新人教高考数学专题复习充要条件》测试题

第6课时 充要条件

一．课题：充要条件

二．教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．

三．教学重点：充要条件关系的判定．

四．教学过程：

（一）主要知识：

1．充要条件的概念及关系的判定； 2．充要条件关系的证明．

（二）主要方法：

1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；

2．判断p q ⇒是否正确的本质是判断命题“若p ，则q ”的真假；

3．判断充要条件关系的三种方法：

①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）．

4．说明不充分或不必要时，常构造反例．

（三）例题分析：

例1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）

（1）在ABC ∆中，:p A B >，:sin sin q A B >

（2）对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠

（3）在ABC ∆中，:sin sin p A B >，:tan tan q A B >

（4）已知,x y R ∈，22

:(1)(2)0p x y -+-=，:(1)(2)0q x y --= 解：（1）在ABC ∆中，有正弦定理知道：

sin sin a b A B

= ∴sin sin A B a b >⇔> 又由a b A B >⇔>

所以，sin sin A B A B >⇔> 即p 是q 的的充要条件．

（2）因为命题“若2x =且6y =，则8x y +=”是真命题，故p q ⇒，

命题“若8x y +=，则2x =且6y =”是假命题，故q 不能推出p ，

所以p 是q 的充分不必要条件．

（3）取120,30A B ==，p 不能推导出q ；取30,120A B ==，q 不能推导出p 所以，p 是q 的既不充分也不必要条件．

（4）因为{(1,2)}P =，{(,)|1Q x y x ==或2}y =，P Q ≠

⊂， 所以，p 是q 的充分非必要条件．

例2．设,x y R ∈，则22

2x y +<是||||x y +≤ ）、是||||2x y +<的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 解：由图形可以知道选择B ，D ．（图略）

例3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲，

因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙，

因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，

由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件，选B ．

例4．设,x y R ∈，求证：||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥．

证明：充分性：如果0xy =，那么，①0,0x y =≠②0,0x y ≠= ③0,0x y ==于是||||||x y x y +=+

如果0xy >即0,0x y >>或0,0x y <<，

当0,0x y >>时，||||||x y x y x y +=+=+，

当0,0x y <<时，||()()||||x y x y x y x y +=--=-+-=+，

总之，当0xy ≥时，||||||x y x y +=+．

必要性：由||||||x y x y +=+及,x y R ∈

得22()(||||)x y x y +=+即222222||x xy y x xy y ++=++

得||xy xy =所以0xy ≥故必要性成立，

综上，原命题成立．

例5．已知数列{}n a 的通项1113423

n a n n n =++++++，为了使不等式22(1)11log (1)log 20

n t t a t t ->--

对任意*n N ∈恒成立的充要条件． 解：∵11111111()()02425324262526

n n a a n n n n n n n +-=+-=-+->+++++++， 则1221n n n a a a a a -->>>>>， 欲使得题设中的不等式对任意*

n N ∈恒成立， 只须{}n a 的最小项2

21(1)11log (1)log 20t t a t t ->--即可，又因为11194520

a =+=， 即只须11t -≠且22911log (1)log (1)02020

t t t t ----<，解得1log (1)(1)t t t t -<-<>，

即101(2)t t t t

<<-<≠，解得实数t 应满足的关系为12t +>且2t ≠． 例6．（1）是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的充分条件？

（2）是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的必要条件？

解：欲使得20x m +<是2230x x -->的充分条件，则只要{|}{|12

m x x x x <-⊆<-或3}x >，则只要12

m -≤-即2m ≥， 故存在实数2m ≥时，使20x m +<是2230x x -->的充分条件．

（2）欲使20x m +<是2230x x -->的必要条件，则只要{|}{|12

m x x x x <-⊇<-或3}x >，则这是不可能的，

故不存在实数m 时，使20x m +<是2230x x -->的必要条件． （四）巩固练习：

1．若非空集合M N ≠

⊂，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈”的 条件． 2．05x <<是|2|3x -<的 条件．

3．直线,a b 和平面,αβ，//a b 的一个充分条件是（ ）

A.//,//a b αα

B.//,//,//a b αβαβ

C. ,,//a b αβαβ⊥⊥

D. ,,a b αβαβ⊥⊥⊥