实验八

实 验 报 告实验日期： 学 号：姓 名：实验名称：离散LTI 系统总 分：§8.1 MATLAB 函数conv 目的学习利用conv 函数计算离散卷积。

相关知识MATLAB 函数conv 计算下面卷积和：∑∞-∞=-=m m n h m x n y ][][][。

这里假设][n x 和][n h 都是有限长序列。

如果][n x 仅在1-+≤≤x x x N n n n 区间内为非零，而][n h 仅在1-+≤≤h h h N n n n 区间内为非零，那么][n y 就仅在2-+++≤≤+h x h x h x N N n n n n n 内为非零值。

这表明conv 只需要在上述区间内计算][n y 的1-+h x N N 个样本值。

然而，conv 并不产生][n y 的样本序号，应负责保持序号之间的联系。

基本题1．已知如下有限长序列 ⎩⎨⎧≤≤=n n n x 其余 050 1][用解析法计算][][][n x n x n y *=。

解：由于x[n]是有限长序列，通过将序列x 表示成{1 1 1 1 1 1}，利用对位相乘求和，即可求出卷积结果为y[n]={1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 }。

2．利用conv 计算][][][n x n x n y *=的非零样本值，并将这些样本存入向量y 中。

第一步应定义包含在50≤≤n 区间内的][n x 样本的向量x ，同时应构造向量ny ，ny(i)包含存在向量y 中的的n 个元素][n y 样本的序号，也即[][]i ny y n y =][。

例如ny(1)应包含x x n n +。

利用stem(ny,y) 画出所得结果。

解： x=[1 1 1 1 1 1];N=length(x); ny=[0:10]; y=conv(x,x) stem(ny,y);3．已知如下有限长序列 ⎩⎨⎧≤≤=n n n n h 其余 050 ][先用解析法计算][][][n h n x n y *=。

然后用conv 计算y ，用stem 画出这一结果。

如果将][n h 看作一个LTI 系统的单位冲激响应，][n x 是该系统的输入，][n y 是该系统的输出。

解：for i=0:5x(i+1)=1; h(i+1)=i; endN=length(x); Ny=[0:10] y=conv(x,h); stem(ny,y); grid on;4．将]5[][][2+*=n h n x n y 与在3中导出的信号][n y 比较，结果怎样？解：经过时移，序列长度增加，所以h 不同。

因此卷积后的结果也不一样，由于有限序列卷积后序列长度等于被卷积的两序列长度之和减1，]5[][][2+*=n h n x n y 比在3中导出的信号][n y 要长，且每个元素值不一样即结果不同。

5．利用conv 计算][2n y ，利用stem 画出][2n y 。

解：h=[0 0 0 0 0 1 2 3 4 5];x=[1 1 1 1 1 1];N=length(x);Ny=[0:10];y=conv(x,h)stem(ny,y);grid on;结果：y=[ 0 0 0 0 0 1 3 6 10 15 15 14 2 9 5]§8.2 MATLAB函数filter目的学习利用filter函数计算离散因果LTI系统在某一给定输入时的输出。

相关知识filter函数计算由线性常系数差分方程表征的离散因果LTI系统在某一给定输入时的输出。

具体的说，考虑一个满足下列差分方程的LTI系统：∑∑= =-= -Mm mKkkmnxbknya][][（8.1）式中][n x 是系统的输入，][n y 是系统的输出。

若x 是包含在区间1-+≤≤x x x N n n n 内的][n x 的一个MATLAB 向量，而向量a 和b 包含系数k a 和m b ，那么y=filter(b,a,x)就会得到满足下面差分方程的因果LTI 系统的输出：∑∑==-+=-+Mm K k m n x m b k n y k a 0)()1()()1( （8.2）其中k a k a =+)1(，m b m b =+)1(。

由filter 产生的输出向量y 包含了][n y 在与x 中所在样本同一区间上的样本，即1-+≤≤x x x N n n n ，以使得向量x 和y 中都包含了x N 个样本。

然而值得注意的是filter 需要的][n x 是在1-≤≤-x x n n M n ，][n y 是在1-≤≤-x x n n K n ，以便计算出第一个输出值][x n n y -。

函数filter 假设这些样本全等于零。

函数filter也能用于计算离散卷积。

考虑当][k a k δ=时满足∑∑==-=-Mm m Kk km n x bk n y a][][的一类系统，即变为∑=-=Mm m m n x bn y 0][][，信号可看成mb LTI 系统的单位冲激响应，因为m b 是有限长的，因此称这样的系统维有限长冲激响应FIR 系统。

基本题1．求解由差分方程]1[2]1[8.0][-=--n x n y n y 表征的系统，当输入信号][][n nu n x =时，在41≤≤n 区间内的响应][n y 。

