=−2时,x2+x−2=0一定成立,反过来,x2+x−2= 0时,x=1或x=−2成立,故③正确.13(1)【答案】由ax2+2x−1=0有两个不等的实数根,知Δ=22−4×a×(−1)>0且a≠0,得a>−1且a≠0,即p⇒q;反之,当a=0时,方程ax2+2x−1=0只有一个实数根,即q p,所以p是q的充分不必要条件.(2)【答案】易知p:x>3,q:x>5,所以p是q的必要不充分条件.(3)【答案】因为A∪B=A⇔A∩B=B,所以p是q的充要条件.(4)【答案】因为p⇒q,但q p,所以p是q的充分不必要条件.14.【答案】:(1)当a=0时,原方程化为2x+1=0,故x=−1<0,符合题意.2(2)当a≠0时,原方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,它有实根的充要条件为Δ⩾0,即4−4a⩾0,所以a⩽1.①当a<0时,ax2+2x+1=0至少有一个负实根恒成立.②当0<a⩽1时,若ax2+2x+1=0至少有一个负实根,则−2<0,可得0<a⩽1.综上,若方程2aax2+2x+1=0至少有一个负的实根,则a⩽1,反之,若a⩽1,则方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根.因此,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a⩽1.15.【答案】:③【解析】:由AB2+AC2=BC2可以推出△ABC是直角三角形,但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角,故AB2+AC2=BC2不一定成立,所以①不正确.由a2+b2≠0可以推出a,b不全为零,反之,由a,b不全为零可以推出a2+b2≠0,所以②不正确,③正确.16.【答案】:1;4【解析】:条件p:|x|⩽m,可得,−m⩽x⩽m.条件q:−1⩽x⩽4,若p是q的充分条件,则−m⩾−1,且m⩽4,解得0<m⩽1,则m的最大值为1;若p是q的必要条件,则−m⩽−1且m⩾4,解得m⩾4,则m的最小值为4,故答案为1,4.17.【答案】:充分性:∵a2+b2+c2=ab+bc+ac,∴a2+b2+c2−ab−bc−ac=0,∴(a−b)2+ (b−c)2+(a−c)2=0,∴a−b=0,b−c=0,a−c=0,即a=b=c,∴△ABC是等边三角形.必要性:∵△ABC是等边三角形,∴a=b=c,∴a2+b2+c2−ab−bc−ac=a2+b2+c2−a2−b2−c2=0,∴a2+b2+c2=ab+bc+ac.综上所述,△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2= ab+bc+ac.。
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第6课时 充要条件
一.课题:充要条件
二.教学目标:掌握充分必要条件的意义,能够判定给定的两个命题的充要关系.
三.教学重点:充要条件关系的判定.
四.教学过程:
(一)主要知识:
1.充要条件的概念及关系的判定; 2.充要条件关系的证明.
(二)主要方法:
1.判断充要关系的关键是分清条件和结论;
2.判断p q ⇒是否正确的本质是判断命题“若p ,则q ”的真假;
3.判断充要条件关系的三种方法:
①定义法;②利用原命题和逆否命题的等价性;③用数形结合法(或图解法).
4.说明不充分或不必要时,常构造反例.
(三)例题分析:
例1.指出下列各组命题中,p 是q 的什么条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答)
(1)在ABC ∆中,:p A B >,:sin sin q A B >
(2)对于实数,x y ,:8p x y +≠,:2q x ≠或6y ≠
(3)在ABC ∆中,:sin sin p A B >,:tan tan q A B >
(4)已知,x y R ∈,22
:(1)(2)0p x y -+-=,:(1)(2)0q x y --= 解:(1)在ABC ∆中,有正弦定理知道:
sin sin a b A B
= ∴sin sin A B a b >⇔> 又由a b A B >⇔>
所以,sin sin A B A B >⇔> 即p 是q 的的充要条件.
(2)因为命题“若2x =且6y =,则8x y +=”是真命题,故p q ⇒,
命题“若8x y +=,则2x =且6y =”是假命题,故q 不能推出p ,
所以p 是q 的充分不必要条件.
(3)取120,30A B ==,p 不能推导出q ;取30,120A B ==,q 不能推导出p 所以,p 是q 的既不充分也不必要条件.
(4)因为{(1,2)}P =,{(,)|1Q x y x ==或2}y =,P Q ≠
⊂, 所以,p 是q 的充分非必要条件.
例2.设,x y R ∈,则22
2x y +<是||||x y +≤ )、是||||2x y +<的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 解:由图形可以知道选择B ,D .(图略)
例3.若命题甲是命题乙的充分非必要条件,命题丙是命题乙的必要非充分条件,命题丁是命题丙的充要条件,则命题丁是命题甲的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 解:因为甲是乙的充分非必要条件,故甲能推出乙,乙不能推出甲,
因为丙是乙的必要非充分条件,故乙能推出丙,丙不能推出乙,
因为丁是丙的充要条件,故丁能推出丙,丙也能推出丁,
由此可知,甲能推出丁,丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件,选B .
例4.设,x y R ∈,求证:||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥.
证明:充分性:如果0xy =,那么,①0,0x y =≠②0,0x y ≠= ③0,0x y ==于是||||||x y x y +=+
如果0xy >即0,0x y >>或0,0x y <<,
当0,0x y >>时,||||||x y x y x y +=+=+,
当0,0x y <<时,||()()||||x y x y x y x y +=--=-+-=+,
总之,当0xy ≥时,||||||x y x y +=+.
必要性:由||||||x y x y +=+及,x y R ∈
得22()(||||)x y x y +=+即222222||x xy y x xy y ++=++
得||xy xy =所以0xy ≥故必要性成立,
综上,原命题成立.
例5.已知数列{}n a 的通项1113423
n a n n n =++++++,为了使不等式22(1)11log (1)log 20
n t t a t t ->--
对任意*n N ∈恒成立的充要条件. 解:∵11111111()()02425324262526
n n a a n n n n n n n +-=+-=-+->+++++++, 则1221n n n a a a a a -->>>>>, 欲使得题设中的不等式对任意*
n N ∈恒成立, 只须{}n a 的最小项2
21(1)11log (1)log 20t t a t t ->--即可,又因为11194520
a =+=, 即只须11t -≠且22911log (1)log (1)02020
t t t t ----<,解得1log (1)(1)t t t t -<-<>,
即101(2)t t t t
<<-<≠,解得实数t 应满足的关系为12t +>且2t ≠. 例6.(1)是否存在实数m ,使得20x m +<是2230x x -->的充分条件?
(2)是否存在实数m ,使得20x m +<是2230x x -->的必要条件?
解:欲使得20x m +<是2230x x -->的充分条件,则只要{|}{|12
m x x x x <-⊆<-或3}x >,则只要12
m -≤-即2m ≥, 故存在实数2m ≥时,使20x m +<是2230x x -->的充分条件.
(2)欲使20x m +<是2230x x -->的必要条件,则只要{|}{|12
m x x x x <-⊇<-或3}x >,则这是不可能的,
故不存在实数m 时,使20x m +<是2230x x -->的必要条件. (四)巩固练习:
1.若非空集合M N ≠
⊂,则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈”的 条件. 2.05x <<是|2|3x -<的 条件.
3.直线,a b 和平面,αβ,//a b 的一个充分条件是( )
A.//,//a b αα
B.//,//,//a b αβαβ
C. ,,//a b αβαβ⊥⊥
D. ,,a b αβαβ⊥⊥⊥。