3.4 相互独立的随机变量

f X ( x) f ( x, y)d y


fY ( y )


f ( x, y)d x.
f ( x, y ) 对于固定的x，f X ( x) 0时，f Y X ( y x) f X ( x)
FY X ( y x) P{Y y X x}
f ( y x) d y. P{Y L X x} f ( y x) d y
( x a )2 2σ 2
1 e 2 σ
( x a )2 2σ 2
, x ;
1 1 e 2b 2 σ 0
, x , b y b
, else
X 和 Y 相互独立 pij pi p j
例 2 （P73有类似例题）
i, j 1, 2,.
P{Y y P{ X x
j
X xi } P{Y y j }, i, j 1, 2,...
i
Y y j } P{ X xi }, i, j 1, 2,...
3. X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g (Y )也相互独立.
x i x j 1
p ,
P{ X xi } pij pi , i 1, 2,
P{Y y j } pij p j , j 1, 2,
i 1
j 1
对于固定的 j，若 P{Y y j } 0 ，则
P{ X x i Y y j }
则称 X 1 , X 2 ,, X n 是相互独立的.
若对于所有的 x1 , x 2 ,, x m , y1 , y 2 ,, y n 有
F ( x1 , x 2 ,, x m , y1 , y 2 ,, y n ) F1 ( x1 , x 2 ,, x m )F2 ( y1 , y 2 ,, y n ) 其中F1 , F2 , F依次为随机变量( X 1 , X 2 ,, X m ), (Y1 ,
1、若（X，Y）为连续型随机变量，X 与 Y 相互独
立的充分必要条件是等式
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
在全平面上几乎处处成立。
f Y X ( y x) fY ( y ), ( x, y R) f X Y ( x y ) f X ( x), ( x, y R)
1 13 1 11 1 . 2 12 2 12 6
2 2
y 9
7
O
A C
B
C
G
B

8
12 x

二、n个随机变量的相互独立性P75
1.分布函数
n 维随机变量 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 的分布函数
F ( x1 , x2 ,, xn ) P{ X 1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn },
达办公室的时间,由假设 X 和Y 的概率密度分别为
1 2, 7 y 9, 1 4 , 8 x 12, f X ( x) fY ( y ) 0, 其它, 0, 其它,
由于 X ,Y 相互独立,
1 8 , 8 x 12,7 y 9, f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 其它. 0,
P { X x , Y y } P { X x } P {Y y },
即
F ( x , y ) FX ( x )FY ( y ),
则称随机变量 X 与 Y 是相互独立的。
随机变量 X 与Y 相互独立，实际上是指：
对任意 x， y ，随机事件 X x 与Y y 相互独立．
i, j 1, 2,.
设二维离散型随机变量 X， Y 的联合分布律为
Y X 1 2 1
1 6 1 3
2
1 9
3
1 18


试确定常数 ， 使得随机变量 X 与Y 相互独立．
解：由表，可得随机变量 X 与Y 的边缘分布律为
Y X 1 2
1
1 6 1 3 1 2
1 9
2
1 9
3
1 18
2、 若（X，Y）为离散型随机变量，X 与 Y 相互独
立的充分必要条件是对于（X，Y）的每一对可能取 的值 ( x i , y j ) 有
X 和 Y 相互独立 pij pi p j
P { X x i , Y y j } P { X x i } P {Y y j }.
1、离散型 P{ X
xi ,Y y j } pij ,
xi x

i , j 1,2,;
( xi , y j )G
F ( x, y ) P{ X x, Y y}
p.
ij
ij
P{( X , Y ) G} pij

yj y
FX ( x ) F ( x , )
1 8 , 8 x 12,7 y 9, f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 其它. 0,
P{ X Y 1 12} f ( x , y ) d x d y
G
1 ( G 的面积 ). =1/48。 8
G的面积 ABC的面积 ABC的面积
作业：P86 14， 16(2) , 20 （练习：17）
三、小结
1. 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为
P{ X i ,Y j } pij , i , j 1,2,. X 和Y 相互独立
P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j }.
YX
YX L
y
第三章
多维随机变量及其分布
相互独立的随机变量
第四节
一、两个随机变量的相互独立性 二、 n 个随机变量的相互独立性
一、两个随机变量的相互独立性
定义 设 F ( x , y )及FX ( x ), FY ( y ) 分别是二维随 机变量（X，Y）的分布函数及边缘分布函数。若对 于所有 x,y 有
pi
1 3
1 3Βιβλιοθήκη 1 18
p j


如果随机变量 X 与Y 相互独立，则有
pij pi p j
i 1， 2；
j 1， 2， 3 由此得
2 1 1 1 P X 1， Y 2 P X 1 PY 2 3 9 9 9



f X1 , X 2 ( x1 , x2 )
f ( x1 , x2 ,, xn ) d x3 d x4 d xn .



同理可得 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 的 k (1 k n) 维边缘概 率密度.
5. 相互独立性
若对于所有的 x1 , x 2 ,, x n 有 F ( x1 , x2 ,, xn ) FX1 ( x1 )FX 2 ( x2 )FX n ( xn ),
2. 设连续型随机变量( X ,Y )的联合概率密度为 f ( x , y ), 边缘概率密度分别为 f X ( x ), fY ( y ), 则有
Y2 ,,Yn )和( X 1 , X 2 ,, X m ,Y1 ,Y2 ,,Yn )的分布函数,
则称随机变量( X 1 ,, X m )与(Y1 ,,Yn )相互独立.
6.重要结论
定理 设 ( X 1 , X 2 ,, X m ) 和 (Y1 ,Y2 ,,Yn ) 相互独
立, 则X i (1,2,, m )和Y j ( j 1,2,, n)相互独立.又 若 h, g是连续函数, 则 h( X 1 , X 2 ,, X m ) 和 g (Y1 ,Y2 , ,Yn ) 相互独立.
i 1， 2；
j 1， 2， 3
2 1 因此当 ， 时，X 与Y 相互独立． 9 9
P73例3 f ( x , y )
1 2σ1σ 2 1 ρ2
1 ( x μ1 )2 ( x μ1 )( y μ2 ) ( y μ2 )2 exp 2ρ 2 2 2 σ1 σ 2 σ2 2(1 ρ ) σ1
1 f X ( x) e 2πσ1 ( x μ1 )2
2 2 σ1
,
重要结论：“二维正态变量X,Y独立
1 fY ( y ) e 2πσ 2
( x μ2 )2
2 2 σ2
.
ρ0
”
//若 =0，易得f ( x, y) f X ( x) fY ( y)对所有x,y成立，故X,Y独立；
P{ X xi ,Y y j } P{Y y j }

pij p j
( i 1,2,)
FX |Y ( x | y j ) P{ X xi | Y y j } P{ X xi | Y y j } P{ X L | Y y j } P{ X xi | Y y j }
1 1 1 1 P X 1， Y 3 P X 1 PY 3 3 18 18 9
Y X 1 2
1
1 6
2
1 9
3
1 18
pi
1 3
1 3 1 2
2 9
1 3
1 9
1 6
2 3
p j
可以验证，此时有
pij pi p j
例1
设随机变量 X 和Y 相互独立, 并且 X 服从
2
N (a , σ ),Y 在 [ b, b] 上服从均匀分布, 求 ( X ,Y ) 的联合概率密度.