解：x=[1 2 3 4];a=2; b=[1 -0.8]; y=filter(a,b,x)结果：2．已知⎩⎨⎧≤≤=n n n x 其余 050 1][和⎩⎨⎧≤≤=n n n n h 其余 050 ][，利用filter 求][][][n h n x n y *=。

并与conv 计算结果相比较。

解：x=[1 1 1 1 1 1];h=[0 1 2 3 4 5]; b=1;y=filter(h,b,x) 结果：利用conv 计算的结果两个计算结果相同。

3．考虑冲激响应]5[][2+=n h n h ，利用filter 计算][][][22n h n x n y *=，并用stem 画出所得结果。

解：a=1;h=[0 0 0 0 0 1 2 3 4 5];x=[1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] y=filter(h,a,x) len=length(y); for i=1:len ny(i)=i-6; end stem(ny,y); grid on;§8.3 离散时间LTI 系统的性质 目的在这个练习中，将对一组特定的信号检验卷积的交换律、结合律和分配律性质。

另外还要考查这些性质对于LTI 系统的级联和并联意味着什么。

基本题1．已知信号 ⎩⎨⎧≤≤=n n n x 其余 040 1][1⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====n n n n n n h 其余 04 12 31 1-0 1][1⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====nn n n n n h 其余 04 1-3 42 51 2][2定义代表区间90≤≤n 内的][1n x 的MATLAB 向量x1，以及代表在区间40≤≤n 内的][1n h 和][2n h 的MATLAB 向量h1和h2。

同时，定义nx1和nx2为这些信号合适的标号向量。

利用stem画出这些信号并作适当标注。

解：x1=[1 1 1 1 1 0 0 0 0 0] h1=[1 -1 3 1 0] h2=[2 5 4 -1 0]for i=1:length(x1), nx1(i)=i-1;end for i=1:length(h1), nx2(i)=i-1;end subplot(311)stem(nx1,x1);grid on;title('x1') subplot(312)stem(nx2,h1);grid on;title('h1') subplot(313)stem(nx2,h2);grid on;title('h2')2．交换律意味着具有单位冲激响应][n h 的LTI 系统，在输入为][n x 时所得到输出][n y 与单位冲激响应为][n x ，在输入为][n h 时所得的输出][n y 是一样的，利用conv 以及x1和h1验证这一性质。

conv 的输出是与卷积次序无关吗？ 解：x1=[1 1 1 1 1 0 0 0 0 0]; h1=[1 -1 3 1 0]; y1=conv(x1,h1) y2=conv(h1,x1)结果：输出是与卷积次序无关的。

3．卷积具有分配律性质，这意味着，两个并联系统的输出与单位冲激响应是该并联系统单位冲激响应之和的系统的输出是相同的。

利用x1，h1和h2验证分配率性质。

当输入为][1n x 时，用单位冲激响应为][1n h 和][2n h 计算LTI 系统的输出的和。

将结果与输入为][1n x ，单位冲激响应为][][21n h n h 的LTI 系统的输出进行比较。

解：x1=[1 1 1 1 1 0 0 0 0 0];h1=[1 -1 3 1 0]; h2=[2 5 4 -1 0]; y1=conv(x1,h1); y2=conv(x1,h2); y=y1+y2 Y=conv(x1,h1+h2) 结果：先分别求卷积，然后求和得出的结果，跟先求冲激响应求和再卷积得出的结果一模一样。

4．卷积具有结合律性质，这意味着用LTI 系统的级联处理一个信号所得的结果等效于一个系统来处理，该系统的单位冲激响应应是全部级联系统中单个冲激响应的卷积。

用x1，h1和h2验证结合律性质。

解：x1=[1 1 1 1 1 0 0 0 0 0]; h1=[1 -1 3 1 0]; h2=[2 5 4 -1 0]; y1=conv(x1,h1); y2=conv(h1,h2); y=conv(y1,h2) yy=conv(x1,y2运行结果：x1与h1卷积，所得中间结果再与h2卷积的最终结果，与先h1与h2卷积，再x1与所得中间结果卷积得到的最终结果相同。

中等题5．假定系统有单位冲激响应为][][11n h n h e =和][][012n n h n h e -=，这里0n 是一个整数，令][1n y e 和][2n y e 是这两个系统当输入为][n x 时的输出。

利用交换律性质证明：如果每个系统的输入与单位冲激响应互换的话，输出是相同的。

并基于时不变性质证明][][012n n y n y e e -=。

利用MATLAB 确认当20=n ，输入为][1n x 。

解：卷积的交换律为x1(n)*x2(n)=x2(n)*x1(n)。

设系统的单位冲激相应为h(n)，输入为x(n)，输出y1(n)= x(n)*h(n)；若系统的单位冲激相应变为x(n)，输入变为h(n)，则输出变为y2(n)=h(n)*x(n)。