第九章 期权定价

（二）期权价格的下限
1, 欧式看涨期权价格的下限
（1）无收益资产欧式看涨期权价格的下限 我们考虑如下两个组合： 组合A：一份欧式看涨期权加上金额为 Xe r (T t ) 的现金 组合B：一单位标的资产
2015/12/2
在T时刻，组合A 的价值为：
组合B的价值为ST。
max(ST , X )
策略： 1，购买看涨期权；2，出售看跌期权；3，卖空一股股票。
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结果： 这个策略给出的初始现金流为：31.00－3.00＋2.25 ＝30.25美元。将这笔资金按无风险利率投资3个月，3个 月末本息和为30.25e0.1*0.25=31.02美元。在3个月末，有 如下两种可能： 1，如果股票价格大于30美元，该投资者执行看涨 期权。即按照30美元价格购买一份股票，将空头平仓， 则可获利＝31.02－30＝1.02美元。
期权多头越有利，期权价格也应越高。 在定价时，波动性只能通过人们对未来的价格波动 程度的估计求得，主要有两种方法：历史波动法和隐含 波动法。
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（四）无风险利率
从比较静态的角度看。无风险利率越高，看跌期权的 价值越低；而看涨期权的价值则越高。 从动态的角度看，当无风险利率提高时，看涨期权价 格下降，而看跌期权的价格却上升。
我们应注意到，随着时间的延长，期权时间价值的 增幅是递减的。这就是期权的边际时间价值递减规律。
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（三）标的资产价格的波动率
标的资产价格的波动率是用来衡量标的资产未来价 格变动不确定性的指标。由于期权多头的最大亏损额仅 限于期权价格，而最大盈利额则取决于执行期权时标的
资产市场价格与协议价格的差额，因此波动率越大，对
ST , X ) ST ，因此，在t时刻组合A的价 由于 max(
值也应大于等于组合B，即:
c Xe
r (T t )
S
或
c S Xe
r (T t )
由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价 格下限为：
c max(S Xe
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r (T t )
C=c
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（9.8）
根据（9.4 ），我们可以得到无收益资产美式看涨期
权价格的下限：
C max[S Xer (T t ) ,0]
（9.9）
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2,看跌期权
是否提前执行无收益资产的美式看跌期权，主要取决于 期权的实值额（X-S）、无风险利率水平等因素。一般来说， 只有当S相对于X来说较低，或者r较高时，提前执行无收益 资产美式看跌期权才可能是有利的。 美式看跌期权的下限为：
1.无收益资产情形
S X C P S Xe
2.有收益资产情形
r (T t )
S D X C P S D Xe
r (T t )
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9.2
时间价值 时间价值
54 3 210
到期日
X
Ｓ
图9.1 看涨期权时间价值与|S-X|的关系
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3,期权价格与内在价值和时间价值间的关系
期权合约的价值是由期权价格决定的，
即由内在价值和时间价值所决定。三者之
间的关系如图9-2所示。
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期 权 费
期权费变动曲线
TV
IV
0 TV X
c Xe
r (T t )
pS
（9.10）
这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平 价关系（Parity）。 如果式（9.10 ）不成立，则存在无风险套利机会。套 利活动将最终促使式（ 9.10 ）成立。
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套利机会
市场情况：某投资者刚刚获得如下股票欧式期权的报价，
2，如果股票价格小于30美元，该投资者的对手执
行看跌期权。即按照30美元价格购买一份股票，将空 头平仓，则可获利＝31.02－30＝1.02美元。
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练习：
若同样的市场条件，但3个月期欧式看涨期权和 欧式看跌期权的价格分别为3美元和1美元。问是否 有套利的机会？若有，如何构筑套利策略？并分析
组合D：金额为 Xe r (T t ) 的现金 在T时刻，组合C的价值为：max（ST，X），组合D的价 值为X 。
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由于组合 C 的价值在 T 时刻大于等于组合 D，因此组 合C的价值在t时刻也应大于等于组合D，即：
p S Xer (T t )
p Xe
期权价格下限为：
股票市场价格为31美元，3个月期无风险年利率为10％，看 涨期权和看跌期权的执行价格都是30美元，3个月后到期。 3个月期欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格分别为3美元 和2.25美元。
c Xe
r (T t )
3 30e
0.10.25
32.26
p S 2.25 31 33.25
r (T t )
S
由于期权价值一定为正，因此无收益资产欧式看跌
p max(Xer (T t ) S , 0)
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（9.6）
（2）有收益资产欧式看跌期权价格的下限
我们只要将上述组合D的现金改为D Xe r (T t )就可 得到有收益资产欧式看跌期权价格的下限为：
实值期权、虚值期权和平价期权。把Ｓ>Ｘ
（S<X）时的看涨(跌)期权称为实值期权；把Ｓ
＝Ｘ的看涨（跌）期权称为平价期权；把S<X
（Ｓ>Ｘ）时的看涨(跌)期权称为虚值期权；
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2，期权的时间价值
期权的时间价值（Time Value）是指在期权有效期
内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所 隐含的价值。显然，标的资产价格的波动率越高，期权 的时间价值就越大。
第九章
期权定价
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9.1
期权价格的特性
一、期权价格的构成
期权价格等于期权的内在价值加上时间价值。
１，内在价值
内在价值是指期权持有者立即行使该期权合约
所赋予的权利时所能获得的总收益。
看涨期权的内在价值为max{S-X,0}
看跌期权的内在价值为max{X-S,0}
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按照有无内在价值，期权可呈现三种状态：
p max(D Xe
r (T t )
S , 0) （9.7）
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四、提前执行美式期权的合理性
（一）提前执行无收益资产美式期权的合理性
1, 看涨期权
由于现金会产生收益，而提前执行看涨期权得到的标 的资产无收益，再加上美式期权的时间价值总是为正的， 因此我们可以直观地判断提前执行无收益资产的美式看涨 期权是不明智的。 因此，
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（五）标的资产的收益
由于标的资产分红付息等将减少标的资产的价格， 而协议价格并未进行相应调整，因此在期权有效期内 标的资产产生收益将使看涨期权价格下降，而使看跌 期权价格上升。
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期权价格的影响因素
变量 标的资产的市价 欧式看涨 ＋ 欧式看跌 － 美式看涨 ＋ 美式看跌 －
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五、看涨期权与看跌期权之间的平价关系
所谓看涨期权与看跌期权之间的平价关系是指看 涨期权的价格与看跌期权的价格，必须维持在无套利 机会的均衡水平的价格关系上。如果这一关系被打破， 则在这两种价格之间，就存在无风险的套利机会，而 套利者的套利行为又必将这种不正常的价格关系拉回 到正常水平。下面我们仍然用无套利均衡分析法来推
会。这就使欧式期权的有效期与期权价格之间的关系显 得较为复杂。
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但在一般情况下（即剔除标的资产支付大量收益这
一特殊情况），由于有效期越长，标的资产的风险就越 大，空头亏损的风险也越大，因此即使是欧式期权，有 效期越长，其期权价格也越高，即期权的边际时间价值 （Marginal Time Value）为正值。
期权协议价格
期权的有效期
－
？
＋
？
－
＋
＋
＋
波动率
无风险利率 标的资产的收益
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＋
？ －
＋
？ ＋
＋
？ －
＋
？ ＋
注：＋：互补关系：－：抵消关系；？：关系不明确。
三、期权价格的上下限
我们首先将本章后面所用到的符号及其含义开列如下： X：期权的执行价格； T：期权的到期时刻； t：现在的时刻； S：标的资产在t时的市场价格； ST：标的资产在T时的市场价格； C：美式看涨期权的价格； c：欧式看涨期权的价格；
TV
标的资产市价S
OTM
ATM
ITM
图9.2 看涨期权的期权费、内在价值、时间价值的关系
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二、期权价格的影响因素
（一）标的资产的市场价格与期权的协议价格 对于看涨期权而言，标的资产的价格越高、协议
价格越低，看涨期权的价格就越高。
对于看跌期权而言，标的资产的价格越低、协议 价格越高，看跌期权的价格就越高。
C c max[S D Xer (T t ) , 0]
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2,看跌期权
由于提前执行有收益资产的美式看跌期权意味着自
己放弃收益权，因此收益使美式看跌期权提前执行的
可能性变小，但还不能排除提前执行的可能性。 由于美式看跌期权有提前执行的可能性，因此其下
限为：
P max(D X S , 0)
P X S
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（二）提前执行有收益资产美式期权的合理性
1,看涨期权
由于提前执行有收益资产的美式期权可较早获得标的资 产，从而获得现金收益，而现金收益可以派生利息，因此在 一定条件下，提前执行有收益资产的美式看涨期权有可能是 合理的。 由于存在提前执行更有利的可能性，有收益资产的美式 看涨期权价值大于等于欧式看涨期权，其下限为：